Tem 8.- INTRODUCCIÓN A AS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIAES Amplición de Mtemátics. Ingenierí Técnic Industril. Especilidd en Electrónic Industril. Índice 1. Introducción 1 2. Ecución del clor 3 3. Ecución de ond 5 4. Ecución de plce 7 1. Introducción En los tems nteriores, nuestr tención se h centrdo en encontrr soluciones generles de ecuciones diferenciles ordinris. Ahor, nos interesrá el estudio de otr clse de ecuciones diferenciles, ls llmds ecuciones diferenciles en derivds prciles. Ests ecuciones surgen en relción con vrios problems físicos y geométricos cundo ls funciones que intervienen dependen de dos o más vribles independientes. Es importnte señlr que sólo los sistems físicos más sencillos pueden modelrse por ecuciones diferenciles ordinris, mientrs que l myorí de los problems de mecánic de fluidos y sólidos, trnsferenci de clor, teorí electromgnétic, mecánic cuántic y otrs áres de l Físic llevn ecuciones en derivds prciles. Un ecución diferencil en derivds prciles es un ecución en l que interviene un o más derivds prciles de un función de dos o más vribles independientes. El orden de l derivd más lt es llmdo orden de l ecución y un solución de un ecución en derivds prciles es un función que stisfce l ecución. En este tem nos centrremos en el estudio de ecuciones lineles de segundo orden en dos vribles, esto es, ecuciones de l form A 2 u x 2 + B 2 u x y + C 2 u y 2 + D x + E y + Fu = G donde A,B,C,...,G son funciones de x e y. Cundo G (x, y) =0, se dice que l ecución es homogéne; en cso contrrio se dice que es no homogéne. Algunos ejemplos de ecuciones en derivds prciles lineles de segundo orden que desempeñn un ppel importnte en Ingenierí son ls siguientes. 1. Ecución unidimensionl del clor t (x, t) =k 2 u (x, t) (1) x2 2. Ecución unidimensionl de ond t 2 (x, t) =2 2 u (x, t) (2) x2 1
Tem 8. Introducción ls ecuciones en derivds prciles. Amplición de Mtemátics. Esp. Electrónic Industril.2 3. Ecución bidimensionl de plce x 2 (x, u y)+ 2 (x, y) =0 (3) y2 ecución (1) prece en l teorí del flujo de clor en un vrill o en un lmbre delgdo donde l función u (x, t) represent l tempertur de l vrill. os problems de vibrciones mecánics menudo conducen l ecución de ond (2), en l que u (x, t) represent los pequeños desplzmientos de un cuerd vibrnte. Por último, l solución u (x, y) de l ecución de plce (3) puede ser interpretd como l distribución estcionri (esto es, independiente del tiempo) de l tempertur en un plc pln y delgd. Aquí no veremos cómo se deducen ests ecuciones sino que nos concentrremos en su resolución. Pr l myor prte de ls ecuciones lineles de segundo orden ún con ls que tienen coeficientes constntes no es fácil llegr l solución generl. Sin embrgo, csi siempre es posible, y bstnte sencillo, hllr soluciones prticulres de ls ecuciones lineles nteriores y que, generlmente, el objetivo que se persigue no es únicmente l resolución de un ecución en derivds prciles, sino que, en l myorí de los csos, se está interesdo en l determinción de un solución prticulr que cumpl cierts condiciones dicionles que surgen del problem. Por ejemplo, l condición de que l solución u sum vlores ddos en l fronter de l región considerd o, cundo el tiempo t es un de ls vribles, que u esté dd en t =0. Así, distinguiremos condiciones dicionles de dos tipos: Condiciones iniciles (socids vribles temporles). Condiciones de contorno o de fronter (reltivs vribles espciles). Hemos visto, en tems nteriores, que si un ecución diferencil ordinri es linel y homogéne, entonces, prtir de soluciones conocids, pueden obtenerse otrs soluciones por superposición. Pr un ecución diferencil en derivds prciles linel y homogéne l situción es muy precid. De hecho, se verific el siguiente teorem. Teorem 1.1 (Principio de superposición) Si u 1,u 2,...,u k son soluciones culesquier de un ecución en derivds prciles linel y homogéne en lgun región R, entonces u = c 1 u 1 + c 2 u 2 + c k u k donde c 1, c 2,...,c k son constntes culesquier, tmbién es un solución de es ecución en R. A continución veremos un procedimiento generl pr obtener soluciones pr ls tres ecuciones nteriores. Método de seprción de vribles El método de seprción de vribles es un técnic clásic que result efectiv pr resolver vrios tipos de ecuciones en derivds prciles. Pr determinr un solución, se supone que ést puede escribirse con sus vribles seprds; esto es, en l form u (x, y) =X (x) Y (y). Sustituyendo est form de solución en l ecución y teniendo en cuent que x = X0 Y x 2 = X00 Y y = XY 0 00 = XY y2
Tem 8. Introducción ls ecuciones en derivds prciles. Amplición de Mtemátics. Esp. Electrónic Industril.3 se lleg dos ecuciones diferenciles ordinris de ls funciones incógnits X (x) y Y (y). De est form el problem de resolver un ecución en derivds prciles se reduce l problem más conocido de resolver ecuciones diferenciles ordinris. Ilustrremos est técnic pr l ecución del clor, l ecución de ond y l ecución de plce cundo se verificn cierts condiciones dicionles (iniciles y de contorno). 2. Ecución del clor ecución unidimensionl del clor es el modelo de vrición de l tempertur u según l posición x y el tiempo t en un vrill clentd de longitud y de tempertur inicil f (x) queseextiende lo lrgo del eje x y cuyos extremos se mntienen un tempertur constnte de cero grdos en todo instnte. Si el flujo de clor se produce solmente en l dirección del eje x no se pierde clor trvés de l superficie lterl de l vrill no se gener clor en l vrill l vrill es homogéne, esto es, su densidd por unidd de longitud es constnte su clor específico y su conductividd térmic son constntes, entonces l tempertur u (x, t) de l vrill está dd por l solución del problem con condiciones iniciles y de contorno t (x, t) =k 2 u (x, t), x2 k > 0, 0 <x<, t>0, (4) u (0,t)=0, u(, t) =0, t > 0, (5) u (x, 0) = f (x), 0 <x<. (6) constnte k es proporcionl l conductividd térmic y se llm difusividd térmic. Solución del problem Pr resolver este problem por el método de seprción de vribles, se empiez por suponer que l ecución (4) tiene un solución de l form u (x, t) =X (x) T (t). Pr determinr X y T, primero se clculn ls derivds prciles de l función u t (x, t) =X (x) T 0 (t) x 2 (x, t) =X00 (x) T (t) y se sustituyen ests expresiones en l ecución resultndo X (x) T 0 (t) =kx 00 (x) T (t), y seprndo ls vribles T 0 (t) kt (t) = X00 (x) X (x). Observmos hor que ls funciones del primer miembro dependen solmente de t, mientrs que ls del segundo miembro dependen solmente de x y, puesto que x y t son vribles independientes entre sí, los dos cocientes deben ser igules lgun constnte λ. Por tnto,
Tem 8. Introducción ls ecuciones en derivds prciles. Amplición de Mtemátics. Esp. Electrónic Industril.4 obien T 0 (t) kt (t) = λ y X 00 (x) X (x) = λ X 00 (x) λx (x) =0 y T 0 (t) λkt (t) =0. En consecuenci, pr soluciones seprbles, el problem de resolver l ecución en derivds prciles se h reducido l problem de resolver ls dos ecuciones diferenciles ordinris nteriores. Si considermos hor ls condiciones de contorno (5) y, teniendo en cuent que u (x, t) =X (x) T (t) tenemos que X (0) T (t) =0 y X () T (t) =0, t > 0. Por consiguiente, o bien T (t) =0pr todo t>0, lo cul implic que u (x, t) 0 obien X (0) = X () =0. Ignorndo l solución trivil, se combinn ls condiciones de contorno con l ecución diferencil en X y se obtiene el problem X 00 (x) λx (x) =0 (7) X (0) = X () =0, donde λ puede ser culquier constnte. Nótese que l función X (x) 0 es un solución pr todo λ y, dependiendo de l elección de λ ést puede ser l únic solución del problem. Así que si se busc un solución no trivil u (x, t) =X (x) T (t), primermente se deben determinr quellos vlores de λ pr los cules el problem con condiciones iniciles y de contorno tiene un solución no trivil. Dichos vlores especiles de λ se denominn vlores propios, y ls soluciones no triviles correspondientes son ls funciones propis. Pr resolver el problem, empezmos con l ecución crcterístic r 2 λ =0y considermos tres csos. Cso 1. λ > 0. En este cso, ls ríces de l ecución crcterístic son ± λ, de modo que l solución generl de l ecución diferencil (7) es X (x) =C 1 e λx + C 2 e λx Si recurrimos ls condiciones de contorno, X (0) = X () =0, pr determinr C 1 y C 2 obtenemos que l únic solución es C 1 = C 2 =0. Por consiguiente, no existe solución no trivil pr λ > 0. Cso 2. λ =0. Ahor r =0es un ríz doble de l ecución crcterístic y l solución generl de l ecución diferencil es X (x) =C 1 + C 2 x. s condiciones de contorno implicn de nuevo que C 1 = C 2 =0y, consecuentemente, no existe solución no trivil. Cso 3. λ < 0. En este cso ls ríces de l ecución crcterístic son ±i λ y l solución generl de l ecución es X (x) =C 1 cos λx + C 2 sen λx En est ocsión ls condiciones de contorno dn lugr l sistem C 1 =0 C 1 cos λ + C 2 sen λ =0 Como C 1 =0, el sistem se reduce C 2 sen λ =0. Por tnto, (7) tiene un solución no trivil cundo λ = nπ oloqueeslomismo 2 λ = n =1, 2,...
Tem 8. Introducción ls ecuciones en derivds prciles. Amplición de Mtemátics. Esp. Electrónic Industril.5 Además ls soluciones no triviles X n (x) correspondientes l vlor λ = nπ 2 están dds por X n (x) = n sen nπx donde los vlores n son constntes rbitrris distints de cero. Un vez determindos los vlores de λ considermos ls segund ecución T 0 2 (t)+k T (t) =0. Pr cd n =1, 2,..., l solución generl de l ecución linel de primer orden es T n (t) =b n e k(nπ/)2t. Por tnto, combinndo ls dos soluciones nteriores obtenemos, pr cd n =1, 2,... u n (x, t) =X n (x) T n (t) =c n e k(nπ/)2t sen nπ x donde c n es un constnte rbitrri. Si considermos un sum infinit de ests funciones, entonces plicndo el principio de superposición, l serie u (x, t) = c n e k(nπ/)2t sen nπ x stisfce tnto l ecución del clor como ls condiciones homogénes (5). Nos flt únicmente determinr los coeficientes constntes {c n } utilizndo l condición inicil u (x, 0) = f (x). Esto d lugr u (x, 0) = c n sen nπ x = f(x), 0 <x<, pero est es l serie de Fourier de senos de f(x) sobre el intervlo [0,], lo cul nos permitirá clculr los coeficientes trvés de l expresión Concluimos entonces que l serie u (x, t) = c n = 2 Ã 2 Z 0 Z 0 f (x) sen f (x) sen x dx. x! dx e k(nπ/)2t sen nπ x es solución del problem con condiciones iniciles y de contorno descrito nteriormente. Est solución en serie converge con bstnte rpidez, menos que t se demsido pequeño, debido l presenci de fctores exponenciles negtivos. Por eso es muy práctic en cálculos numéricos. 3. Ecución de ond Considerremos hor ls vibrciones trnsversles de un cuerd extendid entre dos puntos, x =0 y x =. El movimiento se produce en el plno xy de mner tl que cd punto de l cuerd se mueve en dirección perpendiculr l eje x. Siu (x, t) denot el desplzmiento de l cuerd pr t>0 medidos desde el eje x, entonces u stisfce l ecución (2) en l cuál se sume que cuerd es perfectmente flexible
Tem 8. Introducción ls ecuciones en derivds prciles. Amplición de Mtemátics. Esp. Electrónic Industril.6 cuerd es homogéne, esto es, su ms por unidd de longitud es constnte os desplzmientos u son pequeños comprdos con l longitud de l cuerd. tensión de l cuerd es constnte tensión es grnde en comprción con l fuerz de l grvedd. No ctún otrs fuerzs sobre l cuerd Por consiguiente, un problem típico con condiciones iniciles y de contorno es t 2 (x, t) =2 2 u (x, t), 0 <x<, t>0, (8) x2 u (0,t)=0, u(, t) =0, t 0, (9) u (x, 0) = f (x), (x, 0) = g (x) 0 x (10) t constnte 2 es estrictmente positiv y depende de l densidd linel y l tensión de l cuerd. s condiciones de contorno nos indicn que los extremos de l cuerd permnecen fijos en todo instnte. En t =0, ls funciones f y g especificn l configurción inicil y l velocidd inicil de cd punto de l cuerd. Solución del problem En este cso, l seprción de vribles u (x, t) =X (x) T (t) se reliz igul que en el cso de l ecución del clor. Se clculn ls derivds prciles segunds de l función u, t 2 (x, t) =X (x) T 00 (t) se sustituyen ests expresiones en l ecución resultndo x 2 (x, t) =X00 (x) T (t), X (x) T 00 (t) = 2 X 00 (x) T (t), y seprndo ls vribles T 0 (t) 2 T (t) = X00 (x) X (x) Como en el cso nterior estos cocientes deben ser igules lgun constnte λ. Por tnto, oequivlentemente T 0 (t) 2 T (t) = λ y X 00 (x) X (x) = λ X 00 (x) λx (x) =0 y T 0 (t) λ 2 T (t) =0. Si considermos hor ls condiciones de contorno y, teniendo en cuent que u (x, t) =X (x) T (t) tenemos que X (0) T (t) =0 y X () T (t) =0, t > 0. Por consiguiente, o bien T (t) =0pr todo t>0, lo cul implic que u (x, t) 0 obien X (0) = X () =0. Ignorndo l solución trivil, se combinn ls condiciones de contorno con l ecución diferencil en X y se obtiene el problem X 00 (x) λx (x) =0 X (0) = X () =0
Tem 8. Introducción ls ecuciones en derivds prciles. Amplición de Mtemátics. Esp. Electrónic Industril.7 donde λ puede ser culquier constnte. Este es el mismo problem que se encontró nteriormente l resolver l ecución del clor, en l que se obtuvo que los vlores propios son 2 λ = n =1, 2,... con correspondientes funciones propis X n (x) =c n sen nπ x donde los vlores c n son constntes rbitrris distints de cero. Un vez determindos los vlores de λ considermos ls segund ecución ³ T 00 (t)+ 2 nπ 2 T (t) =0. Pr cd n =1, 2,..., l solución generl de l ecución linel de segundo orden es T n (t) =c n1 cos nπ t + c n2sen nπ t. Por tnto, combinndo ls dos soluciones nteriores obtenemos, pr cd n =1, 2,... ³ u n (x, t) =X n (x) T n (t) = n cos nπ t + b nsen nπ t sen nπ x Aplicndo el principio de superposición, l serie u (x, t) = ³ n cos nπ t + b nsen nπ t sen nπ x stisfce tnto l ecución del clor como ls condiciones homogénes (9). Nos flt únicmente determinr los coeficientes constntes { n } y {b n} verifique ls condiciones iniciles, esto es pr que l solución u (x, 0) = t (x, 0) = X n sen nπx = f(x), 0 x, nπ b n sen nπ x = g(x), 0 x, lo cul nos indic que resolver el problem de l cuerd vibrnte se reduce determinr los desrrollos en series senoidles de Fourier de f(x) y g (x) sobre el intervlo [0,]. 4. Ecución de plce Supongmos que queremos obtener l tempertur u (x, y) correspondiente l estdo permnente en un plc rectngulr. Cundo no se pierde clor trvés de ls crs lterles de l plc, el problem viene ddo x 2 (x, u y)+ 2 (x, y) =0, 0 <x<, 0 <y<b, (11) y2 x (0,y)=0, (, y) =0, 0 <y<b, (12) x u (x, 0) = 0, u(x, b) =f (x), 0 <x<. (13)
Tem 8. Introducción ls ecuciones en derivds prciles. Amplición de Mtemátics. Esp. Electrónic Industril.8 Solución del problem Seprndo vribles, primermente hcemos u (x, y) = X (x) Y (y). Al sustituir en l ecución se obtiene X 00 (x) Y (y)+x (x) Y 00 (y) =0, lo cul se sepr en X 00 (x) 00 X (x) = Y (y) Y (y) = λ. Esto d lugr ls dos ecuciones diferenciles ordinris X 00 (x) λx (x) =0 y Y 00 (y)+λy (y) =0. De ls condiciones de contorno (12) se tiene demás que X 0 (0) = X 0 () =0. En est ocsión, se puede comprobr que ls condiciones de contorno dn lugr los vlores propios 1 λ = 2 n =0, 1, 2,... con ls soluciones correspondientes X n (x) =c n cos nπx donde los vlores c n son constntes rbitrris. Si sustituimos λ en l segund ecución y clculmos Y (y) obtenemos 2 (14) Y 0 (y) = D 0 + E 0 y, Y n (y) = D n cosh nπy + E n senh nπy, n =1, 2,... Ahor bien, l condición de contorno u(x, 0) = 0 se cumplirá si Y (0) = 0, con lo cul se obtienen ls soluciones Y 0 (y) = D 0 y, (15) Y n (y) = E n senh nπy, n =1, 2,... Combinndo ls dos funciones (14) y (15) resultn soluciones del problem de l form u 0 (x, y) = A 0 y, u n (x, y) = A n cos nπx senh y, n =1, 2,... donde ls A n son constntes. Aplicndo el principio de superposición, l serie u (x, y) =A 0 y + A n senh y cos nπx es un solución de l ecución que stisfce ls tres primers condiciones. Finlmente, si considermos l condición de fronter no homogéne restnte u (x, b) =f(x), sustituyendo y = b en l expresión nterior nos qued µ nπb u (x, b) =f(x) =A 0 b + A n senh cos 1 Observr que en este cso λ =0es un vlor propio. 2 En otros problems es más útil obtener soluciones en términos de l función exponencil rel. (16) x. (17)
Tem 8. Introducción ls ecuciones en derivds prciles. Amplición de Mtemátics. Esp. Electrónic Industril.9 Est es un serie cosenoidl de Fourier de f(x) en medio intervlo. Si hcemos l identificción A n senh A 0 b = 0 2 µ nπb = n n =1, 2,... los coeficientes están ddos por A 0 = 1 Z f (x) dx b (18) 0 A n = 2 µ nπb senh Z 0 f (x)cos x dx, n =1, 2,... De modo que un solución del problem está dd por (17) con los coeficientes A 0 y A n determindos por (18). RESUMEN Resolver un problem con condiciones iniciles y de contorno consiste en encontrr un función que stisfg un ecución diferencil en derivds prciles y demás lguns condiciones dicionles que pueden ser tnto condiciones de fronter como condiciones iniciles. A veces es posible obtener un solución prticulr del problem (ecución linel en dos vribles) suponiendo que tiene un solución en form de producto u = XY. Este procedimiento, método de seprción de vribles, consisteen cinco etps básics: 1. Seprr ls vribles. 2. Resolver ls ecuciones diferenciles ordinris obtenids de l seprción y encontrr los vlores propios y ls funciones propis del problem. 3. Forms los productos u n. 4. Usr el principio de superposición pr formr un serie infinit de ls funciones u n. 5. Después de usr un(s) condición(es) de fronter, o un(s) condición(es) inicil(es), los coeficientes de l serie se obtienen hciendo un indentificción propid con un desrrollo de Fourier en medio intervlo en senos o cosenos.