ANASS ESTRUCTURA Dr. Genner Vllarreal Castro PRO NACONA ANR 6, 7, 8 ASABEA NACONA DE RECTORES ma Perú 9
PROOGO El Análss Estructural, es una cenca que estuda la resstenca, rgdez, establdad, durabldad y segurdad en las obras. Por lo general, los textos base de Análss Estructural, son muy volumnosos y, prncpalmente, se centran en la descrpcón teórca, lo cual dfculta el proceso de aprendzaje a través de trabajos domclaros e nvestgacón, conducentes a un mejor domno de la matera. El presente lbro nacó, después de comprobar las grandes dfcultades mostradas por los alumnos en la realzacón de sus trabajos domclaros. Es por ello, que tomé el reto de escrbr un lbro, que haga más ddáctco el proceso de estudo ndvdual, descrbendo, para ello, la teoría en forma sucnta, sera y con el rgor centífco y resolvendo en forma detallada problemas tpo, donde se abarque todo el desarrollo de un capítulo en un solo problema, propcando de manera más amena la convvenca con el Análss Estructural. En el presente lbro, se tratan temas que en la mayoría de programas de las unversdades no se analzan y que son muy mportantes en la formacón profesonal de los ngeneros cvles. Como base se tomó la experenca adqurda en el dctado de los cursos de Análss Estructural en oscow State Cvl Engneerng Unversty, Unversdad de San artín de Porres de ma y Unversdad Prvada Antenor Orrego de Trujllo. En m modesta opnón, el presente lbro es únco en su género, tanto en la forma de su descrpcón teórca, como en la forma de resolucón de problemas; así como en su contendo, que no es una repetcón de otros textos, edtados anterormente. El presente lbro consta de una ntroduccón, capítulos, bblografía y anexo. En la ntroduccón se fundamenta la actualdad del curso y se dan las líneas de nvestgacón del Análss Estructural como cenca. En el prmer capítulo se analzan arcos trartculados con y sn trante, ante cargas estátcas y movbles, grafcando las líneas de nfluenca de las reaccones y fuerzas nternas. En el segundo capítulo se calculan armaduras sostátcas ante cargas estátcas y movbles, grafcando sus líneas de nfluenca. En el tercer capítulo se analzan pórtcos hperestátcos por el método de las fuerzas, consderando los efectos de smetría, varacón de temperatura y asentamento o desplazamento de los apoyos. En el cuarto capítulo se calculan vgas contnuas por la ecuacón de los tres momentos y método de los momentos focales, grafcando sus líneas de nfluenca de las reaccones y fuerzas nternas. En el qunto capítulo se analzan armaduras hperestátcas ante cargas estátcas y movbles, grafcando sus líneas de nfluenca. En el sexto capítulo se calculan pórtcos hperestátcos por el método de desplazamentos, tanto en forma descompuesta, como canónca y consderando el efecto de smetría. En el sétmo capítulo se analzan vgas sobre bases elástcas por el modelo de Wnkler, comparando los resultados analítcos con los del programa BEA. En el octavo capítulo se calculan estructuras de paredes delgadas, basados en la teoría de Vlasov, grafcando sus dagramas de fuerzas nternas y esfuerzos. En el noveno capítulo se analza la establdad estructural de pórtcos hperestátcos smétrcos y no smétrcos, a través del método de desplazamentos.
En el décmo capítulo se analza la dnámca estructural de pórtcos hperestátcos, a través del método de las fuerzas y analzando las vbracones lbres y forzadas. El presente texto está drgdo a estudantes de ngenería cvl y docentes que mparten los cursos de Análss Estructural; así como a ngeneros cvles, postgraduandos e nvestgadores en el área de estructuras. Este lbro se lo dedco a ms colegas y amgos de la Cátedra de ecánca Estructural de ev Natonal Unversty of Buldng and Archtecture, lugar donde me formé académcamente y pude compartr con verdaderos genos de prestgo mundal, como son los centífcos D.Sc., Prof. Amro.Ya.; D.Sc., Prof. Bazhenov V.A.; D.Sc., Prof. Dejtaruk E.S.; D.Sc., Prof. Gular O..; D.Sc., Prof. Granat S.Ya.; D.Sc., Prof. sajanov G.V.; D.Sc., Prof. ovnerstov G.B.; D.Sc., Prof. Shshov O.V.; D.Sc., Prof. Verzhenko V.E.; Ph.D., Prof. Demanuk R..; Ph.D., Prof. elnchenko G..; Ph.D., Prof. Sajarov O.S. y Ph.D., Prof. Zhdan V.Z.; de quenes aprendí este maravlloso mundo de la ecánca Estructural y sentaron las bases sóldas en m formacón centífca. De manera muy especal, dedco el presente lbro a m hermana Verónca, por ser ejemplo de juventud dvno tesoro, que me nspra y transmte daramente energía renovada, permténdome aportar a un desarrollo ntegral de la socedad. Dr. Genner Vllarreal Castro genner_vc@rambler.ru ma, Julo del 9
NTRODUCCON El Análss Estructural, es una cenca que se encarga de la elaboracón de métodos de cálculo, para determnar la resstenca, rgdez, establdad, durabldad y segurdad de las estructuras, obtenéndose los valores necesaros para un dseño económco y seguro. Como cenca, el análss estructural ncó su desarrollo en la prmera mtad del sglo XX, con la actva construccón de puentes, vías ferrovaras, presas y naves ndustrales. a nexstenca de métodos de cálculo de tal tpo de estructuras, no permtó proyectar estructuras lgeras, económcas y seguras. En el Análss Estructural clásco, se analzan solamente sstemas de barras. Esto orgnó en certo modo la aparcón de nuevos cursos especales de análss estructural, donde se analzan otros tpos de sstemas estructurales. Es así, como surgó el Análss Estructural de Barcos, Análss Estructural de Avones, donde se analzan placas y bóvedas y Análss Estructural de Cohetes, que se orenta al cálculo de bóvedas smétrcas. En estos cursos, se utlzan los métodos de la Teoría de Elastcdad, los cuales son más complejos que los métodos cláscos del Análss Estructural. En el Análss Estructural se resuelven estructuras en el plano y en el espaco. os problemas planos se resuelven en dos dmensones y los espacales en tres dmensones. Generalmente, para el cálculo de estructuras espacales se tende a dvdr en elementos planos, debdo a que su cálculo es mucho más sencllo, pero no en todos los casos es posble dcha metodología. Esto se debe, a que la mayoría de los métodos prncpales y teoremas están enuncados y modelados para estructuras en el plano. En cambo, para el cálculo de estructuras espacales, será necesaro analzar grandes fórmulas y ecuacones, lo que dfculta su metodología, pero en la actualdad, con el uso de la nformátca, esto es más sencllo, sendo muy mportante la nterpretacón de los resultados. Asmsmo, el Análss Estructural se dvde en problemas lneales y no-lneales, dstnguéndose la no-lnealdad geométrca y no-lnealdad físca. a no-lnealdad geométrca surge cuando exsten grandes desplazamentos y deformacones de los elementos, lo que es característco en puentes de grandes luces y edfcos altos. a no-lnealdad físca se produce cuando no exste una dependenca proporconal entre los esfuerzos y deformacones, esto es, cuando se utlzan materales nelástcos, lo que es característco en todas las construccones. Cuando los esfuerzos son pequeños, la dependenca no-lneal físca se puede reemplazar por una lneal. Tambén se dstnguen los problemas estátcos y dnámcos. En estos últmos, se consderan las propedades nercales de las estructuras, expresados a través de dervadas respecto al tempo. A estos, tambén, se pueden agregar los problemas relaconados con la vscosdad del materal, el escurrmento o flujo plástco y la resstenca durante el tempo. De esta manera, exste el Análss Estructural de sstemas fjos y movbles, que se estudan bajo los lneamentos de la Establdad Estructural, Dnámca Estructural y Teoría de Escurrmento. Una nueva línea de nvestgacón del Análss Estructural, es el estudo de sstemas con parámetros casuales, es decr, aquella magntud que puede ser consderada con determnada probabldad. El cálculo estructural probablístco, se estuda en la Teoría de Segurdad y vene a ser parte ntegrante del Análss Estructural. Otra de las líneas de nvestgacón del Análss Estructural, es la nteraccón suelo-estructura, analzándose las construccones con un nuevo enfoque ntegrador suelo-cmentacón-superestructura, lo 4
cual descrbe el trabajo real de las obras, consderándose al suelo como un semespaco elástco, lo que nfluye en la redstrbucón de esfuerzos por toda la construccón. Esta línea de nvestgacón usa los modelos matemátcos y físcos, tenendo aún un snnúmero de espectros por resolver, que merecen un trabajo centífco sero. En el Análss Estructural se calculan armaduras, vgas, pórtcos, arcos, losas, placas, bóvedas, cúpulas, cascarones, reservoros, puentes, cables, estructuras sobre bases elástcas e nelástcas, membranas y otros. 5
CAPTUO ARCOS TRARTCUADOS. ANASS CNEATCO Un arco trartculado plano, es un sstema estátcamente determnado, formado por dos barras curvas y undas por una artculacón o rótula. Donde: a condcón de establdad geométrca del arco se comprueba por la sguente fórmula: G.. - grado de ndetermnacón del sstema; G.. D A R (.) D A R - número de dscos; - número de artculacones o rótulas smples; - número de reaccones. El arco sn trante (refuerzo) undo a la cmentacón (terra) forma tres dscos undos por tres artculacones, que no están en una msma línea (fgura.). Fg.. Tal sstema estructural, ante la accón de cargas vertcales posee componente de reaccón horzontal, llamado empuje. El arco con trante está formado por dos dscos, undos por una artculacón y una barra, cuyo eje no pasa por la rótula (fgura.). Fg.. as reaccones en los apoyos y los métodos de cálculo son los msmos que cuando se trata de una vga smple. En el caso del trante, el empuje lo absorbe dcho elemento y no los apoyos.. CACUO ANATCO.. ETODOOGA DE CÁCUO En el arco sn trante, las reaccones vertcales se determnan a partr de la sumatora de momentos respecto a los apoyos (fgura.4). A (.) B 6
a componente horzontal de la reaccón se determna a partr de la ecuacón de la sumatora de momentos respecto a la artculacón C, analzando la parte zquerda o derecha del arco. C (.) El momento flector en tal punto del arco es gual a la suma de los momentos de todas las fuerzas ubcadas a un lado de la seccón, es decr, zquerda o derecha. a fuerza cortante en tal seccón es gual a la suma de las proyeccones de todas las fuerzas, ubcadas a un lado de la seccón, sobre el eje perpendcular a la tangente que forma con el eje del arco. a fuerza axal o normal en tal seccón es gual a la suma de las proyeccones de todas las fuerzas, ubcadas a un lado de la seccón, sobre el eje paralelo a la tangente que forma con el eje del arco. El momento flector es postvo s traccona las fbras nferores del arco y es negatvo en caso opuesto. as fuerzas cortantes serán postvas s gra en sentdo horaro la seccón analzada del arco. En caso contraro será negatva. ocho. a fuerza normal es postva en el caso de traccón y negatva en compresón. Para efectos de cálculo se dvde el arco en tramos, cuyo número no debe ser menor de os momentos flectores, fuerzas cortantes y fuerzas axales en una determnada seccón y bajo la accón de fuerzas vertcales, se determnarán a través de la sguente fórmula: Donde: v v N V v H.y v V cos ϕ Hsenϕ (.4) v (V senϕ + H cos ϕ), V - momento y fuerza cortante en la seccón de la vga smplemente apoyada y con longtud gual a la luz del arco; - ordenada, calculada de la línea que une los apoyos hasta el centro de la seccón ϕ analzada (hasta el eje del arco); - ángulo que forma la tangente en un punto determnado con el eje del arco y la H línea horzontal; - empuje del arco. Cuando el arco es reforzado con trantes, los valores de 7, V y N hasta el nvel del trante, se determnan por la fórmula.4 cuando H y superor al nvel del refuerzo, tambén se calculan por dcha fórmula, pero con la condcón que H, sendo H la fuerza en el trante y la ordenada " y" se calculará a partr del nvel del refuerzo. Para determnar la fuerza que surge en el trante, se hace un corte y se elaboran las ecuacones de momentos de las fuerzas ubcadas a la zquerda o derecha (así como el del trante) de la artculacón C, en forma análoga a la obtencón del empuje del arco sn refuerzo por la fórmula..
El ángulo ϕ se determna a partr de la relacón ecuacón de la forma del arco. S el arco tene forma de parábola cuadrátca, entonces: 4f y x( x) dy tg ϕ, donde y f (x) es la dx (.5) dy 4f tgϕ ( x) dx En el caso que el arco tenga la forma snodal, se tendrá: y tgϕ π.x fsen (.6) dy dx π.f π.x cos Para el caso de arco, cuyo eje tene la forma de un arco de crcunferenca (fgura.), es mejor trabajar con las sguentes ecuacones: x r(senα senϕ) (.7) y r(cos ϕ cos α) Sendo: sen α r r f cosα r r + 8f f Fg.... CACUO DE ARCO SN TRANTE Se pde analzar un arco trartculado sn trante, tal como se muestra en la fgura.4, sendo la ecuacón de su eje tpo snodal. 8
Fg..4 ncamos el cálculo, determnando las característcas geométrcas de su eje, sendo la ecuacón del eje del arco la sguente (fórmula.6): y π.x 8sen (.8) Se toma como nco de las coordenadas el centro del apoyo A. El ángulo de nclnacón de la tangente en dcho punto respecto a la línea horzontal se determna tambén por la fórmula.6: tg π.8 π.x π.x cos,57 cos ϕ (.9) Generalmente, la luz del arco se dvde en 8 a 6 ntervalos guales. En este caso asummos ntervalos de m cada uno. Como resultado tenemos seccones regulares, en las cuales se deben de calcular sus característcas geométrcas y dagramas de fuerzas nternas. Tambén es necesaro calcular las seccones nfntamente cercanas al punto de accón de la carga puntual, es decr, a la zquerda (-) y a la derecha (+), sendo en total seccones de cálculo, tal como se muestra en la fgura.5,a. Nº de seccón os resultados de cálculo se dan en la tabla.. x (m) y (m) Tabla. tg ϕ ϕ (rad) sen ϕ cos ϕ,57,9,78,6,47,95,874,767,64 4 4,7,7,794,7,7 4 6 6,47,79,66,594,84 5 8 7,6,88,7,6,9 6 8 7 7,6 -,88 -,7 -,6,9 8 4 6,47 -,79 -,66 -,594,84 9-5 5,66 -,889 -,76 -,664,747 9+ 5 5,66 -,889 -,76 -,664,747 6 4,7 -,7 -,794 -,7,7 8,47 -,95 -,874 -,767,64 -,57 -,9 -,78,6 9
Nº 4 5 6 7 8 9-9+ v (kn.m) 6, 64, 84, 96,,,,,, 8, 4, Determnamos las reaccones de los apoyos, a partr de las ecuacones de equlbro del arco: A ;..5 +.5 VB. V B kn B ; V A...5.5 V A kn Realzamos el control de los cálculos efectuados: F y ; +. El empuje lo determnamos a través de la fórmula.: zq C ;..5. + H.8 H,5kN Para determnar las fuerzas nternas utlzamos la fórmula.4. El resultado de los cálculos se muestra en la tabla.. H.y (kn.m) -,9-58,8-8,9-95, - -95, -8,9-7,8-7,8-58,8 -,9 (kn.m) 5, 5,,,9 4,9 9, 9, 9,, 9, v V (kn), 6,, 8, 4, -, -, -, -, V v cosϕ (kn),4, 8,4 6,4,7-4,9-4, -,8 -,4 Tabla. Hsen ϕ (kn) -9,8-9,6-8,9-7,4-4,5 4,5 7,4 8, 8, 8,9 9,6 9,8 V (kn),6,7 -,5 -, -,8 4,5 7,4 8, -6,6-5, -, -,6 senϕ V v (kn) 5,7, 8,6 4,7,4, 4, 5, 5,7 H cosϕ (kn) 7,8 8, 8,8,,7,5,7, 9, 9, 8,8 8, 7,8 N (kn) -,5 -, -7,4-4,8 -, -,5 -,7 -, -9, -,6 -, -, -,5 fgura.5: Todos los esquemas de cálculo y dagramas de fuerzas nternas se muestran en la a) El arco con sus cargas, dmensones y seccones de cálculo. b) a vga correspondente al arco trartculado, con la msma luz y las msmas cargas. c) os dagramas de momento flector en la vga d) El dagrama de momento flector del arco. e) El dagrama de fuerza cortante en la vga f) os dagramas V v cos ϕ y Hsen ϕ. v V. g) El dagrama de fuerza cortante en el arco V. h) os dagramas V v senϕ y cos ϕ H. v y H. y.
) El dagrama de fuerza axal o normal del arco N.
Fg..5.. CACUO DE ARCO CON TRANTE Determne en forma analítca las fuerzas nternas en el arco trartculado con trante y grafque el dagrama de esfuerzos normales en la seccón más pelgrosa, consderando que es rectangular. El eje del arco tene la forma snodal (fgura.6).
Nº de seccón - + - + 4 5 6 7 8 9-9+ Fg..6 El cálculo lo ncamos determnando las característcas geométrcas del eje del arco, tan gual como en el problema anteror. Dvdmos el eje del arco en 8 partes y al punto donde se aplca la carga puntual elegmos una seccón adconal (fgura.6, seccón ). cuando Calculamos las característcas geométrcas del eje del arco, por ejemplo en la seccón 7, x 5m y a partr de la fórmula.6 tenemos: 8.5 y 8sen 7,9m 4 π.8 tgϕ 4 8.5 cos,4 4 as característcas geométrcas de los puntos del arco se muestran en la tabla.. x (m) 4 4 6 9 5 8 4 y (m),6,6 4, 4, 5,66 7,9 8, 7,9 5,66,6,6 tg ϕ,47,967,967,97,97,74,4 -,4 -,74 -,967 -,967 -,47 Tabla. ϕ (grad) 46, 44,4 44,4 4, 4, 6,5,85 -,85-6,5-44,4-44,4-46, sen ϕ,7,695,695,67,67,595,7 -,7 -,595 -,695 -,695 -,7 cos ϕ,69,79,79,74,74,84,98,,98,84,79,79,69
Nº - + - + 4 5 6 7 8 9-9+ v (kn.m) 58, 58, 77, 77, 8,98 9,97,96 5, 88, 5, 5, Como el ángulo ϕ del semarco de la derecha CB se encuentra en el cuarto cuadrante, es, por ello, que el sen ϕ es negatvo. Determnamos las reaccones en los apoyos a partr de las sguentes ecuacones de equlbro: A ; 6.4 +..8 VB.4 V B,67kN B ; 6...6 + VA.4 V A 9,kN Realzamos el control de los cálculos efectuados: F y ;,67 + 9, 6. a fuerza nterna en el trante se determna de la condcón que el momento flector en la artculacón C es cero: C ; 9,. 6.8 H.4,94 H,4kN Para determnar las fuerzas nternas en las seccones transversales del arco utlzamos la fórmula.4: Donde: N V v H(y a) v V cos ϕ Hsenϕ v (V senϕ + H cos ϕ) a - dstanca de la línea de los apoyos AB hasta el trante. os resultados del cálculo se muestran en la tabla.4. H(y a) (kn.m) -9,78-9,78-54,7-9, -,96-9, -54,7 (kn.m) 58, 58, 57,54 57,54 9,8,87,9, 5, 5, v V (kn) 9, 9, 9, 9,,,,, -,67-8,67-4,67-4,67 -,67 V v cosϕ (kn),6,9,9 4,,47,68,9, -,48-6,97 -,55 -,55-4,8 Tabla.4 Hsenϕ (kn) -4,6-4,4-4,4 -,5-7,8 7,8,5 4,6 V (kn),6,9 -,7,8 -,67-9,84-4,74, 5,5 5,55 4,7 -,55-4,8 senϕ V v (kn),98,4,4,99,4,98,4,99 5,6,, 4,94 H cosϕ (kn) 5, 5,59 5,59 6,9 9,5,4 9,5 6,9 5, N (kn) -,98 -,4-8,56-8,58-7,8-8,9 -,77 -,4 -,5 -,8-5, -, -4,94 4
5 Fg..7
fgura.7: Todos los esquemas de cálculo y dagramas de fuerzas nternas se muestran en la a) a vga correspondente al arco trartculado, con la msma luz y cargas. b) Dagrama de momento flector en la vga. c) Dagrama de fuerza cortante en la vga. d) Dagramas y H(y a). El dagrama H(y a) v en la seccón 9. 6 se nca en la seccón y termna e) Dagrama de momento flector del arco, mostrado en el eje horzontal. f) Dagramas V v cosϕ y Hsen ϕ. g) Dagrama de fuerza cortante en el arco, mostrado tambén en el eje horzontal. h) Dagramas senϕ V v y cosϕ H. ) Dagrama de fuerza axal o normal en el arco. En las zonas no cargadas o en las zonas con cargas unformemente dstrbudas, todos los dagramas en dchos tramos son curvos. En los lugares donde actúan las cargas puntuales, en los dagramas se tenen varacones. En las seccones donde actúan los momentos, en el dagrama debe haber una varacón gual al valor de dcho momento, y en la seccón donde actúa una carga vertcal puntual, el dagrama dagramas V y varía en forma nclnada tangente a la curva del arco y los N tenen varacones gual a P cosϕ y Psen ϕ. En el punto donde actúe una carga puntual horzontal (en el presente problema en los nudos extremos del trante), en el dagrama Hsen ϕ y compuesta: Donde: exstrá un pco y en los dagramas H cosϕ respectvamente. V y N se tendrán varacones guales a os esfuerzos normales se determnan por la conocda fórmula de resstenca σ mn N N 6Ne N 6e ± ± ± A S A bh A h máx (.) e - excentrcdad de la accón de la fuerza axal o normal. e (.) N Determnamos el esfuerzo en la seccón +, es decr cerca al apoyo A, pero superor al trante y de acuerdo a los dagramas tenemos 58kN.m y N-8,56kN. A través de fórmulas muy conocdas, determnamos las dmensones de la seccón transversal del arco en el ntervalo: h. 4 (.) h b
De donde: 4 h 4 b cm 6cm A bh.6 8cm 58 e 8,56,m En la fgura.8 se muestra el núcleo de la seccón y el punto de aplcacón de la fuerza axal excéntrca. os esfuerzos normales son: σ σ máx 856 8. 856 8. 4 6., + 8kPa,6 6.,,6 mn 4 6kPa Fg..8 En la fgura.9 se muestra la dstrbucón de esfuerzos normales en la seccón transversal y la aplcacón de la fuerza axal N. Fg..9 Por cuanto el punto de accón de la fuerza axal se encuentra fuera del núcleo de la seccón (fgura.8), entonces en el arco se tendrán esfuerzos de traccón, recomendándose el uso de acero o concreto armado como materales del arco. 7
. CACUO ANTE CARGAS OVBES.. NEA DE NFUENCA DE AS REACCONES Ubcamos una carga untara vertcal P a una dstanca x del apoyo zquerdo (fgura., a) y efectuamos la sumatora de momentos respecto a los apoyos: as expresones B ; V A ( x) ; A ; V B.x ; V A y apoyada, en consecuenca, las líneas de nfluenca de V A V B x V B concuerdan con las reaccones de una vga smplemente V A y x V B no se dferencan de las líneas de nfluenca de las reaccones en los apoyos de una vga smple, tal como se muestra en la fgura., b, c. Fg.. El empuje H se determna por la expresón: H f v C (.) S la fuerza P se desplaza, entonces la fórmula. se transforma en:.. C f v..h (.4) De esta manera, la línea de nfluenca del empuje H se forma como la multplcacón de las ordenadas de la línea de nfluenca del momento flector en la seccón C de la vga correspondente por la magntud f. a línea de nfluenca se muestra en la fgura., d. 8
.. NEA DE NFUENCA DE AS FUERZAS NTERNAS a) NEA DE NFUENCA DE OENTO FECTOR Fg.. El momento flector en la seccón se determna por la fórmula: S la fuerza P se desplaza, entonces:.. De donde, la línea de nfluenca línea de nfluenca del momento flector v.. H. y v y...h es gual a la suma de dos líneas de nfluenca: v en la seccón de la vga smple (fgura., b) y la línea de nfluenca del empuje H, cuyas ordenadas se multplcan por y 9
(fgura., c). Sumando ambos gráfcos obtenemos la línea de nfluenca., d, e). El punto se encontrara en el punto (fgura D se denomna punto cero de la línea de nfluenca. S la carga P D, entonces el momento flector en la seccón es gual a cero (debdo a que la línea de accón de la reaccón pasa por el punto ) (fgura., a). a gualdad a cero de la línea de nfluenca del momento en el punto vene a ser la comprobacón de la veracdad de la obtencón de la línea de nfluenca Tal comprobacón es oblgatora y se llama comprobacón del punto cero. D,. b) NEA DE NFUENCA DE A FUERZA CORTANTE Fg.. Para grafcar la línea de nfluenca de la fuerza cortante utlza la sguente expresón: V V v cosϕ Hsenϕ S la fuerza P se desplaza, entonces se tendrá:..v cosϕ...v v senϕ...h V en la seccón, se
De donde, la línea de nfluenca de nfluenca v V, cuyas ordenadas se multplcarán por V es la suma de las dos líneas de nfluenca: línea cosϕ (fgura., b, línea abcd) y la línea de nfluenca del empuje H, cuyas ordenadas se multplcan por senϕ (fgura., b, línea aed). En la fgura., c se muestra la msma línea de nfluenca, pero cuyas ordenadas están ubcadas a partr del eje de la abcsa. El punto encuentra en el punto de accón de la reaccón D q se llama punto nulo de la línea de nfluenca D q, entonces la fuerza cortante V. S la fuerza P se V será cero en el punto (línea R A paralela a la tangente al arco en la seccón, en consecuenca, su proyeccón a la cortante del arco en la seccón será cero) (fgura., a). a gualdad a cero de esta ordenada es la comprobacón de la correcta gráfca de la línea de nfluenca V comprobacón del punto cero.. Tal comprobacón es oblgatora y recbe el nombre de c) NEA DE NFUENCA DE A FUERZA AXA O NORA Fg..
Para grafcar la línea de nfluenca de la fuerza axal o normal del arco, se utlza la sguente fórmula: N V senϕ v + H cos S la fuerza P se desplaza, entonces se tendrá:..n senϕ De donde, la línea de nfluenca línea de nfluenca...v v ϕ + cosϕ...h N en la seccón N es gual a la suma de dos líneas de nfluenca: v V, cuyas ordenadas se multplcarán por senϕ (fgura., b, línea abcd) y línea de nfluenca del empuje H, cuyas ordenadas se multplcarán por cosϕ (fgura., b, línea aed). En la fgura., c se muestra dcha línea de nfluenca, pero donde sus ordenadas están a partr del eje de la abcsa. El punto D n se llama punto cero de la línea de nfluenca N. Tal punto nulo es fctco, por cuanto la fuerza P se encuentra fuera del arco. a ordenada de la línea de nfluenca en dcho punto tambén es fctca. nfluenca a gualdad a cero de dcha ordenada es la comprobacón correcta de la línea de N. Tal comprobacón es oblgatora y se llama comprobacón del punto cero.
CAPTUO ARADURAS SOSTATCAS Se denomna ARADURA, al sstema, cuyo esquema de cálculo está compuesto por barras undas entre sí por artculacones o rótulas deales. En la práctca constructva, estas rótulas no se realzan y los nudos son rígdos (por ser más sencllo), pero la suposcón de rótulas deales en los nudos permte amnorar la dfcultad del cálculo. Para ello, las cargas deben ser aplcadas en los nudos. En los esquemas de cálculo de las armaduras, las rótulas no se muestran, pero esto no mplca que no exstan. a característca especal del estado esfuerzo-deformacón de las armaduras, vene a estar dado por el trabajo de cada barra en traccón o compresón, por ello, su característca prncpal es la fuerza axal o normal, que orgnará alargamento o acortamento de la msma. Antes del cálculo de la armadura, se recomenda realzar el análss cnemátco. S la armadura es geométrcamente estable y estátcamente determnada, entonces se podrá efectuar su cálculo, el cual consste en la determnacón de las fuerzas nternas en todas las barras, debdo a la accón de la carga muerta (peso propo) y cargas vvas. Todas las cargas se aplcan en los nudos y consecuentemente son cargas puntuales.. ANASS CNEATCO El objetvo del análss cnemátco de la armadura, es la determnacón del esquema de cálculo como sstema geométrcamente estable. Desde el punto de vsta del análss cnemátco, el esquema de cálculo de la armadura es un sstema, cuyos elementos prncpales son los nudos, undos entre sí por barras. Donde: El grado de ndetermnacón de la armadura se determna por la fórmula: G.. G.. - grado de ndetermnacón del sstema; B N - número de barras (ncludo los apoyos); - número de nudos. B N (.) Para que la armadura sea geométrcamente estable, será necesaro que se cumplan las sguentes condcones: G.. - para las armaduras undas a terra; G.. - para las armaduras no undas a terra. S la armadura no cumple con estas condcones es geométrcamente nestable. En certos casos, el cumplmento de estas condcones no es sufcente para ndcar que el sstema es geométrcamente estable. Para que el sstema sea estable, se debe de cumplr una condcón adconal la armadura debe estar correctamente formada. a comprobacón de la correcta formacón de la armadura, se puede realzar aplcando los sguentes prncpos: a) Cuando se analza un sstema compuesto por dscos, es mportante consderar los apoyos de la estructura, llamándose dsco de la terra, al dsco formado por los apoyos de dcha armadura.
Para ello, es necesaro reemplazar el esquema de apoyo fjo y movble, por sus equvalentes de barras mostradas en la fgura.. Fg.. b) Un sstema sencllo geométrcamente estable, es aquel dsco que se une por medo de un nudo con dos barras, que no se encuentran en una msma línea. De esta manera, se unen tres barras por medo de tres nudos formando un trángulo. Se entende por dsco smple, a una barra de la armadura analzada como elemento prncpal y no como conexón. c) Dos dscos undos por tres barras, que no se ntersecan en nngún punto, forman un sstema geométrcamente estable. d) Dos dscos que se unen por una rótula y una barra, que no pasa por esta artculacón, tambén forma un sstema geométrcamente estable. e) Tres dscos undos por tres rótulas, que no se encuentran en una msma línea, forman el denomnado sstema geométrcamente estable. f) Dos barras que unen a dos dscos, es equvalente a una rótula fctca, que se encuentra en la nterseccón de los ejes de las barras. os prncpos ndcados, nos permten analzar cualquer tpo de armadura, por más compleja que sea, pudendo realzarse por etapas y aplcando smultáneamente cualquer prncpo. os sstemas geométrcamente estables se dvden en estátcamente determnados o sostátcos y estátcamente ndetermnados o hperestátcos. S el sstema es geométrcamente estable y G.., cuando está undo a la terra o G.. para el sstema no undo a la terra, entonces la armadura será sostátca. A contnuacón, analzamos algunos ejemplos del análss cnemátco: EJEPO. Comprobar que la armadura mostrada en la fgura. es geométrcamente estable. Fg.. Como el número de barras es B 8 y nudos N 9, se tendrá que el número de grados de ndetermnacón es: G.. 8.9 4
Ahora comprobamos la correcta formacón de la armadura, para que sea geométrcamente estable. Aplcamos el prncpo b), debdo a que la barra ab está unda con el nudo C por medo de dos barras, que no se encuentran en una msma línea. En forma análoga se unrán con los nudos d, e, f, g, h,. Fnalmente, aplcamos el prncpo c) para unr este dsco con el de la terra, a través de tres barras, que no se ntersecan en nngún punto, demostrándose la correcta formacón de la armadura, la cual es geométrcamente estable y estátcamente determnada. EJEPO. Comprobar que la armadura de la fgura. es geométrcamente estable e sostátca. Fg.. El número de grados de ndetermnacón es: G.. 6.8 Ahora comprobamos la correcta formacón de la armadura, para ello, aplcamos el prncpo b), formando las armaduras-dscos (nudos a, b, c, h) y (nudos d, e, f, g). En la fgura. se muestran a los dscos en forma punteada. os dos dscos ( y ) están undos por tres barras ad, cf, gh, los cuales no se ntersecan en nngún punto, cumpléndose con el prncpo c). A su vez, este dsco se une con el de la terra por otras tres barras que tampoco se ntersecan en nngún punto, hacendo de la armadura un sstema correctamente formado, geométrcamente estable e sostátco. EJEPO. Realzar el análss cnemátco de la armadura mostrada en la fgura.4. Fg..4 5
Calculamos el número de grados de ndetermnacón: G...5 Aplcando el prncpo e), se forman los dscos y, los cuales están undos entre sí por una rótula C y una barra de, la cual no pasa por dcha rótula, aplcándose el prncpo d). El dsco obtendo está undo con el dsco de la terra por tres barras, que no se ntersecan en un msmo punto, sendo la armadura estátcamente determnada y geométrcamente estable. EJEPO 4. Efectuar el análss cnemátco de la armadura mostrada en la fgura.5. Fg..5 Calculamos el número de grados de ndetermnacón: G.. 4.7 os trángulos geométrcamente nvarables abc, cde y la barra fg se analzarán como dscos, y. a unón de dchos dscos se realza de la sguente manera: los dscos y se unen por medo de la rótula C; los dscos y se unen por dos barras que forman la rótula fctca h, que se encuentra en la nterseccón de las líneas de las barras dg y ef (prncpo f); los dscos y se unen análogamente por la rótula fctca. En consecuenca, los tres dscos se unen por tres rótulas (c, h, ), que no se encuentran en una msma línea, formando un dsco geométrcamente estable, el cual a su vez se une con el dsco de la terra, por medo de tres barras, que no se ntersecan en un msmo punto, hacendo que la armadura sea geométrcamente estable y estátcamente determnada.. DETERNACON DE AS REACCONES EN OS APOYOS Antes de determnar las fuerzas nternas en las armaduras, se debe ncalmente calcular las reaccones en los apoyos, los cuales se pueden obtener de dos formas: analítcamente y gráfcamente. Cuando se calculan las reaccones en forma analítca, se pueden aplcar una de las tres sguentes fórmulas: F X F Y (.) A 6
fórmula: S el eje OX no es perpendcular a la línea AB, se puede aplcar la fórmula.: A B (.) F X Cuando los puntos A, B, C no se encuentran en una msma línea, se puede aplcar la sguente A B (.4) C Otra de las formas, es el método gráfco de axwell-cremona, el cual tene sus nconvenentes, por ser nexacto en un ±5%, lo cual en la actualdad no es adecuado, n ventajoso, más aun tenendo en cuenta el uso de la nformátca. Para calcular las reaccones, se deben de tener en cuenta las sguentes recomendacones: a) Para armaduras tpo voladzo, no es necesaro determnar sus reaccones. En este caso, las fuerzas nternas se pueden calcular analzando la parte del volado de la armadura. b) En el caso de armaduras smplemente apoyadas (un apoyo fjo y otro movble), las reaccones se pueden determnar por las fórmulas. o.. c) En las armaduras complejas (fgura.4), prmero se calculan las reaccones en los apoyos y luego se analza la parte zquerda o derecha de la rótula C, determnándose la fuerza nterna en la barra de. zq. C der. C C C (.5) d) En el caso de armaduras trartculadas con apoyos fjos, surge reaccón horzontal (empuje), hasta en casos de accón de solo fuerzas vertcales. En este tpo de armaduras se calculan sus reaccones a través de la fórmula. y, fnalmente, para el corte en el nudo C elegdo (derecha o zquerda) se aplcará la fórmula.5.. BARRAS NUAS as barras, cuyas fuerzas nternas son ceros, se denomnan BARRAS NUAS. Esto no mplca que dchas barras no sean necesaras en el esquema de la armadura. De un lado, s se camban las cargas, dchas barras nulas pueden empezar a trabajar y, de otro lado, las barras nulas son necesaras para conectar los cordones superor e nferor de la armadura, dsmnuyendo de esta manera su longtud de cálculo y, con ello, dsmnuye su flexbldad, que es un punto mportante para la eleccón de las seccones. El proceso de aparcón de las barras nulas se recomenda realzarlo después de determnar las reaccones y habendo efectuado las comprobacones del caso. Como es conocdo, la aparcón de las barras nulas nos permte hacer más sencllo el cálculo de la armadura. 7
Para determnar las barras nulas, es necesaro que se cumplan los sguentes prncpos: a) S dos barras que se unen en un nudo no cargado y tampoco se encuentran en una msma línea, entonces ambas barras son nulas (fgura.6, a). b) S tres barras se unen en un nudo no cargado de una armadura, estando dos de ellos en una msma línea y la tercera forma un certo ángulo con esta línea; entonces esta últma barra es nula (fgura.6, b). c) S dos barras se unen en un nudo cargado, cuya fuerza actúa a lo largo de una barra, entonces la otra barra será nula (fgura.6, c). Fg..6.4 DETERNACON DE FUERZAS NTERNAS EN AS BARRAS DE A ARADURA Para determnar las fuerzas nternas en las barras de la armadura en forma analítca, fundamentalmente se utlzan dos métodos: a) étodo de los nudos b) étodo de las seccones ETODO DE OS NUDOS Se hace un corte en el nudo donde se unen dos barras como ncógntas y se encuentran las fuerzas nternas a través de las ecuacones de equlbro.6: F X (.6) F Y uego, se contnúa con otro nudo, donde tambén hay dos ncógntas y así sucesvamente, encontrando todas las fuerzas nternas en las barras de la armadura. Por ejemplo, para la armadura de la fgura., la secuenca de análss de los nudos es, h, g, f, e, d, c, b, a. En cada caso, los valores determnados nos servrán para contnuar con el sguente nudo y así consecutvamente hasta conclur con el cálculo. ETODO DE AS SECCONES Se efectúa hacendo un corte en la seccón de la armadura, dvdendo a la estructura en dos partes, cada una de las cuales se encuentra en equlbro, pudendo aplcar las fórmulas. o.4. S en la seccón de corte están barras, entonces se pueden aplcar las ecuacones comunes de equlbro estátco. El caso de la fórmula.4 es cuando las líneas de accón de dos barras se encuentran en un punto ndcado y es entonces que la sumatora de momentos se hace respecto a este punto para determnar la fuerza nterna de la tercera barra. En el caso que la línea de nterseccón de dos barras sea el nfnto, entonces se aplcará la sumatora de proyeccones en el eje perpendcular a dchas barras, determnando el valor de la fuerza nterna de la tercera barra. 8
En muchos casos, se puede aplcar en forma alterna los métodos de los nudos y las seccones. A contnuacón, analzamos dos ejemplos de determnacón de fuerzas nternas: EJEPO 5. Determnar en forma analítca las fuerzas nternas en las barras fh, gh, g de la armadura trartculada mostrada en la fgura.7, a. Fg..7 Calculamos las reaccones a partr del sstema de ecuacones: A ; V B.6 5. 5.6 V B,5kN der C ;,5.8 H B.8 H B,5kN F X ; H A,5 H A,5kN F Y ; V A +,5 5 5 V A 7,5kN seccón Para determnar las fuerzas nternas en las barras marcadas, cortamos la armadura en la y analzamos la parte zquerda de la msma (fgura.7, b), consderando que las fuerzas nternas son de traccón. 9
Ahora calculamos la fuerza F g a través de la ecuacón de momentos respecto al punto h, que concuerda con el centro del nudo: zq fuerza h ; 7,5.5,5.7 5. Fg.,4 F g,5kn Ahora analzamos las ecuacones de los momentos respecto a la rótula en C, determnando la F gh : zq C ; 7,5.8,5.8 5.6 + Fgh.,5 F gh,95kn Para determnar la fuerza F fh realzamos la sumatora de momentos respecto al punto g: zq g ; 7,5.4,5.4 5. + Ffh.,5 F fh,95kn EJEPO 6. Efectuar el análss cnemátco y descrba el proceso de la determnacón analítca de las fuerzas nternas de la armadura mostrada en la fgura.8, a. Fg..8
Determnamos el grado de ndetermnacón del sstema: G...6 a armadura ha sdo formada por dscos trangulares rígdos Bcd () y Aef (). os dscos y se unen por medo de tres barras Ac, de, fb, que no son paralelas, n se ntersecan en nngún punto. A estas barras los llamaremos de unón. Consecuentemente, la armadura se une con la terra por dos conexones en el apoyo A y una conexón en el apoyo B. De esta manera, la armadura fue formada correctamente, es estátcamente determnada y geométrcamente estable. Ahora determnamos las reaccones en los apoyos: F X ; H A A ; V B.9,4,.,4,8.,5,8.5,9 V B,98kN F Y ; V A +,98,.,8 V A,8kN Posterormente, determnamos las fuerzas nternas en las barras de unón, para ello hacemos un corte en el dsco (fgura.8, b), cortando las barras Ac, de, fb. as barras Bc y Bd tambén se cortan, pero dos veces, sendo equvalentes por la condcón de equlbro, es decr: F BC F CB F BD F DB Esto quere decr, que en cualquer ecuacón, las fuerzas se elmnan, porque actúan en una msma línea. F BC y F CB, F BD y F DB mutuamente a parte de la armadura analzada será solamente calculada para determnar las tres fuerzas nternas desconocdas F AC, F DE, F FB. De la sguente ecuacón se obtene: k ; F FB.4,5,8.,8 +,8., + F FB,84kN Análogamente, de las ecuacones k y k se pueden determnar las fuerzas nternas F DE y F AC. Ahora analzamos el nudo f, conocendo que la fuerza el nudo (sgno menos ) (fgura.8, c), obtenemos las ecuacones: F X ; FFE.cosα FFA.cosβ,84cos γ F Y ; FFE.senα FFA.senβ +,84senγ Sendo: sen α,496 ; cos α, 868 sen β,4 ; cos β, 97 sen γ,89 ; cos γ, 57 De donde se obtene: F FB es conocda y está orentada haca
F FE,8kN F FA,75kN Análogamente, se pueden determnar las fuerzas en el resto de barras..5 CACUO ANATCO DE ARADURA SOSTATCA a armadura mostrada en la fgura.9 tene una longtud 4m ; con una luz entre armaduras (en el plano) de b 6m ; altura de la edfcacón H 8m ; longtud de la edfcacón B 6m ; factor de sobrecarga para la carga muerta n, ; p a,kn / m (peso de la armadura); p c,6kn / m (peso de la cuberta); p l (peso del larguero); factor de sobrecarga para la carga de neve n, 4 ; p (peso normatvo de la neve); factor de,kn / m sobrecarga para la carga de vento n, ; presón del vento Se pde: q.,4kn / m ) Calcular la armadura ante la carga muerta (peso propo), de neve y de vento. ) Determnar las fuerzas nternas en las tres barras marcadas en la fgura.9. ) Comprobar las fuerzas nternas en estas tres barras a través de las líneas de nfluenca neve en la parte zquerda de la armadura. Fg..9
ANASS CNEATCO DE A ARADURA a) Condcón necesara: b) Condcón adconal: G.. 8.4 a armadura ha sdo formada por trángulos, los cuales forman un dsco que se une a la terra por medo de tres barras (dos en el apoyo fjo y uno en el apoyo movble) que no se ntersecan en nngún punto, hacendo que el sstema sea correctamente formado, sencllo, estátcamente determnado y geométrcamente estable. CACUO DE A ARADURA ANTE A CARGA UERTA (PESO PROPO) a) Determnamos las cargas puntuales: Como en la armadura: 6 tg α, Consecuentemente: sen α,6 ; cos α, 949 P d n pabd + pcb + plb cosα p.p. (.7) α 8,48 8 5 De ello, se desprende que la carga puntual del peso propo se puede calcular por la sguente fórmula aproxmada: Donde: p q d P.p. nqbd p (.8) l pa + pc +,8kN / m - sumatora de la carga normatva constante en m de área bd 6.4 trbutara de la edfcacón; 4m - área trbutara del nudo del cordón superor de la armadura. P p.p.,.,8.4 47,5kN 48kN El esquema de aplcacón de las cargas se muestra en la fgura.. Fg..
b) Determnamos las reaccones en los apoyos: V A 6.48 VB 44kN c) Calculamos analítcamente las fuerzas nternas en las tres barras marcadas de la armadura (fgura.). Fg.. 4 + ; S 5.5,7 44. 4. 48.8 48.4 S 4 5 4 5,6kN 5 + + + ; S 4.,7 48.4 48. 4.6 44.6 S 5 4,5kN 4 + ; S 9.4,7 48.4 4.8 44.8 S 4 9 6,4kN CACUO DE A ARADURA ANTE A CARGA VVA NEVE EN A PARTE ZQUERDA DE A ARADURA a) Determnamos las cargas puntuales: Donde: P npcbd n (.9) c - coefcente dependente del ángulo de nclnacón de la cuberta, que caracterza el grado de retencón de la neve en la cuberta. Para cubertas a dos aguas el coefcente c se determna por la relacón: Cuando Cuando α 5 c, α 6 c Para valores ntermedos de c lneal. En nuestro caso c,. ( 5 < α < 6 ) se permte calcularlo por medo de nterpolacón
P n,4...6.4,6kn 4kN El esquema de aplcacón de las cargas neve en la parte zquerda de la armadura se muestra en la fgura.. Fg.. b) Determnamos las reaccones en los apoyos: A ; V B.4 4.4 4.8 7. V B 5,5kN F Y ; V A + 5,5 7 4 4 7 V A 76,5kN c) Calculamos analítcamente las fuerzas nternas en las tres barras marcadas de la armadura (fgura.). Fg.. ; S 4 5.5,7 + 76,5. 4.4 4.8 7. S 4 5 5,7kN ; S 5 4.,7 + 4.4 + 4. + 7.6 76,5.6 S 5 4,5kN ; S 4 9.4,7 4.4 7.8 + 76,5.8 S 4 9 7,kN 5
Según las normas nternaconales se tendrán que hacer tres cálculos: neve en la parte zquerda de la armadura, neve en la parte derecha de la armadura y neve en toda la armadura. Como en este caso la carga de neve es vertcal y smétrca, se puede hacer sólo el cálculo neve en la parte zquerda de la armadura. Cuando se cambe la carga a la parte derecha, las reaccones y fuerzas nternas cambarán smétrcamente al otro lado de la armadura. Aplcando el prncpo de superposcón, las fuerzas nternas debdo a las cargas neve en toda la armadura será gual a la suma de las fuerzas nternas de neve en la parte zquerda de la armadura y neve en la parte derecha de la armadura. CACUO DE A ARADURA ANTE A CARGA VVA VENTO EN A PARTE ZQUERDA DE A ARADURA a) Determnamos los coefcentes aerodnámcos: os coefcentes aerodnámcos caracterzan el grado y la dreccón de la accón del vento sobre la superfce. Este coefcente depende de la orentacón de la superfce en relacón con la accón del vento, relacón entre las dmensones de la edfcacón, forma de la estructura. El sgno + ndca que el vento golpea a la estructura y el sgno - que el vento se despega de la superfce de contacto. Para edfcacones con lados vertcales, el factor de forma para el lado de barlovento es de,8. Como en nuestro caso el vento actúa en la parte zquerda de la armadura, tenemos: c +,8 Ahora analzamos el caso del problema de determnacón de los coefcentes aerodnámcos (tablas. y.) para una cuberta a dos aguas (fgura.4): Fg..4 6
Tabla. H / Coefcente α,5 c 4 6 +, +,4 +,8 -,6 -,4 +, +,8 -,7 -,7 -, +,8 -,8 -,8 -,4 +,8 c -,4 -,4 -,5 -,8 Coefcente c Tabla. H / B /,5 -,4 -,5 -,5 -,6 -,6 -,6 El factor de forma para la parte zquerda de la cuberta a dos aguas será: Cuando Cuando H 8 α,, 75 c, 65 4 H 8 α,, 75 c, 55 4 Por nterpolacón lneal, determnamos el valor de c para el ángulo c 8,48,55 (,65,55),56 El factor de forma para la parte derecha de la cuberta a dos aguas será: H, c 45, Cuando, 75 El factor de forma para el lado de sotavento será: B Cuando H,, 75 c, 45 B Cuando H,, 75 c, 55 En nuestro caso,, 5 lneal. B 6, el coefcente c, 5 4 α 8,48 y se determna por nterpolacón El esquema del corte de la estructura con los coefcentes aerodnámcos se muestra en la fgura.5. 7
Fg..5 b) Determnamos las cargas puntuales (fgura.6): Donde: W c - coefcente aerodnámco (fgura.5); b 6m - dstanca entre armaduras en el plano; a - ancho del área trbutara por el contorno de la armadura. W W W W 4,.,4.,8.6.,,96kN kn 4,,.,4.(,56).6. 5,78kN 5,8kN cos α 4,,.,4.(,45).6. 4,64kN 4,6kN cos α,.,4.(,5).6., n q cba (.),kn,kn Fg..6 8
c) Determnamos las reaccones en los apoyos: Calculamos las resultantes de las cargas externas: R W. 4kN R W.5,8 7,4kN R W.4,6,8kN R 4 4 W.,,4kN uego tenemos: F X, H A + 4 +,4 7,4.,6 +,8.,6 H A 5,6kN A, V B.4 + (4 +,4)., 7,4.,6.4 +,8.,6.4 7,4.,949.6,8.,949.8 V B,87kN F Y, V A,87 + 7,4.,949 +,8.,949 V A 5,74kN d) Calculamos analítcamente las fuerzas nternas en las tres barras marcadas de la armadura (fgura.7). Fg..7, S 4 5.5,7 5,74. +. +,9.,7 + 5,8.6,5 + 5,8., S 4 5 8,4kN, S 5 4.,7 + 5,74.6 +.,9.6, 5,8.,5 5,8.4,7 S 5 4 4,8kN, S 4 9.4,7 5,74.8 + 5,6.4,7.4,7.,7 +,9.8,4 + 5,8.4, S 4 9 4,kN 9
CACUO DE A ARADURA ANTE A CARGA VVA VENTO EN A PARTE DERECHA DE A ARADURA a) as cargas puntuales y las reaccones se muestran en la fgura.8. Fg..8 b) Calculamos analítcamente las fuerzas nternas en las tres barras marcadas de la armadura (fgura.9). Fg..9, S 4 5.5,7,87.,. +,.,7 + 4,6.6,5 + 4,6., S 4 5 8,kN, S 5 4.,7 +,87.6,.,.6, 4,6.,5 4,6.4,7 S 5 4,6kN, S 4 9.4,7,87.8 5,6.4,7 +,.4,7 +,.,7 +,.8,4 + 4,6.4, S 4 9 8,76kN 4
En la tabla. se muestran los resultados de los cálculos de la armadura ante la carga muerta (peso propo); carga vva: neve en la parte zquerda, neve en la parte derecha, neve en toda la armadura; carga vva: vento en la parte zquerda y vento en la parte derecha de la armadura. Tabla. Barra Carga muerta Carga de neve (kn) Carga de vento (kn) (kn) zquerda Derecha Total zquerda Derecha S 4-5 S 5-4 S 4-9 -5,6-5,7-5,7-7,4 8,4 8, -,5 -,5, -, 4,8,6 6,4 7, 4,4 5,7-4, -8,76 NEA DE NFUENCA DE AS FUERZAS NTERNAS EN AS BARRAS DE A ARADURA a) Elaboramos las ecuacones de las líneas de nfluenca cuando la carga movble untara está a la zquerda o derecha del corte (tabla.4) Carga untara a la zquerda del corte der S4 5.5,7 R B. S, 4 5 R B Tabla.4 Carga untara a la derecha del corte S zq 4 5.5,7 + R A. S, 4 5 R A der S5 4.,7 R B. S S,9 5 4 R B der 4 9.4,7 R B.6 S,4 4 9 R B S zq 5 4.,7 R A.6 S,44 5 4 R A zq S4 9.4,7 + R A.8 S,7 4 9 R A En base a estos resultados, grafcamos las líneas de nfluenca de las reaccones en los apoyos y las fuerzas nternas en las barras 4-5, 5-4 y 4-9, tal como se muestra en la fgura.. b) Comprobamos a través de las líneas de nfluenca, los valores de las reaccones y fuerzas nternas de la armadura sometda a la carga vva neve en la parte zquerda. R R A B P y 7.+ 4.,8 + 4.,667 + 7.,5 76,5kN..R A P y 4.,67 + 4., + 7.,5 5,5kN..R B S 4 5 P y (4.,5 + 4.,7 + 7.,5) 5,55kN..S 4 5 S 5 4 P y 4.,7 4.,7 + 7.,,66kN..S 5 4 4
S 4 9 P y 4.,57 + 4., + 7.,85 7,5kN..S 4 9 Fg.. 4
En la tabla.5 se muestra la comparacón de resultados del cálculo analítco con el obtendo a través de las líneas de nfluenca y el error porcentual, tomando como resultado exacto el obtendo por el cálculo analítco. Tabla.5 Reaccón o fuerza nterna Cálculo analítco (kn) Cálculo por líneas de nfluenca (kn) Error porcentual (%) R A R B S 4-5 S 5-4 S 4-9 76,5 5,5-5,7 -,5 7, 76,5 5,5-5,55 -,66 7,5,8 -,48,7 4
CAPTUO ETODO DE AS FUERZAS En los dos prmeros capítulos se ndcó que las estructuras deben ser geométrcamente estables y fjas. a condcón necesara de este prncpo es el grado de ndetermnacón de la edfcacón que debe ser gual a cero o postvo. Desde el punto de vsta de formacón de la estructura, la condcón G.. < mplca que el sstema es geométrcamente nestable y no puede servr como esquema de cálculo; G.. ndca, que el número de conexones cnemátcas, que unen las dferentes partes de la estructura y fjadas a la terra es mínma necesara; G.. > mplca que el número de conexones cnemátcas que conforman la estructura supera el número mínmo necesaro. Desde el punto de vsta de cálculo, la condcón G.. mplca que la estructura es sostátca o estátcamente determnada. a condcón G.. > corresponde a estructuras hperestátcas o estátcamente ndetermnadas. En este caso es mposble determnar las fuerzas nternas a partr de las ecuacones de equlbro estátco. En general, para determnar el grado de ndetermnacón de una estructura, se puede utlzar la fórmula de Chebshev: Donde: G.. G.. - grado de ndetermnacón del sstema; D A R - número de dscos; - número de artculacones o rótulas smples; - número de reaccones en los apoyos. las fuerzas. (D A R) (.) Exsten varos métodos de cálculo de pórtcos hperestátcos, sendo uno de ellos del método de En este método el grado de hperestatcdad " n" se reemplaza en el proceso de cálculo por esquemas sostátcos, los cuales se obtenen elmnando " n" conexones, reemplazándolos por fuerzas desconocdas (,,...,n ) x. El nuevo esquema se denomna sstema prncpal del método de las fuerzas. Este esquema debe ser oblgatoramente geométrcamente estable y fjo, debendo ser sencllo para el cálculo. Al sstema prncpal se le aplca la accón externa (cargas, efecto de temperatura, asentamentos en los apoyos) del esquema ncal, así como las fuerzas desconocdas (,,...,n ) son las ncógntas prncpales que son necesaras calcularlas. 44 x. Estas fuerzas El sstema prncpal, que se encuentra bajo la accón de los factores ndcados, debe ser completamente equvalente al sstema ncal. En ella deben surgr las msmas fuerzas nternas y desplazamentos, que en el sstema ncal. En partcular, se puede analzar los puntos del sstema prncpal, en los cuales están aplcadas las fuerzas desconocdas (,,...,n ) dreccones de las desconocdas x. Se escrben los desplazamentos de estos puntos en las x. os desplazamentos ndcados se gualan a los desplazamentos
de los msmos puntos del sstema ncal. De esta manera, se obtene un sstema de " n" ecuacones algebracas con " n" ncógntas x, cuya solucón nos debe dar los valores de las fuerzas sstema de ecuacones se llama sstema de ecuacones canóncas del método de las fuerzas. Después de ello, es fácl determnar las fuerzas nternas en la estructura ncal. x. Este. GRADO DE NDETERNACON DE SSTEA fórmula: Donde: El grado de ndetermnacón de pórtcos planos se puede determnar aplcando la sguente G.. C - número de contornos cerrados del pórtco; C A (.) A - número de artculacones smples, ncluyendo las rótulas de los apoyos. Se llama rótula smple a aquella que une barras. a rótula que une " m" barras, es equvalente a m rótulas smples. El apoyo fjo es equvalente a una rótula smple y el apoyo movble (sobre rodllos) es equvalente a dos rótulas smples. del sstema. A contnuacón analzamos algunos ejemplos de determnacón del grado de ndetermnacón EJEPO. Determnar el grado de ndetermnacón del pórtco mostrado en la fgura.,a. Fg.. El pórtco tene contornos cerrados, y (fgura.,b). El apoyo movble D es equvalente a dos rótulas smples; la rótula C une a tres barras y es gual a dos rótulas smples. Consecuentemente, el número de rótulas es A 6. El grado de ndetermnacón del pórtco es: G... 6 El pórtco es tres veces estátcamente ndetermnado o hperestátco. 45