Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Trigonometrí Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos MATEMÁTICAS BÁSICAS TRIGONOMÉTRIA RAZONES Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Un ángulo es l porión de plno limitd por dos semirrets on origen en un mismo punto. Ls semirrets se llmn ldo iniil finl. Al origen omún se le denomin vértie del ángulo. Los ángulos positivos se miden en tido ontrrio ls gujs del reloj los negtivos en el mismo tido. L trigonometrí estudi ls reliones entre los ldos los ángulos de los triángulos. Su etimologí proviene de trigono triángulo metrí medid. Se el siguiente triángulo retángulo: hipotenus b teto opuesto α teto dente Se definen ls siguientes rzones trigonométris direts pr el ángulo α: o: oo: tngente: teto opuesto b α otngente: hipotenus teto dente os α sente: hipotenus teto opuesto b tn α osente: teto dente En términos de vribles, ls funiones trigonométris son: teto dente ot α teto opuesto se α s α hipotenus teto dente ot os se tn s hipotenus teto opuesto b b Reuérdese que l sum de los ángulos internos de un triángulo es 80º. Se entiende omo rzón l oiente que ompr dos ntiddes.
Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Trigonometrí Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos De ls definiiones nteriores, se puede onluir que: tn se os os os ot s tn En so de tener el vlor de l rzón trigonométri, pr obtener el ángulo, se pli l rzón trigonométri invers. Ls seis rzones trigonométris inverss pr el ángulo α son ls siguientes: o inverso: α otngente invers: α ot oo inverso: α os sente invers: α se tngente invers: α tn osente invers: α s En términos de vribles, ls funiones trigonométris inverss se definen omo : ot os se tn s RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Pr resolver triángulos retángulos, bst on onoer sólo dos dtos. Ls demás rterístis se pueden deduir plindo ls epresiones nteriores el teorem de Pitágors que estblee que el udrdo de l hipotenus de un triángulo retángulo equivle l sum de los udrdos de los tetos. Esto es: + b Ejemplos. Ddos los siguientes triángulos, obtener los dtos que fltn: ) 9 b? α? 4 Es importnte señlr que eisten otrs dos notiones pr ls funiones trigonométris inverss. Por ejemplo, pr l funión trigonométri invers del o es equivlente esribir: ng r ángulo uo o ro uo o. Lo mismo suede pr ls otrs ino funiones de este tipo., que respetivmente signifin
Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Trigonometrí Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos Soluión. Se sbe que α ) b 65 9 + b. Por lo tnto, despejndo se tiene: 9 0. 895 4 86 α 65 8. 06 ( 0. 895) 6. 50 b? 6 α 5 Soluión.? Por l definiión de oo: os 5 6( 089. ). 06 b ) 6.064 6 567.77 84. 9.77? b 0 α? 7 Soluión. Se sbe que b. Por lo tnto, se tiene: + 7 + 0 89+ 400 689 648. 0 tn α 76. α tn ( 76. ) 496. 7 4) Determinr l longitud de l sombr que se proet en el suelo por un person de. 80 metros prd er de un rbotnte u iluminión tiene un ángulo 48.
Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Trigonometrí Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos α 48 b. 8m. sombr? Soluión. Si se sbe que l sum de los ángulos de un triángulo es 80, omo α es 48, el ángulo que se form on el suelo es 80 90 48 4. Por lo tnto, se tiene:. 80. 80. 80 tn4 α metros tn4 0. 900 MEDIDAS DE UN ÁNGULO Ls uniddes de medid de ángulos ms onoids son los grdos, minutos segundos. Este tipo de medids está bsd en l división en prtes igules de un irunfereni. Ls equivlenis son ls siguientes: 60 un giro ompleto lrededor de un irunfereni 80 vuelt lrededor de un irunfereni 90 de vuelt 4 de vuelt, et. 60 rdián 57.9 rdines 60 60 rdines 4
Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Trigonometrí Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos Tmbién se puede definir otr unidd ngulr, el rdián, que en ls pliiones físis es más prátio direto que trbjr on grdos. L mgnitud de un ángulo medido en rdines está dd por l longitud del ro de irunfereni que subtiende, dividido por el vlor del rdio. El vlor de este ángulo es independiente del vlor del rdio; por ejemplo, l dividir un pizz en diez prtes igules, el ángulo de d pedzo permnee igul, independiente si l pizz es hi, medin o fmilir. De est form, se puede lulr fáilmente l longitud de un ro de irunfereni; solo bst multiplir el rdio por el ángulo en rdines. longitud derodelirunfereni ( ángulo en rdines)( rdiodel ir infereni) r, entones el ángulo de un irunfereni omplet, medido en rdines es. Como demás se sbe que este mismo ángulo, medido 60 en grdos mide 60, entones se puede definir un equivleni: rdián 57. 9. Y que se onoe el perímetro de un irunfereni de rdio unitrio ( ) A prtir de est iguldd, se puede determinr que: Grdos 0 0 45 60 90 0 5 50 80 0 5 40 70 00 5 0 60 Rdines 0 6 4 4 5 6 Pr onvertir un ángulo de grdos rdines o vievers, lo que debe herse es un regl de tres, onsiderndo que: 60 rdines. 7 6 5 4 4 5 7 4 6 Ejemplo. Trnsformr 5 rdines. Soluión. 60 rdines. Por lo tnto: 5 rdines ( rdines) 5 60 rdines Ejemplo. Trnsformr rdines grdos. 5 Soluión. 60 rdines 60 rdines 5. Por lo tnto: 7. rdines 5 rdines CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO Se llm sí un irunfereni de rdio uno on el entro en el origen de un sistem oordendo. Se puede onsiderr que el punto P que se utiliz pr lulr ls rzones trigonométris es el de interseión de uno de los vérties un triángulo equilátero unitrio on el írulo trigonométrio uo entro oinide on otro de los vérties del triángulo. Est onsiderión permite determinr el omportmiento de los segmentos 5
Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Trigonometrí Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos en el plno que repretn gráfimente ls rzones o oo, tl omo se muestr en l siguiente figur: P α teto opuesto α os α teto dente VALORES NOTABLES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS En l figur nterior, l mover el ángulo en l direión mostrd, los segmentos vertiles repretn ls rzones o los horizontles ls rzones oo. Estos vlores dependen de l orientión de los segmentos, por lo que ellos determinn el signo de ests rzones. Además, debido que l tngente es igul l oiente del o entre el oo, que l otngente, l sente l osente son los reíproos de l tngente, oo o respetivmente, on sber l mgnitud signo de ests últims se pueden obtener los vlores de ls primers. Los vlores notbles de ls funiones trigonométris se obtienen prtir de sus definiiones onsiderndo los vlores de los tetos de l hipotenus. Por ejemplo, pr lulr los vlores pr 0 se puede onstruir l siguiente figur: 0 0 Teniendo en uent que se form un triángulo equilátero unitrio en el triángulo retángulo, el vlor de l hipotenus es uno, el del teto opuesto es su mitd, plindo el teorem de Pitágors, se obtiene que 6
Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Trigonometrí Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos el vlor del teto dente que es oo de 0 es os ot,. Por lo tnto, el vlor del o de 0 es 0 en onseueni: tn 0 os0 se os s se obtienen los vlores respetivos., el vlor del. Aplindo ls epresiones L tbl siguiente ondens ests ifrs, demás de los vlores más notbles de ls funiones trigonométris 4 : Funión Grdos 0 0 45 60 90 0 5 50 80 70 60 Rdines 0 0 os tn 0 6 4 ot se s 0 4-5 6 0-0 - 0 0 0 0-0 - - - GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS FUNCIÓN SENO A prtir del omportmiento del teto opuesto del írulo trigonométrio unitrio, l gráfi de l funión o empiez de ero en 0, v umentndo pultinmente hst llegr uno en 90. Después v disminuendo hst llegr ero en 80. Posteriormente disminue negtivmente hst llegr en 70. Finlmente, v umentndo hst regresr ero en 60, donde el proeso se repite indefinidmente. L siguiente figur muestr su gráfi: 4 Es importnte señlr que los dtos que preen on el símbolo es onseueni de l división por ero que lgebrimente no eiste, pero que geométrimente implin que ls gráfis tienen disontinuidd en dihos puntos que tienden infinito. 7
Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Trigonometrí Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos El dominio de l funión o es el intervlo bierto (, ) el rngo es [,]. FUNCIÓN COSENO os De form similr, el omportmiento del teto dente del írulo trigonométrio unitrio, l gráfi de l funión oo empiez en uno en 0, v disminuendo pultinmente hst llegr ero en 90. Después sigue disminuendo hst llegr en 80. Posteriormente ree hst llegr ero en 70. Finlmente, sigue umentndo hst regresr en 60. Esto se repite indefinidmente, omo muestr en l gráfi siguiente: 5 El dominio de l funión oo es el intervlo bierto (, ) el rngo es [,]. 8
Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Trigonometrí Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos Considerndo que ls funiones tngente, otngente, sente osente se pueden deduir prtir del o oo, se pueden grfir plindo l relión respetiv en d punto. Ests gráfis se muestrn ontinuión: FUNCIÓN TANGENTE tn Por ser un funión disontinu, el dominio de l funión tngente es: D R + n, n Z el rngo es (-, ). FUNCIÓN COTANGENTE ot Tmbién, l ser un funión disontinu, el dominio de l funión otngente es D R n, n Z,. { } el rngo es ( ) 9
Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Trigonometrí Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos FUNCIÓN SECANTE se Por ser un funión disontinu, el dominio de l funión sente es D R + n, n Z,,. el rngo es ( ] [ ) FUNCIÓN COSECANTE s Tmbién, l ser un funión disontinu, el dominio de l funión osente es D R n, n Z,,. { } el rngo es ( ] [ ) 0
Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Trigonometrí Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos PARÁMETROS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Un funión periódi es quell que umple que: f ( ) f ( + p), donde p es el periodo diferente de ero. En generl, un funión trigonométri pret tres prámetros fundmentles: Amplitud ( A ), Freueni k Fse ( α) 5. L primer es l que mbi el tmño de l funión, l segund modifi el grdo de repetiión, l últim determin el desplzmiento de l funión. Por ejemplo, espeífimente pr l funión o se tiene: f ( ) A ( k + α). Cbe señlr que un signo ( + ) en l fse, impli que l funión se delnte (o se, se orre l izquierd) un signo ( ) en l fse impli que l funión se trse (o se, se orre l dereh). Ejemplo. Trzr ls gráfis de ls siguientes funiones: ) f ( ) ( ) Soluión: Se prei omo en l gráfi l mplitud es el doble (dos vees más grnde) que l funión f, sin embrgo l freueni l fse no mbin ( ) b) f ( ) ( ) Soluión. En este so, en l gráfi l freueni es del doble (se repite más), sin embrgo l mplitud l fse no mbin 5 En el so que l mplitud se uno, k se ero, que no eist defsmiento sólo se sume un onstnte, l form de l gráfi no mbi, sólo se desplz uniddes (dependiendo de su signo) sobre el eje.
Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Trigonometrí Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos ) f ( ) ( +) Soluión. L gráfi muestr omo l funión se delnt uniddes (por el signo +), sin embrgo l mplitud l freueni no mbin d) f ( ) 5 4 Soluión. Aquí se modifin todos los prámetros: l gráfi tiene un mplitud de 5 (es mu grnde), tiene un freueni de 4 (se repite más) se trs uniddes (por el signo ).
Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Trigonometrí Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos 5 5 4vee e) f ( ) + ( ) Soluión. En este so no se modifi ningún prámetro: l gráfi es igul l funión f ( ) ( ) se desplz uniddes hi rrib., sólo que
Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Trigonometrí Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Ls funiones trigonométris no son inetivs, esto signifi que pr un ierto vlor de l imgen eiste un número infinito de vlores de. Esto signifi que ests funiones no tienen invers, sin embrgo, pueden tenerl si se onsidern iertos intervlos donde umpln on l definiión de funión u tbulión pr d un se dedue prtir de los vlores epuestos en l seión II.5. Esto se muestr ontinuión: Funión f ( ). Su dominio es [, ] su imgen es,. - - - Funión f ( ) os. Su dominio es [, ] su imgen es [,] 0. - 4
Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Trigonometrí Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos Funión f ( ) tn. Su dominio es ( ), su imgen es,. - - - Funión f ( ) ot. Su dominio es (, ) ( 0, ) 0 su imgen es, 0 0,. - - - 5
Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Trigonometrí Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos Funión f ( ) se. Su dominio es (, ] [, ) su imgen es 0,,. - Funión f ( ) s. Su dominio es (, ] [, ) su imgen es, 0 0,. - - - 6
Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Trigonometrí Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Se hn meniondo lguns de ls identiddes trigonométris, sin embrgo es onveniente her un sumrio pr tener un mejor refereni. No es neesrio prenderse tods ls identiddes de memori, por ello, se menionn por grupos de importni. Considérese l siguiente figur: P (,b) P ( v, ) v P ( u, ) 4 u w u v v u b b ( ) P5,0 (, b) P IDENTIDADES PRINCIPALES 6 ) Reliones inverss tn se os os Demostriones: Multiplindo por en l definiión de tngente: os ot tn s b b tn os 6 Utilizndo on reiterión un o más fórmuls del grupo ), onoids omo fórmuls de reduión, es posible lulr el o de el oo de, pr ulquier vlor de, en funión del o del oo de ángulos entre 0 90. Utilizndo ls fórmuls de los grupos ) se pueden lulr los vlores de l tngente, otngente, sente osente de en funión del o del oo. Por tnto, es sufiiente tbulr los vlores del o el oo de pr vlores de entre 0 90. En l práti, pr evitr álulos tediosos, se suelen tmbién tbulr ls otrs utro funiones pr los mismos vlores de. Sin embrgo, desde l populrizión de ls luldors ls omputdors, ls tbls de funiones trigonométris hn ído en desuso. 7
Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Trigonometrí Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos Multiplindo por en l definiión de otngente: ot b b Aplindo el reíproo en l definiión de sente: se Aplindo el reíproo en l definiión de osente: s b b b) Identidd pitgóri os os + os Demostrión: Si en l epresión del teorem de Pitágors se divide d término entre + b b + b + ( ) + ( os) + os se tiene: ) Identiddes epresndo funiones trigonométris en términos de sus omplementos os os ot tn tn ot s se se s Demostriones: Si en el triángulo de l figur, el ángulo en el ul se plin ls funiones trigonométris es entones se tiene que el teto opuesto el teto dente se intermbin, por lo tnto, se tiene que: b b os, os, tn ot ot tn, se s, s se b b d) Periodiidd de funiones trigonométris. El o el oo, l sente l osente tienen periodos de, mientrs que l tngente l otngente tienen un periodo de. ( + ) os ( + ) os tn ( + ) tn ( + ) ot se ( + ) se s ( + ) s ot, 8
Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Trigonometrí Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos Demostriones: En ls gráfis de ls funiones os se prei omo los vlores se repiten d rdines, sí que l plir sus respetivs identiddes reípros, ls funiones s se tmbién pretn es mism periodiidd. Por su prte, en l gráfi de l funión tn se muestr omo los vlores se repiten d rdines, sí que l plir su identidd ot reípro, l funión tmbién posee es mism periodiidd. e) Identiddes pr ángulos negtivos. El o, l tngente, l otngente l osente son funiones impres, es deir que umplen on f ( ) f ( ) pres, es deir umplen on f ( ) f ( ). ot. Por su prte, el oo l sente son funiones ( ) os ( ) os tn ( ) tn ( ) ot se ( ) se s ( ) s Demostriones: Si en l figur nterior, se he reer desde 0 hst, el punto P reorre l irunfereni en tido ontrrio ls mneills del reloj el punto P, orrespondiente, reorre l irunfereni pero en el tido inverso. Así que plindo ls definiiones de ls funiones trigonométris se tiene: ot b tn b se se b s b ( ) os ( ) os tn ( ) tn ( ) ( ) s ( ) f) Identiddes trigonométris de dos ángulos os tn ( ) os + os ( ) os os ( ) os os os ( ) os os + tn + tn tn tn ( + ) tn ( ) tn tn + tn tn Demostriones: Sen u v dos números reles ulesquier epresdos en rdines su difereni se estblee omo w u v. Si los puntos de los ldos terminles de los ángulos indidos en un irunfereni unitri ( ) son respetivmente P 4 ( u, u ), P ( v, v ) entones, por definiión se tiene: osu u, osv v os ( u v) w u u, v v ( u v) w Se prei que l distni entre P 5 P debe ser igul l distni entre P P 4 porque los ángulos miden lo mismo. Aplindo el teorem de Pitágors: ( w ) + ( w ) ( u v ) + ( u v ) 0 elevndo l udrdo simplifindo ls epresiones de los rdiles: w w + + w u uv + v + u uv + v 9
Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Trigonometrí Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos Por ser un irunfereni unitri, se umple que: w + w u + u v + v, entones: w uv u v w uv + u v, sí que sustituendo se tiene: os ( u v) osu osv + u v si se renombr ls vribles omo: os u v, se lleg : ( ) os os + se reuerd que ( ) os ( ) os ( + ) os os ( ) + ( ) os ( + ) os os Ahor, si se he que os Por otr prte, plindo l identidd de omplemento pr el oo: + os + os os os + reduiendo: ( ) ( ) ( + ) os + os se reuerd que ( ) os ( ) os ( ) os ( ) + ( ) os ( + ) os os Ahor, si se he que Por otr prte, plindo l identidd de l tngente: ( ) ( + ) os + os tn + os ( + ) os os Si se divide el numerdor el denomindor entre os os 0 : tn ( + ) os os Ahor, si se he que tn + tn ( ) ( ) tn tn tn os os + os ( + ) tn + tn ( + ) os os tn tn g) Identiddes de doble ángulo os os os os os os se reuerd que ( ) tn tn ( ) + tn tn tn tn, entones:, entones:, entones: os os os os tn tn tn Demostriones: Si se he en l identidd ( ) os + os ( + ) os + os os Si se he os +, se tiene: en l identidd os ( + ) os os, se tiene: ( + ) os os os os pero demás se sbe que: + os os por lo tnto: os os os + os os 0
Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Trigonometrí Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos pero tmbién se sbe que: + os os por lo tnto: os os ( ) tn + tn Si se he en l identidd tn ( + ), se tiene: tn tn tn + tn tn tn tn tn tn IDENTIDADES SECUNDARIAS h) Identiddes trigonométris que involurn udrdos se + tn s + ot Demostriones: Si en l identidd os, se divide d término entre os : os tn + se se + tn os + os os Si en l identidd os, se divide d término entre : + ot s s + ot os + i) Identiddes que epresn funiones trigonométris en términos de sus omplementos ( ) os ( ) os tn ( ) tn Demostriones:, se sustitue Si en l identidd ( ) os os ( ) os os 0 os ( ) Si en l identidd os ( ) os os + os ( ) os os + os + ( 0) os Si en l identidd tn ( ), se sustitue tn tn, se sustitue + tn tn tn + tn 0 + tn tn tn tn tn + tn0 tn ( ) tn j) Identiddes trigonométris de medio ángulo : : : ± os os + os ± tn os + os
Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Trigonometrí Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos Demostriones: Si en l identidd os, se despej se tiene que: os hor, si se sustitue por si se onsider que está en un udrnte uo signo es positivo: os os Si en l identidd os os, se despej os se tiene que: os + os hor, si se sustitue por si se onsider que está en un udrnte uo signo es positivo: os os os + + os ± Si en l identidd tn se sustitue por si se onsider que está en un udrnte uo os signo es positivo: tn os os + os os + os TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Un triángulo obliuángulo es un triángulo que no es retángulo. Puede ser un triángulo gudo (si sus tres ángulos son menores de 90 ) o puede ser un triángulo obtuso (si uno de sus tres ángulos es mor de 90 ). Por onvenión, se estblee que los ángulos de un triángulo obliuo son A, B, C sus ldos opuestos se identifin omo, b respetivmente. Esto se muestr en ls siguientes figurs: B B A b C A b C Triángulo gudo Triángulo obtuso
Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Trigonometrí Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos L trigonometrí de los triángulos obliuos no es tn fáil omo l de los triángulos retángulos, pero h dos teorems de l geometrí que son mu utilizdos en trigonometrí. Estos son llmdos l le de los os l le de los oos. LEY DE LOS SENOS Dds ls figurs nteriores, l le de los os estblee que: A B b C Est le tiene tres igulddes se puede usr en dos forms: Primero, si se onoen dos ángulos el ldo opuesto de ellos, se puede determinr el otro ldo. Ejemplo. Si A 0, B 45, 6, entones, plindo est le: 6 45 b se tiene que b. 6 0. 0 45 6 b que resolviendo pr Segundo, si se onoen dos ldos el ángulo opuesto de uno de ellos, entones tmbién se puede determinr el ángulo opuesto del otro ldo. Ejemplo. Si 5, b 5, A 40, entones, plindo est le: 5 40 B. 5 tiene que: 0856 40 B, resolviendo pr B se 5 5. Por lo tnto, ( 0856. ) 68. B. Nótese omo puede no ser l respuest orret, que h dos ángulos entre 0 80 que tienen el mismo vlor del o (el segundo es el omplemento del primero). Así que en este so, tmbién puede ser el ángulo obtuso 80 68. 57.. Est situión es indetermind, que onoiendo dos ldos el ángulo opuesto de uno de ellos no siempre es sufiiente pr determinr el triángulo. Ejemplo. En un llnur, un niño observ el mismo globo pero 5 ) qué distni está d niño del globo? b) qué ltur se enuentr el globo del nivel de los niños? 60 un globo erostátio. A kilómetros de distni, su primo mir Soluión. ) Hiendo un dibujo, es fáil deduir que se form un triángulo. El ángulo fltnte es 80 60 5 85. Por lo tnto: A 60, B 5, C 85, Km., entones, plindo est le: 85 60 5 b 5. L distni del globo el niño A es: b. 5Km. 85 60 Por su prte, l distni del globo el niño B es:. 7Km. 85
Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Trigonometrí Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos b h? A 60 5 km. B b) En el triángulo de l izquierd se umple que: h. 5 60 km. 60 h 5., por lo que l ltur pedid es: LEY DE LOS COSENOS Considerndo ls figurs nteriores, est le estblee que: + b bosc Como puede preirse es semejnte l teorem de Pitágors eepto por el último término. En el so de que C se un ángulo reto, el término despree (porque os 90 0 ). Así que l le de los oos es un generlizión del teorem de Pitágors. Como d triángulo d tres euiones pr l le de los oos, se pueden permutr ls letrs omo se quier, esto signifi que ls otrs dos versiones son: b + bosa b + osb Al igul que l le de los os, est le relion los tres ldos del triángulo on los tres ángulos, sí que se puede usr en dos forms: Primero, si se onoe un ángulo los dos ldos dentes, se puede determinr el ldo opuesto. Ejemplo. Si C 60, 5, b 8 plindo l le de los oos se tiene: 5 + 8 5 8os60 ( )( ) 5 + 64 40 49 49 7 4
Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Trigonometrí Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos Segundo, si se onoen los tres ldos de un triángulo, entones se puede enontrr ulquier ángulo. Ejemplo. Si 5, b 6, 7, entones, plindo l le de los oos se tiene: 7 5 + 6 (5)(6)osC 49 56 osc 0. C os ( 0. ) 7846. 60 Es importnte her notr que undo un triángulo es obtuso, el oo de C es negtivo. Ejemplo. Supóngse que los tres ldos son: 5, b 6, 0. entones, plindo l le de los oos se 00 5 6 49 tiene: 0 5 + 6 ( 5)( 6) osc osc 0. 866 60 60 C os 0866.. Pero omo se sbe que el oo de un ángulo obtuso es negtivo, se debe ( ) lulr propidmente, esto es C os ( 0. 866) 44. 75. Si se tomr el vlor positivo del rgumento, lo que se enuentr es el suplemento de C, esto es: os ( 0866) 5. 5.. APLICACIONES Ls primers pliiones de l trigonometrí se hiieron en los mpos de l nvegión, l geodesi l stronomí, en ls que el prinipl problem er determinr un distni inesible. Otrs pliiones de l trigonometrí se pueden enontrr en l Físi, Quími en si tods ls rms de l Ingenierí, sobre todo en el estudio de fenómenos periódios, omo el sonido o el flujo de orriente ltern. L trigonometrí es de grn importni pr l teorí de l proeión estereográfi en l geodesi. Es tmbién el fundmento de los álulos stronómios. Por ejemplo, l soluión del llmdo triángulo stronómio se utiliz pr enontrr l ltitud longitud de un punto, l hor del dí, l posiión de un estrell otrs mgnitudes. Además, h tenido grn utilidd pr lulr l distni que sepr l Tierr del Sol, distnis de los plnets l Sol, distnis ls estrells, diámetros de los plnets, onfeión de lendrios, et. L medid de ángulos en grdos es mplimente usd en Ingenierí en Físi, priniplmente en Astronomí, nvegión Topogrfí. El método más orriente de lolizr un estrell, o un punto en l superfiie de l Tierr, es utilizr su distni ngulr en grdos, minutos segundos iertos puntos o línes de refereni fijds. Los posiiones en l superfiie de l Tierr se miden en grdos de ltitud norte o sur del eudor grdos de longitud este u oeste del meridino prinipl, que normlmente es el meridino que ps por Greenwih en Inglterr. Debido que l trigonometrí trbj on ángulos se neesitn instrumentos pr medir estos, omo el goniómetro, el teodolito, l regl prláti, et. Ho en dí result difíil imginr ulquier tividd de onstruión en l que no interveng l trigonometrí. L imgen del topógrfo tomndo ángulos es mu omún. Prtiulrmente los oneptos vistos en est unidd pueden plirse en: En meáni, los movimiento rmónios Ls poles movimientos rottivos. L onstruión de un nl pluvil. En ústi, ls onds de rdio son un ejemplo de ls funiones trigonométris: el sonido generdo es l sum de ls onds produids por mbs. L determinión de superfiies (por ejemplo en l grimensur) mediiones de tipo ílis. L torre Eiffel, demás de un bell onoid obr de rte, es, tod ell, un ompendio de propieddes mtemátis, entre otrs, l de l indeformbilidd de los triángulos que onstituen su estrutur. 5