Segundo Periodo ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA (2) Derehos ásios de prendizje: Comprende y utiliz l ley del seno y el oseno pr resolver prolems de mtemátis y otrs disiplins que involuren triángulos no retángulos. (ver DBA #12 grdo 10º. Págin 3 de 5. Ministerio de Eduión Nionl (2015). Derehos Básios de Aprendizje. Bogotá. Indidores de logros: Aplir ls leyes del seno y del oseno, pr resolver prolems que se puedn modelr medinte triángulos oliuángulos. Seuenis de prendizje: Soluión de triángulos oliuángulos: Ley del seno, Ley del oseno. Prolems que dn origen triángulos oliuángulos. 11
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Elementos de Trigonometrí (2) Un triángulo que no es retángulo se le llm oliuángulo. Los elementos de un triángulo oliuángulo son los tres ángulos y los tres ldos respetivos. Los ángulos se ostumrn representr por letrs myúsuls y los ldos por letrs minúsuls orrespondientes los vérties opuestos, sí: Un prolem de resoluión de triángulos oliuángulos onsiste en hllr tres de sus elementos, ldos o ángulos, undo se onoen los otros tres (uno de los ules h de ser un ldo). Pr resolver un triángulo retángulo utilizremos tres herrmients: L sum de los tres ángulos de un triángulo A + B + C 180 0 Teorem o ley del seno sen A sen B sen C Teorem o ley del Coseno 2 2 + 2 2... osa 2 2 + 2 2... osb 2 2 + 2 2... osc 12
Ley del seno: Si ABC, es un triángulo oliuángulo uyos ángulos son A, B, C y sus ldos opuestos,, respetivmente, entones: sen A sen B sen C ó sen A sen B sen C En form generl: En ulquier triángulo, l rzón entre el seno de un ángulo y l longitud del ldo opuesto es igul l rzón entre el seno de otro ángulo y l longitud del ldo opuesto ese otro ángulo. L ley de seno es prtiulrmente útil, si se onoe: ) 2 ldos y un ángulo opuesto uno de ellos (LLA) ) 2 ángulos y ulquier ldo. Ejemplo 1: Resolver el siguiente triángulo: Soluión: Primero signemos letrs los vérties y ldos del triángulo y sí reonoemos elementos onoidos y desonoidos: Elementos onoidos : Ángulos A y C y ldo < A 26, < C 19, 5 dm Elementos desonoidos: Ángulo B y ldos y < B? ;? ;? El ángulo B, se puede lulr siendo que < A + < B + < C 180, entones < B 180 (< A + < C), o se: < B 180 (26 + 19 ) 180 45 135 ; < B 135 13
Ahor podemos lulr el ldo, plindo sen A sen B A, < B y ), remplzmos los vlores onoidos y quedrí sí: 5 5 sen26, hor ien, si despejmos qued 3,09; sen26 sen135 sen135 luego 3,09 Finlmente, podemos lulr el ldo, plindo (porque se onoen < sen C sen B (porque se onoen: < C, < B y ), remplzmos los vlores onoidos y quedrí sí: 5 5 sen19, hor si despejmos qued 2,30; luego 2,30 sen19 sen135 sen135 on lo ul qued resuelto el triángulo. Not: En el ejeriio nterior, el ldo mide 5 dm (5 deámetros), por tnto ls respuests son: 3,09 dm y 2, 30 dm, durnte el desrrollo del ejemplo esriimos 5, en lugr de 5dm, pr gilizr su mnejo; en los demás ejemplos de este módulo sumiremos que ls medids de los ldos utilizn ls misms uniddes de longitud, por lo ul no ls tendremos en uent en el desrrollo de los ejemplos Ejemplo 2: Resuelve el triángulo, si se onoen los siguientes dtos: < A 103, 40 m, 31 m Soluión: Eloremos un gráfio pr representr los dtos: Aplimos sen A sen B 40 31 sen 103 sen B, (remplzndo) senb 31.sen103 40 Elementos onoidos : Ángulo A y ldos y < A 103, 40 m, 31 m Elementos desonoidos: Ángulos B y C y ldo < B? ; < C? ;?, (pr lulr < B, porque se onoen < A, y ), (despejndo) Luego sen B 0,755, entones B sen 1 (0,755) 49,02, B 49,02 14
El ángulo C, se puede lulr siendo que < A + < B + < C 180, entones < C 180 (< A + < B), o se: < C 180 (103 + 49,02 ) 180 152,02 27,98 ; < C 27,98 Finlmente, plimos A, y < C ) sen A sen C, (pr lulr, porque se onoen, < 40 sen 103 40sen27,98 sen 103 sen 27,98 (remplzndo) 19,26 ; (despejndo) Entones 19,26 m, on lo ul qued resuelto el triángulo. Ejemplo 3: Dos puestos de oservión A y B están olodos lo lrgo de l ost (seprdos por 10 mills), pr vigilr l llegd ilegl de ros que resen el límite de 3 mills. Si el vigilnte A inform que hy un ro S en un ángulo BAS 37 y el B inform que el mismo ro está en un ángulo ABS 20 ; A qué distni del puesto A se enuentr el ro? A qué distni de l ost se enuentr el ro (si se supone que l ost es un líne ret lo lrgo de los dos puestos de oservión)?, H resdo el ro el límite de gus territoriles? Soluión: hgmos un interpretión gráfi del prolem: S: posiión del ro A y B: puestos de oservión : distni del ro l puesto A El ángulo S, se puede lulr siendo que < A + < B + < S 180, entones < S 180 (< A + < B), o se: < S 180 (37 + 20 ) 180 57 123 ; < S 123 Ahor plimos ley del seno en el triángulo ABS, sí: s sen S sen B 10 sen 123, (pr lulr, porque se onoen s, < S, y < B ) sen 20 (remplzndo) 15
10sen20 sen 123 4,07 ; (despejndo) O se, l distni entre el ro S y el puesto de oservión A, es 4,07 mills. Pr determinr l distni entre el ro y l ost, poyémonos en el siguiente gráfio: Segmento SC o d: distni del ro l ost. Segmento AB: líne oster SC AB, SC es perpendiulr AB En el triángulo retángulo ACS, on ángulo reto en C, d represent el teto opuesto l ángulo A y l hipotenus, entones: sena d, o se sen37 d 4,07 entones d 4,07sen37 2,44 O se, l distni entre el ro S y l ost, es 2,44 mills, de tl mner que el ro está violndo el límite de gus territoriles Ejeriios 1: Resolver los siguientes triángulos: ) ) ) d) 16
Ejeriios 2: Prolems de Apliión: 1) Se loliz un fuego F desde dos estiones de prevenión de inendios, A y B, ls ules están 10 mills de distni. Si l estión B inform que el fuego está en un ángulo ABF 53 y l estión A lo inform en ángulo BAF 29, qué distni está el fuego de l estión A? de l estión B?. 2) Los ároles más grndes del mundo reen en el Prque Nionl de Redwood en Cliforni; estos ároles son más grndes que el lrgo de un mpo de futol. Enuéntrese l ltur de uno de esos ároles, prtir de l informión dd en l figur. 3) Como se muestr en l figur, un telefério trnsport psrejos desde el punto A, que está 1.2 mills del punto B que se hll en l se de un montñ, hst un punto P de l im. Los ángulos de elevión P desde A y B son 21 y 65 respetivmente. ) Clulr l distni entre A y P ) Clulr l ltur de l montñ. 17
Ley del oseno: Si ABC, es un triángulo oliuángulo uyos ángulos son A, B, C y sus ldos opuestos,, respetivmente, entones: 2 2 + 2 2... osb 2 2 + 2 2... osc En form generl: El udrdo de l longitud de ulquier ldo de un triángulo es igul l sum de los udrdos de ls longitudes de los otros dos ldos, menos el dole produto de ls longitudes de los mismos ldos por el oseno del ángulo entre ellos. L ley de oseno es utilizd pr resolver un triángulo del ul se onoen dos ldos y el ángulo omprendido entre ellos (LAL), o sus tres ldos (LLL), en estos sos no es útil plir l ley del seno. Ejemplo 1: Resuelve el triángulo, si se onoen los siguientes dtos: 40 m, 25 m, 20 m Soluión: Eloremos un gráfio pr representr los dtos: Elementos onoidos : Ldos, y 40 m, 25 m, 20 m Elementos desonoidos: Ángulos A, B y C < A? ; < B? ; < C? Aplindo l ley del oseno tenemos: 2 2 + 2 2(osA) O, osa 2 + 2 2 (despejndo) 2 osa 2 + 2 2 2 (25)2 + (20) 2 (40) 2 2(25)(20) 625+400 1600 1000 0,575 Si osa 0,575, entones A os 1 ( 0,575) 125,09 A 125,09 Igulmente, 2 2 + 2 2(osB), entones: 18
osb 2 + 2 2 2 (40)2 + (20) 2 (25) 2 2(40)(20) 1600+400 625 1600 0,859 Si osb 0,859, entones B os 1 (0,859) 30,79 B 30,79 Finlmente C 180 (A + B) 180 (125,09 + 30,79 ) 24,12 Entones 24,12, on lo ul qued soluiondo el triángulo Ejemplo 2: Dos trenes prten simultánemente de un estión en direión tl que formn un ángulo de 37. Uno v 15 km h, y el otro 25 km h. Determinr qué distni se enuentrn seprdos después de 2 hors de vije. Soluión: Si hn trnsurrido 2 hors los trenes hrán reorrido 30 km y 50 km, respetivmente, l interpretión gráfi podrí ser sí: C: posiión de l estión de donde prten los trenes A: posiión de un tren después de 2 hors B: posiión del otro tren : distni entre los trenes después de 2 hors (es el dto usdo) Con se en los dtos onoidos podemos plir l ley del oseno sí: 2 2 + 2 2. osc; O se: 2 30 2 + 50 2 2(30)(50). os37 2 900 + 2500 3000. os37 2 3400 3000. os37 3400 3000(0,79) 3400 2370 1030, luego: 1030 32,09 Entones, trnsurrids 2 hors de her prtido de l estión los trenes estrán seprdos 32,09 km 19
Ejeriios 1: Resolver los siguientes triángulos: ) ) ) d) Ejeriios 2: Prolems de Apliión: 1) Dos ldos dyentes de un prlelogrmo formn un ángulo de 35 y tienen un longitud de 3 y 8 entímetros. Cuál es l longitud de l digonl más ort del prlelogrmo? 2) Al mediodí, dos viones de úsqued se disponen slir de Sn Frniso pr rstrer un vión que yó en el oéno. El vión A vij diretmente l oeste 400 mills /h, y el vión B hi el noroeste 500 mills/h. A ls 2 PM el vión A enuentr los sorevivientes del vión ído y llm por rdio l vión B pr que ud y yude en el reste. A qué distni está el vión B del vión A en ese momento? 3) Tres irunferenis de rdios 2, 5 y 8 entímetros, son tngentes exteriores entre sí (vése l figur siguiente). Enuéntrese los tres ángulos formdos por ls rets que unen sus entros. 20