Estadístca I t r o d u c ó A l a E s t a d í s t c a INTRODUCCIÓN: La Estadístca descrptva es ua parte de la Estadístca cuyo objetvo es examar a todos los dvduos de u cojuto para luego descrbr e terpretar umércamete la formacó obteda. Sus métodos está basados e la observacó y el recueto. Se pretede, ua vez realzados, poder smplfcar los datos observados para obteer de ellos ua formacó lo más completa posble del total de la poblacó. E estadístca descrptva el materal de trabajo lo costtuye los datos, que so los resultados de las observacoes. Ua vez obtedos los datos hay que ordearlos y clasfcarlos medate algú crtero racoal de modo que sea posble ua vsó crítca de los msmos. E geeral, este tratameto prevo de los datos será de alguo de estos tres tpos: ) Costruccó de tablas para ordear y clasfcar los datos. ) Realzacó de gráfcos para represetar físcamete los datos. ) Obtecó de estadístcos o fucoes de los valores de los datos, que pretede poer de mafesto certas propedades de los msmos.. Coceptos báscos. Cualquer elemeto o ete que sea portador de formacó sobre algua propedad e la cual se está teresado se deoma dvduo. El cojuto de todos los dvduos e los que se desea estudar algua propedad o característca se llama poblacó. Todo subcojuto fto de la poblacó sobre el que se realce el estudo de la propedad deseada, es ua muestra. Al úmero de dvduos de este subcojuto se le llama tamaño de la muestra. Ejemplo. Para estudar la evolucó del cácer de mama e la poblacó femea de u país, se puede cosderar que dvduo es cada ua de las mujeres resdetes e el msmo, poblacó es el cojuto de todas ellas y ua muestra se obtee al observar el % del ceso. Co mucha frecueca se cosdera como poblacó y muestra, o los cojutos de dvduos, so las meddas de la característca asocadas a esos dvduos. Ejemplo. E u baco de sagre se expermeta u uevo sstema para aumetar el período de coservacó de la msma. E este caso cada bolsa de sagre es u dvduo; la poblacó es el cojuto de todas las bolsas del baco y ua muestra se obtee tomado u certo úmero de bolsas para su aálss. Obsérvese que el cocepto de dvduo o va asocado ecesaramete co el de persoa, so que puede ser algo de aturaleza más abstracta.. Clasfcacó de los datos. Covee també observar que todos los datos o so del msmo tpo. Cuado los datos, es decr los resultados de las observacoes, o so magtudes medbles umércamete, so cualdades o atrbutos, se dce que se trata de datos cualtatvos, metras que e caso cotraro se habla de datos cuattatvos. Ejemplo. Se observa las causas de muerte de 6 dvduos de ua certa poblacó, agrupádolas e las cuatro sguetes: efermedades cardovasculares (EC), cácer (C), accdetes (A) y otras causas (O), habédose obtedo los sguetes datos: EC, EC, A, C, O, A, EC, A, O, C,EC, C, O, C y EC. Como los resultados o so medbles umércamete, los datos so cualtatvos. Ejemplo. Las otas obtedas e Matemátcas e ua clase de COU ha sdo:, 7,, 6,,,,, 8,,, 6, y 8.. No se pretede hacer u estudo exhaustvo del tema. Los gráfcos se ha hecho co el procesador de textos Word. CV
Estadístca Se trata de datos cuattatvos. A su vez los datos cuattatvos se deoma cotuos s los resultados puede tomar cualquer valor real detro de u certo tervalo, o dscretos, s sólo puede tomar certos valores partculares. Ejemplo. Del estudo de la estatura de u certo úcleo de poblacó se ha obtedo los sguetes datos:.6,.78,.7,.8,.8,.68 y.8metros. So datos cotuos, pues los dvduos de ua poblacó puede teer como estatura cualquer úmero real e u certo tervalo. Ejemplo 6. Del alumbrameto de u cojuto de ratas se ha observado el úmero de crías, obteédose los sguetes valores umércos:,,,,, 6,,,, 6,, 6,,, 6, 7 y. Por o ser posbles úmeros o aturales, es evdete que se trata de datos cuattatvos dscretos. Es decr los datos se clasfca: Datos Cuattatvos Cotuos Dscretos Cualtatvos Los datos puede prover del estudo de u sólo carácter o propedad (caso udmesoal) o de varos smultáeamete (caso multdmesoal). E este prmer tema estudaremos sólo los datos udmesoales.. Característcas de ua muestra represetatva La observacó de u determado carácter e ua poblacó puede realzarse de varas formas: a) Observacó exhaustva: s se cosdera a la totaldad de los dvduos. b) Observacó parcal: s se utlza ua muestra. E los casos e que el tamaño de la poblacó es muy grade el estudo estadístco se realza sobre muestras. Para seleccoar ua muestra ha de respetarse dos tpos de crteros: - De carácter cuattatvo, es decr cuál es le tamaño adecuado de ua muestra? - De carácter cualtatvo, o, lo que es lo msmo, cómo debe elegrse la muestra? Hay múltples formas de realzar u muestreo estadístco, etre otras: a) Muestreo aleatoro smple; se basa e supoer que todos los elemetos de la poblacó tee asgada la msma probabldad de ser elegdos. S se umera los elemetos de la poblacó, ua tabla de úmeros aleatoros puede facltar la tarea de seleccó. b) Muestreo por estratos: Cosste e clasfcar prevamete a la poblacó e clases o estratos y de ellos obteer muestras aleatoras. c) Muestreo por coglomerados: es e eseca el msmo sstema que el ateror co la dfereca de que ahora la poblacó se dvde e clases co determados caracteres comues etre ellas (coglomerados). Nota. De la obtecó de muestras de las que se puede sacar coclusoes váldas para la totaldad de la poblacó se ocupa la Teoría de muestras.. Varables estadístcas. Frecuecas. Los caracteres estadístcos de ua poblacó so las propedades o cualdades de los dvduos que os teresa estudar. U carácter estadístco dvde a la poblacó e clases. A cada ua de estas clases se la deoma modaldad. Cuado el carácter es cuattatvo sus dversas modaldades so medbles, es decr se les puede asgar u úmero. CV
Estadístca Defcó. Se llama varable estadístca a la aplcacó que a cada modaldad le hace correspoder ese úmero, es decr su medda. Ejemplo 7. E el ejemplo 6 la varable estadístca toma los valores:,,,,, 6 y 7. La varable estadístca será dscreta cuado sólo pueda tomar u º fto de valores y cotua cuado pueda tomar todos los valores de u certo tervalo. Ejemplo 8. La varable estadístca del ejemplo es cotua y dscreta la del ejemplo 6. Defcó. Se llama frecueca absoluta al úmero de dvduos que toma u determado valor de ua varable estadístca (o ua modaldad de u atrbuto). Para varables estadístcas (es decr, datos cuattatvos) puede defr: Defcó. Se llama frecueca absoluta acumulada de u valor a la suma de las frecuecas absolutas de todos los valores meores o guales que él. Ejemplo. E el ejemplo 6 la frecueca absoluta del (teer crías) es. La frecueca absoluta acumulada del es. Defcó. Se llama frecueca relatva a la razó etre la frecueca absoluta y el úmero total de datos o tamaño de la poblacó. Defcó. Se llama frecueca relatva acumulada de u valor de ua varable estadístca a la suma de las frecuecas relatvas de todos los valores meores o guales que él. Ejemplo. La frecueca relatva del es /7 y la relatva acumulada del es /7.. Represetacó de datos: Tablas. Las dos formas más comues de represetar los datos so las tablas y los gráfcos. Tablas estadístcas Las tablas estadístcas aparece por todas partes y cosste e masas estructuradas de datos. Está cofeccoadas de tal modo que resulta muy fácles de leer y de terpretar. Hay que utlzar, fudametalmete, el setdo comú. Para la costruccó de tablas de datos cuattatvos puede tratarse éstos dvdualmete o agrupádolos e clases ❶ Tratameto dvdual Para varable dscreta, o que sedo cotua tegamos pocos datos. S teemos ua muestra de tamaño N, la tabla se estructura así: Varable Frecuecas absolutas Frecuecas relatvas estadístca : x putuales acumuladas putuales acumuladas x x N = N = + f = /N f = /N F = N /N F =N /N... x k k k =... k... N k = + +..+ k... f k = k /N =N f = k = Ejemplo. Las otas de los alumos de ua clase so:,,,, 6, 7,,,,,,,, 7,,,, 6,,... F k = N k /N Vamos a calcular ua tabla: CV
Estadístca Varable Frecuecas absolutas Frecuecas relatvas estadístca : x putuales acumuladas N putuales f acumuladas F 7 7 7 / / / / / / / / /=/ 7/ / /=7/ 7/ /= Ejercco. E u Isttuto hay matrculados alumos que se dstrbuye por edades e la forma sguete: de años, 7 de, de 6, 6 de 7, de 8, de y de. Formar la tabla de dstrbucó y de frecuecas, que cluya frecuecas acumuladas. ❷ Tratameto por clases Cuado e la poblacó o muestra que estudamos exste muchos valores dferetes, es coveete, aú a costa de perder algo de formacó, dvdr el tervalo de varacó e ua sere de subtervalos que cubra el total; a cada uo de ellos se le llama ua clase, a sus extremos, extremos de clase, al puto medo de cada clase, marca de clase y a la dfereca etre sus extremos, ampltud de la clase. E estos casos la tabla adopta ua estructura como la del cuadro sguete: Clases (tervalos) Marcas de clase (m ) Frecuecas absolutas... de clase acumuladas Frecuecas de clase relatvas... acumuladas Metras que e el caso del tratameto dvdual la tabla quedaba perfectamete determada por los posbles valores de los datos, e el de clases está claro que o sucede así, pues hay lbertad para elegr el úmero de clase y los extremos de las msmas. Los tervalos, e geeral, debe teer la msma ampltud. Para decdr el º de clases que se debe tomar covee teer e cueta que s éste es excesvo co respecto al úmero de datos, puede aparecer rregulardades accdetales proveetes de pocas observacoes e alguas clases. S embargo, s se toma el úmero de clases demasado reducdo se producrá ua pérdda mportate de formacó. U crtero oretatvo para decdr cuátas clases se debe tomar lo proporcoa la sguete fórmula empírca debda a Sturges: k = +. log Ejemplo. Se ha pasado u test de 7 pregutas a 6 persoas. El úmero de respuestas correctas se refleja e la sguete tabla: tervalos m f. abs. putual f. abs. acumulada f. rel. putual f. rel. acumulado [, ) [, ) [. ) [, ) [, ) [, 6) [6, 7) [7, 8) 6 7 6 7 8 8 6 6 7 6 7 6 / / /8 / 7/ 7/ / / / /6 7/ / 7/6 / 7/ Ejemplo. E ua Caja de Reclutameto se toma ua muestra de tamaño de los pesos de los mozos correspodetes a u certo reemplazo, obteédose los sguetes datos meddos e kg: CV
Estadístca 7., 6., 6., 7., 78., 7.7, 7., 6., 6., 68., 88., 76., 8., 6.7, 7.8, 67.,., 6., 66., 7., 7.,.8,.7, 8.7, 6., 6.,.7, 7.7, 6., 7.. Costrur ua tabla de frecuecas agrupado los datos e clases de la msma ampltud. Solucó S be o es estrctamete ecesaro, e geeral, es coveete ordear los datos de meor a mayor. A cotuacó se preseta la msma muestra ordeada: 7.,.,.7,.8, 6., 6., 6., 6., 6.7, 6., 6., 66., 67., 68., 6., 7.7, 7., 7., 7., 7., 7., 7.7, 76., 78., 7.8, 8.7, 8., 88.,.7, 6.. Como los valores extremos so 7. y 6. y el úmero de clases acosejado para estos datos es 6 (aplcado la fórmula de Sturges), tomaremos 6 tervalos de ampltud, la tabla queda estructurada de la sguete maera: es: clases Marcas de frecuecas absolutas Frecuecas relatvas clase de clase acumuladas de clase acumuladas - -6 6-7 7-8 8 - - 6 7 8 8 7..66.66.66.66...66.7..66.7 Itervalos o solapados. S los datos recogdos está ya agrupados e tervalos o solapados, como por ejemplo: Itervalo - - 7-6-6 Es coveete tomar uos tervalos que cotega a éstos, pero s modfcar las frecuecas. Esto Itervalo [,-,) [,-,) 7 [,-,) [,-6,) Estos uevos valores se llama límtes reales de la clase. Observacó. Las tablas os da ua vsó, de la característca que se está estudado, mucho más clara que la que da la muestra, tal cómo se preseta calmete. Ejercco. El úmero de persoas que vve e cada uo de los portales de ua gra barrada es: 6, 8, 7, 7,, 76, 8,, 8, 7, 6, 77,, 7, 78,,, 88, 67, 8, 87,,, 7,, 8, 7,, 8, 67, 8, 7,,, 8, 7, 66, 87, 76, 6, 77, 8,,, 6, 6, 78, 67, 6,, 6,, 8, 76,, 76, 8,, 87, 6, 8, 6, 6, 6, 6, 68,, 6. Costruye ua tabla de frecuecas. Seres croológcas Se Llama seres croológcas a uas tablas estadístcas que recoge observacoes hechas a lo largo del tempo, ormalmete a tervalos guales. Es por tato ua sere estadístca e que la varable depedete es el tempo. Ejemplo. El úmero de médcos colegados e España e el período de 8 - : Auque la varable es dscreta covee agruparlos e clases ya que hay u úmero muy grade de datos. CV
Estadístca 8 8 86 87 88 8 7 7 8 87 867 778 678 Ejercco. La produccó edtoral española de lbros de socología y Estadístca, e los años que se dca es: Años 6 7 º 87 8 76 7 6 7 Hacer ua tabla de frecuecas absolutas y relatvas putuales. Expresar la relatva e porcetajes. 6. Represetacó de datos: Gráfcos. Los gráfcos o so más que traduccoes a u dbujo del cotedo de las tablas. La faldad de los gráfcos estadístcos es que la formacó esté al alcace de persoas o expertas, que etre por los ojos. Los hay de muy dversos tpos pero todos so muy fácles de terpretar. 8 ❶ Varables cualtatvas Los más usados so los dagramas de rectágulos y los de sectores. 6 Este Oeste Norte er trm. do trm. er trm. to trm. Ejercco. El ceso, e mles de cabezas, del gaado e el terrtoro español, e fue: Gaado Bovo Ovo Capro Porco Caballar Mular Asar Número de cabezas 87 6 8 6 6 Dbujar u dagrama de sectores y otro de rectágulos. ❷ Varables cuattatvas. Dstguremos etre varable dscreta o cotua. Tratameto dvdual Para el tratameto dvdual los medos de represetacó más utlzados so el gráfco (o dagrama) de barras, el polígoo de frecuecas y los gráfcos acumulatvos. Dagrama de barras: Se asoca a ua tabla de frecuecas ya sea absoluta o relatva. Sobre u eje horzotal se represeta los valores dscretos que toma los datos y sobre cada uo de ellos se coloca ua barra vertcal (o u rectágulo) de logtud (altura) proporcoal a la frecueca. CV 6
Estadístca Ejemplo. Vamos a hacer u dagrama de barras de frecuecas absolutas para el ejemplo 6. f... 6 7 fgura E ocasoes se superpoe dos o más dagramas para comparar datos: Ejemplo 6: Produccó y veta de automóvles e España: 8 7 6 6 7 produccó veta exportacó Polígoo de frecuecas: Como el ateror se asoca a ua tabla de frecuecas. Se represeta e u sstema cartesao los putos aslados y luego se ue por medo de segmetos (polgoal). Se usa sobre todo para frecuecas acumuladas (fgura ). També para seres croológcas. Ejercco. La esperaza de vda al acmeto ha evolucoado desde, como se refleja e la tabla sguete: Años 6 7 8 Varoes,,, 8, 7,,8 67, 6,6 7,6 Mujeres,7,6,,6, 6, 7, 7, 78,6 Dbujar los polígoos de frecuecas superpuestos para poder compararlos. Gráfcos acumulatvos: Se costruye a partr del msmo eje horzotal del gráfco de barras, llevado sobre cada valor dscreto ua vertcal de logtud proporcoal a la frecueca acumulada, absoluta o relatva, de dcho valor. Se suele completar el gráfco dádole forma de ua escalera de peldaños horzotales. CV 7
Estadístca Ejemplo 6. Gráfco de barras acumulatvo 6 7 Tratameto por clases Cuado las varables so cotuas, o dscretas agrupadas, los gráfcos que más se utlza so: el hstograma de frecuecas y los polígoos de frecuecas (absolutas o relatvas) Hstogramas de frecuecas. Sobre el eje de abscsas se marca los extremos de las sucesvas clases y co base e cada clase se dbuja u rectágulo de altura proporcoal a la frecueca (absoluta o relatva) observada e dcha clase. 6 6 7 fgura Fgura Ejercco 6. E la sguete tabla se preseta la dstrbucó por edades del úmero de muertes regstradas e España (datos hasta el --) a causa del SIDA. Edad e años < - - - - - - - - - - 6-6 Nº de muertes 7 7 888 876 76 a) Costruye la tabla de frecuecas relatvas agrupado los datos e las sguetes categorías de edad: -, -, -, -, -, - y 6-6 años. b) Represeta gráfcamete la formacó obteda e el apartado a) medate u hstograma, Cuado se trabaja co clases de ampltudes dferetes es más adecuado el hstograma de frecuecas relatvas por udad de ampltud: E abscsas se marca los extremos de las sucesvas clases y co base e cada ua de ellas se dbuja u rectágulo de área proporcoal a la frecueca relatva. CV 8
Estadístca Polígoo de frecuecas. Se asoca a cada clase u puto del plao cartesao, de abscsa el valor de la marca de clase y de ordeada la frecueca observada e dcha clase. Uedo los putos resulta ua líea quebrada que se deoma polígoo de frecuecas (fgura ) Polígoo de frecuecas acumuladas. Partedo del valor cero e el extremo zquerdo de la prmera clase, el polígoo acumulado va tomado e los sucesvos extremos derechos de las clases u valor gual a la frecueca acumulada. Uedo los putos así obtedos resulta el polígoo acumulatvo de frecuecas (fgura ). fgura Ejercco 7. Los jugadores de u determado equpo de balocesto se clasfca, por altura, segú la tabla sguete: Altura,7-7,7-,8,8-8 8-,-,,-, Nº de jugadores 8 Dbujar el polígoo de frecuecas absolutas acumulatvo. 7. Parámetros estadístcos. Las tablas estadístcas so ua forma orgazada de dar toda la formacó, todos los datos de que dspoemos. Co las gráfcas estadístcas se perde algo de formacó, pero el mesaje etra por los ojos, que es lo que se pretede. E cualquera de los dos casos, la catdad de datos que se da es excesva para que sea operatvo, por ejemplo para la comparacó co otras dstrbucoes. Por ello se defe los parámetros estadístcos, que os va a servr para resumr e úmeros aspectos relevates de la dstrbucó, que pueda dar ua dea de la msma o permtr compararlas co otras. Clases de parámetros estadístcos Meddas de cetralzacó: meda (ya coocda), moda (el valor que se preseta co más frecueca) y medaa (el valor del dvduo que ocuparía el lugar cetral sí se colocara ordeados de meor a mayor). Tee como msó represetar co u úmero a la sere estadístca bajo el puto de vsta de su poscó. Se amplía el apartado e el Aexo (se dará las fotocopas después de recoger los trabajos) CV
Estadístca Meddas de dspersó: rago o recorrdo, desvacó meda, varaza, desvacó típca, coefcetes de Pearso... Srve para medr el grado de alejameto de los datos respecto de ua medda cetral. Meddas de poscó: cuartles, decles, cetles o percetles. Señala la stuacó de alguos valores mportates de la dstrbucó. E la ordeacó que se hzo para la medaa se llama cuartles prmero, segudo y tercero a los que supera exactamete al %, % y 7% de los valores. El segudo cuartl es la medaa. Meddas de asmetría, para señalar s la dstrbucó está sesgada haca uo u otro lado. Meddas de aputameto o curtoss que dca s la dstrbucó es más o meos putaguda. Para el cálculo práctco de muchos parámetros estadístcos se utlza tablas que faclta dchos cálculos (Las fórmulas para hallar los parámetros estadístcos más usuales se da después) TABLA x x x x x x ( x x) ( x x)... TABLA x x x x x x... Ejemplo 7. Costrur la tabla co los datos del ejemplo x x x x x x ( x x) 7 6 6 8 7,6,6,6,6,,,, 7,,,,7 7,,,6 7,,7,,, 8, ( x x),,6,,8,6 6,6 6,76 la meda es /=,6 Ejemplo 8. Costrur la tabla co los datos del ejemplo. clases Marcas de clase frecueca - -6 6-7 7-8 8 - - x 6 7 8 8 x x 8 77 8 6 6 8 x 7 88 6 Ejemplo 7. a) Hallar la meda y la varaza de la varable cuyos valores y frecuecas absolutas vee dadas e la tabla adjuta Valores de la varable 8 7 frecuecas Propuesto e selectvdad. CV
Estadístca b) Represetar gráfcamete los datos e u dagrama de barras. Solucó a) x x x x Se tee : (Ver fórmulas) b) 8 x = =,87 6 6 6 7 σ = (,87) =,6 7 8 7 8 8 8 6 6 8 CV
Estadístca LOS PARÁMETROS ESTADÍSTICOS) (ANEXO) MEDIA ARITMÉTICA x Es el valor x = x S se trabaja co datos agrupados para la fórmula ateror, [], se toma x gual a las marcas de clase. MODA 6 M o Es el valor de la varable de mayor frecueca. La dstrbucó puede teer varas modas Para el caso cotuo se habla del tervalo modal (el de mayor frecueca ). Propedades. S sumamos ua costate a todos los valores la meda aumeta e el msmo úmero. 7 Es decr s x = x + A x = x + A. Aálogamete, s x = kx,etoces x = kx. S z = x + y z = x + y. La suma algebraca de las desvacoes respecto de la meda es cero, es decr : ( x x) =. La suma de las desvacoes cuadrátcas, ( x a), es míma s a= x. U coveete de la meda es que los datos co valores extremos puede flur excesvamete e su evaluacó. Cálculo de la moda 8 Para calcular la moda, para datos agrupados, se puede usar la fórmula M o = L + ) + ( ( + c ) [] (c es la amptud de MEDIANA M E Es el valor que ocupa el lugar cetral CUANTILES Se llama cuatl de orde α de ua dstrbucó al valor de la varable que deja por debajo de él al α % de los elemetos de la poblacó. Los que más se usa so los cuartles y los cetles o percetles. La medaa cocde co el cuartl segudo Q. la clase modal) Cálculo de la medaa S la dstrbucó tee u º mpar de datos sempre exste ua úca medaa y es precsamete el valor cetral e la relacó ordeada de meor a mayor. S el º de datos es par se toma como medaa la meda de los valores cetrales Para hallar la medaa, cuado los datos esté agrupados, se puede usar el polígoo de frecuecas acumuladas (Fgura )y buscar la abscsa que M e = L N N + c - correspode a y = N/ (por terpolacó leal). L M e La fórmula ateror [], os da dcho valor. E ella: N - es la frecueca absoluta acumulada hasta llegar a la clase medaa, la frecueca absoluta de la clase medaa, L el límte feror de la clase medaa y c la ampltud de dcha clase. Los cuartles y cetles se calcula de forma aáloga a la me daa (usado el polígoo de frecuecas acumulatvo). L c M o Fgura N/ + 6 Veremos e los ejerccos resueltos cómo se asga u valor. 7 Esta propedad permte hacer traslacoes de los datos para smplfcar los cálculos CV
Estadístca RANGO També llamado recorrdo, es la dfereca etre el mayor y el meor de los datos. DESVIACIÓN MEDIA Es la meda de las desvacoes respecto de la meda. σ VARIANZA Se defe como la meda de las desvacoes cuadrátcas respecto de la meda. DESVIACIÓN TÍPICA Se defe como la ráz cuadrada de la varaza: σ = σ. COEFICIENTE DE VA- RIACIÓN DE PEARSON Es la razó etre la desvacó típca y la meda. No debe usarse para valores muy próxmos a cero de la meda. TIPIFICACIÓN Para comparar dos seres datos estadístcos se ormalza (o tpfca) la varable COEFICIENTES DE ASIMETRÍA Y CURTOSIS Srve para medr la smetría y el aputameto de las seres estadídtcas S el coefcete de asmetría es:> la curva es sesgada a la derecha, y sí es<, sesgada a la zquerda Cálculo del rago. Para el caso cotuo, se toma la dfereca máxma posble etre los límtes de tervalos. Cálculo de la desvacó meda Como la suma de las desvacoes respecto de la meda da cero lo que se toma so las dferecas e valor absoluto. La fómula es: x x D m = Cálculo de la varaza. De la defcó se tee: ( x x) σ = Propedades. S se suma ua costate a todos los valores de la varable la desvacó típca o varía.. S se multplca todos los valores de la varable por el msmo úmero, la desvacó típca queda multplcada por el msmo úmero. Se verfca que x σ = x fórmula que smplfca su cálculo. Se utlza para elmar la flueca de las udades e el valor de la dspersó y mde la dspersó relatva de la muestra.. Por defcó se calcula medate la fórmula: C p σ = x S. X es ua varable estadístca la varable ormalzada es: X x Z =, σ Se dce que se ha tpfcado la varable. Cálculo de los coefcetes de asmetría y aputameto. El coefcete drecto de asmetría se defe así: ( x x) α = : σ : El de aputameto : α ( x x) = : σ 8 Observacó. Cuado se trabaja co datos agrupados se toma x gual a la marca de clase. CV
Estadístca EJERCICIOS resueltos. a) Completar los datos que falta e la sguete tabla estadístca, dode f, F y f r represeta, respectvamete, la frecueca absoluta, acumulada y relatva: x f F f r,8 6,6 7, 8 6 8 7 7 8 b) Calcula la meda, medaa y moda de esta dstrbucó Solucó a) La frecueca relatva de es,8 = N, de dode N =, lo que os permte completar la tabla. x f F f r,8 8,8 8 6,6 7, 8, 6 8, 7 7, 8, b) la meda x =,76; la medaa es y la moda es 6.. Observados los alquleres de u cojuto de despachos se ha obtedo: Alquleres e mles de pesetas [,) 7 [,) [,) 8 [,6) [6,7) [7,) Calcula la moda y la medaa. Solucó: Como los datos so agrupados teemos: para la moda la fórmula: m = L +. c = ( ) + ( + + ) = +. =, 7 Para la medaa usamos el polígoo acumulatvo de frecuecas x N [,) 7 7 [,) 7 [,) 8 7 [,6) 7 [6,7) 67 [7,) 7 Por terpolacó leal se llega a: 7 7 86-7= ( m e ), de dode: m e =,. Comprobar aplcado la fórmula []. Ua empresa petrolera ha tedo uos beefcos auales de mlloes de pesetas. E dcho sector la meda es de mlloes y la desvacó típca de mlloes. U comerco tuvo u beefco de 8 mlloes. La meda del sector es de 6 mlloes y la desvacó típca de, mlloes. Cuál tuvo mejor beefco respecto a su sector?. Solucó Tpfcamos las varables Al tpfcar las varables las medmos e udades de desvacó típca, lo que permte compararlas. CV
Estadístca Para la empresa del petróleo: = =, ; para el comerco: 8 6 = =,,, Luego tuvo mayor beefco respecto de su sector el comerco, ya que se desvó por ecma de la meda e,, metras que la petrolera sólo,.. De dos muestras la prmera co meda y desvacó típca y la seguda de meda y desvacó típca, cuál es la que aparece más dspersa? Solucó Calculamos el coefcete de varacó de Pearso, C p = σ de ambas: x / =, y / =,, luego es más dspersa la prmera.. Se quere hacer ua revsó médca a los empleados de ua empresa. Se ha escogdo muestras del msmo úmero de empleados. De la prmera muestra se ha revsado 6 persoas por hora, de la seguda persoas por hora y de la tercera persoas por hora. Hallar el promedo de las revsoes. Solucó Se trata del cocete etre las magtudes: úmero de persoas y úmeros de horas. Al calcular los cocetes se ha matedo fjo el úmero de persoas. Por tato para hallar el promedo se ha de calcular la N meda armóca, cuya defcó es: m h =. m h = /(/6+/+/) =,86 x = 6. U profesor hace exámees cosderado que el º es más mportate que el º y el º más mportate que el º. Para calcular la ota del alumo que promedo te parece el más dcado? Solucó La meda poderada: que se defe así: m N p = = N 7. Se cosdera ua dstrbucó de datos agrupados e tervalos cuyo polígoo de frecuecas acumuladas es el de la fgura. 6 8 = xp p. Calcula: a) Tabla de dstrbucó de frecuecas acumuladas. b) la meda. Solucó a) x N 6 8 6 6. +.6 + 6. + 8. +.6 b) x = = 6 Mde la dspersó relatva, CV
Estadístca 8. E la fabrcacó de u certo tpo de clavos, aparece u certo º de ellos defectuosos. Se ha estudado lotes de clavos cada uo obteedo: Clavos defectuosos 6 7 8 º de lotes 8 7 ésta: Calcular la medaa y el percetl. Solucó: Se costruye la tabla estadístca co las columas de las frecuecas absolutas acumuladas, sedo Nº de pezas Nº de lotes (f a ) Frec. absoluta acumulada. 6 7 8 8 7 8 8 8 Como es par la dstrbucó la medaa es la meda de los valores cetrales. Los valores cetrales so y, por tato la medaa es,. El percetl N = = compreddo etre las frecuecas y 8 luego P =. E el estudo de u certo feómeo se obtee la sguete tabla: x 7 6 6 7 6 7 7 Calcula los cuartles Q y Q correspodete.. Solucó x N 7 6 6 Se tee: =, y = 6, que correspode al dato ;.6=78, correspodete 7 6 al dato. Luego: 6 7 6 68 87 Q =, Q = 7. La sguete tabla muestra las frecuecas relatvas, f, de respuestas correctas cotestadas a u test de pregutas por persoas. x - - - - - f,,,,, Calcular la frecueca absoluta e cada tervalo y el hstograma de frecuecas absolutas. Solucó. x - - - - - f - - - - - CV 6
Estadístca. La dstrbucó de las otas obtedas por 6 alumos e u exame, agrupados e tervalos, es: clase. Notas [,) [,) [,) [,) [,) [,6) [6,7) [7,8) [8,) [,) º de alumos 7 6 Determe: a) la meda; b) la moda; c) el percetl. Solucó Costrumos la tabla co las marcas de a) La meda es x = =, 6 b) El tervalo modal es [,6). El valor que se x f x f asga se obte aplcado la fórmula [],, M o = + =, 6 +, Veamos de dóde sale esta fómula.,, Como dcamos e la teoría el puto que se asga es el de la fgura, 7,,,, 8, x - x 6, 7, 7, 6 8,,,, M o 6 7 6 Por semejaza de trágulos : x x = x=,6, luego M o =+,6 =,6 6 c) Para el cálculo del percetl ecestamos el plígoo de frecuecas acumulada [,) [,) [,) [,) [,) [,6) [6,7) [7,8) [8,) [,) N = 7 6 6 = N 8 6 6 6 7 P 8 Por terpolacó leal. y = 6 (x-7) Para y =, = 6x, de dode P = x = 7,67. De u cojuto de datos de meda se elma uo de ellos, de forma que los datos restates tee meda. Qué dato se ha suprmdo. Solucó x + x +... + x x + x +... + x Por defcó de meda se tee: = y =, de dode el dato que falta, que hemos llamado x, vale CV 7
Estadístca EJERCICIOS propuestos Los jugadores de u determado equpo de balocesto se clasfca segú por altura segú la tabla sguete: altura,7-,7,7-,8,8-,8,8-,-,-, º de jugadores 8 Queremos aalzar la varable altura para ello se pde: a) la meda, la moda y la medaa. b) la desvacó típca. c) los cuartles º y º.. Los pacetes que acude a ua cosulta médca se dstrbuye, segú la edad, e ua tabla: X(edad) [, ) [, ) [,) [, ) [, ) [,6) N (frecueca) 7 8 Se pde: a) El hstograma de frecuecas. b) La meda, desvacó típca, medaa y moda. c) Porcetaje de pacetes meores de años que acude a la cosulta.. a) Calcula la meda, moda, medaa y el percetl 7 de la varable del ejercco 6. b) Calcular el coefcete de varacó de Pearso (C p = σ x ). E u Isttuto de bachllerato exste dos grupos de COU para la asgatura de Matemátcas II. Las calfcacoes de la ª evaluacó para ua muestra de alumos de cada grupo fuero las sguetes: Grupo A 6 8 8 Grupo B 6 6 8 a) Qué grupo obtuvo mejores resultados? b) cuál es más homogéeo? Razoe ambas respuestas CV 8