Tema 5 Series uméricas Objetivos 1. Defiir series co wxmaxima. 2. Calcular sumas parciales de ua serie. 3. Iterpretar la defiició de suma de ua serie. 4. Calcular la suma de ua serie geométrica. 5. Calcular la suma de ua serie telescópica. 6. Aplicació práctica de los criterios de covergecia para series de térmios positivos. 7. Aplicació práctica del cálculo del domiio de ua serie de potecias. Coteidos 05-1. Defiició de serie. Ejemplos. 05-2. Series de térmios positivos. 05-3. Series alteradas. Covergecia absoluta y covergecia codicioal. 05-4. Series de potecias. Referecias AEM11 ALANINOS PRATS, J; EXTREMERA LIZANA, J; MUÑOZ RIVAS, P. (2011) Cálculo co wxmaxima. APJ11 BR09 ALANINOS PRATS, J; APARICIO DEL PRADO, C; EXTREMERA LIZANA, J; MUÑOZ RIVAS, P.; VILLENA MUÑOZ, A.R. (2011) Prácticas de ordeador co wxmaxima. BRUZÓN GALLEGO, M. DE LOS SANTOS; RAMÍREZ LABRADOR, JOSÉ (2009) Modelos matemáticos co Maxima BU07 DE BURGOS, JUAN (2007) Cálculo Ifiitesimal de ua variable (seguda edició). ES08 ESTELA CARBONELL, M. ROSA; SAÀ SEOANE, JOEL (2008) Cálculo co soporte iteractivo e moodle.
ES02 ESTEP, DONALD (2002) Practical Aalysis i oe variable JB01 JARAUTA BRAGULAT, EUSEBI (2001) Aàlisi Matemàtica d ua variable. Foamets i aplicacios. RR05 REDONDO NEBLE, M. VICTORIA; RODRÍGUEZ GALVÁN, J. RAFAEL (2005) Itroducció a Maxima RR08b RODRÍGUEZ RIOTORTO, MARIO (2008) Curso itesivo i-math de software libre orietado a Ciecias e Igeiería RU80 RUDIN, WALTER (1980) Pricipios de Aálisis Matemático. SP95 SPIVAK, MICHAEL (1995) Calculus (Càlcul Ifiitesimal). VR09 VALLEJO RODRÍGUEZ, JOSÉ ANTONIO (2009) Cálculo diferecial co Maxima 2 Tema 5: Series uméricas
05-1.- Defiició de serie. Ejemplos Los coteidos de este apartado se desarrolla e el fichero Tema_05-1.wxm. Si ( a ) Î es ua sucesió umérica, se llama suma parcial -ésima a A = a + a + + a Î 1 2, La sucesió de sumas parciales ( A ) Î se llama serie asociada a la sucesió ( a ) se acostumbra a desigar 1 a y Î. Si esta sucesió de sumas parciales, es decir la serie, es covergete, su límite se llama suma de la serie y se desiga a. 1 Para defiir ua serie umérica co wxmaxima hay que utilizar ua letra de ídice diferete e la sucesió iicial y e la sucesió de sumas parciales. Ejemplo 05-1.1. Veamos la defiició de ua serie co wxmaxima. La serie umérica 1 es. Obsérvese que hay que utilizar u ídice de suma diferete para la 2 1 1 sucesió y para las sumas parciales: Se puede obteer los primeros térmios de la sucesió de sumas parciales: Tema 5: Series uméricas 3
Tambié se puede obteer térmios cualesquiera de la sucesió de sumas parciales: Obsérvese el poco iterés que tiee la respuesta e los casos de las salidas (%o6), (%o8) y (%o10). La suma de la serie o se puede calcular de forma similar al límite de ua sucesió. Así, si se escribe e el programa el cálculo del límite se obtiee el resultado: Se podría pesar que la istrucció a aplicar es la que podría calcular la suma ifiita, es decir: El resultado muestra claramete que esto o es así y que el programa o hace igú cálculo. Por lo tato, habrá que aplicar otras metodologías para calcular la suma de ua serie, e el caso e que esto sea posible, es decir, cuado la serie es covergete y se cooce ua expresió de su suma. 4 Tema 5: Series uméricas
La codició ecesaria de covergecia establece que para que ua serie a pueda 1 ser covergete, la sucesió iicial ha de ser u ifiitésimo y e cas de o ser lo, la serie es divergete. Veamos u ejemplo. Ejemplo 05-1.2.- Si se cosidera la sucesió co la sucesió de sumas parciales o es covergete: a ( 1), se ve imediatamete que Ejemplo 05-1.3 (La serie geométrica). Si x es u úmero real cualquiera y se cosidera la sucesió de sus potecias de expoete atural 2 x 1, x, x,..., x,..., la serie 0 asociada a esta sucesió se llama serie geométrica. Esta serie es covergete si y sólo si, 1 se cumple x 1 y la suma de la serie es X 1 x. E efecto: Tema 5: Series uméricas 5
Por ejemplo, si 1 x la serie geométrica es covergete: 2 Si la suma comieza e u úmero 0 0, para calcular la suma de la serie geométrica hay que descotar los primeros 0 térmios; por ejemplo: 6 Tema 5: Series uméricas
Ejemplo 05-1.4 (Series telescópicas). Se llama serie telescópica a la asociada a la sucesió de diferecias de ua sucesió umérica, es decir, la serie a si. Si la sucesió a b b su suma es: 1 1 b es covergete, la serie telescópica es covergete y 1 a b lim b 1 1 1 1 1 1 Así, por ejemplo, la serie es telescópica, ya que 1 ( 1) ( 1) 1. Dado 1 que lim 0, la serie telescópica es covergete. Veamos los cálculos co 1 wxmaxima: Tema 5: Series uméricas 7
05-2.- Series de térmios positivos Ua serie umérica a se llama de térmios positivos si se cumple a 0 1, para todo 1. E este caso, la sucesió de sumas parciales es moótoa creciete y, por lo tato, la serie es covergete si la sucesió de sumas parciales es acotada superiormete. Los coteidos de este apartado se desarrolla e el fichero Tema_05-2.wxm. Ejemplo 05-2.1 (La serie armóica). U ejemplo muy coocido de serie de térmios positivos es la llamada serie armóica 1 1 que, auque la sucesió base es u ifiitésimo, resulta que es divergete. Veamos alguos cálculos co wxmaxima: Ua forma de obteer ua cierta aproximació de la suma, caso de ser acotada, es calcular alguos térmios co ídice grade de la sucesió de sumas parciales; por ejemplo: Esta respuesta, tal como se ha visto e el apartado aterior, o es ada fácil de iterpretar uméricamete; parece pues que hay que pedir al programa que os dé la 8 Tema 5: Series uméricas
represetació decimal de estas sumas parciales. Aprovechamos para icremetar sesiblemete el ídice: Como hay ua diferecia sigificativa etre estos resultados, calculamos u par más: Esto o da iformació cocluyete e este caso; sólo se puede ituir que la suma es cada vez más grade y que o parece estabilizarse. Más adelate veremos casos e que sí podremos sacar coclusioes más precisas. Fialmete, sólo os queda ilustrar el resultado ya coocido: que la suma de la serie armóica o es fiita, es decir: Las series de térmios positivos 1 p 1 se llama harmóicos geerales o de Riema. Estas series so covergetes si y sólo si, se cumple p 1. Por ejemplo si p 2 resulta: Tema 5: Series uméricas 9
Por lo tato, dado que la serie es covergete, se puede afirmar que la suma de la serie -4 es aproximadamete 1.6448 10. Ejemplo 05-2.2 (Criterio de la raíz o de Cauchy). Si positivos, este criterio se basa e el cálculo del límite a es ua serie de térmios 1 L A lim a 1/ Si se cumple 0 L A 1, la serie es covergete, si LA 1 la serie es divergete y si vale 1 o se puede cocluir ada por aplicació de este criterio. Cosideremos la serie umérica 1 2 1 La itroduciremos e el programa wxmaxima y calcularemos el límite que establece el criterio de la raíz: 10 Tema 5: Series uméricas
Co este resultado se puede cocluir que la serie es covergete. Ejemplo 05-2.3 (Criterio del cociete o de D Alembert). Si térmios positivos, este criterio se basa e el cálculo del límite a es ua serie de 1 L Q a lim a 1 Si se cumple 0 L Q 1, la serie es covergete, si LQ 1 la serie es divergete y si vale 1 o se puede cocluir ada por aplicació de este criterio. Cosideremos la serie umérica 1 2 1 La itroduciremos e el programa wxmaxima y calcularemos el límite que establece el criterio. Obteemos: Tema 5: Series uméricas 11
Por lo tato, la serie es covergete. Obsérvese que el cálculo de este límite si la ayuda del programa o es secillo. A título de comprobació de lo que se ha dicho sobre este criterio, apliquémoslo a las series armóicas vistas e el Ejemplo 05-2.1: e el primer caso resulta 12 Tema 5: Series uméricas
E el segudo caso, resulta: Obsérvese, pues, que el resultado obteido es el mismo todo y que las series tiee diferete carácter (la primera es covergete y la seguda divergete). Ejemplo 05-2.4 (La serie expoecial). El úmero e se puede defiir como suma de ua serie de térmios positivos: 1 e! La implemetació de los cálculos co wxmaxima es la siguiete: 0 Tema 5: Series uméricas 13
Sabiedo que la serie es covergete, calcularemos u par de sumas grades y compararemos los resultados: Co esta iformació, se puede escribir la aproximació del úmero e: e 14 2.718281828459046 10. 14 Tema 5: Series uméricas
05-3.- Series alteradas. Covergecia absoluta y covergecia codicioal Los coteidos de este apartado se desarrolla e el fichero Tema_05-3.wxm. Si a 0, se llama series alteradas las que tiee la forma ( 1) a ; 1 1 a 1 ( 1) E wxmaxima se puede ver esta defiició de la forma siguiete; de la primera: Y ahora de la seguda: Tema 5: Series uméricas 15
E el primer caso, las sumas parciales de ídice par forma ua sucesió moótoa decreciete y las de ídice impar ua sucesió moótoa creciete. E el segudo caso, la situació es justamete la cotraria. El criterio de covergecia que se aplica e el caso de las series alteradas es el llamado criterio de Leibiz, segú el cual si la sucesió ( a ) es u ifiitésimo y moótoa decreciete, etoces las series alteradas defiidas ates so covergetes. Veamos u ejemplo. Ejemplo 05-3.1. Se cosidera la serie alterada covergete, ya que la sucesió 1 Defiimos la serie co wxmaxima: 1 1 ( 1). Se trata de ua serie cumple las codicioes del criterio de Leibiz. Ahora vemos las primeras sumas parciales de ídice par y de ídice impar: Para poder estudiar la mootoía, sería mejor teer los valores uméricos de estas sumas parciales: 16 Tema 5: Series uméricas
Se puede ituir que las sumas parciales de ídice par forma ua sucesió moótoa decreciete y las de ídice impar ua sucesió moótoa creciete. Como es coocido, se puede determiar u itervalo e el que haya la suma de la serie, calculado sumas parciales de orde superior. Comezaremos por obteer uas cuatas sumas parciales de ídice par y después otras de ídice impar: Por lo tato, se puede afirmar que la suma de la serie se ecuetra e el itervalo 0.693, 0.692. Covergecia absoluta.- La covergecia absoluta de ua serie umérica referecia a la covergecia de la serie de térmios positivos la covergecia absoluta implica la covergecia (ordiaria). 1 a a hace 1, verificádose que Tema 5: Series uméricas 17
El recíproco o es cierto y puede ser que ua serie a sea covergete o lo sea 1 absolutamete; e este caso se dice que la serie es codicioalmete covergete. Por ejemplo, la serie estudiada e el Ejemplo 05-3.1 es codicioalmete covergete. 18 Tema 5: Series uméricas
05-4.- Series de potecias Los coteidos de este apartado se desarrolla e el fichero Tema_05-4.wxm. Si a es ua sucesió umérica, x Î es u úmero real cualquiera y x 0 Î es u úmero real fijo, se llama serie de potecias cetrada e x 0 a la serie a ( 0) x x. Si x0 0 la serie frecuete. 0 ax se llama cetrada e el orige, que acostumbra a ser el caso más 0 El carácter de ua serie de potecias depede de la sucesió a y del úmero x Î, de la siguiete maera: si se desiga por L lim a se cumple Si L 0 la serie es covergete para todo x Î ; Si L la serie es covergete sólo si x 0 ; Si 0 L la serie es absolutamete covergete e el itervalo x Rx, R, siedo R 1/ L. 0 0 El úmero real R > 0 se llama radio de covergecia de la serie de potecias. E los putos x x0 R, x x0 R hay que estudiar la covergecia de la serie umérica correspodiete. El cojuto de putos e los que la serie es covergete se llama domiio de covergecia. Cabe decir que e ocasioes se puede calcular más fácilmete a 1 el límite lim 1/ L ; si este límite existe, etoces coicide co lim a. Defiició a de ua serie de potecias cetrada e x 0 co wxmaxima: 1/ Tema 5: Series uméricas 19
Defiició de ua serie de potecias cetrada e el orige co wxmaxima: Ejemplo 05-4.1. Se cosidera la serie de potecias defiiremos co wxmaxima: 0 1 x!. E primer lugar la 20 Tema 5: Series uméricas
Ahora determiaremos su domiio de covergecia: Por lo tato, la serie es absolutamete covergete para todo úmero real (radio de covergecia ifiito). Ejemplo 05-4.2. Se cosidera la serie de potecias defiiremos co wxmaxima: 0 x!. E primer lugar la Tema 5: Series uméricas 21
Ahora determiaremos su domiio de covergecia: Por lo tato, la serie es covergete úicamete e el orige (radio de covergecia ulo). Ejemplo 05-4.3. Se cosidera la serie de potecias 0 1 x : Ahora determiaremos su domiio de covergecia: 22 Tema 5: Series uméricas
Por lo tato, la serie es absolutamete covergete e el itervalo 1,1. E los putos x 1, x 1 las series uméricas correspodietes so divergetes. 1 Ejemplo 05-4.4. Se cosidera la serie de potecias x 2. E primer lugar la 0 defiiremos co wxmaxima y fialmete determiaremos su domiio de covergecia: Por lo tato, la serie es absolutamete covergete e el itervalo 1,1. E los putos x 1, x 1 las series uméricas correspodietes so covergetes. E defiitiva, el domiio de covergecia de la serie es el itervalo 1,1. Tema 5: Series uméricas 23