16.21 Técncas de dseño y análss estructural Prmavera 2003 Undad 8 Prncpo de desplazamentos vrtuales Prncpo de desplazamentos vrtuales Tengamos en cuenta un cuerpo en equlbro. Sabemos que el campo de esfuerzo debe satsfacer las ecuacones dferencales del equlbro. Multplque las ecuacones dferencales del equlbro por un campo de desplazamento arbtraro u : Observe que el campo u NO es el campo de desplazamento real u correspondente a la solucón del problema sno un campo de desplazamento vrtual. Por lo tanto, la ecuacón (1) se puede nterpretar como la expresón local del trabajo vrtual realzado por los esfuerzos reales y las fuerzas corporales sobre el desplazamento vrtual u y que debe ser cero. El trabajo vrtual total realzado sobre el cuerpo se obtene medante ntegracón sobre el volumen: y tambén debe ser cero ya que el ntegrando es cero en todas partes del domno. La ntegral sobre la superfce se puede descomponer en dos: una ntegral sobre la parte de la frontera donde se especfcan las cargas de superfce externas reales (traccones) S t y una ntegral sobre la parte de la frontera donde se especfcan los desplazamentos (apoyos) S u. Esto mplca que los conjuntos dsjuntos y complementaros, esto es,
Requerremos que los desplazamentos vrtuales u se anulen en S u, es decr, que el campo de desplazamento vrtual satsfaga las condcones de frontera esencales homogéneas: Entonces, la segunda ntegral se anula. La expresón resultante es un enuncado del Prncpo de los desplazamentos vrtuales (PVD): Dce: el trabajo realzado por las traccones externas y por las fuerzas nterores en un campo de desplazamento admsble (dferencable y que satsfaga las condcones de frontera homogéneas pero, de otro modo, arbtraro) es gual al trabajo realzado por los esfuerzos equlbrados (la solucón real del problema) sobre las deformacones vrtuales (las deformacones producdas por el campo vrtual). Ejemplo: consdere la barra bajo una carga sometda a traccón que se muestra en la fgura: El segundo térmno en el lado zquerdo es cero porque hemos solctado que u = 0 en el
soporte. Observe que no hemos solctado nnguna condcón para u en x 1 = L donde se aplca la carga. La únca manera en que esta expresón se puede satsfacer para cualquer campo de desplazamento vrtual admsble u es s: lo que representa las condcones de equlbro en la frontera y dentro de la barra, respectvamente: Ejemplo: con la solucón exacta del problema de la barra bajo una carga sometda a traccón, verfque que el PVD se cumple para los sguentes campos de desplazamentos vrtuales:
Comentaros: Prncpo de los desplazamentos vrtuales: asegura el equlbro (en forma débl) asegura las condcones de frontera (natural) de traccón NO asegura las condcones de frontera (esencal) del desplazamento se cumplrá en todas las solucones equlbradas, compatbles o ncompatbles Método de desplazamento Unt dummy Otra aplcacón del PVD: faclta el modo de calcular reaccones (o desplazamentos) en estructuras drectamente a partr del PVD. Consdere la fuerza de reaccón concentrada en el punto "0" de una estructura en equlbro bajo un conjunto de cargas y apoyos. Podemos recomendar un campo de desplazamento admsble arbtraro u y el PVD se sostendrá. El método de desplazamento unt dummy consste en la eleccón del campo de desplazamento vrtual de modo tal que u (x 0 ) = 1 en la dreccón de la reaccón R 0 en la que estamos nteresados. Entonces, el trabajo vrtual de la reaccón es u 0 R 0 = R 0. Así, el PVD dce (en ausenca de fuerzas nterores): donde son las deformacones vrtuales producdas por el campo de desplazamento vrtual u 0. Ejemplo:
Dferentes áreas y materales de la seccón transversal: E 1, E 2, E 3, A 1, A 2, A 3. Para un elemento de celosía: σ = Eε (estado unaxal). Observe: los índces en estas expresones sólo dentfcan el número de elementos de celosía. El objetvo es facltar expresones de los esfuerzos vrtuales en térmnos del desplazamento vrtual v a fn de que se anulen. A partr de la fgura, las deformacones que sguen a los elementos de celosía como resultado de un desplazamento de la punta v son: L2 donde hemos utlzado el hecho de que: L1 cosθ =. Intetamos extraer la parte lneal de esta deformacón, la cual debería tener una dependenca lneal sobre el desplazamento v, lo cual se puede realzar medante una expansón en seres de Taylor del térmno de la raíz cuadrada 1+ 2x = 1 + x + O[x] 2 (Consejo para Mathematca: las expansones en sere de Taylor se pueden obtener utlzando la funcón Seres. En este caso: Seres[Sqrt[1 + 2x], x, 0, 3].
que es la expresón buscada. La expresón para ε 2 se puede obtener de una manera mucho más senclla: Aplcando la relacón consttutva: σ I = E I ε I podemos obtener los esfuerzos en térmnos del desplazamento de la punta v: Estas expresones de las deformacones anterores tambén se aplcan al caso de un campo de desplazamento vrtual cuyo valor en la punta es v. Las deformacones vrtuales resultantes son: Como se esperaba la v se elmna, ya que el prncpo debe regr para todos sus valores vrtuales admsbles y obtenemos una expresón de la carga externa P y el desplazamento verdadero resultante v. Esta expresón se puede smplfcar utlzando: L 2 = L 1 cos θ = L 3 cos θ :