Part stadístca Prof. María B. Ptarll GIÓN LINAL IMPL. Itroduccó muchos problmas st ua rlacó tr dos o más varabls, rsulta d trés studar la aturalza d sa rlacó. l aálss d rgrsó s la técca stadístca para l modlado la vstgacó d la rlacó tr dos o más varabls. amos u jmplo. Los rsorts s usa aplcacos por su capacdad para alargars (cotrars) bajo carga. La rgdz d u rsort s md co la costat dl rsort, qu s la logtud dl rsort qu s alargará por udad d la furza o d la carga. Para asgurars d qu u rsort dado fucoa adcuadamt s csaro calcular la costat d rsort co acttud prcsó. st prmto hpotétco u rsort s culga vrtcalmt co u trmo fjo, los psos s culga uo tras otro dl otro trmo. Dspués d colgar cada pso s md la logtud dl rsort. a,,..., los psos, sa l la logtud dl rsort bajo la carga. La l d Hook stablc qu l dod rprsta la logtud dl rsort cuado o t carga s la costat dl rsort. a la logtud mdda dl rsort bajo la carga. Dbdo al rror d mdcó srá dfrt d la logtud vrdadra l. scrb como dod l ε ε s l rror la -ésma mdcó. Al combar ambas cuacos s obt ε (.) la cuacó (.), s la varabl dpdt, s la varabl dpdt, so los cofcts d rgrsó, ε s doma rror. A la cuacó (.) s la llama modlo d rgrsó lal smpl. La tabla sgut prsta los rsultados dl prmto la fgura l dagrama d dsprsó d cotra. Pso (lb) Logtud mdda (pulg) Pso (lb) Logtud mdda (pulg), 5,6, 5,4, 5,, 5,57,4 5,,4 5,47,6 5,3,6 5,53,8 5,4,8 5,6, 5,6 3, 5,59, 5,5 3, 5,6,4 5,9 3,4 5,75,6 5,4 3,6 5,68,8 5,46 3,8 5,8 9
Part stadístca Prof. María B. Ptarll 5,8 Logtud(pulg) 5,6 5,4 5, 5 3 4 Pso(lb) La da s utlzar stos datos para stmar los cofcts d rgrsó. o hubs rror la mdcó, los putos s cotraría ua lía rcta co pdt ordada al org, stas catdads sría fácls d dtrmar. La da s tocs qu los putos stá dsprsos d mara alatora alrddor d ua rcta qu s la rcta d rgrsó lal l. gral podmos dcr qu al fjar l valor d obsrvamos l valor d la varabl. b s fjo, l valor d stá afctado por l rror alatoro ε. Por lo tato ε dtrma las propdads d. scrbmos gral ε dod s, por ahora, ua varabl o alatora, ε s la v.a. dl rror asummos qu ( ε ) ( ε ) tocs s ua varabl alatora tal qu ( ) ( ε) ( ε) ( ) ( ε) ( ε) coscuca, l modlo d rgrsó vrdadro ( ) s ua rcta d valors promdo. Notar qu lo atror mplca qu st ua dstrbucó d valors d para cada, qu la varaza d sta dstrbucó s la msma para cada. La sgut fgura lustra sta stuacó Notar qu s utlzó ua dstrbucó ormal para dscrbr la varacó alatora ε. Por lo tato la dstrbucó d també srá ormal. La varaza dtrma la varabldad las obsrvacos. por lo tato, cuado s pquño, los valors obsrvados d ca crca d la lía, cuado s grad, los valors obsrvados d pud dsvars cosdrablmt d la lía. Dado qu s costat, la varabldad para cualqur valor d s la msma.
Part stadístca Prof. María B. Ptarll ( ). grsó lal smpl- stmacó d parámtros Para stmar los cofcts d rgrsó s utlza l método d mímos cuadrados. upogamos qu s t pars d obsrvacos (, );(, );...;(, ). alzamos ua gráfca rprstatva d los datos ua rcta como posbl rcta d rgrsó Aotamos a la rcta d rgrsó stmada co ŷ cta d rgrsó stmada
Part stadístca Prof. María B. Ptarll Las stmacos d db dar como rsultado ua lía qu algú stdo s ajust mjor a los datos. l método d mímos cuadrados cosst stmar d mara tal qu s mmc la suma d los cuadrados d las dsvacos vrtcals mostradas la fgura atror. La suma d los cuadrados d las dsvacos d las obsrvacos co rspcto a la rcta d rgrsó s L Los stmadors d mímos cuadrados d, qu aotamos, db satsfacr las sguts cuacos L L (.) Dspués d smplfcar las prsos atrors, s llga a (.3) Las cuacos (.3) rcb l ombr d cuacos ormals d mímos cuadrados. La solucó d stas cuacos da como rsultado las stmacos d mímos cuadrados (.4) (.5) dod
Part stadístca Prof. María B. Ptarll Las dfrcas co,..., s llama rsduos. l rsduo dscrb l rror l ajust dl modlo la -ésma obsrvacó. Para aglzar la otacó so útls los sguts símbolos ( ) (.6) ( ) (.7) tocs co sta otacó podmos scrbr jmplo: Ajustamos u modlo d rgrsó lal a los datos dl jmplo atror. La stmacó d la costat dl rsort s la stmacó d la logtud s carga. D la tabla obtmos.9 5. 3885 6.6 5. 443 5.443 tocs. 46 6.6 5.3885.46.9 4. 9997 La cuacó d la rcta stmada s 4.9997. 46 La fgura sgut mustra l gráfco d dsprsó co la rcta d rgrsó stmada 5,8 5,6 5,4 5, 5 3 4 X 3
Part stadístca Prof. María B. Ptarll Podmos utlzar la rcta d rgrsó stmada para prdcr la logtud dl rsort bajo ua carga dtrmada, por jmplo co ua carga d.3 lb: 4.9997.46(.3) 5.7pulg. Podmos també stmar la logtud dl rsort bajo ua carga d.4 lb: 4.9997.46(.4) 5.9pulg. Notar qu la logtud mdda para ua carga d.4 lb s 5.9 pulg., pro la stmacó d mímos cuadrados d 5.9 pulg. stá basada todos los datos s más prcsa (t mor crtdumbr). Mas adlat calcularmos la varaza d stos stmadors. Obsrvacos: - Las stmacos d mímos cuadrados so valors d varabls alatoras dcho valor varía co las mustras. Los cofcts d rgrsó so costats dscoocdas qu stmamos co. - Los rsduos o so lo msmo qu los rrors ε. Cada rsduo s la dfrca tr l valor obsrvado l valor ajustado, s pud calcular a partr d los datos. Los rrors ε rprsta la dfrca tr los valors mddos los valors. Como los valors vrdadros d o s cooc tocs, los rrors o s pud calcular. 3- Qué sucd s s qusra stmar la logtud dl rsort bajo ua carga d lb? La stmacó d mímos cuadrados s 4.9997.46() 5.46pulg. pro sta stmacó o s cofabl, pus guo d los psos l cojuto d datos s ta grad. s probabl qu l rsort s dformara, por lo qu la l d Hook o valdría. Para muchas varabls las rlacos lals val dtro d crto rago, pro o fura d él. s qur sabr cómo rspodría l rsort a ua carga d lb s db clur psos d lb o maors l cojuto d datos. Por lo tato o ha qu trapolar ua rcta ajustada fura dl rago d los datos. La rlacó lal pud o sr válda ahí..3 Propdads d los stmadors d mímos cuadrados stmacó d Los stmadors d los aotamos ( ) (.8) Como so stmadors d rspctvamt, so varabls alatoras, por lo tato podmos calcular su spraza varaza. Como stamos asumdo qu o s v.a. tocs so fucos d la v.a.. cordmos qu l modlo s ε, s mdmos vcs la varabl tmos ε 4
Part stadístca Prof. María B. Ptarll 5 dod asummos ε ; ε,...,, ε ε ε,...,, dpdts Por lo tato ε ε ε ε Cosdramos. Podmos vr a como ua combacó lal d las varabls, tocs Notar qu Por lo tato s u stmador ssgados d amos ahora la varaza d Por lo tato (.9)
Part stadístca Prof. María B. Ptarll 6 Co u foqu smlar calculamos la spraza la varaza d Calculamos la varaza d, para sto platamos: Cov, Tmos qu r, j Cov por dp.,,,,, Cov Cov Cov Cov Cov Por lo tato Cov, tocs (.) Ncstamos stmar la varaza dscoocda qu aparc las prsos d. Los rsduos s mpla para stmar. La suma d los cuadrados d los rsduos s (.)
Part stadístca Prof. María B. Ptarll 7 Pud dmostrars qu, coscuca. tocs s toma como stmador d a (.) Pud obtrs ua fórmula más covt para l cálculo d, para sto prmro otar qu las cuacos ormals (.) s pud scrbr como tocs Por lo tato També s pud scrbr rsum ó (.3) Por lo tato s aotamos a la dsvacó stádar stmada d co s s rspctvamt tocs
Part stadístca Prof. María B. Ptarll s s (.4) jmplo: l jmplo atror s calculó,. 9, 5. 3885, 6. 6, 5. 443. Calculamos ahora ( ). 733 tocs 5.443.733 6.6 8.337 s.337 6.6.4. s.337.9.4789 6.6 Obsrvacó: La varaza d s pud dsmur tomado valors mu dsprsos co rspcto a pus d sta forma aumta Para costrur trvalos d cofaza para los cofcts d rgrsó o para costrur prubas d hpótss co rspcto a o cstamos asumr qu los rrors ε t dstrbucó ormal. tocs ε ~ N(, ) Obsrvacó: ε ~ N (, ) tocs, como ε, rsulta qu ~ N(, ). pud calcular tocs los M d los parámtros llgaríamos a qu so los msmos qu los cotrados usado mímos cuadrados. D modo qu la fucó qu cumpl la suposcó d ormaldad d los ε o s otra qu la d justfcar l uso dl método d mímos cuadrados, qu s l mas scllo d calcular. a vmos qu pud cosdrars combacos lals d las, por lo tato so combacó lal d varabls alatoras dpdts co dstrbucó ormal so mplca qu ~ N, N ~, (.5) 8
Part stadístca Prof. María B. Ptarll tocs - ~ N (,) ~ N(,) (.6) Bajo la suposcó qu los rrors t dstrbucó ormal, s pud probar qu també s pud probar qu ~ χ - (.7) - ~ t - ~ t - (.8).4 Ifrcas stadístcas sobr los parámtros d rgrsó upomos qu los rrors t dstrbucó ormal, co mda cro, varaza dpdts. Ifrcas sobr so Tsts d hpótss sobr dsa probar la hpótss d qu la pdt s gual a ua costat, por jmplo. upogamos las hpótss : : H cotra H l stadístco d pruba s T qu bajo H t dstrbucó tudt co - grados d lbrtad. rchazar H s T > t Por lo tato la rgla d dcsó s acptar H s T t H : > s rchaza H : s T > tα, H : < s rchaza H : s T < tα, α, α, 9
Part stadístca Prof. María B. Ptarll U caso spcal mportat s cuado H : cotra H : stas hpótss stá rlacoadas co la sgfcaca d la rgrsó. Acptar H s quvalt a coclur qu o ha gua rlacó lal tr. : : H s rchaza mplca qu t mportaca al plcar la varabldad. També pud sgfcar qu l modlo lal s adcuado, o qu auqu st fcto lal pud obtrs mjors rsultados agrgado térmos polomals d maor grado. jmplos: - l fabrcat dl rsort d los datos d la l d Hook afrma qu la costat dl rsort s al mos.3 pulg/lb. ha calculado qu la costat dl rsort s. 46 pulg/lb. pud coclur qu la afrmacó dl fabrcat s falsa? olucó: rqur ua pruba d hpótss para cotstar la prguta. Las hpótss sría H.3 cotra H. 3 : : < l stadístco d pruba s T.3 calculó atrormt., tocs l valor t qu toma l stadístco s t.46.3..8 Calculamos l p-valor rcordado qu bajo H :. 3, T ~ t - : p valor P ( T <.8) mos la tabla d la dstrbucó tudt qu la fla ν 8 grados d lbrtad ( >.) ( >.55) P T P T.5..< p valor <. 5 Por lo tato s rchaza H. 3 : - La capacdad d ua uó soldada d alogars bajo tsó stá afctada por l compusto químco dl mtal d soldadura. u prmto para dtrmar l fcto dl cotdo d carboo () sobr la logacó () s alogaro 39 soldaduras hasta la fractura, s mdó tato l cotdo d carboo ( parts por ml) como la logacó ( %). calcularo los sguts rsúms stadístcos:.656 ; 3. 997 ; 4. 339
Part stadístca Prof. María B. Ptarll upodo qu sgu u modlo lal, calcular l cambo stmado la logacó dbdo a u aumto d ua part por ml l cotdo d carboo. db utlzar l modlo lal para proostcar la logacó dl cotdo d carboo? olucó: l modlo lal s ε, l cambo d logacó dbdo a u aumto d ua part por ml l cotdo d carboo s. Las hpótss sría H cotra H : : La hpóts ula stablc qu crmtar l cotdo d carboo o afcta la logacó, mtras qu la hpótss altratva stablc qu sí afcta la logacó. l stadístco d pruba T s : H s vrdadra t dstrbucó tudt co gados d lbrtad. Calculamos ( ) 3.997.656 4.339 5.348.656 5.959 5.959 l valor qu toma l stadístco d pruba s t. 4 5.348 p valor P T ( >.4) >.. Por lo tato o ha vdca cotra d la hpótss ula. No s pud coclur qu l modlo lal sa útl para proostcar la logacó a partr dl cotdo d carboo. Itrvalos d cofaza para Podmos costrur trvalos d cofaza para d vl stadístco ~ t. l trvalo sría - α utlzado l hcho qu l t α ; tα (.9),,
Part stadístca Prof. María B. Ptarll jmplo: Dtrmar u trvalo d cofaza d vl.95 para la costat dl rsort d los datos d la l d Hook. olucó: calculó ats. 46. l úmro d grados d lbrtad s 8, α. 5 por lo tato t t. α,.5,8 Por lo tato l trvalo s [.46.(. );.46.(.) ] [.8;.8] Ifrcas sobr D mara smlar a lo vsto sobr, s pud dducr trvalos d cofaza tsts d hpótss para spcífcamt, s tmos las hpótss H : cotra H : l stadístco d pruba s T - bajo H : tmos qu T ~ t - rchazar H s T > t Por lo tato la rgla d dcsó s acptar H s T t H : > s rchaza H : s T > tα, H : < s rchaza H : s T < tα, α, α, Itrvalos d cofaza d vl α s dduc d mara aáloga a lo vsto atrormt, - dod usamos l hcho qu l stadístco T ~ t - l trvalo s tα ; tα,, (.)
Part stadístca Prof. María B. Ptarll 3 jmplo: los datos d la l d Hook dtrm u trvalo d cofaza d vl.99 para la logtud dl rsort o cargado. olucó: La logtud dl rsort o cargado s. ha calculado atrormt 9997 4..4789 s l úmro d gados d lbrtad s 8 como. α tocs.878.5,8, t t α Por lo tato l trvalo s [ ] [ ] 5.73 4.983;.4789.878 4.9997.878.47893 ;.9997 4.5 Itrvalo d cofaza para la rspusta mda A mudo s d trés stmar mdat u trvalo d cofaza, s dcr stmar la mda para u valor spcífco. U stmador putual razoabl para s. abmos qu. Como d costumbr cstamos costrur u stadístco a partr d qu cotga al parámtro d trés, ( st caso ) dl cual coozcamos la dstrbucó d probabldad. Psamos l stadístco Nos falta calcular. Para sto uvamt obsrvamos qu s ua combacó lal d las varabls Por lo tato:
Part stadístca Prof. María B. Ptarll ( ) Notar qu ( ) ( ) tocs ( ) Por lo tato ( ) ~ N ; (.) Como s dscoocdo lo rmplazamos por, pud probars qu ( ) ( ) t dstrbucó tudt co grados d lbrtad azoado como casos atrors, l trvalo d cofaza para d vl α s t ; α tα (.),, jmplo: Mdat los datos d la l d Hook calcular u trvalo d cofaza d vl.95 para la logtud mda d u rsort bajo ua carga d.4 lb olucó: Para aplcar (.) cstamos calcular ; ; ;. st caso. 4 α. 5, por lo tato t. α t.5,8 a tmos calculado d jmplos atrors:.575.9 6.6, 4.9997. 46 D aquí a calculamos 4.9997.46.4 5. 86 4
Part stadístca Prof. María B. Ptarll tocs l trvalo s: 5.86..575 [ 5.6; 5.3] (.4.9) (.4.9) 6.6 ; 5.86..575 6.6 Obsrvacos: - Notar qu l acho dl trvalo d cofaza para ( ) dpd dl valor d. l acho dl trvalo s mímo cuado crc a mdda qu aumta. - Al rptr los cálculos atrors para varos valors dfrts d pud obtrs trvalos d cofaza para cada valor corrspodt d ( ). la fgura sgut s prsta l dagrama d dsprsó co la rcta stmada los corrspodts trvalos d cofaza d vl.95 grafcados co las lías fror supror rfrdos al jmplo atror. orga tocs ua bada d cofaza qu vulv a la rcta stmada. 5,8 5,6 5,4 5, 5 3 4 X.6 Itrvalos d prdccó para futuras obsrvacos Ua aplcacó mportat d u modlo d rgrsó s la prdccó d obsrvacos uvas o futuras d, corrspodts a u vl spcfcado d la varabl. s l valor d d trés, tocs ua stmacó putual d la obsrvacó ε s. Para hallar u trvalo d prdccó para d vl α dbmos costrur u stadístco a partr d. Prmro otamos qu s s ua uva obsrvacó, tocs s dpdt d las obsrvacos utlzadas para dsarrollar l modlo d rgrsó. Cosdramos. Calculamos su spraza varaza: 5
Part stadístca Prof. María B. Ptarll 6 ε ε ε Por lo tato N ; ~ (.3) coscuca ; ~ N (.4) rmplazamos por su stmacó s pud probar qu - ~ t (.5) Por l argumto usual llgamos al sgut trvalo d prdccó d vl α para : t t,-,- ; - α α (.6) jmplo: Calcular l trvalo d prdccó co vl.95 para la logacó d u rsort bajo ua carga d.4 lb. olucó: l trvalo s [ ] 5.434 5.665; 6.6.9.4.575. 5.86 ; 6.6.9.4.575. 5.86
Part stadístca Prof. María B. Ptarll Obsrvacos: - U trvalo d cofaza s u trvalo qu cot, co u vl d cofaza fjado, u parámtro dtrmado d trés. U trvalo d prdccó s u trvalo qu cot, co u vl d cofaza fjado, ua varabl alatora d trés. - l acho dl trvalo d prdccó s mímo cuado crc a mdda qu aumta. Al comparar (.5) co (.) s obsrva qu l trvalo d prdccó l puto smpr s más grad qu l trvalo d cofaza. sto s db a qu l trvalo d prdccó dpd tato dl rror dl modlo ajustado como dl rror asocado co las obsrvacos futuras. 3- Al rptr los cálculos atrors para varos valors dfrts d pud obtrs los trvalos d prdccó. la fgura sgut s prsta l dagrama d dsprsó co la rcta stmada los corrspodts trvalos d cofaza d prdccó d vl.95 grafcados co las lías fror supror rfrdos al jmplo atror. orga tocs ua bada d cofaza (lía cotua) otra bada d prdccó (lía trcortada) qu vulv a la rcta stmada. sto lustra qu los trvalos d cofaza so mos amplos qu los trvalos d prdccó. 5,8 5,6 5,4 5, 5 3 4 X.7 Ídc d ajust cosdramos l ajust por mímos cuadrados d los pars d datos (, ) al modlo ε tocs s fácl vrfcar qu l stmador d mímos cuadrados d s, la suma d rsduos al cuadrado s ( ). Por otro lado s cosdramos l modlo lal ε tocs tmos u valor d ( ) qu srá mor o gual a ( ). 7
Part stadístca Prof. María B. Ptarll La catdad s df como (.7) s llamado cofct d dtrmacó. mos qu ( ) gral. l valor d, lo qu sgfca ajust lal prfcto. srá cro s srá uo s s trprta como la proporcó d varacó d la rspusta qu s plcada por l modlo. La catdad s llamada ídc d ajust, s a mudo usada como u dcador d qué ta b l modlo d rgrsó ajusta los datos. Pro u valor alto d o sgfca csaramt qu l modlo d rgrsó sa corrcto. jmplo: l jmplo d la l d Hook, tmos ( ). 733 5.443.733 6.6.5956.5956 Por lo tato. 94966.733, l ídc d ajust s a mudo llamado cofct d corrlacó mustral. la varabl fjada s ua varabl alatora, tocs tdríamos ua v.a. bdmsoal ( X, ) co ua X,,...,. dstrbucó d probabldad cojuta, tmos ua mustra d pars upogamos qu stamos trsados stmar ρ l cofct d corrlacó tr X. s dcr s razoabl stmar ρ [( X ( X) )( )] ( X) [( X ( X) )( )] co ( X X)( ) ( X) co ( X X) co ( ) Por lo tato u stmador atural d ρ s ( X X)( ) ( X X) ( ) X ρ (.8) XX 8
Part stadístca Prof. María B. Ptarll s dcr l ídc d ajust stma la corrlacó tr X X s ua varabl alatora, tocs s obsrva pars dpdts qu cumpl l modlo ε X X, co,..., asummos qu X ε so dpdts qu las ε t todas la msma dstrbucó X X co ( ε ), tocs ( ) admás supomos qu ε ~ N(, ) máma vrosmltud para los parámtros tocs s pud probar qu los stmadors d so X ( X X) X XX ( X X) s dcr so los msmos stmadors a los dados por l método d mímos cuadrados l caso d supor qu X s ua varabl matmátca. També s pud probar qu bajo las suposcos hchas (.7) (.8) sgu sdo váldas. Las dstrbucos d los stmadors dpd ahora d las dstrbucos d las X. Pud probars qu sgu sdo ssgados, qu su dstrbucó codcoal las X s ormal, pro gral su dstrbucó o srá ormal..8 Aálss d rsduos l ajust d u modlo d rgrsó rqur varas suposcos. La stmacó d los parámtros dl modlo rqur la suposcó d qu los rrors so varabls alatoras dpdts co mda cro varaza costat. Las prubas d hpótss la stmacó d trvalos rqur qu los rrors sté dstrbudos d mara ormal. Admás s supo qu l grado dl modlo s corrcto, s dcr, s s ajusta u modlo d rgrsó lal smpl, tocs s supo qu l fómo raldad s comporta d ua mara lal. db cosdrar la valdz d stas suposcos como dudosas amar cuá adcuado s l modlo qu s propo. A cotuacó s studa métodos qu so útls para st propósto. Los rsduos d u modlo d rgrsó so,,...,. A mudo l aálss d los rsduos s útl para vrfcar la hpótss d qu los rrors t ua dstrbucó qu s 9
Part stadístca Prof. María B. Ptarll apromadamt ormal co varaza costat, també para dtrmar la utldad qu t la adcó d más térmos al modlo. s posbl stadarzar los rsduos mdat l cálculo d,,...,. També s pud probar qu la varaza dl -ésmo rsduo s gual a ( ) ( ) tocs podmos cosdrar al -ésmo rsduo studtzado qu s df como r ( ) t dsvacó stádar utara. los rrors t ua dstrbucó ormal, tocs apromadamt l 95% d los rsduos stadarzados db car l trvalo ( ; ). Los rsduos qu s alja mucho d st trvalo pud dcar la prsca d u valor atípco, s dcr, ua obsrvacó qu o s comú co rspcto a los dmás datos. A mudo s útl hacr ua gráfca d rsduos cotra la varabl dpdt. st caso la gráfca tdría qu sr ua ub d putos s gú patró l trvalo ( ; ) ; pus sría lo qu quda d al qutarl la fluca d. la gráfca aparc algú patró qur dcr qu o stamos qutado d las toda la fluca d las. Patros usuals para las gráfcas d rsduos sul sr los d las sguts fguras: la fgura a) s rprsta la stuacó dal, ua ub d putos s gú patró l trvalo ( ; ). Las fguras b), c) d) rprsta aomalías. los rsduos aparc como b) o c) dca qu l modlo s adcuado. La fgura d) mustra rsduos qu dca qu la varaza d las obsrvacos varía co la magtud d. Comúmt s utlza ua trasformacó d datos sobr la rspusta para lmar st problma. Las trasformacos más utlzadas para stablzar la varaza so, l o. la fgura d) la varaza d las obsrvacos dsmu co l aumto d,3 a),3 rsduos,3 -,7 -,7,4,8,,6 3
Part stadístca Prof. María B. Ptarll b) 4,7,7 rsduos,7 -,3-3,3,4,8,,6 c) 4,7,7 rsduos,7 -,3-3,3,4,8,,6 d) 4,7,7 rsduos,7 -,3-3,3,4,8,,6 jmplo: Para los datos sobr la l d Hook la gráfca d rsduos s 3
Part stadístca Prof. María B. Ptarll,5,5 rsduos,5 -,5 -,5 -,5 3 4 X Para l caso qu ( X, ) s ua v.a. bdmsoal, o smpr s stá trsado la rlacó lal qu dfa ( / X). o, úcamt sabr s X so varabls alatoras dpdts. asummos qu la dstrbucó cojuta d ( X, ) s ua dstrbucó llamada ormal bvarada, tocs probar qu ρ s quvalt a probar qu X so dpdts. pud probar qu s la dstrbucó cojuta d ( X, ) s ormal bvarada, tocs s l stmador d máma vrosmltud d ρ. Pro s dfícl obtr la dstrbucó d probabldad para. pud suprar sta dfcultad mustras bastat grads al utlzar l hcho qu l stadístco ( ) l t apromadamt ua dstrbucó ormal co mda ρ µ ( ) l ρ varaza. 3 Por lo tato para probar la hpótss H : ρ ρ podmos utlzar l stadístco d pruba Z ( ) l ( ) ρ l ρ 3 (.9) Para costrur trvalos d cofaza d vl l cofct ρ s llga a ρ α para ρ, s dspja µ ( ) l ρ ρ µ µ (.3) jmplo: 3
Part stadístca Prof. María B. Ptarll u studo d los tmpos d raccó, l tmpo d rspusta a u stímulo vsual () l tmpo d rspusta a u stímulo audtvo () s rgstraro para cada ua d prsoas. Los tmpos s mdro mutos. prsta la sgut tabla. 6 3 35 76 88 8 9 78 59 6 4 63 97 93 9 89 69 a) Dtrmar u trvalo d cofaza d vl.95 para la corrlacó tr los tmpos d raccó. b) Dtrmar l p-valor para H : ρ. 3 cotra H : ρ. 3 > olucó: a) calcula ( X X)( ) ( X X) ( ) XX X.859.859.859 Lugo calcula l l. 444 l stá dstrbudo ormalmt co varaza ρ l ρ s Como µ, l trvalo para 3.444.96 ;.444.96 3 3 [.436;.885] Para hallar l trvalo para ρ aplcamos la trasformacó (.3) s obt (.436) (.436) (.885) < ρ < (.885).383< ρ <. 955 b) H : ρ. 3 s vrdadra tocs l stadístco ( ) l ( ).3 l.3 Z t apromadamt dstrbucó N (,) 3 l valor obsrvado d l s.444, por lo tato l stadístco toma l valor 33
Part stadístca Prof. María B. Ptarll z.88 p. tocs s rchaza H : ρ. 3 s co- tocs valor P( Z >.88). 36 clu qu ρ >. 3 34