TEMA 9. Cotrastes o paramétrcos y bodad de ajuste 9. Al falzar el tema el alumo debe coocer... fereca etre u cotraste parámetrco y uo o paramétrco Característcas de la estmacó utlzado los cotrastes o test de hpótess o paramétrcos. Coocer los tpos prcpales de cotrastes o paramétrcos, Utlzar el cotraste o paramétrco adecuado. Iterpretar el resultado del cotraste. 9. Cotrastes o paramétrcos. Prevamete ya hemos plateado la dfereca etre cotraste paramétrco y o paramétrco. U cotraste paramétrco es aquel e el que las hpótess plateadas se refere a u valor descoocdo de la poblacó y u cotraste o paramétrco es aquel que se refere a otras característcas de la poblacó (forma de la dstrbucó, localzacó ) E este tema se estudara los cotrastes o paramétrcos. E estos cotrastes, o cooceremos la forma fucoal de la dstrbucó como ates, pero exste medos alteratvos, que estudaremos y que permtrá hacer ferecas sobre la poblacó. Estos medos alteratvos so los deomados cotrastes o paramétrcos o de lbre dstrbucó. Al o coocer la dstrbucó de partda, se utlzará ua sere de estadístcos que será depedetes de la dstrbucó de partda. Las pruebas o paramétrcas tee varas vetajas sobre las pruebas paramétrcas:.- Por lo geeral, so fácles de usar y eteder..- Elma la ecesdad de suposcoes restrctvas de las pruebas paramétrcas. 3.- Se puede usar co muestras pequeñas. 4.- Se puede usar co datos cualtatvos. També las pruebas o paramétrcas tee desvetajas: - -
.-Puede, gorar, desperdcar o cluso prescdr de formacó..- No so ta efcetes (potetes) como las paramétrcas. Los cotrastes grupos: o paramétrcos que vamos a estudar se clasfca e los sguetes Cotrastes de aleatoredad: cotrasta hpótess sobre la aleatoredad de las muestras Cotrastes de localzacó: Cotrasta hpótess sobre meddas de poscó Cotrastes de comparacó de poblacoes: cotrasta hpótess sobre las dstrbucoes poblacoales 9.3 Cotrastes de aleatoredad. E ocasoes hemos supuesto que la muestra de partda ha sdo seleccoada medate u muestreo aleatoro smple. Co los sguetes cotrastes comprobaremos s este supuesto es certo. Cocepto de racha: Sea ua sucesó e la que tervee dos tpos de símbolos etoces defmos ua racha como ua sucesó de uo o más símbolos détcos, que está preceddos o segudos por u símbolo dferete o por guo, sedo la logtud de ua racha el úmero de símbolos guales que cluye. 9.3. Cotraste de rachas de Wald-Wolfowtz: Supogamos ua poblacó co fucó de dstrbucó descoocda, y sea X ua varable aleatora asocada, que úcamete puede tomar dos valores posbles. Etoces s se obtee ua muestra aleatora smple se puede platear las sguetes hpótess. : la muestra es aleatora. : la muestra es o aleatora. Y se procede como sgue; ) Se calcula el valor del estadístco a utlzar que será, el úmero total de rachas (R). Bajo la hpótess ula, R está dstrbuda como sgue: - -
E la práctca estos valores se ecuetra tabulados para todas las combacoes < y <. Ua vez que se cooce la dstrbucó del estadístco se calcula la regó crítca, que vedrá dada por los valores k y / P(R k P(R k / / ) ) k que cumpla: / Aproxmacó e muestras grades: Para muestras grades, la dstrbucó R tede a ua ormal a medda que y se va hacedo más grades. Esta aproxmacó es bastate buea s > y >; de tal maera que: sedo: ( [ ], [ ]) R N E R Var R [ ] E R [ ] Var R ( ) ( ) ( ) Co estos valores, podemos tpfcar la varable aleatora R, R E[R] Z V[R] R ( ) ( ) ( ) - 3 -
Para ua muestra cocreta: Z exp Rˆ ( ) ( ) ( ) Que se dstrbuye segú ua N(,) y dode Rˆ es el úmero total de rachas observadas e la muestra. La regó de aceptacó para la hpótess ula será etoces: z < z < z / exp / z Y El valor / se obtee e la tabla de la N (,), de maera que PZ ( z/) PZ ( z/) Este test se puede utlzar també e las sguetes stuacoes: ) Cuado los datos so cuattatvos, se puede obteer las rachas asgado u sgo o segú sea mayor o gual que la medaa. Aquellos valores que cocde co la medaa se aula. ) E las seres temporales, este test permte detectar la aleatoredad de meddas cuattatvas a lo largo del tempo detectado la o aleatoredad e la sere, como cosecueca de la exsteca de tedecas o varacoes estacoales. 3) E la comparacó de dos poblacoes como se verá posterormete. 9.4 Costrastes de localzacó. Co la ayuda de estos test, podremos cotrastar el valor de algua medda de poscó o localzacó de la dstrbucó que sgue la poblacó cosderada, de tal maera que os ayude a detfcar estadístcamete la dstrbucó. Para realzar el test vamos a partr de ua muestra aleatora smple de tamaño ; (X X ), procedete de ua poblacó X co fucó de dstrbucó cotua F(X) pero descoocda. - 4 -
Nuestra hpótess es que, para u determado vel de cofaza, el cuatl de orde p, Cp(F), toma u determado valor k o, es decr el p% de las observacoes muestrales so ferores a k y el (-p) so superores a k. Por ejemplo, para el caso partcular de la medaa, se cotrastaría, para u determado vel de cofaza, la hpótess ula de que la medaa de la varable aleatora X de la poblacó toma u valor cocreto m. Es decr, que aproxmadamete la mtad de los elemetos de la poblacó está por ecma de ese valor m y por lo tato, la otra mtad está por debajo del msmo. Los tres test que se puede platear so los sguetes: Estos so alguos de los cotrastes de localzacó más mportates: 9.4. Cotrastes de sgos: Se cotempla tres casos dsttos: caso de cotraste de sgos blateral, caso de cotraste de sgos ulateral derecha y caso cotrastes ulateral zquerdo. Veamos a modo de ejemplo el caso de cotraste de sgos blateral: - 5 -
. Plateameto hpótess: (cotraste blateral): C (F) k p C (F) k p P(X < k ) p P(X k ) p q P(X < k ) p. Calculamos la varable, que vee defda como sgue: X k > s X > k y asgamos a el sgo X k < s X > k y asgamos a el sgo Es decr se reemplaza cada valor de la muestra por u sgo o depededo de s es mayor o meor que el valor k prevamete establecdo. e esta maera o se tee e cueta aquellos valores tales que X k 3. Calculamos el estadístco que se defe como S úmero de sgos postvos que aparece e la muestra, es decr úmero de elemetos mayores que el k prevamete establecdo. 4. Como S, se dstrbuye B(,-p), determamos los k y k que detfca la regó crítca P(S P(S k k / / ) ) k/ ( ) ( ) k / qp qp 5. Rechazamos la hpótess ula s el valor de Ŝ, es decr el valor que tomaría el estadístco S al susttur los datos de la muestra aleatora seleccoada se ecuetra e la regó crítca. - 6 -
E el caso de los demás cotrastes: Caso cotraste de sgos ulateral derecha. Plateameto hpótess: (cotraste ulateral derecha) C (F) k p C (F) > k p P(X < k ) p P(X k ) > p q. Calculamos y S, el estadístco, de forma aáloga a como se hacía e el caso blateral. 4. Como S ->B(,-p), se obtee los k y k tales que. P(S k ) ( ) qp k / 5. Se rechaza la hpótess ula s el valor expermetal regó crítca. Ŝ se ecuetra e la Caso cotraste de sgos ulateral zquerda. Plateameto hpótess: (cotraste ulateral derecha) C (F) k p C (F) < k p P(X < k ) p P(X < k ) < p. Calculamos y S, el estadístco, de forma aáloga a como se hacía e el caso blateral. 4. Como S ->B(,-p), se obtee los k y k tales que. P(S k ) ( ) qp k / 9.4. Caso cotraste de sgos de la medaa Este cotraste es u caso partcular del ateror, e dode el parámetro de localzacó es la medaa (Me). El procedmeto es por tato el msmo que el explcado aterormete. - 7 -
Aproxmacó a la ormal: S el tamaño de la muestra es grade, la dstrbucó S, se aproxmará a ua dstrbucó ormal : S B, N, 4 Esta aproxmacó obtee resultados satsfactoros s p<5, lo que ocurre para muestras de tamaño >. 9.4.3 Cotrastes de ragos-sgos de Wlcoxo para ua muestra. Este test es ua modfcacó del test de los sgos co el f de teer e cueta las magtudes de las dferecas. Sólo se puede aplcar s la dstrbucó es smétrca y cotua. Se procede como sgue:. Calculamos las dferecas respecto a la medaa poblacoal X m > s X > m y asgamos a el sgo X m < s X > m y asgamos a el sgo S desprecamos la observacó, reducedo el tamaño muestral e tatas udades como valores.. Obteemos los. Se obtee los valores absolutos y se le asga u valor que correspode co el orde que ocupa ua vez se ha ordeado todos los de meor a mayor. E el caso de que algú esté repetdo e la secueca, etoces se asga a cada u rago correspodete al promedo de ragos que tedría cada uo de ellos s o hubera sdo guales. 3. Costrumos los estadístcos de ragos-sgos de Wlcoxo: Se costruye los estadístcos sguetes: T: suma de los ragos de las - T-: suma de los ragos de las - 8 -
Para ello prmero es ecesaro defr para, la varable z, que tomará el valor sempre que > y cero e caso de que < A cotuacó se defe los estadístcos: T T Z r() ( Z )r() (T) (T ) ( ) Z r() 4. Calculamos la regó crítca del cotraste. Puede demostrarse que los tres estadístcos aterores está relacoados, por lo que os bastaría utlzar uo solo de ellos para realzar el cotraste. Supogamos que el cotraste es de dos colas: :Me m :Me m Etoces la regó crítca vee dada por valores pequeños o grades de T. Es decr, se rechaza s Tˆ k Tˆ k / / ode k y k / / que, so respectvamete el mayor y meor eteros tal P(T k P(T k / / / ) / / ) / Caso aproxmacó ormal. Cuado es grade >5, el estadístco T se dstrbuye astótcamete segú ua N(,) ( ) ( )( ) T N, 4 4-9 -
9.5 Cotrastes de comparacó de dos poblacoes A partr de ahora supodremos que ambas poblacoes tee la msma dstrbucó pero desfasada e ua certa catdad k descoocda, remos etoces que las dstrbucoes dfere e ubcacoes. E lo que sgue utlzaremos muestras aleatoras de tamaño y para las poblacoes X e Y, co fucoes de dstrbucó F(, G(y) respectvamete. 9.5. Cotraste de la medaa Este cotraste permte coclur s dadas dos dstrbucoes F(, G(y) de las que procede las muestras (X, X ) y (Y Y ) respectvamete so guales, es decr a aceptar o rechazar : F(z)G(Z) Auque sus gráfcas sea dsttas, sempre y cuado las medaas sea guales. El cojuto de hpótess que podemos platear so: Para realzar el cotraste I procedemos como sgue: ) Ordeamos las dos muestras depedetes de tamaños y de las poblacoes X, Y. ) Calculamos la medaa. 3) efmos V, la varable aleatora que os dcará el úmero de valores observados de X que so meores o guales que la medaa de la muestra combada de elemetos. 4) Se calcula la regó crítca; e el caso de que V sea muy grade quere decr que los valores de X so pequeños por lo que su medaa debe ser meor que la de Y. Se - -
rechaza la s: Vˆ k Sedo k el meor etero tal que P (V k / ) E la práctca para coocer las regoes crítcas se ecesta coocer la dstrbucó de la varable aleatora V. S supoemos que > y >, etoces V se dstrbuye astótcamete segú ua ormal;. V N k, k k Y e cosecueca resulta muy fácl trabajar co la dstrbucó del estadístco V. Z V k k k ( ) N, Los demás cotraste se hace de forma aáloga. 9.5. Cotraste de Wlcoxo Ma-Whtey. Este test se utlza para cotrastar s dos muestras, extraídas depedetemete, procede de la msma poblacó. El úco supuesto precso es que la poblacó o poblacoes de las que se ha extraído las muestras, sea de tpo cotuo. Supogamos que dspoemos de dos muestras de tamaño, y, tomadas de dos poblacoes dferetes. Las hpótess que queremos cotrastar será etoces: :F(z) G(z) : G(z) G(z) - -
O lo que es lo msmo: : µ µ : x x µ µ y y El prmer paso cosste e cosderar ambas muestras como ua muestra global de tamaño, y ordearla de meor a mayor. Posterormete asgamos ragos a todos los elemetos, resolvedo casos de gualdad de ragos del msmo modo que e los estadístcos prevos (co los promedos). espués, calculamos las sumas de ragos, Wx y Wy, de ambas muestras. Wx r suma ragos correspodete a la muestra X x A cotuacó, calculamos el estadístco Ux de Ma-Whtey como: Ux ( ) Wx Y cuya fucó de dstrbucó, vee tabulada. Rechazaremos o tato para valores grades de Ux, como para valores pequeños y por tato la regó crítca vedrá dada como: P(U P(U x x ` u u / / / ) / / ) / ` Por lo que rechazaremos s Û es meor o gual a x u / o mayor a / u Aproxmacó para muestras grades: Para muestras grades >, > se demuestra que el estadístco U de Ma Whtey, e dode UU x, UU y tee como meda y varaza: E[ U ] ( V[ U ] ) - -
Y se dstrbuye astótcamete segú ua ormal sufcetemete grades, puede aplcarse: y e cosecuecas para muestras Z U ( ) N(,) 9.6 Cotrastes de comparacó de más de ua poblacó Estos cotrastes o so más que ua geeralzacó de los test aterores, pero a k- poblacoes. 9.6. Cotraste de Kruskal-Walls Este cotraste se cosdera ua extesó del cotraste Wlcoxo- Ma- Whtey. Trabajamos co más de muestras depedetes y se pretede cotrastar la hpótess ula de que todas ellas procede de la msma poblacó. El procedmeto es détco al segudo co el estadístco U,. Cosderar las k muestras como ua muestra cojuta y ordear la muestra de meor a mayor.. Asgar u rago a cada ua de ellas, s hay empate asgar el promedo, como ya se ha descrto prevamete. 3. Calcular la suma de los ragos para cada muestra: R r j j 4. Cálculo de, el estadístco para el costraste k R ( ) 3( ) - 3 -
Que para muestras grades se dstrbuye segú ua ch-cuadrado co k- grados de lbertad χ k 5. Comparar el valor observado, co el valor real, de las tablas de tal forma que rechazaremos la hpótess ula s le valor observado es mayor, es decr s se cumple: ˆ h a de teerse e cueta que cuado los tamaños de muestras so meores de 6, la aproxmacó de como ua ch-cuadrado co k- grados de lbertad debe utlzarse otras aproxmacoes. χ k, es erróea y 9.7 Cotrastes de Bodad de Ajuste Estos cotrastes os servrá para determar s la muestra obteda se ajusta a u determado modelo o a ua determada dstrbucó de probabldad. Estudaremos cuatro de ellos. 9.7. Cotraste X Pearso Cosste e comparar las frecuecas observadas e la muestra, co las que debería haberse obtedo e ua poblacó que perteecese a ua dstrbucó de probabldad específca. Cosderaremos dos casos: Caso A: E este caso todos los parámetros de la dstrbucó de la poblacó so coocdos. Se procede como sgue: vdmos el campo de varacó de la varable aleatora X e k clases excluyetes y se extrae ua muestra aleatora smple de tamaño de la poblacó. Las observacoes, podrá etoces clurse e cada ua de las dsttas clases - 4 -
excluyetes. La frecueca de cada ua de las clases se defrá como y se deomará frecueca absoluta observada. La hpótess ula y hpótess alteratva se defe etoces como: : La muestra aleatora procede de ua poblacó co fucó de dstrbucó F ( : La muestra aleatora o procede de ua poblacó co fucó de dstrbucó F ( Bajo la hpótess ula, la frecueca esperada se defe como: E E[ ] p K El estadístco se defe como: χ exp k ( p ) p Que se dstrbuye como ua ch-cuadrado co k- grados de lbertad χ k La regla de decsó, será rechazar la hpótess ula s: χ exp k ( p ) > χ p P[ χ k > χ / ] dode χ k sgue ua dstrbucó co k grados de lbertad Caso B: Ahora coocemos la poblacó, pero o coocemos algú parámetro de la msma.el cotraste es smlar al ateror: : La muestra aleatora procede de ua poblacó co fucó de dstrbucó F (x;θ θ h ) : La muestra aleatora o procede de ua poblacó co fucó de dstrbucó F (x;θ θ h ) Tal que θ θ h so parámetros descoocdos. El estadístco y su dstrbucó so: - 5 -
χ exp que k sgue ( p ( θ.. θh)) p ( θ.. θ ) ua h dstrbucó χ co k - h - grados d e lbertad sedo h es el úmero de parámetros descoocdo. La regla de decsó por tato, será rechazar la hpótess ula expermetal es mayor que el valor teórco, es decr s s el valor ( p ( θ.. θ )) k h χexp p ( θ.. θ ) h > χ ode P[ χ χ se defe como : k h > χ / ] dode χ k h sgue ua dstrbucó co k grados de lbertad Para que la aproxmacó χ de la dstrbucó del estadístco del cotraste sea válda debe cumplrse ua sere de hpótess: El tamaño muestral debe ser sufcetemete grade ( > 3). E caso de que haya que estmar parámetros, los parámetros debe estmarse por el procedmeto de máxma verosmltud. Las frecuecas esperadas e p debería ser todas > 5, e caso cotraro se debe reagrupar las clases de la varable aleatora poblacoal. 9.7. Cotraste Kolmogorov-Smrov: Utlzar el ateror test cuado se tee ua muestra pequeña, puede supoer que obtegamos resultados erróeos. Como alteratva se preseta el test que sgue a cotuacó. Las hpótess de este test para el caso blateral so las que sgue; - 6 -
: La muestra aleatora procede de ua poblacó co fucó de dstrbucó F (x;θ θ h ) : La muestra aleatora o procede de ua poblacó co fucó de dstrbucó F (x;θ θ h ) Es decr, :F( Fo ( :F( F ( o Para realzar este cotraste ecestamos calcular la fucó de dstrbucó empírca, que se usará como estmador de la fucó de dstrbucó F( de la poblacó. A cotuacó se calcula el estadístco del cotraste como la dfereca máxma etre ambas fucoes de dstrbucó. max < x< F ( F ( La regó crítca del test vee dado como P[ > ] El valor correspodete a, vee dado e las tablas y se rechazará s el valor observado de, exp es mayor que Para los cotrastes ulaterales: pótess Estadístco Cotraste Ulateral Cotraste Ulateral :F( Fo ( :F( < F ( max max < x< F o( F ( F ( F (x ) < x< o :F( Fo ( :F( > F ( o Regó crítca P[ > / ] P[ > / ] Regla de decsó (Rechazamos) (Rechazamos), exp >, exp > - 7 -
El prcpal coveete de este test es que requere que la poblacó de partda sea cotua, a dfereca del test χ de bodad de ajuste. Las vetajas de este test so:. No hay pérdda de formacó por agrupameto, se utlza drectamete los datos observados. Es váldo para muestras pequeñas (para muestras termedas es más potete). Permte calcular u tervalo de cofaza p. v. Es más o gual de potete que el test χ 9.7.3 Cotraste ormaldad Lllefors Este test es ua modfcacó del cotraste de Kolmogorov-Smrov. Srve para cotrastar la ormaldad aú o coocedo todos los parámetros. Las hpótess de las que se parte, so las que sgue: : La muestra procede de ua poblacó ormal, co meda y varaza descoocda. : La muestra o procede de ua poblacó ormal. El estadístco a utlzar, o es más que el estadístco de Kolmogorov-Smrov pero costrudo sobre los valores ormalzados de las observacoes cales, es decr la fucó de dstrbucó empírca se obtee a partr de la muestra ormalzada. ` max < x< F ( F ( La regó crítca vedrá etoces dada por: ` ` P[ > / ] Los valores ` está tabulados, por tato bastará comparar el valor expermetal obtedo co el tabulado y s el prmero es mayor, se rechazará la, e caso cotraro se aceptará la. - 8 -
9.7.4 Cotraste Kolmogorov-Smrov para dos muestras. Este test srve para cotrastar s dadas dos muestras de dos poblacoes co fucoes de dstrbucó asocada, procede de la msma poblacó. Las hpótess e el caso blateral so por tato: : F( G( : F( G( El estadístco se defe co ayuda de las dos fucoes de dstrbucó empírcas de la muestras F ( y G (,, max < x< F ( G ( La regó crítca vee dada etoces por, ; P[ > / ],,; hpótess ula e gual forma a como hemos realzado s el valor expermetal es mayor que el valor prevamete, rechazaremos la,; Para el caso ulateral: Cotraste Ulateral Cotraste Ulateral pótess : F( G( : F( > G( : F( G( : F( < G( Estadístco max G ( F ( ) x x max F ( G(, x Regó crítca P [ > / ], P [ > / ], Regla de decsó (Rechazamos) (Rechazamos) >, >, - 9 -
9.8 Resume y pregutas frecuetes. fereca etre u cotraste paramétrco y uo o paramétrco Característcas de la estmacó utlzado los cotrastes o test de hpótess o paramétrcos. Tpos cotrastes o paramétrcos. fereca etre los dsttos cotrastes o paramétrcos Utlzacó de los dferetes cotrastes - -