CAPITULO TRES MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

CAPITULO TRES MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 3. CARACTERISTICAS NUMERICAS DE UNA VARIABLE S tratamos de represetar uestras edades medate u polígoo de frecuecas, y os ubcamos e el tempo: hace 0 años, hoy día y detro de 0 años, obvamete, el polígoo e los tres casos tedrá la msma forma, pero cada uo de ellos se dfereca e su proporcó respecto al orge, tal como se muestra: 4 4 34 Vemos que los tres gráfcos dfere e lo que represetaría el puto cetral de la dstrbucó. Quere decr que, la edad meda e cada caso es dstta. E el gráfco que sgue, teemos tres polígoos de formas dsttas, pero que tee el msmo valor cetral. C B A La dfereca etre las dstrbucoes A, B, C está e la varacó o dspersó de las medcoes o ambos lados de la meda. Ua descrpcó adecuada de los datos requere de la defcó de uas meddas umércas descrptvas de la cetralzacó y de la dspersó de los datos. Etre las meddas de cetralzacó se tee la meda, la medaa, la moda, la meda geométrca y la meda armóca. Etre las meddas de dspersó está la varaza, la desvacó estádar, la desvacó meda, los tercuartles, etc. Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 7

3. QUÉ ES UN PROMEDIO? Es el valor que represeta a u cojuto de datos y señala u cetro de sus valores. Geeralmete se refere a la meda artmétca, que descrbremos luego, pero podría referrse a cualquera de los promedos (meda, medaa o moda). Ua deomacó más precsa que promedo es medda de tedeca cetral. 3.3 MEDIA DE UNA MUESTRA La medda de tedeca cetral de uso más amplo es la llamada meda artmétca que, por lo geeral, se desga como meda. Para datos orgales, esto es para datos o agrupados, la meda es la suma de todos los valores dvdda etre el úmero total de valores. Sea ua muestra aleatora:,,...,, la meda muestral se calcula de la sguete maera: Dode: + + L+ = = = = : es la meda muestral, y se lee x barra. : es la suma de los elemetos de la muestra. : es el tamaño de la muestra. Ejemplo : Supoedo que el úmero de hjos de cada ua de las famlas de los asstetes a este curso es como sgue:, 0, 3,,,,, 4,,, 0,, 3,, + 0 + 3+ L+ = =,8 Falmete la meda es: hjos 3.4 MEDIA DE UNA POBLACIÓN La meda de ua poblacó se calcula co la sguete fórmula: μ = N = N Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 8

Dode: μ : dca la meda poblacoal N : es el úmero total de observacoes e la poblacó. N = : suma de los elemetos de la poblacó. Usar la meda: a) Cuado la dstrbucó sea más o meos smétrca b) Cuado se desea que el promedo sea estable c) Cuado haya que calcular otros estadígrafos que volucra a Propedades de la Meda. U cojuto de datos sólo tee ua meda. Esta es úca. Ejemplo: Se tee los datos,, 3, 4, aplcado la fórmula teemos: + + 3 + 4 + = = 3. La suma de las desvacoes de cualquer valor co respecto a la meda sempre será cero, esto es, ( ) = 0 Ejemplo: Sea los datos,, 3, 4, cuya meda es 3. Etoces: = ( ) = ( 3) + ( 3) + (3 3) + (4 3) + ( 3) = 0 3. La suma de los cuadrados de las dstacas etre los datos y su meda es míma; esto es para cualquer valor de A: = ( ) = ( A) A Esta propedad dca que la meda es, e certo setdo, el valor más próxmo al cojuto de datos. Ejemplo: Para los datos,,3, 4, su meda es = 3. Sea A = Sedo: Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 9

= ( 3 ) = 0 Se cumple para la propedad s es meor que: Luego: = ( ) = = ( 3 ) ( ) = 4. S a los valores de la varable se le suma o se le resta ua costate k, etoces la meda queda aumetada o dsmuída e la costate; esto es, Ejemplo: Datos :,, 3, 4, [ ] = = 3 M + : 6, 7, 8, 9, 0 3 : 8, 9, 0,, [ + ] = + = 3+ 8 [ 3] = 3 = 3 3 0 M = M =. S a los datos se le multplca o dvde ua costate K, etoces la meda queda multplcada o dvdda por la costate; esto es, Ejemplo: Para los datos :,, 3, 4, su meda es =3, sea k=4 Etoces: 4 : 4, 8,, 6, 0 es: [ 4 ] = k = 4 3 M = 6. E geeral: M [ K + c] = KM [ ] + c 7. La meda es muy sesble a los valores extremos Ejemplo: S teemos los datos,, 3, 4,, su meda es: = 3 S teemos los datos,, 3, 4,,, su meda es: =. Podemos ver que o es adecuada e casos como éste. Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 30

8. S el cojuto de datos,,..., tee meda y el cojuto Y, Y,..., Y m tee meda Y, etoces el cojuto total,,...,, Y, Y,..., Y m tee meda. M( + Y ) = = + m j= + m Y j + my = + m Este promedo se cooce como meda poderada y los pesos de las poderacoes so los tamaños de los grupos, y esta propedad puede extederse para varos grupos. Meda poderada La meda poderada de u cojuto de úmeros deotados por poderacoes W, W, W 3,..., W, se calcula como sgue:,, 3...,, co w = W + W W + W33 + W + W 3... +... + W W Esto puede abrevarse así: w = = (W ) = W Ejemplo: supogamos que la ota meda de u grupo de 37 alumos es, metras que la ota meda de otro grupo de 8 alumos es. Etoces, la ota meda de los 6 alumos es: 3. MEDIANA (37)() + (8)() 89 w = = = 3,7 6 6 Es el valor de la poscó cetral de los valores después de ordearlos de meor a mayor o de mayor a meor. Hay tatos valores por ecma de la medaa como por debajo de ella e la ordeacó de los datos. Ejemplo: Sea los valores sguetes, los precos de veta de departametos: S/. 60 000 6 000 70 000 80 000 7 000 Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 3

Realzado la ordeacó de los valores, obteemos: Precos ordeados de meor a mayor Precos ordeados de mayor a meor S/. 60 000 S/. 70 000 6 000 80 000 70 000 Medaa 70 000 80 000 6 000 70 000 60 000 Observamos que hay el msmo úmero de precos por debajo de la medaa de S/. 70 000 que por arrba. Por tato, la medaa o se ve afectada por observacoes muy bajas o muy altas. E el ejemplo ateror hay u úmero mpar de observacoes (cco). Cómo se determa la medaa para u úmero par de observacoes? Como ates, los datos se ordea, luego se evalúa la meda artmétca de las dos observacoes cetrales. Obsérvese que para u úmero par de observacoes, la medaa puede o ser uo de los valores dados. Ejemplo: Los tempos que ecestaro varas empresas de seguros para revsar solctudes para servcos de coberturas semejates so (e mutos): 0, 30,, 7. Ordeado los tempos de meor a mayor: 0 Medaa 7 30 La medaa de los tempos es 4, mutos, obteda de calcular (+7)/ = 4,. Obsérvese que 4, o es uo de los valores dados. Vemos que hay el msmo úmero de observacoes debajo de la meda que por ecma de ésta. Ua forma fácl de localzar la poscó del elemeto medo para datos o agrupados es co la fórmula: Ubcacó de la medaa = + dode es el úmero total de elemetos. Propedades de la medaa. La medaa es úca; a semejaza de la meda sólo exste ua medaa para u cojuto de datos.. No es dfícl determarla para datos o agrupados. Ta sólo se ecesta ordearlos de meor a mayor o vceversa y ecotrar el valor del elemeto cetral. 3. No se ve afectada por valores muy grades o muy pequeños, y por tato, es ua medda valosa de la tedeca cetral cuado ocurre este tpo de valores. Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 3

4. Puede calcularse para ua dstrbucó de frecuecas de extremo aberto s la medaa o se ecuetra e ua clase de tal extremo.. Puede calcularse para datos de vel de razó, de tervalo y ordal. Ejemplo: cco persoas calfcaro u uevo producto e el mercado. Ua persoa creyó que era excelete, otra lo calfcó como muy buea ; ua más como buea ; otra como regular y otra como defcete. La respuesta tee ua medaa e buea. La mtad de las respuestas está por ecma de buea, y la otra mtad, por debajo. 3.6 MODA La moda es el valor de la observacó que aparece co más frecueca: Ejemplo: De los datos presetados a cotuacó, ecotrar la moda:, 3, 4,,, 4, 4, 6, 7. La moda es el úmero 4, ya que es el valor que aparece co mayor frecueca. Usar la moda: a) Cuado se desee obteer rápdamete ua medda de tedeca cetral. b) Cuado se desee coocer el valor más típco. Por ejemplo: hablado del sueldo promedo e certa dustra, os refermos a meudo al sueldo modal. 3.7 MEDIA GEOMETRICA Hay dos usos prcpales de la meda geométrca:. Para promedar porcetajes, ídces y cfras relatvas; y. Para determar el cremeto porcetual promedo e vetas, produccó u otras actvdades o seres ecoómcas de u perodo a otro. La meda geométrca de u cojuto de úmero postvos, se defe como la raíz -ésma del producto de los úmeros. Por lo tato la fórmula para calcular la meda geométrca es: M.G. = ( )( )( 3)...( ) M.G. = Πx = Ejemplo: Las utldades obtedas por ua compañía costructora e cuatro proyectos fuero 3,, 4 y 6%, respectvamete. Cuál es la meda geométrca de las gaacas? Teemos que =4, úmero de observacoes. Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 33

M.G. = ( )( ) L( = = 4 4 ( 3)( )( 4 )( 6 ) 44 = 3, 464 Por tato, la meda geométrca de las utldades es 3,46%. ) La meda artmétca de los valores aterores es 3,7%, auque el valor de 6% o es muy grade, hace que la meda artmétca se cle haca valores superores. La meda geométrca 3,46 da ua cfra más coservadora para las utldades porque o se ve ta afectada por los valores extremos. E geeral, será gual o meor que la meda artmétca. Usar la meda geométrca: a) Cuado e los datos exsta ua tasa de crecmeto costate o muy regular. Ejemplo: cuado se desee calcular la poblacó promedo e u determado período. b) Cuado se desee promedar proporcoes 3.8 MEDIA ARMONICA Se llama meda armóca de los valores x, x,..., x, dferetes de 0, al valor: H = = x, x 0 Ejemplo: Para u cojuto de datos 7 8 8 9 0, la meda armóca es: 6 H = = 8,738 / 7 + /8 + /8 + /9 + /0 + / Usar la meda armóca Para obteer u valor represetatvo de u cojuto de datos expresados e forma de tasas, razoes. Es decr, dferetes udades de medda que puede ser expresadas recíprocamete. 3.9 CALCULO PARA DATOS AGRUPADOS MEDIA ARITMETICA Para evaluar la meda artmétca de datos orgazados e ua dstrbucó de frecuecas, las observacoes e cada clase se represeta co el valor e el puto medo de ésta. La meda de ua muestra de datos orgazados e ua dstrbucó de frecuecas se calcula co: Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 34

= = f dode: = es el valor cetral, o puto medo de cada clase. f = es la frecueca de clase. = es el úmero total de observacoes. Ejemplo: La Empresa de Seguros La Postva recetemete vee ofrecedo u programa ovedoso de seguros que so ua combacó de retas vtalcas y cobertura por fallecmeto, deseado medr su vel de aceptacó. Ua muestra de 0 de sus asegurados reveló la sguete dstrbucó de edades. Estme la edad meda de las persoas que podría tomar dcho seguro. Edad 0-9 30-39 40-49 0-9 60-69 Frecueca 8 4 Para el desarrollo de este problema se ecesta recostrur la tabla ateror de la sguete maera: Edad Puto Medo Frecueca f Frecueca acumulada F 0-9 4, 30-39 34, 6 40-49 44, 38 0-9 4, 8 46 60-69 64, 4 0 0 De la tabla ateror y aplcado la fórmula para el cálculo de la meda para datos agrupados se tee que: = = 44,3 años 0 MEDIANA Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 3

Recuérdese que la Medaa se defe como el valor abajo del cual se ecuetra la mtad de los datos y arrba del cual se halla la otra mtad. Ua vez que los datos orgales se ha orgazado e ua dstrbucó de frecuecas, parte de la formacó o es detfcable. Como resultado o es posble determar la medaa exacta. S embargo, puede estmarse localzado prmero el tervalo de clase para obteer la medaa. La razó para este efoque es que los elemetos de la clase e que se ecuetra la medaa está espacados de maera uforme por todo ese tervalo de clase. La fórmula es: Me = L + a F f Dode: L a f F - = límte feror de la clase que cotee a la medaa. = ampltud de la clase e que se ecuetra la medaa. = úmero total de observacoes. = frecueca de la clase que cotee a la medaa. = frecueca acumulada de la clase que precede medatamete a la clase que cotee a la medaa. Ejemplo: Co los datos del ejemplo ateror calcular la medaa: La observacó cetral se localza dvdedo el úmero total de observacoes etre dos, e este caso, /=0/=, la clase que cotee a la observacó 0ª edad, se localza cosultado la columa de las frecuecas acumuladas, luego co los datos de la tabla aplcamos la fórmula: Usar la medaa: 0 6 Me = 44, + = ( 0) 48.9 años a) Cuado se desea el puto medo de la dstrbucó. b) Cuado haya datos extremos que afecte marcadamete a la meda. c) Cuado la dstrbucó tega clases abertas. MODA Recuérdese que la moda se defe como el valor que ocurre co más frecueca. Para datos dscretos, e ua dstrbucó de frecuecas, es posble aproxmar la moda usado el puto medo de la clase que cotee el mayor úmero de frecuecas de clase. Para datos cotuos la moda se aproxma co la sguete fórmula: d Mo = L + a d+ d Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 36

Dode: L = a = d = d = Lmte feror de la clase modal ampltud del tervalo de clase frecueca absoluta de la clase modal meos la frecueca absoluta de la clase ateror = f f -. frecueca absoluta de la clase modal meos la frecueca absoluta de la clase posteror = f f +. Ejemplo: Utlzado los datos del ejemplo ateror calculamos la moda. d = = 7 d = 8 = 4 7 Mo = 40 + 0 = 43,33 7 + 4 MEDIA GEOMETRICA Para evaluar la meda geométrca de datos orgazados e ua dstrbucó de frecuecas utlzamos la sguete formula: M.G. = f f f K * *...* K Dode: : es el valor cetral o puto medo de cada clase f :es la frecueca de clase K = f = Aplcado logartmo de base 0 teemos: f *log + f *log +... + f *log Log (M.G.) = 0 0 k 0 K 0 Luego : K f *log 0 Log (M.G.) = at log( = ) 0 Propedades: Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 37

. La meda geométrca esta basada e todas las observacoes, por lo que esta afectado por todos los valores de la varable. S embargo da meos peso a los valores extremadamete grades que el que le da la meda artmétca.. La meda geométrca es la medda que se debe de usar cuado lo que se va a promedar so tasas de cambo o proporcoes. 3. Se presta a mapulacoes algebracas posterores. 4. La meda geométrca es de cálculo relatvamete dfícl.. La meda geométrca o puede determarse cuado hay valores egatvos etre los datos. 6. La meda geométrca preseta el coveete que s uo de los valores de la varable es gual a cero, la meda resulta gualmete cero. MEDIA ARMONICA Para evaluar la meda armóca de datos orgazados e ua dstrbucó de frecuecas utlzamos la sguete formula: Dode: H = = f K f fk f + +... + K = : es el valor cetral o puto medo de cada clase f :es la frecueca de clase K = f = Propedades:. La meda armóca se basa e todas las observacoes, por lo que esta afectado por todos los valores de la varable. Da a los valores extremos grades u peso meor que el que les da la meda geométrca, metras que a los valores pequeños les da u peso mucho mayor que el que les da la meda artmétca como las medas geométrcas.. La meda armóca es determado s alguo de los valores de la varable es cero. 3. La meda armóca se presta mapulacoes algebracas posterores. 3.0 RELACIONES ENTRE PROMEDIOS S la dstrbucó de los datos es umodal la poscó de la meda, medaa y moda depede de la smetría de la curva. E los gráfcos sguetes se lustra los casos que se preseta para u msmo cojuto de datos Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 38

Se da la gualdad s los so guales y postvos: f μ<me<mo Dstrbucó Asmétrca haca la zquerda o de Asmetría Negatva. Sesgo egatvo μ Me M x S se cooce dos promedos de ua dstrbucó de frecuecas, co sesgo o asmetría moderada, el tercer promedo puede aproxmarse. f μ>me>mo Dstrbucó Asmétrca haca la derecha o de Asmetría Postva Sesgo postvo M Me μ x f μ = Me = Mo x Mag. RENAN QUISPE LLANOS μ = Me Pág. = Mo 39 Dstrbucó Smétrca

Las fórmulas so: Moda = Meda 3 ( Meda Medaa) 3 Meda = ( Medaa) Moda Medaa = ( Medaa) 3 + Moda Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 40

3. APLICACIONES DE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL EJERCICIO Nº Los salaros percbdos por ua muestra de empleados e dos empresas prvadas se da e la sguete tabla. Salaros (S/.) 00 a 000 000 a 00 00 a 000 000 a 00 00 a 3 000 3 000 a 3 00 Empresa A Nº de empresas 3 8 6 Empresa B Nº de empresas 3 7 4 Co el propósto de comparar los salaros de los empleados de las empresas prvadas (A y B), se pde calcular e terpretar: a. La meda artmétca b. La medaa c. La moda d. La desvacó meda e. El recorrdo f. La varaza g. La desvacó estádar h. El coefcete de varacó SOLUCION a. Meda artmétca Deotaremos por A : Meda artmétca de la empresa A B : Meda artmétca de la empresa B A : Número de empleados de la empresa A B : Número de empleados de la empresa B Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 4

Como los datos está agrupados, la fórmula de la meda artmétca es: = = f A cotuacó calcularemos Empresa A A y B para lo cual es precso coocer las marcas de clase. Salaros (S/.) Marca de clase x j Frecueca f j x j.f j 00 000 000 00 00 000 000 00 00 3 000 3 000 3 00 70 0 70 0 70 3 0 3 8 6 70 3 70 4 000 0 6 00 6 00 Total A = 70 Etoces 70. A = = S/. 0 El promedo de los salaros percbdos por los empleados de la empresa A es de S/. 0 Empresa B Salaros (S/.) 00 000 000 00 00 000 000 00 00 3 000 3 000 3 00 Marca de clase x j 70 0 70 0 70 3 0 Frecueca f j 3 7 4 x j.f j 3 70 0 0 70 3 70 3 000 Total B = 70 Por lo que 70. B = = S/. 0 El promedo de los salaros percbdos por los empleados de la empresa B es de S/. 0 al gual que e la empresa A. b. Medaa Sea Me A : medaa de los salaros e empresa A Me B : medaa de los salaros e empresa B Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 4

Puesto que A = B =, la poscó de la medaa para ambas empresas es: + 6 = =3 Ahora calcularemos las frecuecas acumuladas para determar las clases medaas, tato para la dstrbucó de frecuecas de A como de B. Empresa A Salaros (S/.) 00 000 000 00 00 000 Frecuecas f j 3 8 Frec. Acumulada F j 4 000 00 7 Clase Medaa 00 3 000 6 3 3 000 3 00 Etoces: Me A = L + a F f Dode: L = 000 es el límte feror de la clase medaa. a = 00 es la ampltud del tervalo. A = es el úmero de empleados e la muestra de A. F - = es la frecueca acumulada a la clase que precede medatamete a la clase que cotee a la Medaa. f = es la frecueca de la clase medaa. Reemplazado e la fórmula, teemos Me A = 000 + 00. (/) - = 000 + 00., - = 000 + 00. 0, = 000 + 0 = S/. 00 Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 43

Es decr, el 0% de los empleados e la Empresa A percbe u salaro meor o gual a S/. 00. EMPRESA B Salaros (S/.) 00 000 000 00 00 000 Frecuecas f j 3 Frec. Acumuladas F j 6 9 000 00 7 6 Clase Medaa 00 3 000 3 000 3 00 4 Etoces: Me B = L + a F f Dode: L = a = 000 es el límte feror de la clase medaa. 00 es la ampltud del tervalo. B = es el úmero de empleados e la muestra de B. F - = 9 es la frecueca acumulada a la clase que precede medatamete a la clase que cotee a la Medaa. F = 7 es la frecueca de la clase medaa. Reemplazado e la fórmula, se obtee: Me B = 000 + 00. ( / ) - 9 7 = 000 + 00., - 9 7 = 000 + 00. 3, = 000 + 0 7 = S/. 0 Por lo tato, el 0% de los empleados e la Empresa B percbe u salaro meor o gual a S/. 0 (mayor que el salaro medao de la Empresa A). Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 44

c. Moda d Mo = L + a d+ d Dode: L a = Lmte feror de la clase modal = ampltud del tervalo de clase d = frecueca de la clase modal meos la frecueca de la clase ateror d = frecueca de la clase modal meos la frecueca de la clase posteror Empresa A Salaros (S/.) Frecuecas f j Frec. Acumul F j 00 000 000 00 3 4 00 000 8 Moda 000 00 7 00 3 000 3 000 3 00 Aplcado la fórmula ateror teemos: Empresa B Salaros (S/.) 6 Mo A = 00 + 00 Frecuecas f j 3 8 3 = 333,3 8 Frec. Acumul F j 00 000 000 00 6 00 000 3 9 000 00 7 6 Moda 00 3 000 3 000 3 00 4 Reemplazado e la fórmula ateror de la moda teemos: Mo B = 000 + 00 7-3 7 - = 3 000 El salaro mas frecuete de los empleados e la empresa A es de S/. 333,3 metras que el salaro más frecuete e la empresa B es de S/. 3000 (mayor que de la empresa A). Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 4

Ejerccos.- Cuáles so las dferecas etre ua meda muestral y ua meda de poblacó?.- Euce las característcas de la meda. 3.- a. Calcule la meda de los sguetes valores muestrales:,9,4,0. b. Demuestre que ( ) = 0 4.- a. Calcule la meda de los sguetes valores muestrales.3,7.0, 3.6,4.,.0. b. Demuestre que ( ) = 0.- Determe la meda de los sguetes valores muestrales: 6.,.9,4.8 6.- Determe el salaro medo por hora pagado a carpteros que obtuvero los sguetes pagos de salaro por hora (e dólares): $.40,$0.0,$8.7,$.76,$30.67,$8.00, respectvamete. 7.- Se tee 0 vededores de automóvles empleados por ua empresa. Las catdades de autos uevos veddos el mes ateror por cada vededor fuero:,3,4,9,8,0,0,0,8,8,9. Cual es la promedo de las catdades de autos uevos?. 8.- El departameto de cotabldad e ua compañía de peddos por correo, cotó los sguete úmero de llamadas que etraro por día al teléfoo de uso s cargo de la empresa, durate u perodo de sete días: 4,4,9,3,36,6,7. a. Calcule e úmero medo de llamadas por día. b. Es éste u dato estadístco muestral o u parámetro de poblacó? 9.- Ua empresa de servco eléctrco de eergía y luz seleccoó 0 cletes resdecales. Lo sguete so los mportes (e dólares, redodeados a udades) que se cargó a los cletes por el servco eléctrco el últmo mes: 4 48 8 0 47 7 46 60 70 67 68 39 3 6 66 33 6 6 67 a. Calcule el mporte mesual medo b. Es éste u dato estadístco muestral o u parámetro de poblacó. 0.- El drector de persoal de u hosptal comezó a realzar u estudo acerca de las horas de tempo extra de las efermeras regstradas. Se seleccoaro al azar de ellas, y durate el mes de juo se aotaro las sguetes horas de tempo extra: 3 3 7 6 7 0 9 3 a. Calcule el úmero medo de las horas de tempo extra. b. Es éste u dato estadístco muestral o u parámetro de poblacó? Mag. RENAN QUISPE LLANOS Pág. 46