5.0 ESTADÍSTICOS PARA DATOS AGRUPADOS.

5.0 ESTADÍSTICOS PARA DATOS AGRUPADOS. Para organzar los datos a medda que el número de observacones crece, es necesaro condensar más los datos en tablas apropadas, a fn de presentar, analzar e nterpretar los resultados en forma correcta. Entonces, se pueden agrupar los datos en clases o categorías de acuerdo con dvsones establecdas en forma que convene al ntervalo de observacones. 5. Dstrbucón de Frecuencas. Es una tabla de resumen en el cual los datos se colocan en agrupamentos o categorías establecdas en forma convenente de clases ordenadas numércamente. Al construr una tabla de dstrbucón de frecuencas, se debe tener en cudado en la selecconar el número de clases adecuado para obtener un ntervalo de clase, o ancho, convenente y establecer las fronteras de cada clase sn que se traslapen. 5. Seleccón del número de clases. Depende del número de observacones, una mayor cantdad de observacones requere un mayor número de clases. Sn embargo por lo general la dstrbucón de frecuencas debe tener como mínmo 5 clases, pero no más de 5. Obtencón del Intervalo de clase. Al desarrollar una tabla de dstrbucón de frecuencas, es convenente que cada ntervalo de clase tenga la msma medda o ancho. El ancho del ntervalo lo smbolzaremos con la letra donde: rango número_de_clases_deseado Ejemplo 7. En la tabla 7 se muestra los rendmentos totales a un año que alcanzaron los 59 fondos de crecmento. Tabla 7 de rendmentos de un fondo de crecmento. Rendmentos Totales a un año de 59 fondos de crecmento 0,4 3,8 5,6 6, 7,6 7,7 8,3 8,6 8,8 8,9 8,9 9,3 9,3 9,5 9,9 30, 3,5 3,6 3,6 3,8 3,9 3, 3,3 3,3 3,4 3,8 3,9 3,9 33,0 33,3 33,4 33,7 33,8 34,0 34,0 34,3 34,7 34,7 34,8 35,0 38, 39,0 39,4 40,7 4, 4,8 4,9 43,3 43,4 43,5 43,6 43,7 44,6 44,7 45,4 45,7 46,6 48,0 48,6 Determne el ancho del ntervalo s se desean 6 clases, construya una tabla de dstrbucón de frecuencas. Valor mínmo = 0,4 Valor máxmo = 48,6 8, Rango = 48,6 0,4 = 8, = = 4, 7 6 Juan Díaz Valenca. Esp. Estadístca Aplcada. E-mal jag0@gmal.com 5

El valor de 4,7 lo aproxmamos a 5,0 sempre se hace por exceso. Es necesaro que se dscuta que pasa s se queren 5, 7 u 8 clases o ntervalos. Aquí cabe resaltar que tambén exsten otros métodos para calcular el número de ntervalos, pero se ha tomado el más sencllo, observe como quedan dstrbudos los datos en la tabla 8. Tabla 8 de ntervalos o clases. Rendmento Total Frecuenca Intervalos n 0 5 5 30 3 30 35 4 35 40 4 40 45 45 50 5 59 5.4 Establecmento de las fronteras de clase. Como cada ntervalo de clase se establecó en 5,0 se deben defnr las fronteras para que ncluyan el conjunto completo de observacones. Estas se deben elegr de forma tal que faclte la lectura e nterpretacón de los datos. Así el prmer valor de clase se puede establecer de 0,0 a menos de 5 es decr matemátcamente [0.0, 5,0) que se lee ntervalo cerrado por zquerda y aberto por derecha y así sucesvamente hasta completar las ses clases, cada una con = 5,0 sn traslapes. 5.5 Punto Medo de clase. Tambén conocdo como marca de clase, es el punto que está en la mtad de las fronteras de cada clase y es representatvo de los datos que están en esta clase, s tenemos que la clase esta entre 5,0 y menos de 30,0 [5.0, 30.0) la marca de clase para este 5+ 30 ntervalo es de 7,5 que resulta de = 7, 5 en este módulo smbolzaremos la marca de clase como X 5.6 Dstrbucón de Frecuencas Relatvas. La smbolzaremos con h se obtene al dvdr las frecuencas de absolutas en cada clase de la dstrbucón de frecuencas entre el número total de observacones, se aclara en este aparte que la frecuenca absoluta se refere al número de observacones que se encuentran en cada ntervalo o clase, lo smbolzaremos con n. 5.7 Dstrbucón de Frecuenca Acumulada. Se obtene a partr de la dstrbucón de frecuencas relatvas o la dstrbucón de porcentajes, al observar la tabla 9 del ejemplo 8 se apreca el método para su elaboracón, la smbolzaremos con H. Ejemplo 8. Para los datos del ejemplo 7 construya una tabla de dstrbucón de frecuencas donde se muestre la marca de clase X, las frecuencas absolutas n, las frecuencas relatvas h Juan Díaz Valenca. Esp. Estadístca Aplcada. E-mal jag0@gmal.com 6

Tabla 9 de Dstrbucón de frecuencas. Rendmento Total Marca de clase Frecuenca Frecuenca relatva % Frecuenca relatva Frecuenca relatva acumulada % Frec. relatva acumulada Intervalos X n h % h H % H 0 5,5 0,034 3,4 0,034 3,4 5 30 7,5 3 0,0,0 0,54 5,4 30 35 3,5 4 0,407 40,7 0,66 66, 35 40 37,5 4 0,068 6,8 0,79 7,9 40 45 4,5 0,86 8,6 0,95 9,5 45 50 47,5 5 0,085 8,5,000 00,0 59,000 00,0 Observe las frecuencas relatvas acumuladas la celda de la prmera clase no vara, la celda de la segunda clase de la frecuenca relatva acumulada se obtene de sumar 0,034 + 0,0 = 0,54, la tercera celda de la tercera clase es la suma de 0,54 + 0,407 = 0,66 y así sucesvamente. Ejemplo 9. Elabore un grafco de barras y uno polgonal con los datos del ejemplo 7. Solucón Para elaborar un grafco de barras tendremos en cuenta la marca de clase, el gráfco realzado con Excel nos queda. Gráfca 4 de barras para rendmentos totales fondos de crecmento. Rendmentos Totales a un año de 59 fondos de crecmento 30 5 0 n 5 0 5 0,5 7,5 3,5 37,5 4,5 47,5 X Para elaborar el un gráfco de barras como el anteror en Excel se procede así Señale con el Mouse los valores de las frecuencas absolutas n. Luego de clc sobre el cono de Asstente para Gráfcos. Al desplegarse la ventana de clc en sguente. De clc en la pestaña donde dce Sere Donde dce Rótulos del eje de categorías (x): de clc en la matrz de este. Juan Díaz Valenca. Esp. Estadístca Aplcada. E-mal jag0@gmal.com 7

Seleccone con el Mouse los valores de la marca de clase. Luego de clc en sguente. De clc en la pestaña Títulos, escrba los títulos correspondentes como los del gráfco 4. De clc en fnalzar. Para realzar un gráfco polgonal con la ayuda de Excel, los pasos son smlares a los anterores pero, aquí es necesaro agregar un ntervalo al nco y otro al fnal para poder cerrar el polígono, observe el arreglo que se hace en la tabla 0 y la forma en que debe quedar en la gráfca 5. Tabla 0 Modfcacón de la tabla para la construccón del gráfco polgonal. Rendmento Total Marca de clase Frecuenca % Frec. relatva acumulada % H Intervalos X n 5 0 7,5 0 0 0 5,5 3,4 5 30 7,5 3 5,4 30 35 3,5 4 66, 35 40 37,5 4 7,9 40 45 4,5 9,5 45 50 47,5 5 00,0 50 55 5,5 0 59 Gráfca 5. Gráfco polgonal para los rendmentos totales de fondos de crecmento. Rendmentos Totales a un año de 59 fondos de crecmento n 30 5 0 5 0 5 0 7,5,5 7,5 3,5 37,5 4,5 47,5 5,5 X 5.8 Hstograma. El hstograma es una gráfca de barras vertcales que se construyen en los límtes de cada clase, se utlza para representar las dstrbucones de frecuencas. Juan Díaz Valenca. Esp. Estadístca Aplcada. E-mal jag0@gmal.com 8

Gráfco 6. Hstograma que representa la dstrbucón de los Rendmentos totales fondos de crecmento. 30 5 0 5 0 5 0 3 4 4 0 5 30 35 40 45 50 5 S se quere construr un hstograma como el presentado en la grafca 6, Excel no lo proporcona drectamente, necestamos proceder de la sguente manera: Escrba en una celda (puede ser A) los lmtes de los ntervalos a partr de 0 hasta 50 dejando 6 o 7 espacos entre cada número debe verse así: 0 5 30 35 40 45 50 Con los datos de la tabla 9 señale con el Mouse los datos de las frecuencas absolutas n. Luego presone el cono de Asstente para gráfcos y de clc en el botón Sguente. En el paso de clc seres en Flas. Luego de clc en la pestaña Sere que esta en la parte superor. Donde dce Rótulos del eje de categorías (x) De clc en la matrz que esta al frente. Luego de clc en la celda A o donde escrbó los valores de los límtes. Vuelva y desplegue la ventana. De clc en sguente paso 3. busque la pestaña donde dce Rótulos de datos, y de clc en el cuadro de Valor. Puede escrbrle Títulos etc. Por últmo de clc en fnalzar. 5.9 Polígono Acumulado u Ojva. Es la representacón grafca de una dstrbucón acumulada, se escrben los fenómenos de nterés en el eje horzontal y en el eje vertcal se representa la proporcón o porcentaje de observacones acumuladas. Observe como queda el gráfco 7 una vez termnado, realce la gráfca con los datos de la tabla 0. Gráfco 7 Ojva o polígono de frecuencas acumuladas para los rendmentos totales de fondos de crecmento Juan Díaz Valenca. Esp. Estadístca Aplcada. E-mal jag0@gmal.com 9

0 %H 00 80 60 66, 7,9 9,5 00 40 0 0 0 3,4 5,4 7,5,5 7,5 3,5 37,5 4,5 47,5 X Tambén con ayuda de Excel se puede construr una curva suavzada de la ojva donde nos muestra los cambos bruscos s los hay de una dstrbucón de datos, cuando es normal esta se apreca un punto de nflexón, pero cuando la dstrbucón es como la del ejemplo se presenta varos puntos de nflexón o cambos de curvatura. Juan Díaz Valenca. Esp. Estadístca Aplcada. E-mal jag0@gmal.com 30

5.0 Ejerccos. º La tabla muestra las alturas en centímetros de 60 árboles de pno sembrados por un ecologsta, construr la tabla de frecuencas con 7 ntervalos, haga un polígono de frecuencas, hstograma y la ojva. Tabla altura en mlímetros 738 79 743 740 736 74 735 73 76 737 78 737 736 735 74 733 74 736 739 735 745 736 74 740 78 738 75 733 734 73 733 730 73 730 739 734 738 739 77 735 735 73 735 737 734 73 736 74 736 744 73 737 73 746 735 79 730 734 740 735 º La tabla muestra los puntajes del cocente ntelectual (CI) de 50 estudantes de tercer grado de un nsttuto educatvo, con base en estos puntajes construya una tabla de frecuencas con 7 ntervalos, construya el polígono de frecuencas, el hstograma y el polígono de frecuencas acumulado, repta el ejercco pero con 8 ntervalos. 86 9 04 3 5 0 4 05 0 88 6 8 00 5 09 9 9 06 0 09 04 0 3 00 06 05 8 93 89 4 96 05 95 9 06 93 88 89 00 5 98 08 88 99 0 0 08 5. Meda artmétca para datos agrupados. El concepto es el msmo que se había vsto para datos no agrupados, se puede consderar como el punto de equlbro en una dstrbucón cuando el tamaño de la muestra es mayor de 30 observacones. 5.. Propedades de la meda artmétca la suma algebraca de las desvacones de un conjunto de números de su meda artmétca es cero. En forma algebraca esta propedad es X X) = 0 La meda es sensble al valor exacto de todos los datos en la dstrbucón, una modfcacón en cualquer dato provocará un cambo en la meda. La meda es muy sensble a los datos extremos. La suma de los cuadrados de las desvacones de todos los datos en torno a su meda es la mínma. En forma algebraca, ( X X es mínma. Esta propedad establece que ) aunque la suma de las desvacones cuadradas en torno a la meda no sempre es gual a cero, es la menor s consderamos las desvacones cuadradas en torno a cualquer otro valor Para un gran número de crcunstancas, de todas las meddas utlzadas para calcular la tendenca central, la meda es la que esta menos sujeta a la varacón debdo al muestreo. (la meda vara menos que las otras meddas de tendenca central) esto es mportante en la estadístca nferencal. 5.. Cálculo de la Meda Artmétca. Se puede utlzar la sguente fórmula para el cálculo. ( Juan Díaz Valenca. Esp. Estadístca Aplcada. E-mal jag0@gmal.com 3

n = Xn X = Esto s son para muestras de tamaño n, o ben. n N = Xn µ = Esto s se consdera una poblacón. N Ejemplo 0. Calcule el valor de la meda artmétca para los datos del ejemplo 7. Sol. Es necesaro calcular prmero los valores para cada X *n, esto se hace con la tabla 3: Tabla 3 Rendmentos de un fondo fnancero. Intervalos X n X *n 0 5,5 45 5 30 7,5 3 357,5 30 35 3,5 4 780,0 35 40 37,5 4 50,0 40 45 4,5 467,5 45 50 47,5 5 37,5 = 59 = 037,5 037,5 X = = 59 34,53 Lo que nos ndca que el rendmento promedo aproxmado en el año para los 59 fondos es de 34,53 undades. Otras meddas de poscón o tendenca central son la meda geométrca, la meda armónca, meda cuadrátca y la meda cúbca. 5..3 Meda Geométrca G. La meda geométrca G de una sere de n números X es la raíz n- sma del producto de los números G = n XX X 3LX n para datos no agrupados Ventajas G = X n n X L para datos agrupados n X n a) Se utlza cuando se quere dar mportanca a valores pequeños de la varable. b) Es sensble a cualquer cambo en los valores de la dstrbucón. c) Su valor es muy nfluencable por los datos extremos. d) Es muy ndspensable cuando se desea sacar el promedo de una sere de valores que están en progresón geométrca o aproxmadamente geométrca. La desventaja es por los cálculos matemátcos. Juan Díaz Valenca. Esp. Estadístca Aplcada. E-mal jag0@gmal.com 3

5..4 Meda Armónca H. La meda armónca H de una sere de datos X... X n es la recíproca de la meda artmétca de los recíprocos de los números n H = = n para datos no agrupados n j = X X j H = n n X Para datos agrupados La meda armónca se usa especalmente cuando van a promedarse relacones que son nversas proporconales como es el tempo en relacón a la velocdad. 5. Ejerccos. º para los ítems y del ejercco 5.0 hallar la meda artmétca. º para los ítems y del ejercco 5.0 hallar la meda artmétca, la meda geométrca y la meda armónca y comprobar s se cumple que H G X. 5.3 La Moda. La moda de una sere de datos es aquel valor que se presenta con la mayor frecuenca, es decr el valor más común. La moda puede no exstr, ncluso s exste puede no ser únca. Ejemplo. La sere de datos,, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 7 tene de moda 3 La sere de datos 5, 7, 0, 3,, 0. No tene moda La sere de datos, 3, 5, 6, 6, 6, 8, 8, 9, 0, 0, 0. Tene dos modas se conoce como bmodal Una dstrbucón que tene una sola moda se llama unmodal, en el caso de datos agrupados donde se ha construdo una curva de frecuencas, para ajustar los datos, la moda será el valor o valores de X correspondentes al máxmo de la curva, este valor se representa por Xˆ. La formula a utlzar es la sguente xˆ L = + donde + L = límte real nferor de la clase modal = Exceso de la frecuenca modal sobre la frecuenca de clase contgua nferor = Exceso de la frecuenca modal sobre la frecuenca de clase contgua superor = tamaño del ntervalo. Juan Díaz Valenca. Esp. Estadístca Aplcada. E-mal jag0@gmal.com 33

Xˆ OU OT Xˆ L = o tambén L Xˆ = PQ RS L + L = y como L = + se tene que + xˆ = L + + 5.3. Ventajas de la moda. En seres polmodales, la moda permte dvdr la dstrbucón con fnes de estratfcacón La moda ndca el punto de mayor concentracón, s la dstrbucón es muy asmétrca, entonces la moda es el dato más representatvo. 5.3. Desventajas. La moda no es sensble a cambo de valores de la dstrbucón, a menos que afecte su propo valor. La moda es muy nestable en el muestreo. En seres agrupadas el cálculo de la moda no es muy confable. 5.4 Cálculo de la Medana para datos AGRUPADOS. La medana se calcula por nterpolacón y vene dada por Me = L + n ( Σf) f Me Donde L = Límte real nferor de la clase que contene a la medana (es decr, la clase que contene a la medana) n = número total de datos (es decr, frecuenca total) Juan Díaz Valenca. Esp. Estadístca Aplcada. E-mal jag0@gmal.com 34

(Σ f ) = suma de todas las frecuencas de todas las clase por debajo de la medana f Me = frecuenca de la clase medana = tamaño del ntervalo de la clase Medana. Geométrcamente, la medana es el valor de X(abscsa) que corresponde a la vertcal que dvde a un Hstograma en dos partes de gual área. En otras palabras representa el 50% de los datos, Para calcular la medana es necesaro ordenar los datos 5.4. Propedades de la medana. La medana es menos sensble que la meda a los datos extremos Bajo crcunstancas usuales, la medana está más sujeta a la varabldad de la muestra que la meda. Con la ecuacón utlzada para hallar la medana es posble encontrar cuartles, decles y Percentles nterpolado algunos térmnos. 5.4. Cálculo del cuartl uno. Lo smbolzaremos con Q y representa el prmer 5% de los datos ordenados. 0,5n ( f ) Q L * f = + Q Donde L = Límte real nferor de la clase que contene a Q (es decr, la clase que cuartl uno) contene al n = número total de datos (es decr, frecuenca total) (Σ f ) = suma de todas las frecuencas de todas las clase por debajo del cuartl uno f Q = frecuenca de la clase del cuartl uno = tamaño del ntervalo de la clase del cuartl uno. 5.4.3 Cálculo del cuartl tres. Lo smbolzaremos con Q 3 y representa el prmer 75% de los datos ordenados. 0,75n ( f ) Q3 L * f = + Q3 Donde L = Límte real nferor de la clase que contene a Q 3 (es decr, la clase que cuartl tres) contene al n = número total de datos (es decr, frecuenca total) Juan Díaz Valenca. Esp. Estadístca Aplcada. E-mal jag0@gmal.com 35

(Σ f ) = suma de todas las frecuencas de todas las clase por debajo del cuartl tres. f Q = frecuenca de la clase del cuartl tres = tamaño del ntervalo de la clase del cuartl uno. De manera smlar se puede calcular decles y Percentles, tambén es convenente tener en cuenta que la medana es lo msmo que el cuartl dos Q, o es gual al decl cnco D 5 que es lo msmo que el Percentl 50 P 50. Ejemplo. Consdere la tabla 4 y encuentre la meda, medana, posterormente halle los cuartles el P 0 P 35 P 60 y P 90. Tabla 4 Calculo de la medana. Para calcular la medana hallamos: Intervalos n X n * X 0 7 4 7 34 9 34 4 3 4 48 5 48 55 5 55 6 4 Σ = 50 º n = 0,5n = 0,5*50 = 5 º ubcamos en cuál ntervalo se encuentran las 5 prmeras observacones, en este caso, se ubca la clase medana en el tercer ntervalo 34-4 puesto que s sumamos 4 + 9 + 3 = 6. 3º Hallamos el valor para L. en este caso el lmte nferor corresponde a 34, a este valor se le resta meda undad es decr 0,5, lo que nos queda: L = 34 0,5 = 33,5 4º hallamos (Σ f ) = 4 + 9 = 3 5º f Me = 3 6º = 7 Una vez dentfcados los térmnos de la ecuacón que determnan la medana aplcamos la fórmula. 5 3 Me = 33,5 + 7 = 39,96 40 3 Juan Díaz Valenca. Esp. Estadístca Aplcada. E-mal jag0@gmal.com 36

El anteror resultado nos ndca que el 50% de las observacones se encuentra entre 0 y 40. 5.5 Ejercco º Para el ejemplo calcule Q, Q, Q 3, P 0 P 35 P 60 y P 90 nterprete cada uno de los resultados. º Para la tabla 4 del ejemplo calcule el valor de la moda. 3º La tabla 5 contene las calfcacones obtendas en un examen de ngles de segundo año. Tabla 5 calfcacones de Ingles entre 0 y 00 puntos Para los datos de la tabla 5 realce lo sguente: 60 94 75 8 7 57 9 75 85 77 9 7 85 64 78 75 6 49 70 94 7 84 55 90 88 8 64 9 79 66 68 67 74 45 76 73 68 85 73 83 85 7 87 57 8 78 68 70 7 78 69 98 65 6 83 84 69 77 8 87 79 64 7 55 76 68 84 69 77 8 87 79 64 7 55 76 68 93 56 67 7 83 7 8 78 6 8 49 63 73 89 78 8 93 7 76 73 90 76 A. Construya una tabla de frecuencas con 8 ntervalos. B. Construya el polígono de frecuencas, el hstograma y la ojva. C. Calcule el valor de la meda, la medana, la moda e nterprete cada uno de los resultados. D. Construya un dagrama de caja o Box Plot. E. Calcule P 0 y el P 90, nterprete estos valores. F. Construya una tabla de resumen en Excel donde muestre: valor mínmo, valor máxmo, rango, rango medo, eje medo, meda artmétca, moda, medana, construya los gráfcos del lteral B, compare los resultados obtendos. Juan Díaz Valenca. Esp. Estadístca Aplcada. E-mal jag0@gmal.com 37