Resume de Mtemátics II Cristiá Reyes R. Iviero, 25 Ests ots o pretede ser u guí del curso Mtemátics II, solo será u compedio de defiicioes y resultdos (solo de los más importtes), ls motivcioes so dds por el profesor y los ejemplos tmbié. Lo úico que pretede es ser u yud de memori l hor de estudir (por ejemplo: Qué er lo que sigificb itegrble?) o de hcer ejercicios. 1. Alguos recuerdos de Mtemátics I. E est prte recordré somermee lgus coss cerc de sumtoris y de supremo e ífimo, pr u explicció más complet ver mis putes de Mtemátics I. Defiició 1.1 Si teemos u colecció fiit de úmeros, digmos {x 1,x 2,x 3,...,x }, el símbolo sigificrá l sum i=1 x i x 1 + x 2 + x 3 + + x Algus propieddes clrs de l sumtori, so ls siguietes: (ls demostrcioes se dej l estudite.) Propieddes 1.1 Si {x 1,x 2,x 3,...,x } y {y 1,y 2,y 3,...,y } so dos cojutos de úmeros y λ es u úmero fijo culquier. Etoces: 1) (x j + y j ) = j=1 x j + j=1 j=1 y j 2) λ(x l ) = λ l=1 l=1 x l 1
3)Si 1 N, etoces 4)(Propiedd Telescópic) 5) x m = m=1 N x m + m=1 m=n+1 1 (x i+1 x i ) = x x 1 i=1 λ = λ k=1 Defiició 1.2 U subcojuto A de R se dice cotdo superiormete, si existe M R tl que pr culquier A se tiee que M, M se llm u cot superior de A. Se dice cotdo iferiormete, si existe m R tl que pr culquier A se tiee que m, m se llm u cot iferior de A. A se dice cotdo si es cotdo iferiormete y superiormete l vez. Ejemplo: El cojuto X = (, 1) es cotdo. Pues pr culquier elemeto de x X se tiee que x 1. Notr que si M es u cot superior de A, y si N M etoces N es u cot superior de A tmbié. Del mismo modo si m es u cot iferior pr A y m etoces es tmbié u cot iferior de A. Defiició 1.3 Si A es u cojuto cotdo superiormete y s es u cot superior de A tl que si t es otr cot superior de A siempre se cumple que s t, etoces s se llm Supremo de A. Y otmos sup(a) = s. Si A es u cojuto cotdo iferiormete e i es u cot iferior tl que si j es otr cot iferior siempre se cumple que j i etoces i se llm ífimo de A. Y otmos if(a) = i. Ejemplo: sup((, 1)) = 1 e if((, 1)) =. L siguiete es u propiedd muy importte de los úmeros reles, que si los hubiésemos costruido l podrímos demostrr, pero como uestr presetció fue xiomátic l presetmos como Axiom 1.1 (Axiom del Supremo) Todo cojuto o vcío de úmeros reles que es cotdo superiormete tiee u supremo. Como cocecueci de este xiom se tiee el siguiete Teorem 1.1 Todo cojuto o vcío de úmeros reles que es cotdo iferiomete tiee u ífimo. x m. 2
Lo que teemos que teer clro es que el supremo de u cojuto cotdo superiormete o vcío es l meor de ls cots superiores. Cudo el supremo de u cojuto A es u elemeto de A, etoces l supremo e ese cso se le llm Máximo y se ot Mx(A). Cudo el supremo de u cojuto o es u elemeto del cojuto e cuestió, es u puto que está pegdo l cojuto, está dherido l cojuto. Es decir, o lo podemos seprr de uestro cojuto, es decir, si sup(a) = s etre A y s o existe igú itervlo. Es decir, culquier vecidrio de l form (s ǫ,s+ǫ) cotiee elemetos de A. Otr form de eteder el cocepto de supremo es l siguiete: s = sup(a) si y solmete si s es u cot superior de A y cd vez que os movemos u poco l izquierd de s se os cuel u elemeto de A. De otro modo, pr culquier ǫ > existe A tl que s ǫ <. Lo mismo podemos decir del ífimo: i = if(a) si y solmete si i es u cot iferior de A y pr culquier ǫ > existe A tl que i + ǫ >. E el cso e que A es cotdo iferiormete y i = if(a) y demás i A decimos que i es el míimo de A y otmos i = mi(a) Algus observcioes: Observció 1.1 El supremo de u cojuto o vcío cotddo superiormete es úico, lo mismo ocurre co el ífimo, por eso le llmmos el supremo y el ífimo. Observció 1.2 U cojuto A es cotdo si y solmete si existe u úmero positivo M tl que pr culquier A se tiee que M. Observció 1.3 Si A es u cojuto cotdo superiormete y = B A, etoces B es cotdo superiormete y sup(b) sup(a). Observció 1.4 Si A es u cojuto cotdo iferiormete y = B A, etoces B es cotdo iferiormete y se tiee que if(b) if(a). Observció 1.5 Si A y B so cojutos o vcíos y cotdos superiormete, defiimos A+B = {+b/ A, b B}, etoces A+B es cotdo superiormete y se tiee que sup(a + B) = sup(a) + sup(b). Puede Ud. eucir lgo precido pr el ífimo? 3
Observció 1.6 Si A es u cojuto vcío cotdo superiormete y λ R, defimos λa = {λ/ A}, etoces si λ se tiee que λa es cotdo superiormete y se tiee que sup(λa) = λsup(a). Qué puede decir si λ <? Ejemplo 1.1 El ífimo de A = { 1 / N} es. Demostrció: Que el cojuto A es cotdo iferiormete es clro pues A es u cojuto de úmeros positivos, por lo tto < A. Luego es u cot iferior de A. Pr probr que es el ífimo de A teemos que probr que si me muevo u poco l derech de hy u elemeto del cojuto que se cuel etre medio. Es decir, debemos probr que pr culquier ǫ > se tiee que existe A tl que + ǫ >. O equivletemete: Pr culquier ǫ > existe N tl que ǫ > 1. Pues bie, se ǫ > culquier, pero desde hor fijo, por propiedd rquimede existe N N tl que 1 < N multiplicdo est últim desiguldd por ǫ que es u úmero positivo, por lo tto el setido de l ǫ N desiguldd se mtiee, se obtiee que 1 N < ǫ que es lo que queremos probr. U fució f : D R se dice cotd si Im(f) es u cojuto cotdo, es decir, f es cotd si existe M R tl que f(x) M pr culquier x D. U resultdo de Mtemátics I es el siguiete: Teorem 1.2 Si f : D R es cotiu y [,b] D etoces f : [,b] R es cotd y demás lcz su máximo y su míimo. 2. Ides Nuevs E este prtdo resumiremos ls defiicioes básics pr poder hblr de itegrbilidd y dremos lguos resultdos ecerios pr cotiur e l teorí. Ls demostrcioes de los resultdos o ls dremos e este resume, i tmpoco se drá tods e este curso, pero u estudite iteresdo ls puede ecotrr e el libro de M.Spivk: Cálculo ifeitesiml. Defiició 2.1 Cosideremos u itervlo cerrdo I = [,b], co b, u cojuto fiito P = {x,x 1,x 2,...,x 1,x } se dice u prtició de I, si x =, x = b y x k < x k+1, pr culquier k =, 1, 2,..., 1. Si P y Q so prticioes de I tles que P Q, etoces Q se dice u refimieto de P. 4
Por ejemplo: P = {, 1, 1, 7, 1} es u prtició de [, 1]. 3 2 8 Por ejemplo: P = {, 1, 1, 1, 1, 1, 1} es u prtició de [, 1]. 2 5 2 4 2 3 2 2 2 Por ejemplo: Q = {, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 7, 1} es u prtició de [, 1], que 2 5 2 4 2 3 2 2 3 2 8 es u refimieto de P y de P. Lo que hce u prtició es dividir el itervlo origil e pequeños subitervlos, sber [,x 1 ], [x 1,x 2 ], [x 2,x 3 ],...,[x 2,x 1 ], [x 1,b]. Cosideremos hor u fució cotd f : [, b] R y P = {x,x 1,x 2,...,x 1,x } u prtició de [,b]. Como f es cotd e [,b], etoces tmbié es cotd e cd subitervlo [x k 1,x k ], es decir, el cojuto {f(x)/ x k 1 x x k } es cotdo, etoces tiee supremo e ífimo, deotemos por M k y m k esos vlores respectivmete, esto es M k = sup{f(x)/ x k 1 x x k } y m k = if{f(x)/ x k 1 x x k }. Defiició 2.2 Al úmero s(f,p) = m k (x k x k 1 ) k=1 se le llm l sum iferior de f co respecto l prtició P. Si f es u fució cotiu y positiv, l sum iferior represet l sum de ls áres de los rectágulos que está bjo el gráfico de f, defiidos por l prtició. Defiició 2.3 Al úmero S(f,P) = M k (x k x k 1 ) k=1 se le llm l sum superior de f co respecto l prtició P. Si f es u fució cotiu y positiv, l sum superior represet l sum de ls áres de los rectágulos que está por sobre el gráfico de f, defiidos por l prtició. Algus observcioes: 5
Observció 2.1 Si f : [,b] R es cotd y P = {x,x 1,x 2,...,x 1,x } u prtició de [,b], etoces s(f,p) S(f,P). Supog que e l desiguldd terior se cumple l iguldd pr tods ls prticioes P, etoces Qué puede decir de f? Observció 2.2 Si f : [,b] R es cotd y P Q prticioes de [,b], etoces S(f,Q) S(f,P) y s(f,p) s(f,q) ( por qué?) prticioes cu- Observció 2.3 Si f : [,b] R es cotd y P,P lesquier de [,b], etoces s(f,p ) S(f,P). ( por qué?) Observció 2.4 Si f : [,b] R es cotd, etoces por l observció terior se tiee que culquier elemeto del cojuto {s(f, P)/ P prtició} es meor o igul que culquier elemeto del cojuto {S(f,P)/ P prtició}, luego sup{s(f,p)/ P prtició} if{s(f,p)/ P prtició}. Defiició 2.4 Si f : [, b] R es cotd, etoces l úmero sup{s(f, P)/ P prtició} se le llm l itegrl iferior de f e [,b], y se deot por Al úmero f. if{s(f,p)/ P prtició}, se llm l itegrl superior de f e [,b] y se deot por Por l observció terior se tiee que f Defiició 2.5 U fució f : [,b] R cotd, se dice itegrble si f = f. f. f = I. E este cso l úmero I se le llm l itegrl de f e [,b], el cul se deot por f o bie por f(x)dx o bie por f 6 [,b]
Algus propieddes de l sumtori que hered l itegrl so ls siguietes : Propiedd 2.1 Si f : [,b] R es itegrble, etoces f es itegrble e culesquier itervlos [, c] y [c, b] co c [, b] y demás se tiee: f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx Propiedd 2.2 Si f,g : [,b] R so itegrbles, etoces f + g es itegrble y se tiee: (f + g)(x)dx = f(x)dx + g(x)dx Propiedd 2.3 Si f : [,b] R es itegrble, etoces λf tmbié lo es y se tiee: (λf)(x)dx = λ f(x)dx Ejemplo 2.1 L fució f : [, 1] R defiid por { si x Q f(x) = 1 si x / Q o es itegrble. De hecho, pr culquier prtició P = {x =,x 1,x 2,...,x 1,x = 1} de [, 1], se tiee que m i = y M i = 1 pr culquier i. Luego s(f,p) = y S(f,P) = 1. ( por qué?) Luego {s(f,p)/ P } = {} y etoces sup{s(f,p)/ P } =, luego 1 f =. Por otr prte {S(f,P)/ P } = {1} y etoces if{s(f,p)/ P } = 1, luego Luego f o es itegrble. 1 f = 1. Ejemplo 2.2 L fució f : [, b] R defiid por f(x) = c (u costte) es itegrble. De hecho, pr culquier prtició P = {x =,x 1,x 2,...,x 1,x = b} de [,b], se tiee que m i = c y M i = c pr culquier i. 7
Luego s(f,p) = c(b ) y S(f,P) = c(b ). ( por qué?) Luego {s(f,p)/ P } = {c(b )} y etoces sup{s(f,p)/ P } = c(b ), luego f = c(b ). Por otr prte {S(f,P)/ P } = {c(b )} y etoces if{s(f,p)/ P } = c(b ), luego Luego f es itegrble y Hgmos uos coveios: f = c(b ). f = c(b ) o tmbié cdx = c(b ). Coveio 2.1 Coveio 2.2 f = b f = f U resultdo muy importte es el siguiete Teorem 2.1 Si f : [, b] R es cotiu, etoces f es itegrble. El recíproco de este teorem es flso, es decir, existe fucioes que o so cotius, pero que si so itegrbles. Ejemplo 2.3 L fució f : [, 2] R defiid por f(x) = [x] (l fució prte eter) es itegrble, pese o ser cotiu y se tiee 2 f = 1. ( por qué?). Cudo l fució estudir es cotiu (o cotiu trozos) todo se vuelve más simple. Observció 2.5 Si f : [,b] R es cotiu y P = {x,,x 1,,x 2,,...,x 1,,x, } u fmili de prticioes, pr cd defimos P = mx{x k, x k 1, / k = 1, 2,... 1,}, escojmos x i, [x i 1,,x i, ] culquier. 8
Notemos que u vez ddo f y P y u vez escogidos los x i, l sum 1 f(x i,)(x i+1, x i, ) i= solo depede de. (A l sum terior se le llm sum de Riem) Si supoemos demás que si etoces P etoces se tiee que 1 lím i= f(x i,)(x i+1, x i, ) = f(x)dx. Notr que l codició si etoces P, o es redudte, puede psr que, pero o ecesrimete P, por ejemplo l fmili de prticioes P = {, 1 2, 1 2 1, 1 2 2,..., 1 2 2, 1 2, 1} de [, 1], o cumple co es codició. Por ejemplo, l siguiete figur muestr u sum de Riem, pr u fució cotiu. Notr que est sum o es iferior i superior. Cuiddo! Notr que l observció (2.5) NO es l defiició de itegrbilidd, i tmpoco es plicble fucioes o cotius. Debe teer cuiddo. 9
3. Teorem Fudmetl del Cálculo y sus Apliccioes El siguiete es u resultdo que muestr lo simple e itereste que es estudir l itegrl de fucioes cotius. Teorem 3.1 (Teorem Fudmetl del Cálculo) Si f : [, b] R es cotiu, etoces l fució F(x) = es diferecible y demás se tiee x f(t)dt F (x) = f(x) x (,b). Ates de dr l demostrció, otemos que F() = y F(b) = f(t)dt, es decir, el teorem dice que F (x) = f(x) y F(b) permite clculr l itegrl de f e [,b], o lo que es lo mismo F(b) F() = f(t)dt. Demostrció: Se x (,b) culquier y cosideremos el itervlo [x,x + h] coteido e [, b], (otemos que implícitmete estmos cosiderdo h > ). Como f es cotiu e [,b] tmbié lo es e [x,x + h], por lo tto M h = mx{f(t)/ t [x,x + h]} es lczdo por lgú f(x h ), co X h [x,x+h], por l mism rzó existe x h [x,x + h] tl que f(x h ) = m h = mi{f(t)/ t [x,x + h]}. Ahor bie, si h, etoces X h x y x h x, y por cotiuidd de f se tiee que f(x h ) f(x) y f(x h ) f(x). Cocluyedo se tiee que M h f(x) y m h f(x) (Esto es crucil e l demostrció, o lo pierds de vist). Por fi, clculemos l derivd de F e x (,b), esto es, clculemos el límite F(x + h) F(x) lím h h (cosideremos h > el cso h < será u ejercicio pr el estudite, pero es idético este). El límite terior es el siguiete 1 lím h h x+h x f(t)dt, ( por qué) 1
Notemos hor que hm h dividiedo por h > se tiee m h 1 h x+h x x+h x f(t)dt hm h f(t)dt M h, hor si h etoces m h f(x) y M h f(x), luego por teorem del sdwich se tiee F(x + h) F(x) lím = f(x). h h Luego F es diferecible y F (x) = f(x). Ejemplo 3.1 Cosideremos l fució L : (, ) R defiid por L(x) = x 1 1 t dt. E este cso prticulr f(t) = 1 l cul es cotiu e (, ), por lo tto es t cotiu e culquier itervlo cerrdo coteido e (, ), luego L está bie defiid. Por el teorem terior, teemos que L es diferecible y L (x) = 1 x x >, luego L (x) es positiv pr culquier vlor de x e el domiio de L, luego L es creciete estrictmete, por lo tto L es iyectiv, por lo tto tmbié o tiee i máximos i míimos. Como L (x) = 1 x 2 se tiee que L es cócv, luego L o tiee putos de iflexió. Notr que L(1) =, y demás L(x) > si x > 1 y L(x) < si < x < 1. Notr que y sbemos bstte de L, icluso si coociésemos los límites lím L(x) y x podrímos grficrl. lím L(x) x + 11
De hecho, si sumimos que lím L(x) = y que lím L(x) =, (el x x + estudite debier decir, por que es correcto sumir esto) se tiee que el gráfico es similr U observció importte es l siguiete, tmbié es u recuerdo de Mtemátics I, pero me prece coveiete hcerlo hor y o tes, por l imeditez de l ecesidd. Proposició 3.1 Si H : (,b) R es diferecible y H (x) = x (,b), etoces H es u costte. Demostrció: Se c (,b) y se H(c) = C. Probremos que H(x) = C, x (,b), si x = c o hy d que probr. Etoces cosideremos c x (,b), por teorem del vlor medio se tiee que existe ξ (c,x) (o ξ x,c)) tl que H(c) H(x) c x = H (ξ) =, de dode se tiee que H(c) H(x) =, luego H(x) = H(c) = K, que es lo ququerímos probr. Es importte otr, que el resultdo depede fuertemete del domiio, si este o es u itervlo el resultdo es FALSO. Como corolrio este resultdo teemos: Corolrio 3.1 Si F,G : (,b) R so diferecibles y F (x) = G (x) x (, b), etoces F(x) = G(x) + C, dode C es u costte. 12
L demostrció de este corolrio result de plicr l proposició terior l fució H = F G. Recordemos que el teorem fudmetl del cálculo dice: que si f es cotiu etoces l fució F(x) = x f(t)dt es diferecible y F (x) = f(x), demás F() = y F(b) = f(t)dt. Ahor bie, supogmos que por otros métodos, por otros cmios, o por otrs circustcis coocemos u fució G tl que G (x) = f(x), Cómo os puede yudr esto pr clculr l itegrl sí: f(t)dt? L respuest es Como F(x) = x f(t)dt y G tiee l mism derivd, etoces ells difiere e u costte, como cbmos de ver, es decir, existe C tl que F(x) = G(x) + C, pero sbemos que F() = luego G() + C =, luego C = G(). Luego F(x) = G(x) G(), pero como sbemos que se tiee que F(b) = f(t)dt f(t)dt = G(b) G(). A este resultdo tmbié se le llm el teorem fudmetl del cálculo y lo eucimos hor Teorem 3.2 (TFC, segud versió) Si f : [,b] R es cotiu y G es u fució tl que G (x) = f(x) x (,b), etoces f(t)dt = G(b) G(). Este resultdo es l mrvill mism, pues permite clculr itegrles de fucioes cotius de form muy simple, evitdo los límites de sumtoris. Ejemplo 3.2 Cosideremos l fució f : [,π] R defiid por f(x) = se(x), l cul es cotiu. Luego se 1 lím k= ( kπ ) (π ) = se(x)dx, si embrgo, clculr el vlor de l sum o es simple. De modo que si o tuviésemos el TFC, o podrímos clculr l itegrl de est fució 13
bstte coocid. Usemos el TFC etoces, ecesitmos coocer u fució tl que su derivd se se(x), l solució es fácil, sber, l fució G(x) = cos(x) tiee es virtud. Luego cos(π) ( cos()) = se(x)dx, luego De reglo sbemos que se(x)dx = 2. se 1 lím k= ( kπ ) (π ) = 2. Como hemos visto, pr clculr l itegrl de u fució cotiu f e u itervlo [,b], bst ecotrr u fució G tl que G (x) = f(x) y restr los vlores evludos e los extremos. A l rest G(b) G() l deotmos por G(x) ] b. Es decir, f(t)dt = G(x) ] b. Si f es cotiu y G (x) = f(x), etoces G se le llm u primitiv de f. Como hemos visto dos primitivs de f difiere e u costte. El símbolo f deot l fmili de tods ls primitivs de f. Por ejemplo 1 es l fmili de ls fucioes de l form x +, dode es costte. Abusdo del leguje escribiremos 1 = x +. Del mismo modo escribimos x = x2 2 + C Así teemos l list: 14
1. x dx = x+1 +C, 1 Q +1 2. se(x)dx = cos(x) + C 3. cos(x)dx = se(x) + C 4. sec 2 (x)dx = tg(x) + C 5. 1 1+x 2 dx = Arctg(x) + C 6. 1 1 x 2dx = Arcse(x) + C Ejemplo 3.3 Cuál es el áre etre y 1 bjo l curv y = x x? L respuest es 1 x xdx = 1 x 3 2 dx = x 3 2 +1 3 2 + 1]1 = 2 5. Observció 3.1 U observció obvi, pero útil, es que f (x)dx = f(x) + C. E prticulr (fg) (x)dx = (fg)(x) + C = f (x)g(x)dx + f(x)g (x)d(x), es decir, sumiedo que ls costtes so bsorvids por ls itegrles se tiee: f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx, escrito como itegrl defiid result f(x)g (x)dx = f(x)g(x)] b f (x)g(x)dx, A est últim relció se llm itegrció por prtes, l cul suele ser muy útil. Ejemplo 3.4 Pr clculr l itegrl se 2 (x)dx, podemos usr l itegrció por prtes poiedo f(x) = se(x) y g (x) = se(x), podemos cosiderr g(x) = cos(x). Así result se 2 (x)dx = se(x)se(x)dx = se(x)cos(x)] π + Como se() = se(π) = se tiee que se(x)cos(x)] π =, luego se 2 (x)dx = 15 cos 2 (x)dx, cos 2 (x)dx
pero como cos 2 (x) = 1 se 2 (x) se tiee se 2 (x)dx = 1 se 2 (x)dx, luego se 2 (x)dx = 2 2 1dx se 2 (x)dx = se 2 (x)dx = π, se 2 (x)dx, 1dx, se 2 (x)dx = π 2. U observció bstte simple, pero muy usd l hor de clculr itegrles es l siguiete: Si F (x) = f(x) etoces plicdo l regl de l cde se tiee que si g es u fució diferecible tl que Im(g) Dom(F), etoces (F g) (x) = F (g(x))g (x) = f(g(x))g (x), lo que e otrs plbrs dice f(g(x))g (x)dx = F(g(x)) + C escrito e formto de itegrles defiids result Notr que luego f(g(x))g (x)dx = F(g(b)) F(g()) g(b) g() f(u)du = F(g(b)) F(g()) f(g(x))g (x)dx = g(b) g() f(u)du. Es decir, lo que ocurrió fue que hicimos u cmbio de vrible. Implicitmete prece que hicimos u = g(x) y como tes el límite iferior de l itegrl er, hor cuál será el límite iferior después del cmbio? fácil g(). Lo mismo ocurre co el límite superior: tes er b hor es g(b). Hst el mometo llevmos 16
f(g(x))g (x)dx = g(b) g() f(u)g (x)dx. Flt ú trsformr g (x)dx, pero hst el mometo dx pr osotros o tiee igú sigificdo, es u expresió que deot l vrible por l cul estmos itegrdo, pero d más, de hecho podemos prescidir de ell si se subetiede l vrible. Si embrgo, pr los mtemáticos tiee u sigificdo que se estudi e u curso de Forms Difereciles que o es el mometo de cometr, pero quie quier sber cerc de ests coss el libro de M.Spivk Cálculo e Vrieddes es u muy bue refereci. Pr uestros itereses lo que ecesitmos sber es que si y = g(t), etoces dy dt = g (t), lo que otremos por dy = g (t)dt. Bie, hecho este prétesis volvmos uestro problem, teemos que l sustitució u = g(x) e l expresió os h llevdo hst el mometo f(g(x))g (x)dx = f(g(x))g (x)dx g(b) g() f(u)g (x)dx, pero como hemos visto de l relció u = g(x) se obtiee du = g (x)dx, luego f(g(x))g (x)dx = g(b) g() f(u)g (x)dx = g(b) g() f(u)du que es lo y sbemos por otros métodos meos heurísticos que estos últimos, pero más egorrosos. Esto último se llm itegrció por sustitució. Ejemplo 3.5 Pr clculr l itegrl podemos hcer primero π π xse(x 2 )dx = 1 2 xse(x 2 )dx π 2xse(x 2 )dx. Ahor podemos hcer u = x 2 de dode se tiee du = 2xdx, y si x = etoces u = y si x = π etoces u = π, luego teemos π xse(x 2 )dx = 1 2 π 2xse(x 2 )dx = 1 2 se(u)du = 1 2 ( cos(u))π = 1. 17
Los (pocos) ejemplos que hemos resuelto e este resume, so solo eso, ejemplos. Como siempre e mtemátics, existe muchs forms distits de resolver u problem y desde luego est que presetmos o es l mejor, i l ms fácil, i l más boit, i l más elegte i d, es solo l form que se me vio l mete mietrs escribo ests ots. Hech est clrció cotiuemos co este resume. Recordemos que si teemos u ctidd fiit de putos, digmos el promedio de esos vlores es {x 1,x 2,x 3,...,x }, 1 x k. k=1 Supogmos que f : [,b] R es cotiu, que etederemos por el promedio de l fució e ese itervlo?, u estudite purete podrí pesr e el promedio etre el máximo y el míimo de l fució, será u bue ide? L verdd es que o, de hecho e el cso fiito, por ejemplo e ls ots del curso, el promedio etre l ot máxim y l ot míim suele o ser el promedio del curso. Estudiemos u ejemplo prticulr y luego trtemos de pesr e form geerl. Pesemos e l fució f : [, 1] R defiid por f(t) = t 4, y pr myor compresió puede pesr que se trt de l ltur de de u móvil e fució del tiempo. Etoces tomemos t k = k, pr u etero positivo, y evluemos l fució e esos putos y clculemos el promedio de ls lturs e esos isttes, 18
esto es 1 1 f(t k ), k= y prece lógico pesr que cudo obtedremos el promedio de l fució. Pues bie clculemos ese límite o lo que es lo mismo 1 1 lím f(t k ) k= 1 lím t 4 k k= ( ) 1, que o es otr cos que el límite de u sum de Riem de l fució f(t) = t 4 y prtició P = {, 1, 2, 3,...,1}, luego el promedio es 1 lím t 4 k k= ( ) 1 = 1 t 4 dt = 1 5. Ahor estmos e codicioes de cosiderr el cso geerl, esto es u fució cotiu culquier f : [, b] R y cosideremos l prtició cóic del itervlo P = {, + b 2(b ), +, + } 3(b ),...,b y clculemos el promedio de l fució el los putos de l prtició, esto es 1 1 ( ) k(b ) f k= y el límite de est sum será el promedio de l fució e itervlo e cuestió, o lo que es lo mismo 1 1 ( ) k(b ) lím f 1 lím k= k= ( k(b ) f ) ( ) 1 lo cul o es el límite de u sum de Riem, pero csi, lo que flt es multiplicr cd sumdo por b e vez de 1, pero es fácil de rreglr 19
lím 1 1 b k= ( )( ) k(b ) b f = 1 b f(x)dx Cocluimos etoces que el promedio de f e el itervlo [,b] es 1 b f(x)dx. 2