TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria)

TEAS DE ATEÁTICAS Oposoes de Seudr TEA 9 EL PROBLEA DEL CÁLCULO DEL ÁREA. INTEGRAL DEFINIDA.. Itroduó.. Deó de tegrl de Rem... Prtoes... Sum superor y sum eror..3. Itegrl de Rem. 3. Propeddes de l tegrl. 4. Teorem udmetl del álulo y regl de Brrow. 5. Dervó de u uó ded medte u tegrl. 6. Sums de Rem. 7. Itegrles mprops. Blogrí Reomedd. /

TEA 9 EL PROBLEA DEL CÁLCULO DEL ÁREA. INTEGRAL DEFINIDA.. INTRODUCCIÓN. El álulo trt, prplmete, dos prolems geométros: Eotrr l ret tgete u urv. Hllr el áre lmtd por u urv. El prmero lo emos resuelto medte u pso l límte, oodo o el omre de dereó. El segudo vmos ver que tmé lo resolveremos medte u pso l límte, y lo llmremos tegró. Hst or sólo se podí lulr áres eerrds por polígoos que se uede ormr omo omposó de ls terores. S queremos llr el áre eerrd etre u urv y, el eje OX y ls rets vertles y : lo que remos será utlzr l de terormete epuest, es der, vmos usr l órmul del áre de u retágulo pr promr y lulr el áre A. S summos el áre eerrd e los retágulos R, R y R 3 otedremos u promó del áre A que e este so será por deeto. L pregut es: Podemos osegur lulr el áre A usdo el áre de retágulos? L respuest es rmtv, pero pr ello deemos eotrr retágulos de se tesml, es der, retágulos de se putul. Así, l sumr ls áres de todos los retágulos estmos sumdo ls logtudes de tods ls líes vertles que y etre y lmtds por el eje OX y l prop urv y esto ormrá el áre A. /

Est de o oepto lo llmremos tegrl de Rem. Esto os proporo u de udmetl: l tegró osste e relzr u sum.. DEFINICIÓN DE INTEGRAL DE RIEANN... PARTICIONES. DEF Se [,] R u tervlo errdo. El ojuto π{ 0,,..., } que stse tods ls desgulddes 0 < <...< ree el omre de prtó de [,]. DEF Desgmos por [,] l ojuto ormdo por tods ls prtoes del tervlo [,]. DEF Se π,π [,]. Dremos que π es más que π y se deotrá por π <π, s todos los putos de π perteee π π π. PROP L reló "más que" dee u reló de orde e el ojuto [,]. : Trvl. OBS Ddos π, π [,] se ver que π π es u prtó de [,] sedo más que π y que π.. SUA SUPERIOR Y SUA INFERIOR. Dd u prtó π [,] o π { 0,,..., } s pr d tervlo [ -, ] o :,..., llmmos: m I{ / [ -, ]} Sup{ / [ -, ]} etoes podemos der: Sum eror de e l prtó π : s, π m Sum superor de e l prtó π : 3/

y se ver que: S,π s, π A S, π DEF Llmremos tegrl eror de e [,] y se represet por l úmero: Sup {s,π / π [,] } DEF Llmremos tegrl superor de e [,] y se represet por l úmero: I {S, π / π [,]} PROP Se π, π [,]. Se ver: s, π S, π s, π, π π S, π π S,π.3. INTEGRAL DE RIEANN. DEF Se :[,] R uó otd. Dremos que es tegrle e setdo Rem s: y el úmero que result se epres omo: PROP Se :[,] R otd. So equvletes: es tegrle Rem. 4/

ε>0 π [,] / S,π - s, π < ε. Llmremos A y se ε>0. Como ASup{s,π / π [,]} ddo ε/>0 π [,] / Aε/ >S, π. Teedo e uet que π π es más que π y π : A-ε/ < s, π s, π π S, π π < Aε/ y etoes A-ε/ < s, π π S,π π <Aε/ Llmdo π π π llegmos que S, π - s, π < ε Se π [,] / S, π - s, π <ε. Por deó S, π y s, π. Etoes - <ε. Y omo por pótess l desguldd es ert pr todo ε myor que ero, dedumos: PROP Se :[,] R u uó otd. S es otíu es tegrle Rem. S es moótoo es tegrle Rem. Pr ver que es tegrle Rem st ver que pr d ε>0 π π[,] de modo que S, π-s, π <ε. Como es otíu e u errdo etoes es uormemete otíu, luego ddo ε>0 tommos: ε ε δ > 0/ < δ < ε 5/

6/ Se π [,] u prtó pr l que dos ptos oseutvos dste meos que δ: π{ 0,,..., } / - - <δ :... Etoes: S, π-s, π - m m β α dode α es el vlor mámo de l uó e [ -, ] y α dode se lz. β es el vlor mímo de l uo e [ -, ] y β dode se lz. Como α -β < δ α -β < ε ε ε ε Luego es tegrle e setdo Rem. Vemos el so de ser reete s es dereete l demostró es álog. Se π [,] u prtó, π{ 0,..., } y - - <δ :... S, π-s, π m omo es moóto reete y m - < δ δ δ - ε Tomdo δ ε DEF Dd u prtó π π[,], llmmos sum de Rem ulquer sum S, π,τ τ, dode π{ 0,..., } y τ [ -, ]. PROP Se :[,] R u uó otd. So equvletes:

es tegrle Rem e [,]. Α R / ε>0 π 0 [,], s π>π 0 y osdermos u sum de Rem de π, se ver que: A-S, π,τ < ε y demás A.Se A. Vemos que A umple. s, π S, [, ] π π Se ver que s,π S, π,τ S, π Etoes: A-S, π,τ S, π-s, π Como es tegrle Rem: Ddo ε>0 π 0 π[,] / S, π-s, π<ε S π>π 0 S, π-s,π S, π 0 -s, π 0 < ε A-S, π,τ S, π-s, π < ε A-S, π,τ < ε Vemos que A y A. Pr ver que A ε>0 π π[,] / A-S, π <ε st ompror que ddo Por ddo ε>0 π 0 [,] / A- τ < ε/ y π>π 0 ε -τ < ε / Etoes: A-S, π A-S, π,τ S, π,τ-s, π < ε/ ε/ ε. Luego A. 7/

De orm álog se demuestr que A y por tto A Rem. sedo tegrle 3. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL. PROP Se R[,] el ojuto de tods ls uoes tegrles Rem e [,]. S,g R[,] g R[,] y g g S λ R y R[,] λ R[,] y λ λ. 3S 0 0, y por tto s g g. R[,] ε>0 S, π -s, π < ε/ o π π[,]. g R[,] ε>0 S, π -sg, π < ε/ o π π[,]. Se ver S, π π -s, π π < ε/. Sg, π π -sg, π π <ε/, o π π { 0,..., }. Llmemos m I{ / [ -, ]}, Sup{ / [ -, ]}, m I{g / [ -, ]}, Sup{g / [ -, ]}, m I{g / [ -, ]}, Sup{g / [ -, ]} Sg,π π -sg,π π m teedo e uet que: m m m -m -m -m m m Sg,π π -sg,π π < <ε/ε/ ε. Etoes g R[,]. 8/

Vemos or que g g. Ddo ε>0 omo,g,g R[,] π 0 [,] / S π>π 0 A-S, π,τ <ε/3 π 0 [,] / S π>π 0 B-Sg, π,τ <ε/3 π 0 [,] / S π>π 0 C-Sg, π,τ <ε/3 Cosderemos π{ 0,..., }: Sg, π,τ g τ τ g τ S,π,τ Sg,π,τ. Etoes: C-AB C-Sg, π,τ Sg, π,τ-a S, π,τ- S, π,τ-b Sg, π,τ- Sg, π,τ pldo lo teror C- Sg, π,τ -A S, π,τ -B Sg, π,τ < ε/3ε/3ε/3 ε. Luego CAB g g. Se: m I{ / [ -, ]}, Sup{ / [ -, ]}, m I{λ / [ -, ]}, Sup{λ / [ -, ]}, Se λ R-{0}. Sλ,π-sλ,π m omo -m λ -m s λ>0 ó -m λm - λ m λ S,π-s,π Ddo ε>0 tommos ε ε/ λ y π π[,] / S,π-s, π < ε Sλ, π-sλ, π NS, π-s, π λ ε λ ε/ λ ε. Luego λ es tegrle Rem. S λ0 λ 0 y 0 es tegrle Rem. 9/

Llmemos A y B λ. Se A-S, π,τ < ε B-Sλ, π,τ <ε 0 λa-b <ε ε 0 λa B y por tto λ λ. 3 Se 0. omo es tegrle Rem y Sup{ } Cd sumdo es myor o gul ero sum de Rem, luego el supremo tmé lo es. Y omo l uó es tegrle Rem, su tegrl es myor o gul que ero. S g -g 0 g 0 g 0 g PROP Se :[,] R u uó tegrle Rem y [,]. Etoes: [,] : [,] R es tegrl Rem. [,] : [,] R es tegrle Rem. 3 [,] :[,] R. Como es tegrle Rem e [,], ddo ε>0 π [,] / S,π-s,π<ε Se π π {} S, π -s, π < ε. Por otro ldo: S [,], π [,]-s [,],π [,] S, π -s, π. Uedo ms desgulddes oteemos que [,] es tegrle. Aálog. 3 Imedt COROLARIO S m [,] etoes m- S m m. 0/

[, ] m m m m I S, π / π π. Aálogmete Susttuyedo, oteemos lo que se querí demostrr. PROP S es tegrle Rem es tegrle Rem y se ver: Semos que s es tegrle Rem ddo ε>0 π 0 π[,] / S,π 0 -s,π 0 <ε sedo S,π 0 -s,π 0 m o m I{ / [ -, ]} Sup{ / [ -, ]}, Se t,s [ -, ], y m I{ / [ -, ]} Sup{ / [ -, ]} t - s t-s -m y por tto m m de lo que dedumos que es tegrle Rem. Semos que -. Etoes y - y oteemos. PROP Se tegrle rem y se [,]. S ddo u eslr α, demos: ~ α etoes ~ ~ es tegrle Rem y. /

Como R[,] π 0 [,] / S, π 0 -s, π 0 < ε/. S ~,π-s ~,π m j m m j j j j sedo [ j-, j ] pr lgú j {,...,}. ε/ ε/ ε. y que m < ε/ elgedo j- y j suetemete er. j j Vemos or que ms tegrles so gules: y ~ ~ ~ ~ j j es gul l últmo retágulo, y se podrá er t pequeño omo se quer, por tto ms tegrles so gules. Aálogmete se demuestr que: ~ llegdo sí ompror que: ~ Este resultdo os vee demostrr que dos uoes que se deree e u puto y u de ells se tegrle, l otr tmé lo es y l tegrl ode. El resultdo puede etederse que s es tegrle Rem y se mod e u úmero to de putos, l uev uó tmé es tegrle y ms tegrles so l msm. PROP Se,g R[,] g R[,] L demostró l vmos relzr e vros psos. Cso g 0 /

S,π-s,π < s,π<ε Se : [,] R otd por ser tegrle Rem etoes k. Como es tegrle Rem ddo ε>0 π [,] / S, π - s, π <ε/k sedo S, π - s, π m m m m Como 0 m k k m ε k S, π s, π < k ε k Luego es tegrle Rem sempre que 0. O epresdo pr ulquer : es tegrle Rem y que 0. Cso g. es tegrle Rem y que y R[,] 3 Cso g Como,g R[,] g R[,] y por el so teror g R[,]. Pero s g R[,] podemos epresr g g - -g, y omo R[,], g R[,] y g R[,] oteemos que g R[,]. TEOREA. Teorem de Leesgue. Se : [,] R otd y D el ojuto de ls dsotuddes de e [,]. Etoes so equvletes: R[,]. D tee medd ero. 3/

Supogmos que D o tee medd ero. Vmos demostrr que o es tegrle legdo u otrdó. Podemos esrr D omo u reuó umerle de ojutos D U C D r dode D r { [,] / w /r} y w lm 0 -lm 0- llmd osló de e. S D w >0 luego D es l uó de los ojutos D r o r,,... S D o tee medd ero r 0 / D ro o tee medd ero. Por tto este u erto ε>0 pr el que ulquer oleó umerle de tervlos ertos que reur D ro tedrá u sum de logtudes ε. Dd π [,] teemos que: S,π - s, π m S S S o S que ote los térmos que provee de sutervlos que e su teror otee putos D y S otee los térmos resttes. Los tervlos ertos de S reure D ro, eepto u suojuto to e D r, de medd ero, luego l sum de sus logtudes es por lo meos ε. Pero e estos tervlos teemos: k - m k /r S ε/r y eso sg que S, π-s, π ε/r pr d π [,]. Por tto o es tegrle Rem. Como llegmos u otrdó, uestr suposó es ls y D tee medd ero. Supogmos que D tee medd ero. Se D U r D r, sedo D r los msmos que tes. Como D r D r:,..., D r tee medd 0 r:,..., r:,..., D r se puede reurr por medo de tervlos 4/

ertos uys logtudes se </r. Como D r es ompto, se puede reurr medte u tdd t de dos ertos. L uó de esos ertos l llmremos A r. Se B r [,] - A r su omplemetro B r es l uó de u úmero to de sutervlos errdos de [,]. Se I u sutervlo típo de B r. S I se ver w < /r etoes δ r >0 tl que I puede ser sudvdo e u úmero to de sutervlos T de logtud meor que δ r que ver Ω T < /r sedo Ω T sup{w / T} Los etremos de todos esos sutervlos dee π r [,]. Se π>π r S, π - s, π m S S dode S ote los térmos que provee de los sutervlos que ote putos de D r y S otee los térmos resttes. E el k-ésmo térmo de S teemos: k -m k < /r S < -/r Como A r reure todos los tervlos que tervee e S teemos: S m r dode m I { / [,]} y Sup { / [,]} por osguete S, π-s, π < m r Como esto es erto r L odó de Rem se ver y R[,].q.d. DEF Dremos que u propedd se ver "s e todo" A R s se ver e todo A slvo e u ojuto de medd ero. El teorem de Leesgue estlee que dd otd e [,]. R[,] es otíu s e todo [,] Ejemplos: 0 s Q s Q :[0,] R. 5/

Semos que o es otu e gú puto. Etoes, el ojuto de dsotuddes D[0,]. Como D o tee medd ero es tegrle. 0 s Q / q s Q o p / q rredul e : [0,] R. Semos que es otíu e Q [0,]. Etoes, el ojuto de dsotuddes DQ [0,] es umerle, y por tto, es de medd ero. es tegrle. TEOREA. Teorem del vlor medo. Se otu e [,] etoes ξ [,] / d ξ. Como es otu e [,] R[,]. Se m { / [,]} y m{/[,]}. Etoes: m m- m y teemos m vlores etre y m. y omo es otu e [,], lz todos los Por tto ξ [,] / ξ 4. TEOREA FUNDAENTAL DEL CÁLCULO Y REGLA DE BARROW. TEOREA. Prmer teorem udmetl del álulo. Se R[,]. Pr d [,] demos: F etoes se ver: F es otu e [,]. 6/

7/ S es otu e [,] F es dervle e y F. Pr demostrr que F es otíu e [,] lo remos omprodo que es otu e u puto ulquer [,]. F-F Tomdo δ ε/ teemos ε>0 δ>0 / - <δ F-F <ε Luego F es otu e [,]. S es otu e : lm 0 0 lm 0 F F F F g Sedo Sup{ - / [,]}. Como es otu e ε>0 δ>0 - < δ - < ε o lo que es lo msmo ε. Luego ε>0 δ>0 / <δ ε < F F y por tto F. DEF U uó g se de que es u prmtv de s g es dervle y su dervd g. TEOREA. Segudo teorem udmetl del álulo. S es tegrle e [,] y F es u prmtv de, etoes

t dt F F [, ] Se [,] es tegrle e [,] y se π [,] o π{ 0,..., } Apldo el teorem del vlor medo F e [ -, ]. F -F - F ξ - - o ξ -, o lo que es lo msmo F -F - ξ - -, o ξ - - Etoes: m - - F -F - - - :,..., por tto sumdo tods ls desgulddes pr :,..., s,π F-F S, π π [,] y omo R[,] se dedue que F F COROLARIO. Regl de Brrow. Se tegrle e [,] y F u prmtv de. Se umple: F F Imedt. 5. DERIVACIÓN DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EDIANTE UNA INTEGRAL. Puede ourrr que os de u uó medte u tegrl: F g t dt y que os pd que estudemos ls propeddes de es uó, etremos, remeto, deremeto, putos de leó, et. E este so os verímos e l olgó de teer que dervr F y por lo tto eestmos ser omo erlo. 8/

TEOREA. Se : R R u uó rel de vrle rel, tl que su prmtv vee ded por T, es der, T. Etoes s demos: se ver que: F g t dt F g g -. g etoes s queremos dervr g F t dt [ T t ] T g T F se tee que: F Tg-T Tg - T {pldo l regl de l de} T g g - T {pldo que T } g g -. Por lo tto: F gg -. Como emos vsto e el teorem teror, podemos dervr u uó ded medte u tegrl, s eesdd de teer que er l tegrl, s o que lo úo que deemos er es evlur l uó e los límtes de tegró y estos su vez dervrlos. Ejemplo: º F setdt etoes teemos que: 0 F se - se 0 0 F se º Clulr los etremos reltvos de l uó ded por: F e 0 4 t dt, dervdo teemos que: F e -8 4 3-0 4 3 e -8 F 0 4 3 e -8 0 3 0 0 Puto ríto F 4 3 e -8 omo 4e -8 >0 el sgo vee ddo por 3 F >0 >0 y F <0 <0 temos u mímo e 0. 6. SUAS DE RIEANN. 9/

Como y emos vsto terormete l tegrl ded se dee omo l sum de áres de retágulos udo ls ses de los retágulos tede ero, es der, udo l prtó tede ser l más posle. Etoes s teemos u límte udo tede to de u sumtoro e el que l suesó se puede epresr omo el produto de u suesó que tede ero y que represet l se de los retágulos, por otr que represet ls lturs de los retágulos j etoes podemos trsormr es epresó e u tegrl de l uó, es der: lm j j d dode j Ejemplo: lulr: lm j j lm lm j j j j lm j j lm etoes tomdo omo / l se de los j j j retágulos y omo l ltur de los retágulos, teemos que omo j j/ está etre 0 y : lm [ ] 0 0 π / 4. d rtg rtg rtg 0 j Por lo tto: j lm j j π 4 7. INTEGRALES IPROPIAS. No podemos termr el prolem del álulo del áre s tes plteros l sguete pregut: qué psrí s el ojuto que eerr el áre que queremos lulr o es otdo? L respuest est pregut vee dd por l deó de u tpo espel de tegrles que so ls tegrles mprops, y de ls ules y dos tpos que or veremos. Co ests tegrles lo que pretedemos ver es s el áre eerrd es t o 0/

t y e so de que se t l lulremos. S el áre es t se drí que l tegrl es overgete y s es t que l tegrl es dvergete. Tpos de tegrles mprops: Itegrl mprop de prmer espee: se produe u tegrl mprop de prmer espee udo queremos lulr l tegrl lo lrgo de u ryo,es der, udo lguo de los límtes de tegró es ó -. Ejemplo: t d lm lm lm t dt t t t Itegrl mprop de segud espee: se produe udo l uó preset u sítot vertl e lguo de los putos del tervlo de tegró. Ejemplo: t 0 [ ] t lm t. d lm t 0 t o Blogrí Reomedd. Aálss temáto I. Aut. J.A. Ferádez Vñ. Ed. Teos Leoes de Cálulo Itesml I. Aut. R. ol Legz,. Fro. Ed. Uversdd de ur. Prpos de Aálss temáto. Aut. W. Rud. Ed. Grw-Hll Curso de Aálss temáto I. Aut. E.L. Lu. Ed. Edus, 99. Clulus. Aut.. Spvk. Ed. Reverté. Aálss temáto. Aut.. de Guzmá, B. Ruo. Ed. Prámde. Clulus. Aut. Apostol. Ed. Reverté /