4 «Mi perez no me dej tiempo lire pr nd» Esritor MT I RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS ÍNDIE: MTERIL 1. RZONES TRIGONOMÉTRIS DE UN ÁNGULO GUDO (0º 90º). RZONES TRIGONOMÉTRIS DE UN ÁNGULO ULQUIER (0º 360º) 3. RZONES DE ÁNGULOS NEGTIVOS Y SUPERIORES 360º 4. RELIONES ENTRE LOS UDRNTES 5. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS RETÁNGULOS 6. RESOLUIÓN TRIÁNGULOS OLIUOS NO RETÁNGULOS 7. RESOLUIÓN TRIÁNGULOS ULESQUIER 8. PÉNDIE EJERIIOS Y PROLEMS Puzzle: udrdo Esudr, rtón, goniómetro. Puntero láser. Gloo terráqueo. rújul. nio. Vrills rtiulds. int métri. Teodolito. Nori. Mir. udrnte y otros enredos. Resoluión de triángulos 4. 1
1. RZONES TRIGONOMÉTRIS DE UN ÁNGULO GUDO (0º 90º) TRIGONOMETRÍ PR OMENTRIOS. NO DR L PRINIPIO- Es l prte de l mtemáti que estudi ls reliones métris en un triángulo. TRIGONOS (triángulo), METRI (medid). Entre los ldos y los ángulos. Ls dos medids de un triángulo. El triángulo es l figur pln elementl. En el triángulo, omo en tod figur geométri intervienen dos tipos de mgnitudes: Dentro de un triángulo tenemos dos mgnitudes. Un pr medir los ldos, que es l longitud (S.M.D.). Otr pr medir los ángulos, que lo remos en un sistem sexgesiml; es deir, los grdos sexgesimles (se 60). En un triángulo los ldos se representn on minúsuls y los vérties opuestos on ls orrespondientes myúsuls. Los ángulos tomn el nomre del vértie orrespondiente. Los ángulos están ordendos en su tmño igul que lo están los ldos ^ ^ ^ Es deir, l ángulo myor le orresponde el ldo myor y sí suesivmente. Pr medir los triángulos de grn dimensión (grimensur) se utilizn ints métris, pr los ldos, y tquímetros pr los ángulos. jo qué ángulo se verí el no de est oj (1 m) si lo lejásemos 40 km de distni. (omprr on un prse) Medids ngulres: stronomí, topogrfí, geogrfí, Ls medids ngulres provienen de l oservión stronómi. Es deir, ojetos no esiles. Sistem de numerión totlmente diferente. El ojeto de este tem es ver l relión que gurdn on ls medids longitudinles. RZONES TRIGONOMÉTRIS ÁNGULO GUDO SEÑL DE TRÁFIO- EMPEZR POR QUÍ- L señl de tráfio es muy interesnte omo introduión: rzón / trigonométri. Es el ángulo el que determin l rzón. No depende de lo grnde que se el triángulo. Resoluión de triángulos 4.
En un triángulo retángulo podemos definir uns rzones de proporionlidd entre sus ldos que n reiido los siguientes nomres: y x t. ontiguo x t. opuesto y t. opuesto y os ; sen ; tg ipotenus ipotenus t. ontiguo x 1 ipot 1 ipot 1 t. ont x se ; ose ;tg os t. ont x sen t. op y tg t. op y Por l semejnz de triángulos no dependen del triángulo elegido sino tn sólo del ángulo gudo onsiderdo. Por eso son rzones de proporionlidd y no medids soluts. Ejemplo 1. Según lo nterior lul ls rzones trigonométris del siguiente ángulo. Reordr tern pitgóri. Después pedir el ángulo trvés de l luldor. Se puede repsr lo de D, R y G. Ejemplo.- Utilizr el rtón pr llr ls rzones de 30º y 60º sí se prepr l tl de rzones elementles. 4 5 3 RZONES ELEMENTLES 0 30 45 60 90 sen 0 1 os 1 3 tg 0 3 3 RELIONES ENTRE LS RZONES TRIGONOMÉTRIS 3 1 1 3 Expresn ierts reliones que existen entre ls rzones trigonométris. Slen de Pitágors. Hremos ls deduiones pr un triángulo retángulo ulquier: 1 0 Resoluión de triángulos 4. 3
y x 1. Por l definiión de l tngente tg sen os. Por l definiión del oseno y del seno: st plir el teorem de Pitágors. (os ) (sen ) 1 3. Finlmente: 1 os 1 tg Dem: 1 os os sen os os os sen os 1 tg = se x 4. Por ángulos omplementrios x 90 sen (90 ) = os y os (90 ) = sen Resumiendo: (os ) (sen ) 1 tg sen os 1 os 1 tg sen (90 ) = os os (90 ) = sen Ests fórmuls me permiten deduir ulquier de ls rzones trigonométris onoid un de ells. Veámoslo en los siguientes ejeriios. Ejeriios: Mirr los del liro 1. os x =0'6, llr el seno y l tngente de este ángulo.. tg x =1, llr el resto de ls rzones.. RZONES TRIGONOMÉTRIS DE UN ÁNGULO ULQUIER (0º 360º) Se llm irunfereni goniométri l irunfereni de rdio 1 y entrd en el origen de oordends. Se estlee omo origen de ángulos el semieje OX + y omo sentido positivo el ontrrio ls gujs del reloj. Por lo tnto, el sentido negtivo será el onforme ls gujs del reloj. Resoluión de triángulos 4. 4
Est irunfereni qued dividid en 4 udrntes que vn de 0 90, 90 180, 180 70 y 70 360 respetivmente. ulquier ángulo que tremos sore l irunfereni determin sore ell un punto P(x, y) Y P(x, y) II III y O 1 x I X IV os = sis de P = x sen = Ordend de P = y tg = y x Según esto l evoluión de ls rzones trigonométris es omo sigue: on esto st, no e flt lulr vlores extos. Tmién se puede poner en d udrnte l frión tn sin os según el signo que tom. 0 I 90 II 180 III 70 IV 360 sen 0 + 1 + 0 1 0 os 1 + 0 1 0 + 1 tg 0 + / 0 + / 0 Ejemplos. Hllr ls rzones: / / 3 sin y II 5 os y III / tn 3 y III SEGMENTOS SOIDOS D RZÓN Los que tienen el seno y el oseno son evidentes por l definiión. Pr l tngente tmién existe un segmento soido stnte elementl. Es el segmento que une el punto x = 1 on l prolongión del ángulo st ortr l tngente l irunfereni por el punto nterior. L evoluión de l tngente vrí desde st + según se muestr en l figur de l dere. En un mismo gráfio: Y os x sen x tg x X Resoluión de triángulos 4. 5
Y 90 Y + tg O X X 90 Sin emrgo el seno y el oseno vrín sólo entre 1 y 1. +1 Y Y X 1 +1 X 1 En los tres sos los vlores se repiten periódimente. on Geoger qued ien esto. Resoluión de triángulos 4. 6
3. RZONES DE ÁNGULOS NEGTIVOS Y SUPERIORES 360º L seprión entre dos semirrets se got en los 360º, pero podemos extender el onepto de ángulo onsiderndo el giro de un punto sore un irunfereni goniométri. Es deir, entrd en el origen y de rdio 1. Sentido positivo l ontrrio l de ls gujs del reloj. Levógiro ( izquierds) Sentido negtivo el de ls gujs del reloj. Dextrógiro ( deres) Todo ángulo se puede onsiderr omo uno entre 0º y 360º más un número de vuelts. El ángulo equivlente uno myor de 360 es el resto de dividir entre 360 dio ángulo. uno negtivo podemos sumrle un múltiplo deudo de 360º. Ángulos soidos Son los que tienen ls misms oordends en l irunfereni goniométri. Por lo tnto tienen ls misms rzones trigonométris. P. ej. llr ángulos soidos 50º. st sumr o restr múltiplos de 360º. Intervlo fundmentl Ejemplos. 1060º. Podemos onsiderr dos: [0; 360); o ien (-180; 180] Hllr los ángulos soidos del intervlo fundmentl 150º; 30º; -10º; -450º; - RZONES TRIGONOMÉTRIS EN L LULDOR 1. Tres uniddes: DEG. RD. GR.. ómo introduir el ángulo sexgesiml en l luldor y su pso deiml y vievers. 3. Rzones de un ángulo 4. Inverss de ls rzones. 5. álulo de un rzón onoid otr. 4. RELIONES ENTRE LOS UDRNTES st on l relión, no e flt dr vlores extos. I y II. Suplementrios L relión es entre ángulos suplementrios. El ángulo II. Resoluión de triángulos 4. 7
II +1 Y I sen = sen (180 ) os = os (180 ) tg = tg (180 ) sen 160 = 1 +1 X os 145 = tg 110 = 1 I Y III. Difieren en 180º quí el ángulo III +1 Y I sen = sen ( 180) os = os ( 180) tg = tg ( 180) sen 50 = 1 +1 X os 60 = III tg 190 = 1 I Y IV. Opuestos Finlmente el ángulo IV +1 Y I 1 +1 X sen 350 = sen = sen (360 ) os = os (360 ) tg = tg (360 ) sen = sen os = os tg = tg 1 IV os 300 = tg 90 = Ángulos que difieren en 90º: Se pueden deduir prtir de ls reliones del segundo udrnte. Es redundnte este prtdo. No e flt verlo. Resoluión de triángulos 4. 8
II +1 Y I 1 +1 X os (+90) = -sen sen (+90)=os tg(+90)= = 1/ tg 1 Ángulos omplementrios Y está visto. 5. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS RETÁNGULOS Sólo ejeriios. Podemos er los siguientes: 1. L rmp de eso un edifiio tiene un ángulo de 15º y slv un desnivel de 5m de ltur. Qué longitud tiene, uánto mide su se?. El ilo de un omet form un ángulo de 80º on l orizontl y tiene un longitud de 00 m. qué ltur se elevdo? 3. Un tejdo tiene 5m de ltur y 0m de se. Qué ángulo form on l orizontl? 4. Un deágono de 5m de ldo, qué áre tiene? Resoluión de triángulos 4. 9
LGUNOS RESULTDOS ÚTILES. Proyeión de un segmento sore otro: ' ' os ltur de un triángulo = sen. Áre de un triángulo 1 S sen Fórmul de Herón S s.(s ).(s ).(s ) 5. Un triángulo está formdo por dos ldos de 5m y 3m que formn un ángulo de 0º entre sí. Hllr su ltur sore el ldo de 5m. 6. Hllr l superfiie del triángulo nterior. 6. RESOLUIÓN TRIÁNGULOS OLIUOS NO RETÁNGULOS MÉTODO DE LS TNGENTES. ÁLULO DE LTUR DE OJETOS DE SE INNESILE Es útil undo onoemos dos ángulos y un ldo. Por ejemplo, resolver: 1. Desde un punto vemos un monte jo un ángulo de 50º y lejándonos 100m el ángulo se redue 40º. Qué ltur tiene?. Resolver el triángulo de se 100 m y ángulos sore di se de 30º y 40º. MÉTODO DE L LTUR. L lve es onvertir el triángulo en dos triángulos retángulos. Repsr elementos que definen un triángulo. Por ejemplo, resolver: 1. =10m; =17m y =61º. Hllr. Fundmento del teorem del oseno. Resoluión de triángulos 4. 10
. =15m; =8º; =53º. Hllr. Fundmento del teorem del seno. 7. RESOLUIÓN TRIÁNGULOS ULESQUIER TEOREM Deduión lógi de un proposiión prtir de otrs proposiiones y estleids. Deimos deduión lógi; es deir, medinte rzonmientos. Un deduión experimentl es l que se s en l experieni. Por ejemplo, el gu ierve 100. En est deduión y unos resultdos previos tmién. Por ejemplo, l diltión de los uerpos on l tempertur (fundmento del termómetro) XIOM Verdd evidente o que no neesit demostrión. Proposiión dmitid sin demostrión. Primeros fundmentos de un ieni. Teorem 5 Teorem 6 Teorem 7 Teorem 8 Teorem 9 Teorem 1 Teorem Teorem 3 Teorem 4 xiom 1 xiom xiom 3 Ejemplo L sum de los ángulos de un triángulo es de 180. Ir diiendo xioms que usmos. orrespondeni entre ldos y ángulos En un triángulo l ldo myor le orresponde el ángulo myor y l ldo menor el menor. Es deir, los ldos están ordendos en l mism form que los ángulos. Pero ojo, no en un relión de proporionlidd diret. Resoluión de triángulos 4. 11
^ ^ ^ oger demostrión de puntes trsdos. TEOREM DE LOS SENOS Pr ulquier triángulo se umple: sen sen sen DEM Trzndo l ltur por uno de sus vérties se formn dos triángulos retángulos Por ls rzones trigonométris: sen ; sen Luego, sen = sen. Por lo tnto, sen = sen Tomndo otr ltur ompletrímos l fórmul: ' ' sen ; sen ' Por ls rzones trigonométris: sen ' ; ' sen Luego, sen = sen. Por lo tnto, sen = sen Uniendo ms igulddes otenemos el resultdo requerido. ' sen ; ' sen Resoluión de triángulos 4. 1
sen = sen = sen Ejemplo. Vmos resolver el triángulo siguiente poyándonos en el teorem de los senos 5m sen 60 sen 40 sen 80 60 80 5 m 40 Ejemplo.- on dos soluiones. Sen los dtos =6m; =4m y = 30º. Her el diujo pr verlo. Oservr ómo y sos en que pueden existir dos soluiones. TEOREM DEL OSENO Pr ulquier triángulo se umple: os os os DEM Trzndo l ltur por uno de sus vérties se formn dos triángulos retángulos d d d d Resoluión de triángulos 4. 13
Por ls rzones trigonométris y Pitágors: sen ; sen os = d ; d = os ( d) Sustituyendo y d en l segund expresión onluimos nuestr demostrión. Oservr que en el so de que tengmos omo dtos los tres ldos del triángulo, y, el triángulo es únio por un ldo. Pero l or de resolverlo supongmos que llmos el ángulo ; es deir, el orrespondiente l ldo. Y or por el teorem del seno, utilizndo, y, llmos el ángulo. Podrímos tener un dole soluión (ver el so nterior); sin emrgo no serí orret en este so. Esto es deido que no estmos onsiderndo el ldo que es un dto y rí inorret un de ls soluiones. Un mner de rreglr esto es ompror los dos sos posiles. Otr es viendo previmente si el triángulo es otusángulo o utángulo, tomndo omo riterio l relión pitgóri. undo usmos el teorem del oseno es mejor llr todos los elementos on él y sí evitmos l migüedd fls en este so- del teorem del seno. Ejemplo. Resolver el siguiente triángulo: 6 6 4 6 4 os 30 30 4 Ejemplo.- Resolver el triángulo de ldos 6 m, 7 m y 3 5 m. 8. PÉNDIE PROPIEDDES DEL TRIÁNGULO Un triángulo viene definido: 1. Tres ldos.. Dos ldos y el ángulo entre ellos. 3. Un ldo y dos ángulos. Es indeformle. Ello es deido que on tres ldos existe un únio triángulo. L sum de dos de sus ldos siempre es myor que el terero. De lo ontrrio no se podrí onstruir. Todo triángulo se puede desomponer en dos triángulos retángulos. st trzr un de sus lturs. 1 Todo polígono se puede desomponer en triángulos. Este proeso se llm tringulión. Resoluión de triángulos 4. 14
1 3 TIPOS DE TRINGULOS Según los ldos Equilátero Isóseles Esleno Tres ldos igules Dos ldos igules Tres ldos desigules Tres ángulos igules Dos ángulos igules Tres ángulos diferentes Según los ángulos utángulo Retángulo Otusángulo Tres ángulos gudos Un ángulo reto Un ángulo otuso RELIONES MÉTRIS EN UN TRIÁNGULO Pitágors, y formn un tern pitgóri. Tles Si ortmos dos rets por prlels los segmentos que se formn son proporionles ^ ^ ' ^ ^ ' ^ ^ ' ' ' ' ' ' ' Todos los rtones son semejntes. Medid por l somr. Ls rzones trigonométris son por eso universles. No dependen del triángulo en uestión. ' ' ' Resoluión de triángulos 4. 15
Pitágors se puede utilizr pr trzr perpediulres. SEGMENTOS, O RETS, NOTLES EN UN TRIÁNGULO ltur m medin m meditriz d isetriz Perpendiulr por un vértie l se opuest. Segmento que une un vértie on el punto medio del ldo opuesto. Perpendiulr por el punto medio de un ldo Semirret que divide un ángulo en dos prtes igules. P N P N Ortoentro M rientro M irunentro Inentro entro de grvedd o mss del triángulo entro de l irunfereni insrit. Resoluión de triángulos 4. 16
EJERIIOS Y PROLEMS 1. RZONES TRIGONOMÉTRIS DE UN ÁNGULO GUDO. RZONES TRIGONOMÉTRIS EN L LULDOR 3. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS 1. lulr el áre de un deágono (polígono de 10 ldos) regulr de 5 m de ldo. SOL: Sol: potem = 7,7. Áre 19,36 m. Sol: =7,7. Áre 19,36 m. 4. MPLIIÓN DEL ONEPTO DE ÁNGULO 4. RELIONES ENTRE LOS UDRNTES. ontest los siguientes prtdos. El diujo es orienttivo, dees er el tuyo propio en l oj de respuests: 1. Diuj sore l irunfereni goniométri los ángulos que tengn tg =.. Hllr el vlor exto del resto de ls rzones trigonométris de dios ángulos. 3. Otener on l luldor el vlor de dios ángulos en grdos, minutos y segundos. 3. 1. Diuj sore l irunfereni goniométri los ángulos uyo sen = 0'6.. Hllr el vlor exto del resto de ls rzones trigonométris. 3. lulr dios ángulos. 5. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS ULESQUIER. 4. lul los ángulos del siguiente triángulo. Después lul su superfiie. SOL: os  51, 84 1, 5 36 4os  Resoluión de triángulos 4. 17
4 os 1, 5 36 51, 84 4 os  3, 59 os  0, 085 ˆ 8 58'7" ˆ 180 Por tnto:  94 ˆ ˆ 56 7' 41" 7, m; ˆ 94 54'1" 3,5 m; ˆ 8 58'7" 6 m; ˆ 56 7'41" 54'1" Superfiie: 10,46 m 5. Resuelve este triángulo, es deir, ll sus ldos y sus ángulos: SOL: Hllmos el ldo on el teorem del oseno: osĉ 9, 5 4 9, 5 4 os50 90, 5 16 48, 85 57, 4 7, 58 m omo onoemos los tres ldos, l soluión es úni. Hllmos el ángulo ˆ: sen  senĉ sen  0, 96 ˆ 180 Por tnto: 9, 5 7, 58 sen  sen50  73  Ĉ 56 14'36" 9,5 m;  73 45' 4" ˆ 4 m; 56 14'36" ˆ 7,58 m; 50 45' 4" 9, 5sen50 sen  7, 58 6. Se se que ls dos digonles de un prlelogrmo miden 8m y 1m respetivmente formndo un ángulo de 60º entre ells. Determinr el vlor de los ldos del prlelogrmo. yud.- Ls digonles se ortn en su punto medio. El ángulo de 60º es el menor de los dos ángulos que determinn l ortrse. SOL: Sol: 5,9; 8,71. Los ángulos son 64º y 116º. 7. Pr sujetr un mástil l suelo medinte tensores, omo indi l figur, emos neesitdo 10 metros de le. ) Hll l ltur del mástil. ) L distni entre los puntos y. Resoluión de triángulos 4. 18
Soluión: sen60 sen35 zsen zsen z 10 z zsen60 10 zsen35 10 zsen35 zsen60 10sen35 z 35 60 sen 60 sen35 10 35 60 zsen35 10sen35 z sen sen 10sen35 z sen 60 sen35 3, 98 10sen35 sen 60 zsen 60 3, 45 sen 60 sen35 m L ltur del mástil es de 3,45 m Pr llr l distni entre y, tenemos que llr x e y: 3, 45 tg 60 y 1, 99 m y tg 60 tg 60 3, 45 tg 35 x 4, 93 x tg 35 tg 35 Por tnto, l distni entre y es de x y 4,93 1,99 6,9 m. 8. Hll los ldos y los ángulos de este triángulo: m m Soluión: Hllmos el ángulo ˆ on el teorem 15 8 sen  senˆ sen108 senˆ de los senos : 8sen108 senˆ 0, 507 ˆ 30 8' 46" 15 (omo ˆ es otuso, ˆ y ˆ n de ser gudos, solo y un relión). Resoluión de triángulos 4. 19
Hllmos el ángulo ˆ: Ĉ 180  ˆ 41 31'14" lulmos el ldo : senĉ sen  sen 41 31'14" Por tnto: 15 sen108 10, 46 m 15 m;  108 8 m; ˆ 30 8' 46" 10,46 m; ˆ 41 31'14" 9. lul los ángulos del siguiente triángulo: Soluión: omo onoemos los tres ldos y d ldo es menor que l sum de los otros dos, existe soluión úni. Hllmos los ángulos  y ˆ on el teorem del oseno: os  51, 84 1, 5 36 4os  4 os 1, 5 36 51, 84 4 os  3, 59 os  0, 085  94 54'1" os ˆ 1, 5 51, 84 36 86, 4os ˆ 86, 4osˆ 51, 84 36 1, 5 osˆ 0, 875 ˆ 8 58'7" ˆ 180 Por tnto: ˆ ˆ 56 7' 41" 7, m;  94 54'1" 3,5 m; ˆ 8 58'7" 6 m; ˆ 56 7' 41" 10. En un determindo momento un vión se enuentr situdo on respeto dos puntos omo muestr l figur: Resoluión de triángulos 4. 0
) Hll ls distnis del vión los puntos y. ) L ltur l que se enuentr en dio instnte. Soluión: tg 44 tg 33 x tg 44 x tg 44 x tg x 350 x 350 x tg 33 350tg 33 x tg 44 350 xtg 33 x tg 33 tg 44 tg 33 350 33 44 x tg 33 350tg 33 x tg 350tg 33 x tg 44 tg 33 x tg44 718, 64 350tg33 tg44 tg44 tg33 m 693,98 m El vión se enuentr 693,98 m de ltur. Por otr prte: 693, 98 sen 44 999, 0 m sen 44 sen 44 693, 98 sen33 174, 0 m sen33 sen33 El vión está 174,0 metros de y 999,0 metros de. 11. Resuelve el siguiente triángulo, es deir, ll sus ldos y sus ángulos: Soluión: Hllmos el ldo on el teorem del oseno: os  4, 5 10 0, 5 100 15, 63 135, 88 4, 5 10 os100 11,66 m l onoer los tres ldos, l soluión es úni. Resoluión de triángulos 4. 1
lulmos el ángulo sen  senˆ senˆ 0, 380 Ĉ 180 Por tnto: ˆ plindo el teorem de los senos: 11, 66 sen100 ˆ 4, 5 senˆ 0'17"  ˆ Ĉ 57 39' 43" 11,66 m ;  100 4,5 m; ˆ 0'17" 10 m; ˆ 57 39' 43" 4, 5 sen100 senˆ 11, 66 1. lul los ldos y los ángulos del siguiente triángulo: Soluión: os  51, 84 1, 5 36 4os  4 os 1, 5 36 51, 84 4 os  3, 59 os  0, 085  94 54'1" os ˆ 1, 5 51, 84 36 86, 4os ˆ 86, 4osˆ 51, 84 36 1, 5 osˆ 0, 875 ˆ 8 58'7" ˆ 180 Por tnto: ˆ ˆ 56 7' 41" 7, m;  94 54'1" 3,5 m; ˆ 8 58'7" 6 m; ˆ 56 7' 41" 13. Se se que ls dos digonles de un prlelogrmo miden 8m y 1m respetivmente formndo un ángulo de 60º entre ells. Determinr el vlor de los ldos del prlelogrmo. yud.- Ls digonles se ortn en su punto medio. El ángulo de 60º es el menor de los dos ángulos que determinn l ortrse. Sol: 5,9; 8,71. Los ángulos son 64º y 116º. 14. Resolver el triángulo: Resoluión de triángulos 4.
SOLUIÓN: El ángulo ˆ lo otenemos sí : ˆ 180 ˆ ˆ 70 plimos el teorem de los senos pr llr los otros dos ldos: 15 ˆ ˆ ˆ sen sen sen sen75 sen70 sen35 15sen75 15sen35 15,4 m y 9,16 m sen70 sen70 Hllmos l ltur orrespondiente l vértie : sen75 sen75 9,16 sen75 8,85 m Resoluión de triángulos 4. 3