Memoras II Encuentro Internaconal De Meta-Matemátcas: La Dervada de un Número No es 0 Geraldne Marcela Infante Jorge Danel Muñoz Alex Eduardo Poveda Gruo YAGLOM Escuela de Matemátcas Unversdad Sergo Arboleda Resumen En el resente artculo se ntroduce una defncón de dervada ara enteros y algunas de sus roedades elementales. Esta defncón, a dferenca de la dervada vsta como un oerador sobre el conjunto de las funcones, que sobre números es semre cero, muestra roedades muy mortantes. Esta defncón cumle en artcular que la dervada de un roducto satsface la regla de Lebnz. Sn embargo, la lnealdad no se tene, aún así, con esta defncón se ueden encontrar roedades que ermten el trabajo con ecuacones dferencales sencllas en el conjunto de los enteros. 1. Introduccón La dervada es un oerador lneal que se trabaja sobre el conjunto de las funcones, sn embargo, al alcar este oerador a los números no se obtenen resultados muy nteresantes, ues es ben sabdo que la dervada de todo número real x es cero, en artcular de todo entero. Es así como el objetvo de este trabajo es resentar una defncón de un oerador nsrado en la dervada, sobre el conjunto de los enteros, ncalmente rouesto or Ufnarovsk, V. y Ahlander, B.[1]. El cual tambén ha sdo estudado en [2], [3] y [4]. Con esta defncón se obtenen algunos resultados que ermten trabajar la dervada de forma elemental, lo cual uede restarse ara ser trabajado con los nños y nñas nteresados en las matemátcas. 2. La Dervada de un Número Para defnr la dervada de un entero n, denotado or n, se utlzarán dos rncos báscos: 1. = 1 ara cualquer rmo. 2. (ab) = a b+ab ara cualquer a,b Z + (Regla de Lebnz). Ejemlo 1. 10 = (2 5) = 2 5+2 5 = 5+2 = 7. 8 = (2 2 2) = 2 (2 2)+2 (2 2) = 4+2(2 2+2 2 ) = 4+2(2+2) = 12. En el cuadro 1 se resenta la rmera (n ), segunda (n = (n ) ) y tercera (n = (n ) ) dervadas de los rmeros números. 1
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 n 0 1 1 4 1 5 1 12 6 7 1 16 1 9 8 32 1 21 n 0 0 0 4 0 1 0 16 5 1 0 32 0 6 12 80 0 10 n 0 0 0 4 0 0 0 32 1 0 0 80 0 5 16 176 0 7 Cuadro 1: Prmera, segunda y tercera dervada de los rmeros números. 3. Proedades Báscas Esta defncón de dervada ermte conservar algunas roedades naturales de la dervada, como las sguentes. Teorema 1. (n k ) = kn k 1 n ara todo n,k N. Demostracón. Estosedemuestraornduccónsobrek.Parak = 1,n = 1 n 1 1 n.suongamos que se tene ara k, es decr que (n k ) = kn k 1 n y demostremos ara k +1. Tenemos que: Que es lo que se quería robar. (n k+1 ) = (n n k ) Ejemlo 2. 8 = (2 3 ) = 3 2 2 2 = 3 4 = 12. = n n k +n (n k ) = n n k +n (kn k 1 n ) = n n k +(kn k n ) = n (n k +kn k ) = ((k +1)n k ) n Como es ben sabdo, la dervada de la suma (vsta como un oerador sobre funcones) es la suma de las dervadas, ero esta roedad no se uede conservar con esta defncón, ues la dervada de cualquer número sería 0. En efecto, del resultado anteror se tendría que 1 = 0, ues 1 = 1 2, así 1 = 2 1 1, de este modo 1 = 0. De allí que la dervada de la suma (vsta como un oerador sobre los enteros) no sea la suma de las dervadas, de otro modo, n = (1+1+ +1) = 1 + +1 = 0, es decr la lnealdad como una roedad general no se conserva. Sn embargo, se tene la sguente roedad: Teorema 2. S (a+b) = a +b entonces (ka+kb) = (ka) +(kb) Demostracón. Por la regla de Lebnz se tene que: (ka+kb) = (k(a+b)) = k (a+b)+k (a+b) = k a+k b+k a +k b = (k a+k a )+(k b+k b ) = (ka) +(kb) Ejemlo 3. 3 = (1+2) = 1 = 1 +2, así ara k = 4 se tene que 12 = (4+8) = 4 +8 = 4+12 = 16.
Aún exste una dfcultad y es la forma de calcular la dervada de un número sn necesdad de alcar la regla del roducto, que en algunos casos uede resultar algo tedoso. Para ello exste una fórmula general que ermte obtener la dervada de un número de una forma más senclla, como se muestra en el sguente teorema. Teorema 3. Sea n N y n = k n su descomoscón en factores rmos entonces: n = n Demostracón. Hay que verfcar la consstenca de esta defncón ) con los dos rncos ncales. Veamos que la dervada de un rmo es 1. En efecto, = ( 1 = 1. Falta verfcar que cumle la regla de Lebnz. S algún n = 0, entonces la fórmula no se ve afectada 1. Sean a = k y b = k k n b, or el razonamento anteror se ueden suoner los msmos rmos en ambas factorzacones, con 0 en algunos exonentes, sn que se vea alterada la dervada. De esta forma: (a b) = ( = ( a a +b ) b ) k a +b = a b ( k ) a k b = a b + ( ) ( k k ) a b = a b+b a = a b+a b a Ejemlo 4. 60 = (2 2 3 5) = 60 ( 2 2 + 1 3 + 1 5) = 60+20+12 = 92. Teorema 4. S n = m, ara algún entero m > 1 entonces n = (m+m ). Demostracón. Al alcar la regla del roducto se obtene que: n = ( ) m+m = (m +m). Ejemlo 5. S n = 54, n = 3 3 2 y n = 27(2+1) = 81. 1 Por ejemlo 4 = 2 2 3 0 y alcando la fórmula se uede ver que 4 = 4 ( 2 2 + 0 3) = 4, lo cual es consstente con la defncón.
Tambén se tene que: Teorema 5. S k es la mayor otenca de que dvde a n y 0 < k <, entonces k 1 es la mayor otenca de que dvde a n. Demostracón. Como k n entonces n = k m luego n = k k 1 m+ k m = k 1 (km +m ). Como k < y es rmo, la exresón dentro del aréntess no es dvsble or, s lo fuera, km sería dvsble or, de ser así m sería dvsble or y or lo tanto la máxma otenca de que dvde a n no sera k. Con base en lo anteror se uede conclur el sguente corolaro: Corolaro 1. Un entero n es lbre de cuadrados 2 s y sólo s (n,n ) = 1. Demostracón. Prmero se robará que s (n,n ) = 1 entonces n es lbre de cuadrados. Suongamos que no lo fuera, luego exste tal que 2 n, or lo tanto n y así (n,n ) > 1, lo cual es contradctoro. Recírocamente, suongamos que (n,n) 1, entonces exste tal que n y n así 2 n, lo cual es una contradccón. Ejemlo 6. 30 = 2 3 5, entonces 30 es lbre de cuadrados, 30 = 31 y (30,31) = 1. 4. Ecuacones Dferencales Al gual que en el trabajo con funcones, es osble lantear ecuacones dferencales con la dervada de números. En el resente artículo se trabajaran los dos casos más sencllos. El rmero es n = n. Teorema 6. Sea n Z entonces n = n s y sólo s n = ara algún rmo. Demostracón. Demostremos la rmera mlcacón. En efecto, sí n entonces n, ues s fuera k con k < la máxma otenca de que dvde a n, entonces k 1 sería la máxma otenca de que dvde a n, rovocando que n n. De este modo n = m. Veamos que m = 1. Se tene que n = ( ) m+ m = (m+m ), luego m = m+m, así m = 0 y m = 1. El recroco es nmedato al dervar, ues ( ) = 1 =. Algunos números que cumlen con esta roedad son: 4 = 2 2,27 = 3 3,3125 = 5 5,... La otra ecuacón dferencal a trabajar es n = a. S a = 0 obtenemos una únca solucón, n = 1, ues la dervada de cualquer otro número es mayor o gual a 1. S a = 1 entonces la solucón de la ecuacón son números rmos, ya que s el número fuera comuesto or la regla del roducto, la dervada se odría escrbr como la suma de dos enteros ostvos mayores que 1. A contnuacón se analza el caso en el cual n no es un rmo. S n no es un rmo entonces n 2 n. Partendo de lo anteror se uede conclur que s a > 1 y la ecuacón n = a tene solucón, entonces tene un conjunto fnto de solucones. En efecto, como n no es rmo entonces n 2 n, así a 2 n y or lo tanto a2 4 n, lo que ermte reducr las osbles solucones de la ecuacón. Conjetura 1. S a es ar, es decr s n = 2b entonces la ecuacón semre tene solucón. 2 Un número se dce lbre de cuadrados s nnguno de sus dvsores es un cuadrado erfecto.
S la conjetura de Goldbach 3 es certa entonces 2b = +q, donde y q or lo cual n = q es solucón de la ecuacón. Ejemlo 7. Sí n = 12, como 12 = 5+7, entonces n = 5 7 = 35 es solucón de la ecuacón. Teorema 7. S a es mar, se uede garantzar la exstenca de la solucón s a = +2 donde es rmo. Demostracón. Es nmedato, ues n = 2 es solucón de la ecuacón. Ejemlo 8. Suongamos que a = 15, así a = 13+2 y or lo tanto n = 13 2 = 26 es solucón. 5. Conclusones Este es sólo un ejemlo de como un conceto básco del cálculo dferencal, como lo es la dervada de una funcón, uede ser trabajado a un nvel elemental, s se defne sobre el conjunto de los enteros, obtenéndose roedades smlares a las de la dervada de una funcón, sn la necesdad de manejar concetos matemátcos muy avanzados. Esta dea se ha vendo trabajando en el marco del Gruo YAGLOM de la Escuela de Matemátcas de la Unversdad Sergo Arboleda, ara su trabajo de matemátca. el emental (en el sentdo de [4], es decr aquellas que se ueden trabajar con los nños y nñas de las escuelas) con los nños del gruo de talentos. Referencas [1] Ufnarovsk, V., Ahlander, B. How to Dfferentate a Number. Journal of Integer Sequences. Vol 6. 2003. [2] Cohen, G.L. Iannucc, D.E., Derved Sequences, Journal of Integer Sequences., Vol. 6, 2003. [3] Hare, K., Yazdan, S., Further Results on Derved Sequences, Journal of Integer Sequences., Vol. 6, 2003. [4] Perez, J., et al., Cuatro Prouestas Ddáctcas en Matemátcas.Ed. U.S.A., Bogotá, 2005. 3 Todo número ar mayor que tres es suma de dos rmos