CPIULO 2º FUNCIONES DE VECORES Y MRICES_ Ig. Dego lejadro Patño G. M.Sc, Ph.D.
Fucoes de Vectores y Matrces Los operadores leales so fucoes e u espaco vectoral, que trasforma u vector desde u espaco a otro espaco: : R R o posblemete de u espaco haca s msmo. Detro de este últmo grupo se ecuetra los Operadores Fucoales Leales, los cuales trasforma vectores detro del campo de los úmeros reales. Se estudará tres tpos especales de operadores: El Fucoal Multlear La Forma Cuadrátca Fucoes de Matrces 2
Fucoes de Vectores y Matrces U Operador Fucoal Leal (OFL) es ua fucó leal de u vector U OFL f() Rtrasforma u vector X al cojuto de los úmeros reales tales que f(c) cf() f(+y) f() + f(y) dode c es u escalar e el campo de X y y X. S el espaco vectoral X, de dmesó, tee defda ua base {e j }, etoces f ( ) f e f ( e ) Se puede determar el efecto de u fucoal leal sobre u vector determado prmero su efecto sobre los vectores de la base. 3
Fucoes de Vectores y Matrces Para determar el efecto de u fucoal leal sobre la base e ˆ, ˆ j bje e : Nueva Base o e forma matrcal [ e e L e ] [ e eˆ eˆ ]B ˆ 2 2 L respecto a la ueva base: f ( ) f j ( e ) j j 4
5 Fucoes de Vectores y Matrces ( ) j j b j f f ê ( ) ( ) j j j f b f ê ( ) ( ) ( ) ( ) j j j f f f b f ˆ ˆ ˆ e e Respecto a la ueva base
Fucoes de Vectores y Matrces dode ˆ b j j j so los compoetes del fucoal e la ueva base, o e forma matrcal ˆ B Que correspode a la msma formula para el cambo de base de vectores e u espaco leal. 6
Fucoales Multleales Es u fucoal que es leal e varos vectores dferetes: (, 2,, k ). la mas comú de las formas es la bleal. Ua forma bleal B es u fucoal que actúa sobre dos vectores del espaco X, de tal forma que s, y, z X y α es u escalar e el campo de X: 7
Forma Bleal B B ( + y, z) B(,z) + B( y, z) (,z + y) B(,z) + B(,y) B(, αy) αb(,y) B( α,y) αb(,y) S la últma codcó se reemplaza por B ( α, y) αb(,y) se dce que B está e la Forma Sesquleal 8
Forma Bleal E u espaco leal las formas bleales se especfca por medo de u cojuto de 2 compoetes, porque cada vector, y se puede epadr e mámo compoetes depedetes. Estos 2 úmeros se puede escrbr como ua matrz de dode el (,j) esmo elemeto de la matrz es b j B e (, ) e j y la forma bleal se puede escrbr como La forma B es smétrca s y es hermtaa s ( ) [ ],y b y By B j (, y) B( y, ) B (, y) B( y, ) B 9
Forma Bleal Cuado camba la base del espaco vectoral la matrz que descrbe la forma bleal també cambara. Sea B la matrz que descrbe la forma bleal respecto a la base orgal {e } y sea Bˆ la forma respecto a la ueva base {e j }, s la relacó etre bases se cooce e k β ê Susttuyedo e la epresó para el elemeto (,j) esmo de la represetacó matrcal de B: b j b j k ( ) e bj B ˆ ˆ,e j βlel, βmem B l m β l l m β m B k ( eˆ l, eˆ m ) bj βl l m β bˆ m j
Forma Bleal S los coefcetes β j se ordea e ua matrz β, etoces e geeral teemos que B β Bβ ˆ La ateror epresó tee la forma de trasformacó smlar prevamete defda. S la matrz de cambo de base es ortoormal (β β - ), la trasformacó e la forma bleal es gual a la trasformacó smlar.
Forma Bleal La forma bleal escrta como també se puede escrbr como (,y) By Formas bleales y productos teros so equvaletes B (, y) By B, Pero o es váldo para espacos de fucoes de dmesó fta. 2
Forma Bleal Por ejemplo para el espaco de las fucoes de valores reales defdas e el tervalo t, ua forma bleal válda: [ ] B ( f t), g( t) ) f ( t) ( g( t) dt Es u productos tero s B(,) > para y B(,) para. S se cosdera el campo de los complejos el producto tero tee la forma sesquleal: B ( f t), g( t) ) f ( t) ( g( t) dt 3
Formas Cuadrátcas Se defe las formas cuadrátcas e la msma forma que las formas bleales co la dfereca que se utlza el msmo vector dos veces. Dada ua matrz, ua forma cuadrátca puede escrbrse como Q ( ),, Es coveete defr formas smétrcas o hermtaas, ya que s está defda sobre los reales, es u escalar + 2 + 2 4243 O 4
Formas Cuadrátcas La matrz O cumple la codcó Etoces O.5 5 ( ) ( +.5 +. + ) O O S está defda sobre los reales O O Matrz Hermtaa Matrz Smétrca E geeral cuado se habla de formas cuadrátcas se asume que se está trabajado co matrces smétrcas. La forma cuadrátca se puede usar e el setdo de orma pero se debe teer e cueta que o sempre cumple co todas las propedades de ua orma. Por ejemplo, el requsto de o egatvdad y de cero solo cuado o sempre se cumple. De hecho se tee cco posbldades: 5
Formas Cuadrátcas S > para todo, la forma cuadrátca (smétrca) se dce que es postva defda. S para todo, la forma cuadrátca (smétrca) se dce que es postva semdefda. S < para todo, la forma cuadrátca (smétrca) se dce que es egatva defda. S para todo, la forma cuadrátca (smétrca) se dce que es egatva semdefda. > < S para alguos y para otros, la forma cuadrátca (smétrca) se dce que es defda. Este varas pruebas para determar s ua matrz es postva, egatva o defda: 6
Formas Cuadrátcas EOREM: Ua forma cuadrátca o la matrz smétrca que la defe, es postva (egatva) defda s ODOS los valores propos de so postvos (egatvos) o tee parte real postva (egatva). La forma cuadrátca es postva (egatva) semdefda s ODOS los valores propos de so o egatvos (o postvos) o tee parte real o egatva (o postva). 7
Formas Cuadrátcas Sea ua matrz co valores propos λ, se defe los meores prcpales de como a a2 a3 a a a Δ 2 a a a a a Δ Δ 2 3 2 22 23 2 22 a a a Δ 3 32 33 Postva defda: todos los meores prcpales so postvos. Postva semdefda: todos los meores prcpales so o egatvos Negatva defda: los meores prcpales se altera e sgo, empezado co u sgo egatvo para el meor. Negatva sem defda: los meores prcpales so alteradamete o postvo, o egatvo. 8
Formas Cuadrátcas La tabla resume dos métodos para determar la defcó de ua matrz hermtaa Clase Postva Defda Postva Semdefda Negatva Defda Negatva Semdefda Idefda Valores Propos λ λ λ λ lguos lguos > < λ λ < > Meores de Δ > Δ Δ < Δ2 > Δ3 < Δ Δ Δ 2 3 Nguo de los terores L L 9
2 Las formas cuadrátcas se puede emplear para represetar las ecuacoes de objetos geométrcos coocdos como quadrcs. Geometría formas cuadrátcas Por ejemplo, sea R y la matrz ( ) smétrca postva defda, etoces es la ecuacó de u elpsode e R. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + c z z b y y a z z y y c b a z z y y o o o
Geometría formas cuadrátcas Cuales so las dreccoes de los ejes prcpales? Que ta lejos se etede la superfce e cada dreccó? Elpsode 2
Geometría formas cuadrátcas Mamzar la ecuacó del elpsode sujeta a la restrccó establecda por u tamaño ormalzado. Dervado: H γ ( ) H 2 2γ H γ 22
Geometría formas cuadrátcas El multplcador de LaGrage es gual a u valor propo y es el vector propo correspodete. Los etremos del elpsode se preseta e los vectores propos. El valor etremo esta dado por: γ γ γ γ 2 23
Geometría formas cuadrátcas El valor etremo a lo largo de los ejes prcpales está dado por los vectores propos. Este resultado es certo para ua matrz smétrca, postva defda. Para matrces o smétrcas los ejes prcpales está dados por los vectores sgulares zquerdos y las logtudes está dadas por los valores sgulares. 24
Fucoes de Matrces El resultado de ua fucó de matrces es ua matrz. Ejemplos báscos: dcó Multplcacó 25
Fucoes de Matrces Sea ua matrz cuadrada y k u etero postvo, se defe 2 L ( k veces) ( ) m m m ( + m) ( ) I k 26
Fucoes de Matrces S es dagoal por bloques, dag(, 2 ), es fácl verfcar que k k k 2 y f ( ) f ( ) f ( ) 2 Dada la trasformacó de semejaza Ā Q - Q o QĀQ -, como QQ QQ QQ Q Q 2 2 y e geeral k k Q Q se tee: f ( ) ( ) ( ) Qf Q o f Q f ( )Q 27
28 Fucoes de Matrces Dado u polomo de orde móco: El polomo se puede evaluar sobre la matrz : ( ) ( )( ) ( )... p - 2 I I I I p p a a a p + + + + L ( )( ) ( ) p p a a a p + + + + λ λ λ λ λ λ λ... - p... ) ( 2
Fucoes de Matrces El eorema de Cayley Hamlto establece que toda matrz satsface su propo polomo característco. eorema ( Cayley Hamlto). Sea φ(λ) det(λi ) λ + α - λ - + + α + α I el polomo caraterístco de. Etoces Δ ( ) + α + L+ α + α I El teorema de Cayley Hamlto mplca que se puede escrbr como ua combacó leal de las potecas de de a. S se multplca Δ() por se obtee que + se puede escrbr como combacó leal de {, 2,..., }, que a su vez se puede escrbr e térmos de {I,,..., - }. 29
Fucoes de Matrces odas las matrces relacoadas por ua trasformacó smlar tee el msmo polomo característco: Δ( ) Δ( ˆ ) El teorema de Cayley Hamlto mplca que se puede escrbr como ua combacó leal de las potecas de de a. S se multplca Δ() por se obtee que + se puede escrbr como combacó leal de {, 2,..., }, que a su vez se puede escrbr e térmos de {I,,..., - }. 3
Fucoes de Vectores y Matrces Evaluacó de Fucoes Matrcales: Ua forma de calcular f() coocedo Δ(λ) es empleado la fórmula de dvsó de polomos: dode q(λ) es el polomo cocete y h(λ) el polomo resduo. todo se reduce a determar los coefcetes del polomo h(λ) La dvsó de polomos es útl s el grado de f(λ) o es mucho mayor que el de Δ(λ). 3
REFERENCIS. CHEN C.. Lear Systems heory ad Desg. 3rd Edto. New York: Oford Uversty Press. 999 2. BY J.S. Fudametals of Lear State Space Systems, New York: McGraw Hll Iteratoal Edto,. 999. 32