Mtemátics Bchillerto? Solucionrio del Libro Trigonometrí 07 Actividdes. Clcul ls rzones trigonométrics de un ángulo del segundo cudrnte, si. De sen cos se obtiene cos sen 9. Como está en el tercer cudrnte, su coseno es negtivo. Luego l solución válid es Por tnto, tg / cos /. cos.. Sicosº0,9, determin, sin utilizr l clculdor, ls rzones trigonométrics de los siguientes ángulos: ) º, º, c) 0º, d) º. sen º cos º (0,9) <0,. sen º 0, Además, tg º cos º 0,9 <0, ) Como º90ºº será: sen º cos º 0,9 cos º sen º0, tg º cotg º,. Como o 80 o o será: sen o sen º0, cos o cos o 0,9 tg º tg o 0,. c) Como 0 o 80 o o será: sen 0 o sen º0, cos 0 o cos o 0,9 tg 0 o tg o 0,. d) Como o 0 o o será: sen o sen o 0, cos o cos o 0,9 tg o tg o 0,.. Si cos ([ I cudrnte) y tg b(b[ II cudrnte), clculsinutilizrlclcul- dor, el vlor de sen( y tg (. cos (elegimos el signo positivo de l ríz cudrd pues es un ángulo del primer cudrnte). Además, tg. cos De l relción tg bsec b deducimos que cos b cos b (con signo menos pues está en el segundo cudrnte): tmbién sen b cos b (elegimos el signo positivo de l ríz cudrd pues b es del segundo cudrnte). Sustituimos estos vlores y obtenemos: sen ( cos bcos sen b?? tg btg tg ( tg b?tg ()?. Si p p,,,determinsinclculdor, el vlor de y cos. Empezmos clculndo el vlor de cos. cos sen Aplicndo l fórmul del seno del ángulo doble será: cos?? Y plicndo l fórmul del coseno del ángulo mitd será: cos cos 0 elegimos el signo pues el ángulo cudrnte).. Clcul el vlor de l epresión está en el segundo sen 70ºsen 0º cos 70ºcos 0º. Utilizndo ls fórmuls de trnsformción se tiene: sen 70ºsen 0º cos 70ºcos 0º 70º0º 70º0º sen sen sen 0º cos 0º 70º0º 70º0º sen 0º sen 0º sen sen cotg 0º. Comprueb l identidd cos tg. cos cos cos tg cos sen cos cos 7. Resuelve l ecución sen sen. sen sen sen cos sen sen (cos ) 0 sen 0 0ºk?80º sen 0 0ºk?0º { cos 0 cos 00ºk?0º ls soluciones del primer giro son 0º, 0º, 80º y 00º.
07 Mtemátics Bchillerto? Solucionrio del Libro Trigonometrí Problems propuestos Tipo I. Relción entre ls rzones trigonométrics de un ángulo. Si cosec y es del curto cudrnte, clcul sin hllr el vlor de, susrestntesrzonestrigonométrics.. cos sen (elegimos el signo pues el ángulo está en el curto cudrnte). sec. Y tg ; cotg.. Si 0,7 y es del segundo cudrnte, clcul sin hllr el vlor de,susrestntesrzonestrigonométrics. sec cos 0,7,7897. cos (0,7) 0,9907 (elegimos el signo pues el ángulo es del segundo cudrnte) cosec,87. 0,99... Por último, tg 0,89; 0,7 cotg,99.. De un ángulo del primer cudrnte se conoce que. Clcul el vlor ecto de: ) tg sen () ) 8 cos sen (elegimos el signo pues es del primer cudrnte). Por / 8 tnto, tg. cos 8/ 8 8 8 8 cos??. Si cotg y sen bcos b clcul: ) tg tg ( Si cotg tg. Si sen bcos b tg b. Luego: )? tg tg tg 8 9. 9 tg tg b 9 tg ( tg?tg b?. Clcul ls rzones del ángulo b sbiendo que p, con 0,,,y cos b p, con, b, p. Si, l ser del primer cudrnte, será cos y tg. Si cos b, l ser b del segundo cudrnte, será sen b y tg b. Luego sen( cos bcos?sen b? 8 0? ; cos(cos cos b sen b? 8 8? y tg tg b 8 tg ( 8 tg?tg b 0?( 8). Si es un ángulo del segundo cudrnte y clcul: ) sen c) cos (p) d) tg (p), Si, y del segundo cudrnte, será cos y tg. Luego, ) cos??, 9 cos sen (elegimos el signo pues está en el primer cudrnte), c) cos (p)cos p cos sen p?cos 0?cos 0 tg ptg d) tg (p) tg p?tg 0
Mtemátics Bchillerto? Solucionrio del Libro Trigonometrí 07 7. Sin utilizr clculdor, determin el vlor numérico de l epresión: sen 0º tg ºcos 70º tg 0º. Ddo que sen 0 o sen 0 o ; tg o tg o ; cos 70 o 0 y que tg 0 o tg 0 o, l epresión dd sen 0o tg o cos 70 o tg 0o vle??()?0?( ) 0 0 8. Clcul el vlor numérico de ls epresiones: ) cos 9ºcos 7º sen 0ºsen 0º cos 0ºcos 0º ) cos 9ºcos 7ºsen 9º7º sen º sen 0º?? sen 0ºsen 0º cos 0ºcos 0º sen 0º cos 0º cos 0º cos 0º sen 9º7º. 0º0º 0º0º sen cos cos 0º0º tg 0º 0º0º cos Tipo II. Identiddes. Fórmuls de dición y trnsformción 9. Demuestr que: ) cos (? cos (cos sen b cos (? cos (cos b sen ) cos (?cos ( (cos? cos b? sen (cos? cos b? sen cos? cos bsen? sen b cos ( sen ( cos )sen b cos cos sen bsen bcos sen b cos sen b Pr demostrr l segund iguldd, en (*) hcemos (sen ) cos bsen (sen (*) cos bsen cos bsen sen sen b cos bsen 0. Comprueb ls siguientes identiddes: cotg ) cotg tg cotg cos tg cos sen tg cotg tg cotg cotg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg cos cos sen (dividimos por cos en el numerdor y denomindor) cos cos tg tg. Comprueb l identidd: cos? cos. cos cos Desrrollmos el primer miembro:? cos cos cos cos? (cos sen ) (cos )(cos )(cos ) cos (cos ) sen cos cos cos. Comprueb l identidd: tg. tg cos Opermos en el primer miembro: tg tg cos cos (cos ) (cos )(cos ) cos cos cos sen cos.. Comprueb l identidd: p cos sen cos. cos cos sen p Desrrollmos el primer miembro: cos sen p cos sen cos p cos sen cos cos cos sen cos sen 7
07 Mtemátics Bchillerto? Solucionrio del Libro Trigonometrí cos?? cos sen sen cos cos? cos cos () cos cos cos. Simplific l epresión: cos cos cos cos sen cos. Es ciert l iguldd tg cos cos cos cos tg cos cos tg cos sec tg? No es ciert, pues si desrrollmos el primer miembro: cos cos cos cos cos cos cos cos cos sec cotg que, en generl, es distinto que sec tg.. Epres tg en función de tg. tg tg tg tg tg tg () tg tg?tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg 7. Epres en función de: ) ; cos. ) cos cos ()cos ()sen () sen ()sen () sen ()( cos ) 8sen cos 8sen (sen )8sen 8sen En 8(cos )cos 8cos 8cos 8. Epres en función de y cos. sen ()sen()cos()? cos (cos sen ) cos (sen ) cos 8sen cos Tmbién se puede poner en cos (cos ) 8 cos cos 9. Epres sen, cos ytg en función de tg tg tg tg tg. Pr epresr sen, prtimos de l relción cotg tg cosec sen. tg sen tg Sustituyendo en est epresión el vlor obtenido pr tg result: tg tg tg sen tg tg tg tg sen tg sen Como cos, result, sustituyendo ls relciones obtenids nteriormente, que cos. tg tg tg Tipo III. Ecuciones y sistems trigonométricos 0. Resuelve ls siguientes ecuciones: ) sen tg c) cos, d) sen 0 ) sen sen { 0ºk?0º 0ºk?0º { ºk?80º 7ºk?80º Ls soluciones del primer giro son: º, 7º, 9º y º. tg tg p k?p p k?p ls soluciones del primer giro son p (pr k 0),7p (pr k), p 9p (pr k) y (pr k). c) cos,, cos 0, 0ºk?0º 00ºk?0º { 0ºk?70º 00ºk?70º Ls soluciones del primer giro de l vrible son: 0º y 00º. 8
Mtemátics Bchillerto? Solucionrio del Libro Trigonometrí 07 p d) sen 0 sen 0 0k?p 0k?. Ls soluciones del primer giro son: p 0,, p, p, p, p, p, 7p.. Resuelve ls siguientes ecuciones: p ) cos sen(º) p p ) cos p k?p p k?p k?p 0p k?p p k?p Ls soluciones del primer giro: 0 y p rd sen(º) º{ ºk?0º ºk?0º { 80ºk?0º 70ºk?0º Ls soluciones del primer giro son 80º y 70º.. Resuelve l ecución: cos sen cos sen cos sen cos cos ( sen ) 0 { cos 0p sen0 90ºk?80º 0ºk?0º (k[z). 0ºk?0º Ls soluciones del primer giro son 90 o, 70 o, 0 o y 0 o.. Resuelve l ecución: cos sen cos Teniendo en cuent que cos cos sen cos, l ecución inicil se puede epresr sí: cos sen cos cos sen cos sen cos 0 cos (cos sen ) sen 0 cos ( sen )sen 0 sen (sen cos )0 sen 0 sen (sen )0 sen 0 { Si sen 0 0ºk?80º. Si sen 0 sen 0ºk?0º 0ºk?0º ºk?80º (k[z) 7ºk?80º Ls soluciones del primer giro son: 0º, 80º, º, 9º, 7º y º.. Resuelve l ecución: tg cos tg cos sen cos sen (sen ) que d lugr l ecución de segundo grdo en sen, sen sen 0 cuys soluciones son sen { ºk?0º ºk?0º (imposible) Ls soluciones del primer giro son º y º.. Resuelve l ecución: tg tg tg tg tg (tg ) 0 tg tg tg tg tg 0 { tg 0 tg 0 Si tg 0 0º k?80º Si tg 0 tg Si tg Si tg 0ºk?80º 0ºk?80º Ls soluciones del primer giro son: 0º, 80º, 0º, 0º, 0º y 00º.. Resuelve l ecución: sen cos sen sen cos sen sen cos. cos sen sen cos sen sen ( sen ) sen sen sen sen 0 sen (sen sen ) 0. Si sen 0 0ºk?80º. Si sen sen 0 sen sen 0 que es un ecución de º grdo cuys soluciones son sen. L solución sen no es posible. Si sen (k[z) 0ºk?0º 0ºk?0º Ls soluciones del primer giro son 0º, 80º, 0º y 0º. 7. Resuelve l ecución: cos cos 0 cos cos 0 cos sen cos 0 cos cos 0, ecución de segundo grdo en cos, cuy solución es cos { / (imposible) rc cos (/){ 0ºk?0º (k[z) 0ºk?0º Ls soluciones del primer giro son 0º y 0º. 8. Resuelve l ecución: sen(0º) sen(0º) 0. sen( 0º)sen(0º)0 0º 0º sen cos 0 0º 0º Si sen 0 { 0ºk?0º 80ºk?0º 0º { 0ºk?70º 0ºk?70º { 0ºk?70º 00ºk?70º 9
07 Mtemátics Bchillerto? Solucionrio del Libro Trigonometrí { 0ºk?0º 00ºk?0º Si cos 0º 0º 0 90ºk?80º 0º80ºk?0º 0ºk?0º Ls soluciones del primer giro son 0º, 00º, 0º y 0º. 9. Resuelve l ecución: cos cos sen sen L ecución plnted es equivlente sen sen sen cos sen sen()sen cos sen (cos sen )0 sen 0 cos sen 0 Si sen 0 0ºk?80º 0ºk?º Si cos sen 0 cos sen cos 0 cos ( sen )0 cos 0 90ºk?80º 0ºk?0º (k[z) sen 0ºk?0º Ls soluciones del primer giros son 0º, º, 90º, º, 80º, º, 70º, º, 0º y 0º. sen sen y 0. Resuelve el sistem { y90º De l segund ecución, 90ºy. Sustituyendo en l primer, sen (90ºy)sen y sen 90º cos ycos 90º sen ysen y cos ysen y cuys soluciones son (está resuelt en los ejemplos del teto) y0ºk?0º ó y 90º k?0º. En el primer giro, si y0º 90º y si y 90º 0º. Ls soluciones del primer giro son, pues, (90º, 0º) y (0º, 90º). sen cos y. Resuelve el sistem cos sen y Si summos y restmos ls ecuciones del sistem sen cos y se obtiene este otro: cos sen y sen cos ycos sen y sen (y) sen cos ycos sen y sen (y) Este d lugr estos otros dos: y90ºk?0º (I) y (II) y0ºk?0º y90ºk?0º y0ºk?0º L soluciones de (I) son de l form [0 o (k k )?80 o,0 o (k k )?80 o ]. Ls de (II) son de l form [0 o (k k )?80 o,0 o (k k )?80 o ] [0 o (k k )?80 o, 0 o (k k )? 80 o ]. Ls soluciones prticulres se obtienen dndo vlores k y k. k y k Sistem (I) Sistem (II) k k 0 (0 o, 0 o ) (0 o, 0 o ) k k 0 (0 o, 0 o ) (00 o, 0 o ) 0 cuestiones básics Ests 0 cuestiones debes contestrls, proimdmente, en minutos. Si flls más de dos te recomendmos que estudies un poco más. (En este cso puedes consultr lguns fórmuls).. El ángulo p rd epresdo en grdos segesimles vle: ) 0º º c) 0º ) 0º. tg es igul : ) sen cosec c) sec c) sec. Ls rzones trigonométrics del ángulo 0º son ls misms que ls del ángulo: ) 0º 0º c) 0º 0º. Si tg. 0, sóloundelssiguientesfirmcioneses verdder: ) p,, p p p,, c). p p,,. De ls siguientes fórmuls sólo un es ciert pr culquier vlor de letr grieg lf: ) sen (80)sen (0) sen (80)cos c) sen (90)cos (90) ) sen (80)sen (0). Señl l fórmul verdder: ) sen b sen sen b sen b sen sen bcos c) sen b sen sen bcos ) sen b sen sen b cos b sen b 0
Mtemátics Bchillerto? Solucionrio del Libro Trigonometrí 07 7. El vlor de l epresión tg ºtg 7º tg º?tg 7º es: ) c) c) 8. Sólo un de ls siguientes fórmuls es correct: ) tg btg b tg b tg b tg b tg b c) tg b tg b ) tg btg b 9. Si tg ( y tg b entonces: ) tg tg c) tg c) tg 0. L solución de l ecución tg 0 es: ) 0º, 80º, 0ºk?80º(k[Z) c) 90ºk?80º(k[Z) c) 90ºk?80º(k[Z) cuestiones pr investigr. Comprueb que el áre de culquier triángulo ABC viene tg B?tg C dd por l fórmul S?? tg Btg C B Fig. 7.. Observ l figur. El áre del triángulo es, como siempre, S bse?ltur??h. Por otr prte, l trzr l ltur h sobre el ldo, dividimos l triángulo ABC en dos: En el ABH, tg B h En el AHC, tg C h Si despejmos en l primer, h, y sustituimos en l se- tg B h tg C gund, h()?tg C?tg C?tg Ch? tg B tg B h? tg C tg B?tg C tg C tg B?tg C h??. tg C tg Btg C tg B Llevndo este vlor de h l fórmul del áre, S??h tg B?tg C tg B?tg C???? tg Btg C?. tg Btg C. Compr l demostrción clásic (con notción ctul) de l fórmul de Herón que encontrrás en http://www.rrkis.es/ ~mcj/heron.htm con l demostrción por métodos trigonométricos que prece en http://es.wikipedi.org/wiki/ heron. Ver págins web indicds. A h H C
08 Mtemátics Bchillerto? Solucionrio del Libro Resolución de triángulos Actividdes. Resuelve el triángulo rectángulo del que conocemos l hipotenus cmyelctetoc cm. sen C 0,8 Cº7 8. B90º, Cº. El c- teto b, por Pitágors, vle b 9 cm.. Ls digonles de un prlelogrmo de 9, cm de áre formn un ángulo de 0º l cortrse. Clcul l longitud de ls digonles si un mide el doble que l otr. Si D es l digonl myor, l otr digonl vle D. Por tnto el D D??sen 0º áre del prlelogrmo será 9, D 99,99... D0. Ls digonles miden 0 cm y cm.. Del triángulo ABC se conocen los ángulos  º, B97º y el ldo b cm.clculllongituddelldo. Por el teorem del seno, b?sen A?sen º ø, cm. sen B sen 97º. Del triángulo ABC se conocen los ldos cm, c0 cm y el ángulo Bº. Clcul l longitud del ldo b. Por el teorem del coseno es b c c cos B 0?? 0? cos º 0,0 b 0,0 ø,8 cm.. Resuelve el triángulo ABC del que se conocen los siguientes dtos:  º, B º y c 0 m. El tercer ángulo vle C 80º (ÂB)80º (º º) º. c?sen A 0?sen º Del teorem del seno 8,8 cm y sen C sen º c?sen B 0?sen º b 0,7 cm. sen C sen º. Resuelve el triángulo ABC del que se sbe que 7 m, c m y B º. Por el teorem del coseno es b c ccos B7? 7?? cos º ø80, b,09 m. De los dos ángulos que fltn por determinr, el menor es C por ser el opuesto l ldo menor. Lo clculmos por el teorem del seno:,09?sen º sen C Por tnto Cº 0 sen C sen º,09 (un ángulo y su suplementrio tienen el mismo seno. Así, C puede ser º0 o su suplementrio, 80ºº 0 º 9. Pero como c,b tmbién h de ser C,B, es decir º 0 ). Por último Â80º (B C)80º (º º 0 ) 9º 9. 7. Resuelve el triángulo ABC del que se sbe que m, b 8myBº. Por el teorem del seno 8?sen º sen A 0,0. sen A sen º 8 De los dos ángulos que tienen este seno (0º y su suplementrio, 9º7 ) elegimos el menor, pues l ser, b, será tmbién A,B. Por tnto A0º. El tercer ángulo vle C80º ( B) 80º (0º º) 9º 7. El ldo c se clcul por el teorem del seno: b?sen C 8?sen 9º7''' c ø9,8 m. sen B sen º 8. Resuelve el triángulo ABC del que se sbe que 0 cm, b cm y Â0º. Por el teorem del seno: 0?sen 0º sen B 0,8. El ángulo B puede ser º7 8 o su suplementrio, º. Ls dos sen 0º sen B 0 soluciones son posibles, pues l ser, b, l condición que tienen que cumplir es que Â,B. Hy por tnto dos soluciones: Solución B º 7 8 C 80º (ÂB ) 80º (0º º 7 8 ) 9º. 0 c sen 0º sen 9º''' 0?sen 9º''' c ø9,8 cm. sen 0º Solución B º C 80º (ÂB )80º (0º º ) º7 8. 0 c sen 0º sen º7'8'' 0?sen º7'8'' c ø7,8 cm. sen 0º 9. Resuelve el triángulo ABC del que se conocen los siguientes dtos: cm,b9 cmyc cm. Por el teorem del coseno b c bc cos A 9?9??cos A cos A 0,990, luego º 9 9. Análogmente clculmos el ángulo B: 9???cos B cos B 0,898809, luego B º 9. 8 Por último, C80º (ÂB)7º0 8.