Matemáticas 1º Bachillerato CCNN Tema 1.- Números reales 1.- Números racioales Los úmeros racioales so todos los que se puede expresar e forma de fracció, o lo que es lo mismo, so los úmeros eteros, los úmeros decimales fiitos y los úmeros decimales periódicos. 2.- Números irracioales Los úmeros irracioales so los que o so racioales, es decir, todos los que NO se puede expresar e forma de fracció, o lo que es lo mismo, so los úmeros decimales NO periódicos..- Itervalos y semirrectas Nombre Símbolo Expresió matemática Itervalo abierto (a, b) ó ]a, b[ {x / a < x < b} Itervalo cerrado [a, b] {x / a x b} Itervalo semiabierto Semirrecta (a, b] ó ]a, b] [a, b) ó [a, b[ (, a) ó ], a[ (, a] ó ], a] (a, + ) ó ]a, + [ [a, + ) ó [a, + [ {x / a < x b} {x / a x < b} {x / x < a} {x / x a} {x / x > a} {x / x a} Represetació 4.- Valor absoluto a a si a 0 = { a si a < 0 1. x 2 = es lo mismo que x 2 = ó x 2 = (2 solucioes) 2. x 2 es lo mismo que x 2 (1 itervalo). x 2 es lo mismo que x 2 ó x 2 (uió de 2 itervalos) 5.- Potecias 1. a 0 = 1 2. a 1 = a. a = 1 a 4. a a m = a +m - 1-5. a : a m = a = a m am 6. (a ) m = a m 7. a b = (a b) 8. a : b = a b = (a b )
6.- Radicales 6.1.- Propiedades 1. a = a 2. a m = a m p. a m p = a m 4. ( a m ) p = a m p p 5. a 6. a 7. a b p = a b = a b = a b 6.2.- Extraer úmeros e los radicales 256 = 2 8 6..- Suma y resta de radicales = 2 2 2 2 = 2 2 2 2 = 2 2 2 2 = 4 2 2 = 4 4 Solo se puede sumar y restar radicales EXACTAMENTE IGUALES. Se extrae del radical: 7 2 6 4 1250 + 2 2 14 = 7 2 6.4.- Producto y divisió de radicales 6 20 2 + 8 2 2 = 7 2 Solo se puede multiplicar y dividir radicales co el MISMO ÍNDICE: 20 2 + 8 2 = 5 2 6.5.- Racioalizació 6 10 5 = 10 6 6 = 10 5 2 5 2 6 = 2 5 5 2 6 = 2 5 6 = 40 4 7 = 4 7 6 2 7 65 6 2 7 = 4 7 6 5 6 5 7 = 4 7 6 5 = 4 7 6 5 = 2 7 6 5 6 7 6 18 9 8 2 4 = 2 8 4 7+ 6 = 2 8 4 ( 7+ 6) = 2 8 4 ( 7+ 6) 5( 7 6) 5( 7 6) 7+ 6 5(( 7) 2 ( 6) 2 ) 5(7 9 6) = 2 8 4 ( 7+ 6) 25 7.- Logaritmos log a P = b sigifica que a b = P 7.1.- Propiedades 1. log a 1 = 0 2. log a a = 1. log a (P Q) = log a P + log a Q 4. log a ( P Q ) = log a P log a Q 5. log a P = log a P 6. Cambio de base: log a P = log b P log b a OJO co las propiedades y 4!!: log a (P + Q) (log a P)(log a Q) log a (P Q) log a P log a Q - 2 -
Tema 2.- Álgebra 1.- Ecuacioes de segudo grado Se halla sus raíces co la fórmula: x = b± b2 4ac. 2a b 2 4ac > 0: 2 solucioes b 2 4ac = 0: 1 solució doble b 2 4ac < 0: o hay solució 1.1.- Ecuacioes bicuadradas x 4 15x 2 x 2 = y x2 = y + 12 = 0 { y 2 15y + 12 = 0 { y = 15± 152 4 12 x = ± 4 = ±2 { x = ± 1 = ±1 2 x = ± y { y 1 = 4 y 2 = 1 2.- Factorizació de poliomios Para factorizar el poliomio P(x): 1. Se saca factor comú de x (elevado a la mayor potecia posible). 2. Se utiliza Ruffii co los divisores del térmio idepediete. Cuado el resto dé 0, tedremos que P(x) = Q(x), es decir, P(x) = (x a)q(x). x a. Se repite el proceso co Q(x) hasta llegar a u poliomio de 2º grado. 4. Se utiliza la fórmula de 2º grado co el último poliomio. 5. Si se llega a u poliomio irreducible, se deja..- Fraccioes algebraicas.1.- Simplificació Se divide umerador y deomiador por el m.c.d. de los dos poliomios..2.- Fraccioes equivaletes Ua fracció se obtiee al multiplicar o dividir tato el umerador como el deomiador de la otra fracció por u mismo poliomio. Para comprobar si dos fraccioes algebraicas so equivaletes, se usa el producto e cruz...- Reducció a deomiador comú Se halla el m.c.m. de los deomiadores, que será el deomiador comú. Los uevos umeradores será el resultado de dividir el m.c.m. por los deomiadores origiales y multiplicar por los umeradores origiales.
.4.- Suma y resta Se reduce las fraccioes a deomiador comú y se suma o resta los uevos umeradores..5.- Producto y divisió El producto se hace multiplicado los umeradores etre sí y multiplicado los deomiadores etre sí. La divisió se hace multiplicado e cruz. NOTA: se puede observar que los procedimietos de fraccioes algebraicas so exactamete los mismos que los de fraccioes uméricas. 4.- Ecuacioes co la x detro de u radical Se despeja u radical y se eleva al cuadrado ambos miembros de la ecuació. Si después hay más radicales, se repite el proceso. NOTA: e ocasioes aparece solucioes ficticias, así que hay que COMPROBAR todas las solucioes. 5.- Ecuacioes co la x e el deomiador Se opera las fraccioes tato de u lado de la ecuació como del otro hasta que quede ua úica fracció e cada miembro de la ecuació. Después se multiplica e cruz para obteer ua ecuació poliómica ormal. NOTA: e ocasioes aparece solucioes ficticias, así que hay que COMPROBAR todas las solucioes. 6.- Ecuacioes expoeciales Básicamete hay de tres tipos: 1. 1 x2 = 1 27 1 x2 = 1 = 1 x 2 = x 2 = 4 x= ±2 2. 1 x2 = 2 log 1 x2 = log 2 1 x 2 = log 2 x 2 = 1 log 2 x 2 = 1 log 2 0 7 x ±0 61 log. 2x 12 x 1 = ( x ) 2 12 x = 1 (x ) 2 4 x = x = y x = y { y 2 4y = { y 1 = 1 { x = 1 = 0 y 1 = x = = 1 {x = 0 x = 1 NOTA: Las ecuacioes del tipo 1 tambié se puede resolver como e el tipo 2. 7.- Ecuacioes logarítmicas Utilizado las propiedades de los logaritmos se cosigue teer u úico logaritmo e cada miembro de la ecuació (debe teer la misma base). E ese mometo se quita los logaritmos y se obtiee ua ecuació más secilla. 4
NOTA: como los logaritmos de úmeros egativos o existe, e ocasioes aparece solucioes ficticias. Así que hay que COMPROBAR TODAS las solucioes. 8.- Sistemas de ecuacioes Por lo geeral se resuelve mediate tres métodos: Sustitució: se despeja ua icógita de ua ecuació y se sustituye e la otra ecuació. Igualació: se despeja la misma icógita e las dos ecuacioes y se iguala los resultados. Reducció: se multiplica ua ecuació por u úmero (o las dos ecuacioes por úmeros distitos) y se suma para elimiar ua icógita de ua de las ecuacioes. Si hay ecuacioes de los tipos vistos e las seccioes 4, 5, 6 y 7 y o se puede utilizar iguo de los tres métodos ateriores, primero se trasforma estas ecuacioes e poliómicas. 9.- Método de Gauss U sistema escaloado de tres icógitas es aquel e el que e ua ecuació aparece úicamete ua icógita, e otra aparece esa icógita y otra más, y e la otra ecuació aparece las icógitas. El método de Gauss cosiste e aplicar el método de reducció varias veces hasta coseguir u sistema escaloado, que se resuelve fácilmete. 10.- Iecuacioes co ua icógita 10.1.- Iecuacioes de primer grado Se resuelve la iecuació teiedo e cueta que al multiplicar o dividir por úmeros egativos la desigualdad cambia de setido. La solució es u itervalo. 10.2.- Iecuacioes de segudo grado 1. Se trasforma la iecuació e ecuació (se cambia la desigualdad por u =) y se resuelve. 2. Se dibuja la recta real y se represeta las solucioes, de modo que éstas divide la recta real e varios itervalos.. Se sustituye la x de la iecuació por u úmero de uo de los itervalos, y si la iecuació se cumple, ese itervalo forma parte de la solució. 4. Se repite el puto co los demás itervalos. 5. La solució de la iecuació es la uió de los itervalos correctos. 10..- Sistemas de iecuacioes Se resuelve las iecuacioes por separado. La solució es la itersecció de todos los itervalos. 5
Tema.- Resolució de triágulos 1.- Razoes trigoométricas de u águlo agudo E u triágulo rectágulo: si α = cateto opuesto hipoteusa cos α = cateto cotiguo hipoteusa ta α = si α cos α = cateto opuesto cateto cotiguo Para obteer ua razó trigoométrica a partir de otra hay que coocer las relacioes fudametales: si 2 α + cos 2 α = 1 1 cos 2 α = 1 + ta2 α 2.- Resolució de triágulos rectágulos Se resuelve utilizado las razoes trigoométricas, el teorema de Pitágoras, y el hecho de que la suma de los tres águlos es 180º..- Razoes trigoométricas de cualquier águlo E la circuferecia goiométrica se puede ver que: el seo es positivo e el 1º y 2º cuadrates, y egativo e el º y 4º cuadrates; el coseo es positivo e el 1º y 4º cuadrates, y egativo e el 2º y º cuadrates; y la tagete, por ser la divisió del seo y el coseo, es positiva e el 1º y º cuadrates, y egativa e el 2º y 4º cuadrates. Existe varias relacioes etre las razoes trigoométricas de alguos águlos, pero las más importates so: si(180 α) = si α cos( α) = cos α ta(180 + α) = ta α si(90 α) = cos α cos(90 α) = si α 4.- Resolució de cualquier triágulo Teorema del seo: Teorema del coseo: a si A = b si B = c si C a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A Datos Dos águlos y u lado Dos lados y u águlo opuesto* Dos lados y el águlo que forma Tres lados Resolució Teorema del seo (x2) Teorema del seo (x2) o Teorema del coseo (x2) Teorema del coseo y Teorema del seo Teorema del coseo (x2) E todos los casos hay que utilizar el hecho de que la suma de los tres águlos es 180º. * Tiee dos solucioes, debido a que si(180 α) = si α. 6
Tema 4.- Fucioes y fórmulas trigoométricas 1.- Radiaes Ua circuferecia so 60º o, lo que es lo mismo, 2π radiaes. Para pasar de grados a radiaes y viceversa, se usa ua regla de tres (se puede usar que 180º so π radiaes). 2.- Águlos de cualquier medida Hay que teer e cueta que α = α + 60, siedo u úmero etero (positivo o egativo); o lo que es lo mismo, α = α + 2π. Por tato, 26, 86, 746, 4, so todos el mismo águlo..- Fórmulas trigoométricas Suma y resta de águlos Águlo doble Águlo mitad si(α ± β) = si α cos β ± cos α si β si(2α) = 2 si α cos α si α 2 = ± 1 cos α 2 cos(α ± β) = cos α cos β si α si β cos(2α) = cos 2 α si 2 α cos α 2 = ± 1 + cos α 2 ta(α ± β) = ta α ± ta β 1 ta α ta β ta(2α) = 2 ta α 1 ta 2 α ta α 2 = ± 1 cos α 1 + cos α E el caso del águlo mitad, el sigo depede de e qué cuadrate se ecuetre α 2. Se recomieda aprederse solo si(α ± β), cos(α ± β), ta(α ± β) y cos α. Las fórmulas 2 si(2α), cos(2α) y ta(2α) so simplemete coger las fórmulas si(α + β), cos(α + β) y ta(α + β) y cambiar β por α. El si α se cosigue cambiado u sigo e cos α, y ta α es la 2 2 2 divisió del seo por el coseo..1.- Sumar y restar dos seos o dos coseos Se usa u pequeño truco y luego se usa las fórmulas si(α ± β) y cos(α ± β). cos α cos α = cos(2α + α) cos(2α α) = cos 2α cos α si 2α si α (cos 2α cos α + si 2α si α) = = 2 si 2α si α = 2(2 si α cos α) si α = 4 si 2 α cos α 4.- Ecuacioes trigoométricas si 2α = ta α 2 si α cos α = si α = 0 si α = 0 { cos 2 α = 1 2 si α cos α cos α = 1 2 = 2 2 cos α = 1 { = 2 2 2 2 si α cos2 α si α = 0 si α (2 cos 2 α 1) = 0 α = 0 ; α = 180 0 = 180 (si(180 α) = si α) { α = 45 ; α = 45 = 15 (cos( α) = cos α) α = 15 ; α = 15 = 225 (cos( α) = cos α) NOTA: e ocasioes aparece solucioes ficticias, así que hay que COMPROBAR todas las solucioes. 7
Tema 5.- Números complejos 1.- Expresió de u úmero complejo Forma biómica Forma cartesiaa Forma polar Forma trigoométrica a + bi (a, b) r α r(cos α + i si α) Para represetar gráficamete u úmero complejo, se utiliza la forma cartesiaa. Pasar de forma biómica a forma cartesiaa y viceversa es imediato. Lo mismo co las formas polar y trigoométrica. Para pasar de forma biómica a forma polar: r = a 2 + b 2 ta α = b a Para pasar de forma polar a forma biómica: a = r cos α b = r si α 2.- Operacioes co úmeros complejos 2.1.- Forma biómica La suma, resta y multiplicació so iguales que la suma, resta y multiplicació de poliomios de primer grado (hay que tratar la i como si fuera la x de u poliomio). Uo de los casos de racioalizació cosistía e multiplicar umerador y deomiador por el cojugado del deomiador, para así elimiar las raíces del deomiador. Para dividir úmeros complejos e forma biómica se hace exactamete lo mismo, solo que esta vez lo que se elimia del deomiador es la i. 2.2.- Forma polar Multiplicació: r α r β = (r r ) α+β r Divisió: α = ( r ) r β r α β Para hallar potecias y radicales de u úmero complejo se utiliza la fórmula de Moivre: (cos α + i si α) = cos α + i si α Potecia: (r α ) = (r ) α Radicales: Hay que teer e cueta que r α tiee SIEMPRE solucioes. Todas ellas tiee el mismo módulo, r; y sus argumetos so α, α+60, α+2 60, α+( 1)60. Es decir: r α = {( r)α+k 60 / co k = 0,1,2,, 1}, α+ 60, 8
Tema 6.- Vectores Los vectores so flechas que va desde u puto de orige, A, hasta u puto de destio (extremo del vector), B. Tiee u módulo (distacia etre A y B), ua direcció (la recta e la que se ecuetra) y u setido (ua recta tiee dos setidos). Puede haber varios vectores co distitos putos de orige, pero si tiee el mismo módulo, direcció y setido, se dice que esos vectores so iguales. 1.- Base y coordeadas Dos vectores so liealmete depedietes (l.d.) si tiee la misma direcció. Dos vectores so liealmete idepedietes (l.i.) si NO tiee la misma direcció. Ua base cosiste e dos vectores l.i. Cualquier vector puede expresarse como combiació lieal de los dos vectores de la base. Si los vectores de la base so perpediculares, teemos ua base ortogoal, y si además de ser perpediculares tiee módulo 1, teemos ua base ortoormal. Si teemos la base {x, y } y u vector w, existe dos úmeros, a y b, de forma que se cumple que w = ax + by. Estos úmeros so úicos (o puede haber otros dos úmeros que cumpla la igualdad) y se llama coordeadas de w respecto de la base {x, y }. Es decir, e esa base, w = (a, b). Si A(a 1, a 2 ) y B(b 1, b 2 ) so dos putos, etoces: AB = B A = (b 1, b 2 ) (a 1, a 2 ) = (b 1 a 1, b 2 a 2 ) so las coordeadas de AB respecto de la base caóica {(1,0), (0,1)}, auque se dice úicamete que so las coordeadas de AB. 2.- Operacioes co las coordeadas de u vector Si a y b so dos úmeros, y u = (u 1, u 2 ) y v = (v 1, v 2 ) so dos vectores: Suma y resta: u ± v = (u 1 ± v 1, u 2 ± v 2 ) Multiplicació por u úmero: au = (au 1, au 2 ) Combiació lieal: au ± bv = (au 1 ± bv 1, au 2 ± bv 2 ) Producto escalar: u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 Módulo: u = u 2 2 1 + u 2 (= u u ) Águlo etre vectores: cos(u, u v v ) = 9 u v (= u 1v 1 +u 2 v 2 ) u 2 1 +u 2 v 2 1 +v2 2 Los vectores u y v so l.d. úicamete cuado existe algú úmero, k, de forma que u = kv. Los vectores u y v so perpediculares úicamete cuado u v = 0. Si queremos hallar u vector perpedicular a x = (x 1, x 2 ), se cambia el orde de las coordeadas, se cambia el sigo de ua de ellas, y se multiplica todo el vector por cualquier úmero. Por ejemplo, u vector perpedicular a x = (, 1) es ( 1, ), o ( 2, 6), o (1, ), o (2, 6),
Tema 7.- Geometría aalítica. Problemas afies y métricos 1.- Alguas aplicacioes de vectores 1.1.- Comprobació de que tres putos está alieados Los tres putos A, B y C, está alieados si los vectores AB y AC so l.d. De lo cotrario (los vectores so l.i.), los tres putos forma u triágulo. 1.2.- Puto medio de u segmeto 1..- Simétrico de u puto respecto de otro 2.- Ecuacioes de la recta Como AM = MB, teemos que M A = B M. Es decir, 2M = A + B y por tato: M = A+B. 2 Como AM = MA, teemos que AM = A M. Es decir: A = M + AM = M + M A = 2M A. Para obteer ua recta, se ecesita u vector director (vector que da la direcció de la recta) y u puto (tambié se puede obteer la recta si se tiee dos putos, ya que co ellos se calcula el vector director). 2.1.- Obteer la recta a partir del vector director y u puto Nombre Vector director Puto Ecuació Ecuació vectorial (v x, v y ) (x 0, y 0 ) (x, y) = (x 0, y 0 ) + λ(v x, v y ) Ecuacioes paramétricas (v x, v y ) (x 0, y 0 ) { x = x 0 + λv x y = y 0 + λv y Ecuació cotiua (v x, v y ) (x 0, y 0 ) x x 0 v x = y y 0 v y Ecuació implícita (v x, v y ) (x 0, y 0 ) v y x v x y + C = 0 * Ecuació explícita (v x, v y ) (x 0, y 0 ) y = v y v x x + * Ecuació puto-pediete (v x, v y ) (x 0, y 0 ) y y 0 = v y v x (x x 0 ) * E estas ecuacioes hay que sustituir x por x 0 e y por y 0, y al despejar se obtiee C o. Por ejemplo, si el vector director es v = ( 1, ) y el puto P(2, 1): x + y + C = 0 2 + ( 1) + C = 0 C = 7 x + y + 7 = 0 10
2.2.- Obteer el vector director y u puto a partir de la recta Nombre Ecuació Vector director Puto Ecuació vectorial (x, y) = (x 0, y 0 ) + λ(v x, v y ) (v x, v y ) (x 0, y 0 ) Ecuacioes paramétricas { x = x 0 + λv x y = y 0 + λv y (v x, v y ) (x 0, y 0 ) Ecuació cotiua x x 0 v x = y y 0 v y (v x, v y ) (x 0, y 0 ) Ecuació implícita Ax + By + C = 0 ( B, A) ó (B, A) (0, C B ) ó ( C A, 0) Ecuació explícita y = mx + (1, m) (0, ) Ecuació putopediete y y 0 = m(x x 0 ) (1, m) (x 0, y 0 ) NOTA: E la ecuació implícita (tambié llamada ecuació geeral) se calcula cualquier puto ivetado ua de las dos coordeadas, y sustituyédola e la ecuació para despejar la otra coordeada..- Águlo etre rectas Es el águlo que forma sus respectivos vectores directores. 4.- Posició relativa de dos rectas Dos rectas puede ser coicidetes, paralelas o icidetes (se corta e u puto). Si se resuelve el sistema de ecuacioes formado por dos rectas: Si tiee solució úica: las rectas so icidetes, y el puto dode se corta es la solució del sistema. Si tiee ifiitas solucioes: las rectas so coicidetes. Si o tiee solució: las rectas so paralelas. Por otro lado: si los vectores directores so l.d., las rectas so coicidetes o paralelas (para distiguir estos casos se coge u puto de ua de las rectas y se comprueba si cumple la ecuació de la otra recta); y si los vectores so l.i., las rectas so icidetes (e particular, cuado los vectores directores sea perpediculares, las rectas tambié lo so). E el caso de rectas e forma implícita, r Ax + By + C = 0 y s A x + B y + C = 0: si A A B B, las rectas so icidetes; si A A = B B C C, las rectas so paralelas; y si A A = B B = C C, las rectas so coicidetes. 5.- Distacia de u puto a ua recta La distacia del puto P(p 1, p 2 ) a la recta r Ax + By + C = 0 es: d(p, r) = Ap 1+Bp 2 +C 11 A 2 +B 2
Tema 8.- Lugares geométricos. Cóicas 1.- Lugares geométricos U lugar geométrico es u cojuto de putos que cumple ua determiada codició. La mediatriz de u segmeto es el lugar geométrico de todos los putos que está a la misma distacia de u extremo del segmeto que del otro. La bisectriz de u águlo es el lugar geométrico de todos los putos que está a la misma distacia de las rectas que forma el águlo. 2.- Cóicas La circuferecia es el lugar geométrico de todos los putos que está a la misma distacia de u puto cocreto. La circuferecia es ua elipse dode a = b es el radio. La elipse es el lugar geométrico de los putos que cumple: d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a La hipérbola es el lugar geométrico de los putos que cumple: d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = 2a La parábola es el lugar geométrico de los putos que cumple: d(p, F) = d(p, d) Cóica Ecuació Ecuació reducida Excetricidad Circuferecia (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 x 2 + y 2 = r 2 exc = 0 Elipse Hipérbola (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 = 1 (x x 0 ) 2 a 2 (y y 0) 2 b 2 = 1 12 x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 exc = c a ]0,1[ x 2 a 2 y2 b 2 = 1 exc = c a > 1 Parábola (y y 0 ) 2 = 2p(x x 0 ) y 2 = 2px exc = 1.- Otra forma de expresar la circuferecia Si se opera (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2, se obtiee: x 2 + y 2 2x 0 x 2y 0 x + x 0 2 + y 0 2 r 2 = 0. Por tato, x 2 + y 2 + Ax + Bx + C = 0 es ua circuferecia co cetro ( A 2, B 2 ) y radio r = ( A 2 )2 + ( B 2 )2 C (siempre que lo que haya detro de la raíz sea positivo). 4.- Posició relativa de ua recta y ua circuferecia Se calcula la distacia del cetro de la circuferecia a la recta y se compara co el radio.
Tema 9.- Fucioes elemetales Ua fució asocia a cada úmero real de u cojuto, otro úmero real (solo uo). Fució poliómica: f(x) = 2x + (recta), f(x) = 2x 2 + 7x 5, (parábola) Fució de proporcioalidad iversa: f(x) = 2x+ (hipérbola) x 8 Fució radical: f(x) = x, f(x) = x + 2, f(x) = 7 x 4, Fució expoecial: f(x) = 2 x, f(x) = 4 x+5, Fució logarítmica: f(x) = log 2 x, f(x) = log(x + 1), Fució trigoométrica: f(x) = si x, f(x) = ta 7x, 1.- Domiio y recorrido de fucioes El domiio de ua fució so todos los úmeros del eje X e los que existe la fució. E geeral, el domiio só todos los úmeros reales exceptuado aquellos que hace que u deomiador sea 0, o que lo que hay detro de ua raíz de ídice par sea egativo, o que lo que hay detro de u logaritmo sea egativo. El recorrido de ua fució so todos los valores que toma la fució e el eje Y. 2.- Fucioes defiidas a trozos So fucioes que e itervalos distitos tiee expresioes distitas. x 2 + 2x + 1 si x 0 f(x) = { 1 si 0 < x < 4 x si x 4 Si x = 11 (11 4), etoces el valor de la fució es f(11) = 11 = 8 Si x = ( 0), etoces el valor de la fució es f( ) = ( ) 2 + 2( ) + 1 = 4 Si x = 2 (0 < 2 < 4), etoces el valor de la fució es f(2) = 1.- Valor absoluto de ua fució La fució f(x) se calcula hallado primero f(x) y luego calculado el valor absoluto del resultado. Gráficamete, se represeta la fució f(x) y todo lo que quede por debajo del eje X se cambia por su simétrico (respecto del eje X). 4.- Composició de fucioes Si f(x) = x 2 2x + y g(x) = e x, etoces { (f g)(x) = f(g(x)) = f(ex ) = (e x ) 2 2e x + (g f)(x) = g(f(x)) = g(x 2 2x + ) = e x2 2x+. 5.- Fució iversa Para que ua fució tega iversa debe ser iyectiva. f(x) = 2x+ x 8 2x+ y = x 8 8y+ xy 8y = 2x + x = y 2 1 f 1 (x) = 8x+ x 2
Tema 10.- Sucesioes Ua sucesió es u cojuto de úmeros ordeados (o tiee porqué ser de meor a mayor i de mayor a meor) que tiee u primer elemeto pero o tiee último (so ifiitos úmeros). Cada elemeto de ua sucesió se llama térmio. El térmio geeral de ua sucesió es ua expresió matemática que represeta a TODOS los úmeros de la sucesió. 1.- Progresió aritmética Sucesió e la que cada térmio se obtiee sumado al aterior ua catidad fija, llamada diferecia de la progresió, d. Térmio geeral: a = a 1 + ( 1)d Suma de los primeros térmios: S = (a 1+a ) 2 2.- Progresió geométrica Sucesió e la que cada térmio se obtiee multiplicado el aterior por ua catidad fija, llamada razó de la progresió, r. Térmio geeral: a = a 1 r 1 Suma de los primeros térmios: S = a r a 1 r 1 Suma de TODOS los térmios cuado 1 < r < 1: S = a 1 1 r.- Sucesioes recurretes = a 1 a r 1 r So sucesioes e las que cada térmio se obtiee haciedo cálculos co varios térmios ateriores. Es muy difícil obteer su térmio geeral. U ejemplo es la sucesió de Fiboacci: 1, 1, 2,, 5, 8, 1, 4.- Límite de ua sucesió Si segú va aumetato, a se va acercado a u úmero L: Si segú va aumetato, a va creciedo si parar: Si segú va aumetato, a va decreciedo si parar: Si segú va aumetato, a va oscilado: lim a = L lim a = + lim a = o existe límite 5.- El úmero e El úmero e es el límite de la sucesió a = (1 + 1 ) y de la sucesió b = (1 + 1 ). Es decir: lim (1 + 1 ) = lim (1 + 1 ) = e 14
Tema 11.- Límites de fucioes. Cotiuidad 1.- Límite de ua fució e u puto Si cuado x va aumetado su valor desde u úmero iferior a a hasta llegar a a, la fució va acercádose a u úmero, este úmero se represeta por lim x a f(x). Si cuado x va dismiuyedo su valor desde u úmero superior a a hasta llegar a a, la fució va acercádose a u úmero, este úmero se represeta por lim x a + f(x). Si la fució va acercádose al mismo úmero tato si x va aumetado como dismiuyedo hasta llegar a a, etoces la fució tiee límite: 2.- Cotiuidad lim x a f(x) = lim f(x) = lim f(x) x a x a + La fució f(x) es cotiua e a si tal puto perteece al domiio de f(x) y lim x a f(x) = f(a). Discotiuidad de salto ifiito: alguo de los límites laterales es ifiito. Discotiuidad de salto fiito: los dos límites laterales so fiitos, pero distitos. Discotiuidad evitable: los dos límites laterales so fiitos y coicide (por tato, existe el límite de la fució: lim f(x)), pero f(a) o existe o o coicide co el límite. x a.- Cálculo de límites Si f(x) es cotiua e a, etoces lim f(x) = f(a). x a lim, siedo P(x) y Q(x) dos poliomios: P(x) x a Q(x) P(x) o Si Q(a) 0, etoces lim = P(a). x a Q(x) Q(a) o Si Q(a) = 0 y P(a) 0, etoces se calcula los límites laterales para saber si el límite es +, o o existe (límites laterales distitos). o Si Q(a) = 0 y P(a) = 0, etoces hay que simplificar la fracció ates de calcular el límite. 4.- Límites e el ifiito Si segú como x va aumetado, la fució va aumetado si parar, se dice que lim f(x) = +. Y si va dismiuyedo si parar, lim f(x) =. Del mismo modo, x + x + puede ocurrir que sea lim x f(x) = + ó lim x f(x) =. Si segú como x va aumetado, la fució va acercádose a u valor si sobrepasarlo, etoces lim f(x) = k y teemos ua asítota horizotal e y = k. Lo mismo puede x + decirse si ocurre cuado x va dismiuyedo. Tambié puede ocurrir que los límites cuado x + o x o exista. 15
5.- Cálculo de límites e el ifiito El límite de u poliomio cuado x + o x es + o, depediedo del sigo del coeficiete del térmio de mayor grado y del expoete de la x. lim x + ax m + bx + o lim x ax m + bx + : o Si m >, etoces el límite es + o, depediedo de los sigos de a y b y de los expoetes m y. o Si m <, etoces el límite es 0. o Si m =, etoces el límite es a, pero hay que cosiderar los sigos b depediedo de los expoetes m y. 6.- Asítotas 6.1.- Asítotas verticales Si lim x a f(x) = ±, etoces existe ua asítota vertical e x = a. E geeral, si f(x) = P(x) Q(x), las raíces de Q(x) forma asítotas verticales. 6.2.- Asítotas horizotales Si lim P(x) x + Q(x) = k, etoces existe ua asítota horizotal e y = k. Lo mismo si lim 6..- Asítotas oblicuas x P(x) Q(x) = k. Si el grado del poliomio P(x) es exactamete ua uidad más que el grado del poliomio Q(x), etoces P(x) R(x) = mx + + y teemos ua asítota oblicua e y = mx +. Q(x) Q(x) 7.- Idetermiacioes 0 0 : Se debe simplificar la fracció ates de calcular el límite. : Si so dos fraccioes, se resta ates de calcular el límite; y si so radicales, se multiplica y se divide por el cojugado de los radicales. 1 : Si se está calculado el límite de f(x) g(x), el límite será el úmero e elevado al límite de g(x)(f(x) 1). 16
Tema 12.- Derivadas 1.- Derivada de ua fució La derivada de ua fució f(x) e u puto x 0 es, por defiició: f (x 0 ) = lim gráficamete es la pediete de la recta tagete a la fució e ese puto. La fució derivada da directamete la derivada e cada puto: f (x) = lim 2.- Tabla de derivadas Fució Derivada Fució Derivada (f(x)) (f(x)) 1 f (x) e f(x) e f(x) f (x) l(f(x)) a f(x) l a a f(x) f (x) log a (f(x)) si(f(x)) cos(f(x)) f (x) arcsi(f(x)) cos(f(x)) si(f(x)) f (x) arccos(f(x)) ta(f(x)) [1 + ta 2 (f(x))] f (x) 1 cos 2 (f(x)) f (x) arcta(f(x)) f(x 0 +h) f(x 0 ) h 0 h f(x+h) f(x) h 0 h 1 f(x) f (x) 1 l a 1 f(x) f (x) 1 f (x) 1 (f(x)) 2 1 f (x) 1 (f(x)) 2 1 1 + (f(x)) 2 f (x)., y Operació Suma de fucioes Producto por u úmero Producto de fucioes Divisió de fucioes Regla de la cadea Cálculo (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x) (a f(x)) = a f (x) (f(x) g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) ( f(x) g(x) ) = f (x)g(x) f(x)g (x) (g(x)) 2 ((f g)(x)) = (f(g(x))) = f (g(x)) g (x) 4.- Crecimieto y decrecimieto. Extremos relativos Si f (x 0 ) > 0, etoces f(x) es creciete e x 0. Si f (x 0 ) < 0, etoces f(x) es decreciete e x 0. Si f (x 0 ) = 0 o o existe, etoces f(x) podría teer u máximo relativo o u míimo relativo e x 0. 5.- Represetació de fucioes 1. Hallar el domiio y el recorrido. 2. Hallar los putos de corte y el sigo de la fució.. Hallar las asítotas. 4. Hallar los máximos y míimos relativos, y el crecimieto y decrecimieto co la derivada. 17
Tema 1.- Itegrales 1.- Primitivas Ua primitiva, F(x), de ua fució, f(x), es otra fució cuya derivada es f(x), es decir, F (x) = f(x). Si ua fució se puede itegrar, etoces tiee ifiitas primitivas. Por ejemplo: 2xdx = x 2 + k. Es decir, la fució f(x) = 2x tiee como primitivas x 2 + 1, x 2 + 2,, x 2 4, x 2 + 4 2, 2.- Propiedades de las itegrales idefiidas 1. [f(x) + g(x)]dx = f(x)dx + g(x)dx 2. kf(x)dx = k f(x)dx.- Itegrales imediatas Itegrales imediatas (f(x)) f (x)dx = (f(x))+1 + 1 + k Itegrales imediatas e f(x) f (x)dx = e f(x) + k f (x) dx = l f(x) + k f(x) l a a f(x) f (x)dx = a f(x) + k 1 l a f (x) f(x) dx = log a f(x) + k cos(f(x)) f (x)dx = si(f(x)) + k si(f(x)) f (x)dx = cos(f(x)) + k f (x) dx = arcsi(f(x)) + k 1 (f(x)) 2 f (x) dx = arccos(f(x)) + k 1 (f(x)) 2 [1 + ta 2 (f(x))] f (x)dx f (x) = ta(f(x)) + k f (x) 2 dx = arcta(f(x)) + k cos 2 (f(x)) dx 1 + (f(x)) } 4.- Descomposició e fraccioes simples Si P(x) es ua fracció algebraica co el grado de P(x) meor que el de Q(x), se calcula las Q(x) raíces de Q(x) y: 4.1.- Raíces simples Si las raíces de Q(x) so x 1, x 2, x,, hay que hallar A, B, C,, de modo que 4.2.- Raíces múltiples P(x) Q(x) = A x x 1 + B x x 2 + C x x + Si las raíces de Q(x) so x 1 doble y x 2 (simple), hay que hallar A, B, C,, de modo que 18
P(x) Q(x) = A x x 1 + B (x x 1 ) 2 + C x x 2 5.- Itegral defiida Si ua fució es positiva etre x = a y x = b, etoces el área ecerrada etre el eje X y la fució (etre x = a y x = b) es b f(x)dx a Y si la fució es egativa, b f(x)dx a b Regla de Barrow: f(x)dx a = F(b) F(a) 5.1.- Propiedades de la itegral defiida a 1. f(x)dx a b a b a = 0 a b c a 2. f(x)dx = f(x)dx b c. f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx (si c [a, b]) 5.2.- Área etre dos fucioes Para hallar el área que hay etre dos fucioes etre x = a y x = b, se calcula: b [f(x) g(x)]dx a Siempre la fució que está por ecima meos la que está por debajo. 19
Tema 14.- Distribucioes bidimesioales El cojuto de parejas de valores (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),, (x, y ), se llama distribució bidimesioal. Si se represeta esos valores e u sistema de coordeadas, se obtiee el diagrama de dispersió (tambié llamado ube de putos). 1.- Tabla co sus fórmulas x i y i x i x y i y (x i x ) 2 (y i y ) 2 (x i x )(y i y ) x 1 y 1 x 1 x y 1 y (x 1 x ) 2 (y 1 y ) 2 (x 1 x )(y 1 y ) x 2 y 2 x 2 x y 2 y (x 2 x ) 2 (y 2 y ) 2 (x 2 x )(y 2 y ) x y x x y y (x x ) 2 (y y ) 2 (x x )(y y ) x i y i (x i x ) 2 (y i y ) 2 (x i x )(y i y ) Medida Fórmula Media de x x = x i Media de y 20 y = y i Cetro de gravedad de la distribució (x, y ) Variaza de x s x 2 = (x i x ) 2 Desviació típica de x s x = s x 2 Variaza de y s y 2 = (y i y ) 2 Desviació típica de y s y = s y 2 Covariaza de x e y Coeficiete de correlació etre x e y r = s xy s x s y s xy = (x i x )(y i y ) El coeficiete de correlació está etre -1 y 1, y mide la relació que hay etre las variables. Si se acerca a 1, las variables está directamete relacioadas; si se acerca a -1, las variables está iversamete relacioadas; y si se acerca a 0, las variables o está relacioadas. 2.- Rectas de regresió Coeficiete de regresió de Y sobre X: s xy s2 x Recta de regresió de Y sobre X: y = y + s xy s2 x Coeficiete de regresió de X sobre Y: s xy s2 y (x x ) Recta de regresió de X sobre Y: x = x + s xy s2 (y y ) y
Tema 15.- Cálculo de probabilidades 1.- Defiicioes E u experimeto aleatorio (como lazar u dado), puede obteerse diferetes resultados. El cojuto de todos los resultados posibles es el espacio muestral (1, 2,, 4, 5 y 6). Cada posible resultado es u suceso elemetal, y los cojutos de sucesos elemetales (sacar úmero par, sacar más de 4, sacar úmero primo, ) se llama simplemete sucesos. Suceso imposible: suceso que NUNCA ocurre (sacar más de 6, sacar múltiplos de 7, ) Suceso seguro: suceso que ocurre SIEMPRE, es decir, es el espacio muestral. Uió de sucesos: ocurre u suceso O el otro. Itersecció de sucesos: ocurre u suceso Y el otro. Diferecia de sucesos: ocurre u suceso Y NO ocurre el otro. Complemetario de u suceso: NO ocurre el suceso. Sucesos icompatibles: sucesos que o puede ocurrir al mismo tiempo. La probabilidad siempre va de 0 a 1. La probabilidad del suceso imposible es 0, y la del espacio muestral (suceso seguro) es 1. Fórmula de Laplace: P(A) = 2.- Probabilidad codicioada P(A c ) = 1 P(A) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) º de casos favorables º de casos posibles P(A/B) = P(A B) P(B) La probabilidad codicioada de A sobre B es la probabilidad de que ocurra A, si cosideramos que B es el uevo espacio muestral. P(A/B) = P(A) Los sucesos A y B so idepedietes si P(A B) = P(A) P(B). E ese caso: { P(B/A) = P(B)..- Probabilidad total Si se divide el espacio muestral e sucesos icompatibles, A 1, A 2,, A, etoces: 4.- Fórmula de Bayes P(B) = P(B/A 1 ) P(A 1 ) + P(B/A 2 ) P(A 2 ) + + P(B/A ) P(A ) Si se divide el espacio muestral e sucesos icompatibles, A 1, A 2,, A, etoces: P(A i /B) = P(B/A i ) P(A i ) P(B/A 1 ) P(A 1 ) + P(B/A 2 ) P(A 2 ) + + P(B/A ) P(A ) 21
Tema 16.- Distribucioes de probabilidad Variable discreta: se puede ecotrar dos posibles valores cosecutivos de la variable. Variable cotiua: etre dos posibles valores de la variable hay ifiitos posibles valores. 1.- Distribucioes de probabilidad de variable discreta A cada valor se le asocia su probabilidad (se puede represetar co u diagrama de barras). Media: μ = x i p i Variaza: σ 2 = (x i μ) 2 p i Desviació típica: σ = σ 2 1.1.- Distribució biomial U experimeto dicotómico cosiste e realizar u experimeto y ver si ocurre u suceso o o (éxito o fracaso). La probabilidad del éxito se expresa por p, y la del fracaso q = 1 p. La distribució biomial cosiste e realizar experimetos dicotómicos y cotar los éxitos. Se expresa B(, p). La fórmula de la probabilidad e ua distribució biomial es: P[x = k] = ( k ) pk q k ; media: μ = p; desviació típica: σ = pq 2.- Distribucioes de probabilidad de variable cotiua La fució de probabilidad o fució de desidad es ua fució que tiee la siguiete propiedad: la probabilidad de que la variable tome u valor etre a y b es igual al área que hay etre la fució y el eje X etre x = a y x = b. Por ello, esta fució NUNCA es egativa, y el área total que hay etre la fució de desidad y el eje X es 1. La fució de distribució es ua fució de probabilidad acumulada. A cada valor, a, le asocia la probabilidad de que la variable tome u valor meor o igual a a. Es decir, a cada valor, a, le asocia el área que hay etre la fució de desidad y el eje X desde su comiezo hasta x = a. 2.1.- Distribució ormal Su fució de desidad es ua campaa de Gauss, más acha o estrecha y más alta o baja depediedo de su media y su desviació típica. Se expresa N(μ, σ). Cuado la media es 0 y la desviació típica es 1, teemos la distribució ormal típica. Para calcular probabilidades e N(0,1), se usa ua tabla dode a partir de k, da φ(k) = P[z k], siedo k 0. Si se quiere calcular todo tipo de probabilidades, hay que teer e cueta que: P[z k] = φ(k) P[z k] = 1 φ(k) P[z k] = P[z k] = 1 φ(k) P[z k] = P[z k] = φ(k) Para calcular probabilidades e ua distribució ormal cualquiera, hay que tipificar la variable: a μ b μ P[a x b] = P [ z σ σ ] 22