3 SERIES DE FOURIER DE SENOS Y DE COSENOS Es clro que: Si f SC[-,] es u fució pr, etoces (9) fx ( ) = + cosx, (CM) SERIE DE FOURIER DE COSENOS (SFC) = co () = f(x)cosxdx, =,,,3, Si f SC[-,] es u fució impr, etoces () fx ( ) = b sex, (CM) SERIE DE FOURIER DE SENOS (SFS) = co () b = f ( x )se xdx, =,,3, Si f SC[,], etoces podemos costruir u SFC, si hcemos l extesió pr de f [-,]; y podemos costruir u SFS, pr l mism f, si hcemos l extesió impr de f [-,] Ejemplo 7 Dd l fució f(x)=x, <x<, hllr ls SFS y SFC de f(x) SO: ) SFC: Hcemos l extesió pr de f sobre [-,], que deotmos por f p extesió - periódic de f p sobre todo IR, l deotmos por F p, como lo muestr l Fig5 Figur 5 Extesió pr de u fució defiid e [,] 9
f p pr b = ; = x dx= 3 ; = x cos xdx= ( ), f ( x x x p x ) cos cos cos 3 cos = x + + 3 3 (CM) b) SFS: Hcemos l extesió impr de f sobre [-,], que deotmos por f i Por F i deotmos l extesió - periódic todo IR de f i Ver Fig 6 Figur 6 Extesió impr de u fució defiid e [,] 8 f i impr = ; b = = x xdx = 3, 3,,, 5 se, = 6,,, f ( x x x ) se se se3 se x se x i = x + + se x 8 + 3 + 5 + 3 3 3 3 5 (CM) EJERCICIOS 6 Hllr el desrrollo e SFC de l fució f(x)=sex, <x< Hllr el desrrollo e SFC de l fució f(x)=e x, <x< 3 Hllr el desrrollo e SFS de l fució f(x)=e x, <x< Hllr el desrrollo e SFS de l fució f(x)=cosx, <x< y usr este resultdo 3 5 7 pr demostrr que = 6 6 3
SF DE FUNCIONES DE PERIODO ARBITRARIO E l Itroducció vimos l ecesidd de poder expresr u fució f:[,] IR e l form x fx ( ) = c se, = dode los coeficietes c debe elegirse cuiddosmete No somos udces si os pltemos el mismo problem pr f e l form: x fx ( ) = c cos = Si embrgo, el problem ms importte es: Qué fucioes vlores reles puede escribirse e l form x x (3) fx ( ) = + cos + b se? = Cosideremos el espcio de ls fucioes SC[-,], > Sbemos (por ejercicio ddo) que x x x x (),cos,se,cos,se, form u cojuto OG Más ú, tl como e el cso =, ests fucioes so u bse pr SC[-,] Por lo tto, ls series socids CM e dicho espcio uego, por simple cmbio de escl sustituyedo x/ por x, teemos ls SF e SC[-,] de l form (3) co coeficietes ddos por: (5) x fx dx b x = ( )cos ; =,,, fx dx = ( )se =,,, Co los mismos rgumetos teriores, teemos SF e el espcio SC[,b]: x (6) fx b b x ( ) = + cos + se b co (7) = b x fx b b dx b b x = fx b b dx = ( )cos ; ( )se (pr, l fórmul vle pr =,,,;pr b, l fórmul vle pr =,,3,) 3
E muchs pliccioes prece fucioes τ- periódics Defiiedo ω =, τ obteemos (8) fx ( ) = + cosωx+ bseω x co τ τ (9) = f ( x )cos ωxdx ; b = f ( x )se ωxdx τ τ x, x< 3 Ejemplo 8 Hllr l SF de l fució f( x) = x, 3 x SO: Aplicdo ls fórmuls directmete, obteemos = f( x)cos xdx; b = f( x)sexdx Pero, del gráfico de F= extesió -periódic de f, result: = F( x)cos xdx; b = F( x) sexdx b, = 3,,, Pero, e [-,], F(x) x = xcos xdx, =,,, uego, = xdx=, = (( ) ), =,, fx ( ) = + (( ) )se x EJERCICOS 7, < x < Hllr el desrrollo e SF de l fució f(x)= x, < x<, < x < cuál l SF coverge e [-8,8] y trzr l gráfic l Hllr u SF que sólo coteg térmios seo y que CP l fució x- pr <x< 3
5 DESIGUADAD DE BESSE e IDENTIDAD DE PARSEVA DEFINICION 5 Si g(x) es u proximció de f(x) e [,b], etoces el error cudrático medio (ecm) de est proximció, está ddo por b (3) [ gx ( ) f( x) ] dx b Supogmos que g(x) es u poliomio trigoométrico de l form: p gx ( ) = + pcos x+ qse x+ + p cosx+ q sex Mostrremos que pr cd, eligiedo los coeficietes de Fourier de f,,,, b, b,, b, obteemos el ecm míimo (E ), l proximr f SC[-,] por g(x) E efecto, cosideremos el error cudrático totl : [ ( ) ( )] gx fx dx = p p x q x f x dx + + + cos cos ( ) p p cos x pf( x) pf( x)cos x f( x) dx = + + + + [ ] Omitimos los térmios de l form p cosmxq se sx pues su itegrl sobre [-,] es ul Itegrdo los térmios p [ ( ) ( )] gx fx dx= m, p,y grupdo, p = [ fx ( )] dx+ p f( x) dx + p p f( x)cos xdx + + q q f( x)sexdx s Miimicemos est expresió: El térmio e p es u fució cudrátic e p (prábol covex) Por lo tto, el míimo se lcz dode l derivd (co respecto p ), se ul Es decir, p f( x) dx= p = f( x) dx Aálogmete pr p : p f( x)cos xdx= p = f( x)cos xdx y sí sucesivmetep,, p ; q b 33
Por lo tto, los coeficietes de Fourier de f d el E N uego, E = [ s( x) f( x) ] dx, dode s N (x) es l -ésim sum prcil de l SF de f uego, tomdo p =, p =,etc E = [ f( x) ] + + b + + + b Como el error cudrático totl es positivo, etoces E, y sí obteemos l expresió: b b f x dx, (3) + + + + + [ ( ) ] coocid como DESIGUADAD DE BESSE Est desiguldd implic que b + + = coverge (se trt de u serie de térmios positivos cuys sums prciles form u sucesió cotd) De hecho, lím E =, lo que equivle firmr que: (3) [, ], [ ( )] f SC f x dx= + + b expresió coocid como IDENTIDAD DE PARSEVA = EJERCICIOS 8 Se f(x)=-x, <x<, - periódic sex ) Hllr el error cudrático totl l proximr f por S =se x+ + y evlúe pr =,,3 b) Gráficmete, muestre que y= sex e y=3sex d errores cudráticos totles myores que y=sex, l proximr f e [,] c) Gráficmete, muestre que y=sex+sex e y=sex+/sex d errores cudráticos totles myores que y=sex+sex, l proximr f e [,] d) Usdo l idetidd de Prsevl muestre que = + + + 6 3