Aproximándonos despacio al número π

Transcripción

1 evist de Istituto de Mteáti y Físi. Año N Diiebre 008 Aproxiádoos despio úero π Gero Cstio G. Istituto de Mteáti y Físi Uiversidd de T Este rtíuo trt de deterir vores proxidos úero π udo os períetros de poígoos regures isritos y irusritos e u iruferei de rdio (se podrí tor si perder geeridd ). E úero π resut de uoiete etre e períetro de u iruferei y su diáetro. otió π segú histori fue usd por prier vez por e teátio gés Wii Joes e 706 y popurizd por eohrd Euer e su obr Itroduió Cáuo Ifiitesi. E teátio eá de orige frés Joh Heirih bert rededor de 76 deostró que se trtb de u úero irrio es deir o se puede expresr oo e uoiete etre dos úeros eteros; e e Sigo XIX otro teátio eá Ferdird ider probó que er trsedete es deir o es ríz de igú poioio o oefiietes eteros. Estos hehos errro posibiidd de obteer π oo u ifr ext y que udrtur de íruo o tiee souió. Es u de s osttes que ás se repite e euioes de físi por eso despiert gr iterés e os teátios y fiiodos. eordeos que e períetro de u poígoo regur isrito debe ser eor que e períetro de iruferei respetiv y que e períetro de ést úti debe ser tbié eor que de u poígoo irusrito. Esto ev s siguietes desiguddes: pk < π < Pk k () Figur dode es e rdio de iruferei p k y P k so os períetros de os poígoos isrito y irusrito respetivete. Correo eetróio: gsti@ut. Uiversidd de T 6

2 evist de Istituto de Mteáti y Físi. Año N Diiebre 008 Desigreos e o que sigue por AB segeto que ue e puto A o B; AB deotrá ogitud de diho segeto. Tbié represetreos por y s ogitudes de u do de os poígoos isritos y irusritos e u iruferei de rdio respetivete. Ahor vos busr reioes etre tods ests gitudes. Supogos que ooeos ogitud óo psr ogitud? Observdo figur djut si AB y C es itd de ro AB etoes AC. Por reió pitgóri OE y por o tto Figur AC De dode ( ) () Si se trt de u triáguo equiátero uyo do ide ; si es u udrdo o do ; udo es u petágoo regur de do 0. Por ejepo usr fóru () pr de petágoo regur obteeos: Uiversidd de T 7

3 evist de Istituto de Mteáti y Físi. Año N Diiebre 008 Uiversidd de T 8 y sí suesivete. Pr todos os sos otos que e ríz o sigo eos pree u suesió reursiv de tipo u ostte positiv Sus utro prieros térios so:. No es t opido oprobr que edid que ree y ree si íite etoes se proxi idepediete de vor que e sigeos prier tério > 0. E prtiur pr e petágoo regur o u udor de bosio se euetr que: Siguiedo o e petágoo y est suesió ; podeos esribir: M E geer pr u poígoo regur de dos podeos defiir.

4 evist de Istituto de Mteáti y Físi. Año N Diiebre 008 Dode y pr. Pr usr fóru priero debe deidir o se e úero de dos de poígoo regur iii segudo ur orrespodiete do por. Pr obteer u ot superior de ogitud de u iruferei busreos u fóru pr deterir ogitud de u poígoo regur irusrito. E Figur supogos que AB es ogitud de do de poígoo regur isrito e iruferei de rdio y CD de irusrito respetivo. De os triáguos seejtes OAE y OCF se tiee CF AE OF OE Dode Es deir despejdo _ OE Figur CF AE OF.. Coo dijo u estro de ostruió vos oretdo... Si teeos u poígoo regur isrito de dos etoes os períetros tto de isrito oo e irusrito será: p P Uiversidd de T 9

5 evist de Istituto de Mteáti y Físi. Año N Diiebre 008 Por desigudd () que se euetr iiio de ests ots se obtiee < π < es deir e úero π qued etrpdo oo sigue < π <. Así oo o perfeto o es sióio de o bueo tpoo o efiiete es sióio de o heroso. A pesr de iefiiei vos tor y 7 o se prtios o u petágoo de do 0 o y e poígoo regures es de 6٠ 7 60 dos sóo pr ostrr os vores etre os que se euetr e úero π de uerdo úti desigudd. Después de usr u udor jubid y que h sufrido vrios te-errdos se obtiee que 606 < π < Otro ejepo es e so de hexágoo quí 6 y.todo 8 se obtiee y p.8686 P De tods ers rvi e óo o pudo her Arquíedes udo s udors se b ábos. Debe ser difíi por o deir iposibe dibujr u poígoo de 6 dos úero que e teáti es d is. Quie teg u udor de yor pidd resoutiv o o yud por ejepo de Exe puede itetr o otros poígoos ( diferete) y de yor vor pr obteer ejores proxiioes de π. 6 8 Bibiogrfí [] Cours de Géoétrie pr ue réuio de professeurs ige Prís 98. Uiversidd de T 0