UNIVERSIDAD AUTONÓMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE CIENCIAS DE LA TIERRA LA TESIS

Transcripción

1 Capítulo UNIVERSIDAD AUTONÓMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE CIENCIAS DE LA TIERRA LA TESIS ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL PARA CORRELACIONAR DATOS DEL VALOR b EN CATÁLOGOS DE SISMICIDAD, OBTENIDOS CON DOS TÉCNICAS QUE PRESENTA ERNESTO GUADALUPE LÓPEZ BRICEÑO HA SIDO ACEPTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL TÍTULO DE INGENIERO GEOFÍSICO Vo. Bo. Drector de Ttulacó Vo. Bo. Asesor Dr. Jua Carlos Motalvo Arreta Dr. Fco. Ramó Zúñga Dávla-Madrd LINARES, NUEVO LEÓN FEBRERO

2 Capítulo RESUMEN El terés de los vestgadores sobre la posbldad de proostcar efectos de evetos sísmcos ha do aumetado debdo a los graves daños que estos feómeos puede causar, como lo evdeca los casos recetes e Hatí y Chle (). Para la Ssmología Estadístca so objetvos prmordales lo relacoado co el pelgro y el resgo sísmco. Detro de éste tema, u parámetro muy mportate es el coocdo como valor b, que está defdo por la relacó Guteberg Rchter. Dcha relacó represeta el úmero de evetos acumulados (N) co respecto a las magtudes (M). Este es u parámetro básco e cualquer cálculo de probabldad de ocurreca de u ssmo de certa magtud, pero su cálculo esta sujeto a certdumbre ocasoada por varos factores (estacoes sísmcas atguas y falta de datos), por lo cual los cálculos para dseñar estructuras ssmorresstetes se puede ver seramete afectados. U parámetro crucal e el cálculo del valor b es la magtud míma de complettud (Mc). Exste varos métodos para el cálculo de dcho parámetro, etre los más robustos se ecuetra el Método de rago total de magtudes (EMR) y el Método de mejor combacó (BC), los que so abordados e el presete trabajo. E este estudo se muestra resultados de u aálss de regresó leal co el objeto de evaluar el comportameto de los métodos. Debdo a que el método EMR requere de u mayor tempo de cómputo, se espera ecotrar ua relacó leal que explque su varabldad e fucó del regresor aleatoro que e este caso será el resultado del método BC. Se pretede mostrar las vetajas y posbles causas de error sstemátco s se emplea el método BC e susttucó del EMR. Como ua vestgacó extra, se habla respecto a la ssmcdad e el oreste de Méxco, co el propósto de motvar a estudates e vestgadores a realzar estudos detallados e ésta zoa.

3 Capítulo ABSTRACT The terest of researchers o the possblty of predctg effects of sesmc evets has bee creasg due to the damage that these evets may cause, as evdeced by recet cases Hat ad Chle (). For Statstcal Sesmology frst order objectves are those related to sesmc hazard ad rsk. Wth ths theme, a very mportat parameter s the so called "b value", whch s defed by the Guteberg Rchter relatoshp. Ths relatoshp represets the accumulated umber of evets (N) wth respect to the magtudes (M). Ths s a basc parameter ay calculato of probablty of occurrece of a earthquake of certa magtude, but ts calculato s subjected to ucertaty caused by several factors (old sesmc statos ad lack of data), so calculatos for desgg earthquake resstat structures ca be serously affected. A crucal parameter calculatg the b value s the mmum magtude of completeess (Mc). There are several methods for calculatg ths parameter, the most robust are the "etre magtude rage method (EMR) " ad the "best combato method (BC)", whch are addressed ths paper. I ths study we preset results of a lear regresso aalyss to evaluate the behavor of the methods. Because the EMR method requres more computato tme, we expect to fd a lear relatoshp to expla ts varablty depedg o the radom regressor, ths case, the result of the BC method. We ted to show the advatages ad possble causes of systematc error f BC method s used place of EMR. As a addtoal pot of research, we talk about the sesmcty ortheaster Mexco, order to motvate studets ad researchers to perform detaled studes ths area.

4 Capítulo. INTRODUCCIÓN.. GENERALIDADES La estadístca asume u papel mportate detro del campo de cecas de la Terra, debdo a que e muchos casos los parámetros de terés o puede o fue mposble evaluarlos de forma determsta por la complejdad del plaeta. Por cosguete, ésta herrameta es fudametal tato para modelar datos, terpretar formacó y hasta predecr feómeos. Ua técca estadístca utlzada frecuetemete es el aálss de regresó leal, se podría decr que hasta es la más utlzada, debdo a que los modelos leales so ua explcacó smplfcada de la realdad, mucho más ágl y co u soporte teórco por parte de la matemátca y la estadístca mucho más exteso a los que se puede recurrr para smular dferetes procesos, s cumple co alguas codcoes. El aálss de regresó es ua técca estadístca para vestgar y modelar la relacó etre varables. Las aplcacoes so múltples, ya que exste e cas cualquer campo, cluyedo geería, cecas físcas y químcas, ecoomía, admstracó, cecas bológcas y e las cecas socales. El térmo regresó fue utlzado por prmera vez e u estudo realzado por Fracs Galto sobre varables atropométrcas e 889, al comparar la estatura de padres e hjos, resultó que los hjos cuyos padres teía ua estatura superor al valor medo tedía a gualarse a este; metras que aquellos cuyos padres era muy bajos, tedía a reducr su dfereca respecto a la estatura meda; es decr, regresaba al promedo. El térmo leal es utlzado para dstgur de las demás téccas de regresó, que emplea modelos basados e cualquer fucó matemátca, como por ejemplo cuadrátcas, cúbcas, expoecales, etc.

5 Capítulo Uo de los métodos más empleados para defr el modelo (ecuacó leal) de regresó es el método de mímos cuadrados, él cual fue propuesto por Legedre e 85 y Gauss e 89. El termo mímos cuadrados provee de la descrpcó dada por Legedre modres carrés. Como se mecoó, ésta técca tee múltples usos detro del campo cetífco, y e ssmología su uso es muy exteso. El térmo ssmología provee del grego sesmos (terremoto) y loga (estudo de). El estudo de los terremotos se puede efocar prcpalmete a tres aspectos: (a) la fuete sísmca, (b) trayectora de las odas y (c) los efectos e la superfce, mejor coocdos como la respuesta del sto. De acuerdo co los efectos expermetados a lo largo de tempo, exste regoes o áreas dode se ha realzado dversos estudos de detalle para eteder los tres aspectos mecoados aterormete, ejemplos de esto so: la Cudad de Méxco, Los Ágeles, Sa Fracsco e los EE.UU., Kobe e Japó; así como otras cudades mportates ubcadas detro del llamado Cturó de Fuego que correspode a las froteras de las placas tectócas e dode es prepoderate el proceso de subduccó y que se ecuetra crcudado el Océao Pacífco, prcpalmete. Ua de las característcas de estos estudos ha sdo la de aalzar y cuatfcar la respuesta sísmca y daños asocados a terremotos que se ha presetado. S embargo, es todavía poco el trabajo realzado e toro a las varacoes estadístcas e certdumbres e parámetros tales como la eergía lberada, las dstrbucoes fractales y el esfuerzo... ANTECEDENTES E la Ssmología, u tema cetral es la evaluacó del mpacto de los ssmos e la vda humaa, por lo tato, es prepoderate teer ua estmacó del resgo sísmco para todas las regoes de u país. La estadístca es ua herrameta dspesable, tato para hacer u estmado de ocurreca de evetos e el tempo como para propoer posbles perodos de recurreca, y para efectuar modelacoes. Pero debdo a la falta de datos por careca de estacoes sísmcas, estas predccoes está sujetas a grades

6 Capítulo certdumbres; s embargo, detro de certo grado de cofaza (acotados co métodos estadístcos, e formacó de catálogos sísmcos y geológcos) puede llegar a ser aceptables. Por ejemplo, zoas cosderadas asísmcas erróeamete, puede repercutr e los cálculos estadístcos sobre la posble ocurreca de u eveto, debdo a que o se cueta co u cotrol real de la actvdad hstórca, por auseca de redes sísmcas e la zoa. Debdo a estudos recetes, a partr de datos de catálogos de ssmcdad bastate completos (Servco Ssmológco Nacoal, Nacoal Earthquake Iformato Ceter de los E.U., Iteracoal Sesmologcal Cetre e el R.U., etc.) se ha poddo hacer observacoes sobre el comportameto de los ssmos, y co esto desarrollar dferetes metodologías cofables para el cálculo de predccó y resgo sísmco. La mportaca del proóstco de terremotos recae e la ecesdad de reducr el resgo de estos evetos aturales vía la costruccó de edfcos más resstetes, a partr de detfcar regoes propesas a temblores y la estmacó de la ocurreca de estos y los efectos podría geerar (Ste y Wysesso, 3). E geeral se cosdera ua predccó sísmca formal a aquélla e la que se dca el tempo, sto (co la profuddad) y la dmesó (magtud) del eveto por ocurrr, cluyedo co todos estos parámetros ua dcacó del error o la certdumbre e cada valor dado. El tempo de ocurreca se proporcoa como u tervalo e el que exsta la probabldad de que suceda u eveto y se debe especfcar los métodos empleados como la justfcacó de los msmos (Zúñga, 99). Es de gra mportaca profudzar sobre el tema de predccó sísmca, debdo a que es sabdo lo devastadores que puede ser estos feómeos y de todas las vdas que puede costar o alertar a la poblacó; casos recetes Hatí y Chle e. Por lo que es ua prordad para los ssmólogos realzar estmacoes adecuadas de la ocurreca de ssmos para evaluar el pelgro asocado e zoas susceptbles a estos evetos.

7 Capítulo Para hacer ua estmacó aceptable sobre predccó sísmca es ecesaro coocer de maera detallada el etoro ssmotectóco, la dámca de deformacó exstete y a partr de esto estmar el tempo ecesaro e el cual la acumulacó de esfuerzos sobrepase el lmte de frccó causado rompmetos e la corteza co magtudes sgfcatvas capaces de causar severos daños a cetros urbaos. Esto se lleva a cabo a través de estudos determístcos, es decr, realzar u estudo cocetrádose e el mecasmo físco del eveto, tratado de determar todos y cada uo de los parámetros volucrados e él, de maera que al coocer el feómeo a fodo se pueda determar la ocurreca futura. Pero debdo a la complejdad de la estructura tera del plaeta puede o ser vable el predecr co ua certdumbre baja a los evetos sísmcos de maera global (Zúñga, 99). A causa de este problema, la herrameta más utlzada y aceptada es la estadístca, e partcular el aálss probablístco; es decr, la probabldad de ocurreca de u eveto. Ésta se establece tratado al feómeo como ua sere de ocurrecas de evetos e el tempo y sus característcas co ua dstrbucó a determarse. Se sabe que exste certos parámetros observables co u posble carácter predctvo; e cuato al proceso físco de u ssmo, certos feómeos relacoados co el esfuerzo al que está sometdas las rocas puede ser observados y alguos meddos ates de la ocurreca del terremoto, a éstos se les cooce como feómeos precursores. Ejemplos de éstos so: cambos e el campo eléctrco atural de las rocas, varacoes e el vel de agua de pozos, aormaldades e el comportameto amal, cambos e las emaacoes aturales de dversos gases tales como el radó, deformacó de la corteza (medda de dsttas formas, cluyedo varacoes e la aceleracó de la gravedad e la zoa), varacoes de temperatura e aguas subterráeas, cambos e la coloracó frarroja, etc., (Zúñga, 99). Otro tpo de feómeos que ha sdo de gra utldad para evaluar la posbldad de ua predccó, so las varacoes e espaco y tempo de alguos feómeos

8 Capítulo relacoados co la ssmcdad de ua zoa de terés. Etre éstos se ecuetra los llamados patroes de ssmcdad, los cuales se refere a los cambos que puede teer lugar e el úmero y característcas de los ssmos que ormalmete ocurre e ua zoa, y que se puede presetar co atcpacó a la ocurreca de u macrossmo. S embargo, el problema e este caso es determar cuál es el vel "ormal" de actvdad sísmca. Como es de esperarse, a lo largo del tempo ha habdo avaces, pero todavía se sgue presetado problemas debdo a falta de strumetacó como també mplemetacó de uevas metodologías que proporcoe resultados dsttos. Actualmete se sgue realzado estudos de predccó debdo a la gra mportaca que exste respecto a este tema, co el propósto de que e u futuro, debdo a que o es posble deteer la aturaleza de estos evetos tampoco cotrarrestar sus efectos, deje como posbldad el prever a la poblacó e zoas de pelgro causado por éstos feómeos.... Relacó Guteberg Rchter Muchos estudos de ssmcdad hace éfass al tema de predccó, debdo a su gra mportaca por el pelgro que podría represetar u eveto fuerte e ua zoa dode o se tega meddas de prevecó para ua catástrofe de tal magtud (Ste y Wysesso, 3). Los estudos de predccó y resgo sísmco descasa e el cocepto de autosmltud de los ssmos. U objeto auto smlar o auto semejate es e el que todo es exacta o aproxmadamete smlar a ua parte de s msmo (el feómeo es gual a todas las escalas). Éste cocepto es ua propedad de los fractales que se descrbe como objeto semgeométrco cuya estructura básca, fragmetada o rregular, se repte a dferetes escalas. El térmo fue propuesto por el matemátco Beoît Madelbrot e 975 y derva del latí fractus, que sgfca quebrado o fracturado. Muchas estructuras aturales so de tpo fractal.

9 Capítulo Esta dstrbucó auto smlar se preseta e forma escalada e orde descedete respecto a ssmos grades; es decr que para u eveto de certa magtud mayor, habrá otros de meor magtud e ua escala de úmero de evetos defda. Por ejemplo, para u ssmo de magtud 7 habrá de magtud 5, para uo de magtud 5 habrá de magtud 4 (s se tee u expoete de escalameto gual a.), y así sucesvamete debdo a que el escalameto aumeta expoecalmete; es decr, ua ley de escalameto o de potecas que de forma matemátca es llamada ZpF (Per Bak, 996).... Qué es el valor b? El proceso auto smlar de la dstrbucó de los ssmos queda defdo e la relacó Guteberg Rchter (944; G R) ó Ishmoto Ida (939) depededo la regó. Ésta relacó represeta a u escalameto de evetos co respecto a sus magtudes. La ecuacó G R esta represetada por: LogN a bm () Dode N es el úmero de evetos acumulados e ua regó para ua vetaa de tempo específca co magtudes guales o mayores a M. La costate b o valor b es la pedete de la dstrbucó de los ssmos e escala logarítmca de la dstrbucó G R, (se puede cosderar como el expoete de escalameto e la ley de potecas), la cual se ha demostrado que tee ua relacó drecta co el esfuerzo promedo para ua regó e partcular, o puede també verse como ua forma de cuatfcar el tamaño promedo de las rupturas (Wemer y Wyss, ). El valor b geeralmete es cercao a (Zúñga y Wyss, ). Valores de b > se relacoa co ua cocetracó de esfuerzos meores (Zúñga y Wyss, ; Wemer y Wyss 997) y vceversa. La costate a es ua medda del vel de ssmcdad o productvdad sísmca de la regó (Kossobokov et al, ), matemátcamete expresa el logartmo del úmero de ssmos co magtudes mayores a cero, es decr, el total esperado de evetos e la regó s se extrapola la relacó hasta las magtudes más pequeñas.

10 Capítulo E la fgura, se observa gráfcamete la relacó G R co u valor b. Teórcamete la dstrbucó de los ssmos debería verse de esta forma; es decr ua relacó logarítmca leal. Fgura : Relacó G R deal. Pero debdo a la falta de datos de ssmos pequeños (por auseca de redes) y por la poca ocurreca de ssmos grades, la dstrbucó de los ssmos pequeños tede a coverger e u puto determado y los grades a desestablzar la parte leal. Esto es presetado e la fgura. Fgura : Relacó G R como se preseta ormalmete.

11 Capítulo E la cual se observa u uevo parámetro; éste es coocdo como la magtud míma de complettud Mc debdo a que es la magtud a partr de la cual el catálogo se puede cosderar completo (cluye todos los evetos ocurrdos para esa magtud y mayores) y a partr de ahí se corta éste para ecotrar la parte leal que satsfaga a la relacó G R. Los ssmos que se ecuetra ecerrados co círculos rojos e la parte feror derecha y superor zquerda represeta los ssmos de magtudes mayores y meores respectvamete, e los cuales se observa que estos evetos desestablza la parte leal. Lo ateror se debe a que ssmos de magtudes grades ocurre de forma meos frecuete que los de magtudes pequeñas y éstos o alcaza a ser detectados. S embargo, teórcamete cosderado ua vetaa de tempo grade y cotado co ua gra red de estacoes ssmológcas capaces de detectar evetos pequeños, estos evetos debería ajustarse de forma leal, desafortuadamete e estas fechas o es posble. Exste otro problema que afecta la lealdad de los evetos, se refere a certos evetos poco estudados llamados ssmos caracterstcos. Estos evetos so ssmos de ua magtud preferecal que ocurre más frecuetemete de lo prevsto por la relacó G R. E la fgura 3 se muestra estos evetos ecerrados co u crculo rojo. Fgura 3: Vsualzacó de ssmos característcos.

12 Capítulo Este tpo de evetos afecta el cálculo del valor b y se ha observado que aú y cuado se toma e cueta ua vetaa de tempo grade, se sgue presetado. Debdo a esto, se ha propuesto modelos e los cuales se tome e cueta este tpo de feómeos, pero la valdez de dchos modelos sgue sedo o aprobados (Zoller, 8). A vel teórco el cocepto de auto smltud colleva a que el resultado del valor b debería ser estable a vel regoal ua vez que se cosdere u tervalo de tempo que cluya ua muestra sufcetemete completa de posbles ocurrecas de evetos de todas las magtudes. De otra forma, el valor b estmado a partr de u tempo sufcete (u catálogo completo), o debería cambar al aumetar el tamaño del catálogo co el tempo. Pero el cálculo del valor b depede de muchos factores (falta de datos, catálogos erróeos, etc.), lo que da lugar a que la certdumbre sea dfícl de evaluar.... Cómo se mde el valor b? Exste dos formas para calcular este parámetro.. Ajuste de mímos cuadrados.. Máxma verosmltud. Fgura 4: Cálculo del valor b medate mímos cuadrados

13 Capítulo E la fgura 4 se preseta el cálculo por mímos cuadrados. Esta forma de calcular el parámetro tee como vetajas el cotrol vsual de la varacó co pequeños ajustes, pero preseta como prcpales desvetajas la detfcacó del rago leal y las varacoes e la lealdad. La otra forma de calcular este parámetro es medate la relacó propuesta por Ak (965) que la determó sguedo el prcpo de Máxma Verosmltud o Máxma Posbldad, que es expresada e la sguete ecuacó: log ( e) b (.) [ M ( Mc Δ / ) ] M b E dode se represeta el úmero de Euler e, la magtud promedo M, la magtud míma de complettud o de corte Mc y mímo de magtud (lo más comú es que sea gual a.). Δ M b es la dmesó del tervalo Ahora be, ésta forma de calcular el valor b es más cofable que la forma del ajuste leal y tee como prcpal vetaja el cálculo sstemátco y objetvo del valor, pero sus desvetajas cosste e que depede de la magtud promedo M y de la magtud míma de complettud Mc. Ésta últma represeta u parámetro crucal para el cálculo del valor b. Exste varos métodos para el cálculo de dcho parámetro, etre los más robustos se ecuetra el Método de rago total de magtudes (EMR) y el Método de mejor combacó (BC), los cuales so abordados e el presete trabajo. E la fgura 5 se resume el método llamado EMR (Woesser y Wemer, 5), e el cual por debajo de la magtud Mc se usa la probabldad de que ua red detecte u eveto de certa magtud y por arrba de Mc se usa la ley de potecas co máxma

14 Capítulo verosmltud. Es el método más cofable, pero su procesameto podría tardar varas horas para u catálogo exteso. Fgura 5: Cálculo de Mc co el método EMR.

15 Capítulo E la fgura 6 se observa otra forma para el cálculo de Mc, que es medate el método de máxma curvatura MAXC o BC (Best Combato) (Wemer y Wyss, ). Este método se basa e ecotrar la Mc como el valor máxmo de la prmera dervada de la dstrbucó. Es bastate rápdo debdo a que calcula este parámetro e cuestó de mutos y cofable ya que posee M + 95% de ajuste leal, pero puede teer problemas cuado se trata de dstrbucoes que muestra ua curva suave. Fgura 6: Cálculo de Mc co el método BC

16 Capítulo Los métodos ates presetados so a los que se efocará éste trabajo, auque exste otros métodos para el cálculo de éste parámetro. Etre ellos está el método de Bodad de Ajuste a la Dstrbucó Frecueca Magtud GFT (Wemer y Wyss ; Kaga 3), y el método de Establdad del valor b cotra Mc (Cao y Gao, ; Marsa, 3), que ha mostrado ser meos cofables para todo tpo de datos (Woesser y Wemer, 5). Los métodos EMR y BC al parecer preseta ua correlacó e cuato al cálculo de la magtud míma de complettud Mc y por cosguete el cálculo del valor b. Por esta razó se aborda estos métodos e éste trabajo.... Trabajos prevos E el pasado, se ha estudado la ssmcdad caracterzado zoas e partcular. Cosderádolas de maera depedete se ha descudado otros argumetos, como detalles de la fuete sísmca o característcas de la eergía lberada por evetos mayores. Los catálogos sísmcos utlzados para caracterzar éstas zoas ssmogécas carece de homogeedad y dsta mucho de ser catálogos completos e el tervalo de magtudes cosderadas e geería. Adcoalmete las dferetes cosderacoes para determar las magtudes puede ducr sesgos e las estmacoes de resgo sísmco, por lo que es ecesaro realzar correccoes de magtud. E la fgura 7 se observa el mapa ssmotectóco de Méxco propuesto por la Comsó Federal de Electrcdad (CFE), e el cual se dvde el país e 4 seccoes.

17 Capítulo Fgura 7: Regoalzacó sísmca de Méxco Dode la zoa A es aquella dode o se tee regstros hstórcos de ssmos y dode las aceleracoes del terreo se espera meores al % de g. E la zoa D ocurre co frecueca temblores de gra magtud (M > 7) y las aceleracoes del terreo puede ser superores al 7% de g. Los veles de ssmcdad y de aceleracó propos de las zoas B y C está acotados por los valores correspodetes de A y D, los temblores grades so poco frecuetes (Zúñga y Guzmá, 994). E la mayoría de los trabajos de ssmcdad relacoados a predccó se ha dscutdo sobre la varabldad del valor b tato e escala local como regoal; Zúñga, Fgueroa y Suárez et al., (9) dscute sobre esta varacó y su relacó para actualzar la regoalzacó ssmotectóca de Méxco co fes de resgo sísmco e Méxco, ellos dscute además que so pocos lo trabajos dode se ha efocado el estudo de la varabldad del valor b co el tempo. La fgura 8 preseta u estudo posteror teedo como base el valor b, e el cual se da ua mejor perspectva acerca de la ssmcdad presete e uestro país, debdo a que éste parámetro muestra las dferetes característcas de las regoes defdas,

18 Capítulo utlzado dferetes métodos para su determacó y comparado los resultados co las observacoes de ssmos grades para cada regó delmtada. Fgura 8: Mapa ssmotectóco de Méxco (Zúñga, Fgueroa y Suárez, 9). Dode: SUB. Evetos de subduccó someros (h < 4 km) relacoados a acoplameto termedo. Zoa de trascó etre la covergeca placas Rvera Norte Amérca y la covergeca de las placas de Cocos y Norte Amérca. SUB. Evetos de subduccó someros (h < 4 km) relacoados a u fuerte acoplameto. Covergeca de las placas de Cocos Norte Amérca. SUB3. Evetos de subduccó someros (h < 4 km) relacoados a u fuerte acoplameto. Zoa de trascó e la covergeca de las placas de Cocos Norte Amérca. SUB4. Evetos de subduccó someros (h < 4 km) relacoados a u fuerte acoplameto. Covergeca de las placas de Cocos Carbe. IN. Evetos tra placa de profuddad termeda (4 km _ h < 8 km) para la zoa de la placa de Cocos. Extesó e profuddad de la zoa SUB. IN. Evetos tra placa de profuddad termeda (4 km _ h < 55 km). Zoa de trascó de la Placa de Cocos. IN3. Evetos tra placa de profuddad termeda (4 km _ h < 46 km) para la zoa de

19 Capítulo la placa de Cocos. Exteso e profuddad de la zoa SUB4. MVB. Evetos tra placa someros (placa Norte Amérca) (h < 5 km) e la zoa de Méxco Cetral. Provca de la Faja Volcáca Tras Mexcaa. NAM. Evetos tra placa someros (placa Norte Amérca) (h < 5 km) e la zoa Sur este de Méxco. No relacoada al régme volcáco de la provca MVB. BC. Evetos tra placa someros (placa del Pacífco) (h < km). Baja Calfora. BC. Evetos Itra placa (placas Pacfco Norte Amérca) someros (h < 5 km). Golfo de baja Calfora regó de Calfora. SMO. Evetos tra placa (placa Norte Amérca) someros (h < km). Provca de la Serra Madre. BAR. Evetos tra placa (placa Norte Amérca) someros (h < 5 km). Posble extesó de la provcas de Bas ad Rage del rft Río Grade. BB. Evetos tra placa (Norte Amérca) someros (h < 5 km). Provca de la cueca de Burgos. RIV. Evetos someros (h < 5 km) ter placa. Iterfaz de fallameto ormal Pacífco Rvera. RIV. Evetos someros (h < 5 km) terplaca. Iterfaz de fallameto Strke slp Pacfco Rvera. RIV3. Evetos someros (h < 5 km) ter placa. Acoplameto débl e la covergeca de las placas Rvera Norte Amérca. GMX. Evetos someros tra placa (Norte Amérca) (h < km). Provca del Golfo de Méxco. NAL. Ssmcdad escasa, zoa de fallameto somero. Co lo ateror es claramete observable que el valor b aporta mejor perspectva a la ssmcdad e el terrtoro estudado y puede ofrecer ua cofaza sgfcatva respecto a futuros proóstcos de evetos que podría afectar las actvdades y hasta la vda de la poblacó.... El valor b e el oreste de Méxco El oreste de Méxco durate mucho tempo se cosderó como ua zoa asísmca. S embargo, exste provcas e las cuales los esfuerzos acumulados so capaces de provocar evetos tato pequeños como medaos e cluso alguos muy fuertes, s be poco frecuetes e comparacó co las demás regoes de Méxco.

20 Capítulo Las provcas que prevalece al oreste de Méxco so: la Cueca de Burgos, el Rft de Río Grade, La Serra Madre Oretal y la Llaura Costera del Golfo, que abarca los estados de Nuevo Leó, Coahula, Zacatecas, Sa Lus Potosí, Chhuahua, Durago, Tamaulpas y el sur de Texas. Se usó ua complacó de evetos hstórcos para ésta zoa (Galvá y Motalvo, 8) y datos del Servco Ssmológco acoal (SSN), co el propósto de armar u catálogo lo más completo posble que arroje resultados cofables (estadístcamete) sobre la ssmcdad actual teedo como base la ssmcdad hstórca. E la fgura 9 se preseta el catálogo del SSN, agregado los datos hstórcos. E la cual se hace éfass al oreste de Méxco ecerrado e u polígoo de círculos rojos. Todos los evetos detro de él fuero utlzados para el cálculo. Fgura 9: Catálogo de Méxco (SSM) co los datos agregados de la complacó hstórca.

21 Capítulo E la fgura se observa de forma clara la ssmcdad del oreste de Méxco, que abarca fechas desde 9 hasta el 8. El cálculo del valor b de todos los evetos s hacer restrccoes e profuddad es de.84. E la fgura se preseta la relacó G R para esta zoa. Fgura : Ssmcdad e el oreste de Méxco.

22 Capítulo Fgura : Relacó G R para el oreste de Méxco s restrccoes (b.84). S embargo, es ecesaro hacer u aálss de forma mas detallada para obteer ua mejor perspectva de la ssmcdad presete y pasada; es decr, de cómo se ha comportado el valor b e el tempo. E la fgura se muestra el aálss cotra el tempo e setdo cotraro co respecto al tempo (esta metodología se explcará mas adelate). Se observa e ésta fgura que el resultado del valor b está e el lmte etre lo meos cofable y lo que a smple vsta parece estable (987). La establdad observada o es cofable, debdo a que este cálculo se hzo s hacer restrccoes de profuddad y de tempo, lo cual puede repercutr e los resultados. Auque se puede observar u gra período de establdad, el valor determado para ese perodo es de. lo cual es erróeo ya que esto dcaría que la ssmcdad e esta zoa es sumamete tesa y esto se debe a los problemas strumetales de deteccó e fechas atguas.

23 Capítulo Fgura : Relacó G R para el oreste de Méxco s restrccoes (b.84). Etoces u recálculo es presetado e la fgura 3, ahora hacedo restrccoes (fechas a partr de 988 y profuddades meores a 5 km) para u mejor resultado.

24 Capítulo Fgura 3: Relacó G R para el oreste de Méxco co restrccoes (b.88). E la fgura 3 o se observa mucha varacó ( b. 88 ) co respecto al resultado obtedo co la fgura para los tempos moderos, s embargo se cosdera que este resultado es más cofable debdo a que se hcero restrccoes que redujero el grado de error. Este valor b, se preseta e la fgura aproxmadamete etre las fechas de 988 y 989. Para calcular u estmado de recurreca o retoro de evetos es de prmordal mportaca coocer las costates a y b de la relacó G R, las cuales dcara el escalameto de los evetos. Coocedo éste parámetro y la vetaa de tempo e la cual se estmaro las costates, es posble calcular el tempo de retoro de evetos mayores a la magtud que seleccoemos. Los evetos mayores so los más preocupates y por lo tato a los que se les da más atecó. Para esta zoa, los ssmos mayores tee ua magtud alrededor de 4. Por lo tato, se estma el perodo de recurreca de evetos mayores a esta magtud. E

25 Capítulo la fgura 4 se muestra ua pequeña terfase creada e MATLAB para el software ZMAP (desarrollado por Zúñga y Fgueroa, 8), la cual calcula el perodo de recurreca de evetos. Fgura 4: Iterfase para recurreca sísmca. La terfase sólo tee como etrada el valor b, el valor a, la vetaa de tempo y la magtud de la cual se quere calcular la recurreca. Implíctamete el programa ecuetra el úmero de evetos co la relacó G R y posterormete evalúa el resultado para hacer el cálculo. Para este caso se susttuye las costates e la ecuacó N N ( *4) ( a b* M ) 3.63 lo cual proporcoa el úmero de evetos para M 4 estmados para ese tervalo de tempo, por lo que sólo se requere su verso para saber el tempo esperado por eveto:

26 Capítulo x x 6.6 El resultado dca que evetos de magtudes mayores a 4 ocurrría e el oreste de Méxco cada 6 años aproxmadamete (tasa de Posso). El oreste de Méxco, as como varas otras regoes, o es cosderado a últmos tempos ua zoa asísmca debdo a que las fallas e la regó so actvas y capaces de provocar cosderables daños s o se cueta co las meddas ecesaras. El valor b < es ua evdeca de lo ateror e dca ua acumulacó de esfuerzos lo sufcetemete grade para cambar la perspectva de lo que se pesaba de esta zoa, a pesar de que la frecueca de ocurreca de evetos mayores es mucho meor que lo que expermeta otras zoa del país, como la costa del Pacífco..3. OBJETIVOS El objetvo prcpal de este trabajo es el de ecotrar s exste la correlacó etre los métodos EMR y BC medate u aálss de regresó leal. Se pretede mostrar las vetajas y posbles causas de error sstemátco s se emplea el método BC e susttucó del EMR..4. METAS Profudzar e el aálss de regresó para de este modo llegar a u resultado sufcetemete cofable.

27 Capítulo Elaborar ua fucó e MATLAB co la cual realzar los cálculos ecesaros para este estudo, y posterormete aplcarla a futuros trabajos e que se requera su mplemetacó.. PROBLEMÁTICA S be, el cocepto de auto smltud a vel teórco dce que el valor b debería ser costate al cosderar u tervalo de tempo e el cual se cluya evetos sufcetes de todas las magtudes; es por esto que, al cosderar u valor b costate y observado la smltud de los resultados calculados por los métodos EMR y BC se podrá medr el grado de correlacó etre ambos depededo de la varacó que tega co respecto al valor b... PORQUE ESTOS DOS METODOS? Debdo a que estos métodos so los más robustos y calcula Mc co mayor precsó. El método EMR es el más cofable pero requere mucho tempo de cómputo y el método BC es mas rápdo, cofable para todo tamaño de muestra. Comparado ambos métodos co datos de catálogos stétcos co Mc cotra el tamaño de muestra se apreca que s exste esa correlacó aparete. E la fgura se observa dcha correlacó, y se alcaza a percbr ua subestmacó sstemátca de aproxmadamete.. Fgura 5: Comparacó de Metodologías cotra el tamaño de la muestra. Catálogo stétco co valor Mc (Woesser y Wemer, 5)

28 Capítulo 3. HIPÓTESIS Podemos utlzar el método BC + ua correccó para smular los resultados del método EMR. Correccó propuesta: b EMR b +. BC Woesser y Wemer (5) S embargo, queda la pregutas: la correlacó fucoará para todo el catálogo y para todos los catálogos?, Cuáles so las vetajas y posbles causas de u error sstemátco s se usa el método BC e lugar del EMR? 4. DATOS Y METODOLOGÍA Para este trabajo se cueta co catálogos ssmológcos de Méxco, Itala y Nueva Zelada complados por el Iteratoal Sesmologcal Cetre (ISC). Los datos co los que se dspoe so valores b calculados co el software ZMAP (Zúñga 994 y Wemer ). ZMAP es ua sere de subrutas programadas e MATLAB para aálss sstemátco de datos de ssmcdad y catálogos sísmcos. El catálogo ssmológco de uestro país tee regstrados datos de evetos desde 964 al 8 para mb y de 978 al 8 para Ms ; de gual maera se cueta co el catálogo de Itala co datos desde la fecha de 964 al 8 para mb y de 978 al 8 para Ms ; así como de Nueva Zelada desde 978 al 7 para mb y de 978 al 6 para Ms. Dode, mb y Ms so magtudes para odas de cuerpo y superfcales, respectvamete. Co estos evetos se da co al cálculo del valor b co ZMAP, resaltado el uso de los métodos EMR y BC debdo a que estos so a los que aborda este trabajo.

29 Capítulo E la fgura 6 se preseta la vetaa de co de ZMAP, e la cual es posble proporcoar parámetros para el aálss del catálogo. Para el cálculo de los datos del valor b, el catálogo de ssmcdad se revsa para evtar cambos drástcos aalzado las curvas de úmero acumulado de evetos cotra tempo. Se escoge u tempo cal y después se estma Mc co EMR y BC, y sus certdumbres por medo de u procedmeto boot strap. El catálogo se corta e Mc y se calcula el valor b co máxma verosmltud. Fgura 6: Vetaa cal de cotrol del catálogo. EQs catalog (evetos e el catálogo), Plot Bg Evet wth M> (grafca evetos grades co u símbolo e partcular), B Legth days (duracó e días etre evetos), Begg year (fecha de co de evetos), Edg year (fecha fal de evetos), Mmum Magtude (magtud míma cosderada), Maxmum Magtude (magtud máxma cosderada), M Depth (míma profuddad cosderada), Max Depth (máxma profuddad cosderada).

30 Capítulo El catálogo se aumeta e u año a partr de la fecha más atgua cofable y el proceso se repte (forward sese). Después se efectúa el msmo procedmeto pero e setdo cotraro, a partr de la fecha más recete (reverse sese). Pero debdo a que la strumetacó e épocas atguas era meos cofable, es probable que se muestre más grado de certdumbre co respecto a los datos recetes. E la fgura 7 se observa ejemplos del proceso haca adelate (forward sese) y haca atrás (reverse sese), esto aporta ua perspectva clara respecto a la cofabldad de los cálculos. Fgura 7: Dreccó de cremeto del catálogo (forward sese, arrba) (reverse sese, abajo), Itala Ms. Se ha propuesto que es mejor efectuar el aálss e tempo de los datos más recetes y o de la forma usual (de los más atguos haca los más recetes), porque de esta forma sempre se cluye la mayor caldad de formacó, auque el efectuar el aálss de ambas formas podría dar u mayor susteto a las coclusoes.

31 Capítulo Etoces, por lo mecoado aterormete para este trabajo se utlzó el setdo haca atrás (reverse sese), para mayor cofabldad de los datos. E la fgura 8, se compara los datos del catálogo de Méxco de EMR cotra BC hacedo el aálss de tempo a partr de los datos más recetes. Se observa que exste ua correlacó etre ambos métodos, auque o es posble cofar e todo el catálogo ya que o se preserva a lo largo de él, solamete e alguas seccoes (parte plaa), debdo a la certdumbre de las fechas más atguas. Fgura 8: Comparacó del método BC (arrba) cotra el método EMR (abajo). La certdumbre observada e la fgura ateror da susteto a que el método EMR es más cofable que el BC y debdo a que tee ua tedeca smlar de valores b puede ser correlacoados y así ecotrar ua relacó leal etre ambos.

32 Capítulo El perodo de míma certdumbre es fácl de observar, se esperaría que estuvese e años recetes por la mejor caldad de formacó, s embargo o sempre es así por razoes varadas que o puede ser geeralzadas, auque e la mayoría de los catálogos muestra su mejor correlacó e la parte mas recete. La fgura 9 muestra ésta zoa de míma certdumbre de los métodos para el catálogo de Méxco, e la cual se observa que exste ua correlacó a smple vsta. Fgura 9: Correlacó de ambos métodos para mejor detfcacó de la parte plaa. Co lo ateror se da co al aálss de regresó, e el cual se tetará ecotrar la correlacó etre los métodos y así poder llegar a la correccó esperada.

33 Capítulo 4.. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE El modelo empleado es el de regresó leal smple. Este modelo cosste e u solo regresor x que tee ua relacó co respuesta y, dode la relacó es ua líea recta. Este modelo de regresó leal smple es y β + β x + ε (4) dode la ordeada e el orge β y la pedete β so costates descoocdas, y ε es u compoete aleatoro de error. Se supoe que los errores tee promedo cero y varaza σ descoocda. Además, se suele supoer que los errores o está correlacoados. Esto quere decr que el valor de u error o depede del valor de cualquer otro error. Aclarado desde luego que, se espera ua respuesta y e fucó de x, esto es la respuesta del método EMR e fucó del BC, lo cual se podría escrbr de la sguete forma: EMR β + βbc + ε (4.) Se cosdera que el regresor x esta cotrolado por el aalsta de datos, y se puede medr co u error desprecable, metras que la respuesta y es ua varable aleatora. Co lo que exste ua dstrbucó de probabldades de y para cada valor posble de x. La meda de esta dstrbucó es y x β + β x (4.) E ( ) como se muestra e la fgura

34 Capítulo Fgura : Dstrbucoes de y para valores dados de x. Modelo homocedastco (varazas guales). y la varaza es Var ( y x) Var ( β β + ε ) + x (4.3) σ Como se observa e la fgura, para cada valor dado de x hay ua dstrbucó de probabldades de y. E el aálss de regresó leal smple, supoemos que los valores de x so costates, o valores de varables aleatoras, y que para cada valor de x la varable que se debe proostcar, y, preseta ua dstrbucó ormal. Nótese que las medas de todas las dstrbucoes de la fgura cae e la líea de regresó real y x β + β x. Además, se suele cosderar e el aálss de regresó leal smple E ( ) que la varaza es costate, es decr que preseta homocedastcdad. Así, la meda de y es ua fucó leal de x, auque la varaza de y o depede del valor de x. Además, como los errores o está correlacoados, las respuestas tampoco lo está.

35 Capítulo A los parámetros β y β se les suele llamar coefcetes de regresó. La pedete β es el cambo de la meda de la dstrbucó de y producdo por u cambo utaro e x. S el tervalo de los datos cluye a x, etoces la ordeada al orge β es la meda de la dstrbucó de la respuesta y cuado x. S o cluye al cero, β o tee terpretacó práctca Estmacó de β y β Los parámetros β y β so descoocdos, y se debe estmar co los datos de la muestra. Supoedo que hay pares de datos: ( y, x ), ( y, x ),... ( y, x ). Para estmar β y β se usa el método de mímos cuadrados (Legedre, 85; Gauss, 89), dode al estmar dchos parámetros la suma de los cuadrados de las dferecas (resduales) etre las observacoes ecuacó (4), se puede escrbr: y y la recta sea míma. Segú la y β + β + ε,,,., (4.4) x Se puede cosderar que la ecuacó (4) es u modelo poblacoal de regresó, metas que la ecuacó (4.4) es u modelo muestral de regresó. Así, el crtero de mímos cuadrados es: ( β ) ( β ) S β, y βx (4.5)

36 Capítulo Los estmadores, por mímos cuadrados, de β y β, que se desgara por β y β, debe satsfacer: ) (, y x S β β β β β ) (, x x y S β β β β β Se smplfca estas dos ecuacoes y se obtee: + x y β β + x y x x β β (4.6) Las ecuacoes aterores so llamadas ecuacoes ormales de mímos cuadrados. Su solucó es la sguete: x y β β (4.7) x x x y x y β (4.8) Dode _ y y _ x so los promedos de y y x, respectvamete. Por cosguete β y β e las ecuacoes (4.7) y (4.8) so los estmadores por mímos cuadrados. El modelo ajustado de la regresó leal smple es etoces: + x y β β (4.9)

37 Capítulo Ahora be, como la ecuacó (4.8) es la suma corregda de los cuadrados de las x y el umerador es la suma corregda de los productos cruzados de x y y, estas ecuacoes puede escrbrse de ua forma mas compacta de esta forma: xx x x x x S _ (4.) xy x x y x y x y S _ (4.) Etoces, ua forma cómoda de escrbr la ecuacó (4.8) es: xx xy S S β (4.) E la fgura se muestra el ajuste leal de las observacoes ( x, y ).

38 Capítulo Fgura : Regresó leal smple. La dfereca etre el valor observado y y el valor ajustado correspodete llama resdual; y como se mecoó aterormete, la suma de los cuadrados de las dferecas etre las observacoes y y la líea recta debe ser míma para que se cumpla el crtero de mímos cuadrados, o be la suma de los cuadrados de los resduales. Matemátcamete, el ésmo resdual es: y se e y y y β + β x,,,.., (4.3) Los resduales juega u muy mportate papel para vestgar la adecuacó del modelo ajustado, y para detectar dferecas respecto a las hpótess báscas Estmacó de σ

39 Capítulo Además de estmar β y β, se requere u estmado de σ para probar hpótess y formar estmados de tervalo pertetes al modelo de regresó. E el caso deal este estmado o debería depeder de la adecuacó del modelo ajustado, pero eso solo es posble s tuvéramos varas observacoes de y para al meos u valor de x o cuado se dspoe de formacó acerca de σ. Cuado o se puede usar este método, el estmado de cuadrados de error: σ se obtee de la suma de cuadrados de los resduales, o suma de SSrRe s e y y (4.4) Se puede deducr ua formula más cómoda para calcular SSr Re s susttuyedo y β + β x e la ecuacó ateror y smplfcado SS Re s y y β S xy (4.5) pero y y y _ y SS T (4.6) Es justo la suma de cuadrados corregda de las observacoes de la respuesta, por lo que: SS Re s SST β S xy (4.7)

40 Capítulo La suma de los cuadrados de los resduales tee grados de lbertad, porque los dos grados de lbertad se asoca co los estmados obteer y. Por lo que el estmador sesgado de σ es: β y β que se usa para SS σ MSRe s (4.8) Re s Debdo a que σ depede de la suma de los cuadrados de los resduales, cualquer volacó de las hpótess sobre los errores del modelo, o cualquer especfcacó equvocada de la forma del modelo puede dañar gravemete la utldad de σ como u estmado de σ. Como σ se calcula co los resduales del modelo de regresó, se dce que es u estmado de σ es depedete del modelo Pruebas de hpótess Co frecueca teresa probar hpótess y establecer tervalos de cofaza de los parámetros del modelo. Estos procedmetos requere hacer la hpótess adcoal de que los errores ε del modelo esté dstrbudos ormalmete. Así las hpótess completas so: que los errores esté dstrbudos de forma ormal e depedete, co meda y varaza σ, lo cual se abreva NID(, σ ). NID vee de ormally ad depedetly dstrbuted (dstrbudo ormal e depedetemete). U procedmeto que coduce a ua decsó sobre ua hpótess e partcular recbe el ombre de prueba de hpótess. S ésta formacó es cosstete co la hpótess, se cocluye que ésta es verdadera, de lo cotraro se llega a la coclusó de que es falsa. Se debe resaltar la verdad o falsedad de ua hpótess, debdo a que uca puede coocerse co certdumbre, a meos que se exame toda la poblacó.

41 Capítulo La hpótess ula H es la creeca a pror, es decr la afrmacó de ua característca de ua poblacó que se supoe es certa al co. Metras que la hpótess alteratva H es la afrmacó cotradctora a H. La hpótess ula se rechaza a favor de la alteratva o o se rachaza depededo de los resultados de la prueba. Etoces, las coclusoes posbles de u aálss de prueba de hpótess so: Rechazar o No rechazar H. erróeas: S embargo, este procedmeto de decsó puede coducros a coclusoes Error tpo : se defe como el rechazo de la hpótess ula H cuado ésta es verdadera. Error tpo : se defe como la aceptacó de la hpótess ula H cuado ésta es falsa. El vel de sgfcaca ayuda a determar la probabldad de cometer estos tpos de errores. A ese vel se le deoma co la letra α para el error tpo y la letra β para el tpo. Por ejemplo s se tuvera u vel de cofaza de 95% etoces el vel de sgfcaca sera de 5%, de gual maera para u vel de cofaza de 9% su vel de sgfcaca sera de %. Hay tpos de pruebas de hpótess:. Ua cola o ulateral (puede ser zquerda o derecha) α Fgura : Pruebas ulaterales zquerda y derecha.

42 Capítulo. Dos colas o blateral α / α / Fgura 3: Prueba blateral o de dos colas Uso de la prueba t studet Supogamos que se desea probar la hpótess que la pedete es gual a ua costate, por ejemplo β. Las hpótess correspodetes so H : β β : β β H (4.9) e dode se ha especfcado ua alteratva blateral. La defcó del estadístco t es t o β MS β Re s S xx (4.) que sgue ua dstrbucó t s es certa la hpótess ula H. La catdad de grados de lbertad asocados a t es gual a la catdad de grados de lbertad asocados co MS Re s. Así, la razó t es el estadístco co que se prueba H : β β. El procedmeto de prueba calcula t y compara su valor observado de acuerdo a la ecuacó (4.) co el puto porcetual α / (debdo a que se especfca ua alteratva blateral) superor de t de la dstrbucó ( t α /, ). Este procedmeto rechaza la hpótess ula s

43 Capítulo > t /, t α (4.) El deomador del estadístco t e la ecuacó (4.) se le llama co frecueca el error estádar estmado, o mas secllamete el error estádar de la pedete. Esto es: etoces: se MS Re s β (4.) S xx β β t (4.3) se β Pero debdo a que e este trabajo se requere ecotrar la relacó leal etre métodos, el motvo de la prueba sería estmar s la pedete de la recta es gual a. Etoces el estadístco t quedaría defdo como β t se β β t (4.4) se β També se puede hacer lo msmo para el error estádar de la ordeada al orge: t MS Re s β β x + se β S xx (4.5)

44 Capítulo Prueba de sgfcaca de regresó U caso muy mportate de la hpótess e la ecuacó del cálculo del estadístco t es el sguete: H H : β : β (4.6) Estas hpótess se relacoa co la sgfcaca de regresó. El o rechazar H mplca que o hay relacó leal etre x y y. E cambo s se rechaza H, eso mplca que x s tee valor para explcar la varabldad de y y por lo tato s hay relacó leal etre x y y, y podría equvaler a que el modelo de líea recta es adecuado, o que auque hay u efecto leal de x se podría obteer mejores resultados agregado térmos polomales e x. : El procedmeto de prueba para H β cosste ta solo e calcular el estadístco t y comparar su valor observado co el puto porcetual α / superor de t de la dstrbucó ( /, t α ). La hpótess de sgfcaca de regresó se rechazaría s t > tα /, Aálss de varaza També se puede usar el método de aálss de varaza para probar el sgfcado de la regresó. Este aálss se basa e ua partcó de la varabldad total de la varable y de respuesta. Para obteer esta partcó se comeza co la detdad

45 Capítulo y _ y _ y y y y (4.7) Se eleva los térmos al cuadrado y se suma para todas las observacoes y y y y + _ _ y y (4.8) El lado zquerdo de la ecuacó (4.8) es la suma corregda de cuadrados de las observacoes compoetes de SS T, que mde la varabldad total e las observacoes. Los dos SS T mde, respectvamete la catdad de varabldad e las observacoes y explcada por la líea de regresó, y la varacó resdual queda s explcar por la líea de regresó. Se observa que SS Re s y y ) ( es la suma de los cuadrados de los resduales o suma de los cuadrados del error de la ecuacó (4.4). Se acostumbra llamar a SS R ( y y la suma de los cuadrados de regresó. Se acostumbra escrbr _ ) SS T SS + SS (4.9) R Re s y se sabe que SS Re s SST β S xy, por lo tato la suma de cuadrados de regresó se puede calcular de la sguete forma: SS R β S xy (4.3)

46 Capítulo Ahora be se puede aplcar la prueba F ormal del aálss de varaza para probar la hpótess H β. De acuerdo a la defcó del estadístco F: : F SS / SS /( ) R R (4.3) Re s MS MS Re s dode MS R y MS Re s so los cuadrados medos de la regresó y de los resduales respectvamete; també, sgue ua dstrbucó F, y los valores esperados de estos cuadrados medos so: E ( MS σ Re s ) E( MS R ) σ + β S xx Estos cuadrados medos esperados dca que s es grade el valor observado de F, es probable que la pedete β Etoces para probar la hpótess H : β, se calcula el estadístco F y se rechaza H s: F α (4.3) > F,, Ahora be, exste ua relacó etre los estadístcos F y t : t β se β MS β / Re s S xx (4.33) Nótese que al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuacó se obtee:

47 Capítulo t β S βs xx xy MS R F MS Re s MS Re s MS Re s (4.34) por lo tato t (4.35) F Itervalos de cofaza de β, β y σ Es posble calcular los tervalos de cofaza de β, β y σ, dode el acho de dchos tervalos es ua medda de la caldad geeral de la recta de regresó. S los errores se dstrbuye e forma ormal e depedete, etoces la dstrbucó de muestreo tato de β β se β y β β se β es t, co grados de lbertad. Así, u tervalo de cofaza de ( α ) por ceto para la pedete β se determa co: β tα /, se β β β+ tα /, se β (4.36) y u tervalo de cofaza de ( α ) por ceto para la ordeada e el orge β es: β tα /, se β β β + tα /, se β (4.37)

48 Capítulo Estos tervalos de cofaza tee la terpretacó usual de frecueca, por lo tato s hubera que tomar muestras repetdas del msmo tamaño a los msmos valores de x, y formar por ejemplo tervalos de cofaza de 95% de la pedete para cada muestra, etoces el 95% de esos tervalos cotedrá el verdadero valor de β. S los errores está dstrbudos e forma ormal e depedete, la dstrbucó de muestreo de ( ) MS σ Re s / es j cuadrada, co grados de lbertad. Así, ( ) MS Re s P { χ α /, χα /, } α σ y e cosecueca, u tervalo de cofaza de ( α ) por ceto para σ es ( χ ) MSRe s ( ) MSRe s σ α /, χ α /, (4.38) Estmacó de tervalos de respuesta meda o lmtes de cofaza Ua aplcacó mportate de u modelo de regresó es estmar la respuesta meda, E (y) para determado valor de la varable regresora x. Sea x el valor, o vel de la varable regresora para el que se desea estmar la respuesta meda, es decr, ( y ) E x. Se supoe que x es cualquer valor de la varable regresora detro del

49 Capítulo tervalo de los datos orgales de x que se usaro para ajustar el modelo. U estmador sesgado de ( y ) sgue: E x se determa a partr del modelo ajustado como E ( y x ) μ y x β + β x (4.39) Para obteer u tervalo de cofaza de ( α ) % para E ( y ) x, se debe otar prmero que μ y x es ua varable aleatora ormalmete dstrbuda, porque es ua combacó leal de las observacoes y. La varaza de y x μ es _ σ σ ( x x) Var μ y x μ y x Var β + β x Var y ( x x) + + β (4.4) S xx ( y se sabe que la Cov y, β ). Así la dstrbucó de muestreo de MS μ Re s y x E( y x (/ + ( x _ ) x) / S xx ) (4.4) es t, co grados de lbertad. Por lo que u tervalo de cofaza de ( α) % para la respuesta meda e el puto x x es: ( x x) ( x x) μ y x t /, MSRe s + E( y x) y x + t /, MSRe s + α μ α (4.4) Sxx Sxx

50 Capítulo Fgura 4: Regresó leal smple y límtes de cofaza o de respuesta meda. cofaza. E la fgura 4 se muestra ua regresó leal smple co sus respectvos límtes de El acho del tervalo de cofaza para ( y ) E x es ua fucó de x. El acho del tervalo es u mímo para _ x _ x x, y crece a medda que aumeta x. Esto es razoable, porque cabra esperar que las mejores estmacoes de y se hace co los valores de x cerca del cetro de los datos, y que la precsó de la estmacó se redujera al moverse haca la frotera del espaco de x Predccó de uevas observacoes Ua aplcacó mportate de modelos de regresó es predecr uevas observacoes y que correspoda a u vel especfcado de la varable regresora x. S x es el valor de terés de la varable regresora, etoces

51 Capítulo y β + β x (4.4) es el estmado putual del uevo valor de la respuesta y. Se desarrollara u tervalo de cofaza para la observacó futura y. Nótese que la varable aleatora ψ y y tee ua dstrbucó ormal, co meda y varaza ( x Var( ψ ) Var( y y ) σ + + x) S xx _ porque la observacó futura y es depedete de y. S se usa y para predecr y, etoces el error estádar de ψ y y es el estadístco adecuado sobre el cual basar u tervalo de predccó. Así, el tervalo de predccó de ( α)% de cofaza para ua observacó futura e x es y t α /, MS Re s _ ( x x) + + y y + tα / S xx (4.43), MS Re s _ ( x x) + + S xx E la fgura 3 se muestra ua regresó leal smple, sus lmtes de cofaza y posterormete sus lmtes de predccó.