19. CÁLCULO DE VOLÚMENES: TERRAPLENES Y DESMONTES

Transcripción

1 9. CÁLCULO E OLÚMENES: TEAPLENES Y ESMONTES Sin embargo, las formas básicas, los espacios y las apariencias, eben ser lógicas. (Kenzo Tange) 9.. Generaliaes sobre el cálculo e volúmenes. Cenraremos la aención funamenalmene el cálculo e volúmenes en el cálculo e los volúmenes e movimienos e ierras eerminaos por los volúmenes e esmone y erraplén, ya que esos son los que funamenalmene abarca la isciplina e la opografía e obra, aunque nos eenremos para analizar el cálculo e volúmenes en general. Arquímees e Siracusa (c. 87 a.c. c. a.c.), que el fue el primer cienífico que buscó aplicaciones prácicas el conocimieno, personalmene no esaba más orgulloso e aber escubiero las leyes e la palanca o su famoso principio que e aber resuelo maemáicamene el cálculo el volumen e una esfera. Tomano una esfera, un cono reco y un cilinro circular reco, e al sieno las bases el cono y el cilinro un círculo máximo e la esfera y su alura el raio e esa, coró a las res figuras por un plano común, paralelo un plano angene que conuviera las bases e cilinro y cono, Figura 9., esuiano las secciones que el plano proucía en las res figuras. 453

2 Topografía en Obras e Arquiecura r Figura 9. En la esfera la sección es un círculo e raio (r), que esará en función el raio () e la esfera y e la isancia () enre el plano e core y cenro e la esfera, cuya relación esá eerminaa por: En el cono, el círculo que eermina la sección con el plano iene e raio la isancia () al vérice, pueso que por geomería el mismo ya que su alura es igual que el raio e su base. Y en el cilinro el raio e cualquier sección e un plano paralelo a su base será un círculo e raio () igual a la base. Calculano la superfices e la sección e la esfera (S e ), el cono (S k ) y el cilinro (S c ) enemos: r S e r S k S c Y como la sección el cilinro se puee expresar ambién así: S c ( r ) r Poemos inferir que la sección el cilinro es igual a la suma e las oras os secciones: 454 S S S c Exrapolano esa relación a un número infinio e secciones, es basane obvio que la relación enre el volumen e la semiesfera k e

3 Cálculo e volúmenes: erraplenes y esmones. 455 ( se ), el el cilinro ( c ) y el el cono ( k ) ienen la misma relación, en ese caso: k c se Expresano esa fórmula en función e los volúmenes conocios el cilinro y el cono, se puee escribir: se y por ano, finalmene, el volumen ( e ) e la esfera es: e Arquímees se convirió así anes que Newon o Leibniz en un precursor el cálculo inegral, uilizao para calcular volúmenes, ciano aquí, a moo e ejemplo y e omenaje a Arquímees el e la esfera, parieno e las coorenaas esféricas e los punos que esén el primer ocane, y muliplicano por 8 el resulao e su cálculo:,0,0 0,, ϕ θ ϕ θ S ϕ θ θ ϕ θ θ sen sen xyz S ϕ Es ese un ejemplo e cómo se puee eucir el volumen e un sólio esconocio, a parir e su relación geomérica con oros conocios, y que nos poemos enconrar en algún momeno, aunque, cieramene, no es muy frecuene la necesia el

4 Topografía en Obras e Arquiecura cálculo e volúmenes e figuras complicaas en rabajos e arquiecura. Siempre poremos recurrir a las fórmulas e cálculo e figuras geoméricas, o bien a los méoos que esarrollaremos a coninuación. Las aplicaciones más imporanes serán al cálculo e los volúmenes e movimienos e ierra, aunque veremos ambién algunas oras. 456

5 Cálculo e volúmenes: erraplenes y esmones. 9.. Cálculo e volúmenes e movimienos e ierras. Como emos viso en el ema anerior, ano la elaboración el perfil longiuinal como la e los perfiles ransversales el razao e una obra, esán ese el primer momeno ejecuaas enieno como uno e sus objeivos el cálculo e los volúmenes e movimieno e ierras, en función el esmone, o erreno que ay que excavar o rebajar y el erraplén, o erreno que ay que aporar como relleno, y que en obras e ingeniería lineales son eerminanes para la propia viabilia e la obra, y básicos para el cálculo económico e la misma así como para elaborar la programación e los rabajos, meiane el enominao iagrama e masas, que es la curva que busca el equilibrio para la economía e los movimienos e ierra, sieno asimismo el méoo que inica el senio el movimieno e los volúmenes excavaos, la cania y la localización a lo largo e la raza e la obra e caa uno e ellos. P-A T Figura 9.: Superficies e esmone y erraplén en un perfil ransversal. Si nos volvemos a fijar en la figura e un perfil ransversal, veremos que siempre se isingue enre la superficie e ese perfil que correspone a esmone () y a erraplen (T), Figura 9.., 457

6 Topografía en Obras e Arquiecura las superficies e las zonas e esmone y erraplén, serán el puno e paria para el cálculo el volumen enre perfiles, e acuero con el sisema que se funamene en el cálculo el volumen el prismoie. El prismoie, o prismaoie, es un sólio limiao por os caras planas y paralelas e forma cualquiera, llamaas bases, y por la superficie reglaa engenraa por una reca que se apoya en ambas bases. b B Figura 9.3: Prismoie. El volumen ( P ) el prismoie se eermina calculano previamene la superficie (S B ) y (S b ) e ambas bases, en función e la separación enre ellas () meiane la siguiene expresión: P ( SB S Aplicano ese principio, siempre poremos esablecer que enre os perfiles ransversales exise un prismoie cuyas bases son las superficies e esmone () o erraplén (T) e caa uno e ellos, y la isancia () su separación, al como se represena en la Figura 9.4, en la que (A ), (A ), son las superficies e los isinos perfiles, y () la isancia, en ese caso igual enre ellos. b ) 458

7 Cálculo e volúmenes: erraplenes y esmones. A A 3 A3 A 4 A 5 Figura 9.4. En ejemplo e la figura, para calcular el volumen oal e la excavación, calcularemos en primer lugar el volumen e los prismoies que se forman enre caa par e perfiles, sieno el volumen ( i ) e caa uno e ellos: i ( Ai Ai ) Sumano el volumen e oos los prismoies, enremos el volumen oal ( T ) e la excavación: T ( A A A3... An An ) [] 459

8 Topografía en Obras e Arquiecura 9.3. Cálculo e volúmenes enre os perfiles, ambos con esmone. Cuano el volumen enre os perfiles es sólo e esmone, el cálculo es la aplicación ireca e la fórmula el volumen el prismoie, sieno las secciones ( ) y ( ) las respecivas superficies e los perfiles, el volumen e esmone () enre ambos perfiles es: ( ) 460

9 Cálculo e volúmenes: erraplenes y esmones Cálculo e volúmenes enre os perfiles, ambos con erraplén. Cuano el volumen enre os perfiles es sólo e erraplén, el cálculo es similar al anerior, aplicano la fórmula el volumen el prismoie, sieno en ese caso las secciones (T ) y (T ) las respecivas superficies e los perfiles, el volumen e esmone (T) enre ambos perfiles es: T ( T T ) 46

10 Topografía en Obras e Arquiecura 9.5. Cálculo e volúmenes enre os perfiles, con esmone y erraplén. Para esablecer la fórmula e cálculo el esmone () y erraplén (T) enre os perfiles cuyas secciones sean una e esmone y ora e erraplén, Figura 9.5, esableceremos anes el valor e las superficies e los riángulos que se represenan en la misma figura. P-3 P-4 S S T Figura 9.5. Las superficies e los os riángulos que se forman son (S ) y (S ), y que represenan esquemáicamene el esmone y erraplén enre los perfiles iene el valor conocio e: S S Por oro lao, poemos esablecer una relación e semejanza enre los os riángulos, así como el que es suma e los os, enieno en cuena que la suma e ( ) y ( ) es la isancia parcial enre los perfiles (): 46

11 Cálculo e volúmenes: erraplenes y esmones. 463 e óne poemos obener los valores e ( ) y ( ), que susiuiremos en las expresiones que eerminan el área e los riángulos: S S Exrapolano los valores e las superficies e los riángulos, a valores e los volúmenes omólogos e esmone ( ) y erraplén ( T ), y consierano que las superficies respecivas e los perfiles en esmone y erraplén son () y (T), y que () es la isancia parcial enre ambos perfiles, enremos que el valor e caa uno e ellos será: T T T T

12 Topografía en Obras e Arquiecura 9.6. Cálculo e volúmenes enre perfiles mixos. Para calcular el volumen e esmone ( ) y erraplén ( T ) enre os perfiles, conenieno al menos uno e ellos en su sección, esmone y erraplén, Figura 9.6, eerminaremos el volumen e esmone y erraplén en os pares, e acuero con el siguiene méoo. P-7 P-8 a a T T ' Figura 9.6. En primer lugar calcularemos la isancia (a) ese el eje asa el puno e inersección el perfil el erreno con el plano e la rasane e la sección ipo el perfil, en el perfil que emos enominao mixo, es ecir que coniene esmone y erraplén en su sección, raslaano esa isancia al perfil con un solo ipo e sección, en ese caso e erraplén. A la isancia (a) razaremos una reca verical que iviirá la sección el seguno perfil en os pares, cuyo valor ( ) y ( ) calculamos inepenienemene, esas os pare sumaas suponen las sección oal (T ) e erraplén e ese perfil. Sieno las superficies el primer perfil () e esmone y (T ) e erraplén, el valor e esmone y erraplén el perfil venrá eerminao por el cálculo inepeniene e las os pares en que ivie (a) a ambos perfiles que llamaremos, pare ereca y pare izquiera, según la figura. El valor el volumen e esmone ( ) nos lo ará el cálculo e pare ereca el ramo, pueso que en la pare izquiera sólo ay erraplén, y su valor será: 464

13 Cálculo e volúmenes: erraplenes y esmones. 465 El valor el volumen e erraplén ( T ) será la suma el volumen e la pare ereca ( ) y el e la pare izquiera ( ), que cómo sólo es e erraplén, será : ( ) ' ' T T En el caso e que ambos perfiles sean mixos, iviiremos longiuinalmene el ramo enre perfiles, en anas pares como sea necesario para poer calcular por ese proceimieno los volúmenes e las pares iviias meiane las expresiones conocias.

14 Topografía en Obras e Arquiecura 9.7. Cálculo el volumen e excavación e un solar. Por regla general, las excavaciones e los solares corresponen al volumen e un sólio cuya base inferior es una poligonal conenia en un plano orizonal, sus parees planos vericales corresponienes a la poligonal, y la base superior una superficie poligonal, suyos laos serán las isancias naurales corresponienes a las isancias reucias e los laos e la poligonal que forma la base inferior, esano sus vérices a coas isinas. Sieno ese caso ípico, no necesiaremos uilizar el méoo e perfiles longiuinales y ransversales, que sí uilizaremos, sin embargo, en movimienos e ierras e solares que no responan a esa morfología. B B A B' A A' Z C' C C ' Figura 9.7. Sea pues, un solar cuya excavación se represena en la Figura 9.7, y efinio por la poligonal (ABC) comprenia enre sus cuaro esquinas. Conocieno la coa e fono e excavación (Z) eerminaremos las aluras ( A ), ( B ), ( C ) y ( ) que serán las iferencias enre las coas e sus vérices (Z A ), (Z B ), (Z C ) y (Z ), obenias meiane nivelación geomérica, calcularemos la alura meia () como meia e las aluras e sus vérices: 466

15 Cálculo e volúmenes: erraplenes y esmones. A B 4 C Sieno la superficie agraria el solar (S), el volumen () e la excavación será: S Meiane ese mismo sisema poemos calcular oros volúmenes análogos que se nos puean presenar en una obra e arquiecura, como puee ser el e un ormigón aligerao para formación e penienes en una cubiera, en el que consieraremos (Z) la coa e erminación el forjao sobre el que se apoya y las aluras ( A ), ( B ), ( C ), las e los vérices e caa falón, que calcularemos inepenienemene. 467

16 Topografía en Obras e Arquiecura 9.8. Cálculo e oros volúmenes. Como emos expresao al comienzo e ese ema, el cálculo e volúmenes en general consise en la escomposición el volumen a eerminar en volúmenes cuya eerminación nos sea posible, sieno el volumen resulane la suma o iferencia e los volúmenes consieraos, sieno esa una operación frecuene en las labores e proyeco, irección, conrol y ejecución e una obra. Hay sin embargo un méoo para calcular granes volúmenes, que se uiliza frecuenemene como puee ser el el cálculo e la capacia e un embalse, consierao como el volumen e agua conenio en un vaso opográfico, asimilable al cálculo el volumen e una colina, volúmenes ambos que poemos calcular sin necesia e la elaboración e perfiles, simplemene apoyánonos en el plano e curvas e nivel. El méoo consise en consierar la superficie que encierran las curvas e nivel y muliplicar esa por la equiisancia. La superficie encerraa en caa curva e nivel se eerminará meiane planímero, méoo especialmene inicao para ese ipo e superficies, sieno el cálculo el volumen oal el resulao e muliplicar la superficie e caa curva e nivel por la equiisancia, cuyo valor eerminará la precisión el méoo, corresponieno una mayor precisión a una menor equiisancia. La fórmula que se suele uilizar es la equivalenes a la que emos escrio para el cálculo oal e un volumen e una excavación [], expresánola en ese caso según: 468 e( A A A3... A n An ) Ya que emos susiuio la isancia () enre perfiles por la equiisancia (e) enre curvas e nivel, y las superficies (A ), (A ), (A 3 ),, (A n ) corresponerán a las e oas las curvas e nivel sumergias. Esa fórmula se puee moificar, para obener una mayor precisión en el cálculo, enieno en cuena que según ella nos falará una pequeña pare e volumen que es la comprenia enre la curva e nivel más baja y el fono el embalse sin

17 Cálculo e volúmenes: erraplenes y esmones. cubicar. Aemás e eso, normalmene la superficie el agua no coinciirá con una e las curvas e nivel, por ano conaremos la curva e nivel bajo el agua os veces, no conano la inmeiaamene superior, no sumergia, como es lógico. Así pues si añaimos una primea sección con valor nulo, y una ulima oble, enríamos que: e A A A... A ) ( 3 n En cualquier caso, las cifras resulanes e esos cálculos aolecen e precisión, y por ano siempre se suelen ar en uniaes muy alas y reoneaas, sieno la más abiual el ecómero cúbico ( Hm³0 6 m³). 469