Análisis de Una Variable

Transcripción

1 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Aálisis de Ua Variable Resume El procedimieto Aálisis de Ua Variable es uo de los pricipales procedimietos para aalizar ua sola columa de datos uméricos. Calcula estadísticas de resume, lleva a cabo pruebas de hipótesis, y crea ua variedad de gráficos. Los gráficos icluye gráfico de dispersió, histograma, gráfico de caja y bigotes, gráfico de cuatiles, gráfico de probabilidad ormal, desidad suavizada, gráfico de simetría. Las tablas icluye percetiles y diagrama de tallo y hojas. StatFolio de Ejemplo: oevar.sgp Datos de Ejemplo: El archivo bodytemp.sf3 cotiee datos que describe la temperatura corporal de ua muestra de = 130 persoas. Se obtuvo del Joural of Statistical Educatio Data Archive ( data_archive.html) y origialmete apareció e el Joural of the America Medical Associatio. A cotiuació se muestra las primeras 0 filas del archivo. Temperature (temperatura) Geder (géero) Heart Rate (ritmo cardiaco) 98.4 Male Male Female Female Male Male 7 99 Female Male Female Male Male Male Male Female Female Male Male Female Male Male por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 1

2 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Igreso de Datos Los datos a aalizar cosiste de ua sola columa umérica co = o más observacioes. Datos: columa umérica que cotiee los datos a resumir. Selecció: selecció de u subgrupo de datos. Resume del Aálisis El Resume del Aálisis muestra el úmero de observacioes e la columa de datos. Aálisis de Ua Variable - Temperature Datos/Variable: Temperature (degrees) 130 valores co rago desde 96.3 a Tambié se muestra el mayor y el meor de los valores. 005 por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable -

3 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Gráfico de Dispersió El gráfico de dispersió grafica cada valor de los datos. Gráfico de Dispersió Temperature Los valores de los datos se grafica a lo largo del eje horizotal. A lo largo del eje vertical, los putos se separa aleatoriamete hacia arriba o hacia abajo. Esto se hace para evitar que putos co igual valor se traslape. La catidad de separació se cotrola co el botó Separar e la barra de herramietas de aálisis: Reduciedo la catidad de separació Vertical se reducirá la catidad de distaciamieto aleatorio: 005 por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 3

4 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Gráfico de Dispersió Temperature Advierta que la ube de putos es más desa cerca del rago medio de temperatura y se hace meos desa e los valores superiores o iferiores. Tambié hay u puto a que parece algo extremo. Si hace clic sobre ese puto, verá que correspode a la fila #15 del archivo. 005 por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 4

5 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Resume Estadístico La vetaa del Resume Estadístico calcula u úmero de diferetes estadísticas que comúmete se usa para resumir ua muestra de observacioes: Resume Estadístico para Temperature Recueto 130 Promedio Mediaa 98.3 Moda 98.0 Media Geométrica Media Recortada 5% Media Wisorizada 5% Variaza Desviació Estádar Coeficiete de Variació % Error Estádar Sigma Wisorizada 5% DAM 0.5 Sbi Míimo 96.3 Máximo Rago 4.5 Cuartil Iferior 97.8 Cuartil Superior 98.7 Rago Itercuartílico 0.9 1/6 sextil /6 sextil 98.8 Rago Itersextil 1. Sesgo Sesgo Estadarizado Curtosis Curtosis Estadarizada Suma Suma de Cuadrados E6 La mayoría de las estadísticas cae e ua de tres categorías: 1. Medidas de tedecia cetral estadísticas que caracteriza el cetro de los datos.. Medidas de dispersió estadísticas que mide la dispersió de los datos. 3. Medidas de forma estadísticas que mide la forma de los datos co respecto a ua distribució ormal. Las estadísticas icluidas e la tabla se cotrola por las defiicioes de cofiguració e la vetaa Stats de la caja de diálogo Preferecias. Detro del procedimieto, se puede cambiar la selecció usado la Vetaa de Opcioes. El sigificado de cada estadística se muestra a cotiuació. Recueto el tamaño de la muestra, el úmero de estradas o faltates e la columa. Promedio o media aritmética (medida de tedecia cetral) - el cetro de masa de los datos, dado por: 005 por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 5

6 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 xi i= x = 1 (1) Mediaa (medida de tedecia cetral) - el valor de e medio cuado los datos se ordea de meor a mayor. Si es impar, la mediaa muestral es igual a x (0.5+/), dode x (i) represeta la i- ésima observació más pequeña. Si es par, la mediaa muestral es igual al promedio de los dos valores de e medio: x + x + ( / ) ( 1 / ) () Moda (medida de tedecia cetral) el valor del dato que se preseta co mayor frecuecia (si lo hubiera). Si igú valor se preseta co mayor frecuecia que cualquier otro, esta estadística o se calcula. Media Geométrica (medida de tedecia cetral) estima el cetro de los datos de acuerdo co = i 1 x i 1/ (3) Esta estadística se usa frecuetemete para datos que tiee u sesgo positivo, ya que estará más cerca del pico de la distribució que la media aritmética. Nota: esta estadística sólo está defiida para ua muestra de datos e la cual todos los valores so mayores que 0. El programa calcula la estadística promediado el logaritmo atural de los valores de los datos y tomado el atilogaritmo del resultado. Media Recortada e 100α% (medida de tedecia cetral) la media dela muestra después de remover ua fracció α de los valores de los datos más pequeños y la misma fracció de los mayores: ( ) r 1 x + x + x 1 = T ( α ) k ( r+ 1) ( r ) ( i) (1 α ) (4) i= r+ dode r = α y k = 1 ( α r ). Por omisió, STATGRAPHICS recorta 15% de cada extremo, auque este valor puede cambiarse usado las Opcioes de Vetaa. Media Wisorizada (medida de tedecia cetral) ua medida robusta que se obtiee calculado la media muestral después de haber remplazado co copias de x (r+1) y x (-r) los valores de los datos que se elimiaría e ua media recortada: T W = r 1 x i= r+ 1 ( i) + r [ x + x ] ( r+ 1) ( r) (5) La media trucada y la media Wisorizada so ambas meos afectada por valores extremos que la media aritmética. 005 por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 6

7 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Variaza (medida de dispersió) ua medida de la desviació cuadrada promedio alrededor de la media muestral: s = i= 1 ( x x) i 1 (6) Desviació Estádar (medida de dispersió) la raíz cuadrada de la variaza muestral: s = i= 1 ( x x) i 1 (7) Coeficiete de Variació o desviació estádar relativa (medida de dispersió) mide la magitud de la desviació estádar como u porcetaje de la media muestral de acuerdo co: s CV = 100 % (8) x Está defiida solo si x > 0. Error Estádar (medida de dispersió) el error estádar de la media: s s x = (9) Sigma Wisorizada e 100α% (medida de dispersió) ua estimació Wisorizada de variabilidad alrededor de la media Wisorizada: [ ] ( x T ) + r ( x T ) + ( x T ) r ( i) W ( r+ 1) W ( r ) W i= r+ 1 S = W (10) DAM la desviació absoluta mediaa: { x ~ x } ( r)( r 1) DAM = mediaa (11) i i Sbi (medida de dispersió) ua estimació basada e ua suma poderada de cuadrados alrededor de la mediaa muestral: 005 por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 7

8 dode S u bi i = ( x ~ i x ) ( 1 ui ) i= 1 ( 1 ui )( 1 5u i ) i= 1 4 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 (1) xi ~ x = (13) 9DAM Míimo - el valor del dato más pequeño x (1). Máximo - el valor del dato más grade x (). Rago (medida de dispersió) - el máximo meos el míimo: R = x () - x (1) (14) Cuartil Iferior - el 5 ọ percetil. Aproximadamete 5% de los valores de los datos estará por debajo de este valor. Cuartil Superior - el 75 ọ percetil. Aproximadamete 75% de los valores de los datos estará por debajo de este valor. Rago Itercuartílico (medida de dispersió) la distacia etre los cuartiles: RIC = cuartil superior cuartil iferior (15) 1/6 sextil (sextil iferior) - el ọ percetil. 5/6 sextil (sextil superior) - el ọ percetil. Rago Itersextil (medida de dispersió) - la distacia etre los sextiles: RIS = sextil superior sextil iferior (16) Sesgo (medida de forma) ua medida de asimetría calculada de acuerdo co: g 1 = i= 1 ( x x) ( 1)( ) s 3 i 3 (17) U valor cercao a 0 correspodería a ua muestra de datos casi simétrica. U sesgo positivo idica ua cola superior más larga que la iferior, mietras que u sesgo egativo idica ua cola iferior más larga. 005 por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 8

9 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Sesgo Estadarizado (medida de forma) - covierte la estadística de sesgo calculada ateriormete a u valor que tiee aproximadamete ua distribució ormal estádar e muestras grades: g1 z1 = (18) 6 / Al ivel de sigificacia del 5%, de podría declarar u sesgo sigificativo si z 1 cae fuera del itervalo (-, +). Curtosis (medida de forma) ua medida de lo relativamete picudo o plao comparado co ua curva co forma de campaa: g = 4 1 i i= 1 4 ( + ) ( x x) ( 1)( )( 3) s 3( 1) ( )( 3) U valor cercao a 0 correspodería a ua distribució ormal co forma casi de campaa. Ua curtosis positiva idica ua distribució que es más picuda e el cetro y tiee colas más largas que la ormal. Ua curtosis egativa idica ua distribució que es más aplaada que la ormal co colas más cortas. Esta medida geeralmete es relevate sólo para caracterizar muestras de datos simétricos. Curtosis Estadarizada (medida de forma) covierte la estadística curtosis calculada ateriormete a u valor que tiee aproximadamete ua distribució ormal estádar e muestras grades: (19) g z = (0) 4 / Al ivel de sigificacia del 5%, de podría declarar ua curtosis sigificativa si z cae fuera del itervalo (-, +). Suma - la suma de los valores de los datos. Suma de Cuadrados - la suma de los valores al cuadrado de los datos. Para los datos de temperatura corporal, todas las medidas de tedecia cetral so muy similares, como debiera ser si la temperatura corporal siguiera ua distribució simétrica tal como la ormal. El sesgo y la curtosis estadarizados está ambos etre - y +, idicado que o hay desviació sigificativa e forma co respecto a ua distribució ormal. 005 por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 9

10 Opcioes de Vetaa STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Seleccioe las estadísticas deseadas. Gráfico de Caja y Bigotes Esta vetaa preseta el gráfico de caja y bigotes. Gráfico de Caja y Bigotes Temperature Este gráfico se costruye de la siguiete forma: Se dibuja ua caja que se extieda desde el cuartil iferior de la muestra hasta el cuartil superior. Este es el itervalo cubierto por el 50% cetral de los valores de los datos cuado se ordea de meor a mayor. Se dibuja ua líea vertical e la mediaa (el valor de e medio). Si se solicita, u sigo de más se coloca e el lugar de la media muestral. 005 por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 10

11 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Los bigotes se dibuja desde los extremos de la caja hasta los valores míimo y máximo de los datos, a meos que haya valores iusualmete muy alejados de la caja (a los cuales Tukey llama putos extremos). Los putos extremos, que so putos a más de 1.5 veces el rago itercuartílico (acho de la caja) por arriba o por debajo de la caja, se idica por símbolos de señalamieto. Cualesquiera putos a más de 3 veces el rago itercuartílico por arriba o por debajo de la caja se les llama putos extremos lejaos, y se idica por símbolos de señalamieto co sigos de más superpuestos por arriba de ellos. Si hay presetes putos aberrates (extremos o extremos lejaos), los bigotes se dibuja a los valores máximo y míimo que o sea putos aberrates. El gráfico aterior para los datos de temperatura corporal es muy simétrico. El sigo de más para la media se ecuetra muy cerca de la líea para la mediaa, mietras que los bigotes so aproximadamete de igual logitud. Hay 3 putos extremos. Cuado se muestrea 130 observacioes de ua distribució ormal, se puede esperar que se presete putos extremos ta solo por azar como la mitad de las veces, pero geeralmete sólo uo o dos. Putos extremos lejaos, de los cuales o hay, se preseta de maera extremadamete rara. Opcioes de Vetaa Direcció: la orietació del gráfico, correspodiete a la direcció de los bigotes. Muesca sobre la Mediaa: si se seleccioa, se agregará ua muesca al gráfico que muestra u itervalo de cofiaza de aproximadamete 100(1-α)% para la mediaa al ivel de cofiaza por omisió del sistema (establecido e la pestaña Geeral de la caja de diálogo de las Preferecias e el meú Editar). Mostrar aberrates: si se seleccioa, idica la localizació de los putos extremos. Mostrar Media: si se seleccioa, muestra la localizació de la media muestral así como la mediaa. Ejemplo Gráfico de Caja y Bigotes co Muescas El siguiete gráfico muestra la adició de uas muescas a la mediaa a u ivel de cofiaza del 95%. 005 por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 11

12 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Gráfico de Caja y Bigotes Itervalos de cofiaza del 95% para la mediaa: [ , ] Temperature La muesca cubre el itervalo mediaa muestral 1.5( RIC) ± zα / (1) 1.35 dode RIC es el rago itercuartílico muestral, es el tamaño de la muestra, y z α/ es el valor crítico superior del (α/)% de ua distribució ormal estádar. La muesca, que va de aproximadamete a 98.44, provee de ua idicació del potecial error de muestreo e la mediaa, supoiedo que los datos so ua muestra aleatoria de ua població ormal. Advierta que este itervalo o cotiee el valor geeralmete citado para la temperatura corporal promedio del humao de por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 1

13 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Tabla de Frecuecias U método comú de resumir datos cuatitativos es costruir k itervalos que cubra el rago de los datos y luego calcular el úmero de observacioes que cae detro de cada itervalo. STATGRAPHICS preseta este tipo de tabla e la vetaa Tabla de Frecuecias: Tabla de Frecuecias para Temperature Límite Límite Frecuecia Frecuecia Frecuecia Clase Iferior Superior Puto Medio Frecuecia Relativa Acumulada Rel. Acum. meor o igual mayor de Media = Desviació Estádar = Esta tabla está viculada co el Histograma de Frecuecias y preseta la siguiete iformació para cada itervalo o clase : Límite Iferior el límite iferior de la clase. Límite Superior - el límite superior de la clase Puto Medio el puto medio de la clase (a la mitad del recorrido etre los límites superior e iferior). Frecuecia el úmero de observacioes f j que so mayores que el límite iferior de la clase y meores o iguales al límite superior. Frecuecia Relativa - la proporció de observacioes que cae e cada clase, dada por f j /. Frecuecia Acumulada - el úmero de observacioes que cae e la clase actual o e las previas: 005 por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 13

14 j i= 1 f i STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 () Frecuecia Relativa Acumulada la proporció de observacioes que cae e la clase actual o e las previas: j i=1 f i (3) La columa más a la derecha es de cosiderable iterés, ya que correspode a la distribució acumulada de las observacioes. Por ejemplo, 6.31% de los datos es meor o igual a Opcioes de Vetaa Número de Clases: el úmero de itervalos e los que se dividirá los datos. Los itervalos so adyacetes uos a otros y de la misma amplitud. Límite Iferior: límite iferior del primer itervalo. Límite Superior: límite superior del último itervalo. Mateer: coserva el úmero de itervalos y límites seleccioados aú cuado cambie los datos fuete. Por omisió, el úmero de clases y los límites se recalcula siempre que cambie los datos. Esto es ecesario para que todas las observacioes se exhiba au cuado alguos de los uevos datos cayera fuera de los límites origiales. El úmero de itervalos e los cuales los datos so agrupados por omisió se establece por el criterio especificado e la pestaña AED de la caja de diálogo de Preferecia e el meú Editar. Cada criterio determia el úmero de itervalos m como ua fució del tamaño muestral. Los criterios so: Regla de Sturges: m = ceilig( log() ) (4) 10 log10(): m= ceilig(10 log() ) (5) Regla de Scott: m = ceilig[ (max-mi) / (3.5 s / 1/3 ) ] (6) 005 por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 14

15 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Regla de Freedma-Diacois: m = ceilig[ (max-mi) /(.0 RIC/ 1/3 ) ] (7) Número fijo: m = úmero pre-defiido (8) dode mi es igual al valor del dato más pequeño e la muestra, max es igual al valor del dato más grade, s es igual a la desviació estádar muestral, RIC es igual al rago itercuartílico muestral, y la fució ceilig (techo) ecuetra el etero más pequeño mayor o igual a su argumeto, es decir, redodea al etero superior. Puede experimetar co diferetes criterios para determiar cuál da u bue úmero de itervalos para su tipo de datos más comú. Histograma de Frecuecias La vetaa Histograma de Frecuecias preseta el resultado de la tabla de frecuecias e la forma de u diagrama de barras o u gráfico de líeas, depediedo de las defiicioes de cofiguració de las Opcioes de Vetaa. 4 0 Histograma frecuecia Temperature La altura de cada barra e el gráfico aterior represeta el úmero de observacioes e cada clase. 005 por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 15

16 Opcioes de Vetaa STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Número de Clases: el úmero de itervalos e los que se dividirá los datos. Los itervalos so adyacetes uos a otros y de la misma amplitud. Límite Iferior: límite iferior del primer itervalo. Límite Superior: límite superior del último itervalo. Mateer: coserva el úmero de itervalos y límites seleccioados aú cuado cambie los datos fuete. Por omisió, el úmero de clases y los límites se recalcula siempre que cambie los datos. Esto es ecesario para que todas las observacioes se exhiba au cuado alguos de los uevos datos cayera fuera de los límites origiales. Frecuecia: si es Relativa, la altura represeta la proporció de las observacioes co respecto al total e la muestra, y de o señalarse la altura represeta el úmero de observacioes. Si es Acumulada, la altura represeta las observacioes e el itervalo idicado y e todos los itervalos a su izquierda, y de o señalarse la altura represeta las observacioes e u solo itervalo. Tipo de Gráfico: si es Histograma, las frecuecias de las clases se mostrará como u diagrama de barras. Si es Polígoo, las frecuecias de las clases se mostrará usado u gráfico de líeas coectadas. Ejemplo Polígoo de Frecuecias Acumuladas Estableciedo el Tipo de Gráfico como Polígoo y señalado los cuadros de Acumulada y Relativa da ua presetació de la distribució acumulada de los datos: 005 por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 16

17 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Histograma porcetaje Temperature El gráfico aterior muestra el porcetaje de observacioes e el o por debajo del límite superior de cada itervalo detro del cual se agruparo los datos. Se puede ver que alrededor del 50% de los datos cae por debajo de por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 17

18 Diagrama de Tallo y Hojas El diagrama de tallo y hojas tambié preseta ua tabla de los datos. STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Diagrama de Tallo y Hoja para Temperature: uidad = represeta 1. BAJO (38) ALTO Este diagrama, debido a Joh Tukey (1977), toma cada valor de los datos y lo divide e u tallo y ua hoja. Por ejemplo, la temperatura del primer sujeto e la muestra de datos tiee ua temperatura de Llamemos a los dos primeros dígitos ( 98 ) el tallo, y al tercer dígito ( 4 ) la hoja. Cada fila del diagrama de tallo y hojas correspode a valores co el mismo tallo, mostrado a la izquierda de la líea vertical. A la derecha de la líea vertical, se muestra u solo dígito presetado la hoja para cada valor de los datos. Por ejemplo, la fila que muestra idica que hubo 11 sujetos co temperatura de 90.0, 3 sujetos co temperatura de 98.1, 10 co 98., 5 co 98.3, y 9 co ua de Putos extremos, defiidos de igual forma que para el gráfico de caja y bigotes, se grafica e tallos especiales HI y LO (alto y bajo). Los úmeros e la columa de hasta la izquierda, llamados profudidades (depths), da ua cueta acumulada de las observacioes de arriba y abajo hacia el cetro del diagrama. E la fila que cotiee la media, e cambio se muestra puesto etre parétesis el úmero de observacioes e esa fila. Auque similar a u histograma volcado e su costado, Tukey pesó que el gráfico de tallo y hojas era preferible a u diagrama de barras ya que los valores de los datos podía recuperarse a partir del diagrama. Él usaba las profudidades para localizar la media y los cuartiles cuado tabulaba los datos a mao. Opcioes de Vetaa Marcar Aberrates: si se seleccioa, los putos aberrates se podrá e tallos separados HI (de high, alto) y LO (de low, bajo). De otro modo, se icluirá e la parte pricipal del gráfico. 005 por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 18

19 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Percetiles El p-ésimo percetil de ua distribució de probabilidad cotiua se defie como el valor de X para el cual la probabilidad de ser meor o igual a X es de p/100. Por ejemplo, el 90 ọ percetil es el valor por debajo del cual está el 90% de la població. La vetaa de Percetiles preseta ua tabla de percetiles seleccioados co base e los datos muestrales. Percetiles para Temperature Percetiles Límite Iferior Límite Superior 1.0% % % % % % % % % El iforme icluye 95.0% de límites de cofiaza Normal. Por ejemplo, el 90 ọ percetil de los datos de temperatura corporal es igual a 99.1, lo que implica que 90% de todos los sujetos tuvo temperatura de 99.1 o iferior. Si se solicita usado las Opcioes de Vetaa, tambié se puede icluir los límites iferior y superior de cofiaza o cotas de cofiaza uilaterales, asumiedo que los datos so muestras aleatorias de ua distribució ormal. El itervalo del 95% de cofiaza para la temperatura a la cual o debajo de la cual uo ecotraría el 90% de todos los idividuos semejates a los del estudio va de a por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 19

20 Opcioes de Vetaa STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Percetiles: los porcetajes a los que se deberá calcular los percetiles. Poer e 0 para elimiar el cálculo. Icluir Límites Normales: señalar para icluir límites de cofiaza o cotas co base e el supuesto de que los datos so muestras aleatorias de ua distribució ormal. Nivel de Cofiaza: ivel para los límites o las cotas. Tipo: seleccioe Bi-Lateral para u itervalo de cofiaza, o ua cota uilateral, Cota iferior o Cota superior, para calcular ua cota iferior o superior, respectivamete, para el percetil. 005 por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 0

21 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Gráfico de Cuatiles Esta vetaa grafica los cuatiles (percetiles) de los datos. 1 Gráfico Cuatil 0.8 proporció Temperature E este gráfico, los datos se ordea de meor a mayor y se grafica e las coordeadas j 0. 5 x( j ), (9) La forma de S mostrada arriba es típica de ua distribució ormal co forma de campaa. Gráfico de Probabilidad Normal A semejaza del Gráfico de Cuatiles, el Gráfico de Probabilidad Normal muestra los datos de meor a mayor. Si embargo, lo hace de maera que es posible juzgar si los datos proviee o o de ua distribució ormal. 005 por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 1

22 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 porcetaje Gráfico de Probabilidad Normal Temperature El eje vertical se escala de tal maera que, si los datos proviee de ua distribució ormal, los putos deberá caer aproximadamete a lo largo de ua líea recta. Para costruir el gráfico, los putos se grafica e las coordeadas ( ) Φ 1 j x j, (30) dode Φ ( ) represeta la distribució ormal estádar iversa evaluada e u. Las etiquetas a lo largo del eje vertical so iguales a 100u%, para valores de u que va de a u Para ayudar a determiar que ta cercaamete los putos correspode a ua líea recta, se puede superpoer ua líea de referecia e el gráfico que correspoda a ua distribució ormal co media μ y desviació estádar σ. Hay dos opcioes para ajustar la líea: 1. Usado la mediaa y los cuartiles muestrales: μˆ = mediaa muestral (31) σˆ = rago itercuartílico / 1.35 (3). Ajustado ua regresió por míimos cuadrados de los cuatiles ormales de los valores de los datos ordeados. μˆ = - itercepto / pediete (33) σˆ = 1 / pediete (34) El primer método es más robusto a desviacioes de la ormalidad e las colas de la distribució, ya que esecialmete se apoya solo e la mitad cetral. Valores aberrates o colas largas tedrá ua mayor ifluecia al usar el método de míimos cuadrados. 005 por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable -

23 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Como geeralmete es el caso, la opció de míimos cuadrados muestra u ajuste mucho más cercao a los datos de temperatura: Gráfico de Probabilidad Normal porcetaje Temperature Excepto por u valor, los demás putos está muy próximos a la líea. Nota: establezca el método por omisió para ajustar líeas e el gráfico de probabilidad ormal usado la vetaa AED e la caja de diálogo de las Preferecias, del meú Editar. Opcioes de Vetaa Direcció: la orietació del gráfico. Si es Vertical, el Porcetaje se preseta e el eje vertical. Si es Horizotal, el Porcetaje se preseta e el eje horizotal. Líea Ajustada: el método usado para ajustar la líea de referecia a los datos. Si es Usado Cuartiles, la líea pasa por la mediaa cuado el Porcetaje es de 50 co ua pediete determiada a partir del rago itercuartílico. Si es Usado Míimos Cuadrados, la líea se ajusta co la regresió por míimos cuadrados de los cuatiles ormales de las estadísticas de orde. El primer método basado e los cuartiles da más peso a la forma de los datos cerca del cetro y frecuetemete permite mostrar desviacioes de la ormalidad e las colas que o sería evidetes usado el método de míimos cuadrados. 005 por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 3

24 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Itervalos de Cofiaza La vetaa Itervalos de Cofiaza muestra itervalos de cofiaza para la media y la desviació estádar. Si se le solicita, tambié icluye itervalos para la media, mediaa y desviació estádar calculados por el método bootstrap. Itervalos de Cofiaza para Temperature Itervalos de cofiaza del 95.0% para la media: / [98.1, ] Itervalos de cofiaza del 95.0% para la desviació estádar: [ , ] Itervalos Bootstrap Media: [98.16, ] Desviació Estádar: [ , ] Mediaa: [98.15, 98.4] Los itervalos de cofiaza al 95% se costruye de tal maera que, e repetidos muestreos, 95% de tales itervalos cotedrá el verdadero valor del parámetro que se estima. Tambié puede ver u itervalo de cofiaza como especificado el marge de error de la misma forma como se eucia cuado se hace ua ecuesta de opiió. E el ejemplo aterior, auque la temperatura media e la muestra fue de 98.5, la media e la població de la cual los datos fuero muestreados bie puede diferir de esa estimació por 0.13 e cualquier direcció. Los itervalos de cofiaza para la media y la desviació estádar descasa e el supuesto de que los datos proviee de ua distribució ormal. Si esto o se puede sosteer, etoces ua alterativa es costruir itervalos usado el método bootstrap. E este método, se forma q submuestras seleccioado aleatoriamete co reemplazo (i.e., la misma observació puede ser seleccioada más de ua vez) m observacioes de la muestra origial. Para cada ua de las q submuestras, se calcula la media, la media y la desviació estádar. Luego se obtiee itervalos de cofiaza bilaterales o uilaterales usado percetiles de la distribució observada de las estadísticas de las submuestras. Si los datos o proviee de ua distribució ormal, los itervalos bootstrap puede diferir cosiderablemete de los obteidos aalíticamete. Tambié, a causa de la aturaleza aleatoria de este procedimieto, se obtedrá diferetes resultados cada vez que el método bootstrap se lleve a cabo. Opcioes de Vetaa Nivel de Cofiaza: ivel para los itervalos bilaterales o uilaterales. Tipo de Itervalo: seleccioe Bi-Lateral para u itervalo de cofiaza o para ua cota de cofiaza seleccioe Cota Superior o Cota Iferior. Icluir Bootstrap: icluye itervalos bootstrap e la salida. Número de Submuestras: el úmero de submuestras q e las que se basará los itervalos. Nota: cada submuestra tedrá m = observacioes, muestreadas co reemplazo. 005 por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 4

25 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Pruebas de Hipótesis Frecuetemete surge circustacias dode es ecesario determiar si la muestra proviee de ua distribució co ua media o desviació estádar particulares. Por ejemplo, comúmete se asume que la temperatura media del ser humao es de Para determiar si esta es o o ua aseveració razoable dados los datos que ha sido colectados, so posibles dos efoques: 1. Costruir u itervalo de cofiaza para la media y determiar si 98.6 está o o detro del itervalo de cofiaza.. Realizar ua prueba de hipótesis estadística formal. La vetaa de las Pruebas de Hipótesis da soporte al último efoque. Prueba t para la Media A cotiuació se muestra la parte superior de la salida: Prueba de Hipótesis para Temperature Media Muestral = Mediaa Muestral = 98.3 Desviació Estádar de la Muestra = Prueba t Hipótesis Nula: media = 98.6 Alterativa: o igual Estadístico t = Valor-P = E-7 Se rechaza la hipótesis ula para alfa = Para correr ua prueba de hipótesis, se formula dos hipótesis que etra e competecia: Hipótesis Nula: ua hipótesis tal como μ = 98.6 a la que se le dará el beeficio de la duda. El valor especificado por la hipótesis ula se etiqueta μ 0. Hipótesis Alterativa: ua hipótesis tal como μ 98.6 que coducirá al rechazo de la hipótesis ula si hay suficiete evidecia e cotra de la ula. El efoque estadístico estádar a este problema es costruir ua prueba t usado: x μ t = 0 (35) s / y comparádola co ua distribució t de Studet co ν = - 1 grados de libertad. La tabla aterior muestra los resultados de esta prueba: Estadístico t calculado el valor calculado t = por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 5

26 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Valor de P u valor que puede ser usado para rechazar la hipótesis ula si es lo suficietemete pequeño. Al ivel de sigificacia α = 5%, la hipótesis ula se rechazará si P < E este caso, hay ua muy fuerte evidecia de que los datos o proviee de ua població e la cual la media sea igual a Prueba para la Mediaa Si la distribució de la que proviee los datos o es ormal, tal vez sea de mayor iterés probar ua hipótesis sobre la mediaa poblacioal más que sobre la media. STATGRAPHICS realiza dos de tales pruebas: ua prueba de los sigos y ua prueba de ragos co sigo. Prueba de los sigos Hipótesis Nula: mediaa = 98.6 Alterativa: o igual Número de valores meores a la mediaa hipotética: 81 Número de valores mayores a la mediaa hipotética: 39 Estadístico para Grades Muestras = (aplicada la correcció por cotiuidad) Valor-P = Se rechaza la hipótesis ula para alfa = Prueba de ragos co sigo Hipótesis Nula: mediaa = 98.6 Alterativa: o igual Rago medio de valores meores a la mediaa hipotética: 67.7 Rago medio de valores mayores a la mediaa hipotética: 45.5 Estadístico para Grades Muestras = 4.86 (aplicada la correcció por cotiuidad) Valor-P = Se rechaza la hipótesis ula para alfa = La Prueba de los Sigos se basa e la comparació del úmero de observacioes por debajo de la mediaa hipotética co el úmero de observacioes por arriba de la misma. Ua gra discrepacia coduce al rechazo de la hipótesis ula. La Prueba de Ragos co Sigo le da rago a las diferecias absolutas etre los datos y la mediaa hipotética de meor a mayor y compara el rago promedio de las observacioes por debajo de la media hipotética co el rago promedio de las de por arriba. De primordial importacia e la tabla aterior so los Valores de P. Valores pequeños (por debajo de 0.05 si se trabaja al ivel de sigificacia del 5%) coduce al rechazo de la hipótesis ula. E el presete ejemplo, ambas pruebas rechaza la idea de que la mediaa de la temperatura corporal es igual a Prueba para la Desviació Estádar Tambié es posible probar hipótesis sobre la desviació estádar de la població. El estadístico de prueba es 005 por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 6

27 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 ( 1) s Χ = (36) σ 0 que se compara co ua distribució chi-cuadrada co ν = - 1 grados de libertad. Pequeños valores de P coduce al rechazo del valor de la desviació estádar σ 0 especificado por la hipótesis ula. Opcioes de Vetaa Prueba t, Prueba de los Sigos, Prueba de Ragos co Sigo, Prueba Chi-Cuadrada: defie las pruebas que se llevará a cabo. Media/Mediaa: μ 0, el valor de la media o mediaa especificada por la hipótesis ula. Desviació Estádar: σ 0, el valor de la desviació estádar especificada por la hipótesis ula. Alfa: el ivel de sigificacia de la prueba, geeralmete establecido e 0.01, 0.05 ó Éste es igual a la probabilidad de rechazar la hipótesis ula siedo cierta. No afecta al Valor de P, solo las cocusioes expuestas imediatamete a cotiuació del Valor de P. Hipótesis Alterativa.: la hipótesis alterativa puede ser de dos colas ( Diferete de ) o de ua cola (tal como μ < 98.6 si se especifica Meor que ). 005 por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 7

28 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Desidad Suavizada La Desidad Suavizada provee ua estimació o paramétrica de la fució de desidad de probabilidad de la població de la cual fuero muestreados los datos. Se crea cotado el úmero de observacioes que cae detro de ua vetaa de acho fijo que se mueve a través del rago de los datos. 0.4 Desidad Suavizada 0.3 desidad Temperature La fució de desidad estimada está dada por: 1 x xi f ( x) = W (37) h i= 1 h dode h es el acho de la vetaa e uidades de X y W(u) es ua fució poderadora determiada por la selecció e la caja de diálogo de las Opcioes de vetaa. Se ofrece dos formas de fució poderadora: Método del Vagó W (u) 1 = 0 Fució Coseo si u 1/ e otro caso (38) 1+ cos(πu) W ( u) = 0 si u 1/ e otro caso (39) La última selecció geeralmete da u resultado más suave, co el valor deseado de h depediedo del tamaño de la muestra de datos. Para los datos muestrales, la desidad suavizada se parece mucho a ua distribució ormal. 005 por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 8

29 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Opcioes de Vetaa Método: la fució poderadora deseada. El Método del Vagó podera todos los valores de igual forma detro de la vetaa. La fució coseo da pesos decrecietes a las observacioes más alejadas del cetro de la vetaa. La selecció por omisió está determiada por las defiicioes de cofiguració e la pestaña AED de la caja de diálogo de las Preferecias del meú Editar. Acho del Itervalo: el acho h de la vetaa detro de la cual las observacioes afecta la desidad estimada, como u porcetaje del rago cubierto por el eje x. h = 60% o es irrazoable para ua muestra pequeña pero puede o dar tato detalle como lo haría u valor meor e muestras más grades. Resolució del Eje X: el úmero de putos e los cuales se estimará la desidad. Gráfico de Simetría El gráfico de simetría se usa para ayudar a juzgar si los datos proviee de ua distribució simétrica, i.e., ua distribució que tiee ua fució de desidad co la misma forma a cada lado de la mediaa. 005 por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 9

30 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Gráfico de Simetría.5 distacia sobre mediaa distacia abajo mediaa Para crear este gráfico, los valores de los datos se ordea y luego se hace pares co base e su localizació co respecto a la mediaa. Por ejemplo, co 130 observacioes, los putos ordeados se aparea así: (x (65),x (66 ), (x (64),x (67) ), (x (63),x (68) ),, (x (1),x (100) ) Se grafica la distacia de cada par por arriba y por debajo de la mediaa. Si los datos proviee de ua distribució simétrica, los putos deberá caer cerca de ua líea a 45 grados. Si o, los putos se desviará de la líea e ua direcció particular. La gráfica aterior tiede a desviarse por debajo de la líea diagoal sobre mucho del rago de X, lo que idicaría ua cola iferior más larga que la superior. Uos valores extremos al fial, si embargo, rompe ese patró. Salvar Resultados Se puede salvar los siguietes resultados e la hoja de datos: 1. Resume Estadístico los valores de las estadísticas mostradas e la vetaa Resume Estadístico.. Etiquetas de las Estadísticas las etiquetas para las estadísticas mostradas e la vetaa Resume Estadístico. 3. Percetiles los valores de los percetiles exhibidos e la vetaa Percetiles. 4. Frecuecias las frecuecias de clase exhibidas e la vetaa Tabla de Frecuecias. 5. Frecuecias Acumuladas las frecuecias acumuladas de clase exhibidas e la vetaa Tabla de Frecuecias. 6. Frecuecias Relativas las frecuecias relativas de clase exhibidas e la vetaa Tabla de Frecuecias. 7. Frecuecias Relativas Acumuladas las frecuecias relativas acumuladas de clase exhibidas e la vetaa Tabla de Frecuecias. 005 por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 30

31 Cálculos STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 Percetiles 1. Calcule la estadística de orde x (j) = j-ésimo valor más pequeño de dato.. Para el p-ésimo percetile, sea q=p/100. (40) 3. Si q es u etero, sea j 1 =q j = 1+q (41) (4) 4. De otro modo si q o es u etero, sea j 1 = j = floor(1+q) (43) dode la fució floor (piso) devuelve el etero más grade meor o igual a su argumeto. 5. El p-ésimo percetil está dado por x + x ( j1 ) ( j ) (44) Itervalo de Cofiaza para la Media s ± t α /, (45) x 1 Itervalo de Cofiaza para la Desviació Estádar ( 1) s ( 1), χ α χ /, 1 s 1 α /, 1 (46) Prueba de los Sigos Dada ua mediaa hipotética θ 0, sea - = úmero de x i < θ 0 (47) + = úmero de x i > θ 0 (48) Etoces 005 por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 31

32 STATGRAPHICS Rev. 4/5/007 ( + + ) max(, + ) 0.5 z = (49) se compara co ua distribució ormal estádar. Prueba de Ragos co Sigo Dada ua mediaa hipotética θ 0, asige el rago a las desviacioes de la mediaa hipotética x i - θ 0. Sea T - = suma de ragos para todas las x i < θ 0 (50) T + = suma de ragos para todas las x i > θ 0 (51) Etoces z = ( + 1) T ( + 1)( + 1) S 4 48 (5) z + = + ( + 1) T ( + 1)( + 1) S 4 48 (53) dode = y S=0 a meos que haya observacioes empatadas. Si hay g grupos de observacioes empatadas, y t j es igual al tamaño del j-ésimo grupo de empates, etoces S = g j= 1 t ( t 1)( t + 1) (54) j j j Para ua prueba de dos colas, la mayor de las dos estadísticas Z se compara co ua distribució ormal estádar. Para ua prueba de ua cola, solo se usa la estadística correspodiete a la direcció de la hipótesis alterativa. 005 por StatPoit, Ic. Aálisis de Ua Variable - 3