Taller de Matemáticas III

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1 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 Tller de Mtemátis III Universidd CNCI de Méio

2 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 Temrio. L práol.. Crterizión geométri... L práol omo lugr geométrio... Elementos soidos on l práol.. Euión ordinri de l práol... Práol horizontl vertil on vértie en el origen... Otenión de los elementos de un práol on vértie en el origen prtir de su euión... Otenión de l euión de un práol on vértie en el origen prtir de sus elementos.3. Euión ordinri de l práol on vértie fuer del origen.3.. Práol horizontl vertil on vértie fuer del origen.3... Otenión de los elementos de un práol on vértie fuer del origen prtir de su euión.3... Otenión de l euión ordinri de un práol on vértie fuer del origen prtir de lgunos de sus elementos mínimos neesrios.4. Euión generl de l práol.4.. Conversión de l form ordinri de l euión de un práol on vértie fuer del origen su form generl.4.. Conversión de l form generl de l euión de un práol on vértie fuer del origen su form ordinri. L Elipse.. Crterizión Geométri... L Elipse omo lugr geométrio... Elementos soidos on l elipse..3. Forms de trzo prtir de l definiión.. Euión ordinri de l elipse... Elipses horizontles vertiles on entro en el origen... Otenión de los elementos de un elipse on entro en el origen prtir de su euión... Otenión de l euión ordinri de un elipse on entro en el origen prtir de sus elementos mínimos neesrios.3. Euión ordinri de l elipse on entro fuer del origen.3.. Elipse horizontl vertil on entro fuer del origen.3... Otenión de los elementos de un elipse on entro fuer del origen prtir de su euión Universidd CNCI de Méio

3 Tller de Mtemátis III Semn Otenión de l euión ordinri de un elipse on entro fuer del origen prtir de lgunos de sus elementos mínimos neesrios.4. Euión generl de l elipse.4.. Conversión de l form ordinri de l euión de un elipse on entro fuer del origen su form generl.4.. Conversión de l form generl de l euión de un elipse on entro fuer del origen su form ordinri 3 Universidd CNCI de Méio

4 Tller de Mtemátis III I Semn 3 4 Semn 3 Sesión 9 Los tems revisr el dí de ho son:. L práol.. Crterizión geométri... L práol omo lugr geométrio... Elementos soidos on l práol.. Euión ordinri de l práol... Práol horizontl vertil on vértie en el origen. L práol... Crterizión geométri Ejemplo: Coin solr próli L oin próli onst de un diso que reflej onentr l luz del sol en un punto fijo en el ul l omid se oin. Alnz temperturs de hst 300 grdos en seo, puede hervir litro de gu en 0 minutos demás oin sin emitir CO. Cómo rees que se lient l omid? Reuerd que l práol se lsifi omo un seión óni porque provienee del orte de un ono on dos ps trvés de un plno. Este tipo de figur óni puedes enontrrlo plido en diferentes ámitos de tu vid otidin, por ejemplo, ls lues de los utomóviles tienen un pntll on form próli, l nten próli, l oin próli, en l rquitetur: los puentes olgntes, los túneles, los ros; en l nturlez: el roíris, montñs; en los deportes, l tretori de ls pelots lones l ser lnzdos, et. En este tem verás un nálisis detlldo de los diferentes tipos de euiones de l práol, sí omo su representión gráfi ómo ést depende de los omponentes que l integrn. Pero, ntes de omenzr, uáles son ls rterístis on ls que se identifi un práol en el plno rtesino?.. L práol omo lugr geométrio Hs visto l form de l oin solr, est form se puedee representr en el plno rtesino dvirtiendo lguns rterístis prtiulres pr ser identifid omo tl. 4 Universidd CNCI de Méio

5 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 L práol en el plno rtesino se define omo el lugr geométrio de los puntos en éste, u distni un punto fijo llmdo foo es l mism que su distni un ret fij del plno llmd diretriz. Coin solr próli En qué influe est form pr ser onsiderd omo un oin? El punto donde se enuentr uid l oll se le llm foo, hi éste en reotdos todos los ros solres que se dirigen l interior de l práol. Aqué se le llm diretriz de un práol?... Elementos soidos on l práol D D D P P Al her un nálisis sore el lugr geométrio de l práol, se logrn definir sus elementos rterístios omo sigue : D3 P3 D P P F D P P F D 3 P 3 P 3 F D4 D5 D6 V P 4 F P 5 S P6 D n P n P n F si P n está en l urv de l práol DV V F F: foo de l práol. D: ret fij, diretriz. S: eje de l práol, ret que ontiene l foo es perpendiulr l diretriz. V: vértie, punto medio entre el foo l diretriz. : distni dirigid de V F, VF P: prámetro de l práol, DF P 5 Universidd CNCI de Méio

6 T Tller dee Mtemáátis IIII Semn 3 4 En donde d de m ner generl, los elementtos que r terizn l práol p son: F: Foo, F punto po or donde ps s el ldo re to se enu uentr un distni de el vértie. D: Diretriz, D ret fij perpend diulr l eje fol, un distni del d vértie. S: Eje E fol, ret que ontiene l foo o es perp pendiulr l diretriz. V: Vértie, V punto medio entre el foo l diretriz, d gene erlmente sus s oordends s son h, k. L R: R puntos etremos del Ld do Reto LR: Ldo Reto, es e l distni que ps por el foo, pendiulr l ejje fol. Su longitud es de 4. 4 perp : dis stni dirigid d de V F, VF P: p rámetro de l práol, DF F P Práti 3 A prtir de l siguiente imgen trz en el plno o un prá ol que le orrespond d e identtifi sore l mism lo os elemento os que l o omponen. o de e l práol.. Euión ordinri Ejem mplo: Cómo le hen pr onstruiir los ros sin que se ig l piedr? p Cómo hen h pr otener l mism form preis d vezz? d Méio 6 Universsidd CNCI de

7 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 El ser humno, pr relizr estruturs omo ls del ejemplo nterior requiere de l form nlíti euión de l óni, de tl mner que pued onstruir réplis idéntis preiss de un mism. En seguid hrás un estudio nlítio de l euión de l práol, se difereni rteriz porque un de sus vriles, no ms, está elevd l udrdo. Ejemplo: Grfi l siguiente euión: 3 Pr l tulión se determinn los vlores de se otienen los de. Vlores de 3 Vlores de Aso tods ls práols son igules siempre?... Práol horizontl vertil on vértie en el origen Eisten diferentes tipos de práols, ls h vertiles, horizontles olius; en est sesión omienzs estudir ls práols horizontles. 7 Universidd CNCI de Méio

8 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 Práols Horizontles Pr determinr un práol horizontl on vértie en el origen en el plno rtesino, neesits verifir que su eje fol oinid on el eje de ls, su vértie oinidente on el origen 0, 0. Ver gráfi Supón un práol on el foo sore el eje positivo de ls ejes. Si reuerds l definiión de l práol omo lugr geométrio, l distni de un punto de l diretriz M un punto de l práol P es l mism que l distni de P l foo F. Entones, si plis lo nterior en ls fórmuls orrespondientes, otendrás l euión ordinri de l práol on vértie en el origen, eje fol sore el eje de ls >0. De lo nterior onlues que d d, por lo tnto, MP PF, es deir: Como M,, P, F, 0, sustitue sus vlores en l fórmul de l distni: Elev l udrdo ms prtes de l iguldd: [ ] 0 Desrroll los udrdos: Reuerd que: Despej : Como p/, entones: 4 p L euión de un práol en l form nóni on vértie en el origen foo en, 0 es: 4 Análisis de l euión: Con se en l euión nóni de l práol 4 que otuviste, puedes deduir lo siguiente: 8 Universidd CNCI de Méio

9 Tller de Mtemátis III Semn 3 4. Su gráfi es simétri respeto l eje, es deir, si el punto P, stisfe su euión, entones el punto P, tmién; signifi que los dos puntos están en l gráfi.. Si 0, entones será siempre un número positivo, por lo que se dedue que tnto el vlor de omoelde deen tener el mismo signo. Si >0,entones sólo podrá tener por vlor números positivos, esdeir, el dominio de l relión es el intervlo donde 0, el rngo es el onjunto de los número reles,que: ± 4 Grfi l siguiente euión: 6 De l euión ordinri 4: 4 > Pr l tulión se determinn los vlores de 0 se otienen los de 6 F 4, 0 Vlores de Vlores de Como puedes ver, en este so l práol es horizontl iert l dereh. Tods ls práols ren hi l dereh? Si hes un nuevo nálisis de l euión nóni de l práol 4, puedes deduir lo siguiente: 9 Universidd CNCI de Méio

10 Tller de Mtemátis III Semn 3 4.Su gráfi es simétri respeto l eje, es deir, si el punto P, stisfe su euión, entones el punto P, tmién; signifi que los dos puntos están en l gráfi.. Si 0, entones será siempre un número positivo, por lo que se dedue que tnto el vlor de omoelde deen tener el mismo signo. Si < 0, entones sólo podrá tomr vlores negtivos, es deir, el dominio de l relión es el intervlo, 0], el rngo es el onjunto de los número reles, que: ± 4 Podrás notr que según ls dos ondiiones nteriores, l práol result un urv iert hi l izquierd que se etiendeinfinitmente hi rri hi jo.ver figur Práti 3 Grfi l siguiente euión: 9 De l euión ordinri 4: Pr l tulión se determinn los vlores de 0 se otienen los de. Práols Vertiles Como ses PF PM si plis l fórmul de l distni,otienes lo siguiente: 4 L gráfi es simétri on respeto leje. Si 0, entones es siempre positivo,porlo que deen tenerel mismo signo. Si < 0, su gráfi se etiende jo, que el vlor de será un número negtivo o ero. Rngo 0, el dominio es el onjunto de los númerosreles. Si > 0, su gráfi se etiende rri, que el vlor de será un número positivo o ero. Rngo 0, el dominio es el onjunto de los números reles. Práti 33 Grfi l siguiente euión: 6 De l euión ordinri 4: Pr l tulión se determinn los vlores de 0 se otienen los de. 0 Universidd CNCI de Méio

11 Tller de Mtemátis III I Semn 3 4 Sesión 0 Los tems revisr el dí de ho son:... Otenión de los elementos de un práol on vértie en el origen prtir de su euión... Otenión de l euión de un práol on vértie en el origen prtir de sus elementos... Otenión de los elementos de un práol prtir de su euión Ejemplo. Qué difereni oservs entre horros de gu de ls imágenes? los Cuál rees que se el ojetivo de provor un iert form los horros de gu? El reto en este tem, pr ontinur on el nálisis de l práol, onsiste en otener los elementos de l mism prtir de su euión; omo lo hs visto, los elementos que integrn l práol son: V: vértie F: foo D: diretriz S: ejee fol LR: ldo reto L R: puntos etremos del Ldo Reto : distni dirigid de V F. VF p: prámetro de l práol, AF P Y que l práol que estás trjndo tiene vértie en el origen, sus oordends son V0, 0. Será posile representr medinte oordends l resto de los elementos que integrn un práol? Universidd CNCI de Méio

12 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 Práols horizontles Como l distni dirigid del vértie l foo es l onstnte, puedes deduir que ls oordends del foo orresponden F, 0. A prtir de l definiión de l diretriz de l práol, l distni dirigid del vértie ést es l mism distni que l del foo l vértie. Porlo tnto,l diretriz está dd por. El prámetro P es l distni de l ret diretriz l foo, l tomr los dtos nteriores se onlueque P. Práols vertiles Como l distni dirigid del vértie l foo es l onstnte, puedes deduir que ls oordends del foo orresponden F0,. A prtir de l definiión de l diretriz de l práol l distni dirigid del vértie ést es l mism distni que l del foo l vértie. Porlo tnto,l diretriz está dd por. El prámetro P es l distni de l ret diretriz l foo, l tomr los dtos nteriores se onlueque P. Qué ourre on el ldo reto? Práols Horizontles Reuerd que el segmento de ret que es perpendiulr l eje fol ps por el foo se llm Ldo Reto su longitud es: LR 4 Por qué? Cuáles son los puntos donde el ldo reto ruz l práol? Si el foo está en, 0, sustitue en l euión ordinri de l práol on vértie en el origen 4. Entones si, 4 4 ± Ls oordends de los puntos etremos del ldo reto son: R, L,. A prtir de l fórmul de l distni: d LR LR [ ] 4 4 LR 4 p Y qué ourre on ls práols vertiles? Universidd CNCI de Méio

13 T Tller dee Mtemáátis IIII Semn 3 4 Práols Vertiles Reu uerd nuevmente quee el segmento de rett que es perpendiul p lr l eje fo ol ps por el foo o se llm Ldo Reto su longitud d es: LR 4 Si el foo está en e 0,. Pr que onozs los puntos don nde el ldo reto ruz l práol se susstitue en l euión ordinri de l práol o on vértie en el origeen 4. 4 Entones si, ± Ls oordend s de los pun ntos etrem mos del ldo o reto son: R, L,. A prtir de l fórmul de l distni: d LR [ ] LR 4 4 LR 4 p Práti 34 e d l práo de ol que formn los ho orros de ggu de l im mgen Deteermin los elementos u euión está e dd po or: 8 d Méio 3 Universsidd CNCI de

14 T Tller dee Mtemáátis IIII Semn Otenión de l euión e de un prááol on vértie en eel origen prtir p de su us elemento os Ejem mplo: e los El uso de l form próli en ntes se trt t solm mente de un puen uesttión estéti? El tem trtrr en est seesión onsisste en l o tenión de l euión de l práol v en el e origen prtir p de suss elementoss, so onttrrio l tem m nterior.. on vértie Sráás que no es e un uesttión purmente estéti el heho o de que loss puentes te engn form m rqued, en los puentes de rro en om mpresión, un n piedr llve en el medio m del ro distriu ue el peso l resto dell puente, trjn trn nsfiriendo ell peso propio del puen nte ls so orergs de d uso hi los poos etremo os de l luzz distni lire entree pilres dee uno de suss vnos, medinte l omprensió ón del ro, proporion nndo mo or resisteni durió ón. Eisten puentess romnos,, omo el de l d su imggen, en Méérid, que pesr de ntiggüedd sigguen siend do útiles en e l tulidd. Cóm mo hrís pr p onsttruir un répli ré de esste puente?? t so si s se ono oen sus dimensione es, se pueede generrr l euión En tl orreespondientee l form próli del puente e her un n répli. mplo: Ejem Enontrr l euió ón de l práol sus elemento os si l diretriz de l mism m es 5. Soluión: L diiretriz es un u líne reet perpen ndiulr l eje de ls, por d definiión, el e eje foll se enuen ntr sore el e mismo ejje. Por lo tnto logrs identifir que se trt de un práol p ho orizontl. Los elementos que tienees que on nsiderr so on los que respetn n l práol horizzontl: V0, V 0, F, 0,, P, L 4 p R, L, L LR d Méio 4 Universsidd CNCI de

15 T Tller dee Mtemáátis IIII Semn 3 4 Del dto: d 5, oservs que por ser éste negtivo, l práol sse re hi l dereh. Por lo tnto 5 De hí puedes otener o tn nto l euión omo sus s elementtos fltntees si sustitues el vlorr de. Con el e dto quee otuviste 5, sustitúelo en d uno de los l siguientes elementtos: V0 0, 0 F, 0 F 5, 0, 5 P R 4 p 0 0 LR R, L, / R 0,, 5 L0, 5 Y l euión de e l práol horizontl on n vérrtie en el orig gen es: Práti 35 Si l longitud del ro en ntrl es de,99 m l ltur de d ls torres es de 8 83 m. Deteermin l euión del ro entrl del puente. A Akshi Kiko Puen nte olgntee más lrgo del mundo o, on 99 m de longittud. d Méio 5 Universsidd CNCI de

16 Tller de Mtemátis III I Semn 3 4 Sesión Los tems revisr el dí de ho son:.3. Euión ordinri de l práol on vértie fuer del origen.3.. Práol horizontl vertil on vértie fuer del origen.3... Otenión de los elementos de un práol on vértie fuer del origen prtir de su euión.3... Otenión de l euión ordinri de un práol on vértie fuer del origen prtir de lgunos de sus elementos mínimos neesrios.3. Euión ordinri de l práol on vértie fuer del origen Te hs preguntdo lgun vez, qué ftores influen pr que l lun se pued ver desde l Tierr en un form determind, l ul omúnmente es llmd fse? Por ejemplo, si se onsider l Tierr omo el punto de refereni; es deir, omo el origen, l fse lunr, on form próli se enuentr on vértie fuer del origen. Cuál será l euión ordinri que le orrespond l form de l fse lunr onoid omo reiente? L prtiulridd de l euión ordinri de l práol on vértie fuer del origen es que se djuntnn omo elementos lve de l mism, sus oordends, dds por Vh, k, sí omo otros elementos que l omponen, en el so de l fse lunr ses que se logr gris l posiión entre el sol, l tierr l lun, sí omo l ftor de l distni sus respetivos tmños, dndo form sí un espetáulo nturl somroso visto desde l Tierr..3. Práol horizontl vertil on vértie fuer del origen L uestión hor es: qué euión represent un práol on vértie fuer del origen? 6 Universidd CNCI de Méio

17 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 Práols Horizontles Supón un práol on vértie fuer del origen omo l de l figur. Y que es más prátio trjr on un práol on vértie en el origen omo lo hs estdo hiendo hst el momento, entones tom el vértie de l práol omo el origen, si hes eso trzs unos ejes perpendiulres fitiios sore el vértie, omo los de l figur, oservrás que dihos ejes están reorridos respeto l origen un distni h sore el eje de ls un distni k sore el eje de ls. Qué hs heho? Eso que s de her se le llm un trslión de ejes. Pero, ómo vlidrlo? L trslión de los ejes oordendos ourre solmente si: Los nuevos ejes son prlelos, respetivmente, los ejes originles. Ls oordends del nuevo origen sen h, k respeto l sistem originl. Ls oordends de ulquier punto P ntes de l trslión sen, después de l mism sen,. Si oservs ien l gráfi, se puede determinr que l euión de trsformión qued omo sigue: h o h k o k A prtir de ests fórmuls se puede otener l euión ordinri de un práol on vértie fuer del origen Vh,k. Si se onsider un práol omo l de l figur, on eje fol prlelo lejedels,iertldereh on vértie en Vh, k, l her l trslión de ejes l tomr el vértie de l práol omo el nuevo origen, su euión ordinri orresponde 4. Ahor, omo k h,sesustituen en l euión nterior se otiene: k 4 h Euión ordinri de l práol on vértie fuer del origen eje fol prlelo l eje de ls. 7 Universidd CNCI de Méio

18 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 Ejemplo: otén l euión ordinri de l práol u gráfi se represent en el siguiente plno rtesino. A prtir de l gráfi es posile identifir el vértie foo de l práol, el vértie se ompone de ls oordends 4, el foo de,. Si oservs l gráfi su omportmiento puedes deduir que se trt de un práol horizontl iert hi l izquierd, u euión ordinri orrespondiente es del tipo: k 4 h Ahor, un vez otenido el vértie l distni dirigid de l práol, se sustituen en l euión nterior pr estleer l euión de l práol en su form ordinri. Por lo tnto si h 4, k, entones: 8 4 Práti 36 Trz l gráfi que le orresponde l euión ordinri de l práol dd por Práols Vertiles Cuál será l form ordinri de l euión si l práol on vértie fuer del origen tiene su eje fol prlelo l eje de ls? En este so, reuerd que l fórmul que le orresponde un práol vertil on vértie en el origen es del tipo: 4, según el trsldo de ejes, l euión ordinri orrespondiente l práol on vértie fuer del origen serí: 4. D h Fh, k Foo V k 0 Ahor, ses que h que k, entones,l sustituirlos en l fórmul nteriorresult: h 4 k Euión ordinri de l Práol on vértie fuer del origen eje fol prlelo l eje de ls. 8 Universidd CNCI de Méio

19 Tller de Mtemátis III I Semn 3 4 Ejemplo: otén l euión de l práol u gráfi se represent en el siguiente plno rtesino. Aprtir de l gráfi es posile identifir el vértie de l práol, el ul se ompone de ls oordends, 4 su distni dirigid.. Al oservr l gráfi su omportmiento es posile deduirquee setrtdeun práol vertil iert hi jo, u euión ordinri orrespondientees deltipo: h 4 k Ahor, un vez otenido el vértie l distni dirigid de l práol, se sustituen en l euión nterior pr estleer leuión de l práolensuform ordinri. Porloo tnto si h,k4., entones: Práti 37 Ejemplo : trz l gráfi que le orresponde l euión ordinri de l práol dd por Otenión de los elementos de un práol on vértie fuer del origen prtir de su euión Ejemplo: Tiro l Blno Cómo hen los pitnes de ros de guerr pr ertr ojetivo undo lnzn un misil? los un Tendrán uen tino? A un distni onsiderle simple vist ningún pitán serí pz de tinrle un ojetivo si lnzr un misil desde su ro. Pr logrrlo neesit de lgunos instrumentos de mediión, de l veloidd en l que vij, de l distni l que se enuentr el ojetivo, et. Además, un de ls oss más importntes que se onsidern es l tretori del misil undo sle disprdo del ro, l ul se se que es próli. Cómo se podrí esriir l euión ordinri de l tretori próli del misil lnzdo por el ro? Consider que onoemos l ltur máim lnzd por el misil, l distni que reorrió, et. 9 Universidd CNCI de Méio

20 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 Es posile determinr los elementos de un práol on vértie fuer del origen si se onoe su euión ordinri o l gráfi que le orresponde, si ést se enuentr de mner nítid. De ulquier de los dos dtos que te proporionen, lo primero que dees otener es h k ; es deir, ls oordends del vértie l distni dirigid de ls ules dependen l morí de los elementos de l práol. Práols Horizontles Y hs visto un práol on vértie Vh, k ómo h un estreh dependeni entre l euión su gráfi; hor, uáles son los elementos que omponen l práol que produen tles efetos? En el so de ls práols horizontles, uo vértie es Vh, k, el eje fol es prlelo l eje de ls l distni dirigid del vértie l foo es, por lo tnto l distni sore el eje de ls desde el origen hst el foo es h, l distni sore el eje de ls desde el origen hst el foo es solmente k, porlo que,ls oordends del foo son:fh, k. Conrespetoleuión del diretriz: se igul ero result: 0 hor,omo h l sustituirlo en l euión result: h 0 l despejr qued: h Ahor se proede otener ls oordends de los puntos etremos del ldo reto junto on su longitud, pr diho álulo se tomn los elementos neesrios: el foo h, k l euión: k 4 h. El foo es onsiderdo porque, si oservs ien l gráfi, el ldo reto ps sore éste, quiere deir que ls oordends del ldo reto tomn el mismo vlor en. Entones, pr onoer sus puntos se sustitue h en l euión ordinri de l práol on vértie fuer del origen k 4 h. Entones si h, k 4 h Se sustitue: k 4 h h Se simplifi: k 4 Se pli l ríz udrd: k ± Se despej : k ± Ls oordends de los puntos etremos del ldo reto son: L h, k R h, k. 0 Universidd CNCI de Méio

21 A prtir de l fórmul de l distni: Tller de Mtemátis III Semn 3 4 LR LR d [ h h] h h LR 4 [ k k ] k k 4 p Por ejemplo: Pr otener los elementos de un práol on euión determind se relizn los siguientes psos: Si l euión de l práol es: 5, lo primero otener son los elementos h, k, luego, trvés de estos, otener el resto de los elementos, que en su morí dependen de l menos uno de ellos. Entones trvés de l euión dd se dedue que se trt de un práol horizontl, por lo tnto, l tomr l euión ordinri de l práol on vértie fuer del origen: k 4 h de l euión proporiond en este ejemplo: 5 Al igulr término término d uno de los elementos de l euión se otiene: k 4 h 5 k ¼ h 5 k h 5 k Los elementos otenidos son h 5, k ¼. Ahor, sólo qued sustituir en d form los elementos que se requiern pr otener el resto. Y que el vlor de l distni dirigid es positivo se dedue que l práol se re l dereh l form de l euión diretriz es h. Universidd CNCI de Méio

22 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 Elementos fltntes: F: foo D: diretriz LR: ldo reto L R: puntos etremos del LR P: prámetro Fh, k h LR 4 p Lh, k Rh, k P DF Los dtos h 5, k ¼ se sustituen en ls siguientes fórmuls: Fh, k F 5 ¼, F 4.75, h 5 ¼ 5.5 LR 4 p LR 4 4 LR 4 Lh, k Rh, k L[ 5 ¼, /4] L 4.75,.5 R[ 5 ¼, /4] R 4.75,.5 P DF P /4 P ½ 0.5 Práols Vertiles Otenión de los elementos de l práol En el so de ls práols vertiles, uo vértie es Vh, k, el eje fol prlelo l eje de ls l distni del vértie l foo es, por lo tnto ls oordends del foo son:fh, k. Conrespetoleuión del diretriz: se igul ero result: 0 hor,omo k l sustituirlo en l euión result: k 0 l despejr qued k Ls oordends de los puntos etremos del ldo reto l longitud del ldo reto se desrrolln detlle en l siguiente dipositiv. Si oservs ien l gráfi, el ldo reto ps por el foo, en este so, el foo se enuentr sore l ret prlel l eje de ls, por lo tnto ls oordends de los puntos etremos del ldo reto tendrán l mism ordend, k. Entones si k, h 4 k h 4k k h 4 h ± h ± Ls oordends de los puntos etremos del ldo reto son: Universidd CNCI de Méio L h, k Rh, k.

23 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 A prtir de l fórmul de l distni: LR LR d [ k k ] k k LR 4 [ h h ] h h 4 p Pr otener los elementos de un práol dd l euión se relizn los siguientes psos: Si l euión de l práol es: 5 3., lo primero otener son los elementos h, k, trvés de estos el resto de los elementos, que en su morí dependen de l menos uno de ellos. Entones trvés de l euión dd, se dedue que se trt de un práol vertil, por lo tnto, l tomr l euión ordinri de l práol on vértie fuer del origen: h 4 k de l euión proporiond en este ejemplo: 5 3. Al igulr término término d uno de los elementos de l euión se otiene: h k h k h 5 k h 5 Los elementos otenidos son h 5, k 0.8. Ahor, sólo qued sustituir en d form los elementos que se requiern pr otener el resto. Y que el vlor de l distni dirigid negtivo se dedue que l práol se re hi jo l form de l euión diretriz es k. 3 Universidd CNCI de Méio

24 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 Elementos fltntes: F: foo D: diretriz LR: ldo reto L R: puntos etremos del LR P: prámetro Fh, k k LR 4 p Lh, k Rh, k P DF Los dtos h 5, k 0.8 se sustituen en ls siguientes fórmuls: Fh, k F 5, 0.8 F 5,. k LR 4 p LR LR 3. Lh, k Rh, k L[ 5 0.8, 0.8] L 6.6,. R[ 5 0.8, 0.8] R 3.4,. P DF P 0.8 P.6 Un vez que se otuvieron los elementos que omponen l práol on vértie fuer del origen tnto en su form vertil omo horizontl, se puede onluir que: Elementos: Práol Horizontl Práol Vertil F: foo D: diretriz S: eje fol V: vértie LR: ldo reto L R: puntos etremos del LR : distni dirigid P: prámetro Fh, k h Prlelo l eje de ls Vh, k LR 4 p Lh, k Rh, k Fh, k k Prlelo l eje de ls Vh, k LR 4 p Lh, k Rh, k.3... Otenión de l euión ordinri de l práol on vértie fuer del origen prtir de lguno de sus elementos mínimos neesrios Es posile determinr l euión ordinri de un práol on vértie fuer del origen si se onoen l menos lgunos de sus elementos mínimos; por ejemplo, si se onoen el foo el vértie, los puntos etremos del ldo reto, l diretriz el foo, et., vievers. Puesto que los elementos mínimos neesrios se pueden otener prtir de los dtos que se proporionn, uáles son esos elementos mínimos neesrios? Los elementos mínimos neesrios pr determinr l euión ordinri de un práol on vértie fuer del origen son: los omponentes del vértie h, k, l distni dirigid el eje fol. 4 Universidd CNCI de Méio

25 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 De ulquier dto que te proporionen, lo primero que dees otener son los elementos mínimos neesrios luego, prtir de estos, onstruir l euión ordinri orrespondiente de l práol sustituendo los vlores ásios. Ejemplo: otén l euión ordinri grfi l práol u diretriz es 6 0 uo vértie está en 0,3. Y que el vértie está en 0, 3 que l form generl del vértie es h, k se dedue que: h 0 que k 3 Otenidos estos vlores sólo flt determinr l distni dirigid el eje fol. Ahor, de l euión de l diretriz 6 0, se despej, de lo que result: 6 Como l diretriz ort l eje, se dedue que su eje fol es prlelo diho eje, de lo que se onlue que se trt de un práol horizontl. Al onoer l euión de l diretriz h del dto proporiondo 6 se sustituen h 0 6, 6 0 de lo que result: 6 Ahor sí, medinte los elementos mínimos neesrios es posile otener l euión ordinri orrespondiente. Como se menionó, el eje fol es prlelo l eje, l práol es horizontl l form ordinri de l euión es del tipo: k 4 h. Luego, ses que el vértie es 0, 3 l distni dirigid es 6, por lo tnto, l sustituir en l euión result: Universidd CNCI de Méio

26 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 Qué importni podrín tener los prámetros h, k en un práol? Pr responder tl pregunt es neesrio her distints prues on dihos prámetros omprr los resultdos. Supón un práol on vértie fijo en 6, 3 en el ul vrí el prámetro signndo vlores distintos d vez. Por ejemplo, ómo es l gráfi si ½? ómo si? ómo si ½? ómo si? et. Qué ourre gráfimente undo el prámetro se inrement o disminue? Otén los puntos etremos del ldo reto de dos de ls práols de l gráfi determin ls diferenis V- 4, V, V-6, -3-3 Si oservs ien l gráfi, undo el prámetro disminue, l práol se he más pequeñ, mientrs que undo se inrement l práol se he más grnde. Ahor, qué ourre si vrís el vértie de l práol fuer del origen fijs un determindo vlor l prámetro? V0, V, -5 Ciertmentequelgráfidelpráoleslmism pero uid en diferentes lugres en el plno onforme su vértie, en este so, omo es positivo, l práolse re l dereh o hi rri. Determin l euión de d un de ls práols que se enuentrnen el plno de l imgen. 6 Universidd CNCI de Méio

27 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 Práti 38 Instruiones: determin l euión ordinri de l práol on vértie fuer del origen de l form que proet el gu lnzd por un omero otén los elementos fltntes prtir de l euión Consider l omero omo el punto de refereni re el plno rtesino prtir de él. L posiión del omero respeto l fuego depende de l form próli del gu de l presión on l ul es lnzd. El gu lnz un ltur máim de metros l distni del omero l punto más lto que lnz el gu es de 5 metros, demás que el punto, pertenee l práol. 7 Universidd CNCI de Méio

28 Tller de Mtemátis III I Semn 3 4 Sesión Los tems revisr el dí de ho son:.4. Euión generl de l práol.4.. Conversión de l form ordinri de l euión de un práol on vértie fuer del origen su form generl.4.. Conversión de l form generl de l euión de un práol on vértie fuer del origen su form ordinri.4. Euión generl de l práol Qué tipo de form produe el delfín l sltr? Si el delfín es pz de produir sltos l ndr, su hilidd le permitirá espr fáilmente de ls redes de los pesdores? Hs de ser que los delfines produen esos tipos de sltoss omo epresión de legrí o omo juego, pero, lmentlemente los delfines son inpes de espr de ls redes de los zdores. Ahor, rees que se pued representr mtemátimente l form del slto de un delfín? A trvés de l euión de un práol en su form ordinri es posile, pero, ómo se puede representr l form generl de l euión de un práol dd en su form ordinri? Reuerd que l euión de ulquier gráfi en su form generl es representd medinte l iguldd ero, pr logrr lo nterior en un euión ordinri de l práol, es neesrio desrrollr los udrdos de l mism simplifir ordenndo sus términos. Hs notdo que l psr de un euión otr, se ejere sore l mism un trnsformión, lo que se le onoe omo onversión de un form de l euión otr, esto se reliz en funión del requerimiento de un o de l otr, según se el so. Preismente, qué es lo que ourre en tl onversión?.4. Conversión de l form ordinri de l euión de un práol on vértie fuer del origen su form generl Pr relizr l onversión meniond nteriormente, se tomn los dos sos posiles de l práol en prlelo se desrrolln hst logrr el ojetivoo de otener su onversión l tipo de form generl. 8 Universidd CNCI de Méio

29 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 A prtir de l form ordinri de l práol se desrroll lo siguiente: Horizontl es: k 4 h k k 4 4h k 4 k 4h 0 Desrroll los udrdos Igul ero Vertil es: h 4 k h h 4 4k h 4 h 4k 0 Ejemplo: Supón que l euión de l form del slto del delfín es 3 4, Cuál es l euión generl de l form próli que produe el delfín l sltr? Desrroll los udrdos: Igul ero: Simplifi: Además de her otenido l euión generl de l práol que form el delfín l sltr, puedes deduir trvés de l euión que se trt de un práol vertil, que l vrile linel en este so es l, por ser l distni dirigid negtiv, l práol se etiende hi jo. Lo nterior es orreto que omo ses, el delfín efetú un slto que form un práol on ls rterístis otenids trvés de l euión. Práti 39 Dd l euión de l práol on vértie fuer del origen en su form ordinri 7 3 6, onviértel su form generl trz su gráfi. 9 Universidd CNCI de Méio

30 Tller de Mtemátis III I Semn Conversión de l form generl de l euión de un práol on vértie fuer del origen su form ordinri Ejemplo: Príds Se eler un onurso sore l friión de príds, se pide relizr 0, 000 ejemplres de príds omo el de l imgen. A l empres que logre terminr los 0, 0000 príds en el menor tiempo posile se le entregrá un ntidd de 00 illones de euros. Si tú estás trjndo en un empres de grn prestigio, tu jefe te pide olorr en el proeto, pero, l iniir se enuentrn on un grn prolem: ómo otener un euión que representee ls dimensiones del príds de l imgen? En el ejemplo nterior logrste identifir l form del príds, segurmente oinides en que se trt de un práol, que l form de l práol es vertil se present iert hi jo, por lo que puedes onluir que el tipo de euión ordinri que le orresponde es: h 4 k Y prendiste onvertir l euión de un práol on vértie fuer del origen de su form ordinri su form generl, hor, qué ourre si tienes el so ontrrio?, ómo onviertes l euión de un práol on vértie fuer del origen de su form generl su form ordinri? Pr determinr un form revid de resolver ulquier tipo de onversión de l euión de práol on vértie fuer del origen de su form ordinri su form generl vievers, es neesrio onsiderr los dos posiless sos de práols que se pueden presentr, práols horizontles práols vertiles. Form generl Horizontl Vertil k 4 k 4h 0 h 4 h 4k 0 L euión k 4 k 4h 0, por ejemplo, Se re hi el semieje positivo si > 0. Se re hi el semieje negtivo si< 0. Ahor,l herd k,e 4, F k 4h,l euión result: D E F 0 Form generl de l euión de l práol horizontl Leuión h 4 h 4k 0, por ejemplo, Serehiel semieje positivo si > 0. Serehiel semieje negtivo si < 0. Ahor, l her D h, E 4, F h 4k,l euión result: D E F 0 Form generl de l euión de l práol vertil 30 Universidd CNCI de Méio

31 Tller de Mtemátis III I Semn 3 4 De lo otenido nteriormente se onlue que: Euión Constntes D, E F Práol Horizontl Práol Vertil D E F 0 D E F 0 D k, E 4, F k 4h D h, E 4, F h 4k Ejemplo: Convierte l euión de l práol su form ordinri, u form generl está dd por: Soluión: Se identifi término término l euión proporiond on l euión generl que le orresponde D E F 0 6 D si D k E si E 4 39 F si F k 4h sustituess 6 k sustituess 4 sustituess h otienes: otienes: otienes: k 3 3 h 4 Por lo tnto l sustituir los vlores que otuviste en l práol on vértie fuer del origen horizontl result: k 4 h 3 4 Práti 40 euión ordinri de l Prgus Considerndo que l prgus de l imgen que tiene form próli le orresponde l euión generl, , onviértel su form ordinri represéntl en el plno rtesino. 3 Universidd CNCI de Méio

32 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 Semn 4 Sesión 3 Los tems revisr el dí de ho son:. L Elipse.. Crterizión Geométri... L Elipse omo lugr geométrio... Elementos soidos on l elipse..3. Forms de trzo prtir de l definiión.. Euión ordinri de l elipse... Elipses horizontles vertiles on entro en el origen. L elipse.. Crterizión geométri Qué form identifis que tienen en omún ls imágenes nteriores? A trvés de qué rterístis logrrís desriir su form? Reuerd que l elipse se lsifi omo un seión óni porque proviene del orte de un ono on dos ps trvés de un plno. Este tipo de figur óni puedes enontrrl plid en diferentes ámitos de tu vid otidin; por ejemplo, l form del lón de fútol merino, l form de un sndí, l tretori de l Tierr l oritr lrededor del Sol, ámrs serets, los pétlos de un girsol, los ros semielíptios, et. En este loque verás un nálisis detlldo de los diferentes tipos de euiones de l elipse, sí omo su representión gráfi ómo ést depende de los omponentes que l integrn. Pero, ntes de omenzr, uáles son ls rterístis on ls que se identifi un elipse en el plno rtesino? 3 Universidd CNCI de Méio

33 ... L elipse omo lugr geométrio Tller de Mtemátis III Semn 3 4 En el ejemplo iniil hs logrdo identifir l form elípti de ls imágenes, est form se puede representr en el plno rtesino dvirtiendo lguns rterístis prtiulres pr ser identifid omo tl. L elipse en el plno rtesino se define omo el lugr geométrio de los puntos tles que l sum de su distni dos puntos fijos llmdos foos es un onstnte positiv, l ul siempre es mor que l distni entre dihos puntos fijos. Ciertmente, omo en todo lugr geométrio, entre los elementos que integrn l elipse h lgunos que son lve, deido que ondiionn l form. En el so de l elipse, qué ftores o elementos hen posile l elorión gráfi de un elipse?... Elementos soidos on l elipse Al her un nálisis sore el lugr geométrio de l elipse, se logrn definir sus términos rterístios omo sigue: F F : foos C: entro L: eje fol V V : vérties L R L R : puntos etremos VV : eje mor BB : eje menor LR L R : ldo reto e: eentriidd En donde de mner generl, los elementos que rterizn l elipse son: 33 Universidd CNCI de Méio

34 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 C: entro de l elipse, es el punto medio del segmento de ret uos puntos etremos son los vérties. F F : Los puntos F F son los puntos fijos denomindos foos. L: eje fol, es l ret que ps por donde están los foos. VV : vérties, son los puntos de interseión de l elipse on su eje fol. VV : eje mor, es el segmento de ret uos puntos etremos son los vérties de l elipse. BB : eje menor, es el segmento de ret que ps por el entro de l elipse que es perpendiulr l eje fol. LR L R : ldo reto, es el segmento de ret perpendiulr l eje fol que ps por uno de sus foos uos puntos etremos están sorel elipse. e: l eentriiddde un elipse es su grdo de htmiento...3. Forms de trzo prtir de l definiión Y onoes l form, l definiión los elementos que omponen un elipse; hor, ómo trzrís un si utilizs un trozo de hilo un lápiz? Si toms l definiión de l elipse puedes logrr deduir el siguiente método pr trzrl, inténtlo!. Cort un hilo de l medid que tú elijs, este hilo represent un longitud, después t sus etremos dos puntosfijos:f F sin tensrlos.. Tens el hilo on l punt de un lápiz, omo se muestr en l figur. El lápiz trzrá en su movimiento un elipse on foos en los puntos F F,quel sum de ls distnis, de l punt del lápiz d uno de los foos, es onstnte; es deir, es igul l medid que elegiste. F F Será posile trzrl tmién on un ompás? Cómo trzr un elipse on un ompás? A prtir tmién de l definiión de l elipse, puedes deduir el siguiente método pr trzrl on un regl un ompás, pr eso tienes que uir un onjunto de puntos omo se indi ontinuión:. Trz un líne horizontl sore ell mr el entro de l elipse C.. A prtir de este punto on l ud del ompás, trz sus vérties V V, uidos l mism distni del entro. 3. Con un ertur menor del ompás mr los foos F F. 4. Consider un punto P ulquier situdo sore l líne horizontl; luego re el ompás en un distni igul V P. 34 Universidd CNCI de Méio

35 Tller de Mtemátis III I Semn Colo el ompás en el foo F trz los dos ros, rri dejo de l líne ret eje mor. 6. Tom omo entro el foo F, proede de igul mner que en el pso Colo hor el ompás en el foo F on un ertur igul VP trz dos ros, rri jo del eje mor, de igul modo trz dos ros pero hor tom F omo entro. Los puntos de interseiónn de los ros son designdos por P, P, P 3 P 4, se trt de los puntos de l elipse. Al repetir este proesoo pr ulquier punto Q sore el eje mor, se puede lolizr los puntos Q, Q, Q 3 Q 4 sore l elipse, sí suesivmente. Los puntos que lolizste on el método nterior únelos on un líne ontinu sí otienes el trzo de l elipse. El método desrito se justifi que ls distnis V P PV sumn, ondiión neesri pr formr l elipse de uerdo on l definiión. Práti 4 Identifi los elementos que omponen l elipse en l siguiente imgen. A trvés de este ejemplo puedes ver omo ls persons se sirven de l elipse pr rerr instrumentos que en este so son pr entretenerse divertirse. 35 Universidd CNCI de Méio

36 Tller de Mtemátis III I Semn Euión ordinri de l elipse Ejemplo: Jitomte Huje Con el fin de optimizr el espio, uál es l mejor mner de omodr los jitomtes en un j omo l de l figur? Consider que todos los jitomtes deen ser gurddos en el mismo sentido: prdos, ostdos o ruzdos. En el ejemplo nterior onsiderste l form del jitomte pr ser l posiión que más onvení fin de optimizr espios, omo te hrás ddo uent, el jitomte tienee form elípti, dih form tiene opiones diferentes de ser presentd, oliu, horizontl o vertilmente, lro, siempre en funión del punto de refereni que se tom. Pr resolver el prolem de l posiión más fvorle pr optimizr espios en el omodo de los jitomtes, es importnte onoer sus dimensiones, que ésts se utilizn en el álulo del áre del volumen. Conoiendo ls dimensiones entones, hes ls prues neesris pr onoer los espios que oupn en ls diferentes posiiones de omodo l omprrls dedues ls que optimizn mejor espio. Eiste un mner más rápid práti de otener el volumen del jitomte quieres ser de qué se trt? Lo logrrís si onoiers l euión que le orresponde l jitomte. Entones surge l pregunt: Cuál será l form de l euión on l que se pudier distinguir un elipse? En seguid hrás un estudio nlítio de l euión de l elipse, que omo en el so de ls otrs ónis, es l form más simple de representr su lugr geométrio.... Elipse horizontl vertil on entro en el origen Elipses horizontles Pr determinr l euión ordinri de l elipse on entro en el origen horizontl, es neesrio rer un prtir de su definiión, estleiend do lo siguiente: Primero olo el entro en el origen del plno rtesino, de tl mner que elejemorvv qued determindo sore el eje de ls. Ahor, onsider omoo l distni del entro de l elipseduno delosfoos; de tlmodoquesus oordendsquedn sí: F, 0 F, 0. Por fines prátios, tom l epresió ón omo l distni onstnte de l que hl l definiión. 36 Universidd CNCI de Méio

37 Tller de Mtemátis III Semn Universidd CNCI de Méio NOTA: Si oservs on tenión, undo el punto P se enuentr en l mism posiión que el punto B, l longitud de l líne ret roj es etmente l mitd de l longitud totl; es deir, l onstnte "". Ahor, si onsiders tods ls onstntes "", "" "" identifirás que entre ells formn un triángulo retángulo en el ul l onstnte "" se enuentr en el lugr de l hipotenus, ls onstntes "" "" en el de los tetos. Si el punto P, es un punto ulquierde l elipse si toms omo referenil definiión, otienes: FP F P 0 ' 0 P F FP L distni FP está dd por: L distni F Pestáddpor: Sustitues lo nterior en l fórmul FP F P result: Aomods l iguldd: Elevs l udrdo mos ldos de l iguldd: Desrrolls los inomios l udrdo: Nuevmente desrrolls udrdos: Iguls ero: Divides todo entre 4: Aomods l iguldd: Elevs l udrdo mos ldos de l iguldd: [ ] [ ] ' P F FP [ ] [ ] Desrroll los udrdos: Desrroll el inomio l udrdo: Igul ero l euión: Simplifi: Ftoriz otén el ftor omún: L sum de ls distnis del P, los foos es, ést dee ser mor que el segmento de ret FF,esdeir: >, por lo que se otiene que >. A su vez que >,de lo que se otiene >0. Según l gráfi de l imgen, en donde > 0, lo plis l euión nterior te qued: 0 Euión ordinri de un elipse horizontl on entro en el origen. Divides todo entre

38 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 Análisis de l euión: Con se en l euión nóni de l elipse on entro en el origen horizontl que otuviste, puedes deduir lo siguiente:. Su gráfi es simétri respeto l eje ; es deir, si el punto P, stisfe su euión, entones el punto P, tmién, signifi que los dos puntos están en l gráfi.. Su gráfi es simétri respeto l eje ; es deir, si el punto P, stisfe su euión, entones el punto P, tmién, signifi que los dos puntos están en l gráfi. 3. Si su gráfi es simétri respeto l eje respeto l eje, entones tiene simetrí respeto l origen. 4. El dominio de l elipse son los vlores que puede tomr l vrile independiente en l euión, pr otenerlo despej de l euión ordinri de l elipse on entro en el origen que otuviste, ± por lo tnto 0 de tl modo que result. 5. El rngo de l elipse son los vlores que puede tomr l vrile dependiente en l euión, pr otenerlo despej de l euión ordinri de l elipse on entro en el origen que otuviste, ± por lo tnto 0 de tl modo que result. Podrás notr que según ls dos ondiiones nteriores, l elipse horizontl on entro en el origen está otd por ± en el eje de ls por ± en el eje de ls. Práti 4 Ejemplo: Grfi l siguiente euión: 64 5 Elipses vertiles Pr determinr l euión ordinri de l elipse on entro en el origen vertil, se siguen psos similres los que relizste pr otener l euión de l elipse on entro en el origen horizontl. Primero olo el entro en el origen del plno rtesino, de tl mner que el eje mor VV qued determindosore el eje de ls. Ahor, onsider omo l distni del entro de l elipse d uno de los foos; de tl modo que sus oordendsquedn sí: F0, F 0,. Por fines prátios, tom l epresión omo l distni onstnte de l que hl l definiión. 38 Universidd CNCI de Méio

39 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 Si el punto P, es un punto ulquier de l elipse si toms omo refereni l definiión, otienes: FP F P L distni FP está dd por: FP 0 L distni F P está dd por: F' P 0 Sustitues lo nterior en l fórmul FP F P result: FP F' P Aomods l iguldd: 0 0 Proedes de l mism mner que omo lo hiiste on l elipse horizontl hst llegr enontrr l euión ordinri de l elipse on entro en el origen vertil. Euión ordinri de un elipse vertil on entro en el origen. Análisis de l euión: Con se en l euión nóni de l elipse on entro en el origen vertil que otuviste, puedes deduir lo siguiente:. Su gráfi es simétri respeto l eje, es deir, si el punto P, stisfe su euión, entones el punto P, tmién; signifi que los dos puntos están en l gráfi.. Su gráfi es simétri respeto l eje, es deir, si el punto P, stisfe su euión, entones el punto P, tmién; signifi que los dos puntos están en l gráfi. 3. Si su gráfi es simétri respeto l eje respeto l eje, entones tiene simetrí respeto l origen. 4. El dominio de l elipse son los vlores que puede tomr l vrile independiente en l euión, pr otenerlo despej de l euión ordinri de l elipse on entro en el origen que otuviste, ± por lo tnto 0 de tl modo que result. 5. El rngo de l elipse son los vlores que puede tomr l vrile dependiente en l euión, pr otenerlo despej de l euión ordinri de l elipse on entro en el origen que otuviste, ± por lo tnto 0 de tl modo que result. Podrás notr que según ls dos ondiiones nteriores, l elipse vertil on entro en el origen está otd por ± en el eje de ls por ± en el eje de ls. Práti 43 Grfi l siguiente euión: Universidd CNCI de Méio

40 Tller de Mtemátis III I Semn 3 4 Sesión 4 Los tems revisr el dí de ho son: Otenión de los elementos de un elipse on entro en el origen prtir de su euión Otenión de l euión ordinri de un elipse on entro en el origen prtir de sus elementos mínimos neesrios... Otenión de los elementos de un elipse prtir de su euión Ejemplo: Se podrí omunir un sereto distni entre tnt gente en un glerí omo l de l imgen? Un glerí omo l de l imgen nterior está diseñd on form elípti, ómo será posile omunir seretos quí? En dih sl se produe un efeto de refleión; es deir, un person que se oloque en uno de los foos de l elipse puede esuhr lo que die l otr person uid en el otro foo, sin que en otros puntos de l sl se esuhe lo que die. Súper interesnte no? Pr onstruir un glerí on tl form los rquitetos requieren de l euión de l form onstruid, en estee so de l euión de l elipse sore todo de los elementos lve pr produir tl efeto; es deir, de los foos. Cómo se podrán otener los elementos de l elipse en espeil los foos? Ls rterístis de l gráfi de l euión de l elipse dependen de los elementos que l omponen, por tl motivo es importnte onoerlos ser l influeni que tiene d uno de ellos on su gráfi euión. Si reuerds los elementos que integrn un elipse son: 40 Universidd CNCI de Méio

41 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 F F : foos C: entro L: eje fol V V : vérties L R L R : puntos etremos VV : eje mor BB : eje menor LR L R : ldo reto e: eentriidd > Será posile representrmedinte oordends los elementos que integrn un elipse? Y que l elipse que estás trjndo tiene entro en el origen,sus oordends son C0, 0. Elipses horizontles Como l distni del entro ulquier de los foos es l onstnte, por ser el eje fol oinidente on el eje de ls, puedes deduir que ls oordends de los foos orresponden F, 0 F, 0 Al ser los vérties de l elipse los puntos etremos del eje mor, l distni del origen d vértie está dd por l onstnte, demás que éste se enuentr sore el eje de ls, entones ls oordends de los vérties orresponden V, 0 V, 0 Elipses vertiles Comoldistnidelentroulquierdelos foos es l onstnte, por ser el eje fol oinidente on el eje de ls, puedes deduir que ls oordends de los foos orresponden F0, F 0, Al ser los vérties de l elipse los puntos etremos del eje mor, l distni del origen d vértie está dd por l onstnte, demás que éste se enuentr sore el eje de ls, entones ls oordends de los vérties orresponden V0, V 0, Si l distni del entro uno de los puntos etremos del eje menor de l elipse es l onstnte, estos se enuentrn sore el eje de ls, entones ls oordends de los puntos etremos del eje menor de l elipse orresponden B0, B 0, Si l distni del entro uno de los puntos etremos del eje menor de l elipse es l onstnte, estos se enuentrn sore el eje de ls, entones ls oordends de los puntos etremos del eje menor de l elipse orresponden B, 0 B, 0 Qué ourre on l longitud del ldo reto sus puntos etremos? 4 Universidd CNCI de Méio

42 Tller de Mtemátis III Semn Universidd CNCI de Méio Elipses Vertiles De l mism mner omo otuviste ls oordends del ldo reto su longitud pr un elipse on entro en el origen horizontl, lo puedes her pr un elipse vertil. L difereni es que los foos en un elipse vertil son F0, F 0,. Entones hor sustitúelo en l euión. Reuerd que el segmento de ret que es perpendiulr l eje fol ps por el foo se llm ldo reto, uáles su longitud? Pr onoer su longitud es neesrio onoer ls oordends de sus puntos etremos, si uno de los foos seenuentr en ±, 0, sustitue en l euión ordinri de l elipse on entro en el origen. Elipses horizontles ± Sustitue : Despej : Simplifi: Aplis el teorem de Pitágors : ± ± Simplifi: Ordend undo : Por lo tnto ls oordends que le orresponden los puntos etremos del ldo reto de l elipse on entro en el origen horizontlson:, ', ',, R L R L Y qué ps on l longitud del ldo reto? Pr otener l longitud del ldo reto se lul l distni que eiste entre sus puntos etremos, si toms ulesquier de los pres de puntos etremos se otiene el ldo reto: LR LR LR LR d 4 4,, R L L longitud del eje mor, es l distni de V, 0 V,0 de l elipse: VV VV VV VV d ' 4 ' ' 0 0 ' L longitud del eje menor, es l distni de B0, B 0, de l elipse: BB BB BB BB d ' 4 ' ' 0 0 ' L eentriidd de l elipse es l rzón de sus ejes determindos por l longitud de su eje mor l distni entre sus foos. e e

43 T Tller dee Mtemáátis IIII Sustitue e : Desp pej : Sim mplifi: ± Semn 3 4 Simplifi: Orden d undo : ± ± Por lo tnto t ls oordends que e le orrespond den los pun ntos etremos s del ldo retto de l elipse e on entro en el origen horizontl so on: Aplis el teorem de Pitágors P : L, R, L', R', Y qué ps on l long gitud del ldo reto? Práti 44 A prtir de l euión e prroporiond d otén lo os elementtos que om mponen dih elipse Oten nión de l euión de d un elipsse on enttro en el orrigen prttir de sus elementos e m mínimos ne eesrios Ejem mplo: Blone es en los de eportes n los deporttes de fútol soer de fútol merino se interm min Imggin que en los lones, perro ls reglss de juego no. n Cómo resultrá el prtido pr d juggdor prr los áritrros? d Méio 43 Universsidd CNCI de

44 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 Qué os provorí intermir los lones de fútol en ls nhs! Cd uno está diseñdo pr un uso espeífio, el lón de fútol merino espeífimente rompe el viento por su form elípti puntigud es más fáil mnejrlo on ls mnos, difíil serí herlo rodr on los pies. Como ves, l form de d ojeto, fenómeno o situión tiene su utilidd prtiulr, te imgins lo que provorí intermir lones, lo mismo usrí onfundir ls euiones de l irunfereni on l de l elipse por ejemplo; es importnte ser distinguirls onoer los elementos que omponen d un que ls he ser únis. En est sesión prenderás lgo nuevo mu interesnte, que hs prendido identifir los elementos que omponen l elipse te strá onoer los elementos mínimos neesrios pr logrr determinr su euión ordinri. Cuáles son los elementos mínimos neesrios pr determinr grfir l euión ordinri de l elipse? Ejemplo: Determin l euión de l elipse el resto de los elementos que l omponen si uno de sus vérties es V0, su eentriidd es de e Además trz l gráfi de l euión. Soluión: Pr determinr l euión de l elipse los elementos neesrios son ls onstntes. Pr enontrrls, primero nliz los elementos proporiondos rri, V0, qué rterísti oservs? Eto, omo l sis de ls oordends del vértie es igul ero, entones se dedue que el vértie se enuentr sore el eje de ls, que por lo tnto se trt de un elipse vertil. Por lo que l euión ordinri que le orresponde un elipse ordinri es del tipo: Además que ls fórmuls de los vérties pr un elipse vertil son de l form: V0, V 0,. Y omo lo ses, > 0 entones, l oservr ls oordends del vértie proporiondo V0, ls fórmuls de ls oordends de los vérties dedues que. Solmente flt otener l onstnte pr determinr l euión de l elipse. El segundo dto que proporionn es l eentriidd, omo ses, l eentriidd es l mism rzón pr un elipse horizontl sí omo pr un elipse vertil: e /. Entones, si e 0.83, sustitues este vlor junto on el vlor de l onstnte en l fórmul de l eentriidd otienes lo siguiente: 0.83 /, por lo tnto Universidd CNCI de Méio

45 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 Mu ien, l onstnte no l otuviste diretmente, pero sí logrste otener l onstnte, dto importnte por medio del ul puedes otener l onstnte. De qué mner? Reuerd que l relión entre ls tres onstntes,, se d trvés del teorem de Pitágors, determinds de l siguiente mner:, hor, omo l onstnte que uss es l, entones despejs de l euión te qued:, hor sólo tienes que sustituir los vlores de ls onstntes en l euión despejd. De tl mner que te qued sí: Ahor sí, tienes ls onstntes pr poder determinr l euión ordinri de l elipse on entro en el origen vertil, de tl mner que te qued de l siguiente mner: L soluión no termin quí, puesto que demás h que enontrr el resto de los elementos que omponen l elipse, tienes un grn ventj, onoes ls tres onstntes, ls ules son indispensles pr otenerlos. Entones, si, , los elementos que omponen l elipse on entro en el origen son: F F : foos V V : vérties B B : puntos etremos eje menor L R: puntos etremos del LR L R : puntos etremos del L R VV : longitud del eje mor BB : longitud del eje menor FF : longitud entre los foos LR L R : longitud del ldo reto e: eentriidd Y su respetiv gráfi qued omo sigue: F0, F 0, V0, V 0, B, 0 B, 0 L, R, L', R', LR e / F0, 0 F 0, 0 V0, V 0, B6.63, 0 B 6.63, 0 L 3.66,0 R 3.66,0 L '3.66, 0 R' 3.66, LR 7.33 e Universidd CNCI de Méio

46 Tller de Mtemátis III I Semn 3 4 Práti 45 Tl de illr elípti Sís que En l tl de illr elípti dees tener uiddo de no dñr el pño evitr que l ol ig l suelo. Además de que los reotes se relizn mnteniendo l iguldd de ángulos de inideni de refleión. Por ls rterístis geométris de l elipse si l tretori de un ol ps por un foo, tmién l ol psrá por el otro foo. Supón que l tl de illr elípti de l imgen tiene uno de sus foos en 80, 0 su eje menor mide 60. A trvés de estos dtos determin l euión ordinri de l elipse. 46 Universidd CNCI de Méio

47 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 Sesión 5 Los tems revisr el dí de ho son:.3. Euión ordinri de l elipse on entro fuer del origen.3.. Elipse horizontl vertil on entro fuer del origen.3... Otenión de los elementos de un elipse on entro fuer del origen prtir de su euión.3... Otenión de l euión ordinri de un elipse on entro fuer del origen prtir de lgunos de sus elementos mínimos neesrios.3. Euión ordinri de l elipse on entro fuer del origen Estruturs del Vtino Algun vez te hs preguntdo por qué l plz Sn Pedro en Rom tiene tl form? En los tems nteriores hs prendido determinr l euión de un elipse on entro en el origen su representión gráfi en sus distints forms. No tods ls elipses tienen su entro en el origen, undo ps eso, se hl de un elipse on entro fuer del origen. Cómo ourre esto? Por ejemplo, si se onsider l Bsíli de Sn Pedro omo el origen o punto de refereni, uál será l euión ordinri que le orrespond l form de l plz de Sn Pedro en el Vtino? L prtiulridd de l euión ordinri de l elipse on entro fuer del origen es que se djuntn omo elementos lve de l mism sus oordends, dds por Ch, k, sí omo otros elementos que l omponen, en el so de l plz de Sn Pedro, fue onstruid onsiderndo dihos elementos. 47 Universidd CNCI de Méio

48 Tller de Mtemátis III Semn Elipse horizontl vertil on entro fuer del origen L uestión hor es: qué euión represent un elipse on entro fuer del origen? Elipses Horizontles Supón un elipse on entro fuer del origen omo l de l figur. Y que es más prátio trjr on un elipse on entro en el origen omo lo hs estdo hiendo hst el momento, entones tom el entro de l elipse omo el origen, si hes eso trzs unos ejes perpendiulres fitiios sore el entro, omo los de l figur, oservrás que dihos ejes están reorridos respeto l origen un distni h sore el eje de ls un distni k sore el eje de ls. Reuerd que l trslión de los ejes oordendos ourre solmente si: Los nuevos ejes son prlelos respetivmente los ejes originles. Ls oordends del nuevo origen sen h, k respetolsistem originl. Ls oordends de ulquier punto P ntes de l trslión sen, después de l mism sen,. Si oservs ien l gráfi, se puede determinr que l euión de trsformión qued omo sigue: h o h k o k A prtir de ests fórmuls se puede otener l euión ordinri de un elipse on entro fuer del origen Ch,k. Si se onsider un elipse omo l de l figur, on eje fol prlelo l eje de ls on entro en Ch, k, l herltrslióndeejesltomrelentrodel elipse omo el nuevo origen, su euión ordinri orresponde ' ' Ahor, omo k h,sesustituen en l euión nterior otienes: h k Euión ordinri de l elipse on entro fuer del origen eje fol prlelo l eje de ls 48 Universidd CNCI de Méio

49 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 Por ejemplo: Otén l euión ordinri de l elipse u gráfi se represent en el siguiente plno rtesino. A prtir de l gráfi es posile identifir el entro de l elipse, us oordends son 4, 6, demás l distni del entro l vértie es de 8 uniddes l distni del entro l foo es de 7 uniddes. Si oservs l gráfi su omportmiento, podrás deduir que se trt de un elipse horizontl, u euión ordinri es del tipo: h k Ahor, un vez otenido el entro dedues que h 4 que k 6. Luego, prtir de ls longitudes nteriores, dedues que 8 7, pr otener el vlor de l onstnte utilizs el teorem de Pitágors omo sigue:, de lo que se otiene: Por lo tnto si h 4, k 6, , entones: Trz l gráfi que le orresponde l euión ordinri de l elipse dd por: L euión proporiond orresponde l tipo de elipse vertil, por lo tnto l euión de se es: h k A prtir de ms euiones se iguln término término sus omponentes: h 5 h5 k7 k Por lo que el entro orresponde C5, 7 l longitud del semieje mor es de 8 uniddes, l longitud del semieje menores de 3 uniddes. Al grfir, prtir del entro se miden 3 uniddes l dereh e izquierd 8 uniddes hi rri hi jo. 49 Universidd CNCI de Méio

50 Tller de Mtemátis III I Semn 3 4 Práti 46 Otén l euión ordinri de l form elípti de l plz de Sn Pedro prtir de los dtos siguientess onsider que se trt de un elipse horizontl: L plz de Sn Pedro fue onstruid entre on el fin de rer un sitio pz de oger grndes ongregiones de fieles. En est plz el Pp ofree lguns eleriones solemnes que reúnen multitudes omo ls udienispúlis. Sus dimensioness lnzn los 30metros de lrgo 40 metros de nho en los onteimientos más destdos del Vtino l Plz de Sn Pedro h llegdolergrmás de persons. El rquiteto Bernini utilizó pr l estrutur de l Plz de Sn Pedro un rquitetur oliu que impresion omoo un únio grupo rquitetónio que irundl Bsíli. Pr resolver el ejeriio, supón que l distni del entro de l plz de Sn Pedro l Bsíli es de 00 metros..3.. Otenión de los elementos de un elipse on entro fuer del origen prtir de su euión Sistem Solr Te hs preguntdo lgun vez ómo nos movemos respeto l sol? Qué influeni ejere diho movimientoo sore nuestro plnet Tierr? 50 Universidd CNCI de Méio

51 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 Durnte más de,000 ños se reó que los plnets se movín en órits irulres lrededor de l Tierr, según el denomindo modelo ristotélio; hst que en el siglo XVII se demostró que en relidd ls órits que desrien los plnets son elíptis que lo hen en torno l Sol, en donde el Sol oup el lugr de uno de los foos. Cómo se podrí esriir l euión ordinri de l órit elípti del Plnte Tierr? Es posile determinr los elementos de un elipse on entro fuer del origen si se onoe su euión ordinri o l gráfi que le orresponde, si ést se enuentr proporiond de mner lr. De ulquier de los dos dtos que te proporionen, lo primero que tienes que her es otener los elementos de ls oordends del entro ls longitudes del semieje mor menor, de ls ules dependen l morí de los elementos de l elipse. L distni minte origind por l órit elípti de l Tierr on respeto l Sol d origen ls utro hermoss estiones del ño que se produen en l Tierr. Sís que Los vérties de l tretori elípti por l que se desplz l Tierr lrededor del Sol, se denomin Afelio, que orresponde l posiión más lejn del Sol, Perihelio, que es el punto más erno. Elipses Horizontles Y hs visto un elipse on entro Ch, k omo h un estreh dependeni entre l euión su gráfi; hor, uáles son los elementos que omponen l elipse que produen tles efetos? 5 Universidd CNCI de Méio

52 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 En el so de ls elipses horizontles, uo entro es Ch, k, el eje fol es prlelo l eje de ls l distni del entro ulquier de los foos es, por lo tnto l distni sore el eje de ls desde el origen hst el foo es h, l distni sore el eje de ls desde el origen hst el foo es solmente k, por lo que, ls oordends de los foos son: Fh, k F h, k Respeto los vérties, es semejnte, l distni del entro d vértie es de, hor, l distni sore el eje de ls del origen d vértie es h l distni sore el eje de ls prtir del origen es k. Por lo tnto ls oordends de los vérties de l elipse on Ch, k son: V h, k V h, k De l mism mner proedes pr otener ls oordends deleje menorbh, k B h, k. Ahor se proede otener ls oordends de los puntos etremos del ldo reto junto on su longitud, pr diho álulo se tomn los elementos neesrios: uno de los foos h, k l euión: h k el foo es onsiderdo porque, si oservs ien l gráfi, el ldo reto ps sore éste, quiere deir que ls oordends del ldo reto tomn el mismo vlor de l sis. Entones, pr onoer sus puntos se sustitue h en l euión ordinri de l elipse on entro fuer del origen. h h k Sustitues h Simplifis: k Reuerd : k 4 Aplis l ríz udrd: k Despejs : k ± ± k L h, k L' h, k R h, k R' h, k Y qué ps on l longitud del ldo reto? 5 Universidd CNCI de Méio

53 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 Pr otener l longitud del ldo reto se lul l distni que eiste entre sus puntos etremos, si toms ulesquier de los pres de puntos etremos se otiene el Ldo Reto: L h, k R h, k d LR LR LR LR 4 Por ejemplo: [ h h ] 4 [ k k L longitud deleje mor, es l distni de Vh,k V h, k de l elipse: d ] VV ' [ h h ] VV ' VV ' 4 VV ' k k L longitud deleje menor,es l distni de Bh, k B h, k de l elipse: d BB ' h h BB ' [ k k ] BB ' 4 BB ' L eentriidd de l elipse es l rzón de sus ejes determindos por l longitud de su eje mor l distni entre sus foos. e e Pr otener los elementos de un elipse determind su euión, se relizn los siguientes psos: 6 7 Si l euión de l elipse es: 6 4, lo primero que dees otener son los elementos h, k,, luego, trvés de estos puedes otener el resto de los elementos, que en su morí dependen de l menos uno de ellos. Entones trvés de l euión dd, dedues que se trt de un elipse horizontl, por lo tnto, si toms l euión ordinri de l elipse on entro fuer del origen: h k 6 7 l euión proporiond en este ejemplo: 6 4 Iguls término término d uno de los elementos de l euión otienes: h 6 h 6 k 7 k Mu ien, los elementos otenidos son h 6, k 7, Ahor, sólo flt otener el vlor de l onstnte, reuerd que l relión que eiste entre ls onstntes, es trvés de l fórmul del teorem de Pitágors, por lo tnto de lo que result Universidd CNCI de Méio

54 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 F F : foos V V : vérties B B : puntos etremos eje menor L R: puntos etremos del LR L R : puntos etremos del L R VV : longitud del eje mor BB : longitud del eje menor FF : longitud entre los foos LR L R : longitud del ldo reto e: eentriidd Fh, k F h, k Vh, k V h, k Bh, k Bh, k L h, k R h, k L' h, k R' h, k LR e / Sólo qued sustituir en d fórmul los elementos otenidos pr otenerel resto. h 6, k 7, 5., Elipses Vertiles F9.46, 7 F.54, 7 V., 7 V 0.9, 7 B6, 3.3 B6, 0.7 L 9.46, 4.3 R9.46, L'.54, 4.3 R'.54, LR 5.4 e / 3.46/ En el so de ls elipses vertiles, uo entro es Ch, k, el eje fol es prlelo l eje de ls l distni del entro ulquier de los foos es, por lo tnto l distni sore el eje de ls desde el origen hst el foo es k, l distni sore el eje de ls desde el origen hst el foo es solmente h, por lo que, ls oordends de los foos son: Fh, k F h, k. Respeto los vérties, l distni del entro d vértie es de, hor, l distni sore el eje de ls del origen d vértie es k l distni sore el eje de ls prtir del origen es h. Por lo tnto ls oordends de los vérties de l elipse on Ch, k son: V h, k V h, k De l mism mner proedes pr otener ls oordends deleje menorbh,k B h, k. Ahor se proede otener ls oordends de los puntos etremos del ldo reto junto on su longitud, pr diho álulo se tomn los elementos neesrios: uno de los foos h, k l euión: h k el foo es onsiderdo porque, si oservs ien l gráfi, el Ldo reto ps sore éste, quiere deir que ls oordends del ldo reto tomn el mismo vlor de l sis. Entones, pr onoer sus puntos se sustitue k en l euión ordinri de l elipse on entro fuer del origen. 54 Universidd CNCI de Méio

55 Tller de Mtemátis III Semn Universidd CNCI de Méio Por ejemplo: Pr otener los elementos de un elipse determind su euión se relizn los siguientes psos: Si l euión de l elipse es:, lo primero que dees otener son los elementos h, k,, luego, trvés de estos puedes otener el resto de los elementos, que en su morí dependen de l menos uno de ellos. Entones trvés de l euión dd dedues que se trt de un elipse vertil, por lo tnto, si toms l euión ordinri de l elipse on entro fuer del origen: l euión proporiond en este ejemplo: Iguls término término d uno de los elementos de l euión otienes: h 9 h 9 k 5 k h h h h h k k h 4 ± ± Sustitues k Simplifis: Reuerd : Aplis l ríz udrd: Despejs :, ', ',, k h R k h L k h R k h L Y qué ps on l longitud del ldo reto? Pr otener l longitud del ldo reto se lul l distni que eiste entre sus puntos etremos, si toms ulesquier de los pres de puntos etremos se otiene el Ldo Reto: LR LR LR k k h h LR d 4 4 ] [ ] [,, k h R k h L L longitud del eje mor, es l distni de Vh, k V h, k de l elipse: VV VV VV k k h h VV d ' 4 ' ' ] [ ' L longitud del eje menor, es l distni de Bh, k B h, k de l elipse: BB BB BB k k h h BB d ' 4 ' ' ] [ ' L eentriidd de l elipse es l rzón de sus ejes determindos por l longitud de su eje mor l distni entre sus foos. e e k h

56 Tller de Mtemátis III Semn 3 4 Mu ien, los elementos otenidos son h 9, k 5, Ahor, sólo flt otener el vlor de l onstnte, reuerd que l relión que eiste entre ls onstntes, es trvés de l fórmul del teorem de Pitágors, por lo tnto de lo que result 4.. F F : foos V V : vérties B B : puntos etremos eje menor L R: puntos etremos del LR L R : puntos etremos del L R VV : longitud del eje mor BB : longitud del eje menor FF : longitud entre los foos LR L R : longitud del ldo reto e: eentriidd Fh, k F h, k Vh, k V h, k Bh, k B h, k L h, k R h, k L' h, k R' h, k LR e / Sólo qued sustituir en d fórmul los elementos otenidos pr otenerel resto. h 9, k 5, 5.3, F9, 9. F 9, 0.8 V9, 0.3 V 9, 0.3 B.6, 5 B 5.84, 5 L 0.9, 9. R7., 9. L' 0.9, 0.8 R'7., LR 3.8 e / 4./ Un vez que se otuvieron los elementos que omponen l elipse on entro fuer del origen tnto en su form vertil omo horizontl, se puede onluir que: Elementos: Elipse Horizontl Elipse Vertil F F : foos V V : vérties L: eje fol B B : puntos etremos eje menor L R: puntos etremos del LR L R : puntos etremos del L R VV : longitud del eje mor BB : longitud del eje menor FF : longitud entre los foos LR L R : longitud del ldo reto e: eentriidd Fh, k F h, k Vh, k V h, k Prlelo l eje de ls Bh, k Bh, k L h, k L' h, k LR e / R h, k R' h, k Fh, k F h, k Vh, k V h, k Prlelo l eje de ls Bh, k Bh, k L h, k R h, k L' h LR e /, k R' h, k 56 Universidd CNCI de Méio

57 Tller de Mtemátis III Semn Otenión de l euión ordinri de l elipse on entro fuer del origen prtir de lguno de sus elementos mínimos neesrios Es posile determinr l euión ordinri de un elipse on entro fuer del origen si se onoen l menos lgunos de sus elementos mínimos; por ejemplo, si se onoen uno de sus foos, uno de sus vérties el entro, los puntos etremos del ldo reto, uno de sus foos el entro, et., vievers; puesto que los elementos mínimos neesrios se pueden otener prtir de los dtos que se proporionn. Cuáles son esos elementos mínimos neesrios? Los elementos mínimos neesrios pr determinr l euión ordinri de un elipse on entro fuer del origen son: los omponentes del entro h, k, ls onstntes. De ulquier dto que te proporionen, lo primero que tienes que her es otener los elementos mínimos neesrios luego, prtir de estos, onstruir l euión ordinri orrespondiente de l elipse sustituendo los vlores ásios. Práti 47 Otén l euión ordinri grfi l elipse u longitud del eje menor es 6, uno de sus puntos etremos es L4.4, 9 su entro está en, 3 su eje fol prlelo l eje de ls. 57 Universidd CNCI de Méio

58 Tller de Mtemátis III I Semn 3 4 Sesión 6 Los tems revisr el dí de ho son:.4. Euión generl de l elipse.4.. Conversión de l form ordinri de l euión de un elipse on entro fuer del origen su form generl.4.. Conversión de l form generl de l euión de un elipse on entro fuer del origen su form ordinri.4. Euión generl de l elipse Ejemplo: Pétlos elíptios Oserv ls dos imágenes: Te produe lgún efeto el ontemplrls? Algunos de estos dos tipos de flores te tre más que l otr, te hs preguntdo por qué? Hs de ser que según Rudolf Arnheim ls forms tienen un determindo efeto psiológio sore quien ls ontempl, efeto que se deriv de sus uliddes propis epresivs. Según él l líne horizontl omuni estilidd, l vertil es símolo de infinitud, l líne ret signifi deisión, fuerz, estilidd, mientrs que l urv indi dinmismo, fleiilidd, el írulo omuni equilirio dominio l elipse por su prte, l ontr on dos vérties omuni inquietud e inestilidd. Será ierto todo eso? Tú qué dies? Los pétlos del girsol tienen form elípti, te independientemente de lo que pudiern omunir. omuniron inquietud?, Crees que se pued representr mtemátimente l form del pétlo del girsol? 58 Universidd CNCI de Méio

59 Tller de Mtemátis III Semn Universidd CNCI de Méio Sís que Rudolf Arnheim fue un psiólogo filósofo nido en Berlín, Alemni en 904. Relizó importntes ontriuiones pr l omprensión del rte visul otros fenómenos estétios. A trvés de l euión de un elipse en su form ordinri es posile representr mtemátimente l form del pétlo del girsol; pero, Cómo se puede representr l form generl de l euión de un elipse dd en su form ordinri? Reuerd que l euión de ulquier gráfi en su form generl es representd medinte l iguldd ero, pr logrr lo nterior en un euión ordinri de l elipse, es neesrio desrrollr los udrdos de l mism simplifir ordenndo sus términos. Te hs ddo uent que l psr de un euión otr, se ejere sore l mism un trnsformión, lo que se le onoe omo onversión de un form de l euión otr, esto se reliz en funión del requerimiento de un o de l otr, según se el so. Preismente qué es lo que ourre en tl onversión?.4.. Conversión de l form ordinri de l euión de un elipse on entro fuer del origen su form generl Pr relizr l onversión meniond nteriormente, se tomn los dos sos posiles de l elipse en prlelo se desrrolln hst logrr el ojetivo de otener su onversión l tipo de form generl. Entones, l form ordinri de l elipse: Ejemplo: Supón que l euión ordinri de l form del pétlo del girsol del primer ejemplo es l siguiente: Cuál es l euión generl de l form elípti del pétlo? Horizontl Vertil Desrroll los udrdos Igul ero 0 k h k h k k h h k h 0 k h k h k k h h k h 9 3