Usando el metodo de Newton-Raphson para encontrar a, con criterio de aproximaci6n

Transcripción

1 Capitulo. SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 73 De acuerdo co la grmica del poliomio p( x) = X4 - x 3-4x + 4x + 4, se ve que todas las raices a " a,a3 Y a 4 de la ecuacio poliomica dada so reales, co a, e [-,-1], a e[-1,0], a 3 e [1,], a 4 e [,3]. Se ve claramete que p( x) satisface la hip6tesis geeral del metodo de Newto-Raphso e itervalos apropiados para cada ua de las rafces a " a,a 3 Y a 4. Usado el metodo de Newto-Raphso para ecotrar a " co criterio de aproximacio 5 I p(x) 1< 5 x 10-0 I x - x_, 1< 5 x 10-5, se obtiee a4 ~ = x4 usado Xo = 3.0, Y el correspodiete poliomio reducido de grado 3, es q3 (x) = x x x Usado Deflacio, ecotramos ua aproximacio de la rafz a 3, 10 que da a3 ~ = X5 tomado como aproximaci6 iicial _xo = 1.0. EI poliomio reducido correspodiete de grado, es q (X) = x x Fialmete, ecotramos aproximacioes de la rafces a Y a,, resolviedo la ecuacio cuadratica q(x) = 0,coloqueseobtiee a~ Y a, ~ Ejemplo.9 Ecotrar todas las raices reales de la ecuaci6 X4 + 5x 3-9x - 85x = 0, usado el metodo de Newto-Raphso y Deflacio. La grafica del poliomio p( x) = X4 + 5x 3-9x - 85x -136 es como se muestra e la FIGURA.17. De acuerdo co la FIGURA.17, la ecuaci6 dada solo tiee dos raices reales simples a, e [- 5,0] y a e [0,5] (verifiquelo aaliticamete). Usado el metodo de Newto-Raphso para ecotrar a, co criterio de aproximaci6 Ip(x ) I < 5 x I x - x _,1 < 5 x 10-5, obteemos a, :>: = x 5 usado como puto iicial Xo = - 5.0, Y el poliomio reducido correspodiete de grado 3, es 3 q3 (x) = x x x Usado Deflacio, ecotramos la aproximacio a :>: 4 _1 31 = x4, tomado como puta iicial Xo = 5.0, Y el poliomio reducido correspodiete de grado, es q(x) = x x

2 74 METODOS NUMERICOS Y Yi p(x) 0'., o 5 x FIGURA.17 Fialmete, las raices de la ecuaci6 cuadratica q(x) = 0 so los umeros complejos cojugados (13 "" i Y (14 "" i. EI siguiete ejemplo muestra que el metoda, de Newto-Raphso puede coverger y hacerlo letamete cuado se aplica e la busqueda de ua raiz multiple de ua ecuaci6 t(x)= 0 (cosa similar ocurre cuado hay rarces reales cercaas etre sf). Ejemplo.10 Cosideremos la ecuaci6 x - tax = 0. Es claro que (1 = 0 es raiz de esta ecuaci6. Cual es la multiplicidad de esta raiz? La grafica de t(x) = x - tax alrededor de (1 = 0 es como se muestra e la FIGURA. 18 siguiete.

3 Capitulo. SOLUCI6N NUMERICA DE UNA ECUACI6N NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 75 y x FIGURA.18 De aeuerdo eo esta grafiea la raiz a = 0 es ua raiz multiple eo multiplieidad impar. Como f'(x) = 1- see x, f'(0) = 0 f"(x)= - see xtax, f"(o)=o f'''(x) = - 4 see xta x - see 4 x, f'''( 0) = - ;t 0 etoces a =0 es ralz de multiplieidad m= 3, segu el teorema.3. Observe que auque la raiz a = 0 es multiple, f'(x);t 0 para x eerea de 0, X;t 0, asi que podemos aplicar el metodo de Newto-Raphso para aproximar la raiz a = O. Si haeemos esto co eriterio de aproximaci6 I f(x ) 1< 5 x 10- s 0 Ix - x - 1 1< 5 x 10-5, obteemos los resultados que apareee e la TABLA.14 siguiete. x f( x) Ix - x - 1 I x x Lx x x x x x x x x x x x x10- s TABLA x 10- Observado los resultados de la TABLA.14, vemos que auque If(xs)1 es pequeo, Xs o es ua buea aproximaei6 de a = 0, ademas se ve la letitud de la eovergeeia del metodo de Newto-Raphso.

4 76 METODOS NUMERICOS Ejercicio.6 Use el metodo de Newto-Raphso para ecotrar las dos raices de la ecuaci6 X x = 0, usado como putos iiciales Xo =.5, ~ = 1.5 Y criterio de aproximaci6!f(x )!< 5 x I X- X_1 1< 5 x Cuales so las raices exactas de esta ecuaci6?..t '. / ~.. +. r (./ I = E situacioes como la del ejemplo aterior (ra fz.m.ulti.pje.), se recomieda utilizar el metodo de Newto-Raphso modificado...4 Metodo de Newto-Raphso modificado: EI metodo de Newto-Raphso modificado se basa e el siguiete resultado : Si a es ua raiz de multiplicidad m > 1 de ua ecuacio f(x) = 0 Y f '(x) *- 0 para toda x e algua vecidad de a, x *- a, etoces a es ua raiz simple de la ecuaci6 M(x) = 0, dode la fuci6 M esta defiida como sigue La fuci6 M resulta cotiua e la raiz a. f(x) M(x) = f '( x), 10, x =a E efecto: Como por defiicio de la fucio M, M(a) = 0, etoces a es ra iz de la ecuaci6 M(x) = O. Veamos que a es ua raiz simple. Como a es ua raiz de multiplicidad m > 1 de la ecuaci6 f(x) = 0, etoces f( a ) = 0 y para x *-a, f(x)= (x-ath(x) co limh(x) *- O x... a Por ser f(x) = (x - a)m h(x), etoces f'(x) = m(x - at-'h(x) + (x - ath'(x), asi que para x *- a, M(x) = f(x) = (x-ath(x) == (x- a) h( X) 1 f '(x) (x - a t - [mh(x) + (x-a)h '(X)] mh(x) +(x - a)h'(x) lim h(x) co lim h(x) x~a ( ) == ~ *- 0, ya que lim h(x) *- O. Luego a es ua ra iz x-+a mh(x) + (x - a)h'( x) m lim h x m x... a X"" a simple de la ecuaci6 M(x) = O. Observe que lim M(x) = 0 = M(a), 10 que sigifica que la fucio M es cotiua e a. V X"" a EI metodo de Newto-Raphso modificado cosiste e aplicar el metodo de Newto Raphso a la ueva fuci6 M, asi que la fuci6 de iteraci6 9 del metodo de Newto Raphso modificado esta defiida como

5 Capitulo. SOLUCI6N NUMERICA DE UNA ECUACI6N NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 77 f( x) g(x) = x- M(x) = x- M'(x) ftx) [f'(x)r -f(x)f"(x) es decir, [f'(xw g(x)=x- f~x)f'(x) [f'(x)] - f(x)f"(x) 10 que requiere que f"( x) sea cotiua e algua vecidad de a. Si aplicamos el metodo de Newto-Raphso modificado a la fuci6 f( x) = x - tax para aproximar la rafz a = 0, co criterio de aproximaci6 I M(x) 1< 5 x Ix - x - 1 I < 5 x 10-5, se obtiee los resultados que se iuestra e la TABLA.15 siguiete. I I x I M(x) I I x - x- 1 I x x x10-3 _ x x x 10- TABLA.15 I Istrucci6 e DERIVE: NEWTON_MOD( f( x), x, x o, N): aproxima las primeras N iteracioes e el metodo de Newto-Raphso modificado aplicado a la fuci6 f( x), tomado como aproximaci6 iicial xo. Para el ejemplo, aproxime la expresi6 NEWTON_MOD( x- tax, x, 0.3, ). 0 Observado la TABLA.15 vemos que el valor de ' obteido por el metodo de Newtox Raphso modificado, es mucho mas cercao a 0 que el valor de X5 obteido por el metodo de Newto-Raphso aplicado a la fuci6 f( x) = x - tax. E el ejemplo aterior M(x) = x - ta~x 1- sec x e la FIGURA.19. y la grafica de M e la vecidad de a = 0 se muestra

6 78 MtTODOSNUM~ruCOS y \ y - = M(x) I 0 x FIGURA Metodo de la Secate: EI metodo de Newto-Raphso para aproximar ua raiz simple a de ua ecuaci6 f( x) = 0, cosiste e geerar la sucesi6 {x} a partir de la f6rmula de iteracio y escogiedo Xo cercao a la ra iz a. Como etoces si queremos evitar el uso de la derivada e la formu la de iteracio del metodo de. f(x _ 1)-f(x _ } Newto-Raphso, ua forma es tomar x = x _, Y aproxlmar f'(x _ 1 ) por, x x - que o es otra cosa que la pediete de la recta secate L a la grafica de f por los putos (x _ 1,f(x _ 1 )), (x _,f(x _ ) (ver la FIGU RA.0). Remplazado, e la formula de iteraci6 del metodo de Newto-Raphso, f '( x_,) por su aproximacio f(x _ 1 ) - f(x _ ) x x _, obteemos =, 3,.. que costitu ye la formula de iteraci6 para el metodo de la Seca te.

7 Capitulo. SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 79 N6tese que para calcular co el metodo de la Secate se requiere coocer dos aproximacioes iiciales Xo Y Xl ' y L x FIGURA.0 Observe la relaci6 etre el metodo de la Secate y el metodo de Regula Falsi Ambos metodos usa dos putos iiciales 0 de arraque para ecotrar ua ueva aproximacio a la rafz buscada, pero hay ua gra diferecia etre la escogecia de esos dos putos: mietras que e el metodo de Regula Falsi los dos putos debe ecerrar a la raiz buscada y el metodo siempre coverge, e el metodo de la Secate los dos putos iiciales o ecesariamete ecierra a la rafz buscada 10 que puede provocar divergecia del metodo. EI metodo de la Secate coverge bajo las mismas hip6tesis de covergecia del metodo de Newto-Raphso. Algoritmo.6 (Secate) Para ecotrar ua aproximaci6 a ecuaci6 f(x) =0 coocidas dos aproximacioes iiciales Xo Y Xl : de ua raiz a de ua Etrada: f(x) ; dos aproximacioes iiciales Xo Y Xl ; ua toleracia Tol, y u umero maximo de iteracioes N. Salida: Ua rafz aproximada a ' 0 u mesaje. Paso 1: Tomar =, Yo = f(xo) Y Yl = f(xl) ' Paso : Mietras que :-::; N seguir los pasos 3-7: Paso 3: Si Y1 - Yo = 0, etoces salida: "No se puede aplicar e\ metodo, porque el deomiador e la f6rmula de la Secate se aui6". Termiar.

8 80 METODOS NUMERICOS Paso 5: Si Ix - x1 1< Tol, etoces salida: "Ua aproximaci6 de ua raiz de la ecuaci6 dada es a' = x ". Termiar. Paso 6: Tomar = + 1. Paso 7: Tomar Xo = x 1 Yo = Y1 Y1 = f(x1) Paso 8: Salida: "Se alcaz6 el umero maximo de iteracioes N pero o la toleracia". Termiar. Ejemplo:.11 Si aplicamos el metodo de la Secate para ecotrar la meor raiz positiva de la ecuacio x - tax = 0, co criterio de aproximacio I x - x _ 1 1<5 x 10-5, obteemos los resultados que se muestra e la TABLA.16 siguiete. x x +1 f( x+1) I x +1 - x I x x x x x x x x x x x x x x x Istrucci6 e DERIVE: TABLA x 10-5 SECANTE( f(x), x, x o, x 1,N) aproxima las primeras N iteracioes e el metodo de la Secate aplicado a la fuci6 f( x) tomado aproximacioes iiciales Xo Y x1. Para el ejemplo, aproxime la expresi6 SECANTE( x - tax, x, 4.4, 4.5,6). 0 De acuerdo co los resultados de la TABLA.16, la meor raiz positiva de la ecuacio x-tax = O es ao:::: =x s..3 RAPIDEZ DE CONVERGENCIA Los metodos umericos estudiados aqu i para hallar ua raiz a de ua ecuacio f( x) = 0 cosistiero e geerar ua sucesi6 {x} tal que lim x = a. --> oo

9 Capitulo. SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 81 La eficiecia de u metodo umerico depede, e parte, de la "rapidez" co la cual la sucesi6 {x} coverge a a, dode "rapidez" sigifica el umero miimo de iteracioes N ecesarias para teer x N a ua distacia dada de la raiz a, es decir, tal que Ix - a I< para algu > 0 dado. Ua forma de medir la "rapidez" de la covergecia de u metodo iterativo de los que estudiamos, es e los siguietes termios. Notaci6: Si E = X - a, etoces E puede ser pos i tiv~, egativo 0 cero y E =IE I=IX - a I deota el valor absoluto del error de trucamieto e la iteraci6. E la siguiete defiici6 se itroduce el cocepto de orde de covergecia de ua sucesi6, usado el limite. Hay otras formas de defiir orde de covergecia de ua sucesi6. Defiici6.4 Supogamos que lim x = a E R, es decir, lim E = 0 0 equivaletemete ~ ~ ~ ~ lim E = O. Si existe costates positivas /... y L tales que ---+ oo E l l X+1 - a I lim ~= lim =L ---+ oo E ~ ---+ oo I x _ a I A etoces se dice que la sucesi6 {x } coverge a a co orde de covergecia /... y error asit6tico L. V Veamos que la defiici6.4 es ua buea defiici6 e el setido que si /... etoces so uicos. y L existe, Supogamos que existe /... 1' /... ' L1 Y L costates positivas, tales que I Im-- E+ 1 = L 1 y ---+ oo EA, Basta probar que /... 1= /...' pues si esto ocurre, etoces L1 = L (por la uicidad del limite, cuado existe). Supogamos, por reducci6 al absurdo, que existe /... 1 y /... co /...1 > /... > 0 y tales que I Im - E+1 - = L 1 -too:> EA, I Como /... 1> /... > 0, etoces / /... > 0, Y

10 8 METODOS NUMERICOS _ E = E'- ~ asi que Pero y li m 1_ = lim EM1 E ~ -+oo EA, - A -+", EA, E +1 lim 1_ = Xl ya que lim E A,-A = 0 EA '- :z '...-+ C() ) 10 cual es ua cotradiccio. Luego "1 = 71., V De la defiicio.4 se tiee que, para suficietemete grade y' asi, fijado L, etre mayor sea A, mas rapidamete coverge la sucesio {x} a a, es decir, etre mayor sea el orde de covergecia de ua sucesio { x }' meor sera el umero de iteracioes ecesarias para teer a x a ua distacia dada del limite de esa sucesio. Casos especiales: i) Si 71. =1, e la defiicio.4, es decir, el orde de covergecia es uo, se dice que la covergecia es lieal. Si la covergecia es lieal, etoces para suficietemete grade 10 que sigifica que el error e u paso es aproximadamete proporcioal al error e el paso aterior (e este caso debe teerse 0 < L ~ 1, casi siempre L < 1 ). ii) Si 71.=, e la defiicio.4, la covergec ia se dice cuadratic3. Si la covergecia es cuadratica, etoces para suficietemete grade es decir, el error e u paso es aproximadamete proporcioal al cuadrado del error e el paso aterior. E este caso es claro que el error E decrece mas rapidamete que e el caso lieal, y as! la covergecia sera mas "rapida".

11 Capitulo. SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 83 Ejemplo.1 Cosideremos las sucesioes {Xt co x = -;-, y {x } co x = Como lim x = 0 y lim x = 0, etoces a = 0, e la defiicio.4, para ambas 4C() 4ct:l sucesioes. Ecotremos el arde de covergecia de la sucesio {x }. Como etoces I 1m -- A = I' 1m 1 = L R E, L > 0, si Y solo si A = 1 -><() <o 1-A + - A 1 Luego el orde de covergecia de la sucesi6 {x } co x = -3 es uo, es decir, {x } coverge liealmete a cera. Observe que si A = 1, etoces L = 1. Pracediedo de maera similar al caso aterior, se puede ver que el orde de covergecia } A 1 de la sucesio { x co x = -- es dos, es decir, la sucesio {X } coverge 10 cuadraticamete a cero, co error asitotico L = 1. Ecotremos ahara, los valores mfimos de N, y N tales que 3 E =-;- < 10- c:> 3 > 10 3 c:> > 10, asiquen, =11. La aterior os dice que para la sucesi6 {x } ca x = ~, que coverge liealmete a 3 a = 0, so ecesarias 11 iteracioes para que I x - a I< 10 -, mietras que para la A} A 1 sucesi6 {x ca x = - -, que coverge cuadraticamete a a = 0, so ecesarias solo 10 iteracioes para que I x - a I < Ca base e la defiici6.4, estudiaremos el orde de covergecia de los metodos abiertos que ya vimos.

12 84 METODOS NUMERICOS.3.1 Orde de covergecia del metodo de iteracio de Puto Fijo: Sea a u puto fijo de ua fuci6 g. es decir a = g(a). i) Si g' es cotiua e algua vecidad de a, g'( a) ~ 0, y la sucesi6 {x} defiida por coverge a a, etoces la covergecia es lieal. E efecto co c' etre x Y a. Ahora, como g' es cotiua e a, etoces lim g'( c,) = g'( a), ya que c' ~ a cuado -.'" ~ 00, y etoces asfque 10 que sigifica que la covergecia es lieal. V' ii) Si g" es cotiua e algua vecidad de a, g'(a) = 0, g"(a) ~ 0 (el puto (a,g(a)) o es de iflexi6 de la grafica de g), y la sucesi6 {x} defiida por coverge a a, etoces la covergecia es cuadratica, es decir, {x} coverge a a co orde de covergecia dos. E efecto. Como g" es cotiua e u itervalo abierto que cotiee a a, etoces para x e ese itervalo, se tiee g"(c,) g(x)=g(a)+ g'(a)(x-a)+--(x - a) co E, etre x y a Como g(a) =a y g'(a) = O, etoces

13 Capitulo. SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 85 g "( ~ ) g(x)=a+--(x-a) co ~ etre x y a E particular, cuado x = x ' EN, se tiee Por tato y como g" es cotiua e el itervalo que cotiee a x y a, etoces lim g"( ~ ) = g"(a ), 10 que implica que...'" yetoces lim E+1 = lim g " ( ~ ) = g"(a )... ao E... ao lim E +1 = lim 1 E+1 1=1 g"(a ) I=L>O H ao E ~... ao 1 E 1 10 cual sigifica que la covergecia es cuadratica. V Si queremos teer esquemas iterativos co orde de covergecia mayor, teemos que poer codicioes sobre g. U teorema que geeraliza las ideas ateriores y cuya prueba es sim ilar a la de los casos i) y ii) vistos ates, es el siguiete: Teorema.4 Sea a ua raiz de ua ecuaci6 x =g( x). Si 9 tiee las primeras k-derivadas cotiuas e algua vecidad de a, g{;l (a ) = 0 para i = 1,,,,., k - 1, g{kl (a);,; 0, y la sucesio {x} defiida por coverge a a, etoces la covergecia es de orde k, es decir, {x} coverge a a co orde de covergecia k. V Observaci6: Por 10 geeral, la ca tid ad de calculos ivolucrados e la formula de u metodo iterativ~ aumeta a medida que el orde de covergecia crece, por 10 tato, la gaacia e el orde de covergecia o debe medirse por el umero de iteracioes ecesarias para que el error de trucamieto alcace cierta toleracia, sio por el umero total de operacioes 0 tiempo del computador.

14 86 METODOS NUMERICOS Si embargo, los metodos de covergecia cuadratica parece estar e u puto de equilibrio si teemos e cueta la dificultad de los metodos, el umero de operacioes requeridas y los resultados obteidos; es por eso, que uo de los metodos mas usados es el de Newto-Raphso que, como veremos eseguida, es de covergecia cuadratica.3. Orde de covergecia del metodo de Newto-Raphso: Sea a ua raiz de ua ecuacio f(x) == O. Si la fucio f ti ee sus dos primeras derivadas cotiuas e algua vecidad de a, f'(x);t: O para todo x e esa vecidad, f "(a);t: O (el puto (a, f(a)) o es de iflexio de la 9 rafica de f ), y la sucesi6 {x} defiida por coverge a a, etoces la covergecia es cuadr<ltica. E efecto Como la fuci6 f tiee seguda derivada cotiua e algu itervalo que cotiee a a, etoces para todo x e ese itervalo, se tiee f " ( ~ ) f (x )==f (a)+ f '(a)( x ~a )+ - (x ~ a ) co ~ etre x y a Pero f( a) = 0, asi que f " ( ~ ) f ( x ) == f ' (a )(x ~ a )+ -- ( x ~a) co ~ etre x y a De la misma maera f' ( x )= f '(a )+f " ( ~ ) ( x ~ a ) co ~ etre x y a E particular, cuado x = x ' EN, se tiee Sustituyedo f '( x ) e la formula de iteracio del metodo de Newto-Raphso, obteemos. co ~ etre x Y a Restado a a ambos miembros de la ecuaci6 aterior, se obtiee

15 Capitulo. SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 87 f'(a) E +f"( ~ ) E~ - f(x) f'(a) + f"( ~ ) E y sustituyedo f( X), e la ultima ecuaci6 aterior, obteemos Luego f,,(~ ) f '(a) E +f"(~) E~ -f'(a) E - -f- E~ f ' (a) + f"(~) E E~ [f"(~) - f"(~)] [f'(a) + f"(~) E] Como {X} coverge a a, etoces {~) y {~} tambie coverge a a, y {E) coverge a 0, y como f" es cotiua e a, etoces f"(a) - f"(a) [f'(a)] f"(a) f'(a) Por tato ~I= L>O I f'( a) (recuerde que f'(a) *- y f"(a) *- 0), asi que la covergecia es cuadratica. VI Observe, e el trabajo aterior, que si f(a) = 0, f'(a) = y f"(a) *-, es decir, a es raiz de multiplicidad dos de la ecuaci6 f(x) = 0, etoces el metoda de Newto-Raphso puede au coverger, pero la covergecia es lieal co error asitotico L = ~. E geeral, se tiee que: Si =f(a)=... =f(m-l)(a) y f(m)(a) *-0, es decir, a es ua ralz de multiplicidad m ~ de ua ecuaci6 f( x) = 0, y el metodo de Newto-Raphso coverge, etoces la covergecia es lieal co error asit6tico L = m - 1. m

16 88 METODOS NUMERICOS Se puede demostrar, vease Ralsto,1965, pagias 36 y 37, que el metodo de la Secate, ' d d, 1+/5 16 ' cuad0 coverge, tlee or e e covergecla I, =--""., Yque el metodo de Regula Falsi es de covergecia lieal sie mpre que la grafica de la fucio f sea cocava hacia abajo o hacia arriba e la vecidad de la ra iz Ct., EI metodo de Biseccio se cosidera de covergecia lieal. TALLER. 1. EI metodo de Biseccio se puede aplicar siempre que f(a)f(b) < 0, Si f(x) tiee mas de u cera e ( a, b), se podra saber de atemao cual cera es el que se ecuetra al aplicar el algoritmo 1? /lustre su respuesta co ejemplos,. Las siguietes fucioes cumple la codici6 f( a)f(b) < 0 dode a = 0 y b = 1, Si se aplica el metodo de Biseccio e el itervalo [a, b] a cada ua de esas fucioes, que puto se ecuetra e cada caso? Es este puto u cero de f? 1 x> 0 a) f(x) =(3x-1t b) f(x) = cos(10x) c) f(x)= ' { -1, x ~ 0 3. Pruebe que la fucio f( x) = ex -1 - x - ~ tiee u uico cero, precisamete e x = 0 ' Sugerecia: Puede usar el residuo e ua expasio e serie de Taylor de ex alrededor de 0, Evalue e ua calculadora 0 u computador la fucio f( x) para valores de x cercaos a cero, Nota cambios de sigo e los valores f( x) para umeros x, a u mismo lado de' cero? De haber cambios de sigo, que hara el metodo de Bisecci6 e uo de los itervalos e los que hay uo de esos cambios? Comete sobre la posibilidad de ecotrar, por u metodo umeco, u "falso cero",, 4. Verifique que se puede aplicar el metodo de Biseccio para aproximar el uico cero de la fuci6 f(x) = x 3 - x -1 e el itervalo [1.J, Cuatas iteracioes sera ecesarias para que al aplicar el metodo de Biseccio e el itervalo [1,] se logre ua aproximacio de la raiz, co ua precisio de por 10 meos 3 cifras decimales exactas? Calcule tal aproximacio,