TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria)

Transcripción

1 TEMS DE MTEMÁTS Opocoe de Secudaa TEM 64 ROLDD OMUEST. ROLDD ONDOND. ROLDD TOTL. TEOREM DE YES.. obabldad Magal.. obabldad odcoada. 3. Do Leye áca de la obabldad. 4. Suceo opueto. 5. Suceo depedete. 6. Teoea de la obabldad Total. 7. Teoea de aye. 8. Epaco de obabldade oducto. blogafía Recoedada. /6

2 TEM 64 ROLDD OMUEST. ROLDD ONDOND. ROLDD TOTL. TEOREM DE YES.. ROLDD MRGNL. Sea u epaco uetal Ω foado po puto co pobabldade guale,. Sea,,..., ua patcó de Ω foada po ubcouto utuaete excluyete duto. Sea,,..., ota patcó de Ω e ubcouto duto. Etoce, lo puto del epaco uetal lo podeo clafca egú la guete tabla de doble etada: La tabla o dca que de lo eultado extete e el epaco uetal Ω, tee ultáeaete el atbuto y el atbuto ; el y el ; y, e geeal, lo atbuto y. La ua de todo lo e. oo eeplo podeo codea coo epaco uetal Ω la 5 cata de ua baaa. Ua patcó de Ω puede e egú el palo epada, bato, oo o copa y ota patcó puede e egú el úeo de la cata. La pobabldad del uceo y e puede epeeta po, e luga de po, y el valo de eta pobabldad e, evdeteete uede teeao ólo uo de lo cteo de clafcacó, po eeplo, y eo dfeete la clafcacó. E ete cao pecdo de e el íbolo, y la pobabldad de u valo cualquea e dega po y e que ecbe el obe de obabldad Magal. La calfcacó de agal e eplea epe que e pecde de uo o á cteo de clafcacó. E evdete que /6

3 3/6 ya que De foa aáloga, la pobabldad agal de e o la teología ateo, heo patcoado el epaco uetal Ω e ubcouto duto, degado el ubcouto geeal po. hoa be: 3 K ueto que ' cuado. Teedo e cueta lo axoa de pobabldad, aplcado 3 obteeo 3 K y teedo e cueta el valo de cada uo de lo uado, podeo ecb la expeó ateo coo E el eeplo que heo pueto ate de la baaa co 5 cata, la pobabldad de obtee u a e la ua de pobabldade de obtee u a de epada, u a de bato, u a de oo y u a de copa. odeado u cao á geeal, upogao te cteo de clafcacó, y. Sea,,..., ua patcó de Ω foada po ubcouto utuaete excluyete duto, ea,,..., ota patcó de Ω e ubcouto duto y ea,,..., t la tecea patcó de Ω. Deoteo po el úeo de eultado, de ete lo, que peeta lo caactee, y. La clafcacó copleta eía ua tabla de tple etada copueta de t capa de tabla de doble etada, coepodedo cada capa a u. La pobabldad agal de, po eeplo, y e:

4 4/6 y la pobabldad agal de e La geealzacó de lo ateo paa á de te cteo e ealza de foa edata.. ROLDD ONDOND. Teedo e cueta la clafcacó de doble etada vta al pcpo del puto ateo, co la tabla de doble etada, upogao que deeao exaa el eultado de u expeeto aleatoo paa u atbuto, peo o paa el oto. Queeo halla la pobabldad de que el oto atbuto tega u valo deteado. Supogao que heo obevado que el uceo tee el atbuto 3. uál eá la pobabldad de que tega aí o el atbuto? El total de eultado de cuado ha uceddo 3 e 3 y el úeo de eultado favoable a e 3. í, la pobabldad de, cuado e abe que ha ocudo 3, e 3 3 que e dega co el obe de obabldad odcoada y cuyo íbolo e 3. E geeal, upoedo que lo deoadoe o o ulo, Dvdedo el ueado y el deoado de la faccó del egudo ebo po, o queda o be

5 5/6 Eta últa ecuacó puede eucae de la guete aea: La pobabldad de que u eultado tega lo atbuto y e gual a la pobabldad agal de ultplcada po la pobabldad codcoal de cuado a ocudo. La dea de pobabldad codcoal adte ua geealzacó edata a tuacoe dode tevee á de u cteo de clafcacó. o eeplo, e el cao de te cteo, e ve edataete que y tabé que odía obteee ota elacoe aáloga peutado la leta, y. í y o be odíao egu ecbedo toda la elacoe aáloga extete, peo o e el obetvo del tea. Debe queda clao que la pobabldade ateoe o etá defda el deoado e 0. aa decb la pobabldad codcoal heo utlzado u epaco uetal cetaete epecal, coteedo u úeo fto de puto, cada uo de ello co la a pobabldad. S ebago, la dea e copletaete geeal y puede defe paa epaco uetale dceto y cotuo de la guete foa. DEF Sea y do uceo de u epaco uetal Ω tal que >0. La pobabldad codcoal del uceo cuado ha ocudo el uceo, y que e dega po e aa la pobabldad codcoada podeo utlza la otacó á beve

6 De ete odo veo que, fado el uceo, e ua fucó de doo S. RO Dado el epaco de pobabldad Ω, S y defda la fucó coo tabé Ω, S, e u epaco de pobabldad. La fala S e ua σ-álgeba po hpóte. o e ua edda de pobabldad, e deduce fáclete que e tabé ua edda de pobabldad de doo S. 3. DOS LEYES ÁSS DE L ROLDD. S y o do ubcouto utuaete excluyete duto, el axoa 3, 3, de la pobabldad etablece que Vao a obtee ahoa ua fóula á geeal que o va au e el cao de que lo uceo o ea duto. TEOREM. Sea Ω u epaco uetal y S la σ-álgeba aocada, co fucó de pobabldad. S y o do uceo cualequea de S, e vefca El álgeba de couto pete etablece la gualdad eo lo couto y o duto, po tato podeo aplcale el axoa 3, obteedo hoa be edo, de uevo, abo couto duto, po lo que aplcado de uevo el axoa 3. O tabé coo Suttuyedo eta expeó e la pea, obteeo el eultado deeado. aa deota el teoea e u epaco uetal fto Ω, dode cada puto tee de pobabldad, o efeeo a la tabla del apatado, y calculaeo, po 6/6

7 7/6 eeplo, la pobabldad. La pobabldad de que ocua lo uceo o e obtee uado toda la de la pea fla y de la eguda colua, y dvdedo po. í, teeo abe geealza eta ley paa á de do ubcouto, edo paa te Y paa el cao de ubcouto, eía: TEOREM Sea,,..., uceo cualequea. Etoce < < < U K Vao a ealza la deotacó po duccó e el úeo de uceo. Supogao que teeo uceo. aa la expeó ateo e covete e el Teoea ateo. Supogao válda la expeó paa uceo. aa teeo U U U plcado ahoa la upocó de e ceto paa uceo copletao la deotacó po duccó. l def la pobabldad codcoal, heo deducdo e eeca la ley ultplcatva de la pobabldade. Eta ley dce RO La pobabldad de lo uceo y e gual a la pobabldad codcoal de, e el upueto de que haya ocudo, ultplcada po la pobabldad agal de.

8 8/6 Vao a deota eta popocó codeado que el epaco uetal Ω tee puto equpobable. Sea y el úeo de puto cotedo e y epectvaete y 3 el úeo de puto coue a abo. S upoeo que y o abo potvo, teeo De la expeoe ateoe deduco de foa edata la te a deota. Geealzado la popocó ateo, teeo el guete eucado llaado Teoea de la obabldad oducto o Teoea de la obabldad opueta. TEOREM Teoea de la obabldad opueta. Sea,,..., uceo cualequea y upogao que 0 >. Etoce La codcó 0 > pete ecb la detdad L 3 ya que guo de lo deoadoe ateoe e ulo. La defcó de pobabldad codcoada aplcada a cada faccó covete eta detdad e la expeó que queíao deota. OS E total, guale a la expeó ateo, teeo! elacoe, obteda peutado la leta del egudo ebo.

9 4. SUESOS OMUESTOS. La ley ultplcatva de la pobabldade eulta epecalete útl paa plfca el cálculo de la pobabldade de uceo copueto. U uceo copueto cote e do o á uceo ple, coo ocue cuado e laza u dado do vece o e extae ucevaete te cata de ua baaa. Veao u eeplo que va de lutacó. Se extae do bola, ua ta ota, de ua ua que cotee do bola ega, te blaca y cuato oa. uál e la pobabldad de que la pea bola ea oa y la eguda blaca? odeaeo al extaccó eeplazaeto. Lo eultado de ete uceo copueto puede clafcae egú do cteo El colo de la pea bola. El colo de la eguda bola. odeo pue, cotu ua tabla aáloga a la del pe apatado. La clafcacó e baa e el colo de la pea bola, y haceo coepode lo uceo, y 3 a lo coloe ego, blaco y oo, epectvaete. álogaete, lo uceo, y 3 coepode a lo o coloe paa la eguda bola. El úeo total de eultado e No e el úeo cobatoo poque etao codeado peutacoe y o cobacoe, ya que exte u deteado ode de extaccó. La tabla copleta de eultado e: Y la pobabldad pedda e Utlzado la ley ultplcatva de la pobabldade, ólo ecetao codea lo do uceo ple po epaado. E ete cao, e debe utlza dcha ley e la foa hoa be, 3 e pleete la pobabldad de obtee bola oa e ua ola extaccó, la cual e e la pobabldad de extae bola blaca habedo extado ya ua bola oa, pobabldad que vale 8 3. El poducto de eto do úeo o da la pobabldad pedda. 9/6

10 La valdez de la técca epleada e el eeplo o e evdete. No eulta edato que la pobabldad agal 3 pueda calculae pecdedo po copleto del egudo uceo, que la pobabldad codcoal coepoda al uceo fíco ple que ate heo decto. aa u uceo copueto, que cote de do uceo ple, bata codea ua tabla po. aceo coepode a u aceto e el pe uceo y a u fallo e el o. Sea el úeo de aea co que puede peetae co aceto el pe uceo y el úeo de vece e que dcho uceo puede falla. Supogao que y e defe de foa aáloga paa el egudo uceo. Sea y la vece e que el egudo uceo puede e u aceto y u fallo, upoedo que e haya obtedo u aceto e el peo. Sea y lo úeo de aea e que el egudo puede eulta aceto o fallo cuado abeo que el egudo ha do u fallo. La tabla po que queda eía: El úeo total de eultado poble e La pobabldad bucada e que e poduzca u aceto e abo uceo, luego La pobabldad agal e hoa be, la pobabldad de obtee u aceto e el pe uceo tee e cueta el egudo e que o cocde co la expeó ateo alvo que eto e, a eo que el úeo total de eultado del egudo uceo ea el o tee e cueta el peo ha do aceto o fallo. La pobabldad codcoal e 0/6

11 y da la pobabldad de u aceto paa el egudo uceo, e el upueto de que el peo haya do u aceto. odíao clao a deduc que ete uo de la pobabldad codcoal ólo e coecto cuado el úeo de eultado paa el egudo uceo e depedete del eultado del peo, peo pecaete ucede lo cotao. La pobabldad coecta e y o el valo dado ateoete El valo calculado po ete étodo codcoal e epe coecto, eta que el obtedo po eueacó de eultado lo e ólo cuado el úeo de ello paa el egudo uceo e depedete del eultado del peo. U eeplo ecllo o va a pet aclaa todo eto. Supogao que e laza ua oeda y que ale caa, e toduce ua bola ega e ua ua, eta que ale cuz, e toduce e la ua ua bola ega y ota blaca. cotuacó, e extae ua bola de la ua. S aló caa, la bola tedá que e, evdeteete, ega. S epeetao lo uceo caa y cuz po y X, y blaca y ega po y N, lo te eultado poble eá N, XN y X. Eto te eultado o o, po upueto, equpobable. S el expeeto e eptee u ceto úeo de vece, cabía epea que el eultado N ocuea doble úeo de vece que cualquea de lo oto do. E dec, que u pobabldad fuee ½ y o /3. E geeal, lo eultado poble de u uceo copueto o o gualete pobable el úeo de eultado del egudo uceo depede del eultado del peo. o tato, o e aplcable la defcó de pobabldad. No obtate, la defcó puede aplcae po epaado a lo uceo copoete, eá poble calcula la pobabldad del uceo copueto utlzado el étodo de la pobabldade codcoale. Degacadaete, o e poble da ua deotacó foal de eta afacoe. Teeo que ltao a cofa e ueta tucó o, á be, e el valo de cualque tetoo expeetal que poeao. 5. SUESOS NDEENDENTES. S o depede del uceo, deo que lo uceo y o depedete. odeo expealo foalete de la guete foa: DEF Sea y do uceo de u epaco uetal Ω. Deo que y o Suceo depedete atface /6

12 o eeplo, upogao que lazao u dado do vece y que deeao halla la pobabldad de que lo eultado ea do y te, e ete ode: de odo que lo do uceo o depedete. La depedeca e la egacó de la depedeca. o tato, deo que y o Depedete o o depedete. RO ualque uceo ulo o ca eguo e depedete de cualque oto uceo. La valdez de la codcó e el cao de que ea ulo o ca eguo e edata. RO S y o depedete y >0 etoce. Recípocaete, >0 y e vefca etoce y o depedete. y oo po el hecho de e depedete e deduce ápdaete que. Recípocaete, teedo e cueta la expeoe Obteeo que y o depedete. RO S y o do uceo depedete, etoce y tabé lo o. Retado la do gualdade e obtee de dode /6

13 DEF Deo que lo uceo,,..., o depedete po aea do a do cada pa y o depedete ete í. E dec, e vefca que < Má etctvo eulta el cocepto de depedeca ete lo uceo de ua fala fta. DEF Lo uceo,,..., o depedete ete í paa cada, co, toao lo ídce < <...< e tee K K El úeo de codcoe que e obtee a pat de la defcó ateo o L 3 uado lo uceo o ea depedete. e dec, algua de la codcoe o ea coecta, deo que o Depedete. hoa vao a euca ua popedade que, dada u edatez y po o extedeo deaado, o vao a deota. RO La depedeca de uceo e depedete del ode co que e euce. Lo uceo de u ubcouto del couto de uceo depedete o tabé depedete RO Sea,,..., uceo depedete y defo lo ubcouto de ídce, J {,,..., } vefcado que J 0 Sea lo couto Etoce y o depedete. RO S lo uceo,,..., - o depedete, etoce, paa que,,..., ea depedete e ufcete que ea depedete de cada uceo obtedo coo co {,,..., } RO S lo uceo,,..., o depedete, y uttuo uo de ello, po eeplo el últo,, po u copleetao, lo uceo del uevo couto o tabé depedete. J 3/6

14 DEF Lo uceo de ua fala { t : t T} dode T e u couto cualquea de ídce, deo que o depedete lo uceo de cada couto fto o depedete. t t, K, t co y {t, t,..., t } T, 6. TEOREM DE L ROLDD TOTL. E cálculo de pobabldade e o puede peeta tuacoe e que exte uceo copatble duto cuya uó e todo el epaco uetal Ω. U,,..., Ω que poee pobabldade coocda y que paa cada uceo eulta tabé coocda la pobabldade codcoada. E eta tuacó e puede calcula la pobabldad de a tavé de la pobabldade ateoe edate ua fóula que cottuye el llaado Teoea de la obabldad Total. E la tuacó decta uele utlzae la guete oeclatua. lo uceo e llaa hpóte o caua. La pobabldade e llaa pobabldade a po de la hpóte. La pobabldad codcoada e la pobabldad de e la hpóte. La pobabldad e la pobabldad a poteo de la hpóte cuado e abe que ha uceddo. TEOREM Sea,,..., uceo copatble de pobabldade o ula cuya uó e Ω. etoce, paa cualque uceo e tee So edato lo cálculo guete Ω U U OS E el eucado del Teoea ateo, la etccó de que >0 puede upe quedado la ua extedda al couto J{ : >0} ya que 4/6

15 5/6 J J OS Tabé puede utlzae la te del teoea, gua dfcultad, el couto de uceo e ueable e vez de u couto fto. 7. TEOREM DE YES. La fóula de aye da la pobabldad a poteo de ua hpóte cuado e abe que ha ocudo u uceo. TEOREM. Fóula de aye Sea,,..., uceo copatble de pobabldade o ula cuya uó e Ω. Sea u uceo cualquea de pobabldad potva. Etoce paa cualque uceo e tee atedo de la defcó de pobabldad codcoada y aplcado e el deoado la gualdad deotada e el teoea ateo, obteeo edataete la expeó a copoba. TEOREM. Geealzacó de la Fóula de aye. Sea,,..., uceo copatble cuya uó e Ω. Sea u uceo tal que >0 paa :,,..,. Etoce, paa cualque uceo e tee atedo de la defcó de pobabldad codcoada

16 y utlzado la expeó obteda e el teoea de la pobabldad total llegao a la fóula a deota. OS La do fóula de aye obteda puede e utlzada e el cao de e ueable el couto de uceo { : } OS Tabé e apeca la vetaa de upoe que la ua de lo deoadoe de aba fóula e extede al couto { : >0} y la del ueado de la eguda fóula al couto { : >0}. LOGRFÍ REOMENDD. Etadítca Teóca. ut. J.M.Doblado y M.. Neto. Edt. UNED toduccó a la Etadítca Teóca. ut.: G áz. Edt.: Lex Nova Etadítca Teóca y plcada. ut.:. Note. Edt.: S. Rodíguez. toduccó a la obabldad y la Medda. ut.: Zooa y N. Zooa. Edt.: Mao DM. 6/6