Construcción de índices ponderados multicriterio con información ordinal

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1 ESTADÍSTICA ESPAÑOA Vol. 6, Núm. 55, 00, págs. 95 a 7 Constucción de índices pondeados multiciteio con infomación odinal po IGNACIO CONTRERAS RUBIO MIGUE ÁNGE HINOJOSA RAMOS Depatamento de Economía y Empesa Univesidad Pablo de Olavide de Sevilla AMPARO MARÍA MÁRMO CONDE Depatamento de Economía Aplicada III Univesidad de Sevilla RESUMEN El objetivo de este tabajo es establece una metodología que pemita constui índices paa la evaluación de un conjunto de unidades, cuando se dispone de las valoaciones de éstas con especto a vaios citeios medidos en una escala odinal. Con objeto de efleja lo más fielmente posible los aspectos evaluados, en los índices compuestos que poponemos se incopoa la infomación disponible sobe la impotancia elativa de los distintos citeios y sobe la impotancia de las distintas categoías odinales. Se ilusta el pocedimiento con un análisis de valoaciones ealizadas po los alumnos de las distintas Titulaciones de la Univesidad Pablo de Olavide de Sevilla. Palabas clave: Análisis de Datos, Odenación, Análisis Multiciteio, Infomación Pacial. Clasificación AMS: 6-07, 90C90.

2 96 ESTADÍSTICA ESPAÑOA. INTRODUCCIÓN En este tabajo se estudia la constucción de índices compuestos paa la valoación global de un conjunto de altenativas cuando se dispone de valoaciones individuales con especto a difeentes citeios medidos en una escala odinal. a metodología que poponemos pemite una elección flexible de las pondeaciones asociadas a los valoes de cada altenativa, y tiene en cuenta la posible infomación adicional sobe la impotancia elativa de los distintos citeios, y de las distintas categoías de la escala odinal. Es deci, elige los pesos más favoables paa cada una de las altenativas valoadas individualmente, de ente los que se consideen azonables en el contexto infomacional. Este tipo de valoaciones individuales, en las que se optimizan las pondeaciones paa cada altenativa sujetas a un conjunto de esticciones comunes, es ampliamente utilizado en la metodología DEA (Chanes et al., 978). Se ha utilizado también esta idea en modelos de agegación de votos, (Coo and Kess, 990; Hashimoto, 997). También se han exploado sus posibilidades paa el tatamiento de poblemas de decisión multiciteio. En Coo y Kess (996) se popone un índice de este tipo paa un modelo multiciteio con datos cualitativos, donde se incopoa al poblema la infomación odinal sobe la impotancia de los citeios. En Pueto et al. (000) se hace un análisis geneal de los citeios de decisión clásicos en pesencia de infomación adicional, lo que pemite la constucción de índices de valoación de altenativas con datos cualitativos y/o cuantitativos, y que incluye como caso paticula el índice de Coo y Kess. En este tabajo patimos de las ideas expuestas en Pueto et al. (000) paa estudia el caso conceto en que se dispone de las valoaciones medidas en una escala iet, que un colectivo hace de un conjunto de unidades con especto a distintos citeios y poponemos un modelo geneal que combina los modelos de agegación de votos y los modelos de decisión multiciteio con infomación pacial. Analizamos distintos conjuntos de infomación, que epesentan distintas cicunstancias de infomación disponible (o subyacente) sobe la impotancia elativa de los distintos citeios, y sobe la impotancia de la clasificación de las unidades en las distintas categoías odinales. Esta metodología pemite el tatamiento de un amplio ango de poblemas de valoación y selección, que incluyen, ente otos, estudios de mecado sobe distintos poductos, valoación de poyectos, y poblemas de selección de pesonal po un comité. El esto del tabajo está oganizado de la siguiente manea. En la Sección establecemos el modelo geneal de índice pondeado que poponemos, en la Sección 3 se estudian los conjuntos de infomación que consideamos adecuados paa la

3 CONSTRUCCIÓN DE ÍNDICES PONDERADOS MUTICRITERIO CON INFORMACIÓN ORDINA 97 constucción de índices en este contexto, y se pesenta la foma analítica de los índices bajo distintas hipótesis de infomación adicional. os esultados expuestos se ilustan en la Sección, con un ejemplo numéico. El tabajo concluye con una Sección dedicada a las conclusiones y a las posibles extensiones del modelo.. MODEO DE ÍNDICE COMPUESTO Consideamos N unidades a evalua, A i, i=,,n, con especto a K citeios o caacteísticas, {C }, =,,K. Se dispone de las valoaciones que de estas unidades hacen un conjunto de individuos con especto a los K citeios, medidas en una escala odinal con posiciones. Sea N i el númeo total de individuos que valoa la altenativa i, y sea n il el pocentaje de votos que la altenativa A i ecibe en la categoía l,,...,, en su valoación especto al citeio C. Esto es, cada individuo que valoa la altenativa A i, la sitúa en una cieta categoía de la escala con especto a cada citeio, de tal foma que las pimeas categoías significan valoaciones más favoables. Suponemos que la valoación de cada altenativa se ealiza mediante un índice compuesto, que consiste en una deteminada pondeación de los pocentajes de voto n il. Si se denota po w, la impotancia elativa o pondeación asignada a la caacteística C y po v l la impotancia de se valoado en la categoía l especto al citeio la valoación de la altenativa A i es: K v (A ) = w v n. [] i = Si es posible detemina exactamente los valoes w, y v l, =,...,K,,...,, el índice está totalmente definido. Peo en la páctica, no siempe es posible, y a veces no es ni siquiea deseable, establece exactamente el valo de la impotancia elativa de los citeios y/o asignale un valo numéico al hecho de tene valoada una unidad en una deteminada posición de la escala. Sí es fecuente que se disponga de cieta infomación pacial sobe estas valoaciones, po ejemplo, la impotancia asignada a la situación de una unidad en una posición supeio en la escala no ha de se meno que la impotancia de esta situado en una posición infeio, o uno de los citeios de valoación ha de tene un peso mayo que oto. En estas condiciones, la infomación pacial disponible ha de incopoase al pocedimiento de constucción del índice paa que éste popocione una medida lo más ajustada posible de la valoación global de la altenativa. l il

4 98 ESTADÍSTICA ESPAÑOA El pocedimiento que poponemos pemite flexibilidad en la asignación de las pondeaciones, de tal foma que considea la valoación más favoable paa cada unidad, es deci, los datos se van a agega con aquellos valoes de v =(v,...,v ) y de w=(w,...,w K ), paa los que v(a i ) sea máximo de ente los que sean posibles. Fomalmente la valoación de A i que poponemos, v(a i ), consiste en: v(a ) i = Max v,w s.a. K v Φ w Ω w = v l n il, =,...,K [] donde en el conjunto Φ se ecoge la infomación especto a los pesos asociados a las categoías con las que se evalúa el citeio y en el conjunto Ω se ecogen las condiciones que han de cumpli las pondeaciones asociadas a los difeentes citeios. Supondemos que estos conjuntos son poliédicos, y tales que K K Φ v R : vl =,v 0 y Ω w R : w =,w 0, es deci, = consideamos pesos no negativos que suman la unidad. El poblema de valoación de cada altenativa, [], es un poblema no lineal. No obstante, debido a la sepaabilidad de las vaiables en los conjuntos de infomación, la solución puede obtenese en dos etapas consistentes en la esolución de poblemas lineales, como se descibe a continuación. En pime luga, la altenativa A i se evalúa con especto a cada uno de los citeios. Si denotamos po P (Ai) el valo del índice que paa la altenativa A i agega las valoaciones obtenidas especto al citeio C en la mejo situación posible, P se calcula como: P = Max v v s.a. v l Φ n il [3] Sean v l,,...,, los valoes óptimos paa las vaiables que se obtienen como solución del poblema [3]. Entonces, el poblema [] paa la valoación global de la altenativa A i consiste en:

5 CONSTRUCCIÓN DE ÍNDICES PONDERADOS MUTICRITERIO CON INFORMACIÓN ORDINA 99 v(a i ) vlnil [] = Max w w s.a. K = w Ω Esto es, la obtención de la valoación más favoable paa cada altenativa pasa po la obtención pevia de la valoación máxima de dicha altenativa especto a cada uno de los citeios consideado individualmente paa, posteiomente, agega estas valoaciones con los pesos más favoables paa cada citeio. os poblemas [3] y [] son poblemas lineales. En geneal pueden esolvese utilizando pocedimientos simpliciales, o el softwae actualmente disponible paa la esolución de este tipo de poblemas. Sin embago, en los casos de los conjuntos de infomación que poponemos en este tabajo, es posible obtene la foma analítica de las soluciones sin necesidad de ecui a métodos iteados, lo que pemite constui los índices de valoación coespondientes. a esolución de estos poblemas que poponemos está basada en la obtención de los puntos extemos de los conjuntos de infomación. Es sabido que si un poblema lineal tiene solución óptima, al menos un punto extemo del conjunto factible es óptimo. Po tanto si x j, j=,...,j, son los puntos extemos del conjunto factible, S, del poblema lineal: Max s.a t c x x S [5] la solución del poblema se obtiene en el punto extemo en el que la función objetivo alcanza un valo más alto, es deci: x S t Maxc x = Max c x. j=,...,j t j Po tanto, si es posible detemina los puntos extemos del conjunto factible, el poblema se educe a la evaluación de la función objetivo en cada uno de estos puntos. En cietos casos paticulaes, inteesantes en este contexto, la estuctua especial del conjunto factible, pemite la obtención inmediata de sus puntos extemos. Si la infomación sobe los pesos puede epesentase mediante elaciones lineales, el n n conjunto factible puede escibise como x R : x =,x 0, Mx β, donde = xn M R es la matiz que elaciona los pesos, y β R. En Caizosa et al. (995) se demuesta que si estas elaciones lineales son homogéneas, es deci, si la

6 00 ESTADÍSTICA ESPAÑOA n n infomación sobe los pesos es de la foma x R : x =,x 0, Mx 0, y la = invesa de la matiz M R n n es no negativa, M 0, entonces los puntos extemos del conjunto factible son las columnas de M, nomalizadas paa suma la unidad. a obtención de los puntos extemos cuando las elaciones no son homogéneas, se estudia en Mámol et al. (998), y Mámol et al. (00). a facilidad de intepetación de las elaciones lineales ente los pesos, así como la posibilidad de obtención de los puntos extemos de los conjuntos de infomación que inducen, hace que estos conjuntos tengan una amplia aplicación en los pocesos decisionales. A continuación hacemos uso de los esultados sobe los puntos extemos de los conjuntos de infomación paa establece la foma analítica de los índices de valoación bajo distintos supuestos de infomación sobe la impotancia de las categoías odinales, y sobe la impotancia de los distintos citeios. 3. CONSTRUCCIÓN DE ÍNDICES CON INFORMACIÓN PARCIA En esta Sección analizamos los conjuntos de infomación que son significativos en el contexto del modelo que poponemos, tanto paa la fase consistente en la valoación de la altenativa con especto a los citeios, como paa la fase de agegación de los citeios, y constuimos los índices de valoación de altenativas que inducen. 3.. Índices pondeados paa cada citeio a pimea fase paa la constucción del índice compuesto es la obtención de los valoes óptimos del poblema [3]. Paa cada citeio los valoes dependeán de la foma conceta que adoptan los conjuntos de infomación Φ. Paa ello analizaemos las posibilidades de defini índices paa la valoación de las altenativas con especto a cada citeio, patiendo de distintos conjuntos de infomación paa este poblema de agegación de votos de las distintas categoías. En el caso en que se dispone de los datos clasificados en categoías odinales, los conjuntos de infomación deben efleja el caácte odinal de éstas, es deci, al menos deben establece una odenación de las pondeaciones de manea que la pondeación que se asigna a las categoías más favoables no sea infeio a la asignada a las categoías infeioes, además de las ya mencionadas condiciones de no negatividad de los pesos y nomalización paa suma la unidad.

7 CONSTRUCCIÓN DE ÍNDICES PONDERADOS MUTICRITERIO CON INFORMACIÓN ORDINA 0 A continuación analizamos las siguientes popuestas que son acodes o efinan este tipo de infomación. 3.. Odenación de las pondeaciones de las categoías En pime luga, consideamos como conjunto de infomación aquél que epesenta únicamente una odenación de los pesos asociados a las difeentes categoías. Es deci, la pondeación asociada a cada categoía ha de se mayo o igual a la que se asocia a la categoía siguiente. Este es el conjunto apopiado paa la constucción del índice de valoación con especto a un deteminado citeio cuando no se hacen hipótesis adicionales especto a la impotancia elativa de se clasificado en las distintas categoías. El conjunto de infomación paa el citeio es, en este caso: Φ = v R : v 0, vl =,v v..., [6] v que puede escibise como Φ = v R : v 0 0, vl =, Mv, donde la matiz M es: 0 M = M 0 0 M O O M. Φ tiene puntos ex- Se sigue de la no negatividad de temos, dados po: v () = = l M, que el conjunto t (,,,0,,0), =,,. ) A pati de ellos se obtiene el valo óptimo de [3] cuando agegado paa el citeio es: =,..., v Φ, y el índice nil P = max. [7]

8 0 ESTADÍSTICA ESPAÑOA n Obsévese que il epesenta la suma acumulada de los pocentajes de votos de las pimeas categoías, patido po el númeo de categoías. Considea como índice de valoación de la altenativa i-ésima el máximo de estos valoes significa pode elegi ente considea en la valoación todas las categoías de votos, o sólo algunas, las pimeas Tasas de sustitución maginal ente las categoías Una segunda popuesta es fija cotas infeioes a las tasas de sustitución maginal ente las valoaciones de las difeentes categoías. Supongamos que paa el citeio, m l+ votos en la categoía l-ésima, se valoan al menos tanto como m l votos en la categoía l+. Esta situación se epesenta como m l+ vl mlvl+ y el conjunto de infomación toma la foma: Φ = R : v 0, v =, vl v m ml l l+ l+ v, l =,,...,. as elaciones ente los pesos en este conjunto también pueden epesentase mediante una matiz con invesa no negativa (ve Pueto et al. 000 ), y se sigue que el valo óptimo de [3] cuando se considea como conjunto de infomación adicional Φ, es igual a: P (A ) = i m max = m,..., l n, [8] il donde se denota po m = = j m, =,...,. j Paa el caso paticula en el que se impone que cada categoía sea valoada al menos con el doble de la categoía siguiente, es deci, v l v l +, los valoes de m l se establecen como m l = -l,,..., Odenación de pondeaciones con factoes disciminantes En esta tecea popuesta se establecen cotas infeioes sobe las difeencias de dos pesos sucesivos. Estas cotas apaecen efeidas en la liteatua como factoes disciminantes (Coo y Kess, 996). El conjunto de infomación adicional se epesenta como

9 CONSTRUCCIÓN DE ÍNDICES PONDERADOS MUTICRITERIO CON INFORMACIÓN ORDINA 03 Φ 3 = v R : v 0, vl =,v l vl+ α, l =,..., ; v l α [9] donde se supone que l α l < paa asegua que Φ 3 Ø. Denotamos po δ = lα y l σ = α α α + α α l, l,...,,. De los esultados expuestos en Pueto et al.(000) se deduce que, en este caso, el valo óptimo de P (Ai) es igual a: nil P = σ n + δ max. [0] l il =,..., 3... Odenación de las difeencias ente categoías Poponemos ahoa un nuevo conjunto de infomación, que ha sido consideado ecientemente po Hashimoto (997) en el contexto de los modelos DEA. Dicho conjunto de infomación epesenta, en nuesto modelo, un supuesto sobe la valoación de los votos en las difeentes categoías que esulta natual en muchos contextos, estableciendo que las difeencias de valoación de categoías sucesivas son dececientes. Es deci, la intensidad con que se discimina el valo de categoías sucesivas decece confome se considean categoías menos valoadas. Φ { = v R : v 0, v l =,v l v l+ v l+ v l+, l =,..., ;v v v }. Obsévese que esta infomación implica la odenación de las impotancias elativas de las categoías. A continuación se establece la foma analítica del índice pondeado, P (Ai) paa este conjunto de infomación. Poposición 3.. a valoación de las altenativas con especto al citeio - ésimo con el conjunto de infomación Φ se obtiene como: ( l + )n P = max = l ( + ) il. []

10 0 ESTADÍSTICA ESPAÑOA Demostación. De la no negatividad de la invesa de la matiz que epesenta las elaciones homogéneas ente los pesos en este conjunto de infomación, se sigue que los puntos extemos de Φ son las columnas de la siguiente matiz 0 M 0 0 / 3 / 3 M 0 0 K K O K K ( ) ( ) M ( ) 0 (+ ) (+ ) M. [] (+ ) (+ ) P (A i ) es la solución del poblema [3] con v Φ extemo donde se alcanza el máximo de la expesión el esultado., que se obtiene en aquel punto v ln il, de donde se sigue Obsévese que este índice consiste en considea los votos en cada categoía con pondeaciones como el método de las macas de Boda (Boda, 78), y que coincide también con el modelo estudiado en Kendall (96). En este modelo se ( l+ ) valoa cada categoía con pesos =. a difeencia con el índice que se v l (+ ) constuye en la poposición anteio es que en este último se admite la posibilidad de considea en la valoación solo los votos hasta una deteminada categoía, esto es, elige la situación más favoable ente considea todas las categoías de votos ó solo las pimeas. 3.. Obtención del índice compuesto Paa la obtención del índice global ha de esolvese el poblema [] paa cada altenativa. os valoes o utilidades asociados a los difeentes citeios paa la altenativa A i son, en este caso, los valoes calculados en la anteio Sección, P (A ), =,...,K. i Consideamos en este caso conjuntos de infomación de la foma Ω = K K w R : w 0,Aw β, w =, [] =

11 CONSTRUCCIÓN DE ÍNDICES PONDERADOS MUTICRITERIO CON INFORMACIÓN ORDINA 05 px donde en la matiz A R se ecogen las elaciones lineales ente los pesos de los distintos citeios. Con las esticciones Aw β se incopoa la infomación adicional especto a la impotancia elativa de los difeentes citeios en la constucción del índice global. a foma conceta del conjunto Ω dependeá de la infomación que se tenga sobe la impotancia elativa de los citeios, y de la foma de fomaliza dichas pefeencias. El ango de posibilidades va desde el caso en que no se dispone de infomación alguna, hasta los casos en que se dispone de infomación muy especializada, y po tanto el conjunto de pondeaciones donde se hace la elección es más estingido. En cualquie caso, la constucción del índice global depende tanto de los conjuntos de infomación Φ, como del conjunto Ω, como se estableció en []. En la sección siguiente se utilizaán los índices compuestos que inducen los conjuntos de infomación sobe la impotancia de las categoías y de los citeios, que nos paecen apopiados en la aplicación que pesentamos.. APICACIÓN A continuación se ilusta el pocedimiento desaollado en las Secciones pecedentes con una aplicación sobe las valoaciones que los alumnos de las difeentes Titulaciones de la Univesidad Pablo de Olavide de Sevilla (UPO) ealizan de los aspectos más elevantes de la institución(). Se ealizó la evaluación de 7 Titulaciones. El númeo de alumnos encuestados en cada una de ellas se esume en la Tabla. () os datos utilizados están incluidos en el poyecto de investigación "Causas de Abandono académico en la Univesidad Pablo de Olavide", ealizado po el Áea de Métodos Cuantitativos del Depatamento de Economía y Empesa, po encago de la popia Univesidad.

12 06 ESTADÍSTICA ESPAÑOA Tabla TITUACIONES Y NÚMERO DE AUMNOS ENCUESTADOS Titulaciones Alumnos encuestados A 7 B 59 C D 7 E 8 F 35 G 55 TOTA 83 as Titulaciones estudiadas son consideadas altenativas que se desean valoa con una puntuación única. Se seleccionaon los siguientes cuato citeios que epesentan las opiniones de los alumnos sobe la calidad de enseñanza, sevicios e infaestuctuas. as valoaciones se ealizaon a tavés de votaciones en una escala odinal con cinco categoías, de tal foma que las pimeas categoías significan valoaciones más favoables. os citeios consideados son los siguientes: Satisfacción con la actividad docente del pofesoado (C ). Satisfacción con los contenidos de los pogamas de las asignatuas (C ). Valoación de la Biblioteca (C 3 ). Valoación de las condiciones de las aulas (C ). El objetivo del estudio es popociona una valoación global de las titulaciones a pati de la infomación popocionada po la encuesta, teniendo en cuenta las caacteísticas difeenciadas de los distintos citeios que valoan los estudiantes, y la impotancia que se le asigna a las difeentes categoías odinales.. CONJUNTOS DE INFORMACIÓN SOBRE A IMPORTANCIA DE AS CATEGORÍAS ORDINAES Paa la pimea agegación, hemos consideado los conjuntos de infomación analizados en la Sección 3. Todos ellos epesentan distintas maneas de efina la

13 CONSTRUCCIÓN DE ÍNDICES PONDERADOS MUTICRITERIO CON INFORMACIÓN ORDINA 07 infomación odinal que se establece en Φ. En conceto se han analizado los siguientes casos: Caso. Odenación de la impotancia de las categoías: Φ 5 5 = v R : v 0, vl =, v v v3 v v5 0. a valoación de las altenativas con especto al citeio -ésimo en este conjunto de infomación, se calcula como: nil P = max. [3] =,...,5 Caso. Tasas de sustitución maginal. Analizamos el caso en que un voto en una categoía es al menos tan impotante como dos votos en la siguiente: Φ 5 5 = v R : v 0, vl =, v v, v v3, v3 v, v v5. En este caso, la foma analítica del índice es: 5 l nil P = max. [] 5 =,...,5 5 Caso 3. Odenación con factoes disciminantes. Se establecen los siguientes factoes disciminantes en las difeencias de las categoías α=(0,0,0 05,0 05,0 0). El conjunto de infomación es: Φ v 3 = { v v 5 R 5 : v 0'05, v 0, 5 5 v l 0'0}. =, v v 0', v v 3 0', v 3 v 0'05, En este caso σ =(0 3,0,0,0 06,0 0), y δ =0 3, po lo que el índice de valoación consiste en:

14 08 ESTADÍSTICA ESPAÑOA 5 nil P = σ n + 0'3 max. [5] l il =,...,5 Caso. Odenación de las difeencias ente pondeaciones de categoías sucesivas, 5 5 = { v R : v 0, vl =,v l vl+ vl+ vl, l =,...,3;v v5 v5}. El Φ + índice en este caso, se obtuvo anteiomente como: ( l + )n il P = max +. [6] =,...,5 ( ).. Conjuntos de infomación sobe la impotancia de los distintos citeios El conjunto de infomación paa la segunda agegación, Ω, esponde a las hipótesis pevias sobe la impotancia elativa de los citeios. Dependiendo de cómo sea esta infomación, es deci, de cómo se pondeen los difeentes citeios consideados, se obtendán difeentes valoes finales paa el índice. Paa nuesto estudio poponemos las siguientes posibilidades. Caso. Considea que no existen pefeencias sobe la impotancia de los citeios. Todos son consideados igualmente impotantes. En este pime caso, Ω = w R : w 0, w =. = El índice final es el máximo de los índices po citeios antes calculados. =,..., v(a ) = max P (A ). i Caso. Se establecen cotas infeioes paa los pesos, w K, de manea que todos los citeios estén epesentados en el valo del índice final. El conjunto de infomación toma la foma: Ω = w R : w 0, w =,w α, =,...,, [7] = i

15 CONSTRUCCIÓN DE ÍNDICES PONDERADOS MUTICRITERIO CON INFORMACIÓN ORDINA 09 con = α < paa asegua que Ω Ø. A pati de los esultados en (Mámol et al.,00), puede obtenese el valo de [] como: v = P (A ) α i + max P α. [8] =,..., = = Estudiaemos el caso en el que a todos los pesos se le impone la misma cota infeio, α =0'., =,...,, la expesión [8] se tansfoma en: =,..., v(a ) = 0' P (A ) + 0'6 max P (A ). [9] i = i Caso 3. Se supone que los citeios están odenados po oden de impotancia dececiente: Ω = w R : w =,w w, w3 w 0 = 3. De foma análoga a lo establecido en la Sección 3..., el índice global consiste en: Pl v = max. [0] =,..., Caso. Consideamos en este caso que los citeios pueden clasificase en dos gupos: un pime gupo elativo a los aspectos docentes, en el que se incluyen los dos pimeos citeios, y un segundo gupo elativo a los sevicios e infaestuctuas, en el que se incluyen los dos últimos. Dento de cada pa, se considea más impotante el pimeo de los citeios. El conjunto de infomación puede escibise en este caso como: Ω = w R : w 0, w =,w w 0,w 3 w 0 =. i

16 0 ESTADÍSTICA ESPAÑOA a matiz de puntos extemos de Ω es: = [] A pati de ella, se obtiene el índice coespondiente como: P + P (A ) + P (A ) P 3 i i v(a ) = max P,,P3, i. Caso 5. En este caso, consideamos que los dos citeios efeidos a docencia son, conjuntamente, más impotante que los efeidos a los sevicios, también consideados conjuntamente. El conjunto de infomación es ahoa: Ω = w R : w 0, w =,w + w w3 + w 0 = 5. Po el pocedimiento pesentado en Mámol et al. (00), se obtiene la matiz de puntos extemos de Ω 5 es: y la valoación que induce es: P + P v = max P,P, P + P =, [] P + P P + P3,,, Caso 6. Consideamos que se otoga una mayo impotancia a los citeios elacionados con los sevicios que a los citeios que evalúan la docencia:

17 CONSTRUCCIÓN DE ÍNDICES PONDERADOS MUTICRITERIO CON INFORMACIÓN ORDINA Ω = w R : w 0, w =,w 3 + w w + w 0 = 6. Análogamente al caso anteio, se puede poba que el índice coespondiente es: P + P3 P + P P + P3 v = max P3,P,,,, P + P..3. Resultados Combinando los conjuntos de infomación coespondientes a las dos agegaciones pueden constuise índices compuestos difeentes. os esultados paa la valoaciones de las Titulaciones de la UPO se esumen en la Tabla, incluyendo tanto el valo numéico del índice, como la posición elativa que ocupa la Titulación dento del gupo (valo ente paéntesis). Se muestan también los esultados obtenidos al aplica el conocido pocedimiento de las Macas de Boda, a la valoación de las altenativas con especto a los citeios, que denotamos como Φ 5. El método de Boda puede vese como un caso paticula de constucción de índices paa valoa el citeio -ésimo, cuando { v ( l + ) Φ = }, con v l =,l =,...,. ( + ) Obsévense las elaciones de inclusión que hay ente los conjuntos de infomación. Con especto a los conjuntos Φ, se tienen las siguientes elaciones: Φ Φ, Φ Φ, Φ3 Φ también Φ 5 Φ. Po tanto, los conjuntos Φ 3, Φ, así como Φ 5, que coesponde al método de Boda, epesentan la infomación más especializada sobe la impotancia elativa de las categoías odinales. os distintos casos de infomación sobe impotancia elativa de los citeios están elacionados así: Ω Ω, Ω3 Ω, Ω3 Ω5, sin embago, el conjunto Ω 6 no contiene al conjunto de las pondeaciones que establecen la odenación de los citeios que se epesenta en Ω 3. Φ,Ω es el que menos infomación equiee, pues sólo tiene en cuenta la odenación de las categoías y no supone infomación sobe la impotancia de los citeios. El índice coespondiente a ( )

18 ESTADÍSTICA ESPAÑOA A medida que la infomación se hace más especializada, menos vaiabilidad hay en la elección de las pondeaciones. os índices coespondientes a ( Φ,Ω 3 ), y ( Φ 3,Ω 3 ), y ( Φ,Ω ) son los que más infomación equieen, de los analizados aquí. Tabla (Continúa) ÍNDICES FINAES Y ORDENACIONES COMBINANDO OS CONJUNTOS DE INFORMACIÓN Ω Ω Ω3 Ω Ω5 Ω6 A 0,7 () 0, () 0,37 () 0,388 (3) 0,0 () 0,7 () B 0, (3) 0,38 (3) 0,36 (6) 0, () 0,3 (3) 0, (3) C 0,6 () 0, () 0,356 () 0,9 () 0,38 () 0,6 () D 0,38 (5) 0,356 (5) 0,36 (5) 0,368 (5) 0,338 () 0,38 (5) E 0,393 () 0,365 () 0,33 () 0,38 () 0,333 (6) 0,393 () F 0,39 (7) 0,3 (7) 0,39 (3) 0,39 (7) 0,39 (7) 0,307 (7) G 0,36 (6) 0,337 (6) 0,35 (7) 0,36 (6) 0,336 (5) 0,36 (6) Φ Ω Ω Ω3 Ω Ω5 Ω6 A 0,383 () 0,35 () 0,9 () 0,36 (3) 0,337 () 0,383 () B 0,373 (3) 0,30 (3) 0,0 (5) 0,373 () 0,8 () 0,373 (3) C 0, () 0,370 () 0,95 () 0,377 () 0,3 () 0, () D 0,353 () 0,35 () 0,58 (3) 0,35 (5) 0,30 (3) 0,353 () E 0,3 (5) 0,95 (5) 0,56 () 0,3 () 0,65 (5) 0,3 (5) F 0,76 (7) 0,50 (7) 0,9 (7) 0,39 (7) 0,8 (7) 0,76 (7) G 0,97 (6) 0,66 (6) 0,3 (6) 0,97 (6) 0,58 (6) 0,97 (6) Φ 3 Ω Ω Ω3 Ω Ω5 Ω6 A 0,358 () 0,33 () 0,305 () 0,39 (3) 0,33 () 0,358 () B 0,3 (3) 0,309 (3) 0,56 (7) 0,3 () 0,85 () 0,3 (3) C 0,37 () 0,3 () 0,98 () 0,39 () 0,35 () 0,37 () D 0,38 () 0,30 () 0,67 () 0,33 (5) 0,9 (3) 0,38 () E 0,37 (5) 0,99 (5) 0,7 (3) 0,36 () 0,78 (6) 0,37 (5) F 0,67 (7) 0,57 (7) 0,6 (5) 0,6 (7) 0,66 (7) 0,67 (7) G 0,96 (6) 0,77 (6) 0,6 (6) 0,96 (6) 0,78 (5) 0,96 (6) Φ

19 CONSTRUCCIÓN DE ÍNDICES PONDERADOS MUTICRITERIO CON INFORMACIÓN ORDINA 3 Tabla (Conclusión) ÍNDICES FINAES Y ORDENACIONES COMBINANDO OS CONJUNTOS DE INFORMACIÓN Ω Ω Ω3 Ω Ω5 Ω6 A 0,383 () 0,39 () 0,98 () 0,36 () 0,30 () 0,383 () B 0,373 (3) 0,33 (3) 0,7 () 0,373 () 0,99 () 0,373 (3) C 0, () 0,376 () 0,309 () 0,377 () 0,33 () 0, () D 0,353 () 0,33 () 0,78 (3) 0,38 (3) 0,30 (3) 0,353 () E 0,3 (5) 0,30 (5) 0,7 (5) 0,3 (5) 0,79 (5) 0,3 (5) F 0,76 (7) 0,6 (7) 0,8 (7) 0,57 (7) 0,6 (7) 0,76 (7) G 0,97 (6) 0,76 (6) 0,5 (6) 0,97 (6) 0,73 (6) 0,97 (6) Φ 5 Ω Ω Ω3 Ω Ω5 Ω6 A 0,75 () 0,65 () 0,5 () 0,58 (5) 0,6 () 0,75 () B 0,68 (3) 0,5 (5) 0,5 (7) 0,68 () 0, () 0,68 (3) C 0,83 () 0,70 () 0,50 () 0,7 () 0,57 () 0,83 () D 0,67 () 0,5 (3) 0,3 () 0,6 (3) 0,9 (3) 0,67 () E 0,60 (5) 0,5 () 0,38 (3) 0,60 () 0, (5) 0,60 (5) F 0,0 (7) 0,33 (7) 0,30 (6) 0,3 (7) 0,35 (7) 0,0 (7) G 0, (6) 0,36 (6) 0,33 (5) 0, (6) 0,38 (6) 0, (6) Φ Algunos puntos destacables de los esultados obtenidos son los siguientes: os conjuntos Ω y Ω 6 dan luga a la misma odenación de las Titulaciones, (C, A, B, D, E, G, F), independientemente del conjunto de infomación adicional utilizado en la pimea agegación, salvo en el caso Φ, que vaía ligeamente, intecambiando las posiciones de las Titulaciones D y E. Esta odenación también se mantiene cuando el conjunto de infomación adicional consiste solo en impone cotas infeioes a los pesos asociados a los citeios, Ω, salvo si paa la pimea agegación se utiliza el método de Boda ( Φ 5 ). os esultados cambian cuando se incluye infomación sobe los citeios más específica. Se obtienen entonces odenaciones difeentes de las Titulaciones, y se hace más manifiesta la dependencia de la odenación de los conjuntos Φ. Si compaamos la influencia de los conjuntos de infomación utilizados paa la pimea agegación, puede vese como existen escasas difeencias en la odenación de las cuato últimas altenativas y sí apaecen divegencias en la odenación de las tes pimeas, en paticula con los conjuntos Φ3 y Φ 5.

20 ESTADÍSTICA ESPAÑOA En cuanto a los conjuntos de infomación Ω, compaando los esultados paa un mismo conjunto Φ, las mayoes difeencias se obtienen cuando se utilizan los conjuntos que contienen la infomación más especializada como Ω y Ω 3. Po último, compaando los esultados del índice final y tomando como efeencia el obtenido con la meno cantidad de infomación adicional (caso ( Φ,Ω ) ), puede vese como los índices que dan luga a odenaciones más dispaes son los obtenidos con ( Φ 5,Ω ) y ( Φ 5,Ω 3 ) y con los conjuntos ( Φ 3,Ω ) y ( Φ 3,Ω ). Paa nuesto caso conceto, nos paece apopiado esalta el índice que inducen los conjuntos de infomación ( Φ,Ω 3 ). a valoación de las Titulaciones a pati de esta medida supone acepta la odenación de la impotancia de las categoías con difeencias dececientes ente categoías sucesivas y que supondía aplica sucesivamente el método de las macas de Boda tomando el valo más alto ente aplica el método a todas las categoías de la escala o a las pimeas. Con especto a los citeios supone más impotante la Satisfacción con la actividad docente del pofesoado, seguido po Satisfacción con los contenidos de los pogamas, Valoación de la biblioteca y Valoación de las condiciones de las aulas, en este oden. En cuanto a la odenación final de altenativas, obsévese que, en este caso, con las mismas hipótesis pevias sobe la impotancia de los citeios, la odenación obtenida difiee bastante de la obtenida cuando se aplica el pocedimiento de Boda, que es el que nomalmente se utiliza en las aplicaciones paa obtene valoaciones de las altenativas con infomación odinal. 5. CONCUSIONES() En este tabajo se apota una metodología paa la constucción de índices pondeados paa la valoación global de un conjunto de unidades, cuando se dispone de valoaciones individuales sobe vaios citeios medidos en una escala odinal. En la constucción del índice se pemite incopoa infomación adicional sobe la impotancia de los citeios, y sobe la impotancia asignada a las difeentes categoías de la escala odinal. Se analizan distintos conjuntos de infomación que () El ámbito de nuestas conclusiones se estinge al teeno puamente metodológico, en cuanto a la aplicación que desaollamos no hacemos valoación que pueda desvela datos de la Univesidad Pablo de Olavide que no sean los estictamente elacionados con el tabajo que desaollamos, la constucción de índices pondeados multiciteio. a azón de esta limitación es que, como ya hemos mencionado anteiomente, los datos utilizados están incluidos en el poyecto de investigación Causas de abandono académico en la Univesidad Pablo de Olaide, ealizado po el Áea de Métodos Cuantitativos del Depatamento de Economía y Empesa, po encago de la popia Univesidad.

21 CONSTRUCCIÓN DE ÍNDICES PONDERADOS MUTICRITERIO CON INFORMACIÓN ORDINA 5 pemitián el tatamiento de un amplio ango de poblemas decisionales de valoación y odenación de altenativas. Una vez especificados los conjuntos de infomación que son adecuados en cada situación, los cálculos asociados al tatamiento de la infomación se ealizan fácilmente, pues consisten en toma sucesivamente el máximo de las sumas pondeadas de las valoaciones de las altenativas popocionadas po los individuos. Po tanto esta técnica combina la ventaja que conlleva el ajusta el pocedimiento a cada contexto infomacional, con la aplicabilidad deivada del poco esfuezo computacional que equiee. Se ilusta la metodología popuesta con el tatamiento de una encuesta ealizada a los alumnos de la Univesidad Pablo de Olavide de Sevilla en la que se evalúan los aspectos más elevantes en cada Titulación. De los difeentes aspectos evaluados se han incluido en nuesta aplicación cuato citeios que valoan aspectos docentes según una escala odinal de cinco posiciones: satisfacción con la actividad docente del pofesoado, satisfacción con los contenidos de los pogamas de las asignatuas, valoación de la Biblioteca y valoación de las condiciones de las aulas. Queemos hace nota que la utilización de la técnica que poponemos ha de pati de un conocimiento pevio de la situación objeto de estudio, dado que equiee la especificación de la infomación sobe la impotancia de los aspectos a evalua, y como se despende de los esultados que hemos obtenido, de la combinación de los difeentes conjuntos de infomación, se obtienen distintos índices que inducen, a su vez, difeentes odenaciones de las Titulaciones estudiadas. Aunque se pesentan en este tabajo los esultados obtenidos bajo distintos supuestos infomacionales, en el caso de aplicación estudiado nos paece apopiado pati de un supuesto sobe la impotancia de las categoías odinales, que esulta natual en una encuesta con estas caacteísticas: las difeencias ente los pesos coespondientes a dos categoías sucesivas son dececientes (se coesponde con el conjunto Φ ). Este supuesto puede intepetase como que la intensidad con la que se disciminan dos categoías sucesivas decece confome se considean categoías menos valoadas. Con especto a los citeios, nos centamos en el caso en que se supone más impotante la Satisfacción con la actividad docente del pofesoado, seguido po Satisfacción con los contenidos de los pogamas, Valoación de la biblioteca y Valoación de las condiciones de las aulas, en este oden (se coesponde con Ω 3 ). A pati de estas hipótesis de infomación, la metodología que pesentamos pemite constui el índice que efleja una valoación global de las Titulaciones que es consistente con estos supuestos.

22 6 ESTADÍSTICA ESPAÑOA Tomando en consideación otos conjuntos de infomación, se obtienen otos índices difeentes. Ente las posibles extensiones del modelo se encuenta el análisis de sensibilidad de los conjuntos de infomación, en el sentido de establece límites, en cuanto a la infomación disponible, dento de los cuales la odenación de las altenativas se mantenga. REFERENCIAS BORDA, J.C., (78). «Mémoie su les Élections au Scutin». Histoie de l'académie Royale des Sciences. CARRIZOSA, E., CONDE, E., FERNÁNDEZ, F.R., PUERTO, J. (995). «Multiciteia Analysis with Patial Infomation». Euopean Jounal of Opeational Reseach 8(), pp CHARNES, A., COOPER, W.W., RHODES, E. (978). «Measuing Efficiency of Decision Maing Units». Euopean Jounal of Opeational Reseach, pp. 9-. COOK, W.D., KRESS M. (990). «A Data Envelopment Model fo Aggegating Pefeence Raning». Management Science vol. 36(), pp COOK, W.D., KRESS M. (996). «An Exteme-Point Appoach fo Obtaining Weighted Ratings in Qualitative Multiciteia Decision Maing». Naval Reseach ogistics vol. 3, pp HASHIMOTO, A. (997). «A Raned Voting System Using DEA/AR Exclusion Model: A note». Euopean Jounal of Opeational Reseach 97, pp KENDA, M. (96). Ran coelation Methods 3d. Ed. Hafne, Nueva Yo. (), pp MÁRMO, A.M., PUERTO, J., FERNÁNDEZ, F.R., (998). «The Use of Patial Infomation on Weights in Multiciteia Decision Poblems». Jounal of Multiciteia Decision Analysis 7, pp MÁRMO, A.M., PUERTO, J., FERNÁNDEZ, F.R., (00). «Sequential Incopoation of Impecise Infomation in Multiple Citeia Decision Pocesses». Euopean Jounal of Opeational Reseach 37(), pp PUERTO, J., MÁRMO A.M., MONROY,., FERNÁNDEZ, F.R. (000). «Decision Citeia with Patial Infomation». Intenational Tansactions in Opeational Reseach, n.7, pp.5-65.

23 CONSTRUCCIÓN DE ÍNDICES PONDERADOS MUTICRITERIO CON INFORMACIÓN ORDINA 7 MUTICRITERIA WEIGHTED INDICES WITH ORDINA INFORMATION SUMMARY The goal of this pape is to pesent a geneal method to constuct weighted indices fo the evaluation of a set of units with espect to multiple citeia, when they ae measued by values in diffeent an positions of an odinal scale. The composite indices that we popose tae into account the infomation available about the elative impotance of the citeia and about the impotance of being aned in a cetain position. We illustate the methodology with an analysis of the data povided by a suvey caied out at the Univesity Pablo de Olavide in Sevilla, that eflects the students opinion about the diffeent degees studied in this Univesity. Key wods: Data Analysis, Raning, Multiciteia Analysis, Patial Infomation. AMS classification: 6-07, 90C90.