Funciones continuas. Capítulo Continuidad. Figura Figura 11.2

Transcripción

1 Capítulo Funcione continua. Continuidad La funcione continua contituyen una clae fundamental para la operacione del análii matemático. Una idea intuitiva de función continua e tiene al coniderar que u gráfico e continuo, en el entido que e puede dibujar in levantar el lápiz de la hoja de papel, como en la figura. y no como en la figura.. Función continua Figura. Función dicontinua Figura.

2 66 Funcione continua Una función continua provee la epreión matemática de la ituación muy frecuente de que a «incremento pequeño» de la variable independiente correponden «incremento pequeño» de la variable dependiente. Ejemplo de eta ituación vienen dado por la leye que gobiernan el movimiento de lo cuerpo, leye que a menudo etán dada por fórmula del tipo = f(t) (que eprean la ditancia dependiente del tiempo t). Debido a que el tiempo y la ditancia «on continuo», una ley de movimiento, = f(t), etablece entre ello una relación continua caracterizada por el hecho que a un incremento pequeño del tiempo correponde, como mencionamo ante y reiteramo aquí, un incremento pequeño de la ditancia. Si conideramo una función arbitraria y = f() y un valor particular c de la variable independiente, entonce la función refleja un «proceo continuo en el punto c» iempre y cuando a valore que difieren poco de c correpondan valore de la función f() que difieren poco del valor f(c). En otra palabra, i el incremento c de la variable independiente tiende a 0, entonce el incremento f() f(c) de la función también tiende a cero. Podemo formular lo anterior epreando que f() f(c)! 0 cuando c! 0 o bien ecribiendo que lim f() =f(c)!c Eta relación contituye la definición matemática de continuidad de la función en el punto c. E decir, Definición: La función f() e continua en c i y ólo i lim f() =f(c):!c. Obervacione obre el concepto de continuidad Si analizamo la definición de continuidad vemo que para que la función f() ea continua en el punto c e requiere que la iguiente tre condicione ean atifecha: (i) La función debe etar definida en el punto, i.e., c debe pertenecer al dominio de f, de lo contrario la epreión «f(c)» carece de entido; (ii) El límite de la función f() cuando tiende a c debe eitir, i.e., debe eitir un número real L tal que lim f() =L, en cao contrario, la epreión «lim f() =f(c)» no tiene ningún entido;!c!c (iii) El límite L debe er igual al valor de la función en el punto c, i.e., debe er L = f(c), de modo que, i en la definición de límite ponemo L = f(c), tenemo que, dado ">0eite >0tal que i j cj <entonce jf() f(c)j <" (la retricción 6= c impueta en la definición de límite deja de er necearia pueto que la deigualdad jf() f(c)j <"e automáticamente atifecha para = c). Como ejemplo, analizaremo la continuidad de la función f() = en un punto fijo c. Para verificar que bata obervar que o, i e prefiere, que lim!c = c o equivalentemente lim c =0!c j c j=j + c jj cj lim!c c = lim!c ( c)( + c) =(lim!c c)(lim!c + c) =0c=0: En ete ejemplo, el valor particular del punto c parece no tener relevancia, en el entido que f() = e continua en cada punto c de la recta real.

3 .3 Tipo de dicontinuidad 67 Definición: Decimo que la función f() e continua en un conjunto C de número reale i y ólo i e continua en cada punto de dicho conjunto. Si C e un intervalo abierto de la forma (a; b) o C = R, la definición anterior e interpreta fácilmente. Si C e un intervalo que contiene a alguno de u etremo, i.e., C e de la forma [a; b), (a; b] o [a; b], entonce definimo la continuidad de f en C pidiendo que f ea continua en cada c (a; b) y ademá que en cada etremo (incluido) en el intervalo C e cumple que el límite lateral correpondiente eite y ee límite lateral e igual al valor de f en el etremo en cuetión: lim f() =f(a) ;!a lim +!b f() =f(b); repectivamente : Como ejemplo de funcione continua podemo coniderar la funcione elementale n con n N, en, co, arcen, arcco : funcione eta que on continua en lo conjunto donde etán definida ( Convénzae uted mimo!). Su gráfico etán preentado en la ei figura dede.3 en la página 6 hata. en la página 69. Si no referimo al gráfico de la función y = f(), podemo dar la definición de función continua de la manera geométrica iguiente. Elegimo un número ">0cualquiera y trazamo do recta paralela al eje a ditancia f(c) " y f(c) +"de modo de obtener una banda horizontal de ancho " centrada en f(c). Si f() e continua en c, entonce iempre e poible hallar un número > 0 tal que toda la parte del gráfico que etá comprendida en la banda vertical de ancho y centrada en c eté contenida en la banda horizontal de ancho " y centrada en f(c). No remitimo a la figura.9 en la página Tipo de dicontinuidad La función f() = provee un ejemplo de función dicontinua en el punto 0. En ete cao obervamo que la función etá definida en toda la recta real alvo en 0, de modo que la función etá definida en cualquier intervalo que contiene al punto 0 ecepto en el punto 0 mimo. Aquí la condición que falla e que 0 pertenezca al dominio de la función. En cualquier otro punto c 6= 0tenemo que lim!c = c En efecto, i c 6= 0 entonce jcj > 0, i.e., la ditancia de c a 0 e la cantidad poitiva jcj, y podemo jcj jcj retringir la atención a aquello punto en el intervalo c ;c+ : c Ete intervalo e de la forma ; 3c 3c o ; c, egún ea c>0o c<0, repectivamente, aí que la ditancia de cualquiera de u punto al punto 0 e mayor que jcj, ver figura.0 en la página 70. Luego, para en el intervalo, e c j = c j j jjcj < c j cj: Por tanto, dado cualquier ">0, bata elegir = min jcj ; c " para garantizar que i j c j< entonce c <". De la dicuión anterior igue que f() = e continua en R nf0g. La función jj g() = irve como otro ejemplo de función dicontinua en el punto 0. Nuevamente, la condición que falla e que 0 pertenezca al dominio de la función. Sin embargo, hay «cierta» diferencia entre el comportamiento de la función f() y el de la función g() (ver figura. en la página 7 ). Mientra que lim!0 + = ; y lim!0 jj = ; tenemo que lim!0 + =; y lim!0 jj =

4 6 Funcione continua y = n ; n par Figura.3 y = n ; n impar Figura.4 y = en Figura.5

5 .3 Tipo de dicontinuidad 69 y = co Figura.6 y = arcen Figura.7 y = arcco Figura.

6 70 Funcione continua 6y f (c) +" f (c) " 6? f(c) " 0 c c c + Figura.9 función continua en c jcj jcj ( ) ( ) 0 jcj c c c jcj + jcj Figura.0 El intervalo c jcj jcj ;c+, con c 6= 0 c jcj c c jcj + 0 jcj cuando! c o cuando! c, decimo que la función tiene una Si la función tiende a o dicontinuidad infinita en el punto c. Si lo límite laterale de la función cuando! c eiten pero on ditinto, decimo que la función tiene una dicontinuidad de alto (finito) en el punto c. Aí, en lo ejemplo que no ocupan, tenemo que f() = tiene una dicontinuidad infinita en 0 mientra que g() = jj tiene una dicontinuidad de alto en 0. La funcione h() = en y k() =en, proveen otro ejemplo de funcione dicontinua en 0. Nuevamente lo que falla en ambo cao e que 0 pertenezca al dominio de la función. En el primer cao la dicontinuidad en 0 no e infinita y tampoco de alto ya que lo límite laterale implemente no eiten. En el egundo cao tenemo que lim en!0 =0. Si lim f() eite y e igual a L pero, o bien f() no etá definida en c o bien L 6= f(c), decimo!c que la función f() tiene una dicontinuidad removible o evitable en el punto c. Si f() tiene una dicontinuidad removible en el punto c entonce podemo definir una nueva función, que llamaremo F () (como en la figura. en la página 7 ) con la iguiente propiedade: (i) F () =f() i 6= c. (ii) F e continua en c. La elección de F () no puede er otra que F () = < : f() L i 6= c i = c

7 .3 Tipo de dicontinuidad 7 y 6 y 6 y = 0 e u y = jj e dicontinuidad infinita dicontinuidad de alto Figura. lo gráfico y = y y = jj Figura. dicontinuidad removible Dejamo al lector la comprobación de que F () tiene la propiedade requerida. Aí en el cao de la función k() =en, tenemo una dicontinuidad removible en 0 y K() = ( en i 6= 0 0 i =0 e una función que coincide con k() en lo punto 6= 0y que e continua en 0. De hecho, K() e continua en toda la recta real. La comprobación de ete hecho reultará má fácil una vez que hayamo etudiado cierta propiedade de la funcione continua, por lo que la poponemo para má adelante. Hata aquí hemo etudiado ditinta funcione con ditinto tipo de dicontinuidad en un olo punto. En todo lo ejemplo falla la condición que el punto pertenezca al dominio de la función. La tabla. en la página 7 ilutra divera ituacione que pueden preentare. En lo punto ; 0; y 5 vemo que la función no etá definida (pero í lo etá en cualquier otro punto de ( ; 5]; al tender a lo punto ; y 3 no eite el límite de la función, má preciamente, lim f() = 6== lim f() (alto), lim f() =y lim f() = (dicontinuidad!! +!! + infinita por la derecha), lim!3 f() =y lim f() no eite (dicontinuidad infinita por la izquier!3 +

8 7 Funcione continua dicontinuidad infinita dicontinuidad de alto dicontinuidad removible ninguna de la anteriore Pertenece c al dominio de f ()? NO ) c = c = c= 5 c=0 SI + Eite f ()? lim!c NO ) SI + E lim f () =!c f (c)? c = (por la derecha) c =3 (por la izquierda) c = NO TIENE SENTIDO PLANTEAR ESTA POSIBILI DAD c =5 c =3 (por la derecha) NO ) Tabla. tipo de dicontinuidad da); en el punto 5 tenemo que la función etá definida, f(5) =, lim f() = pero, claramente,!5 lim f() 6= f(5) (dicontinuidad removible).!5 Ante de terminar eta dicuión acerca de lo ditinto tipo de dicontinuidad, queremo analizar un ejemplo má complejo de función dicontinua. La función de Riemann El ejemplo con el que queremo finalizar etá dado por la llamada función de Riemann. Eta función, que debe u nombre al matemático alemán Georg Friedrick Bernard Riemann (Breclenz.6Selaca 66), e define en (0; ) por f() = < : 0 i e irracional i = p q q fracción irreducible Para cualquier número c, con 0 <c<, la función f() tiende a 0 al tender a c. Uno puede aumir ete hecho a manera de «acto de fe» y deducir entonce que f() e dicontinua en todo lo punto

9 .4 Operacione con funcione continua 73 racionale de (0; ) y continua en lo punto irracionale de (0; ). La función de Riemann provee pue un ejemplo de función dicontinua con un número infinito de punto de dicontinuidad (má aún, lo punto de dicontinuidad forman un conjunto deno en (0; ), en el entido que todo punto de (0; ) puede aproimare por punto de dicho conjunto). Para el lector intereado en la prueba de que lim f() =0, para cada 0 <c<, incluimo a continuación una breve dicuión de ete hecho.!c La función de Riemann, lim f () =0!c Conideremo un número cualquiera " > 0 y ea N N uficientemente grande como para que ea " > N pero ". Obervamo que lo único número para lo cuale e falo que N j f() 0 j< "on =: ; 3 ; 3 ; 4 ; 3 4 ; 5 ; 5 ; 3 5 ; 4 5 ; ; N ; ; N N : Si c e irracional, entonce c no e ninguno de eo número. Si c e racional, entonce puede paar que c ea preciamente uno de eo número. En cualquier cao ólo hay un número finito de tale número y podemo elegir entre ello el que etá má próimo a c y no e el propio c, i.e., elegimo p tal que q 0 < p q c j cj para todo tal que j f() 0 j". Podemo tomar como eta ditancia mínima. Aí i 0 < j c j < entonce no e ninguno de lo número para lo cuale j f() 0 j " y por lo tanto e cumple j f() 0 j <"..4 Operacione con funcione continua En la página anteriore dimo alguno ejemplo de funcione continua. Podemo dar otro mucho ejemplo una vez que hayamo demotrado lo iguiente do teorema. Teorema Si f() y g() on funcione continua en c entonce (a) f() +g() (b) f() g() (c) ; iempre y cuando ea f(c) 6= 0. f() on funcione continua en c. En particular: (d) kf(), para toda contante k R, (e) f() g(), f() (f), iempre y cuando ea g(c) 6= 0, g() on funcione continua en c. Prueba: Pueto que f() y g() on continua en c, lim f() =f(c) y!c lim g() =g(c):!c Por el Teorema 3 en la página 34, eto implica que lim f() +g()=f(c)+g(c);!c lo cual e preciamente la afirmación de que la función f()+g() e continua en c. La demotracione de la parte (b) y (f) e dejan al lector.

10 74 Funcione continua Partiendo de la función contante, f() =k, y de la función identidad, g() =, podemo aplicar el Teorema para concluir que la funcione (monomio) k n ; con k R contante y n N, y lo polinomio p() =a n n +a n n ++a +a 0; con a 0;a ;;a n R contante y n N, on funcione continua en todo R. Que la función n ; n N, e continua en R ya lo habíamo mencionado; que la función p() ea continua dice que toda la funcione polinómica on continua. También, a partir del Teorema en la página 73, podemo concluir que la funcione racionale p() q() = ann + a n n + +a +a 0 b m m +b m m ++b +b 0 on continua en todo lo punto tale que q() 6= 0. En particular, la función e continua para todo 6= 0, como ya habíamo apuntado. Funcione má complicada, como por ejemplo, la función h() = en + 4 co en en ; puede demotrare ahora que on continua en lo conjunto donde etán definida. El Teorema en la página 73, in embargo, no parece er útil para demotrar la continuidad de funcione tale como en y en para 6= 0. Neceitamo un reultado referente a la compoición de funcione continua y la continuidad de la funcione trigonométrica. Teorema Si f() e continua en c y g(y) e continua en f(c), entonce la compoición g f() e continua en c. Prueba: Pueto que g(y) e continua en f(c), dado ">0, eite >0tal que. i j y f(c) j< entonce j g(y) g(f(c)) j< ". Pueto que f() e continua en c, a ee >0correponde un número > 0 tal que. i j c j< entonce j f() f(c) j<. No remitimo a la la figura.3 en la página 75. La relación puede interpretare como que cualquier número y a ditancia menor que de f(c) atiface que u imagen por g, a aber, g(y), etá a ditancia menor que " de g(f(c)). La relación.4 dice que i un número etá a ditancia menor que dec entonce el número y = f() etá a ditancia menor que de f(c). Por tanto, deducimo que i j c j< 0 entonce j g(f()) g(f(c)) j <"; lo que prueba que g f() e continua en c. Podemo ahora volver a coniderar la funcione en y en. Aplicando lo Teorema en la página 73 y y uando la continuidad de la función eno e concluye que dicha funcione on continua en 6= 0. Por ejemplo, la función en e el reultado de multiplicar el monomio con la función compueta f g donde g() = yf()= en, iendo toda eta funcione continua en 6= 0. Note que del teorema la continuidad de la función compueta g f() en c depende de la continuidad de f() en c ydeg(y) en f(c). Por ejemplo, i f() e continua en c entonce jf()j e continua en c ( por qué?). Sin embargo el hecho que f() no ea continua en c no implica que jf()j no ea continua en c. Por ejemplo, la función i 0 f() = i <0 no e continua en 0 mientra que la función jf()j e continua en todo R pueto que e la función contante igual a como en la figura.4 en la página 75.

11 .4 Operacione con funcione continua 75 6z 6y z = g(y) 0 g(f(c)) " 6? f(c) 6? 0 f(c) y 0 y = f() c jg(f()) g(f(c))j <" ( jy f(c)j < jg(f()) g(f(c))j <" ( jf() f(c)j< ( j cj< 0 Figura.3 compoición de 6y = jj 6 r y = f() b 0 6 y = jf()j Figura.4 lo gráfico y = jj; y = f() y y = jf()j Ejercicio. Etudiar la continuidad de la iguiente funcione: (a) f() = p (b) f() = + (c) f() = 3p 4 (d) f() = 9 p 3 9 (e) f() = p 6 (f) f() = (g) f() = (h) f() = p < : < : j 3j i 6= 3 3 i =3 i 6= + i = :. Determinar cuále de la iguiente funcione on continua en lo intervalo que e indican: (a) f() = ; ( ; 0]; [0; ); (0; ); (0; ]; [; ); (; ). (b) f() = ; (0; ); ( ; ); [0; ]; ( ; 0]; ( ; ]; (; ). (c) f() = []; ( ; ); ( 4 ; ); (; ); [; ); (; ]. 3. Hallar lo valore de c y k que hacen que la iguiente funcione ean continua en R.

12 76 Funcione continua c 3 i (a) f() = c + i > (b) f() = c i < 3c i (c) f() = (d) f() = < : < : +c i < 3c + k i 3 k i < 4 i c + d i << 5 i : 4. Hallar lo punto de dicontinuidad de la iguiente funcione y determinar el tipo de dicontinuidad de cada uno. (a) f() = j 6j 6 (b) f() = 6 (c) f() = 3 6 (d) f() = 3 + (e) f() = + 3 (f) f() = Do teorema fundamentale obre la funcione continua Bernhard Placidu Johann Nepomuk Bolzano (Praga.7.4) fue un acerdote que hizo ignificativa y muy importante contribucione a la matemática. En u trabajo obre la paradoja del infinito Paradoien de Unendlichen, Bolzano apuntó, por vez primera, que mucha de la afirmacione, aparentemente obvia, referente a la funcione continua, deben er riguroamente demotrada para garantizar que pueden er uada en toda u generalidad. Una de tale afirmacione e la que hoy e conoce bajo el nombre de «Teorema de Bolzano». El teorema correponde perfectamente a nuetra idea intuitiva de curva continua, que, para paar de un punto por debajo del eje a otro punto por arriba del eje, debe cortar el eje en algún punto (ver figura.5 ). f(b) 6 f(a) a [ b ] Figura.5 el Teorema de Bolzano Teorema 3 (Bolzano) Si f() e una función continua en el intervalo cerrado [a; b], yf(a) yf(b) tienen igno opueto, entonce eite al meno un punto c (a; b) tal que f(c) =0. Si f(a) y f(b) tienen igno opueto entonce o bien f(a) < 0 <f(b)(como en la figura.5 ) o bien f(a) > 0 >f(b)(como en la figura.6 en la página 77 ). La concluión del teorema e que hay, al meno, un punto donde la función e anula pero puede haber má de un punto con ea propiedad.

13 .5 Do teorema fundamentale obre la funcione continua 77 f(a) 6 f(b) a b [ ] Figura.6 el Teorema de Bolzano () La figura.5 y.6 en la página 77 parecen indicar que la concluión del Teorema de Bolzano, tal como lo hemo enunciado, puede hacere «má fuerte», al darno cuenta que, má aún, la función continua f() en el intervalo [a; b] toma todo lo valore comprendido entre f(a) y f(b), en el entido que i f(a) <d<f(b)o f(a)>d>f(b)entonce eite al meno un punto c (a; b) tal que f(c) =dy, en ee conteto, la retricción de que f(a) y f(b) tengan igno opueto no parece tener ninguna relevancia (figura.7 en la página 77 ). El hecho de que una función continua f() en un intervalo cerrado [a; b] tome todo lo valore comprendido entre f(a) y f(b), uele llamare el Teorema del Valor Intermedio y parece er reultado má general que el Teorema de Bolzano pero, como veremo ambo teorema on equivalente. 6y f (b) d f (a) y = d 0 a b Figura.7 el Teorema de Bolzano (3) En efecto, ea g() la función definida en [a; b] por g() =f() d. Entonce g() e continua y g(a) < 0 <g(b)o g(a)>0>g(b), egún ea f(a) <d<f(b)o f(a)>d>f(b), repectivamente. Aplicamo el Teorema de Bolzano y obtenemo que eite c (a; b) tal que g(c) =0. Pero que ea g(c) =0e equivalente a que ea f(c) =d. Podemo reumir la dicuión anterior bajo la forma de teorema. Teorema 4 Si f() e una función continua en el intervalo [a; b] entonce f() toma todo lo valore comprendido entre f(a) y f(b).

14 7 Funcione continua La hipótei del Teorema de Bolzano (y de u corolario, el Teorema 4 ) on retrictiva y eenciale. Conideremo, por ejemplo, la función f() = jj en el intervalo cerrado [ ; ] (ver la figura. en la página 7 ). Entonce f() e continua en todo punto de [ ; ] alvo en 0, y y 6 c c 0 Figura. la continuidad en la hipótei del Teorema de Bolzano e eencial f( ) = < 0 < = f(), pero no eite ningún punto c ( ; ) tal que f(c) = 0; la dicontinuidad en el olo punto 0 e uficiente para «detruir» la concluión del Teorema de Bolzano. Daremo una demotración formal del Teorema de Bolzano pero dejamo a juicio del lector el aceptarlo y aplicarlo in demotrarlo con todo rigor. Prueba: Vamo a recurrir a argumento que ya hemo empleado ante en alguna de la demotracione del Capítulo en la página 65 obre límite. Repetiremo lo argumento para lograr una demotración autocontenida. La idea de la demotración que proponemo e «localizar» el punto c (a; b) como el menor punto donde e anula la función. Supongamo que f(a) < 0 <f(b). Como f() e continua en [a; b], entonce, en particular, f() e continua en a, por lo que lim f() =f(a). Luego, dado " = f(a) > 0, eite >0tal que i!a + a <a+entonce 3f(a) <f()< f(a) <0. Sea a<<a+fijo. Entonce f() < 0 para todo [a; ] (ver la figura.9 ). y 6 f (a) f (a) a b 3f (a) Figura.9 eite >atal que f() < 0, para todo [a; ] Lo anterior prueba que eite >atal que f() < 0, para todo [a; ]. Por coniguiente, el conjunto A dado por A = fa <b: f()<0 en [a; ]g e no vacío. El punto b (que, claramente, no pertenece a A) e una cota uperior para A. Por el aioma del upremo, eite a < c b tal que c = up A.

15 .5 Do teorema fundamentale obre la funcione continua 79 No planteamo demotrar que f(c) =0. Si aumimo por un momento que f() efectivamente e anula en c, igue de manera inmediata que c<b(cno puede er b ya que f(b) > 0). Para verificar que f(c) =0recurrimo a una demotración por reducción al aburdo. Supongamo pue que f(c) 6= 0. E o bien f(c) < 0 o bien f(c) > 0. Si f(c) < 0 entonce c <b(no puede er c = b debido a que f(b) > 0). Como f() e continua en c y c (a; b), entonce lim f() =f(c), de modo que, dado " = f(c) > 0, eite >0tal que!c i c <<c+entonce 3f(c) <f()< f(c) <0. Eto dice que f() < 0 en (c ;c+). Sea c<<c+fijo y ea A tal que c <<c. La eitencia de etá garantizada por er c = upa, ya que i fuera c, para todo A, entonce c ería cota uperior de A y tendría que er c c, lo cual e aburdo. Tenemo, pue, que f() < 0 tanto en [a; ] como en (c ;). Por coniguiente (ver la figura.0 ) f() < 0 en [a; ] o, lo que e equivalente, A. c a c c c + Figura.0 f() < 0, en[a; ] Pero, entonce, debe er c, lo cual e claramente impoible ya que e eligió c <. La contradicción viene de aumir que f(c) < 0. Por tanto, la upoición f(c) < 0 e fala. Si f(c) > 0 entonce puede er c = b. En cualquier cao, pueto que f() e continua en c; e lim!c f() = f(c). Luego, dado " = f(c) > 0, eite > 0 tal que i c < c entonce 0 < f(c) <f()< 3f(c). Eto dice que f() > 0 en (c ;c]. De nuevo podemo afirmar que eite A tal que c <. Tenemo entonce que f() < 0, ya que f() < 0 en [a; ] y también que f() > 0, pueto que f() > 0 en (c ;c]y (c ;c). Eto e aburdo, de modo que la upoición f(c) > 0 conduce de igual manera a una contradicción (ver la figura. ). a c c Figura. f() < 0, pero f() > 0 en (c ;c] No pudiendo er ni f(c) < 0 ni f(c) > 0, queda f(c) = 0como única poibilidad. La demotración para el cao f(a) > 0 >f(b)igue de la dicuión anterior tomando f() en lugar de f(). De hecho, f() e una función continua en [a; b] y f(a) > 0 > f(b), luego, en vita de lo ya demotrado, eite c (a; b) tal que f(c) =0, i.e., tal que f(c) =0. Otra propiedad importante de la funcione continua fue formulada por Karl Wilhelm Theodor Weiertra (Otenfelde.5Berlín.97), matemático alemán a quien, má quizá que a ningún otro, e debe la tendencia moderna de rigor y preciión en el análii matemático. De manera intuitiva, la propiedad eprea que el gráfico de una función continua en un intervalo cerrado debe tener un punto má alto que cualquier otro y un punto má bajo que cualquier otro (ver la figura. en la página 0 ). Teorema 5 (Weiertra) Sea f() una función continua en el intervalo cerrado [a; b]. Entonce eiten un punto 0 [a; b] donde f() alcanza u máimo valor y un punto 0 [a; b] donde f() alcanza u mínimo valor.

16 0 Funcione continua y 6 a b Figura. el teorema de Weiertra Que f() alcance u máimo valor en 0 ignifica que f() f( 0 ), para todo [a; b], y que f() alcance u mínimo valor en 0 ignifica que f( 0) f(), para todo [a; b]. Por tanto, de la concluión del Teorema de Weiertra e deprende que toda función continua en el intervalo cerrado [a; b] e acotada, i.e., eiten m; M R tale que m f() M, para todo [a; b]. Lo que afirma el Teorema de Weiertra e que toda función continua en un intervalo cerrado e acotada y, má aún, alcanza allí u valore máimo y mínimo. Conviene obervar que una función (dicontinua) en un intervalo cerrado, aunque acotada, no neceariamente tiene un máimo o mínimo valor. Conideremo, por ejemplo, la función f() definida en [0; ] por f() = >< >: i e irracional i e racional Como etamo trabajando en el intervalo cerrado [0; ], podemo aegurar que la función f() toma valore comprendido entre 0 y, i.e., 0 f() ; para todo [0; ]. Má aún, podemo afirmar que la función f() toma valore próimo a 0 yatanto como e quiera, i e elige irracional uficientemente próimo a 0 oa, repectivamente. Sin embargo, f() no e nunca igual a 0 oa, pueto que, para racional, f() =, y para irracional, f() =. Por tanto, lo valore 0 y no pueden er alcanzado. Llegamo a la mima concluión i reemplazamo el intervalo cerrado [0; ] por cualquiera de lo intervalo (0; ); [0; ) o (0; ]. La hipótei del Teorema de Weiertra on eenciale, en el entido que la concluión del teorema puede er fala i omitimo alguna de la upoicione como: que f() etá definida en un intervalo cerrado que f(), e continua allí (intervalo cerrado). Por ejemplo, la función f() definida en [ f() =( i 6= 0 0 i =0 ; ] por e, por un lado, continua en (0; ], pero no admite un valor máimo allí, i.e., no eite ningún número real M tal que M, para todo (0; ], y, por otra parte, la función no e continua en todo el intervalo cerrado [ ; ], pueto que tiene una dicontinuidad infinita en 0 y no e tampoco acotada en [ ; ] (ver la figura.3 en la página ). En reumen, lo ejemplo dado muetran que una función dicontinua en un intervalo cualquiera, no neceariamente cerrado, puede er acotada pero no tener valor máimo o mínimo, que una función

17 .5 Do teorema fundamentale obre la funcione continua y 6 M 0 Figura.3 no eite M R tal que M, para todo (0; ] continua en un intervalo que no e cerrado puede er no acotada y que una función dicontinua en un intervalo cerrado puede er no acotada. A continuación incluimo la demotración del Teorema de Weiertra. Como para la demotración del Teorema de Bolzano, dejamo al lector la elección de etudiarla u omitirla. Prueba: La demotración que proponemo igue el mimo método empleado para la demotración del Teorema de Bolzano. Sabemo que lim f() =f(a). Luego, dado " =, eite >0tal que i a <a+entonce!a + f(a) <f()<f(a)+. Por tanto, i fijamo a<<a+, podemo concluir que f() e acotada en [a; ], má aún, podemo decir que f(a) f() f(a) +, para todo [a; ]. Eto prueba que el conjunto A dado por A = fa <b: f() e acotada en [a; ]g e no vacío. El punto b e, por la manera en que hemo definido A, una cota uperior para A. De acuerdo con el aioma del upremo, eite a<cbtal que c = up A. Si demotramo que c = b entonce quedaría etablecido que f() e acotada en [a; b]. Supongamo, por el contrario, que c<b. Pueto que f() e continua en c y c (a; b), entonce lim f() =f(c). Aí que, dado " =, eite >0tal que i c <<c+entonce f(c) <!c f() <f(c)+. Sigue de aquí que f() e acotada en (c ;c+). Sabemo que eite A tal que c <, de modo que i e un punto fijo (pero cualquiera) con c<<c+, reulta que f() e acotada tanto en [a; ] como en (c ;]y, por tanto en [a; ]. Luego A (ver la figura.4 ) y debe c a c c c + Figura.4 f() e acotada en [a; ] er c. Pero eto e claramente impoible ya que e eligió tal que c<. La contradicción viene de uponer que c<b. Por tanto, la única poibilidad e que ea c = b. Tenemo entonce que f() e acotada en [a; b], i.e., el conjunto ff() : [a; b]g e acotado. Sean m y M el ínfimo y el upremo de ee conjunto. Queremo demotrar que eiten 0; 0 [a; b] tale que f( 0)=myf( 0 )=M.

18 Funcione continua Supongamo, por el contrario, que f() >m, para todo [a; b]. Entonce la función g() definida en [a; b] por g() = f() m ; e continua en [a; b]. Por lo que ya hemo etablecido, g() e acotada en [a; b]. Aí, i M = upf g() : [a; b]g; entonce 0 <g()m, para todo [a; b]. Reulta de aquí que: f() m + M >m; para todo [a; b]. Eto dice que m + e cota inferior de f(), pero eto e claramente impoible pueto que m e la M mayor de la cota inferiore. La contradicción viene de uponer que f() >m, para todo [a; b]. Por tanto, lo que vale e que eite 0 [a; b] tal que f( 0)=m. De manera imilar e demuetra que eite 0 [a; b] tal que f( 0)=M. La demotracione de lo teorema de Bolzano y Weiertra tienen un carácter no contructivo pueto que no proveen un método para hallar la poición eacta de un cero o del máimo o del mínimo de una función continua en un intervalo cerrado. Hemo demotrado únicamente la eitencia de lo valore detacado. Lo teorema on, in embargo, muy útile y on uado para demotrar mucha propiedade, alguna de la cuale no on del todo obvia a imple vita. De alguna de la aplicacione del Teorema de Bolzano no ocuparemo a continuación..6 Cero de funcione Dada la función f(), decimo que c e raíz o cero de f() i y ólo i f(c) =0. Aí, por ejemplo, lo punto de la forma k, con k Z, on todo cero de la función en, yc e cero de la función polinómica p() =a n n +a n n ++a +a 0 i, y ólo i a nc n + a n c n + +a c+a 0 =0: No toda función tiene neceariamente un cero: la función f() = en que no tiene ningún cero pueto en, para todo R, y la función cuadrática g() = +tampoco tiene ningún cero (real) ya que 0, para todo R. Por otra parte, la función algo má compleja, h() = en 3 +tiene un cero en el intervalo [0;]. La afirmación, que no parece obvia, igue de aplicar el Teorema de Bolzano, pueto que h() e continua en [0;], h(0) = > 0 y h() = 3 + < 0. También la función polinómica q() = tiene un cero en el intervalo [0; ], yaqueq(0) = 35 < 0 y q() = 300 > 0. En el cao que etemo tratando con funcione polinómica de la forma: a n n + a n n + +a +a 0; con n impar, tenemo, a partir del Teorema de Bolzano, un reultado general que incluye en particular, el cao de la función q() dada arriba. Má preciamente: Teorema 6 Si n e impar, entonce cualquier ecuación n + a n n + +a +a 0 =0 tiene al meno una raíz (real). Prueba: Conideremo la función polinómica p() =a n n +a n n ++a +a 0:

19 .6 Cero de funcione 3 Sabemo que p() e una función continua (toda función polinómica lo e). Si hallamo do punto a y b tale que p(a) y p(b) tienen igno opueto, entonce, de aplicar el Teorema de Bolzano, igue el reultado deeado. Tenemo que p(0) = a 0;ia 0 =0, no queda nada por demotrar: 0 e raíz de la ecuación. Si a 0 6= 0 entonce 0 puede er uno de lo punto a y b que etamo bucando. Nuetra intuición no dice que para número con jj grande, el igno de p() depende del igno de n, en el entido que i jj e grande y > 0, entonce n e poitivo y mucho mayor que a n n + +a +a 0, tanto como para que ea p() > 0, yijj e grande y <0, entonce n e negativo y mucho menor que a n n + +a +a 0 tanto como para que reulte p() < 0. Aí, i a 0 > 0 podemo elegir b < 0 tal que p(b) < 0 y aplicamo el Teorema de Bolzano en el intervalo cerrado [b; 0], yia 0 < 0 elegimo b>0con p(b) > 0 y aplicamo el Teorema de Bolzano en el intervalo cerrado [0;b]. De acuerdo con todo lo anteriormente epueto, para demotrar el reultado bata verificar que, para jj grande, el igno de p() depende del igno de n. Tomemo la función p() n.e p() n =+an a ++ n + a0 n: Como lim jj! k =0, para todo k N, igue que p() lim jj! n =: Luego, dado " =, eite N>0tal que i jj > N entonce p() n < : Aí, i jj > N entonce de modo que, p() n > ; i > Nentonce p() > n > 0 y i < Nentonce p() < n < 0 En el enunciado del Teorema 6 conideramo la ecuación a n n + a n n + +a +a 0 =0 con a n =ynimpar. La condición de er an =no e retrictiva ya que i an 6= 0entonce, al dividir por a n, coneguimo la ecuación: n + an a n n + + a a n + a0 a n =0 que e obviamente equivalente a la ecuación original. Que n ea impar e, en cambio, una condición eencial, pueto que, para n par, no iempre podemo garantizar la eitencia de raíce reale. Por ejemplo, la ecuación +=0no tiene raíce reale, la ecuación ++=0tiene una raíz real doble 0 = y la ecuación + 3=0tiene do raíce reale = 3 y =. Ejercicio. Determine i el teorema del valor intermedio e válido para el valor de k dado. Si el teorema e cumple, halle c tal que f(c) =k. Si el teorema no e aplicable, dé la razón. (a) f() = 3 +3; [ ;]; k =. (b) f() = 3 ; [ 3; 0]; k = 3. (c) f() = 4 + ; [ 3;]; k =.

20 4 Funcione continua (d) f() = + i 4 i < ; [ 4;]; k =.. Demuetre que la iguiente ecuacione tiene una raíz entre lo punto indicado: (a) =0entre 0 y. (b) =0entre y. (c) =0entre y..7 Ejercicio adicionale Se proponen como ejercicio lo dado en R. Giudici y R. Silva de Giudici, Guía de Problema Matemática I, Segunda Edición (995), Equinoccio. pp. 664, No. 5 Ademá e proponen lo iguiente ejercicio.. Conidere la funcione cuyo gráfico e dan en la figura.5,.6,.7 en la página 5, y diga dónde on continua. Figura.5 Figura.6. Dibuje aproimadamente el gráfico de la funcione iguiente y diga dónde on continua (a) f() =j (b) f() = h i j

21 .7 Ejercicio adicionale 5 Figura.7 (c) f() = (d) f() = (e) f() = >< >: >< >: >< >: en i jj 6 4 i jj < 6 i 6= 3 i = i 6= i = 3. Etudie la continuidad de la funcione iguiente en lo punto indicado. (a) f() =j 3 jen 0 y (b) f() = (c) f() = >< >: < : p + p i 6= p 4 p i = p jj p i 6= i = eny p en0y p 4. Dé ejemplo (mediante gráfico y, i e poible, fórmula) de funcione que atifagan lo iguiente. (a) f :[0;]! R continua ecepto en 0 y. (b) f : R! R dicontinua en eactamente tre punto. (c) f : R! R dicontinua en =0, pero tal que g() =(f()) ea continua. (d) f; g : R! R dicontinua en =, pero tale que f() g() ea continua. (e) f : R! R tal que f() = para, e continua pero f() 6= A partir de la definición probar que la funcione iguiente on continua en lo punto indicado. (a) f() =; todo 0 R (b) f() =jj; todo 0 R (c) p f() = ;en0. (d) f() =a; todo 0 R. (e) f() = ;en. 6. Sea f una función continua en [,7] y upongamo que f no e anula en ningún punto de ee intervalo. Pruebe que f() e poitivo i ; y [ ; 7]. f(y)

22 6 Funcione continua 7. Sea f la función definida por f() = >< >: i i <<4 en()+ i 4 (a) Halle lim f(); lim f(); lim f():!0!!5 (b) Etudie el comportamiento de f alrededor de lo punto y 4.. Sabiendo que f : R! R e continua y atiface f() =a +3 i 0 f() =b( +) f()=cen f( 3) = 9 i 0 << i Calcule la contante a; b; c. 9. Etudie la continuidad de la funcione iguiente. jj p i 6= (a) f() = < : 0 i = p p (b) f() = ++ (c) p f() = p en (d) g() = 0. Para qué valore de a on continua la funcione definida por (a) f() = (b) f() = >< >: < : aarctan i 6= 4 a 0 i 6= 0 3a i =0 i <. Dé ejemplo de funcione tale que: (a) No eita ninguno de lo límite laterale en 0 = (b) Eita el límite por la derecha en 0 =, pero no por la izquierda.. Sea f la función definida por f() = < : en( + ) co + i 6= 0 i = (a) Pruebe que f e continua. f() f( ) (b) Pruebe que lim no eite.! + 3. Calcule lim arctan(tan! ) 4. Pruebe que la ecuación tan = tiene infinita raíce reale. 5. Encuentre (i eite) el menor ">0para el cual eita >0tal que j j=)j + j" y compruebe que para " = no eite ningún >0que «irva». 7

23 .7 Ejercicio adicionale 7 6. Dé ejemplo de funcione f : R! R tale que (a) f e dicontinua en =3, pero en( f())e continua. (b) f e dicontinua en =7, pero [f()] e continua. 7. Supongamo que f etá definida alrededor de 0 y que jf()jmpara todo lo en un intervalo alrededor de 0. Pruebe que lim f() =0. Compare con lim en!0!0.. Sea f : R! R y upongamo que f() <apara todo. Pruebe que i eite lim f() =,! 0 entonce a. Dé un ejemplo que muetre que en general no e puede concluir que <a. 9. Supongamo que f : ( ; )! R toma ólo valore racionale y e continua; i f(0) = 3, cuánto vale f( )? 0. Sea f :[0;]! [0; ] continua. Pruebe que f tiene por lo meno un punto fijo, e decir, eite al meno un [0; ] tal que f() =.. Sea f continua en 0. Pruebe que i n e una uceión que converge a 0, entonce la uceión f( n) converge a f(0).. Pruebe que el recíproco del problema anterior e cierto: i f( n)! f( 0) para toda uceión n! 0, f e continua en 0. Sugerencia: uar reducción al aburdo. 3. Sea f la función definida por f() = en, la cual no etá definida en 0; compruebe que no hay manera de definir f en 0 de manera que reulte continua y que a pear de ello f tiene la propiedad del valor intermedio.

24 Funcione continua

25 Apéndice: Una aplicación geométrica del Teorema de Bolzano El teorema de Bolzano puede er uado para demotrar propiedade geométrica. Comencemo por demotrar que cualquier región plana acotada puede er incrita en un cuadrado. Por región plana acotada indicamo la porción del plano que e halla dentro de cualquier curva cerrada imple, como en la figura.. Por ejemplo, un círculo de radio r>0e una curva cerrada región plana acotada por una curva cerrada imple Figura. imple y el dico de radio r > 0 e una región plana acotada (figura.9 ). Una curva en el plano el dico de radio r como ejemplo de región plana acotada Figura.9 e cerrada i al recorrerla en u totalidad a partir de cualquier punto P obre la mima, regreamo al mimo punto P de partida, como e ilutra en la figura.30. Una curva cerrada e imple i al Figura.30 ejemplo de curva cerrada recorrerla en u totalidad dede cualquier punto obre la mima no paamo por un mimo punto Q

26 90 Funcione continua má de una vez. La curva a la izquierda de la figura.30 no e imple, mientra que la curva a la derecha y la curva de la figura. y.9 on toda imple. Depué de eta breve nota eplicativa volvamo al problema que no ocupa. Fijemo un itema carteiano de coordenada de manera que la región plana acotada, llamémola D, e encuentre en el primer cuadrante, como e ilutra en la figura.3. itema de referencia para abordar el problema Figura.3 Al tomar el origen de coordenada como punto fijo en el plano obtenemo un haz de emirrecta orientada cada una de la cuale forma un ángulo, con el eje. No limitamo a coniderar aquella emirrecta orientada para la cuale 0. Tomemo una recta l orientada como la emirrecta que forma el ángulo con el eje y procedemo a mover eta recta paralelamente a í mima hata la poicione l y l. La recta l y l on tangente a la curva cerrada imple que acota a D en lo punto P y Q, repectivamente (remitámono a la figura.3 ). Paemo a coniderar el ángulo + y procedamo como ante hata obtener la recta orientada l 3 y l 4. De eta manera la región D queda encerrada en el rectángulo de vértice A, B, C y D, como e ilutra en la figura.3. Tomemo la función f() = A D A B que para cada ángulo, con 0, mide la diferencia entre la longitude de lo lado A D y A B. La función f() varía de manera continua al crecer de 0 a, en el entido que i lo ángulo y difieren muy poco entre í entonce lo rectángulo que encierran a D y etán determinado por y difieren también muy poco (figura.33 en la página 9 ). Si f(0) = A 0D 0 A 0B 0 e, por ejemplo, poitivo, entonce f( )=A D AB =A 0B 0 A 0D 0= f(0) e negativo (figura.34 en la página 9 ). De acuerdo con el Teorema de Bolzano, eite un ángulo 0 tal que f( 0)=0, e decir, tal que el rectángulo que encierra a D y etá determinado por 0 e un cuadrado. Con un razonamiento imilar podemo encontrar que cualquier región plana acotada puede dividire en cuatro parte de igual área. Para ello regreamo a la dicuión anterior en la que definimo una recta orientada l para cada ángulo, con 0. Movamo l hata la poición l de manera que la región D quede dividida en do regione de igual área. Tomemo ahora el ángulo + y procedamo a dividir D en do mitade. No referimo para la contrucción a la figura.35 en la página 9. De eta forma la región D queda dividida en cuatro parte. Si numeramo la cuatro parte de D como en la figura.35 en la página 9, tenemo D + D 4 = D + D 3 y D + D = D 3 + D 4;

27 .7 Ejercicio adicionale 9 rectángulo dado por que encierra a D Figura.3 Figura.33 f() e continua

28 9 Funcione continua Figura.34 lo rectángulo correpondiente a =0y= la cuatro parte en que queda dividida la región D Figura.35

29 .7 Ejercicio adicionale 93 de donde igue que y, por coniguiente D 4 D = D D 4; i.e. D = D 4 D = D 3: Aí, i demotramo que eite un ángulo 0 para el cual D ( 0)=D ( 0); entonce quedaría también demotrado el reultado deeado. Conideremo la función f() =D () D ();i f(0) = D (0) D (0) e, por ejemplo, poitivo, entonce, como D ( ) D( ) = D(0) D3(0) = D(0) D(0), reulta que f( ) = f(0) e negativo (ver figura.36 ). Por coniguiente, pueto que f() varía de manera continua al crecer la cuatro parte correpondiente a =0y = Figura.36 de 0 a, de acuerdo con el Teorema de Bolzano, eite un ángulo 0 tal que f(0) =0, i.e., tal que D ( 0)=D ( 0).

30 94 Funcione continua