DE ECONOMÍA DEPARTAMENTO MODELOS DE OLIGOPOLIOS DE PRODUCTOS HORIZONTALES DOCUMENTO DE TRABAJO N 336. Raúl García Carpio y Raúl Pérez-Reyes Espejo

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1 DEPARTAMETO DE ECOOMÍA POTIFICIA UIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ DEPARTAMETO DE ECOOMÍA POTIFICIA UIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ DOCUMETO DE TRABAJO 336 DEPARTAMETO DE ECOOMÍA MODELOS DE OLIGOPOLIOS DE PRODUCTOS HOMOGÉEOS Y VIABILIDAD POTIFICIA UIVERSIDAD DE ACUERDOS CATÓLICA DE?L PERÚ HORIZOTALES DEPARTAMETO DE ECOOMÍA Raúl García Carpo y Raúl Pérez-Reyes Espejo POTIFICIA UIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ DEPARTAMETO DE ECOOMÍA POTIFICIA UIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ DEPARTAMETO DE ECOOMÍA POTIFICIA UIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ DEPARTAMETO DE ECOOMÍA POTIFICIA UIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ DEPARTAMETO DE ECOOMÍA POTIFICIA UIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ DEPARTAMETO DE ECOOMÍA POTIFICIA UIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ DEPARTAMETO DE ECOOMÍA POTIFICIA UIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ DEPARTAMETO DE ECOOMÍA DEPARTAMETO DE ECOOMÍA

2 DOCUMETO DE TRABAJO 336 MODELOS DE OLIGOPOLIOS DE PRODUCTOS HOMOGÉEOS Y VIABILIDAD DE ACUERDOS HORIZOTALES Raúl García Carpo y Raúl Pérez-Reyes Setembre, 0 DEPARTAMETO DE ECOOMÍA DOCUMETO DE TRABAJO 336

3 Departamento de Economía Pontca Unversdad Católca del Perú, Raúl García Carpo y Raúl Pérez-Reyes Espejo Av. Unverstara 80, Lma 3 Perú. Teléono: (5-) anexos Fax: (5-) econo@pucp.edu.pe Encargado de la Sere: Lus García úñez Departamento de Economía Pontca Unversdad Católca del Perú, lgarca@pucp.edu.pe Raúl García Carpo y Raúl Pérez-Reyes Espejo Modelos de olgopolos de productos homogéneos y vabldad de acuerdos horzontales. Lma, Departamento de Economía, 0 (Documento de Trabajo 336) PALABRAS CLAVE: Olgopolo, Modelo de Cournot, Modelo de Bertrand, Acuerdos horzontales, Colusón tácta, Fusones. Las opnones y recomendacones vertdas en estos documentos son responsabldad de sus autores y no representan necesaramente los puntos de vsta del Departamento Economía. Hecho el Depósto Legal en la Bbloteca aconal del Perú º ISS (Impresa) ISS (En línea) Impreso en Cartolán Edtora y Comercalzadora E.I.R.L. Pasaje Atlántda 3, Lma, Perú. Traje: 00 ejemplares

4 MODELOS DE OLIGOPOLIO DE PRODUCTOS HOMOGÉEOS Y VIABILIDAD DE ACUERDOS HORIZOTALES Raúl García Carpo Raúl Pérez-Reyes Espejo Resumen En este documento se presentan los prncpales modelos de olgopolo consderando productos homogéneos. El materal hace énass en el detalle de las dervacones de las condcones de maxmzacón de benecos, y el eulbro en los mercados, así como en ntroducr el eecto de derentes cambos en los parámetros de los modelos. Se desarrollan algunas varantes de los modelos no tratados comúnmente, como la ntroduccón de contratos de largo plazo en el modelo de Cournot y los modelos de eulbro en uncones de oerta. Tambén se muestra como estos modelos pueden verse como casos partculares de la asuncón de derentes conjeturas ue tenen los agentes sobre el comportamento de sus rvales ue luego en realdad tendrán ue ser estmadas en cada mercado. Por últmo, en la cuarta seccón se ntroduce el análss de los acuerdos horzontales con productos homogéneos, el cual ncluye los cárteles, la colusón tácta y las concentracones horzontales. Palabras Clave: Olgopolo, Modelo de Cournot, Modelo de Bertrand, Acuerdos Horzontales, Colusón tácta, Fusones Abstract Ths paper presents the man models o olgopoly consderng homogeneous products. The materal emphaszes the detal o the dervatons o the condtons o prot maxmzaton, and eulbrum n markets and to ntroduce the eect o derent changes n model parameters. They develop some varants o the models do not usually dscussed, ncludng the ntroducton o long-term contracts n the Cournot model and eulbrum models n supply unctons. It also shows how these models can be seen as specal cases o the

5 assumpton o derent conjectures about the behavor o ther rvals who then actually have to be estmated n each market. Fnally, the ourth secton ntroduces the analyss o horzontal agreements wth homogeneous products, whch ncludes the cartels, tact colluson and horzontal mergers. Keywords: Olgopoly, Cournot Model, Bertrand Model, Tact Colluson, Horzontal Mergers

6 MODELOS DE OLIGOPOLIO DE PRODUCTOS HOMOGÉEOS Y VIABILIDAD DE ACUERDOS HORIZOTALES Raúl García Carpo * Raúl Pérez-Reyes Espejo *. ITRODUCCIÓ Los modelos olgopólcos representan a mercados con un alto nvel de concentracón y cuya prncpal característca es la exstenca de nterdependenca entre las conductas de las empresas partcpantes y ue cada una de ellas lo sabe. Esta nteraccón se ve relejada en la uncón de demanda ue enrenta cada empresa, ue recbe el nombre de demanda resdual. Modernamente la teoría de la organzacón ndustral, rama de la economía ue analza estos mercados, ha tendo un mportante desarrollo gracas al uso de la teoría de juegos como herramenta metodológca para modelar la nteraccón entre las empresas, consderando un comportamento optmzador y derentes nocones de eulbro. Sn embargo, pese a estos avances un tema aún por denr en estos modelos es el relaconado con la dmensón de la rvaldad o nterdependenca. Tradconalmente ha exstdo una dscusón sobre s la rvaldad se da en precos, en cantdades o en capacdad productva. Esto ha generado una dversdad de modelos olgopólcos. Como plantea Trole 988, una prmera dmensón de la rvaldad está relaconada con el horzonte temporal de las decsones ue estamos * Se agradece la asstenca de Beatrz Canchar, Víctor Chang y Crsthan Flores así como el apoyo en la edcón nal de Clauda Fernández - Dávla. El materal presentado se ha benecado de los comentaros de Lus García a una prmera versón y de dscusones sobre estos temas con Gonzalo Ruz, José Gallardo y José Távara. Raúl García agradece adconalmente a Ramón García-Cobán uen lo ntrodujo a la teoría de los superjuegos. La responsabldad por el contendo es exclusva de los autores. Comentaros adconales son benvendos, escrbr a raul.garcac@pucp.edu.pe o rperezreyes@yahoo.es. Versón a agosto de 0. Docentes a tempo parcal del Departamento de Economía de la Pontca Unversdad Católca del Perú (Pregrado y Maestrías de Economía y Regulacón de Servcos Públcos).

7 analzando. Un análss de rvaldad en el corto plazo, reuere denr la capacdad productva como dada y por lo tanto la rvaldad se relejará en los precos. Un análss de rvaldad en plazos ntermedos, se relejará en la consderacón de la capacdad productva y/o la produccón asocada, como las varables ue explue la rvaldad entre empresas. En el largo plazo, la nnovacón tecnológca será el elemento en el ue rvalcen las empresas, subordnando precos y capacdades productvas a estas decsones. En el presente documento se dscuten los modelos cláscos de olgopolo, empezando por los modelos de competenca en cantdades de Cournot y Stackelberg. Posterormente se analza el modelo de competenca en precos planteado por Bertrand; y el modelo de lderazgo en precos medante una empresa domnante y una ranja compettva. Tambén se ncluyen algunas varantes más recentes como la ntroduccón de contratos de largo plazo en el modelo de Cournot y el modelo de eulbro en uncones de oerta. Todos estos modelos se analzan asumendo homogenedad en los productos y consderando un entorno estátco, en el sentdo ue las decsones tomadas no están asocadas al tempo de orma explícta. Como últmo punto para cerrar el tema de modelos olgopólcos con productos homogéneos, se analzan los acuerdos horzontales relaconados con las condcones de establdad de los cárteles y la colusón como los ncentvos y eectos de las usones.. COMPETECIA E CATIDADES. Modelo de Cournot El modelo de Cournot es un modelo olgopólco básco, en donde la varable de decsón es el nvel de produccón y las empresas toman sus decsones smultáneamente (en el documento solo tratamos el caso de productos homogéneos). Es decr, las empresas partcpantes deben decdr cuánto de Antone Augustn Cournot (80 877) ue un mportante matemátco rancés ponero en ntroducr el uso del cálculo en el análss de los problemas económcos. El desarrolló tanto un tratamento adecuado de los problemas de maxmzacón de benecos del monopolo como del olgopolo. Un análss de

8 produccón orecerán al mercado, consderando la produccón de las demás empresas rvales como dada. Esto mplca ue en la uncón de demanda ue enrenta cada empresa tenga ue consderar lo ue hacen las rvales, lo cual ormalmente se releja en una uncón nversa de demanda en donde el preco P depende de lo ue orece la empresa ( ) y de lo ue orecen las demás empresas ( Q ): ( ) P P + Q.. El Caso del duopolo Por smplcdad, pero sn perder generaldad, consderemos ue exsten dos empresas ( y ) con costos y capacdades guales. El proceso para hallar el eulbro, consderando costos margnales constantes, se puede entender de la sguente orma: en una prmera etapa, la empresa maxmza sus benecos consderando la produccón de la empresa como una constante. Este caso se lustra en el Gráco º (a), donde se dbuja la curva de demanda de mercado D y la cantdad ue la rma asume como ja y por lo tanto una curva de demanda resdual D, ue corresponde a la curva de demanda ue enrenta la rma, la cual le permte establecer su cantdad óptma de produccón *. En una segunda etapa, la empresa maxmza sus benecos consderando como dado y establece su cantdad óptma Gráco º (b). *, ver Se puede probar ue este juego contnúa hasta ue y no varían en la etapa sguente, habendo encontrado por tanto, los nveles de produccón óptmos. El nvel de produccón ue maxmza los benecos de una empresa es una uncón decrecente de la cantdad ue pensa producrá su rval. Esta uncón se denomna uncón de reaccón. En dcha uncón cada empresa maxmza los prncpales aporte de Cournot a la economía se puede encontrar en Ekelund y Hebert (99). 3

9 su beneco consderando jo el nvel de produccón de su rval, es decr, tenendo en cuenta el nvel de produccón de la empresa rval, la empresa sólo cubrrá la demanda resdual del mercado. Gráco º Demanda resdual para las empresas y en el modelo de Cournot P P D D D D P P CMg CMg IMg IMg * (a) * (b) Funcón de Reaccón Grácamente se puede obtener la uncón de reaccón de la sguente manera (ver Gráco º ). Consderemos ue la demanda de mercado D 0 es abastecda por una sola empresa, en este caso, el monopolsta maxmzará M sus benecos en (obtendo de gualar el ngreso margnal y el costo margnal). Ahora ben, s consderamos ue ngresa un competdor a este mercado, el eecto ue esto generará, es una reduccón de la demanda del 0 mercado en una cantdad gual a la producda por el entrante ( ), de orma ue la nueva demanda ue enrenta la rma establecda es D, a partr de la cual, se determna un nvel de produccón de 0, pasando del punto A al B. Un razonamento smlar hace ue cada decsón de aumentar la produccón del entrante, reduzca el nvel de produccón ue maxmza los benecos de la empresa establecda. Por ejemplo, s la empresa entrante no hubera 4

10 producdo una cantdad 0, sno una cantdad, la empresa hubera tendo un nvel de produccón como (pasando al punto C). Por lo tanto, para cada nvel de produccón de la empresa, habrá un nvel de produccón óptma para la empresa (uncón de reaccón de la empresa ), ncluso pudendo no uedar demanda resdual para la empresa, tal como se observa en el punto D, esto en el caso de ue la empresa produzca. De la msma manera se realza la dervacón gráca de la curva de reaccón para la empresa. Gráco º Construccón de la curva de reaccón 5

11 Funcón de reaccón y la curva de sobeneco Asmsmo, medante un análss gráco se puede mostrar la relacón exstente entre la curva de sobeneco y la curva de reaccón para ambas empresas (ver Gráco º 3). La empresa y la empresa poseen un mapa de curvas de sobeneco, donde para la empresa parte (a) de la gura esta curva crece haca el eje de las abscsas pudendo llegar a un punto máxmo como M, en el cual, la empresa se convertría en un monopolo. Grácamente lo observamos por la dreccón de la lecha contnua haca el eje de abscsas, obtenendo de esta manera, la uncón de reaccón (R ) de la empresa. Por otro lado, con respecto a la curva de reaccón para la empresa, parte (b), se puede observar ue ésta crece haca el eje de las ordenadas pudendo M llegar a un punto máxmo como, en el cual, la empresa se convertría en un monopolo. De gual manera, se graca la uncón de reaccón (R ) de la empresa, aprecándose ue mentras menor sea el nvel de produccón de la empresa, mayor será el beneco ue obtendría la empresa. Grácamente observamos esta relacón por la dreccón de la lecha contnua haca el eje de ordenadas. Ambas grácas proporconan el msmo razonamento, es decr, mentras menor sea el nvel de produccón de una empresa rval, mayor será el beneco ue obtendría la empresa. 6

12 Gráco º 3 Curvas de sobeneco y uncón de reaccón ( > ) '' ' '' π π π M ' π ( < ) π π π '' '' ' ' π (a) M (b) Por últmo, se puede realzar una dervacón alternatva de las uncones de reaccón (como la presentada en el capítulo de Schooter 996), a partr del análss gráco. En el Gráco º 4, los puntos como el x, representan nveles de produccón para las empresas y. Por ejemplo, en el punto x, la empresa produce * y la empresa produce * M, en el punto el nvel de produccón de la empresa es el de monopolo y el de la empresa es 0, este punto le representa a la empresa el mayor nvel de beneco ue puede obtener por encma de cualuer otra combnacón de produccón posble. Obsérvese la combnacón de produccón en el punto a. En este punto, la empresa contnúa con su produccón de monopolo, sn embargo, la empresa tene una produccón postva. En este punto, se puede observar M ue la empresa recbrá menores benecos ue en el punto, porue la cantdad postva de la empresa aumentará la cantdad agregada de mercado y por tanto, dsmnurá el preco de mercado. Analcemos ahora las curvas de sobenecos, grupos de puntos ue representan los msmos nveles de benecos para la empresa. Examnemos 7

13 el punto b, donde de nuevo la empresa produce la produccón de monopolo M, pero ahora la empresa produce menos ue en el punto a. Es ácl aprecar ue la reduccón de la produccón de la empresa aumenta las utldades de la empresa por encma de lo ue estaba en el punto a. Para regresar los benecos de la empresa donde se encontraban, es decr, en el punto a, se tenen dos opcones. Se puede desplazar al punto c o al punto d. En el punto c, la empresa tene una produccón menor ue en el punto b, lo ue aumenta el preco del producto pero dsmnuye los benecos de la empresa porue ahora vende una cantdad menor. En el punto d, la empresa tene una produccón mayor ue en el punto b, lo ue le permte vender una cantdad mayor, pero la produccón adconal dsmnuye el preco y tambén aumenta los costos de la empresa. Así, los puntos c, a y d tenen los msmos nveles de benecos. En general, las curvas de sobeneco para la empresa tenen la orma ue aparece en el gráco, las curvas más cercanas al eje horzontal (más cercanas al nvel de produccón de monopolo) representan nveles de benecos más altos. En cuanto a las uncones de reaccón para las empresas y, observemos prmero la empresa. Para cualuer nvel de produccón determnado elegdo por la empresa, la uncón de reaccón señalará el nvel de produccón ue maxmza los benecos para la empresa. Supongamos ue la empresa establece un nvel de produccón '. Conocendo esta eleccón, la empresa uerrá elegr el nvel de produccón ue la coloue en la curva de sobeneco más baja posble. Este nvel de produccón se caracterza por la tangenca de la curva de sobeneco y la línea trazada de orma paralela al eje horzontal, a la altura de '. Esta tangenca se presenta en el punto x, donde el nvel de produccón es '. Cuando la empresa seleccona un nvel de produccón más alto, como es, la tangenca se presenta en el punto, y el nvel óptmo de produccón para la empresa dsmnuye a. Al selecconar de orma sucesva derentes nveles de produccón para la empresa y determnar los puntos de tangenca para la empresa, se puede trazar la uncón de reaccón 8

14 de la empresa. Un análss smlar puede dar como resultado la uncón de reaccón de la empresa. Gráco º 4 Dervacón alternatva de la curva de reaccón Funcón de Reaccón de la empresa x a c b d Fuente: Schooter 996 m.. Convergenca en el modelo de Cournot En el Gráco º 5 (a) se muestran las curvas de reaccón de ambas empresas y el proceso de convergenca al óptmo, consderando unas cantdades ncales de ' y '. Supongamos ue la empresa decde prmero y produce ', mentras ue la empresa no ha producdo nada aún. Dado este nvel de produccón de la empresa, la empresa decdrá producr ', para maxmzar sus benecos. Sn embargo, con la produccón ' (ue ha mplcado un ncremento en la produccón total del mercado y por lo tanto una reduccón de los benecos ncales para la empresa establecda), la empresa decdrá revsar su decsón y dado ello, producrá '', punto donde maxmza benecos para ese nvel de produccón de la empresa. Luego la empresa, dada la produccón '' de la empresa, produce '', ue es su nuevo punto de maxmzacón. Contnuando con este razonamento se llega al punto donde la 9

15 rma, al ver la produccón * de la empresa, produce tambén *, y la empresa, ante la produccón * de la empresa, produce * mantenendo su decsón. En este punto, donde ambas empresas no tenen ncentvos para cambar sus nveles de produccón, se habría llegado a lo ue se conoce en teoría de juegos como un «eulbro de ash». 3 Se debe notar ue para ue este comportamento se cumpla, el cambo en el ngreso margnal de las empresas debe ser menor al cambo en el costo margnal de cada rma (condcón de segundo orden de la optmzacón), pues cuando el costo margnal no es constante un ncremento de la produccón puede reducr el costo margnal s las economías de escala no se han agotado. Sn embargo, la teoría desarrollada en el modelo de Cournot no arma ue los duopolstas elegrán el nvel de produccón E y E, todo lo ue dce es ue s los elgen, no exstrán ncentvos para desvarse de este nvel de produccón, y el mercado se encontrará en eulbro. 3 El eulbro de ash en teoría de juegos corresponde a un conjunto de estrategas aplcadas, una para cada jugador, donde nngún jugador obtene mayores benecos s camba unlateralmente su estratega, mentras los otros no camben la suya (ash 95). Una ntroduccón a la teoría de juegos se puede consultar en Gbbons 997. Un texto muy útl de teoría de juegos orentada a la organzacón ndustral se puede consultar en Fudenberg y Trole

16 Gráco º 5 Convergenca en el modelo de Cournot y el caso de eulbro nestable R : ( ) E B A R : ( ) (a) R : ( ) A E B R : ( ) (b)

17 Sn embargo, un caso a tener en cuenta en el modelo de Cournot, es la posbldad de la no exstenca de convergenca, la cual podría producrse dada una determnada poscón de las uncones de reaccón, especícamente, para el caso en el cual la uncón de reaccón de la empresa tenga mayor pendente ue la uncón de reaccón de la empresa. Para este caso, aún sgue sendo váldo el enuncado de ue s las empresas llegan a alcanzar el eulbro no tendrán ncentvos a desvarse. Sn embargo, el proceso de convergenca para obtener el eulbro no es conable. Así, en el Graco 5 (b), se muestra lo antes expuesto, es decr, el caso de un eulbro nestable en el modelo de Cournot 4. Así, s ambas empresas no se encuentran en el eulbro, como por ejemplo en el punto A, donde la empresa produce una cantdad '. Dado este nvel de produccón, la empresa elegrá producr ', según su uncón de reaccón R, ubcándose debajo de su produccón de eulbro *. Segudamente a ello, la empresa, de acuerdo a su uncón de reaccón, al observar ue la empresa elgó ', aumentará su produccón desde ' haca '' desplazándola más lejos del eulbro. Con la produccón de la empresa ahora en '', la uncón de reaccón de la empresa señala ue dsmnurá su produccón desde ' hasta '', alejándose tambén del eulbro. S contnuamos con el procedmento segudo, se observa ue el proceso es dvergente (es decr no se establza en un punto)...3 Eulbro en el modelo de Cournot A contnuacón se muestra el cálculo del eulbro para el caso de un olgopolo comptendo a lo Cournot con las sguentes característcas: 4 Se puede revsar Seade 980 para un análss ormal de las condcones de establdad en el modelo de Cournot.

18 . Funcón de demanda nversa lneal 5 : P( Q) a bq donde n Q y n.. Funcón de costos C ( ) F+ c para,. Se explcarán dos casos, cuando los costos margnales son constantes e guales entre las empresas, y el caso cuando los costos margnales son derencados...3. Con costos margnales constantes Consderando costos margnales constantes entonces c c, la uncón de costos cada empresa sería: C ( ) F+ c. Entonces la uncón de benecos uedaría expresada de la sguente manera: π P( Q ) C ( ) Para el caso de la empresa, los benecos uedarán expresados de la sguente manera, luego de reemplazar las anterores uncones: π ( a b( + )) F c La condcón de prmer orden es la sguente: π a b b c 0 a c b b En todo el documento se análss se realzará usando este supuesto. Se puede consultar la seccón.4. de Martn 00 para un análss del modelo de Cournot con dos empresas con una demanda de elastcdad constante. Se puede vercar ue estamos alcanzando un máxmo dado ue la uncón de benecos es cóncava y por lo tanto su segunda dervada es negatva. En este π caso b < 0. Un análss detallado de este tpo de condcones para el modelo de Cournot se puede consultar en la seccón 4. de Vves 00. 3

19 Tomando la notacón de Martn 00, S (de supply) corresponde a la a c cantdad de competenca perecta para estos modelos S b tenemos: Conocendo ue la curva de reaccón de la empresa es smétrca tenemos ue: S R: S R : S reemplazamos R en R tenemos: S S De esta orma obtenemos las cantdades óptmas ue deben producr las empresas en la stuacón de eulbro: * S * S ; 3 3 De esta manera, se producrá en el mercado una cantdad total de S/3, mayor a la de monopolo, ue se puede demostrar ue es S/ pero menor a la de competenca perecta S. Los resultados obtendos se muestran en el Gráco º 6. El punto E, representa el punto de eulbro en donde ambas curvas de reaccón se cortan y donde cada empresa producrá S/3, habendo en el mercado una cantdad total de S/3. 4

20 Gráco º 6 Eulbro en el duopolo de Cournot lneal R Cantdad Total de Cournot S 3 '' π S * 3 '' '' ' E π ( π < π ) ' π R S * 3 Asmsmo, s se realza el análss medante el nstrumental de la teoría de juegos se puede demostrar ue el punto E representa un eulbro de ash, tambén llamado en la lteratura eulbro de ash-cournot. Ello debdo a ue corresponde a una stuacón donde cada empresa no puede mejorar (ncrementar sus benecos), a través de un cambo unlateral de estratega. El análss utlzando este enoue se presenta con mayor detalle en la seccón 4. donde se dscute el problema de la colusón tácta. Por otro lado, s asummos ue 0 ó en todo caso sólo exste una empresa en el mercado producendo a lo Cournot, llegamos al caso de una estructura de mercado monopólca y s vemos la curva de reaccón de la empresa (R ), ésta ueda resumda en: R : S S es ue exste nntas empresas operando a lo Cournot, llegamos a una stuacón de competenca perecta en donde el P c, producendo en conjunto la ndustra un nvel de produccón S. 5

21 Comparacón de estructuras de mercado El Gráco º 7 nos muestra una comparacón entre estructuras de mercado, asumendo costos margnales constantes e déntcos para todas las empresas, y una uncón de demanda lneal. Lo cual muestra, bajo los supuestos establecdos, ue se produce en conjunto un nvel S bajo competenca perecta (punto PC), /S bajo una estructura de mercado monopólco (M) y /3S en el caso duopólco de Cournot (punto C). Gráco º 7 Modelo de competenca perecta, monopolo y Cournot P c+ bs c+ bs 3 c M C PC S 3 S S Q Ejemplo de convergenca al eulbro en el duopolo a lo Cournot A modo de ejemplo, consderemos el modelo de Cournot con dos empresas ( y ), cuya uncón nversa de demanda de mercado (P) vene dada por la sguente ecuacón lneal: P( Q) a Q Donde: Q + Asummos ue el costo total es gual al producto del costo margnal por la cantdad, es decr, ue no hay costos jos, y ue este costo margnal es el msmo e gual a cero (CMg 0) para ambas empresas, tal como lo planteó 6

22 Cournot en su análss ncal de la provsón de agua 7. Tambén asummos ue a. En un prmer momento, la empresa se comporta como un monopolsta, por lo ue decdrá cuánto producr, gualando su ngreso margnal con su costo margnal (IMg CMg). La maxmzacón de benecos (sabendo ue ueda expresada de la sguente orma: π PQ CQQ ( ) ( QQ ) CQQ ( ) Q) Obtenendo a partr de la condcón de prmer orden: π Q C ( Q) Q C( Q) 0 como CMg 0 Q Reemplazando en la uncón de demanda nversa, se tene un p ½. Estos resultados se gracan en el Gráco º 8. Gráco º 8 Modelo de Cournot Empresa como monopolsta P P/ IMg / D CMg 0 En un segundo momento entrará una nueva empresa, ue tomará como dada la produccón de la prmera, y maxmzará sus benecos como monopolsta sobre su demanda resdual. 7 Cournot tomó como ejemplo la competenca de dos manantales de agua sn costos de extraccón. 7

23 Remplazando / en la uncón de demanda nversa, obtenemos la uncón de la demanda resdual para la empresa. P( ) a Maxmzando el beneco de la empresa : P( ) CMg π CMg Obtenendo a partr de la condcón de prmer orden: π Reemplazando tenemos ue: P ( ) 4 Los resultados de este segundo momento se relejan en el Gráco 9. Gráco º 9 Modelo de Cournot Prmer movmento de la empresa P Demanda resdual para D: Q a - P + a - P P a - - P - - P /4 IMg /4 Q 3/4 / CMg0 Este nuevo nvel de precos hará ue la empresa realce una reevaluacón de su prmera decsón, consderando la /4. 8

24 P( ) CMg 3 π CMg 4 3 y 8 π P ( ) Por lo ue el nuevo nvel de la produccón de la empresa es 3/8. Los resultados de este tercer momento se relejan en el Gráco 0. Gráco º 0 Modelo de Cournot Segundo movmento de reaccón empresa P P 3/8 Demanda resdual para Q a - P P a - - P - ¼ - P ¾ - 3/8 IMg Q 5/8 /4 CMg 0 La empresa debe reevaluar su decsón tenendo en cuenta el nuevo nvel de produccón de la empresa de 3/8: π P( ) CMg π 5 8 CMg π P( )

25 Por lo ue el nuevo nvel de la produccón de la empresa es 5/6. Los resultados de este tercer momento se relejan en el Gráco. Gráco º Modelo de Cournot - Tercer movmento de reaccón de la empresa P P5/6 Demanda resdual para D: Q a - P + a - P P a - - P - 3/8 - P( ) 5/8 - IMg 5/6 Q /6 3/8 CMg0 Sobre la base de estas decsones, se puede r construyendo una relacón entre los nveles de produccón óptmos de cada empresa, dados los nveles escogdos por la empresa rval. Esta relacón ue vene a ser justamente la uncón de reaccón de la empresa. La convergenca se encuentra sguendo este proceso de teracón hasta ue ambas empresas maxmzan sus benecos a la vez y no tenen ncentvos para modcar sus cantdades orecdas al mercado. En el Gráco º se presenta este proceso de convergenca. 0

26 Gráco º Ejemplo de convergenca al eulbro en el duopolo a lo Cournot 4/5 /3 Funcón de Reaccón de / /3 /6 /3, /3 3/8, /4 3/8, 5/6 /, /4 Funcón de Reaccón de 0 /6 /3 /,0 / /3 4/5 Una orma alternatva y más drecta al procedmento anteror de hallar el punto de convergenca, es usando la condcón de prmer orden del problema de maxmzacón: π P( QQ ) C( Q) P Q Q + P( Q) C ( Q) 0 Q Donde: 8. Reemplazando los valores para el ejemplo obtenemos, consderando una uncón lneal de demandaa y costos margnales nulos: p Q ( + pq ( ) C ' Q 0 ) + p 0 ( ) p 8 Q j j + 0 +

27 Dado ue las empresas son smétrcas se tene la msma gualdad para la otra empresa, es decr p. Usando este resultado y reemplazando en la uncón nversa de demanda tenemos: p p p Usando los resultados anterores podemos vercar ue se obtene: * * 3 Reemplazando este resultado en la ecuacón (v), se obtene tambén el preco ( p * /3) y usando (), la cantdad de eulbro para la empresa es * /3..3. Con costos margnales derencados Consderando costos margnales derencados c c, la uncón de costos de cada empresa sería: C( ) F + c Entonces la uncón de benecos uedaría expresada de la sguente manera: π PQ ( ) C( ) Los benecos de cada empresa serán: π ( a b( + )) F c π ( a b( + )) F c La condcón de prmer orden es la sguente: π π a b b c 0 a b b c 0

28 Sendo la uncón de reaccón de ambas empresas: a c b S R : b a c b S R : b () ( ) Reemplazando () en () hallamos las cantdades de Cournot: S S S S ; 3 3 * * S asummos ue: c > c por lo tanto - c <- c Acomodando los térmnos para ormar S, tenemos: a c a c a c < a c < b b S llamamos a estas cantdades S y S, tenemos ue debe cumplrse ue: S < S Lo ue mplcaría ue: S S S S < 3 3 * * a c c 3b < * * a c c 3b Por lo ue la produccón de la ndustra (total) para el eulbro ash-cournot, con costos derencados resulta: S S S S S + S Q * * Q Q * S S + 3 a c 3b * c 3

29 Como ya se menconó, s los costos de ambos productores ueran guales el eulbro estaría dendo por el punto E 0 (ver Gráco º 3). Sn embargo s la empresa tene menores costos ue la empresa (caso asmétrco en costos), o la empresa tene mayores costos ue la empresa, el resultado es un eulbro en el ue la empresa de menores costos tendrá la mayor partcpacón de mercado. Una solucón de eulbro, s asummos un ncremento de costos de la empresa, es el desplazamento de su curva de reaccón haca adentro, del punto E 0 al punto E, lo cual genera una reduccón de su partcpacón en el mercado y por ende un aumento del de su rval. Gráco º 3 Desplazamento de la curva de reaccón en el modelo de Cournot con costos derencados R R' * E E 0 R * Incluso la derenca de costos puede hacer ue una de las dos empresa no produzca y la otra lo haga en condcones monopólcas, pudendo ocurrr stuacones como E y E mostradas en el Gráco º 4, donde la derenca de costos entre y es tan grande ue el eulbro duopólco no exste. E-. S asummos ue en un prncpo ambas empresas producen cantdades postvas del ben y están en eulbro (punto E 0 ), una solucón de esuna podría darse en el punto E, el cual muestra un ncremento de los costos de la empresa (desplazamento de la curva de reaccón de R a R ). Esto muestra lo rentable ue puede ser para una empresa en el mercado, el encarecer los costos de 4

30 sus rvales, al extremo ue los puede sacar del mercado. Asmsmo otra solucón de esuna se daría en el punto E, el cual releja el caso de una reduccón de los costos de la empresa, donde ésta se converte en la abastecedora de todo el mercado. En ambos casos, no exste un eulbro ash-cournot, allí las solucones serán monopólcas, a avor de la empresa. En resumen, podemos conclur ue la partcpacón de mercado (s) en el modelo de Cournot con costos derencados se puede expresar como: S S a c+ c s Q S + S a c c Es decr, la partcpacón de mercado es nversamente proporconal a los costos margnales de cada empresa. Gráco º 4 Solucón de esuna del duopolo de Cournot con costos derentes S S / R R E 0 R S R E S / S E S Además el preco de eulbro en el modelo de Cournot se obtene al reemplazar Q * expresón: en la uncón de demanda nversa, resultando la sguente P a bq a c P a b 3b S + S a b 3 * 5 a c b 3b

31 c c a P + + Reordenando podemos obtener el preco en uncón de S, S, b y c : ( ) * bs S S P a c b b c P c b S S + + Análss matrcal Otra orma de obtener el eulbro Cournot es ver el problema matrcalmente, planteando ambas uncones de reaccón como un sstema de ecuacones ue se resuelve smultáneamente: ; S S Luego se agrupa las varables exógenas y endógenas como sgue: ; S S + + Entonces matrcalmente nos ueda la sguente expresón: S S Y operando matrcalmente la sguente operacón: * * S S Resolvendo se obtenen las msmas solucones: 3 3 * * S S S S

32 Ejemplo del modelo de Cournot con costos derencados Con el sguente ejemplo, podremos hallar las cantdades de eulbro para el caso del modelo de Cournot con costos derencados. Con una uncón nversa de demanda de P00-0Q, y con costos margnales: c 5 y c 50, reemplazando obtenemos: a c b 0 4 a c b 0 S, S, Obtenemos las cantdades de Cournot para ambas empresas: ( ) c 5/ 4 5/ 67,, 3 c 5 ( / ) 5/ 4 04, 3 Vemos ue la rma ue posee una tecnología con costos menores produce una mayor cantdad de la produccón a lo Cournot, alrededor del 80% del total. S las dos empresas enrentaran la uncón de demanda ya descrta y tuveran el msmo costo margnal, por ejemplo gual a 5, la produccón de cada una sera de,5 (ver Gráco º 5). 9 9 El desarrollo de este caso se deja al lector. 7

33 Gráco º 5 Ejemplo de duopolo de Cournot con costos derencados Curva de reaccón de la Frma : /(S - ) Curva de reaccón de la Frma (con un costo margnal menor),5 A 0,4 B,5, Con costos cuadrátcos En este caso, supongamos ue exsten dos empresas ue compten a lo Cournot, y muestran las sguentes uncones de costos: C α + β+ γ Con lo cual el costo margnal es: CMg β + γ Se enrenta una uncón de demanda nversa lneal: p a bq El problema de maxmzacón de benecos a resolver por la empresa, sería el sguente: 8

34 ( ) ( ) π a b + C a b b α β γ π a b b β γ 0 ( b + γ ) ( γ) a β b b+ a β b En el caso de empresas smétrcas sabemos ue tambén debe cumplrse: a β b ( ) b + γ Reemplazando en tenemos: a β b a β b ( b + γ ) ( b + γ ) ( a β)( b+ γ) ( 3b + 4( γ + γb) ) Ejemplo de Cournot con costos cuadrátcos A modo de ejemplo del caso de Cournot con costos cuadrátcos, desarrollaremos el ejemplo mostrado en Vllar 00 0 para el caso de un modelo de olgopolo de centrales de generacón eléctrca. En donde la uncón de demanda nversa de la central adopta la sguente orma, expresada en kwh/mlls: P 00 QT, Donde: QT En este documento se presenta tambén el algortmo de cálculo de eulbro en el modelo de Cournot para tres empresas con costos cuadrátcos, donde se procede de manera smlar al caso de dos empresas, suponendo ue la prmera produce como monopolo con las otras dos en cero y luego produce la segunda tomando esta cantdad como dada. Posterormente produce la tercera empresa tomando ambas cantdades para rencar con la prmera empresa. 9

35 Y los costos de las centrales son las sguentes: C C Reemplazando estos valores en las expresones de las cantdades obtendas anterormente se obtene el resultado ue se muestra en el Cuadro º : Cuadro º Eulbro para Duopolo de Cournot con Costos Cuadrátcos Central Central Q (cantdad) 58,74 76,47 C (costo) 5.30,03 6.0,3 (beneco) 6.705, ,9 En donde la cantdad producda total es de 535, KWh y el preco es 46,48 Mlls. Bajo estas condcones la central es la ue produce una mayor cantdad y el beneco obtendo es mayor ue el obtendo por la central...4 Índce de Lerner para el modelo olgopólco de Cournot Para medr el poder de mercado en el caso del modelo de olgopolo de Cournot, a través del Índce de Lerner, partremos en prmer lugar de la condcón de maxmzacón de benecos bajo dcha estructura de mercado: ( ) ( ) Max π P Q C Donde Q es el producto total ( Q... ) y el producto de la rma Este índce ue creado como una medda del poder de mercado por Lerner 934 y es amplamente utlzado pues se puede relaconar drectamente con las condcones de prmer orden de la maxmzacón de benecos de las empresas en derentes mercados. Sn embargo, debe dstngurse de un índce P CMg más ntutvo como es el mark-up, ue es gual a. CMg 30

36 La condcón de prmer orden es: π P Q C + P( Q) 0 Q Consderando ue en el modelo de Cournot con dos empresas en el mercado, se asume ue la empresa toma como dadas las cantdades de las empresas j, se debe cumplr ue j total con respecto a sería gual a. 0, j, por lo ue la dervada de la cantdad Entonces la condcón de prmer orden se converte en: π P + P C' Q ( ) ( ) 0 Y utlzando la dencón de la elastcdad-preco de la demanda P Q QP ( ) ε y realzando un poco de algebra, la condcón de prmer orden de maxmzacón de benecos ueda expresada de la sguente manera: PP+ P C' ( ) 0 P ε S Donde s representa la partcpacón de mercado de la empresa y ε representa la elastcdad preco de demanda. Reordenando podemos despejar el Índce de Lerner para el caso de un olgopolo: ( ) ( ) P( Q) P Q C' s IL ε Q ε Q j Puesto ue + 0+ j 3

37 Relacón entre el Índce de Lerner y el HHI para el modelo de Cournot Por otro lado, Cowlng y Waterson 976 mostraron ue s las empresas compten a lo Cournot es posble encontrar una relacón drecta entre el Índce de Lerner promedo ponderado de una ndustra y el HHI. 3 Para demostrar esta relacón partmos del Índce de Lerner para un olgopolsta a lo Cournot: ( ) ( ) P ( ) P C' s IL ε Multplcando a ambos lados por s : ( ) ( ) P( ) s P C' s s ε Sumando para todas las empresas se puede obtener un Índce de Lerner para el mercado (IL MDO ), ue vene a ser la suma de los Índces de Lerner de cada empresa, ponderada por su partcpacón de mercado. s P( ) C' ( ) s HHI ILMDO s s P( ) ε ε ε Donde: s IL sp ( Q) sc ( ) P( Q) sc ( ) HHI PQ PQ ε MDO IL ( ) MDO ( ) PQ ( ) PQ C HHI ε ( ) Como se puede ver, exste una relacón drecta entre el HHI y el Índce de Lerner del mercado, es decr entre el grado de concentracón del mercado y la derenca entre el preco y el costo margnal promedo ponderado del 3 Índce de medda de concentracón de Herndahl-Hrschman 3

38 mercado (C ). Sn embargo, esta medda es relatva, pues como se apreca se puede tener un msmo HHI asocado con derentes Índces de Lerner dependendo de la magntud de la elastcdad de la demanda. Asmsmo para el caso de empresas smétrcas (en la cual s /), el HHI es gual a /, como se puede observar a contnuacón: HHI s Entonces: ( ) ( ) P( ) P C' HHI ILMDO s ε P C' IL MDO P ε P ILMDO IL ε ( ) ( ) ( ) ( ) C' ( ) P( ) Como se puede ver en este caso concden el Índce de Lerner del mercado y el Índce de Lerner de cada empresa. S partmos de la expresón ncal del Índce de Lerner, IL ( ) ( ) P( ) P C' s ε, y consderando rmas guales en el ue la partcpacón del mercado de dstrbuye eutatvamente a todas las empresas, la partcpacón de la -ésma empresa es: s /, por lo ue: P ( ) C'( ) P( ) ε En este caso se obtene un resultado gual al anteror, es decr una relacón entre los precos y los costos margnales, y el número de empresas de un mercado. 33

39 Adconal a lo mostrado anterormente, es posble encontrar una relacona drecta entre el HHI y la varanza de la partcpacón de mercado (S ). Como se puede observar a contnuacón, donde se parte de la dencón de varanza y usando las dencones de HHI se tene: σ ( S ) σ ( S) + ( ) ( S)( ) Donde: S σ HHI+ σ HHI + σ HHI HHI σ + Se observa de esta orma una relacón drecta entre la varanza y el HHI, es decr mentras mayor sea la dspersón o varabldad de la partcpacón de mercado entre las empresas, mayor será el grado de concentracón del mercado...5 La generalzacón a empresas en el caso lneal Con una demanda lneal y costos margnales constantes e guales como se especcó anterormente, se puede calcular la cantdad y preco de eulbro cuando rmas compten a lo Cournot, para ello planteamos el problema de maxmzacón de benecos para la empresa : π P ( Q) C( ) C( ) F + c π P(Q) F c Reemplazando P(Q)a-bQ y sabendo ue Q +, tenemos: j j π a b + F c j j 34

40 π Aplcando la condcón de prmer orden 0 : π a b b c 0 j j En eulbro para el caso de empresas smétrcas se cumplrá j por lo ue j ( ), ue es euvalente a ( ) ( ) j j. Reemplazando y despejando tenemos: ( ) a b b c 0 a c b ( + ) S ( + ) De esta manera la cantdad total ue se produce en la ndustra, bajo el esuema del modelo de Cournot para empresas es: Q * ( + ) S Lo cual nos uere decr ue la ndustra producrá un nvel correspondente a ( + ) del nvel de produccón de competenca perecta ( S ). Luego de ello s ueremos obtener el preco de eulbro, bastará con reemplazar Q * en la uncón de demanda nversa P(Q) a bq, lo cual nos da el sguente preco: P a bq 35

41 a c P a b ( ) b + a+ c P * ( + ) a c O su euvalente, s recordamos ue S : b P c+ b * S ( + ) Obtenendo unos benecos de: ( ) π p Q c a c a c a c π c+ c + b( + ) b( + ) a c a c π c+ c b( + ) + a c a c π b( ) + + a c π b + Asmsmo, reemplazando P * en el Índce de Lerner para empresas smétrcas, y reemplazando S, tenemos: a c c+ b c PQ ( ) C ( Q) b PQ ( ) a c ε c( + ) + b b a c b b a c a c ε c + a ε c( + ) + b b 36

42 Despejando ε, obtenemos la elastcdad para el modelo de Cournot con empresas smétrcas: c ε + a ( a c) ( a c) De orma general, se puede demostrar ue la elastcdad de la demanda para el caso de empresas homogéneas sempre será mayor o gual a /. Para ello partmos de la relacón anterormente encontrada: ( ) ( ) PQ ( ) PQ C' s IL ε Q ε En el caso de empresas déntcas tenemos: ( ) ( ) P( Q) P Q C' /n ε Reordenando para despejar la elastcdad tenemos: P( Q) ( ) ( ) ε ε np Q C' n Ejemplo S consderamos el caso en el modelo de Cournot con 0 empresas déntcas, una uncón con costos margnales constantes y de demanda lneal con parámetros a50, b y c0, la elastcdad preco de demanda es gual a -0,375 y un preco gual a,36 veces el costo margnal 4. Sn embargo se puede ver ue la elastcdad rá dsmnuyendo conorme se ncrementa el número de empresas, convergendo a 0,5 ue corresponde al caso de competenca perecta 5 y ue el preco se rá acercando al costo margnal. 4 5 Queda para el lector realzar el cálculo y el procedmento de convergenca haca el eulbro. p La elastcdad de competenca perecta para un caso lneal es: ε a p 37

43 ..6 El Modelo de Cournot con contratos blaterales En algunos mercados exsten dos ormas de realzar las ventas, la prmera en un mercado de contados o spot, medante transaccones recuentes, donde se vende de orma centralzada el producto, y la segunda medante contratos blaterales a uturo con derentes plazos 6. Estos mercados son cada vez más recuentes, especalmente para el caso de commodtes y servcos públcos como la provsón de electrcdad. Un prmer análss del unconamento de estos mercados ue realzado por Allaz y Vla 993 uenes encontraron ue cuanto más contratados estén los agentes ue venden el producto menos ncentvos tendrán para ejercer su poder de mercado en el mercado spot. Este tpo de modelos ha sdo amplamente utlzado para analzar el ejercco del poder de mercado en sectores como el eléctrco (ver capítulo 4 de Stot 00 y Bushnell 006). Se consdera una empresa cuya produccón ( ) cubre las cantdades ue ha pactado en contratos de venta con sus clentes (Q C ) a un preco (P C ) y la derenca entre la cantdad ue produce y la contratada ( -Q C ) la puede vender o comprar al mercado spot al preco P S, el cual podría ser mayor o menor al preco pactado en el contrato. Este tpo de transaccones son comunes en mercados como el eléctrco y, en general, en los mercados donde exsta un preco muy volátl lo cual genera la necesdad de rmar contratos a uturo, donde la entrega del producto, más ue una responsabldad ísca mplca una responsabldad nancera. Bajo este contexto, los ngresos de la empresa (IT ) uedan expresados como: IT P C Q C + ( -Q C ) P S (Q T ) Donde: Q C : cantdad pactada en el contrato. P C : preco pactado en el contrato. P S :preco spot o preco de mercado. : cantdad total producda por la rma. 6 Un ejemplo mportante de este tpo de mercados es el eléctrco. En García, aro y Flores 00 se presenta una dscusón de estos modelos para el sector eléctrco. 38

44 Q T : cantdad total producda en el mercado ( QT ). Y se consdera ue la rma se encuentra en el largo plazo y tene la sguente estructura de costos: CT c Donde: c: costo margnal. : cantdad total producda por la rma. Se asume ue:. La cantdad contratada (Q C ) y el preco acordado en el contrato (P C )son ndependentes del preco de mercado o preco spot (P S ).. Que el costo margnal de la rma (CMg) es ndependente de la cantdad producda, y 3. Que la rma puede ejercer nluenca negatva en el preco spot a través de una mayor cantdad vendda (ormalmente ( ) P Q o demanda nversa). S T Por lo ue los benecos de la rma ( π IT CT ) uedarían expresados de la sguente manera: ( ) ( ) ( ) π Q P Q + Q P Q c C C C S T La empresa maxmza benecos cuando: π P Q P + Q c Q ( ) 0 S T S C T Con el n de obtener el Índce del Lerner (L ) buscamos una expresón en térmnos de la elastcdad de la demanda (ε). Consderamos en prmer lugar ue Q (competenca a lo Cournot) y multplcamos y dvdmos el T segundo térmno de la ecuacón anteror por QT P S de la sguente manera: ( Q ) PS QT PS C PS( QT) + ( QC) c PS ( QT) + PS c 0 QT PS QT QT ε ε 39

45 ( ) ( ) ( ) PS QT c QC ss L PS QT QT ε ε L ss Donde: L ( ) P ( Q ) P Q CMg S T : Índce de Lerner de la rma en un contexto de S T contratos blaterales. QC ss : Partcpacón neta de contratos de la rma, en el mercado Q spot. T S ss 0 (es decr, s el porcentaje de la cantdad producda destnada al mercado spot es cero), el índce de Lerner L sería gual a cero. Esto sgnca ue en un contexto donde las rmas sólo comercalzan su produccón total medante contratos blaterales a uturo, éstas no tenen ncentvos para ejercer poder de mercado (es decr, modcar sus nveles de produccón con el objetvo de nlur sobre el preco spot). Por ejemplo, s la demanda tene elastcdad untara (ε -) y ss en eulbro es 30%, el índce de Lerner (L ) y el mark-up 7 (v ) serían: ss 30% L 30% ε v L L 30% 4.9% 30% En este contexto, la rma tendría ncentvos para ejercer poder de mercado relejándose dcha nluenca en un mark-up de 4.9%. S la demanda es elástca (ε -.5) y ss en eulbro es90% el índce de Lerner (L ) y el mark-up (v ) serían: 7 Dendo como el margen de gananca entre costos. 40

46 L ss 90% L 60% 60% v 50 % ε.5 L 60% En este contexto, aun cuando la demanda tene alguna elastcdad, s la rma tene un bajo nvel de contratacón, ello hará ue la empresa, s es compettva, pueda ejercer su poder en el mercado spot relejándose dcha nluenca en un mark-up de 50%. A contnuacón se muestra como se pueda calcular el eulbro para el caso de un duopolo de Cournot, tomando como dadas las cantdades contratadas y suponendo ue el preco de contratos ya está jado antes de ncar la competenca en el mercado spot, con una demanda lneal y costos margnales constantes. Se consderan empresas cuyas produccones () pueden o no cubrr las cantdades ue han pactado prevamente en contratos a uturo con sus clentes (Qc) a un preco (Pc), vendendo la derenca entre la cantdad producda y la contratada ( -Qc) en el mercado spot al preco Ps. En este contexto, los benecos serán: ( )[ ] ( )[ ] π PQ + P Q Q c C C S T C π P Q + a b( + Q c C C C Obtenendo a partr de la condcón de prmer orden, la sguente uncón de reaccón: a c QC b ( ) ( ) Y realzando lo msmo para la segunda empresa: ( )[ ] ( ( ))[ ] π PQ + P Q Q c C C S T C π P Q + a b + Q c C C C 4

47 Obtenendo a partr de la condcón de prmer orden, la sguente uncón de reaccón: a c QC b ( ) ( ) Reemplazando ( ) en (), y despejando : ( ) a c a b Q c Q b b a ( c bqc) + ( c bqc) 3b C C Realzando lo msmo para, es decr reemplazando ( ) en (), y despejamos : ( ) ( ) a c bq + c bq 3b C C De estas ecuacones ( y ) podemos hallar las cantdades de eulbro en el mercado spot, y s suponemos ue las empresas no venden en el mercado de contratos a uturo, es decr: Q c Q c 0, se encuentran las cantdades de un mercado a lo Cournot smple. Ejemplo de Cournot con contratos blaterales Se tene un mercado donde exsten dos empresas (comptendo a lo Cournot), en el mercado spot enrentan una uncón nversa de demanda dada por P Q. S suponemos ue las empresas y poseen unos costos margnales guales a 35 y 5 respectvamente, y se han comprometdo medante contratos a uturo por 55 y 40 undades respectvamente, y ue los precos de los contratos a uturo venen dados, y es gual a 50, entonces cada una maxmzará: Para la prmera empresa: π ( Q) 50 (55) + ( Qc)(400 Q) 35 4

48 Obtenéndose a partr de la condcón de prmer orden, la sguente uncón de reaccón: 40 () La segunda empresa tambén maxmzará su uncón de benecos dada por: π ( Q) 50(40) + ( Q )(400 Q) 5 c Obtenéndose a partr de la condcón de prmer orden, la sguente uncón de reaccón: 45 ( ) Reemplazando () en () obtenemos: S suponemos ue nnguno vende en el mercado de contratos a uturo, las cantdades encontradas son las modelo smple de Cournot: 5 y 35. Comparando ambos resultados, se puede conclur ue bajo un esuema de contratos blaterales, la produccón de ambas empresas es mayor ue el caso de ue sólo destnasen su produccón al mercado spot, pues pasa de 50 a Eulbro en el modelo de Cournot con normacón asmétrca 8 En las seccones anterores hemos desarrollado dversas varantes al modelo de Cournot, en las ue hemos consderado ue la normacón ue poseen las empresas es de domno públco, es decr, las empresas ue compten en el mercado conocen con total certeza actores como la demanda, los costos de 8 Seccón basada en Gbbons 997. Consultar para desarrollos más avanzados el capítulo 8 del lbro de Vves

49 las demás empresas rvales, entre otros. Sn embargo, es muy probable ue, al menos una empresa no esté segura de la uncón de costos de la empresa rval. Por ello, en esta seccón se desarrolla el modelo de Cournot en stuacones donde exste normacón asmétrca. Este tpo de modelos son estudados en la lteratura de teoría de juegos bajo el concepto de juegos con normacón ncompleta, tambén llamados juegos bayesanos. Por smplcdad, pero sn perder generaldad, consderemos ue exsten dos empresas, la empresa y la empresa. Asmsmo, la uncón nversa de demanda es P(Q) a Q, donde Q + es la cantdad agregada del mercado. Los costos de la empresa son: ( ) c c Los costos de la empresa son: Con c b < c a c ( ) ca cb con probabldad θ con probabldad θ Exste normacón asmétrca. La empresa conoce su uncón de costos, es decr, sabe s su costo margnal es c b o c a y conoce el costo margnal de la empresa. Por su parte, la empresa conoce su uncón de costos y ue el costo de la empresa es c a con probabldad θ y c b con probabldad θ. Para encontrar el eulbro en este modelo, necestamos determnar las uncones de mejor respuesta para ambas empresas. 44

50 La mejor respuesta de la empresa : S el costo de la empresa es c a entonces ésta resuelve el problema: ( ) Max a c a Obtenendo a partr de la condcón de prmer orden, la sguente uncón de mejor respuesta: a c ca a ( ) () S el costo de la empresa es c b entonces ésta resuelve el problema: ( ) Max a c b Obtenendo a partr de la condcón de prmer orden, la sguente uncón de mejor respuesta: a c cb b ( ) ( ) La mejor respuesta de la empresa : La empresa no conoce el costo de la empresa. Por tanto, maxmza su beneco esperado: ( ( ) ) + ( θ )( ( ) ) M ax θ a c c a c c a b Obtenendo a partr de la condcón de prmer orden, la sguente uncón de mejor respuesta: θ ( a ( ca) c) + ( θ) ( a ( cb) c) ( ) Resolvendo el sstema de ecuacones ormado por (), () y (), es decr, ncorporando ( c a ) y ( b ) c en (): 45

51 a c a a c ( ) b θa c θ a c + Obtenemos: ( θ) a c+ θca + cb 3 a ca + c ( c ) c c a cb + c θ ( cb) + ( ca cb) 3 6 ( θ ) ( ) a a b En base a estos resultados se puede realzar una comparacón con el eulbro de Cournot con normacón completa. Con normacón completa y costos c y c, el eulbro de Cournot es: a c + c a + c ; 3 3 Se puede observar ue el caso de normacón completa se puede obtener a partr del modelo de Cournot con normacón ncompleta elgendo c c c c c., a b Así, la produccón de la empresa s conoce ue el costo de la empresa es c a será: ( c ) a a c+ c 3 a Asmsmo, la produccón de la empresa s conoce ue el costo de la empresa es c b será: ( c ) b a c+ c 3 b 46

52 Por lo ue se puede obtener ue: * ( ) ( ) c c a b Fnalmente, se observa ue: ( ) ( ) * a ca + c * a cb + c c a > ; cb < 3 3 Esto ocurre porue la empresa no sólo ajusta su cantdad tomando en cuenta sus propos costos, sno ue tambén toma en cuenta ue la empresa no conoce el costo de la empresa y produce una cantdad ntermeda de la ue producría s conocera con total certeza el costo de la empresa es c a o c b. Ejemplo del modelo de Cournot con normacón ncompleta: A modo de ejemplo, consderemos un mercado donde compten dos empresas ue enrentan una uncón nversa de demanda ue vene dada por: P(Q)00 Q. Supongamos ue el costo de la empresa es S/.0 y es conocdo por ambas empresas, pero ue el costo de la empresa no es conocdo con certeza por la empresa, sno ue esta empresa estma ue el costo es S/.6 con probabldad θ, y S/.4 con probabldad θ. De acuerdo a lo expuesto anterormente, la empresa, tanto la del tpo de costos altos como la del tpo de costos bajos, resolverá los sguentes problemas de maxmzacón: Max 00 6 ( ca )( ) ( c )( ) Max 00 4 b Obtenendo a partr de la condcón de prmer orden, las sguentes uncones de reaccón: c a ; cb ( ) () ( ) ( ) 47

53 Asmsmo, la empresa maxmzará su beneco esperado ue vene dado por: ( 00 ( ) 0) + ( θ )( 00 ( ) 0) M ax θ c c a b Obtenendo a partr de la condcón de prmer orden, la sguente uncón de mejor respuesta: ( θ) ( c ) θ ( c ) 90 b a ( ) Y resolvendo el sstema de ecuacones ormado por (), () y (), es decr, ncorporando ( c a ) y ( b ) c en () obtenemos las cantdades óptmas: 84 ( ) 68 ( ) 04 + θ θ θ ; c a ; cb S por ejemplo suponemos ue la probabldad θ ue asgna la empresa al costo de la empresa es /, las cantdades óptmas serán: 7 y ( c b ) , ( c ) a. Modelo de lderazgo en cantdades: Modelo de Stackelberg.. Eulbro en el caso de una empresa líder y una segudora El economsta alemán Stackelberg realzó en 934 una crítca al modelo de Cournot, asumendo ue las empresas competían en cantdades, pero exstendo una jeraruía entre ellas, es decr el olgopolo lo consttuían una empresa líder (L) y una empresa segudora (S). La segudora toma como dada la produccón de la líder y en base a ello maxmza sus benecos (tene una curva de reaccón smlar al modelo de Cournot). La líder conoce como se va a comportar la segudora e ncorpora esta normacón cuando decde su nvel de produccón. Este es un modelo de olgopolo secuencal, donde prmero decde el líder y en segundo lugar decden los segudores, dada la decsón del líder. 48

54 La orma de obtener el eulbro de esta estructura de mercado es resolverlo como un juego secuencal nto medante nduccón haca atrás (backward nducton). Esto es, prmero se obtene la condcón de eulbro en el últmo perodo (los segudores) y esa condcón de eulbro es ncorporada en la decsón del agente ue decde en la secuenca preva (el líder). De esta orma, el líder puede determnar cuál es el nvel de produccón ue maxmza sus benecos, consderando la reaccón ue los segudores tendrán luego ue él decda. A modo de lustracón, veamos ue sucede en el eulbro en el caso de una demanda lneal y costos margnales constantes. En prmer lugar, para tener el preco de mercado en uncón de L (produccón de la empresa líder), se reemplaza S (produccón de la empresa segudora) por su uncón de reaccón a lo Cournot (Rs), en la uncón de demanda nversa. Donde Q L + S: P a bl bs a bl b ( S L ) Donde: P a bl bs RS : s ( S L) 9 Usando la dencón de S (a c + Sb), tenemos: P c + bs b L Entonces, el problema de maxmzacón de benecos de la empresa líder ( L ) se puede plantear como: Max π c bs b c L + L L L L A partr de la condcón de prmer orden, obtenemos: L S 9 El procedmento de obtencón de esta uncón sgue la lógca maxmzadora del modelo de Cournot descrta en el punto. 49

55 En donde se observa ue la cantdad producda por la empresa líder es la mtad de lo ue se produce en un modelo de competenca perecta. Por lo tanto, el preco de mercado será el sguente: P c + bs b L S P c + bs b bs P c + 4 Reemplazando L y P, en la uncón de beneco de la empresa líder: π P c L L L bs S S b S πl c+ c πl 4 Sabendo ue la empresa segudora opera a lo Cournot podemos calcular su produccón de la sguente orma: s ( S L ) S S s S 4 Sendo el beneco para la empresa segudora el sguente: π P c S S S π π S S bs S S c + c S bs b S c c π S En el gráco º 6 se puede ver como el líder en este modelo elge su cantdad en un punto de tangenca entre la curva de reaccón del segudor (empresa ) y su curva de sobeneco más alta, punto B. 50

56 Gráco º 6 Eulbro en el modelo de Stackelberg S R L π > Donde: L π L A: Cournot B: Stackelberg S/4 A B π ( L ) π ( L ) R S S/3 S/ L El Índce de Lerner en el modelo de Stackelberg La empresa líder maxmzará sus benecos: π L p( Q )L C( L ) En donde: Q L + S La condcón de prmer orden será la sguente: ( ) ( ) C( ) π p Q L Q L L + p(q) 0 Q L L L ( ) ( ) p Q C S + L + p( Q) Q L L ( ) π p Q C ( ) Q L L S L + L + p Q L L L L L Multplcando y dvdendo por Q/p: ( ) ( ) ( ) ( ) p Q Q p C S + L + p( Q) Q p Q L L p p S + + p Q C' ε Q Q L L L L L 5

57 Denomnamos a la partcpacón de mercado del líder como: s Q L L : p p S p( Q) C' ( L) L + L ε Q Q L ( ) C' ( ) p Q p L L S L + ε Q Q L Reordenando, despejamos el Índce de Lerner de la empresa líder (IL L ): L ( ) ( ) p Q C' L S ILL sl + sl p ε L IL S R s SL+ sl+ L L ε ε SL R ILL + ε S L.. La generalzacón para empresas en el caso lneal Con una uncón nversa de demanda lneal gual a: ( P a bq), donde l + Q + Q l y costos margnales constantes, se puede calcular el preco de eulbro cuando exste en el mercado una empresa líder (L) y rmas segudoras, para ello planteamos el problema de maxmzacón de benecos para cada tpo de empresa: Líder: π P c a b bq c L L L L L L L L Segudora: π P c a b bq b c L 5

58 Donde: Q + Q en esta expresón se está separando a las empresas segudoras, en una dos: una segudora y el resto de segudoras se han agrupado en la sguente expresónq. Como se menconó líneas arrba, este es un juego secuencal por lo ue su resolucón empeza maxmzando el beneco de cada empresa segudora para hallar su curva de reaccón: π ( a c ) bq bl b 0 a c R ( Q, L) : Q b L Sumando horzontalmente tenemos (para obtener la expresón para todas las empresas segudoras): S Q L S Q L ) S c c S S [, ] Es decr, s los costos margnales de las empresas segudoras son constantes en guales a empresa (Q ) será: Sumando y restando c, tenemos ue la suma de las curvas de reaccón de cada S Q Q a la expresón anteror tenemos: S Q Q + L S Q Q ( + ) + L L 53

59 54 Donde: Q L Q Q S Q + L S Q + Despejando Q, tenemos: [ ] L S Q + Por lo tanto, el beneco de la empresa líder es: L L L L L a b bq c π ( ) L L L L L b bq c a π Reemplazando la uncón de reaccón conjunta de todas las segudoras (Q ) en la uncón de benecos de la empresa líder tenemos: ( ) L L L L L L a c b S b π + ( ) L L L L L L b b S b c a π La empresa líder maxmza sus benecos elgendo su nvel de produccón, consderando el comportamento ue tendrán las empresas segudoras en el mercado: ( ) L L L L L b b S b c a π ( ) L L b S b c a ( ) ( ) * L L L S S S b c a + +

60 55 Resultado de ello, tenemos ue la empresa líder maxmzará sus benecos producendo una cantdad * L : ( ) [ ] L L S S + * Reemplazando L en la suma de las curvas de reaccón de las empresas segudoras (Q ), tenemos ue todas las empresas segudoras producrán una cantdad Q * : [ ] L S Q + * ( ) L S S S Q * ( ) l S S S Q ) ( * e S S S Q + + ) ( * Por lo tanto la cantdad total del ben en el mercado resultara de sumar las cantdades de la segudora con la empresa líder ( l Q Q + ) ( ) l l S S S S S Q e S S Q * + + l S S Q * ) S c c c c l [ ], l S S S Realzando el msmo procedmento para el cálculo de Q * tenemos como resultado: + + * S Q

61 Q + + * S Sí, es decr ue sólo exste en el mercado una empresa líder y una segudora tenemos: 3 Q * 3 Q S 4 * S Por otro lado s + tenemos: * + S lm Q lm + Dvdendo entre el numerador y el denomnador de la prmera expresón obtenemos, ue en el límte cuando tende a nnto la cantdad dsponble en el mercado será gual al de una estructura de mercado bajo competenca perecta. + * S S lm Q lm Q S + 3. COMPETECIA E PRECIOS 3. Modelo de Bertrand En este modelo la varable estratégca de las empresas es el preco, y ue planteado por Bertrand en 883 como una alternatva y crítca al modelo de Cournot de competenca en cantdades, pues en los mercados la ntucón ndca ue las empresas compten por uén otorga el preco más bajo. El eulbro de ash se obtene cuando cada una de dchas empresas decde jar sus precos consderando la maxmzacón de sus propos benecos, pero tenendo en cuenta el preco ue están cobrando las otras empresas. 56

62 Un resultado nteresante ue podemos ver en este modelo sencllo, es ue el preco de mercado no depende n del número de empresas n del tamaño relatvo entre auellas exstentes, sno de las derencas de costos entre las empresas ue operan en el mercado. Consderando por ejemplo, el caso de dos empresas ue poseen la msma estructura de costos (el caso extremo de este modelo) predce ue las empresas competrán hasta gualar sus precos a su costo margnal, pues basta ue una de las empresas reduzca lgeramente su preco para aproparse de todo el mercado. Esto se puede ver en el Gráco º 7. S consderamos el caso de un duopolo, s la empresa vende a un preco p y la empresa decde vender a un preco mayor, su demanda será cero, denda por la línea gruesa vertcal. En el caso ue la empresa venda al msmo preco ue la empresa, ambas empresas se repartrán el mercado en partes guales (esta regla de raconamento puede ser derente en la realdad). De otro lado s la empresa vende a un preco menor a p, abastecerá toda la demanda de mercado a ese preco. La orma de la uncón de demanda para la empresa se muestra a contnuacón: d( p ) s p < p d(p,p ) d(p )/ sp p 0 s p >p 57

63 Gráco º 7 Demanda resdual ue enrenta la empresa para dstntos precos p>p p p p <p p (p ) (p ) En térmnos de la curva de reaccón de las empresas ue compten a lo Bertrand tenemos lo sguente: M M p s p > p p( p) p ε sc p p c s p < c M Esto se puede entender mejor s vsualzamos el Gráco º 8, en este se observa ue, para el caso de la empresa, ésta cobrará un preco monopólco en el caso ue la empresa cobre un preco mayor ue el monopólco, e gual al costo margnal en el caso ue la segunda empresa cobre un preco menor al costo margnal. Estos dos puntos son los extremos de las uncones de reaccón. Para los puntos ntermedos, cuando la oerta del competdor está entre el costo margnal y el preco de monopolo, la mejor respuesta sería oertar un preco lgeramente menor ue la otra empresa, es decr a la zuerda de la recta de 45%. 58

64 Gráco º 8 Curvas de Reaccón de las empresas comptendo a lo Bertrand p p( p) p M p ( p ) C'( ) C'( ) p p M Sn embargo, este resultado se modca s se ntroducen restrccones de capacdad, es decr, ue ambas empresas no puedan cubrr todo el mercado por sí solas, se ncorpora la posbldad de derencar productos entre ellas, lo cual reduce la ntensdad de la competenca en precos, o se ncluyen aspectos dnámcos en el juego (lo cual puede dar lugar a conductas como la colusón tácta y el sostenmento de benecos extraordnaros). A modo de resumen Hasta auí podemos llevar a cabo un resumen de los prncpales resultados obtendos de los modelos menconados, con los supuestos de demanda lneal y productos homogéneos. Como se observa en el Gráco º 9, las estructuras de mercado olgopólcas, se encuentran en stuacones ntermedas de ecenca, entre los dos modelos extremos (competenca perecta o Bertrand y monopolo o cártel). La ubcacón relatva entre el caso de competenca a lo Cournot y el modelo de lderazgo en cantdades dependerá en un caso más general del número de empresas nvolucradas en el análss. 59

65 Gráco º 9 Resumen de los modelos de olgopolo con productos homogéneos P a Cártel ( a+ c )/ ( a+ c )/3 Cournot Stackelberg Bertrand, solucón compettva ( a+ 3c )/4 c a c b a c ( ) 3b a c b 3 a c ( ) 4b a b Q ota: el gráco se ha construdo consderando la sguente uncón de demanda nversa: P a bq. 3. Modelo de Edgeworth Una de las alternatvas brndadas por Edgeworth 935 ante la paradoja de Bertrand, es consderar ue las empresas en realdad no están en la capacdad de abastecer a toda la demanda, tenendo restrccones de capacdad, es decr en el caso de la empresa, ésta presenta una capacdad lmtada de produccón ( ), lo cual genera una demanda resdual (nversa) para la empresa j ( P R (Q) ), dando la posbldad de ue la empresa j ejerza su poder de mercado jando un preco P( + ). El Gráco º 0 muestra estos resultados. En el cual se observa la uncón de CMg de la empresa, sendo j 60

66 esta ja al nvel de, ya ue presenta restrccón de capacdad. Consderando este nvel de produccón, la empresa j ( ) determna su nvel de produccón a partr de su demanda resdual (línea roja). Recordemos ue la empresa j puede ejercer su poder de mercado, por lo ue j se obtene de gualar el ngreso margnal (IMg R ) con el costo margnal (CMg). Obtenendo un nvel de produccón total de + j, menor al nvel de competenca perecta, y con un preco P( + ), mayor al nvel compettvo (representado por las líneas verdes en el gráco). j j La explcacón unconal del modelo es: { } { j } { j } { } * * S P Pj, Mn, D( P) y j Mn, Max 0, D( Pj)- * * S P Pj, j Mn, D( Pj ) y Mn, Max 0, D( P)- j S P P: < > j * * DP ( ) DP ( ) DP ( ) j Mn, + Max 0, - j Mn, Max, DP ( )- Gráco º 0 Construccón de la demanda Resdual en el Modelo de Edgeworth P CMg P( ) > CMg P ( + j ) * P CMg P R (Q) C B A R IMg P(Q) j CP ( + j )Q Q 6

67 Sn embargo el modelo predce ue los precos luctuarán cíclcamente sn llegar a algún eulbro. Supongamos ue cada duopolstas satsace la mtad de la cantdad demandada, de tal orma ue cada empresa se enrenta a la curva de demanda D (empresa ) y D j (empresa j), pero ue nnguna empresa tenía la capacdad sucente para satsacer completamente la mtad del mercado ue le correspondería a un preco de cero 0. El Gráco º muestra lo menconado anterormente, en donde y j (barras sombreadas) representan las restrccones de capacdad y los ejes horzontales representan los costos margnales cero para cada empresa. Ambas empresas tenen ndvdualmente la capacdad de satsacer la cantdad de monopolo al gualar su IMgCMg, sn embargo no tenen la capacdad de abastecer la cantdad socalmente óptma (pcmg). Como se observa cada empresa tene una cantdad demandada ue no es abastecda. Por ejemplo, en el caso de la empresa, ésta tene una produccón gual a ue no es vendda al preco p, sn embargo s estas undades puderan venderse, la empresa ncrementaría sus benecos. Como las empresas actúan ndependentemente cada una de ellas tendrán ncentvos de dsmnur su preco y atraer los clentes de su rval, lo cual se traducrá en una guerra de precos en donde cada empresa ra dsmnuyendo progresvamente sus precos hasta ue éstas jen un preco gual p, nvel a partr del cual es posble abastecer la cantdad demandada. Por otro lado uno podría pensar erróneamente ue p es el preco de eulbro, sn embargo al entrar las empresas a la guerra de precos, se ha permtdo vender undades de produccón para las ue el ngreso margnal es negatvo, tenendo ncentvos la empresa jar un preco menor a p, dado ue asume ue su rval mantendrá su preco en p, por su parte la empresa rval asume lo msmo erróneamente, llevando a ue ésta últma ncremente su preco progresvamente, pero por debajo de la otra y nuevamente se nca la guerra de precos. 0 Edgeworth supuso ue ambas empresas producían a un costo de cero. 6

68 Como se menconó anterormente, este comportamento de precos es cíclco, es decr aumenta y dsmnuye en el tempo, sn llegar a algún eulbro posble. Gráco º El Modelo de duopolo de Edgeworth P A p A A p A D j D j j * j * IMg j IMg 3.3 Modelo de Demanda Quebrada Lo mostrado por Edgeworth 95, nos dce ue debdo a las restrccones de capacdad de las empresas, los precos luctúan de orma cíclca y ue la establdad de precos podría llevarse cabo por medo de alguna orma de colusón. Sn embargo, Paul Sweezy 939 rechazó este argumento y presentó un modelo de demanda uebrada, con el objetvo de explcar esta establdad. En este modelo los olgopolstas venden productos ue son susttutos cercanos entre sí (uncón de demanda con pendente negatva). Cualuer varacón unlateral de los precos, traerá consgo una reaccón de las empresas rvales, tenendo cada empresa un térmno para una varacón conjetural asmétrca respecto a cambos en los precos. 63

69 S consderamos una empresa ue vende a un preco p 0, s ésta dsmnuye su preco espera ue sus competdores sgan la reduccón de precos ( Δp Δ p ), sn embargo s ésta decde ncrementar su preco la varacón j conjetural sera Δp Δ p 0, ya ue las empresas rvales esperarían ue la j empresa ue aumentó su preco se salga sola del mercado. Esta asmetría en el comportamento es la ue produce el uebre en la demanda e mplca ue las empresas no tengan ncentvos para varar el preco, pues o entraría a una guerra de precos (a la baja), o perdería cuota de mercado (con precos al alza). Esto genera ue la curva de demanda presente un uebre, percbendo la empresa una curva de demanda relatvamente elástca para precos superores a p 0 (tramo AB) y relatvamente nelástca para precos nerores a p 0 (tramo BC). Es este uebre lo ue le da establdad a los precos, ya ue dcha demanda genera una curva de ngreso margnal con un tramo dscontnuo (tramo ED) tal como se observa en el Gráco º. Gráco º Construccón de la curva de Demanda Quebrada P A p 0 B Dscontnudad del IMg E D 0 IMg 0 C Q Este modelo presenta establdad en los precos, tal como se muestra en el Gráco º 3. En la parte (a) del gráco se apreca ue ante un ncremento de los costos de C (Q) a C (Q) o una dsmnucón de estos de C (Q) a C (Q) 3 64

70 la mejor eleccón para la empresa, s se tene como objetvo la maxmzacón de benecos, es producr 0 porue nveles de produccón mayores nos da un IMg 0 < C (Q), mentras ue nveles de produccón menores nos da IMg 0 > C (Q). Gráco º 3 Establdad en el modelo de demanda uebrada P P C (Q) C (Q) C (Q) p 0 C (Q) 3 P 0 A A C B B D 0 IMg 0 Q 0 IMg 0 IMg Q (a) (b) Asmsmo, un desplazamento de la demanda muestra establdad de precos. Analcemos por ejemplo ué ocurre ante un ncremento en la demanda, tal como se observa en la parte (b) del msmo gráco. S el uebre ocurre al msmo nvel de preco, el preco se mantene estable aun cuando la cantdad podría ncrementarse en respuesta a la mayor demanda. 3.4 Modelo de rvaldad en etapas Durante muchos años se ha dscutdo sobre la dmensón en la ue rvalzan las empresas en un mercado olgopólco (en precos a la Bertrand o en cantdades a lo Cournot). Sn embargo no es hasta ncos de los ochentas en donde se elaboró un modelo consderando estos dos tpos de rvaldades. Kreps y Schenkman 983 desarrollaron un modelo de olgopolo en perodos. En el prmer perodo, las empresas rvalzan en cantdades y en la Cabe resaltar ue la condcón de maxmzacón de beneco Img 0 C (Q) no es actble por presentar la curva de ngreso margnal dscontnudad. 65

71 segunda etapa rvalzan en precos. El resultado de este modelo es ue en la prmera etapa el nvel de produccón ue maxmza ganancas es gual al eulbro ash-cournot, luego las empresas determnan su capacdad de produccón sobre la base de las cantdades ue resultan de dcho eulbro. Dada la capacdad máxma de planta, determnada por el nvel de produccón ash Cournot, las empresas rvalzan en precos pero con las restrccones de capacdad ash-cournot, con lo ue el resultado en térmnos de precos, en la segunda etapa, es el de un eulbro ash-cournot, en precos y cantdades. Este modelo concluye ue al margen de la dmensón de la rvaldad, los resultados de mercado son consstentes con los resultados del modelo de ash-cournot. Este juego en perodos se modela como un juego dnámco nto, en donde en una prmera etapa las empresas determnan su capacdad productva a la Cournot (decsón de medano plazo bajo nvel de reversbldad de la nversón) y en una segunda etapa las empresas rvalzan en precos (decsón de corto plazo, donde los precos se ajustan a mayor velocdad), dada la capacdad determnada en el prmer perodo. Dcho juego tene solucón medante nduccón haca atrás, donde prmero se resuelven las condcones de optmaldad del segundo perodo y luego las condcones de optmaldad del prmer perodo. Las condcones de optmaldad en el segundo perodo conssten en determnar cuál de los dversos subjuegos le permte a la empresa maxmzar sus benecos. La solucón de eulbro perecto de subjuegos muestra ue los precos en el segundo perodo son consstentes con los precos ue resultan de un modelo de competenca a lo Cournot. Es decr, ue El resultado del juego en etapas concde con el de Cournot s las capacdades son nterpretadas como cantdades. 66

72 El modelo tendría períodos: er perodo las dos empresas decden sus capacdades [decsón de largo plazo] do perodo las dos empresas elgen sus precos [decsón de corto plazo] En conclusón, cuando hay restrccones de capacdad se suavza la competenca. Los precos de eulbro no son tan bajos, los precos superan a los costos margnales y las empresas tenen benecos postvos (las empresas evtan acumular demasada capacdad para suavzar la competenca en precos, es como un compromso de ue no van a bajar mucho los precos.) Algunos ejemplos de ndustras donde la eleccón de capacdad es relevante, dado ue no se puede ajustar la capacdad en el corto plazo, son los hoteles y las líneas aéreas. 3.5 Modelo de Lderazgo en Precos o Empresa Domnante y Franja Compettva El modelo de empresa domnante y ranja compettva (conjunto de empresas ue tenen un comportamento compettvo), o conocdo tambén como lderazgo en precos ue presentado por prmera vez por Forchhemer en 908. Sn embargo, éste empezó a tener mportanca en la lteratura de organzacón ndustral a partr de los trabajos de Sweezy y Stgler en los años trenta y cuarenta. Este modelo consdera ue en un mercado exste una rma domnante y un grupo de rmas ue actúan como segudoras y compten entre ellas. En este caso exste un lderazgo de precos, pues la empresa domnante ja el preco ue maxmza sus ganancas, tenendo en cuenta ue la ranja compettva es tomadora de precos y por lo tanto producrá hasta gualar el preco jado por la empresa domnante a su costo margnal. Una revsón de la hstora de este modelo se puede encontrar en Schenzler et al

73 Se pueden agrupar a las derentes empresas de la ranja con una curva de costos margnales ue represente sus oertas ordenadas de menor a mayor costo margnal. La demanda de la empresa domnante se puede representar como una demanda resdual gual a la demanda de mercado menos lo ue oerte la ranja para cada nvel de precos: ( ) ( ) ( ) Q p Q p S p D M Demanda Domnante Demanda Mercado Oerta Franja En el Gráco º4 se muestra la orma como se construye la curva de demanda resdual para la empresa domnante tenendo en cuenta la cantdad ue oertaría la ranja compettva para cada nvel de precos. En la parte zuerda del gráco se muestra la proporcón de la produccón ue a la ranja le corresponde producr ( ) al preco dado, a partr de esto se construye la demanda resdual correspondente a la empresa domnante (parte derecha del gráco), consderando esto últmo se derva el IMg, y de la gualdad IMgCMg, se obtene la cantdad de produccón de la empresa domnante ( L ) y el preco p vgente para ambos grupos. Gráco º 4 Construccón de la demanda resdual para la empresa domnante P S ( p) P p'' p'' p' p''' QM ( p) p' p''' QD ( p) C (Q ) ' ' L '' M ' L ''' L IMg D M 68

74 La dervacón matemátca del modelo se detalla a contnuacón. El beneco a maxmzar de la empresa domnante sería: ( ) ( ( )) π pq p C Q p D D D La condcón de prmer orden: π D QD CD QD CD QD QD p Q D p p p QD p QD p Sabemos ue: ( ) ( ) Q D QM p S p p p p Reemplazando tenemos: ( ) ( ) π D C Q D M p S p QD p + 0 p QD p p Esta expresón se puede reordenar para obtener una relacón entre el Índce de Lerner de la empresa domnante y las elastcdades de la demanda, de la oerta de la ranja compettva y las partcpacones de mercado. Para ello partmos de lo sguente: ( ) ( ) Q D QM p S p p p p Multplcando por p Q D a ambos lados: QD p QM p S p p Q p p D QD QD Multplcando y dvdendo por Q M Q y Q Q M 69

75 ε D Q M p Q M S p Q p Q p M Q D Q Q D ε M ε S Q M Q ε s M D M S S Q s D QD D sd ε ε ε ε Donde s D y s son las partcpacones en el mercado de la empresa domnante y de la ranja compettva respectvamente. Por lo tanto s retornamos a la condcón de prmer orden, y la multplcamos por p QD tenemos la sguente expresón: Q D M D + p D ( ) ( ) C Q p S p Q p p p C QM p S p QD + p + 0 QD QD p QD p QD Sabendo ue la expresón entre corchetes es la elastcdad de la demanda de la empresa domnante, smplcando obtenemos: C p + p Q D [ ε ] D C p Q D 0 p ε D Reemplazando el valor de la elastcdad tenemos: C p Q p D ε s M D ε S s s D ε M s D ε s s Por lo tanto de las dencones de las partcpacones de mercado obtenemos la sguente relacón: 70

76 IL D p CMg( Q p D ) sd ε s ε s M La empresa domnante tendrá un mayor poder de mercado s: ) la elastcdad de mercado no es tan alta, ) la elastcdad de la oerta de la ranja es baja o en el extremo tene un límte ue le mpde segur oertando por más ue el preco sea alto (y por lo tanto su elastcdad sería cero) y ) ué tan ecente es en costos la empresa domnante versus la ranja compettva. Ejemplo de lderazgo de precos A modo de ejemplo, en un contexto estátco y sn regulacones nternaconales, la OPEP consttuye un cártel domnante en el mercado nternaconal de petróleo. Los productores no alados al cártel jan sus precos en base a los movmentos de la cuota exportable de la OPEP, consttuyéndose en una ranja de empresas compettvas 3. A manera de lustracón, se puede consderar ue la OPEP tenga un costo margnal constante de US$ 5 por barrl y ue la ranja compettva tenga un costo margnal gual a: CMg 5 + 0, 75Q. FRAJA F S se consdera una uncón nversa de demanda en un período determnado gual a p ( Q) 65 0,75 Q, usando las dencones anterores y sabendo ue la OPEP tendrá en cuenta ue la ranja oertará hasta gualar su costo margnal al preco oertado por la OPEP ( p CMgFRAJA ). Despejamos el Q y Q FRAJA : 65 p p 65 0, 75Q Q 075, p CMg 5 + 0, 75Q Q FRAJA FRAJA FRAJA p 5 075, 3 Un análss más detallado de la ormacón de precos en el mercado de petróleo y su modelamento se puede consultar en Hannesson 998. Tambén se puede revsar Vásuez 005 para un análss de la evolucón del mercado de GLP en el Perú utlzando este tpo de modelos para analzar el rol de las mportacones y los peueños productores. 7

77 Se puede plantear la uncón de benecos de la OPEP como sgue: π OPEP pqopep CMgOPEP QOPEP ( ) 5( ) π p Q Q Q Q OPEP FRAJA FRAJA Reemplazando: π OPEP 65 p p 5 65 p p 5 p 5 0, 75 0, 75 0, 75 0, 75 Smplcando y maxmzando: 80 p 80 p 80 p p p π OPEP p 5 075, 075, 075, π OPEP 80 4 p P 075, 0 4 p p 5, 5 Reemplazando p en las demandas obtenemos: 65 5, 5 Q Q , 5, 5 5 QFRAJA , Q Q Q 00 OPEP FRAJA En donde la produccón de la ranja es de 50 barrles y de la OPEP de 00 barrles. El preco de eulbro será 3,5 veces el costo margnal de la empresa domnante. La elastcdad de la demanda de mercado es gual a 0,47. En el Gráco º 5 se muestra como se construye la curva de demanda resdual de la OPEP y el eulbro. 7

78 Gráco º 5 Modelo empresa líder y ranja compettva aplcado a la ndustra del petróleo US$ / barrl S ( p) Oerta delosproductores uera dela OPEP A D ( p) Demanda Mundal de Petróleo 5,5 5 B C E Img Resdual D( r) OPEP Cmg OPEP Barrles 3.6 Eulbro en Funcones de Oerta El modelo de eulbro en uncones de oerta, en nglés Supply Functon Eulbra (Klemperer y Meyer 989) descrbe la relacón preco-cantdad ue una empresa está dspuesta a orecer en el mercado. Este modelo surgó para descrbr stuacones donde las empresas buscan oertar de manera óptma en presenca de ncertdumbre. Este modelo es mportante porue nos enseña ue los resultados de los modelos de competenca en precos (Bertrand) o cantdades (Cournot) no alcanzan el nvel óptmo de precos y cantdades cuando exste ncertdumbre en la demanda. Es decr, no son óptmas ex-post una vez conocda la demanda real; por lo ue no exste un únco precocantdad, sno un conjunto de combnacones óptmas, sendo más realsta pensar ue las empresas se adaptan a los shocks en la demanda ajustando 73

79 smultáneamente precos y cantdades. Cuando hay ncertdumbre la demanda resdual es estocástca, ncluso en eulbro, y por tanto hay un conjunto de puntos óptmos, uno por cada realzacón de la demanda. Los supuestos del modelo planteado por Klemperer y Meyer son los sguentes: ) producto homogéneo, ) empresas son smétrcas (tecnologías déntcas), ) duopolo, j (generalzable para más empresas), v) la ncertdumbre es undmensonal y exógena, v) las estrategas de las empresas no aectan su curva de costos margnales, v) se analza solamente el caso de eulbro smétrco y el caso de estrategas puras y, v) se analza un únco perodo. En el Gráco º 6, se presenta la orma como se construye la uncón de oerta óptma de las empresas, consderando dos curvas de demanda, las ue dan orgen a curvas de demanda resduales en base a las cuales las empresas elgen sus cantdades y precos óptmos como s ueran monopolstas (puntos A y B). Reptendo este ejercco para otros casos se puede construr la curva S (p). 4 4 Se representa la demanda resdual para la empresa, dada la estratega de la empresa, en este caso la oerta de la empresa, S. 74

80 Gráco º 6 Eulbro con Funcones de Oerta (ncertdumbre en la demanda) p S ( p) CMg p*' p* A B ( ) D D' S p r * * ' IMg IMg r ( ) D D S p Fuente: Machado 00 Sguendo a Klemperer y Meyer 989 y Vves 00, la orma analítca de la uncón de oerta óptma se puede obtener para el caso del duopolo smétrco partendo de una demanda agregada estocástca (donde ε es un escalar) de la orma: ( ε) ε [ ε ε ] p pp Q D p,,,, D < 0, D < 0, D > 0 ε Uno de los supuestos va a ser ue el shock desplaza la curva de demanda agregada paralelamente, es decr D pε 0. Asmsmo, en relacón a la uncón de costos se asume lo sguente: c( ), c' ( ) 0,c'' ( ) 0, 0 75

81 Después de la realzacón de ε, se determna el preco y cantdades de eulbro, como: ( ( ε) ε) ( ( ε) ) + j( ( ε) ) D p*, S p* S p* La derenca con respecto a la stuacón de certdumbre es ue ahora la curva de demanda resdual es estocástca. Esto mplca ue la uncón de oerta óptma es la ue maxmza los benecos esperados (dada la uncón de oerta del rval) y tambén es óptma ex post (después de conocerse ε). La demanda resdual para cualuer preco p es: ( ε) ( ε) ( ) D p, D p, S p j Dado el supuesto D > ε 0, las curvas de demanda resdual no se nterceptan para dstntos ε y la curva de oerta óptma ntercepta D ( ) p,ε una sola vez. Dado ue la curva de oerta tene ue ser óptma para cada una de las posbles realzacones de ε, el problema se smplca hacendo la maxmzacón condconal en ε, es decr como s se observase ε. El problema de la empresa es 5 : ( p) ε ( ) ( ( )) j ( ) D( p, ε ) S ( p) + S ( p) Max E ps p C S p S s.a : S p j Se puede escrbr como: MaxpE p ε D( p, ε) S j( p) CD( p, ε) S j( p) Demanda Resdual dado ε Demanda Resdual dado ε La condcón de prmer orden para es: Eε D( p, ε) Sj( p) + p C' ( D( p, ε) Sj( p) ) Dp( p, ε) S j' ( p) 0 p 5 En este caso se está maxmzando el valor esperado del beneco, denotado por E [.] 76

82 ( ) S ( p) ( ( )) ( ( ( ) )) S' j p + Dp p,es p,p p C' S p El eulbro smétrco satsace: ( ) ( ( )) S p S' ( p) + Dp p p,s p C' S p ( ) ( ) Mremos prmero las uncones ue soluconan los dos casos extremos: ( ) 0' ( ) ( ) 0' ( ) p,s 0 S p 0 p,s S p La solucón a la prmera ecuacón (prmer caso extremo) corresponde al modelo de Cournot (se asume ue la cantdad del rval es ja): ( ) ( ) 0' ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 S p S p p 0 ( ( )) S' p + Dp p 0 IM CMg p+ C' S p p C' S p D La solucón a la segunda ecuacón (segundo caso extremo) corresponde al resultado de competenca perecta o Bertrand: ( p) ( ) S S' ( p) + Dp p p C' S p p C' S p ( ) ( ) ( ) ( ) En el Gráco º 7 se puede observar ue el resultado correspondente a cualuer valor de ε es ntermedo entre el resultado ue se podría obtener s las rmas compten a lo Cournot y el resultado ue se obtene s las rmas compten a lo Bertrand. Para un valor dado de ε gual a ε, se graca la uncón de demanda. El punto C, en la nterseccón de 0 con / D( p, ε ') representa la cantdad y preco para cada rma en el eulbro de Cournot. Por otro lado, el punto B en la nterseccón de con / D( p, ε ') representa el eulbro de Bertrand. Dado ue cualuer uncón de Oerta de Eulbro se nterseca con / D( p, ε ') entre los puntos C y B, el preco y la cantdad en cualuer uncón 77

83 de oerta de eulbro están entre los nveles de Cournot y Bertrand, para cualuer valor realzado de ε. Gráco º 7 Eulbro con Funcones de Oerta (ncertdumbre en la demanda) Fuente: Klemperer y Meyer Modelos de Conjeturas y el Parámetro de Conducta Como se ha poddo ver con la revsón de los modelos anterores, la relacón entre el margen preco-costo y concentracón del mercado no es drecta en los restantes modelos de olgopolo y competenca. En el olgopolo de Bertrand, donde las empresas compten en precos, en el caso de un ben homogéneo y tomando el caso sencllo de un juego en una sola etapa, esta relacón es nexstente pues bastan dos empresas para ue se obtenga el resultado de competenca perecta (conocdo en la lteratura como «paradoja de Bertrand»), pues orecendo un preco lgeramente menor ue las otras, una empresa se uedaría con todo el mercado (en ausenca de restrccones de capacdad). 78

84 Adconalmente, la capacdad de ejercer poder de mercado no depende solamente de la exstenca de más o menos competdores, sno del nvel y de la orma de las uncones de costos de las empresas nvolucradas o la posbldad de adoptar otras estrategas, como la derencacón de producto ue reduce la competenca en precos dsmnuyendo la elastcdad de susttucón entre los productos. Que haya o no relacón entre tasas de beneco, márgenes y nveles de concentracón resulta por lo tanto un tema empírco. Por ello, en el análss del comportamento real de los mercados se suele usar una nocón de «competenca eectva» en lugar de «competenca perecta», la cual alude prncpalmente a la exstenca de un nvel sucente de rvaldad entre las empresas del mercado ue haga ue no se puedan sostener áclmente ganancas excesvas. En algunos casos, tambén se ha destacado la exstenca de competenca potencal ue ncluso puede dscplnar a una empresa ue tenga práctcamente todo el mercado. Este enoue es conocdo como el de «mercados desaables» (contestable markets), y ue planteado orgnalmente por Baumol 98. Surgó como un cuestonamento al paradgma vgente en la teoría de la organzacón ndustral denomnado «estructura-conducta-desempeño», ue relaconaba la estructura (por ejemplo, el grado de concentracón) con las conductas (estrategas) y el desempeño de la ndustra (ecencas asgnatvas y productvas). Ello ha dado lugar a enoues donde se busca calcular algún ndcador del ejercco de poder de mercado; uno de ellos es el basado en la estmacón empírca del parámetro θ, ue mde el grado de competenca en un determnado mercado o la orma como las empresas establecen sus «conjeturas» sobre las reaccones de las demás empresas. 6 Este parámetro se puede dervar de la condcón de maxmzacón de benecos de una empresa : ( ) ( ) Max Π P C 6 La reerenca orgnal en este tema es Bowley

85 De la condcón de prmer orden se obtene: P j + + P( ) C'( ) j θ Despejando se obtene la sguente relacón entre precos y costos margnales: P P ( ) C'( ) θ Utlzando la dencón de la elastcdad-preco de la demanda se puede despejar una expresón del índce de Lerner más general, la cual se muestra en la ecuacón anteror. Para este n, multplcamos y dvdmos el tercer térmno por P( ) y agrupamos con el n de expresar la ecuacón en térmnos de la elastcdad-preco: ( ) p P s P( ) C' ( ) θ.. C' ( ) P( ) θ C' ( ) P( ) θ p ε ε ε s ( ) ( ) P( ) P C' s θ ε Donde θ es s las empresas actúan a lo Cournot 7 (lo cual tambén se puede aplcar al caso del monopolsta cuando s ) y 0 s las empresas actúan a lo Bertrand (ue en un modelo estátco mplca ue las empresas actúen compettvamente). En el caso de empresas smétrcas ue se hayan coluddo, el valor de θ será gual a, puesto ue todas vararían su produccón en el msmo sentdo y las empresas obtendrían un mark-up gual al del monopolsta. Un análss detallado de este enoue y de las técncas econométrcas utlzadas para dentcar el ejercco del poder de mercado se puede encontrar en Bresnahan 989, donde se realza una revsón de los estudos de este tpo. Una revsón de estudos más recentes se puede 7 Asummos ue j 0 j, es decr, ue la conjetura de la -ésma empresa respecto al cambo en los nveles de produccón del resto de rmas es ue el resto no ajusta su nvel de produccón cuando ella camba su cantdad producda. 80

86 encontrar en el capítulo 7 de Martn 00. Una aplcacón relatvamente recente al mercado eléctrco nglés se puede encontrar en Wolram ACUERDOS HORIZOTALES Las empresas ue operan dentro de mercados olgopólcos pueden analzar e ntentar derentes tpos de acuerdos horzontales como ormar un cártel domnante, coludrse o usonarse entre ellas. En las sguentes seccones se procederá a explcar cada uno de ellos y analzar sus determnantes y vabldad La ormacón y establdad de los Cárteles El lderazgo en cantdades puede ser extenddo de una sola empresa líder a un conjunto de empresas ue decde ormar un cartel restrngendo la produccón e ncrementando el preco. S los acuerdos para restrngr la produccón no pueden mponerse medante algún mecansmo de sancón, el conjunto de la produccón restrngda es nternamente estable solo s cada empresa del grupo restrngdo obtene un mayor beneco restrngendo la produccón ue operando en el grupo de la ranja ue actúa sguendo estrategas a lo Cournot, tenendo en cuenta la orma en ue las otras empresas ajustarán su comportamento después de su traslado. A su vez, s exsten empresas uera del cartel, entonces la restrccón es externamente estable solo s cada empresa de la ranja obtene una mayor gananca por permanecer en la ranja ue por unrse al prmer grupo, tenendo en cuenta la orma en ue las otras empresas ajustarán su comportamento después de su traslado. A contnuacón, realzaremos el análss de las condcones de establdad del cártel sguendo este razonamento de acuerdo al modelo planteado por Selten Un análss bastante completo de este tpo de acuerdos, aunue a un nvel más avanzado y orentando a las polítcas de competenca se puede encontrar en Jacuemn y Slade

87 Cada empresa de la ranja seleccona su produccón de acuerdo a la curva de reaccón: Donde: j ( S QK Q F J), QK es la produccón total del grupo restrngdo. QF J:es la produccón conjunta de toda la ranja excepto la empresa j. La produccón de una empresa de la ranja se puede obtener de la sguente maxmzacón: π p( Q ) c, donde : Q Q + Q K F F π a bq + + c π F a bq b c 0 K r r K r r En eulbro, para el caso de empresas smétrcas, se cumplrá: F a bq b c 0 K r r ( ) ( ) ( ) ( ) a c bq b F b 0 K F F r K K a c bqk b F + () a c bq S Q b F ( + ) ( F + ) La produccón total de la ranja será: p a b QK + F F K ( + ) K p a b p ( ) p a bq p a b Q + Q S Q Q + FS a bqk + cf ( F ) + ( F + ) K F 8

88 Dado ue a Sb+ c podemos despejar el preco en relacón al costo margnal: Sb + c bq + cf b p p c+ S Q K ( ) ( ) ( ) ( ) K F + F + Dada esta uncón de demanda resdual, la maxmzacón del beneco por empresa y la produccón total del cartel será: k S y QK S K ( ) S se enrenta a una ranja de empresas a lo Cournot, un grupo de empresas ue han ormado un cartel maxmza su rentabldad producendo una cantdad como s uera un líder a lo Stackelberg. Susttuyendo () en () y en () obtenemos la produccón de una rma de la ranja y el preco de eulbro: S, p c+ bs. ( F+ ) ( F+ ) Los benecos por empresa, de las empresas dentro y uera del cartel son los sguentes: π k ( ) ( ) b b F,K S y π ( F) bs (v) K F + ( F + ) S analzamos el caso donde todas las empresas restrngen la produccón (K), sólo tenemos ue consderar la condcón para la establdad nterna. La produccón restrngda por todas las rmas es estable solo s cada rma gana por lo menos lo msmo restrngendo la produccón como s se desvara actuando a lo Cournot y ormando una ranja. π k ( 0,) π ( ) Utlzando (v) al reemplazar y smplcar se obtene ue esta condcón se cumple sólo s es menor ue 4. S cnco o más rmas abastecen el mercado y producen restrngdamente, cada rma compartrá los benecos de 83

89 monopolo ue son tan peueños ue es más rentable para la empresa desvarse y actuar como una empresa ndependente a lo Cournot dentro de la ranja. π π k k b ( ) ( ) ( ) () () ( + ) b b F,K S π ( F) S K F + ( + ) ( F + ) b b 0, S π () S 4 4 b Con la msma lógca se puede analzar la sostenbldad de otros posbles cárteles con un número menor ue. 4. Colusón Tácta 9 Por lo general, las empresas tenen ue tomar decsones sobre sus estrategas repetdamente y sólo en algunos casos muy partculares tenen ue decdr por una sola vez. En este contexto, las empresas pueden reconocer su nterdependenca y evaluar coludrse para ncrementar sus benecos. Este tpo de acuerdos puede ser explícto, medante un acta u otro tpo de documentacón, o tácto, en el sentdo ue puede surgr solo por la nteraccón contnua entre los agentes y expresarse en las estrategas ue las empresas aplcan en el mercado. 4.. Colusón tácta bajo competenca en cantdades La colusón entre empresas es un resultado no sostenble del modelo de Cournot cuando se analza el caso estátco. S en el caso del duopolo, las 9 El tratamento de los temas en esta seccón es más ben teórco, se menconan algunas de las reerencas prncpales en derentes seccones. Para un análss más aplcado del problema de la colusón se puede consultar el capítulo 5 de Pepall et al. Una dscusón sobre los problemas para sanconar la colusón tácta en países como Perú se puede encontrar en Quntana 0. 84

90 empresas decden comportarse como un monopolsta multplanta (las dos empresas) y repartrse la produccón según sus costos margnales, el problema de maxmzacón sería el sguente: π PQ C( ) C ( ) Resolvendo este problema respecto a la produccón en cada planta, se obtene la condcón bajo la cual se debe repartr la produccón, ue es auella donde los costos margnales de produccón entre ambas plantas se gualan: π PQ C( ) π PQ C( ) IMg CMg CMg 0 0 IMg IMg CMg CMg En el Gráco º 8 se muestra esta condcón para el caso de costos margnales derentes, donde la planta tene menores costos. Gráco º 8 Posble Reparto de la produccón en colusón P CMg CMg P CMg CMg Demanda IMe IMg Q Q Q t Q 85

91 En un caso smétrco, ello mplcaría ue ambas empresas produzcan la mtad de la cantdad de produccón del monopolo como se puede aprecar en el Gráco º 9. Este punto (Cl) correspondería a auel donde sus curvas de sobeneco son tangentes y al msmo tempo están en la recta de combnacones donde entre ambos producen la cantdad de monopolo. Gráco º 9 Reparto de la produccón en colusón con empresas smétrcas R a -c 4b Cl R a -c 4b Sn embargo, tal como se analzó cuando se obtuvo el eulbro en el modelo de Cournot, Los ncentvos para coludrse o no se pueden analzar como un juego donde los partcpantes decdrán producr alguna cantdad de acuerdo con la perspectva ue tengan de cómo actuará su competdora. De acuerdo al Gráco º 30, donde se presentan los pagos para este juego, vemos ue el mayor beneco se obtendría s ambas decderan producr en el prmer cuadrante (coludrse, coludrse), sn embargo en un caso estátco (juego de una sola etapa) el eulbro de ash se encuentra en el cuarto cuadrante, donde no se coluden y ambas producen a lo Cournot. 86

92 Gráco º 30 Matrz de pagos para la colusón en un duopolo smétrco coludrse Empresa coludrse coludrse Empresa coludrse π,, π, colus M M colus M M d M d M π,, π, M d M d π,, π, ( π C (, c c ), π C (, c c ) ) A modo de lustracón se muestra la matrz de pagos del juego cuando se supone una uncón de demanda nversa: P Q, con un costo margnal gual a cero y donde dos empresas están consderando coludrse producendo cada una la mtad de monopolo. Es decr: m a c b Con un beneco gual a: π m (a c) 4b 4 Entonces el beneco de cada empresa será gual: ( a c) π m 03, 4b 8 Realzando lo msmo para la cantdad y benecos a lo Cournot tenemos: π Cournot Cournot a c 3b 3 a c b 0, 3b 9 87

93 Se observa ue cada empresa obtene un mayor beneco con la stuacón de colusón ue con uno eulbro olgopólco a lo Cournot. Se puede hallar la cantdad de desvío de la empresa (la ue maxmza sus benecos sabendo ue la otra producrá la cantdad de colusón) y los benecos asocados: ( ) Max P Q c d Π En este caso especíco, el beneco de desvío para la empresa se obtene de maxmzar la sguente uncón, en el cual se asume ue la empresa sabe ue la empresa producrá la mtad de la produccón de monopolo (¼): d ( ( ) ) Max π + d d Max π + 4 π 3 d Por lo tanto, el beneco del desvío será: π d , 48 8 Claramente se puede ver ue s las dos empresas nteractuaran una sola vez en el mercado, este posble acuerdo no podría llevarse a cabo, sendo su decsón de eulbro jugar a lo Cournot. Los pagos para este juego se presentan en el Gráco º 3. 88

94 Gráco º 3 Ejemplo de matrz de pagos de la colusón en un duopolo smétrco Empresa coludrse coludrse Empresa coludrse coludrse ( 03,, 03, ) ( 009,, 04, ) ( 04,, 009, ) ( 0,, 0, ) Sn embargo, Fredman 97 ue el prmero en demostrar ue en un juego repetdo con un período nal desconocdo o repetdo nntamente, los agentes pueden decdr cooperar para maxmzar sus benecos y ue este resultado puede ser sostenble a derenca del caso estátco. En el caso de un juego a lo Cournot, la sostenbldad de la decsón de cooperar, cuando decden coludrse (por ejemplo para producr la cantdad de monopolo) y repartrse los benecos, dependerá de evaluar el valor presente de los benecos ue surjan de la cooperacón con el valor de volar el acuerdo y atenerse a las consecuencas en los sguentes períodos. Un caso bastante dscutdo en la lteratura es auel en el cual los agentes aplcan la estratega gatllo (trgger strategy) ue consste en cooperar s es ue las otras empresas sguen cooperando y jugar a lo Cournot todos los sguentes períodos s es ue alguen vola el acuerdo. En este caso el olgopolsta tendría ue comparar el valor presente de los benecos de la colusón con el beneco obtendo por desvarse un período más el valor presente de los benecos a lo Cournot en todos los períodos sguentes. En el caso de dos empresas ue decden coludrse para producr la cantdad de monopolo ( m ), el beneco por desvarse ( π ) sería el beneco máxmo ue podría obtener sabendo ue la otra empresa respetando el acuerdo d 89

95 producría m /. Por lo tanto, s denomnamos π c al beneco de Cournot y δ al actor de descuento (/(+r)), para ue la colusón sea sostenble deberá cumplrse la sguente condcón: 3 n 3 πm + δπm + δ πm + δ πm δ πm πd + δ πc + δπc + δ πc + δ πc δ πc 3 n 3 n π m + δ + δ + δ δ πd + δπ c + δ + δ + δ δ V V n ( ) Se puede ver ue V es una progresón geométrca ue tene un límte puesto ue α es menor ue por dencón: n + δ + δ + δ + + δ 3 V... Multplcando por δ: δv δ + δ + δ + δ... + δ n Restando V - δv: n ( ) V δ δ + Despejando V: V δ δ n+ Cuando n tende a nnto δ n+ se acerca a cero, por lo ue tenemos: V δ Usando este resultado la condcón de sostenbldad ueda de la sguente manera: δ πm πd + πc δ δ La condcón ue tene ue cumplr el actor de descuento se puede smplcar, para expresarla en una relacón más drecta con las derencas de 90

96 benecos. Así s llamamos entonces debe cumplrse: π al beneco de coludrse ( π / col m π ), col δ πcol πd + πc δ δ π δ π + δπ ( ) col d c πd πcol δ π π d c Esta últma expresón nos permte llegar a una condcón más general sobre la tasa de descuento tenendo en cuenta ue las empresas no necesaramente pueden acordar producr la cantdad de monopolo (s no una cantdad entre la de Cournot y la de monopolo) y ue el castgo ante el desvío no necesaramente será ue vuelvan a jugar sempre a lo Cournot. S llamamos π p al beneco obtendo cuando s es penalzado (dado ue pueden exstr otras estrategas como la de zanahora y garrote o toma y daca ), la condcón general ue debe cumplrse es la sguente: πd π δ π π d col p A modo de ejemplo 30, consderando la estratega gatllo, para el caso de una demanda lneal y costos margnales constantes donde exsten empresas, el beneco de desvío para la empresa se obtene de maxmzar los benecos sabendo ue las (-) otras empresas producrán la cantdad de colusón. En este caso, consderamos ue la colusón se genera con la cantdad monopólca por lo ue la produccón de las empresas ue cumplen el acuerdo será: m col ( a c) b S consderamos ue las otras j empresas producrán la cantdad de colusón tenemos: 30 El resultado presentado a contnuacón se basa en Shapro

97 j j ( ) m Reemplazando estos resultados en el problema de maxmzacón de benecos del desvío obtenemos: Max a b c π d + j j ( a c)( ) Maxπ d a b + c b Obtenendo a partr de la condcón de prmer orden, la sguente uncón de reaccón: d ( a c)( + ) 4b Reemplazando esta cantdad en la uncón nversa de demanda podemos calcular el preco de desvío: d p a bq d p a b( + j ) j ( a c)( + ) ( a c)( ) d p a b + 4b b d a( + ) + c( 3 ) p 4 Con ello podemos calcular el beneco ue obtendrá la empresa por desvarse: ( + ) + ( 3 ) ( )( + ) ( )( + ) a c a c a c π d c 4 4b 4b π d ( a c)( + ) 6b 9

98 Una vez obtendo el beneco de desvío y ya conocdos los benecos de colusón y de Cournot, para la sostenbldad de la colusón debe cumplrse ue: δ π π π m π d π π π π d col d p d c Reemplazando obtenemos una relacón entre el actor de descuento y el número de empresas ue ndca ue ésta debe ser mayor cuanto mayor es el número de empresas para poder sostener la colusón, tal como se verá en el Gráco 3: ( a c) ( + ) ( )( ) a c + ( a c) b 6 4 δ 6b 4b ( a c)( ) ( a c) ( a c) ( ) + + 6b b( + ) b 6 ( + ) Multplcando el numerador y denomnador por 6 y smplcando tenemos: δ ( ) ( ) ( + ) Como ejemplo podemos analzar el caso de dos empresas ue decden coludrse suponendo una uncón de demanda nversa como la usada anterormente: P-Q, una uncón de costos C(Q)c, donde c 0 y recordando los resultados antes obtendos, se puede encontrar el actor de descuento ue hace actble la colusón reemplazando estos valores en la condcón de sostenbldad de la colusón: δ πm πd + πc δ δ 93

99 Reemplazando: 9 δ + 4 δ 64 9 δ δ 053, Ejemplo numérco de análss de sostenbldad de colusón En el msmo sentdo, consderemos el sguente ejemplo donde dos empresas compten en cantdades. Por smplcdad supongamos ue ambas empresas poseen un costo margnal constante e gual a 0. Asmsmo, supongamos ue ambas enrentan una uncón nversa de demanda ue vene dada por: P ( Q ) 40 Q Por lo general, se creería ue s dos empresas se coluden, lo harían en la cantdad monopólca. Sn embargo, consderando ue esta cantdad no sería sempre la acordada (pero s la mejor, s decden coludrse) y a manera de ejemplo práctco, supongamos ue decden coludrse producendo su cantdad de Cournot menos 0% cada una (consderando estrategas gatllo). Prmero tenemos ue analzar la produccón ue se obtendría del modelo de Cournot y los ncentvos a desvarse, es decr, de no cumplr con el acuerdo colusoro, para lo cual, las empresa y resuelven los sguentes problemas de maxmzacón: ( ( )) ( ( )) Max Max Obtenendo a partr de la condcón de prmer orden, las sguentes uncones de mejor respuesta: ( ) () ( ) ( ) Resolvendo el sstema de ecuacones ormado por () y () obtenemos ue la produccón óptma de la empresa y es 0 (dado ue tenen gual costo margnal), con lo cual, ambas empresas obtenen un beneco gual a

100 Ahora ben, s decden coludrse producendo la cantdad de Cournot menos 0% cada una, la cantdad agregada de mercado sería 3, con lo cual, ambas empresas obtenen un beneco gual a 896. Sn embargo, la empresa tenendo en cuenta ue la empresa va cumplr con el acuerdo colusoro, maxmza sus benecos del desvío, es decr: ( ( )) Max A partr de la condcón de prmer orden se obtene ue la empresa s se desvía, decdrá producr, con lo cual el preco y cantdad de mercado sería 64 y 38, respectvamente. Dado esto, se puede observar ue la empresa obtene un beneco gual a 968, por lo ue tendría ncentvos a desvarse y no cumplr con el acuerdo colusoro a pesar ue este le reporta mayores benecos ue el competr a lo Cournot. Se puede vercar ue para ue sea sostenble el acuerdo colusoro en el tempo, el actor de descuento tendría ue ser gual o mayor a 0, Colusón tácta bajo competenca en precos El resultado paradójco en el modelo de competenca en precos, conocdo como Paradoja de Bertrand, ue ndca ue bastan dos empresas para consegur precos guales a costos margnales ue se analzó en la seccón 3., puede ser modcado s se relajan algunos supuestos como la posbldad de derencar productos, ue no se tratará en el presente documento, y la exstenca de restrccones de capacdad como las analzadas en la seccón 3.. En esta seccón analzaremos cómo la posbldad de ue el juego se repta de orma ndenda puede llevar a ue la colusón sea sostenble bajo certas crcunstancas. Ello debdo a ue, por lo general, las empresas tenen ue tomar decsones sobre sus estrategas de precos repetdamente y sólo en algunos casos muy partculares tenen ue decdr por una sola vez, como puede ser el caso de una subasta. En partcular cuando exsten uertes nversones en actvos durables, un know how tecnológco y barreras a la entrada, lo normal es ue en algunos mercados un número lmtado y estable 95

101 de empresas nteractúe repetdamente dentro del mercado. En este contexto, las empresas pueden reconocer su nterdependenca y evaluar coludrse para ncrementar sus benecos, lo cual puede convertrse en una estratega sostenble bajo determnadas condcones. En un juego repetdo nntamente o sn un período nal conocdo, 3 cada empresa tendrá ue evaluar el valor presente de sus benecos sostenendo la colusón versus los benecos monopólcos de romperla en un período (abastecendo a todo el mercado) y benecos nulos en el uturo (preco gual a costo margnal). Ello mplca ue para ue se sostenga la colusón, s llamamos δ al actor de descuento, deba cumplrse la sguente desgualdad en el caso de dos empresas ue decden jar el preco monopólco: π + δπ + δ π + δ π +... π 3 π m + δ + δ + δ +... πm 3 m m m m m V Se puede ver ue V es una progresón geométrca ue tene un límte puesto ue δ es menor ue por dencón: n + δ + δ + δ + + δ 3 V... Multplcando por δ : δv δ + δ + δ + δ... + δ n Restando V - δ V: n ( ) V δ δ + 3 Se puede demostrar ue s el juego tene un número nto de repetcones no podrá sostenerse la colusón pues las empresas tendrán ncentvos a romper el acuerdo en el últmo período. Por nduccón haca atrás (backward nducton) resulta ue cada empresa al tener en cuenta este ncentvo decdrá romper el acuerdo desde la prmera etapa. 96

102 Despejando V: V δ δ n+ Cuando n tende a nnto δ n+ se acerca a cero, por lo ue tenemos: V δ Usando este resultado nos ueda la sguente condcón: πm πm δ δ δ Cuando se ncrementa el número de empresas ue compten a lo Bertrand, las ganancas de uedarse con todo el mercado por un período se vuelven relatvamente mayores a las obtendas de mantener la colusón, pues el beneco monopólco se tene ue repartr entre un mayor número de empresas, por lo ue el actor de descuento necesaro para sostener la colusón se va hacendo mayor conorme se ncrementa el número de empresas πm δ δ δ... πm δ πm πm δ δ Por ejemplo, s son tres empresas se reuerrá un actor de descuento mayor o gual 0,66; el cual es superor al 0,5 reuerdo en el caso de dos empresas. En base a estos resultados, se puede decr ue para actores de descuento sucentemente altos, es decr cercanos a (lo ue mplca una tasa de descuento cercana a cero y ue por lo tanto se tene una valoracón smlar de los benecos actuales y uturos), es posble sostener la colusón pues se valora relatvamente más los benecos uturos ue se perderían de desvarse en el período actual, por más ue en éste se logre ganar el beneco monopólco. La generalzacón de este resultado se conoce como el teorema 97

103 de la tradcón oral (olk theorem) y es váldo tanto para el modelo de Bertrand como para el caso de Cournot bajo un esuema de estrategas trgger o de reversón al eulbro de ash e ncluso para otros tpos de estrategas Comparacón de los Factores de Descuento entre Cournot y Bertrand S se analza la evolucón del actor de descuento necesaro para sostener la colusón conorme aumenta el número de empresas (ver Gráco º 3) se apreca ue, a excepcón del prmer térmno cuando compten sólo dos empresas, el actor de descuento en el modelo de Bertrand sempre es mayor ue el actor de descuento en el modelo de Cournot. Esto puede ser explcado por el hecho ue, los ncentvos a romper el acuerdo colusoro son mayores en el caso de una competenca a lo Bertrand ue en una competenca a lo Cournot. En eecto, s una empresa compte en precos y decde ncumplr con el acuerdo colusoro, se uedará con todo el mercado. Dado esto, el actor de descuento tendría ue ser mayor para sostener el acuerdo colusoro en el caso de una competenca a lo Bertrand ue en una competenca a lo Cournot. Asmsmo, se apreca ue, conorme aumenta el número de empresas ue compten en ambas estructuras de mercado, el actor de descuento necesaro para sostener la colusón se ncrementa aunue el eecto margnal es mayor al nco. Así tambén, cabe precsar ue, conorme se ncrementa el número de empresas en el modelo de Bertrand, éste se vuelve menos realsta, dado ue, díclmente la empresa ue se desvía podrá abastecer todo el mercado restante. 3 En el Apéndce se presenta una dscusón más ormal del Teorema Folk. 98

104 Gráco º 3 Comparacón del actor de descuento en el modelo de Cournot y Bertrand Factor de Descuento para Bertrand Factor de Descuento para Cournot 4..4 Factores ue aectan la Colusón 33 A contnuacón se analzarán los actores ue aectan la colusón tenendo como marco la competenca en precos. a) La concentracón del mercado En el modelo de Bertrand con benes homogéneos, cuando exsten n empresas con costo margnal constante y se analza una stuacón colusva en la ue se cobra un preco monopólco, las empresas se reparten el mercado y los benecos de manera eutatva, el beneco de romper la colusón se hace más atractvo conorme se ncrementa el número de empresas con respecto a repartrse el beneco monopólco entre un número crecente de empresas ( π m / n ). Ello debdo a ue las ganancas a corto plazo por rebajar lgeramente el preco monopolístco (en una magntud gual a ε ) serán: π m ( / n) ε se 33 Esta seccón toma algunos elementos del capítulo 6 de Trole 988 así como de la revsón de Valuez

105 ncrementan al aumentar n por lo ue el actor descuento debe ser mayor ue / n para poder sostener la colusón. En este sentdo la concentracón del mercado aclta la colusón. El msmo resultado se obtene con el modelo de Cournot con n empresas. b) Grandes retrasos en la normacón e nteraccón nrecuente La amenaza de una penalzacón sólo tene eecto s ésta sgue cas nmedatamente a una rebaja en el preco. Sn embargo, la penalzacón puede aplazarse debdo a s: () la reduccón del preco eectuada por certa empresa puede ser conocda con retraso por la empresa rval (el carácter secreto de los contratos debería ser certo obstáculo para la colusón); () la nteraccón nrecuente (debdo a la rregulardad de los peddos, por ejemplo) aplaza la penalzacón y hace más atractvo rebajar precos. Supongamos ue una empresa observa su beneco y la demanda al menos dos perodos más tarde, por tanto dcha empresa no puede nerr nada de la observacón de sus anterores benecos y demandas acerca de la polítca de precos seguda por su rval, por lo ue en esta stuacón una empresa puede desvarse y reducr sus precos durante dos perodos. En este caso, se puede mantener el preco monopolístco en eulbro s y solo s: π m m ( + δ + δ...) π ( + δ ) δ. Por consguente, esta condcón es más restrctva ue la encontrada anterormente δ para sostener la colusón pues >. En este sentdo los retrasos en la normacón son tambén una causa ue dculta el éxto de la colusón. 00

106 c) Demanda varable Cuando la demanda es varable, una prmera teoría ndca ue se pueden orgnar guerras de precos durante los booms. En estos casos, cuando la demanda es baja, las empresas cobrarán un preco monopolístco, y cuando la demanda es alta las empresas cobrarán por debajo de este preco para ntentar ganarse todo el mercado. Esta stuacón puede entenderse como una guerra de precos durante los perodos de prosperdad, es decr representa una stuacón en la ue las empresas se ven oblgadas a reducr la colusón en los buenos tempos. Veamos una versón el modelo de Rotemberg y Saloner 986. Supongamos ue la demanda es estocástca. Esta puede ser: () baja: D ( p) probabldad ½; o () alta: D ( p) D( p ) >D( p ). con con gual probabldad. Donde: El beneco esperado de cada empresa en eulbro será: ( ) ( ) ( ) ( ) t D p D p V δ p c + p c t 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( δ ) D p D p V p c + p c / Examnaremos s se mantene el resultado colusvo, es decr s se mantene el preco monopolístco m p s en cualuer estado de la demanda. π p c D ( p ) el beneco monopólco en el estado s. S se puede m m m s s s s Sea ( ) mantener sempre este beneco su valor presente sería el sguente: V ( π + π ) m m / 4 δ 0

107 Una dsmnucón del preco de m p s proporcona para la empresa ue se desvía una gananca extra de: m m πs πs π s m Por lo ue para ue m p s sea sostenble debe cumplrse la sguente condcón: π m δv Es decr ue la gananca extra obtenda en el período bajo análss sea menor o gual al valor descontado de la pérdda de los benecos colusvos en los sguentes períodos. Susttuyendo V tenemos: π δ δ0 3π m m m + π S suponemos más especícamente un shock de ( ± ε ) ue ocasona una demanda baja de: ( ε ) D( p), y una demanda alta de: ( + ε ) D( p ), sendo la demanda promedo gual a D( p ). Podemos ver ue en caso de sostenerse los precos colusvos, los benecos esperados descontados serán: m m π π δv δ ε + + ε / δ m m m δ π π ε π ε δv / ( δ) + m π V ( δ ) ( ) ( ) ( ) Como habíamos encontrado antes, la colusón será sostenble cuando los benecos de desvarse sean menores ue los costos de una guerra de precos (perder V a partr del sguente período, lo ue euvale a δ V ). Las ganancas 0

108 de la desvacón dependerán del estado de la demanda, sendo el caso crítco cuando esta es alta: ( ) demanda alta s: + ε π m /. La colusón es sostenble en los períodos de m π δ π ( + ε ) δ ( + ε ) ( + ε ) m ( δ ) Es decr, el valor de δ ue permte mantener la colusón aumenta con los aumentos de las luctuacones de la demanda. Debdo a ue la colusón es más dícl de sostener cuando la demanda es alta, las empresas están oblgadas a coludrse con precos menores a los monopólcos, dado ue de otra manera ncarían una guerra de precos. Supongamos ue ε 0,, entonces el actor descuento sería:, δ δ 0, 54, el cual es mayor al 0,5 encontrado anterormente para el, juego de Bertrand repetdo nntamente. S ahora asummos ue ε 0,,, tendríamos ue: δ δ 0, 545, lo cual nos ndcaría ue cuanto mayores, sean los shocks de demanda mayor es el valor del actor de descuento necesaro para mantener la colusón. Este resultado se presenta en el Gráco º

109 Gráco º 33: Relacón entre Shocks de Demanda y Factor de Descuento para Sostener la Colusón Factor de Descuento Desvacón de la Demanda Elaboracón Propa Se puede mostrar ue el número de empresas sgue tenendo el msmo eecto sobre el actor de descuento necesaro para sostener la colusón. Suponendo ue las probabldades de una alta o baja demanda sguen sendo ½, tenemos ue el beneco de desvarse la colusón en los precos será: π m m π m π, ( ) 04

110 La condcón de sostenbldad ueda de la sguente orma: ( ) ( dem.alta) ( dem.baja) m π π π δ + / S : ( ) ( ) ( dem.alta) m π π + ε ( dem.baja) m π π ε ( δ) Por lo ue la condcón para ue se cumpla la colusón en perodos de alta demanda será: ( ) ( ) m ( + ) ( ) m m π π ε π ε + ε δ + / ( δ) Smplcando: m m π δ π δ ( )( + ε) / ( ) ( )( ) δ + ε ( δ ) ( )( + ε)( δ) δ ( )( + ε) δ + δ ( )( + ε) ( )( + ε ) δ + ( )( + ε ) ( ) Analzando el cambo del actor de descuento con respecto a un cambo en el shock de la demanda tenemos: ( ) ( )( ε)( ) ( ) ( ) ( )( ε) ( )( ε ) δ ε + + ( ) ( ) ( ε) ( ε)( ) ( )( ε) ( ) ( ) ( )( ε) δ δ ε + + ε + + ( ) >0 05

111 Analzando el cambo de la tasa de descuento respecto al cambo en el número de empresas en el mercado tenemos: ( + ε) ( + ( )( + ε) ) ( )( + ε)( + ε) ( ( )( ε )) δ ( + ε ) >0 ( + ( )( + ε )) δ + + Es decr cuánto más mportantes sean los shocks de demanda, la tasa de descuento necesara para sostener la colusón se ncrementa. Lo msmo sucede cuando se ncrementa el número de empresas pues la gananca por romper la colusón es relatvamente menos mportante. Mentras ue para el caso de dos empresas con derentes probabldades tenemos: m m m π δ π π ( + ε) θ ( + ε) + ( θ) ( ε) ( δ ) m m m m m π δ π π m π δ π ( + ε) ε + θεπ ( + ε) ( ε( θ) ) ( δ ) ( δ ) Despejando la condcón para el actor de descuento: ( ) + ε δ ε + θε + ε δ ( + ε ) ( ( + θε )) Este últmo resultado nos ndca ue conorme aumenta la probabldad de tener una demanda alta, la tasa de descuento necesara para sostener la colusón va ser menor pues los benecos esperados uturos perddos por romper la colusón serán mayores al ser tenerse una alta probabldad ue se vuelvan a repetr períodos de alta demanda. Rotemberg y Saloner presentan evdenca empírca de la ndustra del cemento para su teoría, mostrando como tasas de crecmento del producto están negatvamente relaconadas con tasas de crecmento de los precos. Un estudo ue podría consderarse como evdenca a su avor es el realzado por Bresnahan para el mercado de 06

112 automóvles en Estados Undos durante los años cncuenta, donde se muestra como en un período de crecmento económco una ndustra ue había tendo relatvo éxto en mantener un esuema de colusón tácta la rompe. d) Asmetrías en los costos Por lo general las empresas no tenen por ué tener necesaramente la msma estructura de costos, no es dícl demostrar ue dos empresas ue muestran una estructura de costos como c<c pueden mostrar preerencas opuestas sobre el preco a cobrarse. Los acuerdos ecentes sobre cómo debe repartrse el mercado pueden, por ejemplo llevar a la empresa a cobrar por encma de su preco monopolístco y a la empresa por ejemplo a proveer una cantdad menor ue la demanda ue recbe, o ben pueden establecerse turnos para ue ambas empresas abastezcan alternatvamente el mercado. e) Contactos multmercados Los contactos en varos mercados pueden avorecer la colusón. Recordemos ue la restrccón de ncentvos para la sostenbldad de un preco en un mercado con dos empresas es: πm πm δ δ δ Es decr, ue basta ue δ para ue la colusón sea sostenble. Supongamos ahora ue exsten dos empresas ue partcpan en dos mercados déntcos e ndependentes pero ue en el prmer mercado las transaccones son más recuentes ue en el segundo, dgamos ue el mercado se reúne cada perodo pero ue el mercado lo hace cada dos perodos. S el actor de descuento es δ, el actor de descuento mplícto para el mercado es δ. 07

113 Suponemos ue δ < < δ. Se puede ver ue en la ausenca de contactos multmercados, la colusón es sostenble en el prmer mercado más no en el segundo. Pero s exste este contacto en ambos mercados, la colusón se da en ambos s: π m m m π ( δ + δ + δ...) + π ( δ + δ + δ...) La parte zuerda representa el beneco de rebajar el preco monopólco en ambos mercados mentras ue la parte derecha muestra las uturas pérddas de los benecos colusvos en ambos mercados, asocados a dejar el comportamento a lo Bertrand. m m m π δ π δ π + δ δ δ δ + δ δ δ + δ + δ 0 4δ δ δ 059. Exstendo contactos multmercados podemos armar ue con un actor de descuento mayor a 0,59 se puede sostener la colusón total en ambos mercados. ) Control Imperecto Para ue una estratega sea sostenble, una condcón es ue pueda observarse s se producen recortes de precos. En el caso de mperecta observabldad de las decsones de precos de los rvales, no es posble dstngur s una dsmnucón en la cuota de mercado es consecuenca de una reduccón de la demanda o de recortes secretos de precos, en consecuenca, el ncentvo a desvarse tende a aumentar, por lo ue es probable ue se observen guerras de precos cuando la demanda es decrecente tal como ndcan Green y Porter

114 A derenca del modelo de Rotemberg y Saloner, Green y Porter consderaron un modelo ue ncluye no solo la exstenca de shocks de demanda sno la exstenca de un control mperecto sobre los desvíos de las otras empresas. En este contexto, tal como se muestra en el Gráco º 34, puede ocurrr ue por una empresa vea reducda su demanda de un nvel medo ( Q ) con el M cual se han coluddo las empresas a un nvel Q L, por más ue el preco colusvo sga vgente ( P C ). Este es un argumento más ue estrategas de alta penalzacón como la gatllo no sean adecuadas pues luego puede comprobarse ue la reduccón de la demanda no se debó a los rvales. Ante ello una alternatva consstente en aplcar la penalzacón solo cuando las reduccones de la demanda son muy grandes, lo ue estaría asocado con gran certeza a un desvío de las empresas rvales. Otra alternatva, como la planteada en el modelo de Green y Porter es aplcar el castgo durante un período lmtado de tempo y luego ntentar de nuevo el acuerdo. Gráco º 34: Incertdumbre en la Demanda y Mantenmento del Cártel Preco P C D H D L D M Q L Q M Q H Cantdad Basado en Pepall et al

115 Supongamos ue con alguna probabldad θ la demanda puede hacerse cero. Puede demostrase ue el mejor esuema colusvo consste en mantener el preco de monopolo mentras cada empresa mantenga su cuota de mercado y en caso de ue una empresa no pueda vender, lanzar una guerra de precos durante un número lmtado de perodos T, para luego volver al preco de monopolo, entonces, los benecos esperados descontados V serían: C T+ V + δv + θδ V, ( θ) π Donde los dos térmnos se corresponden con la stuacón sn y con shock de demanda respectvamente. En el prmer caso, cada empresa obtene la mtad de los resultados colusvos y espera mantener el preco colusvo en el sguente perodo. En el caso de un shock de demanda, la empresa es ncapaz de vender y el preco se ja en consecuenca en el nvel del costo margnal durante los sguentes T perodos, regresando al preco monopólco en el perodo T+. El Gráco º 35 presenta estos dos casos. Gráco º 35: Representacón del Modelo de Green y Porter V Elaboracón Propa V T+ T+ T períodos 0

116 Despejamos V de la ecuacón anteror: ( θ ) C π V δ + δ T ( θ θ ) La colusón será sostenble s: π + + C T+ C T+ V δv + δ V π δ V ( θ) θ ( θ) Lo ue euvale a: T ( ) δ δ V C π Por lo tanto debe ajustarse la duracón de la guerra de precos para ue no haya ncentvos a la desvacón y estas ocurren cuando sucede un shock de demanda. Se puede ver ue en el modelo de Green y Porter una caída mprevsta de la demanda puede desencadenar una guerra de precos dado el problema de la observabldad, mentras ue en el modelo de Rotemberg y Saloner las guerras de precos son más probables cuando la demanda es alta, y tal como ndca Vves 00, se le antcpa ue va a caer. Respecto a la evdenca empírca, esta no es concluyente. Destaca el estudo econométrco de Ellson 994, enocado en el cálculo de la probabldad de ue se nce una guerra de precos, sobre el cártel errovaro en Estados Undos en la década de 880. Sus resultados respaldarían el modelo de Green y Porter respecto al de Rotemberg y Saloner. Este últmo tendría el problema de ser muy restrctvo por lo ue modcacones dan lugar a otros resultados. En partcular, s los costos margnales son decrecentes o hay restrccones de capacdad para atender las demandas altas se puede encontrar ue la colusón tende a reducrse cuando la demanda baja.

117 g) Grado de utlzacón de la capacdad Cuando el grado de utlzacón de la capacdad en la ndustra es bajo, el costo margnal de aumentar la produccón normalmente tambén lo es, aumentando los ncentvos para tener una mayor partcpacón de mercado y desvarse de los eventuales acuerdos. Como ejemplo, en la ndustra aérea muchas guerras de precos son causadas por los excesos de asentos lbres ue poseen los avones, sobre todo en determnadas épocas del año. Tenendo en cuenta los bajos costos margnales de cada pasajero adconal, los ncentvos a bajar precos serán más altos en perodos de menor demanda por sus asentos. Adconalmente, tal como comenta Valuez 006, tambén se ha encontrado ue cuando exsten asmetrías de capacdades la colusón se dculta en el caso de ue la capacdad agregada de la ndustra sea baja. En partcular, se sugere ue s aumenta la capacdad de la empresa más grande mentras ue la capacdad agregada de las restantes (y smétrcas) es baja, los ncentvos a desvarse por parte de la más grande aumentan La generalzacón de las estrategas sostenbles S llamamos π col al beneco obtendo de mantener la colusón y π p al beneco obtendo cuando se es penalzado, la condcón general ue debe cumplrse es la sguente: πd π δ π π d col p La colusón no necesaramente se tene ue realzar con precos o cantdades monopólcas, sno ue cualuer combnacón de precos o cantdades con los cuales se obtengan benecos mayores a los obtendos sn coludrse pero menores a los del monopolo, puede ser escogda por los olgopolstas sempre y cuando el actor de descuento cumpla con la condcón de sostenbldad. Sn embargo, exsten actores ue pueden aectar estos resultados además del número de empresas, como las asmetrías en costos, la exstenca de una

118 demanda luctuante, retardos en la deteccón de los desvíos, casos en el ue el preco del rval no es observable, la exstenca de contactos en varos mercados, entre otros. En partcular, las estrategas gatllo (trgger Strategy) con las ue se ha analzado la sostenbldad de la colusón es consderada muy severa, ya ue el castgo por el desvío es jugar ndendamente a lo Cournot por el resto de períodos. Por ello, Abreu 986 planteó algunas condcones ue puderan hacer sostenbles una Stck and Carrot Strategy o estratega del tpo Palo y la Zanahora ue consste en jugar al nco el castgo (como puede ser una produccón alta) y luego jugar la recompensa en el sguente período s la otra empresa no se ha desvado en el período anteror. En el perodo t jugar * s todas las rmas jugaron * en t-. S una rma se desvó de * en t-, jugar p en t. S todas las rmas jugaron p en t-, jugar * en t. S una rma se desvó de p en t-, jugar p en t. Donde * es la cantdad correspondente a la recompensa y p es la cantdad correspondente al castgo o penalzacón. Estas estrategas tenen ue cumplr dos condcones para ser mplementables: La condcón de credbldad: ( ) ( ) ( * ) ( ) () π π δ π π d p p p La condcón de sostenbldad: p ( * ) ( * ) ( * ) ( ) ( ) d π π δ π π 3

119 Como ejemplo, Church y Ware 000 plantean el caso donde tenemos una demanda de mercado dada por: P 30 Q, donde exsten dos competdores a lo Cournot, con un costo margnal constante e gual a 0 para cada uno y donde se asume un actor de descuento de 0,40. La uncón de reaccón para una empresa está dada por: r S ( j) Donde: a c S b Y una cantdad de desvío será gual a: S 0 ( j ) ( ) d p d p Entonces el beneco será: [ ] π a bq c d d d d p p p p π 30 ( 0 ) + ( 0 ) 0 ( 0 ) p p d 0 + p p π 30 ( 0 ) 0 ( 0 ) p d 0 π ( ) Los benecos del castgo (punshment) dependen de la produccón de castgo y serán: π π p p p ( ) p( Q) c p p p p ( ) ( 30 ) 0 p p p π( ) ( 0 ) ( v) 4

120 m Reemplazando (), (v), δ 040, y π 800 en la condcón de credbldad ( ) ( ) ( ) ( ) π π δ π π d p p m p p 0 p p p p ( 0 ) 0, ( 0 ) p p p p p,, ( ) ( 0 ) ( 0 ) p p p p +, ( ), ( ) p p, 45( ) Utlzando la solucón de la órmula cuadrátca, encontramos ue la produccón de castgo ( P ) más severa creíble es: ( ) (, )( ) 45 (, ) 3 ± p ( ) p 54, 77,y π 57, 90 Vemos ue estos castgos son consderablemente mayores a los castgos antes desarrollados debdo a los mayores ncentvos a romper la colusón asocados con una menor tasa de descuento (produccón de castgo gual a la produccón a lo Cournot). Asmsmo el beneco del desvío de la produccón monopólca será: π a c a c a c a b + 0 b b b d m m m m m Reemplazando obtenemos: π π d m d m a c a c a c a c a c a c a c a 5 b 4 b + 4 b b 4 b b 4 b 05 Para ver s estos castgos o palos son sucentes para mantener la maxmzacón de benecos en conjunto, susttumos π p 800, π ( ) 05, δ π ( ) m d m 0, 40 y 57, 90 5

121 En la condcón de sostenbldad: ( ) ( ) ( ) ( ) π π δ π π 5 490, 84 d m m m p Este resultado ndca ue estos castgos son sucentes para sostener la maxmzacón de los benecos en conjunto. 4.3 Las Concentracones Horzontales Se regstra una concentracón cuando empresas con undades de decsón dstnta, se unden en una sola empresa, a través de operacones tales como las usones, aduscones, absorcones, entre otras. En este sentdo, un acto de concentracón ocurre cuando el control sobre las decsones de la empresa de estar en dos grupos económcos para a uno solo Eectos de las concentracones Tal como planteó Wllamson 968, cuyo argumento se lustra en el Gráco º 36, como resultado de un proceso de concentracón puede aumentar el poder de mercado de la empresa (pasándose del preco P a P y reducéndose la cantdad vendda de Q a Q ) pero tambén lograrse ecencas productvas (ue se relejan en la reduccón del costo margnal de C a C ), lo cual lleva a la necesdad de evaluar, en este análss de eulbro parcal, la magntud relatva de ambos eectos para ver su eecto sobre el benestar. 6

122 Gráco º 36 Eectos de las concentracones horzontales p p Pérdda de benestar p C C Ganancas de ecenca (ahorro en costos) Q Q Q Fuente: Wllamson 968 En análss de los eectos de las usones en los mercados ha tendo un gran desarrollo desde entonces. Una reerenca mportante es el capítulo 3 de Whnston 003, En esta seccón solo nos concentraremos en los ncentvos a usonarse dentro del modelo de Cournot y algunos de análss adconales Los ncentvos para usonarse Derentes modelos como el de Salant et. al 983 han mostrado ue no necesaramente las empresas ue compten en mercado tenen ncentvos para usonarse sendo posble dentcar casos de usones no rentables. Por ejemplo, supongamos ue prmero ue exsten tres empresas smétrcas con costos margnales constantes ue juegan a lo Cournot y luego dos de ellas se usonan. En el caso ue las empresas y se usonen, el problema de maxmzacón de benecos vendría a ser: 7

123 π π π [ ] ( ) [ ] p( Q ) + c c a b c c 3 a + a b b b b b b c c 3 3 Resolvendo las condcones de prmer orden podemos encontrar las uncones de reaccón: a b b3 c b a b b3 c b Dado ue sabemos ue las empresas son smétrcas tenemos: a b b3 c a b3 c b 4b Por lo ue, la empresa usonada producrá, obtenendo la uncón de reaccón, a la cual llamaremos : a-b -c a-b -c S 4b b ( ) Y la uncón de reaccón de la tercera empresa (la no usonada) vendrá dado por: 3 ( S ) 3 S ( S 3) S a c 3 S S b Obtenéndose ue la empresa usonada producrá: a c a c a c a c S 3b b 3b 3b 8

124 Obtenemos los benecos para las empresas usonadas: π π π ( ) ( ) 3 3 p Q c a b + c a b b c ( a c) ( a c) ( a c) a c a c a ca c a c a b b c 3b 3b 3b 3b 3b π 3 3b 9b Fnalmente, los benecos para la tercera empresa serán: ( ) π a b + c a c a c a c a c π 3 a b + c 3b 3b 3b 3b ( a c) a c a c π3 a c π3 3 3b 9b Como resultado podemos ver ue la tercera empresa (es decr, la ue no se usonó) percbe ahora mayores benecos ue en un prmer momento, es decr, le convendría ue se dera la usón. ( a c) ( a c) 9b > 6b Asmsmo, la usón de la empresa y perjudca a sus acconstas pues los benecos obtendos con la usón son menores ue los ue se obtendrían s produjeran separadamente a lo Cournot. ( a c) ( a c) π < π +π 9b 6b usonadas C C, Como hemos vsto, en mercados ue compten a lo Cournot las usones entre dos empresas (nclusve más) no necesaramente producen mayores benecos para dchas empresas, al menos ue se produzca como un monopolo. Para verlo mejor, supongamos un mercado con > empresas 9

125 ue compten a lo Cournot. Recordando ue el beneco obtendo para cada una es: a c π b + () Supongamos ue una cantdad ( M > ) de estas empresas decde usonarse, pero sn llegar a ormar un monopolo, es decr ( M < ). Tal usón lleva ahora a una ndustra donde compten ( M + ) empresas, es decr: - M: empresas no usonadas : la empresa usonada. Puesto ue todas las empresas son smlares podemos decr ue la empresa usonada está conormada por la empresa hasta M. Asmsmo, sabemos ue después de la usón, las empresas usonadas actúan como s ueran una sola, es decr, todas y cada una de estas ( M + ) empresas al tener costos déntcos y abrcar el msmo producto, en eulbro, deben producr la msma cantdad y tener el msmo beneco. Por lo ue en el eulbro de Cournot después de la usón, debe suceder ue la cantdad y benecos de las empresas usonadas sean guales ue la produccón y benecos de cada empresa no usonada. Para un mercado con ( M ) + empresas, estas son: c c a c b c c π π b ( M + ) ( a c) ( M + ) ( ) ( ) 0

126 Donde: π c c beneco de las empresas usonadas, π beneco de las empresas no usonadas. Como exsten M empresas dentro de la usonada, cada una pudo obtener el beneco () antes de la usón. Por lo ue, para ue se produzca la usón deberá cumplrse ue, ( ) ( ) ( ) ( ) a c a c M b M + b + () Es decr ue el beneco de usonarse debe ser mayor a la obtenda de no hacerlo. La condcón anteror reuere ue: ( + ) M ( M + ) ( ) Esta condcón al ue llamaremos, de rentabldad, no depende de nngún parámetro de la demanda o el costo margnal de las empresas. Como se mencona en Pepall et al. 006, esta ecuacón nos habla de la rentabldad de cualuer usón de M empresas. Y todo lo ue se reuere es ue la demanda sea lneal y ue cada una de las empresas tenga los msmos costos margnales constantes. S susttumos M a donde 0< a <, es decr s suponemos ue las empresas a usonarse son una proporcón del total de empresas, obtenemos una condcón en uncón de a (raccón de empresas ue se usonan): ( ) a ( ) A partr de esta condcón, se puede precsar ue tan grande tene ue ser a para ue la usón sea rentable. A modo de lustracón a contnuacón se descrbrán los casos en los ue la usón no es rentable y los casos en los ue s resulta rentable.

127 Ejemplo de rentabldad de la usón Suponendo una gama de valores de 34, y usando la ecuacón () se halla los dstntos valores de a( ) asocados a los msmos. Y por lo tanto, los valores de M. El Gráco 37 nos muestra los resultados, en donde se vsualza ue la proporcón de empresas usonadas, garantzando la rentabldad, no es menor al 80% y sgue una tendenca crecente. En otras palabras, a meddas ue el número de empresas aumenta en el mercado, el número de empresas ue deben de usonarse debe ser mayor para poder garantzar la rentabldad de la msma, caso contraro resultará no sostenble. Gráco º 37 Evolucón del actor a() y el número de empresas necesara para sostener la usón (M) conorme de ncrementa el número de empresas totales () 90% 88% 86% 84% 8% 80% 78% 76% 74% a() M Elaboracón Propa Como ejemplo de la no rentabldad de algunas usones en el este modelo, en el Cuadro º se han supuesto valores alternatvos para el número de empresas () smlar al caso anteror y en base a esto un valor de las empresas usonadas (M). Lo ue se ha hecho es calcular los elementos de la condcón (). En los casos escogdos nnguna empresa cumple la desgualdad 34 Se deja al lector replcar el ejemplo con valores para de 0 a 00.

128 y se puede ver estos casos tenen asocado un rato a ue no sobrepasa el 80%, conrmando lo encontrado menconado anterormente. Cuadro º Evolucón del actor a() y el número de empresas necesara para sostener la usón (M) conorme de ncrementa el número de empresas totales () M a( ) ( + ) M ( M+ ) 3 67% % % % % % % % % % % % % Elaboracón Propa Sn embargo, este resultado, aparentemente paradójco, puede resultar no tan realsta. En partcular s se consdera ue la usón puede generar reduccones en los costos varables y jos de la empresa usonada, en partcular s estas son bastante aprecables. Otra orma de resolver esta paradoja es consderar ue la empresa usonada logra hacer creíble ue la nueva escala alcanzada por la usón le permte convertrse en un líder del mercado a lo Stackelberg 35. Por últmo, Farrell y Shapro 989 presentan un análss de las usones horzontales del olgopolo de Cournot encontrando las condcones generales bajo las cuales este tpo de usones puede subr el preco o no dependendo de la reduccón de costos a la ue hubera lugar. Tambén desarrollan un proced- 35 Mayores detalles de esta dscusón se pueden consultar en el capítulo 6 de Pepall et al

129 mento para analzar el eecto de una usón en los rvales y en los consumdores y por lo tanto proporconar las condcones sucentes para ue las usones rentables para aumentar el benestar. Demuestran tambén ue el análss de usones tradconal puede nducr a error s se usa solo en índce de Herndahl-Hrschman. 4

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135 APÉDICE El Teorema Folk en juegos nntamente repetdos y los modelos de olgopolo Desde la contrbucón de Fredman 97 sobre las condcones bajo las cuales una estratega de cooperacón en juegos nntamente repetdos, se han realzado una sere de avances ue, prncpalmente debdos a los trabajos de Abreu 986 ue generalzan estos resultados, los cuales ueron enuncados ncalmente tomando como estratega de reversón el eulbro de ash del juego estátco. Sguendo a Mas-Colell et al. 995 pasamos a enuncar este teorema para los juegos. En estos casos, el Teorema Folk, ndca lo sguente: cualuer conjunto de pagos actbles ue da a cada jugador, sobre un período base, más ue el menor pago ue él puede garantzar por sí msmo en el juego de una sola etapa puede ser sostenble como los pagos de un eulbro de ash perecto en subjuegos s los jugadores descuentan el uturo en un grado sucentemente bajo (Mas-Colell et al 995: 404). La nocón de eulbro de ash perecto en subjuegos ndca auellas estrategas ue son eulbro de ash en cada etapa del juego. 36 En térmnos más ormales, y sguendo la notacón mantenda hasta ahora, se puede dentcar ue exsten un conjunto de estrategas actbles ue pueden ser sostenbles tanto cuando la estratega es la de reversón a la meda como con castgos más severos, tal como mostró Abreu 986. Este conjunto actble se puede lustrar para el caso del duopolo de Cournot. Prmero denmos el lujo de pagos descontado para el jugador como: t+ τ τ t ( ) δπ( ) v Q 36 Mayores detalles técncos se pueden encontrar en el Apéndce A del capítulo de Mas-Collel et al

136 Sendo Q la senda de produccón de una secuenca nnta de accones de las empresas y (, ). t t t De esta orma se puede denr el pago promedo de esta senda de produccón Q como sgue ( δ ) v ( Q). Este corresponde al pago promedo por período ue, s el juego es nntamente repetdo, da como pago descontado v ( Q ). En base a ello se puede gracar el conjunto de pagos soportables cuando δ tende a de la sguente orma: El Teorema Folk con Reversón al Eulbro de ash en el Olgopolo de Cournot Conjunto de Pagos Factbles como Eulbro de ash Perecto en Subjuegos cuando con reversón el eulbro de ash Fuente: Mas-Colell et al