Mecanica del Medio Continuo (Modelos Constitutivos)

Transcripción

1 Nomnclau III Mcanica dl Mdio oninuo Modlos onsiuivos DUARDO WALR VIIRA HAVS

2 Psnación Psnacion s libo s la coninuación naual dl libo Mcánica dl Mdio oninuo: oncos ásicos Vol.. n s nuvo volumn Mcánica dl Mdio oninuo: Modlos onsiuivos s aa l lanamino y dsaollo d vaias cuacions consiuivas u s udn ncona n la liaua y u s dsaollan dno dl ámbio d la Hilásicidad Plasicidad n uñas y gands dfomacions Viscolasicidad molasicidad molasicidad Puñas y gands dfomacions Mcánica dl Daño y luidos. l libo sá diigido ano a alumnos d docoado como a invsigados snando un dall minucioso a la hoa d las dmosacions d las xsions con la finalidad d oociona al lco las haminas ncsaias aa la xnsión d los modlos consiuivos auí snados a oos modlos más comljos. n lo u sca a la noación l dsaollo d las xsions y cuacions s snan n noación nsoial indicial. inalmn uía xsa mi mayo gaiud a Inmaculada Gallgo o su acincia a la hoa d la visión dl xo. ambién uisia agadc al Pof. avi Oliv Pof. Sgio Oll Guillaum Houzaux y a Maiano Vázuz sus más u oounos comnaios. duado W. V. havs iudad Ral d mazo d 9.

3 onnido onnido PRSNAIÓN...V ONNIDO...VII NOMNLAURA...III ARVIAURAS...VII OPRADORS...VIII UNIDADS...I INRODUIÓN... PRINIPIOS ONSIUIVOS.... l Pinciio dl Dminismo.... l Pinciio d la Acción Local.... l Pinciio d uisncia....4 l Pinciio d la Objividad....5 l Pinciio d la Disiación...4 ARARIZAIÓN D LAS UAIONS ONSIUIVAS PARA UN MARIAL SIMPL...4 ARARIZAIÓN D LAS UAIONS ONSIUIVAS PARA UN MARIAL RMOVISOLÁSIO... 4 UAIONS ONSIUIVAS ON VARIALS INRNAS PROLMA D VALOR D ONORNO INIIAL PVI Y LA MÁNIA OMPUAIONAL ONNIDO DL LIRO...9 APÉNDI A. PROPIDADS MÁNIAS... A. OMPORAMINO D LOS SÓLIDOS... A.. fco d la maua...5 A.. nsayos y Poidads Mcánicas dl Maial...5 A... nsayo d acción Siml...5 A... nsayo asilño... A... nsayo d omsión Siml... A...4 nsayo d omsión iaxial... A. OMPORAMINO D LOS LUIDOS...5 A.. Viscosidad...6 A. MARIALS VISOLÁSIOS...7 HIPRLASIIDAD INRODUIÓN...9. UAIÓN ONSIUIVA nsos onsiuivos angns lásicos nso onsiuivo angn lásico n la onfiguación Maial nso onsiuivo angn lásico n la onfiguación Acual nso onsiuivo angn lásico Insanáno Psudo-nso onsiuivo angn lásico...48

4 VIII MÁNIA DL MDIO ONINUO: MODLOS ONSIUIVOS. MARIAL HIPRLÁSIO ISÓROPO cuación onsiuiva n unción d los Invaians cuación onsiuiva n unción d y b cuación onsiuiva n unción d xansión n Si dl Poncial lásico cuación onsiuiva n unción d los siaminos Pincials LASIIDAD Linalización d las cuacions onsiuivas lasicidad Linal MARIAL OMPRSIL nsos d nsions Maial Hilásico omsibl Isóoo Maial Hilásico omsibl Isóoo n unción d los Invaians MARIAL INOMPRSIL Inación Goméica Maial Hilásico Incomsibl Isóoo xansión n Si dl Poncial lásico aa Maial Hilásico Incomsibl Isóoo MPLOS D MODLOS HIPRLÁSIOS Modlo d Sólido No-Hookano Modlo io-goma d Ogdn Modlo io-goma d Ogdn Incomsibl Modlo d Hadamad Modlo d Moony-Rivlin ngía Lib d Hlmholz nso d nsions Modlo d Yoh ngía Lib d Hlmholz nso d nsions Modlo d Auda-oyc Modlo d laz-ko Modlo d Sain-Vnan-Kichhoff ngía Lib d Hlmholz nso d nsions nso onsiuivo angn lásico Modlo No-Hookano omsibl ngía Lib d Hlmholz nsos d nsions nso onsiuivo angn lásico Modlo d Gn Modlos sadísicos Modlo d 8 Paámos Modlo d amus-gn-simson unción ngía d Dfomación d amus-gn-simson jmlo Uniaxial HIPRLASIIDAD ANISÓROPA Maial ansvsalmn Isóoo... 9 APÉNDI. DMOSRAIÓN D LOS MODLOS D 8 PARÁMROS Y SADÍSIO MODLOS SADÍSIOS unción d ngía nso d nsión nso onsiuivo angn Rsumn dl Modlo sadísico MODLOS D 8 PARÁMROS unción d ngía... 99

5 ONNIDO I.. nso d nsions nso onsiuivo angn Rsumn dl Modlo d 8 Paámos...6 PLASIIDAD...9. INRODUIÓN...9. OMPORAMINO D SÓLIDO ON DORMAIÓN PLÁSIA.... SUPRII D LUNIA. RIRIO D LUNIA..... Sufici d luncia aa Maials Anisóoos Gadin d la Sufici d luncia..... Sufici d luncia aa Maials Isóoos..... iio d luncia aa Maials Indndins d la Psión Hidosáica iio d von Miss iio d sca iio d luncia aa Maials Snsibls a la Psión Hidosáica iio d Moh-oulomb iio d Duck-Pag iio d Rankin Sufici d luncia dsués d la Plasificación MODLOS D PLASIIDAD N PQUÑAS DORMAIONS. ASO UNIDIMNSIONAL Plasicidad Indndin d la asa n D omoamino lasolásico Pfco omoamino lasolásico con nducimino Isóoo omoamino lasolásico con nducimino inmáico omoamino lasolásico con nducimino Isóoo y inmáico PLASIIDAD N PQUÑAS DORMAIONS ORÍA LÁSIA D PLASIIDAD nso d Dfomación. Ly onsiuiva ngía Lib d Hlmholz Disiación d ngía. volución d las Vaiabls Innas nso onsiuivo angn lasolásico oía lásica d lujo Plasicidad Pfca Plasicidad con nducimino inmáico Isóoo ORÍA DL PONIAL PLÁSIO PLASIIDAD N DORMAIÓN INIA PLASIIDAD N DORMAIÓN INIA ASADA N LA DSOMPOSIIÓN MULIPLIAIVA DL GRADIN D DORMAIÓN Rlacions inmáicas nsos d Dfomación Dfomacions d los Difncials d Áa y d Volumn nso Gadin sacial d Vlocidad asa d Oldoyd asa d o-rivlin nsos d nsions asa d nsos d nsions ngía Lib d Hlmholz Dsacolamino d la ngía Lib d Hlmholz Pinciio d Objividad aa la ngía Lib d Hlmholz unción ngía Lib Isóoa asa d la ngía Lib Isóoa Poncial Plásico y iio d luncia Disiación. cuacions onsiuivas volución d las Vaiabls Innas nso onsiuivo...98

6 MÁNIA DL MDIO ONINUO: MODLOS ONSIUIVOS.8.7. nso angn lasolásico Modlo Hilasolásico con unción d luncia d von Miss ngía Lib d Hlmholz nso d nsions omulación onsidando la ansfomación como una ansfomación Isocóica asa d la ngía Lib iio d luncia. volución d las Vaiabls Innas...6 RMOLASIIDAD. RMOPLASIIDAD...9. PROSO RVRSIL ngía Inna scífica..... ngía Lib d Hlmholz..... ngía Lib d Gibbs nalía Pocso Isoémico Isnóico alo scífico y nso alo Lan...5. RMOLASIIDAD LINAL Linalización d las cuacions onsiuivas Linalización dl Pim nso d nsions d Piola-Kichhoff Linalización dl lujo d alo Linalización d la noía Linalización d la ngía Lib d Hlmholz cuacions onsiuivas Linalizadas molasicidad Linal n l Régimn d Puñas Dfomacions molasicidad Linal aa Sólido lásico Linal Isóoo n l Régimn d Puñas Dfomacions...5. PROLMA RMO-MÁNIO DSAOPLADO N PQUÑAS DORMAIONS Poblma Puamn émico ondicions d onono Inicials..... Poblma Puamn Mcánico cuacions d Gobino ondicions d onono Inicials....4 ORÍA LÁSIA D RMOLASIIDAD N DORMAIÓN INIA cuación dl lujo d alo Acolado ngía Lib d Hlmholz RMOLASIIDAD ON DSOMPOSIIÓN MULIPLIAIVA DL GRADIN D DORMAIÓN nsos d Dfomación nsos d nsions Difncial d Áa y d Volumn Paiculaización a un Maial Isóoo ngía Lib d Hlmholz. cuacions onsiuivas cuacions onsiuivas d nsión cuación onsiuiva d noía RMOPLASIIDAD N PQUÑAS DORMAIONS ngía Lib d Hlmholz Disiación d ngía LUIDOS INRODUIÓN LUIDO N RPOSO Y N MOVIMINO luido n Roso luido n Movimino LUIDO VISOSO Y NO VISOSO luido No Viscoso luido Pfco...6

7 ONNIDO I 4.. luido Viscoso LUO LAMINAR Y URULNO ASOS PARIULARS D LUIDOS luidos Incomsibls Rsnación d la Aclación luido Ioacional lujo sacionaio LUIDO NWONIANO ondición d Soks PONIA NSIONAL. PONIA DISIPADA. PONIA RUPRAL UAIONS ÁSIAS D LOS LUIDOS NWONIANOS cuación d Movimino d Navi-Soks-Duhm oma Alnaiva d las cuacions ásicas aa luidos Nwonianos cuacions ásicas aa luidos Nwonianos Incomsibls cuación d Movimino d Navi-Soks cuación d Movimino d ul luidos Pfcos Incomsibl UAIÓN D RNOULLI...79 APÉNDI. VARIALS ADIMNSIONALS VARIALS ADIMNSIONALS VISOLASIIDAD INRODUIÓN MODLOS ROLÓGIOS PARA LA VISOLASIIDAD MODLOS VISOLÁSIOS Modlo d Maxwll Modlo d Klvin Modlo d ugs GNRALIZAIÓN D LOS MODLOS D MAWLL Y KLVIN Gnalización dl Modlos d Maxwll n Si Gnalización dl Modlo d Klvin n Paallo Gnalización dl Modlo d Maxwll n Paallo Gnalización dl Modlo d Klvin n Si ORMA D OPRADOR DIRNIAL D LA LY ONSIUIVA RPRSNAIÓN INGRAL D LAS UAIONS ONSIUIVAS VISOLÁSIAS unción d luncia Lna unción d Rlajación Pinciio d la Suosición d olzmann. Rsnación Ingal Rlación n la unción d luncia Lna y la unción d Rlajación GNRALIZAIÓN D LA RPRSNAIÓN INGRAL A RS DIMNSIONS PROLMA D VALOR D ONORNO INIIAL. PRINIPIO D ORRSPONDNIA MÁNIA DL DAÑO ONINUO INRODUIÓN MODLO D DAÑO ISÓROPO N DORMAIÓN ININISIMAL Dscición dl Modlo d Daño Isóoo n Una Dimnsión cuación onsiuiva Modlo d Daño Isóoo n s Dimnsions ngía Lib d Hlmholz Disiación d ngía Inna y Ly onsiuiva Ingdins dl Modlo d Daño Ly d Ablandamino/nducimino nso onsiuivo angn d Daño Isóoo Las Nomas Modlo Siméico acción omsión Modlo I...8

8 II MÁNIA DL MDIO ONINUO: MODLOS ONSIUIVOS Modlo d Daño Sólo acción Modlo II Modlo d Daño no Siméico Modlo III DAÑO ISÓROPO GNRALIZADO ngía Lib d Hlmholz nsions fcivas sféica y Dsviadoa onsidacions modinámicas nso onsiuivo angn d Daño MODLO D DAÑO-PLÁSIO N DORMAIÓN ININISIMAL Modlo d Daño-Plásico d Simó&u 987 n Puñas Dfomacions ngía Lib d Hlmholz Disiación d ngía. cuación onsiuiva. onsidacions modinámicas aacización dl Daño nso onsiuivo angn d Daño aacización d la Rsusa Plásica. nso onsiuivo angn Daño-Plásico MODLO D DAÑO-PLÁSIO DL IPO RAIÓN OMPRSIÓN ngía Lib d Hlmholz aacización dl Daño volución d la Vaiabl d Daño volución dl nso d Dfomación Plásica Disiación d ngía Inna DAÑO N DORMAIÓN INIA Modlo Unidimnsional d Guin & ancis Modlo d Daño lásico n D Indndin d la asa Vaiabl d Daño. volución dl Daño Modlo d Daño-Plásico d Simó & u ngía Lib d Hlmholz Disiación d ngía. cuación onsiuiva. onsidacions modinámicas aacización dl Daño nso onsiuivo angn d Daño aacización d la Rsusa Plásica. nso onsiuivo angn d lasolásico fcivo nso onsiuivo angn Daño-Plásico Modlo d Daño-Plásico u ngía Lib d Hlmholz Disiación d ngía. cuación onsiuiva. onsidacions modinámicas aacización dl Daño. nso onsiuivo angn d Daño nso onsiuivo angn d Daño aacización d la Rsusa Plásica. nso onsiuivo angn lasolásico nso onsiuivo angn d Daño-Plásico...76 ILIOGRAÍA...79 ÍNDI MÁIO...87

9 Inoducción Inoduccion Mamáicamn l oósio d las cuacions consiuivas s sablc conxions n los camos cinmáico émico y mcánico. Rsumimos a coninuación las cuacions obnidas d las lys fundamnals d la mcánica dl mdio coninuo: cuacions ásicas d la Mcánica dl Mdio oninuo cuación d oninuidad Pinciio d la consvación d la masa cuacions d Movimino Pinciio d la consvación dl momno linal Simía dl nso d nsions d auchy Pinciio d la consvación dl momno angula cuación d ngía Pinciio d la consvación d la ngía Dsigualdad d noía Pinciio d la Ivsibilidad onfiguación Acual D D + v x + b v& x u& : D + 4 x & x + : D u& x 5 cuacions ásicas d la Mcánica dl Mdio oninuo onfiguación d Rfncia cuación d oninuidad D D cuacions d Movimino & P + V b S + b V & 6 7

10 MÁNIA DL MDIO ONINUO: MODLOS ONSIUIVOS 4 igua : Movimino d cuo ígido..5 l Pinciio d la Disiación Las cuacions consiuivas dbn cumli la dsigualdad d noía aa odo ocso modinámicamn admisibl. aacización d las cuacions onsiuivas aa un Maial Siml Paa un maial molásico siml las vaiabls d sado son: l gadin d dfomación la maua y l gadin d maua. Asumimos u y P configuación d fncia son dminados o la hisoia d y y o sus valos acuals o l Pinciio dl Dminismo y o l Pinciio d la Acción Local. sas canidads vinn xsadas a avés d un conjuno d uncionals: ˆ ˆ ˆ ˆ P P dond sna la hisoia d hasa l imo acual sindo. Admás vificamos u ˆ ˆ son funcionals d valo-scala ˆ s un funcional d valo-vco y Pˆ s un funcional d valo-nso d sgundo odn. nindo n cuna l Pinciio d la Disiación la dsigualdad d lausius-duhm db s saisfcha aa odo ocso modinámico. Paa un sisma homogéno los funcionals dscios n sán indndins d : * obsvado x + * Q c

11 INRODUIÓN 5 ˆ ˆ ˆ ˆ P P Rsusa d un maial molásico siml homogéno NOA: Las funcions con sombo ˆ funcionals son disinas d las funcions u sán a la izuida d la igualdad s dci ˆ oociona l valo acual d nindo n cuna oda la hisoia d los agumnos d ˆ. Sgún l inciio d objividad las cuacions consiuivas dbn s invaians bajo un movimino d cuo ígido dl maial n un invalo dado d imo. Lugo las cuacions consiuivas dbn cumli u: ˆ ˆ * * * * * * * * * * * ˆ ˆ P P dond * sna l nso bajo la ly d ansfomación n los dos sismas v Objividad d nsos -Vol.. onsidmos la asa d la ngía lib d Hlmholz :. : & & & La dsigualdad d noía n la configuación d fncia fu obnida n l caíulo 4- Vol. como: [ ] + & & & P : 5 dond s la ngía lib d Hlmholz o unidad d masa s la noía scífica o unidad d masa y P s l im nso d nsions d Piola-Kichhoff. Rmlazando 4 n la dsigualdad d noía 5 obnmos u: & & & & & & P P.. : : : 6 uya dsigualdad s db cumli aa cualui ocso modinámico.

12 INRODUIÓN 9 Podmos xsa las cuacions consiuivas n la configuación acual dfomada nindo n cuna u l Pim nso d nsions d Piola-Kichhoff sá lacionado con l nso d nsions d auchy P : P P 4 Admás nindo n cuna u s cuml la lación. D sa mana xsamos las cuacions consiuivas n la configuación acual como: cuacions consiuivas aa un maial molásico siml onfiguación acual 5 igua : Dscomosición ola o la dcha. x U R U configuación d fncia configuación acual R R Q U U ˆ ˆ S b

13 INRODUIÓN [ ] [ ] U R Q U R Q Q Q Q Q * * * * * * 4 Adoando u R Q y considando la simía dl nso U U sula: [ ] [ ] * U U R U U U R U R R U R R R U R Q U R Q Q 4 Lugo aa cumli l inciio d la objividad las cuacions consiuivas udn s xsadas como: U cuacions consiuivas aa un maial molásico siml onfiguación acual 4 aacización d las cuacions onsiuivas aa un Maial moviscolásico onsidmos un maial Romano al. 6 u nga l siguin comoamino:! Su sado d nsión dnd d la dfomación local y d la maua ;! nómno d disiación ficción inna sug cuando una a dl sisma sá n movimino laivo d co con oa a dl sisma. n s caso la susa dl maial dndá dl gadin sacial d la vlocidad x x v & l y d la maua. Obsvmos ahoa u los funcionals dndán ambién d la hisoia d & : ˆ ˆ ˆ ˆ & & & & P P 4

14 INRODUIÓN 5 ˆ d d S & ˆ & cuacions consiuivas aa un maial molásico siml onfiguación acual 6 con & & D. 4 cuacions onsiuivas con Vaiabls Innas Las cuacions consiuivas scias n éminos d uncionals d la hisoias d y son muy gnals. Una alnaiva ficaz al dl uncional basado n la hisoia s adoa la dnominada modinámica con vaiabls innas. s méodo osula u l sado acual d un sólido inlásico dfomado ud s dminado o los valos acuals d y y o un conjuno d vaiabls innas α i. La hisoia d dfomación sá indicamn incluida n la volución d las vaiabls innas. D sa foma las cuacions consiuivas udan dfinidas o: αi α P P α α dond α i i L n s un conjuno d n vaiabls innas. sas vaiabls udn s scalas vcos o nsos d odn suio. La consisncia d la oía con vaiabls innas juno con la dsigualdad d lausius- Duhm oocionan condicions u dbn cumli las cuacions consiuivas n los ocsos u nvulvn disiación d ngía. Paindo ya dl inciio d u la ngía lib d Hlmholz no dnd dl gadin d maua la ngía lib 6 vin xsada como: dond α { α } i i i 6 αi 6 i L α n son las vaiabls innas u s dbn añadi aa caaciza l oblma ésas udn s scalas vcos o nsos d odn suio. La sncia d vaiabls innas obliga a inclui nuvas cuacions n l modlo. sas cuacions adicions al igual u l so d las u gobinan l fnómno solo dndn dl sado modinámico dl uno n cusión o lo ano son d naualza local.

15 8 MÁNIA DL MDIO ONINUO: MODLOS ONSIUIVOS MÁNIA OMPUAIONAL SRUURA LAORAORIO Pousa d un MODLO ONSIUIVO Pousa d nsayo Poblma d Valo d onono Inicial PVI SOLUIÓN NUMÉRIA Daos d nada Simula d foma cisa los nsayos d laboaoio? NO Nuva ousa d nsayo Posibilidad NO Posibilidad SI Simula l comoamino al d la sucua? Simulación numéica igua : l modlo consiuivo dno d la Mcánica omuacional.

16 INRODUIÓN 9 n l Aéndic A s hac una uña inoducción al comoamino d algunos maials y los nsayos más snaivos así como los aámos mcánicos u son obnidos n cada nsayo. 6 onnido dl Libo s libo sá dividido n sis caíulos. l caíulo HIPRLASIIDAD sá ddicado a modlos Hilásicos dond hacmos un lanamino uamn mcánico sin consida l fco émico ni l fnómno d hisésis. S hac un lanamino gnal y a coninuación aiculaizamos a modlos más sncillos. ambién n s caíulo lanamos vaios modlos hilásicos u odmos ncona n la liaua als como: Modlo d sólido No-Hookano Modlo io-goma d Ogdn Modlo d Hadamad Modlo d Moony-Rivlin Modlo d Yoh Modlo d Auda-oyc Modlo d laz-ko Modlo d Sain-Vnan-Kichhoff Modlo d Gn Modlo sadísico y l Modlo d 8 aámos. n l caíulo hablamos d modlos u innan sna l fnómno d PLASIIDAD sin consida l fnómno émico. n s caíulo s ud difncia dos as claas: lasicidad n uñas dfomacions y lasicidad n gands dfomacions uilizando la dscomosición mulilicaiva dl gadin d dfomación. l caíulo sá ddicado al sudio d fnómnos émicos: RMOLASIIDAD Y RMOPLASIIDAD. n l caíulo 4 namos n l dominio d los LUIDOS dond aamos d dscibi las cuacions d gobino d los fluidos Nwonianos. Una vz ya conocida la oblmáica d sólidos lásicos y d fluidos n l caíulo 5 VISOLASIIDAD damos inoducción a una nuva clas d maial u sna las caacísicas d los sólidos y d los fluidos simulánamn: los maials viscolásicos. n l caíulo 6 inoducimos los modlos u sán lacionados con la MÁNIA DL DAÑO ONINUO.

17 A. Poidads Mcánicas Andic A Poidads Mcanicas A. omoamino d los Sólidos n 66 l invsigado inglés Rob Hook dscubió u aa muchos maials sólidos los dslazaminos an oocionals a la fuza alicada sablcindo así la noción d lasicidad linal o no n l snido d nsión-dfomación. Dicha oba sólo fu ublicada n 678. u l suizo mamáico acob noulli uin obsvó u la mana adcuada d dscibi l cambio d longiud a oocionando una fuza o unidad d áa nsión como una función dl alagamino o unidad d longiud dfomación v igua A.. fuza/momno nsión Ly consiuiva ε dfomación dslazamino igua A.: Rlación nsión-dfomación.

18 APÉNDI A: PROPIDADS MÁNIAS 7 Dndindo d la lación consiuiva los fluidos udn s clasificados como:! luido Nwoniano Un fluido Nwoniano s caaciza o sna una lación linal d la nsión angncial viscosa con l nso asa d dfomación. omo jmlo d fluidos Nwonianos odmos cia: agua aci u obdcn la ly d fluido Nwoniano incomsibl.! luido No-Nwoniano Soksianos Un fluido No-Nwoniano s caaciza o sna una lación no linal d la nsión angncial viscosa con l nso asa d dfomación. omo jmlo d fluidos No-Nwonianos odmos cia: sang salsas. A. Maials Viscolásicos Ddicamos l caíulo 5 al lanamino d cuacions consiuivas d los maials viscolásicos. Paa nnd s comoamino odmos hac un ximno muy sncillo. Po jmlo cogmos un chicl usado y los siamos d al foma u n una xmidad s concn la mayo a dl chicl. Lo siuamos n osición vical d mana u la única fuza dl sisma sa la gaviaoia v igua A.. Vamos a obsva u con l imo l chicl mzaá a dfomas y sin hab añadido ninguna fuza al sisma. as un cio imo dfomándos coamos la xmidad uiamos la fuza y obsvamos u hay una a d la dfomación u s cua insanánamn y admás vificamos u con l imo u hay una a d la dfomación u s cua lnamn. s dci sos maials inn la caacidad d almacna ngía mcánica como los sólidos lásicos y ambién inn la caacidad d disia ngía sgún las lys d fluidos dbido a la viscosidad. Lugo a la hoa dl lanamino d la ly consiuiva d sos maials nmos u n n cuna sos fnómnos simulánamn. 4 5 >> 4 Rcuación lásica insanána Rcuación lna igua A.: omoamino viscolásico.

19 Hilasicidad Hilasicidad. Inoducción Nuso objivo n s caíulo s sablc las cuacions consiuivas aa aullos maials u s comoan sgún la oía d la hilasicidad ambién dnominada como lasicidad d Gn o lasicidad no-linal. Algunos maials como son los lasómos olímos goma maials biológicos aias músculos il aaaos dsinados al aislamino d la bas d sucuas udn sa somidos a gands dfomacions sin sna dfomación mann sin u haya disiación inna d ngía sindo así clasificados como maials hilásicos. n los invsigados u han uilizado l modlo consiuivo hilásico aa modla maials io goma odmos cia: Alxand 968 loa 975 Ogdn 984 Moman 986 Holzafl. n los maials hilásicos no s in n considación las dfomacions asadas y dichos maials snan un comoamino sin hisésis. ísicamn l maial lásico lasicidad linal hilasicidad gsa a su sado inicial una vz u dsaac la caga v igua.. n oas alabas l abajo almacnado duan l ocso d caga s cuado duan l ocso d dscaga s dci no hay disiación d ngía inna ocso vsibl. n s caíulo singimos nuso análisis a oías uamn mcánicas lugo vaiabls modinámicas als como maua o noía sán dsciadas.

20 4 MÁNIA DL MDIO ONINUO: MODLOS ONSIUIVOS I - zona lásica linal II - zona lásica no-linal dscaga caga I II ε igua.: uva nsión-dfomación d maials lásicos caga-dscaga.. cuación onsiuiva Un maial hilásico o maial lásico no-linal o maial lásico d Gn osula la xisncia d una función d ngía lib d Hlmholz Ψ dfinida o unidad d volumn d fncia. Paa ocsos vsibls Ψ s dnomina ngía oncial o dnsidad d ngía d dfomación función ngía d dfomación o oncial lásico. Paa maials hilásicos la función ngía d dfomación Ψ s sólo dndin dl gadin d dfomación i.. Ψ Ψ. n ocsos uamn d dfomación dond no s involucan cambios dbido a la noía maua la disiación inna D in s igual a co caacizando así un ocso vsibl. Lugo la dsigualdad d lausius-planck v caíulo 4 - Vol. aa ocsos vsibls ca n la siguin xsión: D : D Ψ & Ψ& in : D onfiguación acual D P : & Ψ& Ψ& P : & onfiguación d fncia in. S : & & & Ψ Ψ S : & dond s l nso d nsions d auchy D s l nso asa d dfomación P s l im nso d nsions d Piola-Kichhoff S s l sgundo nso d nsions d Piola-Kichhoff y s l nso dcho d dfomación d auchy-gn. Rcuindo a las lacions conjugadas obnidas n l caíulo 4 - Vol.: dv { dv dv & dv & dv & : D : D : D S : S : P : dv P & dv : V V V V V V V. Podmos sumi u la asa d la ngía d dfomación ud s xsada como: & & & Ψ P : S : S : & : D Poncia nsional sindo l nso d dfomación d Gn-Lagang y l nso d nsions d Kichhoff.

21 4 MÁNIA DL MDIO ONINUO: MODLOS ONSIUIVOS ijmos u la condición.9 db cumlis aa cualui ocso modinámico. Lugo si fcuamos un ocso al u & > y a coninuación fcuamos un ocso & < la única osibilidad aa u siga sindo válida la condición.9 s cuando: Ψ S S Ψ. Análogamn odmos dmosa u: Ψ Ψ S. configuación d fncia R U configuación acual Ψ x Ψ Ψˆ * Q Ψ Q Q Q R U Ψ U Ψ Q Ψ QR U Ψ U R igua.: Objividad d la ngía d dfomación. nindo n cuna las lacions n los nsos d nsions visas n l caíulo - Vol. odmos aun xsa las cuacions consiuivas como:! unción dl nso d nsions d Kichhoff : S Ψ Ψ.

22 5 MÁNIA DL MDIO ONINUO: MODLOS ONSIUIVOS onfiguación d fncia onfiguación acual P & ij K ijkl Psudo-nso angn lásico K K ijkl ijkl Ψ ijkl an jl k & i kl + S lj δ ik x RLAIONS ASAS D NSIÓN - DORMAIÓN & an S : & NSORS ANGNS LÁSIOS " o Τ ij ij ij L Lˆ A ijkl ijkl ijkl D D D kl kl kl nso angn lásico maial an Ψ S Ψ S 4 nso angn lásico sacial L Lˆ ijkl ijkl con H ijkl L jn ijkl im ljδ 4 + H ik an mn ijkl + kj k δ il l + ik δ jl + nso angn lásico insanáno A ijkl im jn an mn k l L il ijkl δ jk igua.: nsos consiuivos angns lásicos.

23 HIPRLASIIDAD III III III III III III.6 dond hmos uilizado u III III II I. Adicionalmn obnmos u: P I I ~ + + ~ kl ij ijkl kl ij jl ik kl ij kl ij kl ij kl ij I δ δ.7 Hmos dfinido así l nso d cuao odn P : I P I P.8 Llamamos P al nso oycción con sco a la configuación d fncia Holzafl. igua.4: Dscomosición mulilicaiva dl gadin d dfomación a isocóica y a voluméica. x vol ~ vol ~ configuación d fncia configuación acual dilaación ua ~ ~ ~ b vol vol vol vol b ~

24 HIPRLASIIDAD 65 Ψ vol vol vol Ψ ~ Ψ ~ ~ S ~ vol ~ dilaación ua Ψ iso ~ ~ ~ Ψ ~ vol vol ~ Ψ Ψ + Ψ configuación d fncia S Ψ vol S ~ S con S + ~ vol vol vol Ψ ~ ~ S S P : S configuación acual x vol Ψ Ψ igua.5: Dscomosición mulilicaiva dl gadin d dfomación a isocóica y a voluméica. Asumimos la dscomosición adiiva d la ngía d dfomación n una a isocóica y n una voluméica: ~ ~ vol vol Ψ Ψ + Ψ ~ ~.4 vol vol Ψ Ψ + Ψ Hacindo la divada moal d la xsión d ngía.4 obnmos: & ~ & ~ vol Ψ Ψ + Ψ& ~ ~ ~ vol Ψ d ~ Ψ : + d.44 ~ ~ vol Ψ ~ & d & ~ Ψ : + d nindo n cuna u & : & y la lación obnmos u:

25 9 MÁNIA DL MDIO ONINUO: MODLOS ONSIUIVOS χ + cχ + cχ + cχ 4 + cχ5 c.95.8 Hilasicidad Anisóoa ios jidos biológicos snan fibas dindo así su isooía. Si sas fibas inn una dicción fn u snamos o â configuación d fncia l jido vin caacizado como un maial ansvsalmn isóoo. Oos jidos como o jmlo l jido cadíaco udn sna las fibas sgún dos diccions fns clasificándolos así como jidos con dos familias d fibas v igua.8. â â ˆb a Una familia d fibas b Dos familias d fibas igua.8: Maials con fibas..8. Maial ansvsalmn Isóoo omo udó dmosado n l caíulo - Vol. una función isóoa Ψ Ψ ud s scia n función d sus invaians incials Ψ Ψ I II II I. Si ahoa la función s una función d un vco â y dl nso Ψ aˆ s ud dmosa u sa función s ud scibi n función d los siguins invaians: Ψ aˆ ˆ ˆ ˆ Ψ I II III a a a aˆ Ψ I II III I 4 I dond I y I son los sudos invaians d anisooía. Admás considando u la ngía s indndin dl snido d â nmos u Ψ aˆ ˆ Ψ a o llo odmos sna la ngía d dfomación o: Ψ Ψ aˆ ˆ.97 a Podmos dmosa u la función anio s objiva: Ψ aˆ aˆ Ψ Q Ψ Q Q Q Q Q aˆ aˆ aˆ Q Q aˆ.98

26 Plasicidad Plasicidad. Inoducción n un ocso d caga n égimn lásico la sucuación aómica no s v afcada caacizando así un ocso sin disiación d ngía inna. Una vz iada la caga l sólido vulv a su sado inicial. n cias class d maials si sguimos cagando l maial llgaá un nivl d caga al u la sucua aómica miza a sucuas dislocacions a una scala aómica lugo hay una disiación inna d ngía ocso ivsibl. La mayo a d la ngía sá uilizada aa aumna la maua libación d calo como conscuncia hay un aumno n l dsodn dl sisma aumno d la noía. Un aumno d la maua imlica ambién dilaación. A nivl macoscóico n maials dúcils como los mals sa sucuación aómica vin caacizada o una dfomación mann dfomación lásica. s dci si a coninuación l maial suf una comla dscaga s obsva u l maial cua a d la dfomación oal a la dfomación cuabl la dnominamos dfomación lásica v igua. udando con una dfomación mann u la dnominamos dfomación lásica. Los modlos consiuivos u innan sna s fnómno s dnominan Modlos d Plasicidad o Modlos lasolásicos. Pud sula comljo fomula un modlo consiuivo nindo n cuna odos los fnómnos osibls duan un ocso caacizado o lasicidad. n gnal un ocso u nvulv dfomación lásica vin caacizado o gands dfomacions oducción d calo y o la édida d la isooía dl maial n la zona lásica dbido a las fibas lásicas u s foman n dicha zona. Po aa cias class d maials l fco d la maua ud s dsciado y ambién l ocso d dfomación ud sa caacizado o sna dfomacions lásicas uñas fn a las lásicas udindo así alica la oía d uñas dfomacions caacizada

27 MÁNIA DL MDIO ONINUO: MODLOS ONSIUIVOS o un ocso isoémico. on sas simlificacions s da luga a la oía lásica d Plasicidad. Y vaios son los modlos d lasicidad dsaollados aa modla los maials. Y I - zona lásica II - zona d lasificación III - comla dscaga I Y II III I II Y ε - dfomación mann ε - dfomación lásica ε ε ε igua.: nsayo d acción siml - omoamino lásico. Muchos fuon los invsigados u imulsaon la oía d lasicidad como odmos cia: Rankin85 sca864 von Miss9 Pandl94 Russ9 Pag945 Hill95 Duck95 Koi95 Zigl959 Naghdi96 Moz967 n oos. Dsd d un uno d visa d la cinmáica la oía d lasicidad ha sido dsaollada considando:! Plasicidad con Puñas Dfomacions Dfomación Infinisimal: " Sin fco d la maua oía lásica d Plasicidad; on fco d la maua molasicidad n Puñas Dfomacions.! Plasicidad con Gands Dfomacions Dfomación inia: " Sin fco d la maua Plasicidad n Dfomación inia; on fco d la maua molasicidad n Dfomación inia.

28 PLASIIDAD n s caíulo vamos hac l lanamino d los modlos d lasicidad n l égimn d uñas y gands dfomacions v igua. sin n n cuna l fco d la maua ocso isoémico. Ans d la fomulación d modlos d lasicidad damos una inoducción a cios concos u sán imoans n l dsaollo dl caíulo. Mcánica dl Mdio oninuo Sólidos luidos Mulifísicos Gands dfomacions Dfomación inia Puñas dfomacions Dfomación infinisimal inmáica Plasicidad Modlos Viscosos Hilasicidad Hilasicidad Modlos d Daño... lasicidad Linal Ly onsiuiva oía d sucuas igua.: Visión gnal d la mcánica d sólidos.. omoamino d Sólido con Dfomación Plásica Un conco imoan n la oía d lasicidad clásica indndin d la asa s l conco d sufici d fluncia u dfin l sado nsional muliaxial n l umbal d dfomación lásica. Si l sado nsional s ncuna dno d la sufici d fluncia l cosondin cambio d dfomación sá uamn lásico. Dfomación lásica sólo sá osibl cuando l sado nsional s ncuna n la sufici d fluncia. Analizamos imamn la sufici d fluncia inicial ciio d fluncia y a coninuación como sa sufici voluciona duan l ocso d lasificación.

29 46 MÁNIA DL MDIO ONINUO: MODLOS ONSIUIVOS gión lásica inicial gión lásica xandida * Y 6 Y 4 5 ε ε ε Y * Y igua.5: omoamino lasolásico con nducimino isóoo. l modlo ológico u sna l comoamino lasolásico con nducimino isóoo vin caacizado o un mull y un disosiivo d ficción n aallo y un mull n si como s indica n la igua.6. K Y ε ε igua.6: Modlo ológico dl comoamino lasolásico con nducimino isóoo.

30 7 MÁNIA DL MDIO ONINUO: MODLOS ONSIUIVOS.7 Plasicidad n Dfomación inia Vaias oías han sido dsaolladas aa l lanamino d la oía d lasicidad con gands dfomacions. n llas odmos cia:! asada n la dscomosición mulilicaiva dl gadin d dfomación ousa o L969 n l ámbio d la Mcánica d Sólidos: Dscomosición Mulilicaiva dl gadin d dfomación.6! asada n la dscomosición adiiva dl nso d dfomación d Gn-Lagang ousa o Gn & Naghdi965: + Dscomosición adiiva dl nso d dfomación d Gn-Lagang.7! asada n la dscomosición adiiva dl nso asa d dfomación ousa o Nma-Nass98: D x D x + D x Dscomosición adiiva dl nso asa d dfomación.8 A coninuación hamos l lanamino d lasicidad con dfomación finia basada n la dscomosición mulilicaiva dl gadin d dfomación n una a lásica y una a lásica L 969 Simo 99 Simo&Hughs 998.

31 PLASIIDAD 7.8 Plasicidad n Dfomación inia asada n la Dscomosición Mulilicaiva dl Gadin d Dfomación.8. Rlacions inmáicas La dscomosición mulilicaiva dl gadin d dfomación vin dada o: Dscomosición Mulilicaiva.9 dond u: s la a lásica y s la a lásica v igua.45 lugo s cuml dx d d.4 Podmos obsva u imo fcuamos la ansfomación lacionada con sulando así d d configuación inmdia o configuación sin nsión. Y a coninuación fcuamos la ansfomación lacionada con sulando así dx d v igua.45. D la dscomosición mulilicaiva odmos obn las siguins lacions:.4 A coninuación vamos a sablc las vaiabls cinmáicas n la configuación inmdia y las lacions d ésas con las vaiabls n la configuación acual y d fncia. d configuación inmdia d configuación d fncia configuación acual x d x igua.45: Dscomosición mulilicaiva dl gadin d dfomación.

32 PLASIIDAD 75 igua.47: nsos d dfomación. l nso dcho d dfomación d auchy-gn configuación d fncia vin dfinido o y l nso izuido d dfomación d auchy-gn o V x b configuación acual. nindo n cuna la configuación d fncia y la inmdia dbido a la ansfomación v igua.45 odmos dfini los siguins nsos: Pa lásica dl nso dcho d dfomación d auchy-gn onfiguación d fncia.4 y su foma invsa:.4 Pudindo dfini la a lásica dl nso d dfomación d Gn-Lagang n la configuación d fncia como: Pa lásica dl nso d dfomación d Gn-Lagang onfiguación d fncia.44 Dfinimos ambién: V b Pa lásica dl nso izuido d dfomación d auchy-gn onfiguación inmdia.45 Obsvmos u y sán dfinidos n la configuación d fncia minas u b sá n la configuación inmdia v igua.48. l nso d dfomación d Almansi dfinido n la configuación inmdia vin dado o: x configuación d fncia configuación acual onf. Acual onf. Rf. U b c x b x c c x b V b b b b

33 MÁNIA DL MDIO ONINUO: MODLOS ONSIUIVOS 8 igua.48: Dscomosición mulilicaiva nsos d dfomación..8.. Dfomacions d los Difncials d Áa y d Volumn nindo n cuna la dfinición dl acobiano y la dscomosición mulilicaiva dl gadin d dfomación odmos obn u: d d d d.7 + U b b b V onf. In. onf. Rf. + configuación d fncia configuación inmdia onf. Acual onf. Rf. U b x b x c x b V onf. In. onf. Acual x configuación acual b + b

34 4 MÁNIA DL MDIO ONINUO: MODLOS ONSIUIVOS configuación inmdia voluméica lásica vol _ vol _ ~ configuación inmdia voluméica lásica ~ vol configuación d fncia vol vol ~ ~ vol ~ vol igua.54: Dscomosición mulilicaiva y dscomosición voluméica isocóica. configuación inmdia vol ~ vol Ψ Ψ b α Ψ x b b ~ ~ ~ configuación acual.8.8. omulación onsidando la ansfomación como una ansfomación Isocóica onsidamos a coninuación u la dfomación lásica ~ ~ s uamn isocóica: d d d d.45 on sa simlificación la xsión d ngía y d nsión udan:

35 molasicidad. molasicidad molasicidad molasicidad. Pocso Rvsibl Rcodmos dl caíulo 4-Vol. u la dsigualdad d lausius-duhm ud s xsada o: & x + : D u& x Dsigualdad d lausius-duhm configuación acual & + S : & u& Dsigualdad d lausius-duhm o. configuación d fncia & + P : & u& ijmos u x ya u l snido dl vco flujo d calo s sim conaio al snido dl gadin d maua x. Así odmos fomula la dsigualdad d la conducción d calo: x configuación acual Dsigualdad d la conducción d calo. configuación d fncia l conjuno d sa sicción. la dsigualdad d lausius-duhm. y. da luga a la Dsigualdad d lausius-planck:. Dsigualdad d lausius-planck D in & x + : D u& x configuación acual.4

36 MÁNIA DL MDIO ONINUO: MODLOS ONSIUIVOS 4 Rsumimos así odos los oncials modinámicos n la abla.. abla.: Poncials modinámicos. ngía inna scífica ngía lib d Hlmholz ngía lib d Gibbs nalía u S G S H u u S S G G S H H S S : + + u G u H G S : u + G H S :..5 Pocso Isoémico Isnóico Un ocso isoémico s caaciza o sna la maua consan duan un cambio n l sisma s dci &. Podmos ncona una buna aoximación d un ocso isoémico cuando l maial s un bun conduco d calo mals y sá somido a un ocso cuasi-sáico. Ya un ocso isnóico s caaciza o sna la noía consan & duan un cambio n l sisma. Podmos ncona una buna aoximación d un ocso isnóico cuando l mdio s un mal conduco d calo y las canidads vlocidad nsión dfomación vaían áidamn. Rommos algunas d las xsions obnidas aniomn: + c c u u u u u is S & & & :.5 y d la xsión d la asa d la ngía lib d Hlmholz: + c c S & & & :.6 on so nmos dos fomas d obn l nso d nsions: c c u is ; S S.7

37 8 MÁNIA DL MDIO ONINUO: MODLOS ONSIUIVOS. Poblma mo-mcánico Dsacolado n Puñas Dfomacions Paa cias sucuas Sólidos cuando la vaiación d la maua no s dmasiada lvada d al foma u las oidads mcánicas no vaín con la maua odmos aa l oblma mo-mcánico dsacolado. s dci odmos hac l análisis uamn émico sin n n considación la dfomación y dsués fcua l oblma mcánico nindo n considación unas dfomacions inicials dbido al cambio d maua v igua.. S u bx * S * x nˆ * * Poblma émico Poblma mcánico igua.: Poblma mo-mcánico dsacolado. S u bx + S * x nˆ omo viso aniomn las cuacions d gobino aa un maial molásico siml vinn dadas o: cuacions ásicas d la Mcánica dl Mdio oninuo onfiguación d Rfncia cuación d coninuidad D D cuacions dl Movimino P + b S + b Simía dl sgundo nso d Piola- Kichhoff & & V u & V & & V u S S ó P P

38 4 MÁNIA DL MDIO ONINUO: MODLOS ONSIUIVOS.5 molasicidad con Dscomosición Mulilicaiva dl Gadin d Dfomación Paa aa la molasicidad n dfomación finia n s aaado uilizamos la dscomosición mulilicaiva dl gadin d dfomación n una a lásica y n θ una a émica Lubada 4 v igua.5. Sgún Vujošvić & Lubada sa aoximación aa l oblma émico fu imamn inoducida o θ Sojanović. La ima ansfomación s dbido a dfinindo así una configuación θ inmdia u vin caacizada o la ausncia d nsión y a coninuación s fcúa una ansfomación dbido a. D sa mana l gadin d dfomación vin dado o: θ. - nso d nsions d auchy - nso d nsions d Kichhoff θ onf. In. θ onf. Rf. θ configuación inmdia θ configuación d fncia θ configuación acual x onf. Acual x x igua.5: Dscomosición mulilicaiva. Así como s dmosó n l caíulo d lasicidad la dscomosición mulilicaiva dl gadin d dfomación n una a lásica y oa lásica no s única. D igual mana s ud dmosa u la dscomosición mulilicaiva dl gadin d dfomación n una a émica y oa lásica an oco s única. OS.: n s aaado uilizamos la vaiabl θ aa sna la maua. D sa foma viamos confusión con la ansusa.

39 4 luidos 4 luidos 4. Inoducción n s caíulo inoducimos una ama imoan d la mcánica dl mdio coninuo la mcánica d fluidos u s dsina al sudio d los fluidos n movimino o n oso. Los fluidos udn s clasificados n: Líuidos luidos Gass Vaias son las áas d alicación d fluidos.g. moología ocanogafía aodinámica hidodinámica lubicación ingniía maíima n oas. ásicamn odmos dci u los sólidos udn sisi a una nsión angncial minas u los líuidos inn muy oca sisncia a la nsión angncial fluido viscoso j. aci o ninguna sisncia fluido no viscoso j. agua. ano los gass como los líuidos son maials consiuidos o moléculas aglomación d dos o más áomos u colisionan unas con las oas. Paa aa un fluido con las hiósis d la mcánica dl mdio coninuo las oidads como dnsidad sión y vlocidad dbn s aadas como funcions coninuas. l aamino d un sisma d moléculas como un mdio coninuo sá válido cuando s comaa l camino lib mdio d las moléculas Λ disancia mdia ans d choca con oas aículas con la longiud Λ caacísica dl sisma físico l. Al cocin n sas longiuds s l dnomina númo d Knudsn Kn. Si s númo s mucho mno u la unidad l dominio ud s aado como mdio coninuo caso conaio dbmos uiliza la Mcánica sadísica. on so odmos sablc u: l

40 5 Viscolasicidad 5 Viscolasicidad 5. Inoducción Los maials lásicos s caacizan o os caacidad aa almacna ngía mcánica sin u haya disiación d ngía. Sin mbago los fluidos viscosos Nwonianos n movimino ximnan disiación d ngía ya u no inn caacidad aa almacnala. n s caíulo aamos d un maial u sna simulánamn caacísicas d sólido y d fluido. s dci sudiamos un maial u ndá caacidad d almacna ngía mcánica sgún las lys d sólidos lásicos y simulánamn ndá caacidad d disia ngía mcánica sgún las lys d fluidos. A los maials u snan sos fnómnos los dnominamos Maials Viscolásicos. n los invsigados d maials viscolásicos odmos ncona n la liaua indly al. 976 hisnsn 98 n oos. n los maials viscolásicos la nsión y/o dfomación n un uno maial vaía d foma significaiva con l imo hasa cuando n l sisma imuso inicialmn s manin consan. n laboaoio s ud obsva dos fnómnos viscolásicos:! bajo una nsión consan s obsva u la dfomación s una función dl imo ε ε lo u dnominamos fnómno d luncia;! bajo una dfomación consan la nsión s una función dl imo lo u dnominamos fnómno d Rlajación. uando cagamos una sucua.g. una columna d homigón s oduc una dfomación inicial dfomación lásica insanána. S ha comobado u la dfomación cc con l imo s dci la dfomación s dndin dl imo ε caacizando así l fnómnos d fluncia v igua 5.. n oa alabas n la cuación consiuiva la nsión sá dndin d la asa d la dfomación ε&. Oo jmlo sía

41 98 MÁNIA DL MDIO ONINUO: MODLOS ONSIUIVOS a nsión ε b dfomación igua 5.6: Rsusa aa dos asos d caga Modlo d Klvin. 5.. Modlo d ugs l modlo d ugs o modlo d cuao lmnos sá consiuido o l modlo d Maxwll y d Klvin disusos n si v igua 5.7. l modlo d ugs s caaz d inclui s modlos d susas viscolásica básicos: una susa insanána lásica dbido al mull ; un flujo viscoso dbido al amoiguado v ; y finalmn una susa lásica adada dbido al modlo d Klvin. v v ε ε ε ε igua 5.7: Modlo d ugs.

42 6 Mcánica dl Daño oninuo 6 Mcanica dl Dano ~ oninuo 6. Inoducción l émino Mcánica dl Daño oninuo ha sido uilizado aa modlos u s caacizan o la édida d igidz s dci ducción dl módulo consiuivo scan. Los modlos d daño han sido uilizados aa simula divsos maials fágils dúcils u básicamn s caacizan o sna una dgadación ivsibl dl maial. ísicamn la dgadación d las oidads mcánicas dl maial vin caacizada o l ocso d iniciación y ccimino d micodfcos als como micooos y micofisuas. n l abajo iono d Kachanov 958 s ha inoducido l conco d nsión fciva uilizando l daño coninuo n l conxo d oblmas lacionados con la fluncia n mals. Rabonov 96 ha dado significado físico oonindo la mdición d la ducción dl áa d la scción a avés d la vaiabl d daño. La mcánica dl daño coninuo s ha onado una hamina imoan y s una oía consisn basada n ocsos modinámicos ivsibls dsigualdad d lausius-duhm. l fomalismo modinámico fu dsaollado o Lmai&haboch 985. n las conibucions imoans aa la mcánica dl daño odmos cia: Mazas 986 Mazas&Pijaudi- abo 985 haboch 979 Simo&u 987 ab u989 Oliv al. 99 Oll al. 99 n oos. Los modlos d daño dsd d un uno d visa comuacional son muy aacivos o sna algoimos sncillos y muy saisfacoios aa oblmas d gands dimnsions. xondmos algunos modlos d daño básicos u sivn aa sudia l mcanismo dl fallo y a ai d sos modlos odmos fomula modlos más comljos aa la caacización d maials scíficos.

43 MÁNIA DL MDIO ONINUO: MODLOS ONSIUIVOS 6. Modlo d Daño Isóoo n Dfomación Infinisimal Los llamados Modlos d Daño oninuo han sido amliamn acados aa simula comoaminos d maials u snan dgadación d las oidads mcánicas dbido a la sncia d uñas fisuas u s oagan duan l ocso d caga. Paa caaciza s fnómno inicialmn hamos l lanamino dl modlo n una dimnsión D y dsués xaolamos al caso idimnsional D. on lo u sca a la cinmáica dl movimino l sudio n s aaado s dsaollaá n l égimn d uñas dfomacions nindo como bas las noas d class dl Pof. Oliv Univsia Poliècnica d aalunya. 6.. Dscición dl Modlo d Daño Isóoo n Una Dimnsión Suongamos u una oba sá somido a acción igua 6. cuya nsión aan acúa n una scción s. Dbido a la sncia d fallos sólo sá considada la gión no dañada s dci la scción fciva s dond acúa la nsión fciva. - nsión fciva - nsión aan s igua 6.: uo d uba somido a acción. Lugo hacindo l uilibio d fuzas n l lmno d la igua 6. s db cumli u: s s 6. La xsión 6. ambién ud s scia sin u al su validz como: s s s s s s + s s s s d s dond s d s la scción dañada o sufici dañada. 6.

44 MÁNIA DL MDIO ONINUO: MODLOS ONSIUIVOS n una cuva nsión-dfomación snaiva v igua 6. duan la dscaga d & l módulo scan d la cuva s dg d y as la comla dscaga dl maial és no snaá siduo d dfomación v igua 6.. aga Y Lími lásico dg d Dscaga / aga ε ε igua 6.: uva nsión dfomación. Podmos sumi las caacísicas fundamnals dl modlo d daño unidimnsional: d ε ; d d si ε < ε 6.8 Paindo d la lación anio odmos obn la xsión d la ngía n l sisma. omo sabmos la ngía aa l caso uniaxial vin dada o: ε 6.9 d ε ε Ψ d Ψ Ψ 6.. Modlo d Daño Isóoo n s Dimnsions La bas d los modlos d daño consis n dfini una ansfomación n l sacio físico al y un sacio ficicio sacio fcivo n l u l maial sá inalado v igua 6.. sacio ísico Ral sacio fcivo nsión fciva d ε ε igua 6.: sacio físico y fcivo. omo s ha dscio aniomn l modlo dnd d la volución d una única vaiabl scala aámo d daño o d dgadación d. so significa u s suon un comoamino mcánico d las micofisuas o micooos indndin d la

45 6 MÁNIA DL DAÑO ONINUO Ingdins dl Modlo d Daño l modlo consiuivo d daño uda oalmn dminado si s conoc l aámo d daño d aa cada insan d imo dl ocso d caga caga dscaga o caga aa lo cual dfinimos los siguins lmnos d la cuación consiuiva:! La noma dl nso d nsions o d dfomacions;! Sufici d daño y l ciio d daño. La sufici d daño dfin l lími lásico y l ciio d daño sablc cuando l maial sá n un ocso d daño o n un ocso lásico y;! Un conjuno d lys d volución aa las vaiabls innas. Noma n l sacio d nsions y d Dfomacions La noma s una mdida d disancia lugo un scala. omo vmos más adlan aa mjo snación dl maial s dfinián oas nomas d foma u udan s mladas aa disinos maials. A coninuación dfinimos una osibl noma n l sacio d nsions y n l sacio d dfomacions ε ésa úlima ambién conocida como dfomación uivaln: : : ; ε ε ε : : ε Ψ d ε 6. y ε son cuacions d suficis lisoids u caacizan l sado nsional acual n un uno. La dmosación d 6. sigu a coninuación: ε : ε : : : ε d : ε d : ε d : ε : ε d ε 6. ε G ε ε d ε ε ε a sacio d dfomación b sacio d nsión igua 6.5: sado d nsión y d dfomación n l sacio incial.

46 4 MÁNIA DL MDIO ONINUO: MODLOS ONSIUIVOS 6. Daño Isóoo Gnalizado Obsvmos u l nso consiuivo lásico ud s scio n función d los siguins conjunos d aámos mcánicos λ µ ν κ G : λ + µ I ν ν + I + ν ν + ν κ 44 + µ I a voluméica a isocóica 6. dond -módulo d Young ν - coficin d Poisson λ µ consans d Lamé κ -módulo voluméico y G µ - módulo d lasicidad ansvsal. Paa l modlo d daño isóoo l nso consiuivo dgadado uda: dg d dg ν d ν d + I + ν ν + ν ν ν + I + ν ν + ν dg 6. Obsvmos u aa l modlo d daño isóoo la vaiabl d daño sólo afca una d las oidads mcánicas l módulo d Young. Vificamos ambién u la misma vaiabl d daño afca d igual mana ano la a sféica como la dsviadoa: dg d d κ + d µ I 6. Un modlo dscio o aol al. 998 hac una gnalización dl modlo d daño isóoo considando la dgadación indndin d la a sféica y d la a dsviadoa dl nso consiuivo lásico uiindo así dos vaiabls d daño indndins. A coninuación s xon s modlo. l nso consiuivo lásico xsado n una a sféica voluméica y una dsviadoa n noación indicial uda: δ δ + δ δ δ δ ijkl κδ ijδ kl + µ ik jl il jk ij kl 6. dnoando o 6. como: V ijkl δ ij δ D V P y o P + P kl ijkl δ ikδ jl δ ilδ jk ijkl scibimos la lación ijkl κp + µ P κp V V ijkl + µ P D D ijkl 6.4

47 48 MÁNIA DL MDIO ONINUO: MODLOS ONSIUIVOS 6.4 Modlo d Daño-Plásico n Dfomación Infinisimal La oía clásica d daño ha sido modificada y xndida dond s incluy comonns d dfomación lásica sidual. n los invsigados n sa lína odmos cia: azan&kim 979 Dagon&Móz 979 Oiz 985 Simo&u 987ab n oos. A coninuación xondmos l modlo d daño-lásico considando un ocso isoémico y n égimn d uñas dfomacions dfomación infinisimal. ásicamn un modlo d daño-lásico vin caacizado o sna dfomacions siduals dfomacions lásicas y ambién la dgadación dl nso consiuivo scan v igua 6.. aga con dgadación Y Lími lásico d Dscaga / aga lásica ε ε igua 6.: uva nsión dfomación. Vaios modlos d daño-lásico han sido dsaollados. iamos algunos u inn como uno d aida la dfinición d la ngía lib:! Uno d los modlos l modlo daño-lásico acolado consida la dscomosición adiiva d la ngía n una a lásica y una lásica dond ambas ngías son funcions d la vaiabl d daño: Ψ Ψ ε d + Ψ α d 6.! l óximo modlo consida lo anio más una ngía d daño sólo n función d la vaiabl d daño: d d Ψ Ψ ε d + Ψ α d + Ψ α 6.4! n s modlo s consida una dscomosición d la ngía n una a lásica función d Ψ ε d y n una lásica sólo función d Ψ α : Ψ Ψ ε d + Ψ α 6.5

48 6 MÁNIA DL DAÑO ONINUO Daño n Dfomación inia Los modlos hilásicos clásicos visos n l caíulo no son caacs d simula l comoamino d cios olímos u vinn caacizados o la édida d igidz cuando sos maials sán somidos a gands dslazaminos. s fnómno d disiación s conoc como fco Mullins cuyo fnómno fu sudiado o divsos invsigados uch Mullins 969 Souza No al. 998 n oos. n un nsayo uniaxial cíclico l fco Mullins vin fnomnológicamn caacizado o la dgadación d las oidads lásicas v igua 6.4. Duan l inicio dl ocso d caga [ ] l camino coido s A v igua 6.4 y la dscaga s hac sgún l camino y as la comla dscaga l maial cua oalmn su sado inicial. La sgunda caga s fcuaá sgún l camino sguido o l camino. Obsvmos u aa modlos hilásicos clásicos la caga s fcuaía o l camino A y la dscaga s fcuaía o l mismo camino A. A D ε ε ε igua 6.4: fco Mullins Modlo Unidimnsional d Guin & ancis Guin & ancis98 ousion una oía siml unidimnsional n la cual l sado m acual d la vaiabl d daño vin caacizada o la dfomación axil máxima ε : ε m { ε s } max 6. s n s modlo Guin y ancis adoaon una cuación consiuiva xsando la nsión uniaxial como una función dl sado d dfomación acual y dl daño como: m f ζ g ε 6. dond g ε m s dnominada d cuva vign y ζ s la dfomación laiva:

49 Indic maico aoóico... 6 alo scífico oficin d dilaancia viscosa oficin d siamino émico oficin d xansión émica oficin d viscosidad voluméica oficin angncial viscoso ondición d nomalización ondición d Soks onsans d Lamé adiabáicas isoémica iio d daño... 8 iio d fluncia... iio d máxima nsión d co... uva d fluncia... 5 uva masa d daño uva vign d daño... 6 D Daño coninuo... Daño isóoo... Daño-lásico Dfomación uivaln... 7 Dfomación lásica uivaln Divada d Li Dscomosición adiiva dl nso d dfomación d Gn-Lagang 7 dl nso asa d dfomación... 7 Dscomosición adiiva dl nso d dfomación infinisimal Dscomosición Mulilicaiva dl gadin d dfomación Dsigualdad d lausius-planck... 9 d la conducción d calo... 9 d lausius-planck daño-lásico... 6 Dsigualdad d lausius-planck Disiación daño isóoo... daño-lásico Duck-Pag cuación d Navi-Soks cuación d noulli... 8 cuación d sado cinéica... 6 cuación d flujo d calo... cuación d Movimino d ul cuacions inmáicas o Goméicas... 8 cuacions onsiuivas d nsión daño isóoo... 4 linalizadas...6 maials hilásicos... 4 cuacions d movimino fco Mullins... 6 lasicidad d Gn... 9 lasicidad no-linal... 9 ngía inna scífica... lib d Gibbs... lib d Hlmholz... lib d Hlmholz daño isóoo... lib d Hlmholz daño-lásico nalía... noía... sacio d nsión d Haigh-Wsgaad... 4 sabilidad d Duck... 7 luncia luido incomsibl... 6 luido fco... 6 luidos Nwonianos lujo ioacional... 6 lujo no convcivo... 7 uzas modinámicas uzas viscosas... 7 unción d Havisid... 89

50 88 MÁNIA DL MDIO ONINUO: MODLOS ONSIUIVOS unción d lajación... 9 unción signo H Hi-sufici d fluncia... Hub-von Miss I Ingals d Siljs... acobiano lásico lásico... 8 asa... 7 émico... 4 L Ly d oui d conducción d calo Ly cinéica d sado... 6 Ly d Navi-Poisson Ly consiuiva daño isóoo... 5 Ly d Ablandamino/nducimino... M Maial vsibl... 4 Miss-Hub... 6 Modlo d daño isóoo... 5 Modlos hilásicos con daño... 6 Modlos ológicos Módulo d ablandamino/nducimino... scan lásico dañado... consiuivo angn lasolásico Mulilicado lásico... 4 N Noma d obnius... Númo d Knudsn Númo d Rynolds... 6 P Paámo d ablandamino/nducimino... d consisncia d daño... d daño... Paénsis d Macauly Plasicidad con nducimino isóoo con nducimino cinmáico... 9 con nducimino isóoo y cinmáico... 4 fca Poncia disiada...7 Poncia cuabl...69 Poncia nsional...69 Poncial lásico...4 Poncial modinámico... 4 Psión hidosáica Psión modinámica...59 Pinciio d cosondncia...8 Pinciio d la suosición d olzmann... Pocso isnóico...4 Pocso isoémico...4 R Rgla d flujo...4 Rlación d Nanson...6 Rlacions d Duhaml-Numann... Rlajación...87 S Sólido No-Hookano...78 Sufici d daño...65 Sufici d fluncia... 4 d Duck-Pag... d Moh-oulomb...7 d Rankin...6 d von Miss...9 Sufici d von Mis...6 asa d o-rivlin...86 d aumann-zamba...46 d Oldoyd d nsions d usdll...47 nsión mdia...59 nsión fciva...9 nsions fcivas daño isóoo...5 daño-lásico...49 dsviadoa...44 sféicas...44 nso calo lan...6 d conducividad émica... d dfomación d Almansi...74 d dfomación d auchy...74 d dfomación d Gn-Lagang...74 d xansión émica... d nsions émicas...9 dcho d dfomación d auchy-gn...74 dcho d siamino...74 izuido d dfomación d auchy-gn...74 izuido d siamino...74 nso consiuivo lásico adiabáico...5 isoémico nso consiuivo scan...6 nso consiuivo angn daño gnalizado...47 daño-lásico...54 d daño isóoo...7 d daño...6