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1 Índice generl 2. Cmpo electrostático en el vcío, Introducción Crgeléctric Conductores islntes: inducción electrostátic Electriciónporromiento Crgdeconductoresporinducciónelectrostátic LedeCoulomb Elcmpoeléctrico Cmpo eléctrico debido un distribución de crgs puntules: principio de superposición Línesdefuerdelcmpoeléctrico Distribucionescontinusdecrg.Densidddecrg Cmpoeléctricodebidodistribucionescontinusdecrg Cmpoeléctricodebidodistribucioneslinelesdecrg Cmpo eléctrico debido distribuciones superficilesdecrg Cmpoeléctricodebidodistribucionesvolúmicsdecrg Flujodecmpoeléctrico LedeGuss CálculodelcmpoeléctricomedintelledeGuss Problemsconsimetrípln Problems con simetrí cilíndric Problemsconsimetríesféric QuiénfuequiénenElectromgnetismo? ChrlesA.Coulomb Versión 2 2 Formto electrónico:

2 Tem 2 Cmpo electrostático en el vcío, Introducción En l nturle se suelen considerr cutro tipos de fuer distintos: débil, fuerte, grvitrori electromgnétic. El objeto del electromgnetismo es estudir los fenómenos producidos por crgs /o corrientes eléctrics. L electrostátic es l prte del electromgnetismo que estudi los fenómenos producidos por crgs eléctrics en reposo o equilibrio Crg eléctric Concepto de crg eléctric: L crg eléctric es un propiedd intrínsec de ls prtículs subtómics (protones, electrones, etc.), de igul mner que lo es tmbién su ms. L crg del protón es positiv de vlor e ldel electrón negtiv e, siendo e l unidd fundmentl de crg. Dos prtículs con crg de signo opuesto (un positiv otr negtiv) se tren, sin embrgo, si tienen crg del mismo signo (mbs positiv o mbs negtiv) se repelen. Constitución de l mteri: Cd átomo posee núcleo corte. El núcleo es pequeño msivo, contiene protones neutrones. Los protones están crgdos positivmente los neutrones no poseen crg. Llmmos elemento ls sustncis constituids por átomos todos igules. El número tómico de un elemento (Z) eselnúmerodeprotones que h en un átomo. L corte es l on que rode l núcleo. Tiene un número Z de prtículs crgds negtivmente llmds electrones. L ms del protón es proimdmente 2 veces mor que l ms del electrón. L crg del protón del electrón son igules, pero de signo opuesto, por tnto, el átomo es eléctricmente neutro. Cuntición de l crg: En l nturle, tods ls crgs se presentn como múltiplos enteros de l crg e. Enconsecuenci, culquier crg q que encontremos en l nturle puede epresrse como q = ±Ne, donde N es un número entero Conservción de l crg: En culquier proceso físico o químico l crg totl se conserv, es decir, l crg totl ntes del proceso es igul l crg totl después del mismo. Por ejemplo, cundo dos objetos se frotn entre sí, uno de ellos qued con un número en eceso de electrones se crg, por tnto, negtivmente, mientrs que el otro qued con un déficit de electrones, en consecuenci, su crg es positiv. L crg totl de los dos objetos considerd globlmente no cmbi. Uniddes de l crg En el sistem interncionl (SI) l unidd de l crg es el culombio ( C). El culombio es un unidd no fundmentl que se define en función de l unidd de corriente eléctric, el mperio. Un culombio se define como l cntidd de crg que 2

3 2.3 Conductores islntes: inducción electrostátic 3 flue trvés de un cble conductor en un segundo cundo l intensidd de corriente es de un mperio. Epresd en culombios, l crg del protón vle e =, [C] Conductores islntes: inducción electrostátic Conductores: Los conductores son mteriles en los cules prte de los electrones son cpces de moverse libremente (ej. metles) Aislntes: Los islntes son mteriles en los que todos los electrones están ligdos los átomos ninguno puede moverse libremente (Ej. mder o el vidrio) Crg de conductores por inducción electrostátic El electroscopio: Es un dispositivo que permite l detección de crg eléctric. Está formdo por dos lminills metálics unids un vrill conductor que posee un esfer, tmbién metálic, en su prte superior. El etremo de l vrill del que cuelgn ls lminills está dentro de un recipiente islnte. Cundo ls lminills están descrgds cuelgn junts verticlmente. Cundo se pone en contcto l esfer con un cuerpo crgdo negtivmente, prte de l crg se trnsfiere l esfer se reprte por todo el conjunto (esfer + vrill + lminills). En consecuenci, ls lminills, mbs crgds negtivmente, se seprn. A su ve, si l esfer se pone en contcto con un mteril crgdo positivmente, prte de los electrones libres de l esfer psn l mteril resultdo un eceso de crg positiv en todo el conjunto. Como consecuenci ls lminills tmbién se seprn Electrición por romiento Losntiguosgriegosfueronlosprimerosendrse cuentdequelfrotrelámbr,ésteercpde trer pequeños objetos como pjits o plums. En relidd, el término eléctrico procede de l plbr grieg electron, que signific ámbr. A este fenómeno lo llmremos electrición por frotmientooromiento. Pr eplicr los fenómenos de electrición por romiento desde un punto de vist moderno considerremos dos objetos islntes distintos. Supondremos que, inicilmente, mbos objetos son neutros. Al frotrlos mutumente, prte de los electrones que se encuentrn en ls cps más eterns de los átomos de uno de los objetos se trsferirán l otro objeto. Así, l finl del proceso, uno de los objetos tendrá un eceso de electrones, por tnto de crg negtiv, el otro un defecto de los mismos,quesetrduceenunecesodecrgpositiv. De est form, mbos objetos quedn con el mismo eceso de crg pero de signo contrrio. No es posible crgr objetos conductores medinte frotmiento, por ello hemos de recurrir otros métodos, como veremos continución. Figur 2.: ) Electroscopio descrgdo. b) Electroscopio crgdo. Crg por inducción electrostátic: Un conductor puede crgrse medinte un método llmdo crg por inducción. Pr ilustrr este método considerremos dos esfers metálics igules, descrgds en contcto. Si cercmos un de ests esfers un brr crgd positivmente se produce, en ls esfers, un reordención de los electrones: ) Los electrones son trídos por l brr, concentrándose en l esfer más próim, que qued

4 2.4 Le de Coulomb 4 con crg net negtiv. 2) L esfer más lejd de l brr pierde electrones quedndo crgd con l mism crg net que l otr esfer, pero de signo positivo. Este proceso de seprción de crgs dentro de un conductor se denomin polrición se dice que el conductor est polrido. Si hor seprmos ls esfers primero, retirmos l brr después, mbs esfers quedn crgds con igul crg net pero de signo opuesto. Pr muchos propósitos l Tierr puede considerrse como un conductor infinitmente grnde. Utilindo el siguiente procedimiento, podemos crgr un conductor, simplemente, uniéndolo tierr. ) Tommos un esfer conductor neutr cercmos est esfer un brr crgd positivmente. Como consecuenci l esfer se polri. 2) Si hor unimos l esfer tierr el fenómeno de polrición se produce en todo el conductor (esfer + tierr), por tnto, electrones de l tierr se trnsfieren l esfer. 3) Si continución retirmos l coneión tierr, l esfer qued crgd negtivmente. 4) Finlmente, retirndo l brr, l crg net negtiv se redistribue por tod l esfer. Figur 2.2: Crg de dos esfers conductors medinte inducción electrostátic. Ejemplo Dos esfers idéntics se crgn por inducción posteriormente se seprn, quedndo l esfer con un crg +Q l esfer 2 con un crg Q. Unterceresferidénticlsnteriores e inicilmente descrgd se pone en contcto con lesferluegosesepr().posteriormente seponenencontctolsesfers23,luegose seprn (b). Cuál es l crg finl en cd un de ls esfers?. Rone l respuest. () Al poner en contcto ls esfers 3 l crg en eceso de l esfer se reprte entre mbs. Cundo se seprn ls dos esfers quedn con crgs +Q/2. (b) Al poner en contcto l esfer 3 con crg +Q/2 lesfer2concrg Q, l crg net totl es Q/2; est crg se reprtirá entre ls dos esfers l seprrls mbs quedrán con crgds con un crg Q/4. Crg por inducción electrostátic medinte tom de tierr: Ejemplo 2 Un vrill de gom con un crg negtiv Q se cerc, sin tocr, l esfer de un electroscopio. Como consecuenci ls lminills del electroscopio divergen (). Se toc l esfer con un dedo ls lminills cen l posición verticl (b). Por último, primero se retir el dedo después l vrill de gom, observndo que ls lminills divergen (c). Cuál es l crg finl del electroscopio?. Rone su respuest. () Al cercr l vrill de crg Q lesfer del electroscopio, éste se polri preciendo un eceso de crg +Q en l esfer un eceso de crg Q en ls lminills. Como consecuenci ls lminills se repelen mutumente divergen. (b) Al tocr l esfer del electroscopio con el dedo ls lminills se descrgn, esto es, l crg Q de ls lminills se v tierr. L esfer del electroscopio se mntiene con un eceso de crg +Q. (c) Retirndo el dedo desconectmos el electroscopio de tierr, quedndo un crg +Q en l esfer. Si después retirmos tmbién l vrill de gom, l crg de l esfer se distribuen por todo el osciloscopio por tnto ls lminills quedn con crg positiv se repelen mutumente. L crg finl del electroscopio es, por tnto, +Q Le de Coulomb L le de Coulomb es un le eperimentl, estblecid en 785 por Chrles Augustin Coulomb (736-86), que epres mtemáticmente l fuer ejercid entre dos crgs puntules

5 2.4 Le de Coulomb 5 situds en el vcío en posiciones fijs. Est le requiere ntes de ser enuncid l definición de vrios símbolos mtemáticos que se ilustrn gráficmente en l figur 2.3. Estos símbolos son: Crg fuente, q : supondremos l eistenci de un crg puntul q situd en el punto P de vector de posición r Crg testigo o de prueb, q: demás, considermos un crg q situd en el punto P de vector de posición r. Vector de posición reltiv, R: R el vector que v desde P P: R = r r denotmos por Distnci entre crgs, R : l distnci entre l crgs q q es el módulo de R: R = r r Vector unitrio, ˆR: es el vector unitrio según l dirección del vector R, luego: R ˆR = R = r r r r, Teniendo en cuent ls definiciones nteriores, l le de Coulomb se enunci como sigue. r P q r ( q q) > R = r r q P Fq q Figur 2.3: Fuer ejercid por l crg fuente q sobre l crg de prueb q (le de Coulomb). Enuncido de l le de Coulomb: L fuer ejercid por un crg puntul sobre otr es directmente proporcionl l producto de ls crgs e inversmente proporcionl l cudrdo de su distnci de seprción.lfuerestádirigidsegúnl rect que une mbs crgs; es repulsiv si tienen igul signo trctiv si tienen signos opuestos Ls propieddes de l fuer de Coulomb (mgnitud dirección), recogids en este enuncido, pueden epresrse mtemáticmente de l siguiente form: Mgnitud: Dirección: F q q q q R 2 F q q k ˆR Por tnto, podemos epresr l le de Coulomb en form mtemátic como qq F qq q q = K e R ˆR = Ke 2 R qq (r r ) R = Ke 3 r r 3. donde K e es un constnte de proporcionlidd cuo vlor depende del sistem de uniddes. En el SI es usul epresr est constnte en l form K e = 4π siendo es un constnte universl llmd permitividd del vcío. Su vlor uniddes en el SI son = 36π 9 =8,85 2 C 2 Nm 2 Con este vlor pr, l constnte K e result K e = Nm = π C 2. En su form más usul, l le de Coulomb se epres en función de,luego F q q = 4π qq (r r ) r r 3. L fuer de Coulomb puede ser trctiv o repulsiv:

6 2.4 Le de Coulomb 6 si mbs crgs son del mismo signo (qq > ), el sentido de F q q coincide con el sentido de R portntolfueresrepulsiv. si ls crgs tienen signos opuestos (qq < ), el sentido de F q q es el opuesto R por tnto l fuer es trctiv. r P q r R P q α Fq q Principio de cción rección pr l fuer de Coulomb: L fuer electrostátic verific el principio de cción rección: si suponemos que l crg q es l responsble de ejercer un fuer sobre q.dich fuer vendrá dd por F q q = q q 4π (r r) r r 3 = qq 4π (r r ) r r 3 = F q q. Por tnto, l fuer F q q es igul en mgnitud desentidocontrriolfuerf q q Ejemplo 3 Clculr l fuer electrostátic producid por un crg puntul de C, situd en el punto P (2,4), sobre otr crg puntul de 2C situd en el punto P(5,3). Determinr l mgnitud de l fuer el ángulo que form con el eje. Lscoordends de los puntos están dds en el sistem crtesino 2D en uniddes del SI. Según l le de Coulomb, l fuer que un crg puntul fuente q ejerce sobre otr crg puntul testigo q se epres F q q = qq (r r ) 4π r r 3 donde r r representn, respectivmente, los vectores de posición l crg fuente l crg testigo. Figur 2.4: Pr resolver el problem, comenremos clculndo cd un de ls cntiddes que precen en l epresión nterior: q =, q = 2, r = 2ˆ +4ŷ, r = 5ˆ +3ŷ, r r = 5ˆ +3ŷ (2ˆ +4ŷ) =3ˆ ŷ, r r = 9+=. Tomndo (4π ) =9 9 sustituendo en l epresión de l fuer result F q q = (3ˆ ŷ) = (3ˆ ŷ) [N] El módulo de l fuer vle F q q = ˆ ŷ = =,8 9 el ángulo con el eje µ µ α = tn F =tn F 3 =. 33 [rd] = 8. 4 o [N] Ejemplo 4 Sen dos mss igules de electrones seprdosundistnciigulldistncitierr- Lun. Clculr dichs mss pr que l fuer

7 2.5 El cmpo eléctrico 7 eléctric ejercid entre mbs se igul (en mgnitud) l fuer grvittori entre l fuer l Lun. Dtos: m T =5,98 24 Kg, m L =7,4 22 Kg, m e =9, Kg, d T L =3,84 8 m, G =6,67 Nm 2 /Kg 2. L fuer de trcción grvittori Tierr-Lun vle F g = G m T m L d 2. T L L fuer de trcción electrostátic entre dos cntiddes igules de electrones seprds un distnci d T L vle q 2 F q = K e d 2. T L 2.5. El cmpo eléctrico Concepto de cmpo eléctrico: LledeCoulombesloqueseconocecomoun le de cción distnci, que no eplic cómo l crg testigo q sbe que un crg fuente q está en un determind posición. Además, un vrición en l posición de q se trduce en un vrición instntáne de l fuer sobre q. Este concepto se ilustr en l figur 2.5. crg fuente q fuer Fq q crg testigo q Siestsdosfuerssonigulestendremos G m T m L d 2 T L q 2 = K e d 2, T L de donde despejndo l crg se obtiene r GmT m L q = K r e 6, , ,4 22 = = C. 9 9 El número de electrones necesrio pr obtener est crg es N e = q e = , = 3, electrones L ms correspondiente estos electrones vle M q = m e N e =9, , = [ kg]. Figur 2.5: Concepto de fuer medinte un le de cción distnci. Según se muestr en l figur 2.6, es conveniente descomponer el proceso por el cuál l crg q ejerce fuer sobre l crg q en dos subprocesos: Lcrgfuentecreunenteentodlon delespcioquelrode.llmremoseste ente cmpo eléctrico El cmpo credo es el gente responsble de producir l fuer sobre l crg testigo que se encuentre en l on del espcio donde eist dicho cmpo crg fuente q cmpo eléctrico E crg testigo q fuer F E q Sumndo l ms totl de electrones result: kg = kg. Luego kg de electrones producen un fuer electrostátic igul l fuer grvittori producid por kg de mteri. Figur 2.6: Fuer trvés del concepto de cmpo. Definición de cmpo eléctrico. Cmpo debido un crg puntul Según sbemos, l fuer electrostátic ejercid por un crg q sobre otr crg q es (le de

8 2.6 Cmpo eléctrico debido un distribución de crgs puntules: principio de superposición 8 Coulomb): F q q = qq 4π R 3 R Siguiendo l ide de descomponer l fuer en dos subprocesos: ) l crg fuente gener un cmpo eléctrico2)elcmpoproducelfuersobrel crg testigo, podemos englobr tods ls cntiddes en l fórmul nterior que dependn de l crg fuente en un nuev epresión, que llmremos cmpo eléctrico E, sí E = q R 4π R 3. Por tnto, según se ilustr en l figur 2.7, l epresión nterior represent el cmpo eléctrico, en un punto de observción P, credo por un crg puntul q situdenunpuntop. Podemos escribir est fórmul de distints forms lterntivs: E = q R 4π R 3 = q 4π r P ˆR R 2 = q> r R q r r 4π r r 3 Figur 2.7: Cmpo eléctrico E,enelpuntodeobservción P, debido l crg fuente q >. Conocido el cmpo eléctrico en l posición de un crg testigo q, l fuer ejercid,por el cmpo eléctrico, sobre q es: F = q E Uniddes del cmpo eléctrico: De cuerdo con l epresión nterior, ls uniddes del cmpo eléctrico en el SI son: [ E]= [ F ] [q] = Newton Culombio = [N/C] P E Alterntivmente, como veremos en tems posteriores, puede utilirse como unidd del cmpo eléctrico [ E]= Voltio metro = [V/m] Ejemplo 5 Se coloc un crg puntul de vlor 5 nc en un determindo punto del espcio eperiment un fuer de vlor 2 4 N en dirección sentido del eje positivo. Cuánto vle el cmpo en dicho punto? Según estblece el problem q =5 9 C F =2 4ˆ N, por tnto el cmpo vldrá E = F q = 2 4ˆ 5 9 =4 4ˆ [N/C] 2.6. Cmpo eléctrico debido un distribución de crgs puntules: principio de superposición Considermos un sistem de N crgs fuente puntules qn situds en un región del espcio, según se muestr en l figur 2.8. A cd crg qn le corresponde un vector de posición r n.considermos, demás, un punto de observción P cuo vector de posición será r. El vector de posición reltiv entre l crg fuente qn el punto P es: R n = r r n. L distnci entre l crg fuente qn el punto P es: R n = R n = r r n El vector unitrio en l dirección de R n vle: ˆR n = R n R n.

9 2.6 Cmpo eléctrico debido un distribución de crgs puntules: principio de superposición 9 r q r 2 q 2 r N r q N P E N = n E n Ejemplo 6 Dos crgs puntules positivs de igul vlor q están situds sobre el eje, simétricmente respecto l origen un distnci mutu de 2. Clculr el cmpo eléctrico en un punto rbitrrio del semi-eje >. Resolver el problem por dos cminos diferentes: ) plicndo directmente el principio de superposición 2) teniendo en cuent l simetrí del problem. Figur 2.8: Cmpo eléctrico en el punto P debido un distribución discret de crg. Como sbemos, el cmpo eléctrico que l crg q n produce en el punto P se epres E n = 4π q n(r r n) r r n 3. Principio de superposición: El cmpo eléctrico totl E producido por N crgs fuente en el punto P es igul l sum vectoril del cmpo E n producido por cd un de ls crgs individules q n en el punto P. Mtemáticmente se epres: E = N P n= E n = 4π NP qn n= r r n r r n 3 Un ve determindo el cmpo eléctrico producido por l distribución, l fuer sobre un crg puntul q se clcul simplemente como F = q E = q NX E n n= Tmbién puede sumrse directmente l fuer ejercid por cd crg fuente: F = NX qe n = n= NX F n n= Tomremos como punto rbitrrio del eje un punto de coordends P(,), donde es un vlor culquier. ) Aplicndo directmente el principio de superposición El principio de superposición pr dos crgs puntules estblece E = E + E 2 = 4π q (r r ) r r 3 + 4π q 2 (r r 2 ) r r 2 3, donde, en nuestro cso, q = q 2 = q, r = ŷ, r = ˆ, r 2 = ˆ, r r = ŷ ˆ, r r = p 2 + 2, r r 2 = ŷ + ˆ, r r 2 = p Sustituendo estos resultdos en l epresión del cmpo result E = 4π q (ŷ ˆ) ( ) 3/2 + 4π q (ŷ + ˆ) ( ) 3/2 Simplificndo se obtiene E = 2q 4π ( ) ŷ 3/2 [N/C] 2) Teniendo en cuent l simetrí del problem. Ambs crgs son de igul vlor están l mism distnci del punto de observción. Por tnto, mbs producen cmpos eléctricos de igul mgnitud, esto es E = E 2. Los cmpos eléctricos producidos por cd un de ls crgs en el punto P(,) se muestrn en l figur 2.9. Debido

10 2.7 Línes de fuer del cmpo eléctrico q 2 r r 2 E E α E 2 R 2 2 P(, r R ) Figur 2.9: Cmpo eléctrico en P(,) debido dos crgs puntules positivs situds en el eje, simétricmente respecto l origen. E E r = ˆ P(, α r = = E ) ˆ q q E cosα Figur 2.: Geometrí pr el cálculo de d E cos α. l simetrí del problem, se observ que el cmpo totl E tendrá sólo componente. Su vlor será igul dos veces l componente del cmpo eléctrico producido por un de ls crgs. Por tnto, el cmpo eléctrico buscdo es de l form E = E + E 2 =2 E cos α ŷ donde α es el ángulo que form E (o E 2 )conel eje. Bst hor con determinr E cos α.pr E tenemos E = q 4π r r = q 2 4π Utilindo el triángulo de l figur 2., pr cos α se obtiene cos α = p ˆ Sustituendo los dos últimos resultdos en l epresión de E, result E = 2q 4π ( ) ŷ 3/2 [N/C] 2.7. Línes de fuer del cmpo eléctrico Inicilmente, Frd desrrolló el concepto básico de cmpo medinte un método de representción gráfic. El concepto mtemático ctul de cmpo es un bstrcción posterior. Pr introducir el concepto de líne de cmpo o líne de fuer considerremos un cmpo vectoril que define un vector en cd punto del espcio. Imginemos hor un líne que en cd punto del espcio se tngente l vector cmpo E, tl como se ilustr en l figur 2.. Dich líne es un líne de cmpo. E E E Figur 2.: Líne de cmpo eléctrico. Eisten un serie de regls que se plicn l representr ls línes de cmpo eléctrico: Tod líne de cmpo eléctrico nce en un crg positiv muere en un negtiv. El número de línes que ncen o mueren en un crg es proporcionl l vlor de l crg Ls línes se dibujn simétricmente, disminuendo su densidd l lejrse de l crg Ls línes de cmpo sólo pueden cortrse en ls crgs puntules, donde h singulriddes. Si dos línes se cortrn en un punto hbrí dos vectores tngentes en el punto. En ls figurs se representn ls línes de cmpo de crgs individules islds de prejs de crgs, tnto de igul signo como de signo opuesto. E

11 2.8 Distribuciones continus de crg. Densidd de crg E E + + Figur 2.2: Línes de cmpo eléctrico debids un crg puntul positiv. Figur 2.3: Línes de cmpo eléctrico debids un crg puntul negtiv. E + + Figur 2.4: Línes de cmpo eléctrico debids dos crgs positivs de igul vlor. E Figur 2.5: Línes de cmpo eléctrico debids dos crgs de igul vlor signo opuesto Distribuciones continus de crg. Densidd de crg Como sbemos, escl microscópic l crg está cuntid. Sin embrgo, frecuentemente es necesrio trbjr con volúmenes que contienen un grn número de crgs. En ests situciones, l distnci entre crgs es mucho menor que l dimensión linel típic del volumen. Podemos suponer, en estos csos, que l crg es un mgnitud continu, en consecuenci, definir un densidd de crg de form nálog cómo se define l densidd de ms. Considerremos tres csos: distribuciones volúmics, superficiles lineles de crg Densidd volúmic de crg: En el cso de cuerpos tridimensionles l densidd volúmic de crg (crg por unidd de volumen) se define como q ρ τ = lím τ τ = dq dτ [C/m 3 ], L crg contenid en un elemento de volumen elementl dτ es: dq = ρ τ dτ. L crg totl contenid en un volumen finito τ se obtiene, simplemente, integrndo l epresión nterior: Z Q = ρ τ dτ τ

12 2.8 Distribuciones continus de crg. Densidd de crg 2 Si ρ τ = cte (crg uniformemente distribuid) en todo el volumen: Z Q = ρ τ dτ = ρ τ τ Not: desde un punto de vist mtemático dτ es un volumen rbitrrimente pequeño. Sin embrgo, desde un punto de vist físico dτ es lo suficientemente grnde como pr contener un número grnde de crgs l ve suficientemente pequeño como pr considerr que l densidd de crg ρ τ es constnte en dicho volumen. ρ τ Q dτ τ τ d q = ρ τ dτ Densidd superficil de crg: Silcrgestáenlsuperficie de un volumen o sobre un cuerpo superficil, podemos definir entonces un densidd superficil de crg (crg por unidd de superficie) en l form ρ s = q lím S S = dq ds [C/m 2 ]. Según esto, l crg contenid en un elemento de superficie es: dq = ρ s ds L crg totl contenid en un superficie finit se clcul como Q = ρ s ds. Q S dq = ρsds Figur 2.6: Distribución volúmic de crg ρ s ds S Ejemplo 7 Un cntidd de crg Q está uniformemente distribuid en el volumen de un esfer de rdio. Clculr l densidd volúmic de crg. L crg totl de l esfer se relcion con l densidd de crg trvés de l epresión Z Q = ρ τ dτ. esfer L densidd de crg es constnte, que l crg está distribuid uniformemente, luego Q = ρ τ Z esfer de donde se obtiene ρ τ = dτ = ρ τ τ = ρ τ 4 3 π3, 3Q 4π 3 [C/m 3 ]. Figur 2.7: Distribución superficil de crg Ejemplo 8 Un disco de rdio =mestácrgdo con un densidd superficil de crg ρ s = 2ρ C/ m 2. Clculr l crg del disco. L crg se clcul como Q = ρ s ds disco donde ρ s viene dd en el enuncido ds = ρdρdφ. Sustituendo qued Q = ρ s ds = 2ρ 2 dρdφ. disco disco Pr relir est integrl doble, l fctorimos en dos integrles de líne, un en φ con los límites de integrción vrindo de 2π, otrenρ con vrición de hst : µz µz 2π Q = 2ρ 2 dρ dφ = 2 3 ρ 3 (φ) 2π = 4π 3 3.

13 2.9 Cmpo eléctrico debido distribuciones continus de crg 3 Elrdiodelesfervle m, luego Q = 4π [ Densidd linel de crg: C]. Podemos suponer que objetos tles como hilos, vrills delgds o nillos son infinitmente delgdos. Cundo uno de estos objetos está crgdo, decimos que posee un distribución linel de crg, l cul se crcteri por su densidd linel de crg (crg por unidd de longitud) que definimos como q ρ = lím = dq [C/m]. d L crg contenid en un elemento de longitud es, por tnto: dq = ρ d. L crg totl contenid en un longitud finit es Z Q = ρ d L ρ Q d dq = ρ d Figur 2.8: Distribución linel de crg Ejemplo 9 Clculr l crg de un vrill situd sobre el eje consucentroenelorigende coordends de longitud L =4m, sbiendo que su densidd linel de crg viene dd por ρ =3 2 C/ m. L crg totl de l vrill se clcul como Q = de donde Z vrill ρ d = Q =6 Z +2 2 L 3 2 d = , [C] Cmpo eléctrico debido distribuciones continus de crg Como sbemos, h situciones en ls que conviene considerr que l crg tiene nturle continu. En estos csos, pr clculr el cmpo producido por un distribución de crg deberemos plicr el principio de superposición, de form nálog como hemos hecho pr un distribución discret. Al considerr l crg continu, deberemos reemplr l sum por un integrl. d q > R r P de r Figur 2.9: Cmpo eléctrico en P debido un elemento de crg dq. Según sbemos, el cmpo producido un elemento de crg dq en un punto P es: d E = 4π dq (r r ) r r 3. Pr clculr el cmpo eléctrico totl hbrá que epresr dq en función de l densidd de crg e integrr tod l distribución. Este proceso se detll continución pr distribuciones lineles, superficiles volúmics de crg Cmpo eléctrico debido distribuciones lineles de crg Considermos un objeto linel crcterido por un densidd linel de crg ρ,comosemuestr en l figur 2.2. En generl, l distribución de crg no será uniforme por tnto ρ será función de l posición. Si tommos un elemento de líne d

14 2.9 Cmpo eléctrico debido distribuciones continus de crg 4 en un posición rbitrri del cuerpo, l crg contenid en este elemento es dq = ρ d, El cmpo eléctrico producido por este elemento de crg es: de = dq (r r ) 4π r r 3 = ρ (r r ) 4π r r 3 d. Elcmpototl,debidotodldistribución,se obtiene medinte integrción l cmino L donde eiste crg fuente: E = Z 4π L ρ (r r ) r r 3 d [N/C]. dq = ρ d L r = ˆ r = dˆ P( d,) de Figur 2.2: Cmpo eléctrico en P(d, ) debido un elemento de crg situdo en un vrill que ce en el eje. Según se ilustr en l figur 2.2: ρ L > dq = ρ d r R P de r d =d, r = d ˆ, r = ˆ, r r =(d )ˆ, r r = d. Sustituendo estos resultdos en l epresión de de se obtiene de = ρ d 4π (d ) 2 ˆ. Pr clculr el cmpo totl producido por l vrill crgd tendremos que integrr desde = hst = L, luego Figur 2.2: Cmpo eléctrico debido un elemento linel de crg dq = ρ d. Ejemplo Un vrill de longitud L, condensidd de crg ρ constnteestásitudlolrgo del semi-eje positivo con uno de sus etremos en el origen. Clculr el cmpo eléctrico en el punto P (d, ), con d>l. Elcmpodebidounelementodelongitudsitudo rbitrrimente dentro de l distribución es: d E = 4π dq (r r ) r r 3 = 4π ρ (r r ) r r 3 d. E = = = operndo result ρ Z L d 4π (d ) 2 ˆ ρ µ L 4π d ˆ ρ µ 4π d L ˆ, d E = ρ L 4π d (d L) ˆ [N/C]. Ejemplo Clculr el cmpo electrostático producido, en el punto P(,), por un hilo de longitud 2, loclido sobre el eje, centrdo en el origen uniformemente crgdo con un densidd linel de crg ρ.

15 2.9 Cmpo eléctrico debido distribuciones continus de crg 5 Según se muestr en l figur 2.22, debido l simetrí del problem, el cmpo producido por dos elementos de crg situdos simétricmnte respecto l origen viene ddo por: donde d E =d E +d E 2 =2 d E cos α ŷ, d E = 4π dq r r 2. dq 2 r de de α 2 R 2 r 2 2 r de P(, ) R dq Figur 2.22: Cmpo eléctrico en P(,) debido dos elementos de crg simétricos, situdos en un hilo crgdo. de de r = ˆ r de = de cos P(, ) α = α ˆ d ˆ q = ρ d Figur 2.23: Geometrí relevnte pr el cálculo de d E cos α. Ls cntiddes que precen en l epresión de d E vlen: r = ŷ, r = ˆ, r r 2 = 2 +( ) 2, demás, según se observ en l figur 2.23 Por tnto, cos α = p 2 +( ) 2. de =2 de cos α ŷ = ρ 2d ŷ. 4π [ 2 +( ) 2 3/2 ] Integrndo en con los límites vrindo entre, tenemos Z ρ E d = 2π [ 2 +( ) 2 ] ŷ 3/2 ³ ρ Z d = 2π ŷ +( )2 3/2 Pr hcer est integrl relimos el cmbio =tnα, por tnto, µ d =d(tnα) =sec 2 α dα Pr los límites de integrción tenemos: Luego, E = = = = α =tn () = = α =tn () = π 4 ρ Z π 4 2π ρ 2π ρ 2π Z π ŷ sec 2 α dα +tn 2 α 3/2 ŷ cos αdα ŷ = Portnto,elcmpopedidovle E = 2ρ 4π ŷ ρ 2π [N/C] (sin α) π 4 ŷ dq = ρ d = ρ d,

16 2.9 Cmpo eléctrico debido distribuciones continus de crg 6 Ejemplo 2 Un nillo de metl mu delgdo de rdio, tieneundensidddecrgρ distribuid uniformemente. Hllr el cmpo producido por este nillo en puntos rbitrrios de su eje. Teniendo en cuent l geometrí del problem, trbjremos en coordends cilíndrics (ρ, φ, ). Hremos coincidir el plno del nillo con el plno - su eje con el eje. Clculremos el cmpo eléctrico en un punto genérico de eje, estoes,en el punto P (,,). de dq 2 r 2 R 2 α r de de 2 P(,, ) r R dq Figur 2.24: Cmpo eléctrico en P(,,) debido dos elementos de crg simétricos situdos en un nillo crgdo. de r = ˆ de = de cos P(,, ) α α r = ρˆ dq Figur 2.25: Geometrí relevnte pr el cálculo de d E cos α. ρˆ ˆ r = ρˆ φ q = ρ dφ d dφ Figur 2.26: Elemento de crg en un posición rbitrri del nillo. Trtremos se simplificr l resolución de este problem hciendo un estudio previo de su simetrí. Pr ello tommos un elemento de crg dq en un posición rbitrrí del nillo otro elemento dq 2 en l posición opuest como se ilustr en l figur Debido l geometrí del problem por ser l distribución de crg uniforme, ls componentes de d E d E 2 perpendiculres se cnceln, mientrs que ls componentes prlels se sumn. Por tnto, el cmpo producido por este pr de elementos de crg en P es d E =d E +d E 2 =2 d E cos α ẑ, donde, de cuerdo con l figur 2.25 cos α = d E = 4π dq r r 2 Según se muestr en l figur 2.26 dq = ρ d = ρ dφ Además en l figur 2.25 se observ r = ẑ, r = ˆρ, r r 2 = El cmpo totl es de = ρ 2π ( ) 3/2 dφ ẑ Integrndo en φ de π, qued " ρ E = Z # π dφ ẑ, 2π ( ) 3/2

17 2.9 Cmpo eléctrico debido distribuciones continus de crg 7 de donde se obtiene E = 2 ρ ẑ [N/C]. ( /2 ) Cmpo eléctrico debido distribuciones superficiles de crg Considermos, como se ilustr en l figur 2.27, un cuerpo sobre el que eiste un distribución superficil de crg crcterid por un densidd superficil ρ s. L crg contenid en un elemento de áre ds elegido rbitrrimente es dq = ρ s ds El cmpo eléctrico producido por este elemento de crgenunpuntodeobservciónes: de = dq (r r ) 4π r r 3 = ρ s (r r ) 4π r r 3 ds. Integrndotodlsuperficie S donde eiste ρ s, l fuer totl result E = (r r ) ρ 4π s S r r 3 ds [N/C]. r ρ s > dq = ρs ds R P de r S Figur 2.27: Cmpo eléctrico debido un elemento superficil de crg dq = ρ s ds. Ejemplo 3 Determinr el cmpo eléctrico credo por un disco circulr de rdio, uniformemente crgdo con un densidd superficil de crg ρ s, en un punto rbitrrio del eje del disco. Pr resolver el problem plntedo empleremos coordends cilíndrics nos udremos de l simetrí del mismo. Tommos como punto de observción uno loclido sobre el eje, un distnci rbitrri del origen. Considermos tmbién dos elementos de crg, dq dq 2, situdos simétricmente respecto l origen. Debido l simetrí, el cmpo credo por estos elementos tiene dirección ẑ viene ddo por l epresión con d E =d E +d E 2 =2 d E cos α ẑ cos α = p 2 +(ρ ) 2 de = dq 4π r r 2 donde dq = ρ s ds = ρ s ρ dρ dφ. r = ẑ, r = ρ ˆρ, r r 2 = 2 +(ρ ) 2, de dq 2 α R 2 r r 2 de de 2 P(,, ) r R dq Figur 2.28: Cmpo eléctrico en P(,,) debido dos elementos de crg simétricos situdos en un disco crgdo.

18 2.9 Cmpo eléctrico debido distribuciones continus de crg 8 de r = ˆ P(,, ) α r = = de cosα ˆ de dq ρ ˆ ρ ρˆ buscdo result µ ρ s 2 E = µ ρ s + 2 o de form más compct ẑ si ẑ si < E = ρ µ s 2 ẑ [N/C] , Figur 2.29: Geometrí relevnte pr el cálculo de d E cos α. Teniendo en cuent estos resultdos el cmpo result de = ρ s ρ dρ dφ 2π [ 2 +(ρ ) 2 ] ẑ 3/2 Fctorindo l epresión nterior en dos términos, uno que sólo depend de φ otrosólodeρ, qued µ Ã! de ρs = dφ ρ dρ ẑ 2π [ 2 +(ρ ) 2 ] 3/2 Integrndo cd término en su vrible correspondiente con φ vrindo de hst π, ρ de hst, result µ Z ρs π Ã Z! E = dφ ρ dρ ẑ 2π [ 2 +(ρ ) 2 ] 3/2 = ρ Z s ρ dρ 2 [ 2 +(ρ ) 2 ] ẑ 3/2 Ã = ρ s p ẑ 2 2 +(ρ )! 2 µ 2 = ρ s ẑ Estudiemos más detenidmente el primer término del préntesis. En primer lugr tendremos que tener en cuent que represent un distnci por tnto debe ser siempre positivo. Por consiguiente, si el punto de observción está en el semieje >, entonces 2 = >; por el contrrio, si el punto de observción est en el semieje <, entonces 2 = >. Teniendo esto en cuent, el cmpo Cmpo eléctrico debido distribuciones volúmics de crg Procederemos nálogmente l cso de distribuciones lineles superficiles. Pr clculr el cmpo producido por un distribución volúmic de crg de densidd ρ τ contenid en un volumen τ, como l mostrd en l figur 2.3, tommos un elemento de volumen dτ, el cul contendrá un crg dq = ρ τ dτ. El cmpo eléctrico producido por este elemento de crg es de = dq (r r ) 4π r r 3 = ρ τ (r r ) 4π r r 3 dτ, El cmpo totl producido por todo el volumen τ será E = Z 4π τ ρ τ (r r ) r r 3 dτ. En el cso generl en el que eistn fuentes puntules, distribuciones continus de crg, tnto lineles, superficiles como volúmics, el cmpo totl producido en un punto de observción será l sum (vectoril) de los cmpos producidos por cd fuente, luego E = E(puntos)+ E(línes) + E(superficies)+ E(volúmenes).

19 2. Flujo de cmpo eléctrico 9 dq = ρ τ dτ τ R P r de ρ τ > r Figur 2.3: Cmpo eléctrico debido un elemento volúmico de crg dq = ρ τdτ. contrrio, si E S son mutumente perpendiculres entonces α = π/2, por tnto, el flujo es nulo. E E S α S () (b) 2.. Flujo de cmpo eléctrico Concepto de flujo del cmpo eléctrico: Podemos definir el flujo de cmpo eléctrico de l siguiente mner: El flujo de cmpo eléctrico Φ E trvés de un superficie S es un medid del número neto de línes de cmpo eléctrico que trviesn l superficie. Mtemáticmente se epres Φ E = S E d S, donde S puede ser un superficie biert o cerrd. En el segundo cso, l integrl se denot I Φ E = E ds. S Tl como se muestr en l figur 2.3, cundo el cmpo eléctrico es uniforme en l superficie de integrción, es decir, tiene l mism mgnitud dirección en todos los puntos de dich superficie, el cálculo de Φ E se simplific considerblemente que Φ E = E ds = E S = E S cos α S Se observ que si E S son prlelos entonces α =, consecuentemente, el flujo es máimo. Al E S (c) Figur 2.3: Flujo de un cmpo eléctrico uniforme. () E prlelo S.(b) E S formn un ángulo rbitrrio α. (c) E es perpendiculr S. Ejemplo 4 Un crg puntul de vlor q está situd en el origen. Clculr el flujo eléctrico que trvies un esfer de rdio concentroenl crg. El flujo pedido se clcul medinte l epresión generl: I Φ E = E ds, S donde E es el cmpo eléctrico credo por l crg puntul evludo en l superficie de integrción. Según l le de Coulomb este cmpo vle E = q ˆr 4π 2, por tnto, teniendo en cuent que d S =ds ˆr, el

20 2. Le de Guss 2 flujo result luego Φ E = = I esfer r= q 4π 2 q ˆr ds ˆr 4π 2 I esfer r= Φ E = q ds = [Vm]. q 4π 2 4π2 El flujo es proporcionl l crg q nodepende del rdio de l esfer de integrción. 2.. Le de Guss Enuncido de l le de Guss: L le de Guss, tmbién conocid como teorem de Guss, constitue un de ls lees fundmentles de l electrostátic. Est le puede enuncirse de l siguiente mner: El flujo neto del cmpo eléctrico trvés de culquier superficie cerrd es igul l crg net encerrd dentro de l superficie dividid por L epresión mtemátic de est le es: I S E d S = Q enc en el problem. Pr ilustrr el cso más generl consideremos un volumen τ limitdo por un superficie cerrd S tl como se muestr en l figur Suponiendo que dentro de τ eisten tnto crgs puntules como distribuciones continus de crg, l crg net encerrd dentro de S es: Q enc = X Z q n + ρ d n L Z + ρ s ds + ρ τ dτ S τ Nótese que tl como se indic en l figur 2.32, en generl, el volumen τ ocupdo por ls distribuciones volúmics de crgs no coincide con el volumen τ. Análogmente, en generl, S S son superficies distints. Puntuliciones sobre l le de Guss: Ls crgs que están fuer del volumen τ no fectn l flujo de E trvésdes. Enelcso de l figur 2.33 q 5 q 3 q q 4 q 2 S S τ τ Figur 2.33: ρ S ρ S C ρ τ Φ E = q + q 2. Sin embrgo, q3,q 4 q 5 sí fectn l vlor de E en cd punto de l superficie S. Figur 2.32: Le de Guss L epresión prticulr que debemos empler pr el cálculo de l crg net encerrd, Q enc,depende del tipo de distribuciones de crg presentes El flujo es sólo función del vlor neto de ls crgs dentro de S, pero no de ls posiciones de ests crgs. Sin embrgo, l cmbir ls posiciones, sí cmbi el vlor de E en cd punto de S.

21 2.2 Cálculo del cmpo eléctrico medinte l le de Guss Cálculo del cmpo eléctrico medinte l le de Guss L le de Guss puede utilirse pr clculr el cmpo eléctrico debido un distribución de crg cundo dich distribución tiene cierts propieddes de simetrí. L ide generl consiste en plicr l epresión I E ds = Q enc S en uns condiciones que nos permitn despejr el cmpo eléctrico, es decir, scrlo fuer de l integrl. Pr ello, debe elegirse un superficie imginri S, tmbién llmd superficie gussin. L superficie gussin óptim es quell en l que en cd un de sus prtes (superficies que l conformn) el cmpo eléctrico es nulo, perpendiculr o prlelo l vector superficie en cd punto.en el cso de ser prlelo, l mgnitud del cmpo eléctrico debe ser demás constnte en l superficie. Sí se cumplen ests condiciones, result sencillo despejr el cmpo eléctrico que si es nulo o perpendiculr lsuperficie el flujo es cero, si es constnte prlelolsuperficie se puede scr fuer de l integrl. Como se desprende de l discusión nterior, l plicción de l le de Guss l cálculo del cmpo eléctrico requiere el conocimiento previo de cuál es l dirección del cmpo de qué coordends depende. Procedimiento pr clculr el cmpo eléctrico medinte l le de Guss: El cálculo del cmpo eléctrico medinte l le de Guss puede resumirse en los siguientes psos:. Elegir convenientemente un sistem de coordends 2. Determinr de qué coordends depende el cmpo eléctrico utilindo rgumentos bsdos en l simetrí de l distribución de crg 3. Determinr l dirección del cmpo eléctrico prtir de l simetrí de l distribución de crg 4. Elegir un superficie gussin S 5. Clculr el flujo eléctrico trvés de S 6. Clculr l crg encerrd dentro de S 7. Sustituir los dos últimos resultdos en l ecución de l le de Guss despejr el cmpo eléctrico Eisten tres grndes grupos de problems que pueden ser borddos medinte l le de Guss: problems con simetrí pln, con simetrí cilíndric con simetrí esféric. A continución discutiremos cd uno de ellos Problems con simetrí pln Pr resolver este tipo de problems considerremos coordends crtesins (,, ). Diremos que un distribución de crg tiene simetrí pln cundo l densidd de crg es, lo sumo, función de un únic coordend, digmos. Ejemplos de interés que corresponden este tipo de simetrí se muestrn en l figur 2.34; son el plno infinito crgdo uniformemente l lámin infinit con densidd de crg ρ τ, siendo ést bien constnte o bien función de. d () (b) Figur 2.34: Distribuciones de crg con simetrí pln. () Plno infinito. (b) Lámin infinit de espesor d. Ejemplo 5 Determinr el cmpo eléctrico credo por un plno infinito crgdo uniformemente con un densidd superficil de crg ρ s >. ρ s ρ τ

22 2.2 Cálculo del cmpo eléctrico medinte l le de Guss 22 ) Sistem de coordends Tl como hemos menciondo nteriormente, empleremos coordends crtesins hremos coincidir el plno de crg con el plno coordendo -. 2) Dependenci con ls coordends Tomndo un punto de observción P(,, ) en un posición rbitrri vrindo ls coordends /o seguimos viendo ls misms fuentes (crgs) l mism distnci que en l posición inicil, por tnto el cmpo eléctrico no depende de ni de. Sin embrgo, si vrimos l coordend, cmbi l distnci del punto de observción ls fuentes. Por tnto, el cmpo eléctrico dependerá, lo sumo, de l coordend, esto es, buscmos un cmpodelforme = E(). Cómo el cmpo sólo depende de, tomremos = =sin que esto supong ningun pérdid de generlidd, es decir, vmos clculr el cmpo en un punto rbitrrio del eje. dq 2 de de de 2 P(,, ) r ρ s > 2 r dq Figur 2.35: Cmpo eléctrico debido dos elementos de crg tomdos simétricmente en un plno infinito uniformemente crgdo. 3) Dirección Pr ver l dirección del cmpo bst tomr un prej de elementos de crg, dq dq 2, situdos simétricmente respecto l origen, como se muestr en l figur El cmpo credo por estos elementos tendrá dirección ẑ (+ẑ si > ẑ si <). Además, el plno completo se puede interpretr como un distribución de crg constituid por prejs de estos elementos simétricos; en consecuenci, el cmpo totl credo por el plno tiene tmbién dirección ẑ. Además, debido l simetrí, el cmpo h de tener igul vlor igul distnci delplno,estemosporencimopordebjode éste. Entonces, podemos poner ρ > s E = ½ +E ẑ si > E ẑ si < E = + E ˆ E = E ˆ ds ds S ds 2h Figur 2.36: Geometrí relevnte pr el cálculo, medinte l le de Guss, del cmpo eléctrico debido un plno infinito uniformemente crgdo. 4) Superficie gussin Tomremos como superficie gussin un cilindro cuo eje coincid con el eje, con bse de áre S situdoconunmitdenelsemiespcio> con l otr en el semiespcio <, tl como se muestr en l figur ) Flujo eléctrico El flujo del cmpo eléctrico trvés del cilindro gussino vle I E ds = E ẑ ds ẑ cilindro gussino bse superior + + bse inferior superficie lterl ( E ẑ) ( ds ẑ) E() d S

23 2.2 Cálculo del cmpo eléctrico medinte l le de Guss 23 En l superficie lterl del cilindro ds tiene dirección rdil, por tnto los vectores E ds son mutumente perpendiculres en culquier punto de dich superficie; consecuentemente el flujo lterl es nulo. Además, los flujos trvés de ls bses son igules, luego I E ds =2 E ds =2E ds =2ES cilindro gussino bse bse 5)Crgnetencerrd L crg encerrd dentro del cilindro gussino se corresponde con l crg contenid en el círculo puntedo de l figur 2.36, luego Q enc = ρ s ds = ρ s ds = ρ s S. círculo círculo 6) Resolución Sustituendo los dos resultdos nteriores en l epresión de l le de Guss qued ρ s > E Figur 2.37: Línes de cmpo eléctrico debids un plno infinito uniformemente crgdo. ρ s E() 2ε ρ s 2ε ρ s ε E = ρ s 2. Por tnto, el resultdo finl es + ρ s ẑ si > E = 2 ρ s ẑ si < 2 Un form más compct de escribir este resultdo es E = ρ s 2 ẑ [N/C]. En l figur 2.37 se muestrn ls línes de cmpo eléctrico debids l plno crgdo uniformemente. Si l densidd de crg fuese negtiv, ls línes de cmpo tendrín l mism dirección pero con sentido contrrio, es decir, entrnte l plno. L vrición del cmpo eléctrico con l distnci l plno se muestr en l figur Se observ que el cmpo es discontinuo l trvesr l superficie crgd. El vlor del slto es igul l densidd de crg dividid por,estoes, E( + ) E( )= ρ s. Figur 2.38: Vrición del cmpo eléctrico con l distnci un plno infinito uniformemente crgdo (l posición del plno coincide con =) Problems con simetrí cilíndric Consideremos coordends cilíndrics (ρ, φ, ). Diremos que un distribución de crg tiene simetrí cilíndric cundo l densidd de crg depende, lo sumo, de l coordend rdil ρ. Ejemplos de distribuciones de crg con simetrí cilíndric son el hilo recto con densidd linel de crg ρ constnte, l superficie cilíndric con densidd superficil de crg ρ s contnte, el volumen cilíndrico con densidd volúmic de crg ρ τ constnte o función de l coordend ρ. En todos los csos, l distribución debe ser de longitud infinit. Estos ejemplos se ilustrn el l figur 2.39.

24 2.2 Cálculo del cmpo eléctrico medinte l le de Guss 24 ρ ρ s ρ τ tnto, debido l simetrí de l distribución l uniformidd de ρ, el cmpo eléctrico debido l hilo completo tendrá tmbién dirección ˆρ. Entonces, el cmpo buscdo es de l form E = E(ρ)ˆρ. ρ dq > P( ρ, φ,) () (b) (c) r r de 2 de ρˆ Figur 2.39: Distribuciones de crg con simetrí cilíndric. () Hilo infinito. (b) Superficie cilíndric de longitud infinit. (c) Volumen cilíndrico de longitud infinit. dq 2 de Ejemplo 6 Clculr, medinte l le de Guss, el cmpo eléctrico debido un hilo recto, infinito, con densidd de crg linel ρ positiv constnte. ) Sistem de coordends Hremos coincidir el hilo con el eje empleremos coordends cilíndrics pr resolver el problem. 2) Dependenci con ls coordends Tommos un punto de observción P(ρ, φ, ) en un posición rbitrri del espcio. Se observ que incrementndo ls coordends φ /o del punto se ven ls misms fuentes l mism distnci que en l posición inicil; por tnto, el cmpo no puede ser función de φ ni de. Sin embrgo, si cmbimos el vlor de l coordend ρ del punto de observción, l distnci l hilo cmbi; en consecuenci cmbirá tmbién el vlor del cmpo eléctrico. Concluimos entonces que el cmpo credo por el hilo depende sólo de l coordend ρ, esto es, E = E(ρ). 3) Dirección Tommos un prej de elementos de crg, dq dq2, situdos simétricmente respecto l origen un punto de observción situdo un distnci ρ del origen, como se ilustr en l figur 2.4. El cmpo resultnte en dicho punto tendrá dirección ˆρ.Por Figur 2.4: Cmpo eléctrico debido dos elementos de crg tomdos simétricmente en un hilo infinito uniformemente crgdo. 3) Superficie gussin Como superficie gussin tomremos un cilindro cuo eje coincid con el eje, de longitud finit L derdioρ, tl como se ilustr en l figur 2.4. Est superficie cumple ls condiciones de l le de Guss que E es perpendiculr d S en ls bses del cilindro, es prlelo d S constnte en l superficie lterl. L ρ > ds ds ρ E ds Figur 2.4: Geometrí relevnte pr el cálculo, medinte l le de Guss, del cmpo eléctrico debido un hilo infinito uniformemente crgdo.

25 2.2 Cálculo del cmpo eléctrico medinte l le de Guss 25 4) Flujo eléctrico El flujo eléctrico trvés del cilindro gussino de l figur 2.4 es I E ds = E(ρ)ˆρ ds ẑ cilindro gussino bse superior + + bse inferior superficie lterl E(ρ)ˆρ ( ds ẑ) E ˆρ ds ˆρ El flujo trvés de ls bses es nulo, que el cmpo eléctrico es perpendiculr l vector superficie, demás el vlor del cmpo eléctrico en l superficie lterl es constnte, luego I E ds = E ds = E2πρL. cilindro gussino superficie lterl 5)Crgnetencerrd L crg net encerrd dentro del cilindro gussino es Q enc = Z L/2 L/2 Z L/2 ρ d = ρ d = ρ L. L/2 6) Resolución Sustituendo los dos últimos resultdos en l ecución de l le de Guss result Figur 2.42: Línes de cmpo creds por un hilo de longitud infinit uniformemente crgdo. Análogmente l ejemplo del hilo infinito, el cmpo eléctrico credo por l superficie cilíndric dependerásólodelvribleρ tendrá dirección ˆρ, es decir, E(ρ) =E(ρ)ˆρ. Sin embrgo, diferenci del ejemplo nterior, en este problem se observ que l distribución de crg divide el espcio en dos regiones: l región interior l cilindro (ρ <) l región eterior (ρ > ). En estos csos debe plicrse l le de Guss en cd región por seprdo. ds E ρ s > E = ρ 2π ρ por tnto el resultdo finl es E = ρ 2π ρ ˆρ. En l figur 2.42 se muestr un vist trnsversl de un hilo crgdo ls línes de cmpo eléctrico creds. L ρ ds ds E Ejemplo 7 Clculr el cmpo eléctrico debido un superficie cilíndric de longitud infinit rdio, uniformemente crgd con un densidd superficil de crg positiv ρ s. Figur 2.43: Geometrí relevnte pr el cálculo del cmpo eléctrico debido un superficie cilíndric infinit uniformemente crgd. Cso ρ<. ) Región interior l cilindro de crg (ρ <) Tomremos como superficie gussin un cilindro

26 2.2 Cálculo del cmpo eléctrico medinte l le de Guss 26 de ltur L rdioρ<,tl como se muestr en l figur De form nálog l problem nterior, el flujodelcmpoeléctricotrvésdelgussin es I E ds = E ˆρ ds ˆρ cilindro gussino = E superficie lterl superfice lterl ds = E2πρL. L crg encerrd dentro de l gussin es cero Q =, por tnto, el cmpo en est región result nulo L crg encerrd en el cilindro gussino se corresponde con l crg eistente en un longitud L de l superficie crgd, luego Q enc = ρ s ds = ρ s ds = ρ s 2πL. superficie ρ= Portnto,elcmporesult E = ρ s ρ ˆρ superficie ρ= pr ρ> Se observ que en ρ = el cmpo eléctrico es discontinuo dndo un slto de vlor E( + ) E( )= ρ s = ρ s. E = pr ρ< ds ρ s > E L ds ρ E ds Figur 2.45: Línes de cmpo creds por un superficie cilíndric de longitud infinit uniformemente crgd. Figur 2.44: Geometrí relevnte pr el cálculo del cmpo eléctrico debido un superficie cilíndric infinit uniformemente crgd. Cso ρ>. b) Región eterior l cilindro de crg (ρ >) Tommos como gussin un cilindro de ltur L rdioρ>,tl como se ilustr en l figur Se observ que el flujo, en este cso, tiene l mism epresión mtemátic que en el cso nterior: I E ds = E2πρL. cilindro gussino Problems con simetrí esféric En l figur 2.46 se muestr un superficie esféric uniformemente crgd un volumen esférico con un densidd volúmic de crg ρ τ. Ambos son ejemplos de distribuciones con simetrí esféric, que l densidd de crg depende, lo sumo, de l distnci del centro de l esfer l punto de observción. En otrs plbrs, desde culquier punto situdo un distnci fij r del centro de l esfer se ve l mism distribución de crg. En el cso de

27 2.2 Cálculo del cmpo eléctrico medinte l le de Guss 27 l distribución volúmic de l figur 2.46, l densidd de crg puede ser constnte o depender de l coordend r. ρ s r P dq 2 dq ρ s > P de de 2 de ρ τ () (b) Figur 2.47: Cmpo eléctrico debido dos elementod de crg simétricos tomdos sobre un superficie esféric. ρ s > Figur 2.46: Distribuciones con simetrí esféric. () Superficie esféric. (b) Volumen esférico. r ds E Ejemplo 8 Clculr el cmpo eléctrico debido un superficie esféric de rdio con densidd superficil de crg ρ s positiv constnte. Hremos coincidir el centro de l esfer con el origen de coordends. Debido l geometrí de l densidd de crg, el cmpo será únicmente función de l distnci r del origen l punto de observción. Además, tl como se muestr en l figur 2.47, tomndo elementos de crg situdos simétricmente observmos que el cmpo resultnte en el punto P tendrá dirección rdil, lo cul indicremos medinte el vector ˆr. Podemos brrer l esfer complet considerndo elementos simétricos de crg, por tnto el cmpo totl debido l superficie esféric tendrá dirección ˆr. En consecuenci, estmos buscndo un cmpo de l form E = E(r)ˆr. En los problems con simetrí esféric, l superficie gussin decud es un esfer de rdio r concéntric con l distribución de crg, que en dich superficie el cmpo eléctrico tiene mgnitud constnte es prlelo l vector superficie. Al igul que sucedió con el ejemplo de l superficie cilíndric, en este problem es necesrio distinguir entre ls regiones interior eterior l esfer de crg plicr l le de Guss en cd un de ells. ) Región interior l esfer de crg (r <) Figur 2.48: Geometrí relevnte pr el cálculo del cmpo eléctrico debido un superficie esféric uniformemente crgd. Cso r<. L superficie gussin pr est región se muestr en l figur El flujo eléctrico trvés de l esfer gussin vle I I E ds = E ˆr ds ˆr esfer gussin = E esfer gussin I esfer gussin ds = E4πr 2. Como se observ en l figur 2.48, en est región l crg net encerrd por l gussin es nul Q enc =, por tnto, el cmpo eléctrico tmbién lo es, luego E = pr r<. b) Región eterior l esfer de crg (r >) El flujoeléctricotrvésdelsuperficie gussin mostrd en l figur 2.49 vle I E ds = E4πr 2. esfer gussin

28 2.2 Cálculo del cmpo eléctrico medinte l le de Guss 28 ρ s > r ds E E(r) ρ s ε E = ρ E = s ε r r / ρ s Figur 2.49: Geometrí relevnte pr el cálculo del cmpo eléctrico debido un superficie esféric uniformemente crgd. Cso r>. que es el mismo resultdo que obtuvimos pr r<. Esto es debido que, en l plicción de l le de Guss problems con vris regiones, l epresión del flujotrvésdelgussineselmismocon independenci de l región en l que estemos. Pr l on eterior, l crg encerrd por l gussin es l crg totl de l esfer Q enc = ρ s ds = ρ s 4π 2. esfer r= Emplendo l epresión de l le de Guss, el cmpo eléctrico result E = ρ s 2 r 2 ˆr pr r>. A prtir de los resultdos obtenidos, se observ que el cmpo eléctrico es discontinuo l trvesr l superficie esféric crgd. Tl como se ilustr en l figur??, el slto en el vlor del cmpo es E( + ) E( )= ρ s = ρ s, es decir, se obtiene el mismo resultdo que en los ejemplos del plno de l superficie cilíndric. Figur 2.5: Vrición del cmpo eléctrico con l distnci l centro de un superficie esféric de rdio, uniformemente crgd. Al igul que en el ejemplo nterior, el cmpo eléctrico buscdo es de l form E = E(r)ˆr; l distribución volúmic de crg divide el espcio en dos regiones: r>r<;,porserunprob- lem con simetrí esféric, tomremos superficies gussins en form de esfer de rdio r. En mbs regiones el flujo eléctrico tiene l epresión I E ds = E4πr 2. esfer gussin Pr clculr l crg encerrd por l gussin considerremos cd región por seprdo. ρ τ r ds E = E rˆ Ejemplo 9 Determinr el cmpo eléctrico debido un densidd volúmic de crg ρ τ constnte contenid en un esfer de rdio. Figur 2.5: Geometrí relevnte pr el cálculo del cmpo eléctrico debido un volumen esférico uniformemente crgdo. Cso r<. )Regióninteriorlesferdecrg(r <) Según se observ en l figur 2.5, l crg net

29 2.3 Quién fue quién en Electromgnetismo?. 29 encerrd dentro de l gussin vle Z 4 Q enc = ρ τ dτ = ρ τ 3 πr3. esfer gussin El cmpo result entonces E = ρ τ r 3 ˆr pr r<. un crg puntul del mismo vlor situd en el centro de l esfer. E(r) E = ρ τ 3ε r E = 2 3 ρ 3 τ 2 3ε r r / ρ τ r E = E rˆ ds Figur 2.52: Geometrí relevnte pr el cálculo del cmpo eléctrico debido un volumen esférico uniformemente crgdo. Cso r>. b) Región eterior l esfer de crg (r >) En este cso, como se ilustr en l figur 2.52, l crg net encerrd dentro de l gussin se corresponde con l crg totl, luego Z Q enc = esfer r= ρ τ dτ = ρ τ 4 3 π3. Sustituendo estos dos resultdos en el teorem de Guss ñdiendo l dirección se obtiene E = ρ τ 3 3 r 2 ˆr pr r>. Es interesnte epresr este resultdo en función de l crg totl de l esfer, que vle 4 Q totl = ρ τ 3 π3 = Q enc entonces, tmbién podemos epresr el cmpo como E = Q totl 4π r 2 ˆr pr r>, lo cul muestr que el cmpo producido por l esfer en l región eterior es igul l que producirí ρ τ Figur 2.53: Vrición del cmpo eléctrico con l distnci l centro de un volumen esférico uniformemente crgdo de rdio Quién fue quién en Electromgnetismo? Chrles A. Coulomb Chrles-Augustin de Coulomb (Angoulême, Frnci, 4 de junio de Prís, 23 de gosto de 86) 3. Físico e ingeniero militr frncés. Se recuerd por hber descrito de mner mtemátic l le de trcción entre crgs eléctrics. En su honor l unidd de crg eléctric llev el nombre de coulomb (C). Entre otrs teorís estudios se le debe l teorí de l torsión rect un nálisis del fllo del terreno dentro de l Mecánic de suelos. Fue el primer cientifico en estblecer ls lees cuntittivs de l electrostátic, demás de relir muchs investigciones sobre mgnetismo, romiento electricidd. Sus investigciones científics están recogids en siete memoris, en ls que epone teóricmente los fundmentos del mgnetismo de l electrostátic. En 777 inventó l 3 Fuente: Augustin_de_Coulomb

30 2.3 Quién fue quién en Electromgnetismo?. 3 bln de torsión pr medir l fuer de trcción o repulsión que ejercen entre sí dos crgs eléctrics, estbleció l función que lig est fuer con l distnci. Con este invento, culmindo en 785, Coulomb pudo estblecer el principio, que rige l intercción entre ls crgs eléctrics, ctulmente conocido como le de Coulomb. Coulomb tmbién estudió l electrición por frotmiento l polrición, e introdujo el concepto de momento mgnético. Fue educdo en l École du Génie en Méieres se grduó en 76 como ingeniero militr con el grdo de Primer Teniente. Coulomb sirvió en ls Indis ccidentles durnte nueve ños, donde supervisó l construcción de fortificciones en l Mrtinic. En 774, Coulomb se convirtió en corresponsl de l Acdemi de Ciencis de Prís. Comprtió el primer premio de l Acdemi por su rtículo sobre ls brújuls mgnétics recibió tmbién el primer premio por su trbjo clásico cerc de l fricción, un estudio que no fue superdo durnte 5 ños. Durnte los siguientes 25 ños, presentó 25 rtículos l Acdemi sobre electricidd, mgnetismo, torsión plicciones de l bln de torsión, sí como vrios cientos de informes sobre ingenierí proectos civiles. Coulomb murió en 86, cinco ños después de convertirseenpresidentedelinstitutodefrnci (ntigumente l Acdemi de Ciencis de Prís). Su investigción sobre l electricidd el mgnetismo permitió que est áre de l físic slier de l filosofí nturl trdicionl se convirtier en un cienci ect. L histori lo reconoce con ecelenci por su trbjo mtemático sobre l electricidd conocido como "Lees de Coulomb". Figur 2.54: Chrles A. Coulomb (736-86)