Posible solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de junio de 2005

Transcripción

1 Poble soluió del exame de Ivestigaió Oerativa de Sistemas de juio de Problema ( utos): Dos bolas blaas está oloadas e ua mesa al lado de ua bolsa ue otiee ua bola blaa y dos egras. Reiteradamete se extrae ua bola de la bolsa ue se oloa a dereha de las dos ateriores y desués se devuelve a la bolsa la bola de la izuierda. Determiar: a) El diagrama de traió de estados y la matriz de traió de ua adea de Marov ue modele esta tuaió. b) El úmero medio de bolas blaas ue hay a la larga fuera de la bolsa. Soluió: Aartado a): Sabiedo de ué olor so las bolas ue está fuera de la bolsa odemos deduir las ue hay detro. Por lo tato los estados será de la forma ID dode I es el olor de la bola ue está fuera y a la izuierda y D es el olor de la bola ue está fuera y a la dereha. El ojuto de estados será: S{BB BN NB NN}. a matriz de traió orresodiete es: / Q / / / / / El diagrama de traió de estados (DTE) orresodiete es el ue gue: / BB / / / BN / / NN NB Aartado b): Como esta adea de Marov es fiita y ergódia odemos afirmar ue existe la distribuió estaioaria. Debemos hallar diha distribuió estaioaria ya ue os dirá ué robabilidad hay de eotrarse e ada estado (a la larga) y estas robabilidades será eesarias ara hallar el úmero medio de bolas blaas fuera de la bolsa. Para alular la distribuió estaioaria lateamos el guiete stema de euaioes:

2 BB BN NB NN Q T BB BN NB NN BB BN NB NN El stema uede resolverse or ejemlo fijado BB y ormalizado luego. a soluió fial del stema es: BB ; ; ; BN NB NN o ue os ide es la eseraza de la variable aleatoria uyo valor es el úmero de bolas blaas fuera de la bolsa. Diha eseraza será: [ Número de bolas blaas] E BB BN NB NN bolas Problema ( utos): a direió de la bibliotea de ua uiverdad está deidiedo uátas oiadoras debe istalar ara el uso de los estudiates. Cada oiadora es aaz de haer hasta oias or miuto teiedo e ueta los retrasos debidos al tiemo eesario ara isertar moedas ambiar origiales et. Por térmio medio llega u estudiate or miuto y ada estudiate hae omo media io oias. a) Si se oe ua sola oiadora se satura el stema? b) Si se oe dos oiadoras uál es el tiemo medio de esera e la ola? ) Si se retede ue los estudiates o esere más de dos miutos omo romedio e la ola ara haer oias uátas oiadoras se debe istalar? Soluió: Se trata de u stema M/M/ dode es el úmero de oiadoras y liete/mi. Como ada oiadora hae oias or miuto e romedio uede ateder a / lietes or miuto. Por oguiete / lietes/mi. Aartado a): E este aso. Usado las fórmulas del modelo M/M/ / /. Por tato o se umle la odiió de o saturaió. Es deir el stema se satura. Aartado b): Ahora teemos. Debemos hallar :

3 lietes mi Aartado ): Teemos ue hallar el meor úmero de servidores tal ue mi. Hemos visto e los dos ateriores aartados ue o rve orue el stema se satura y tamoo orue > mi. Probamos etoes o : lietes mi Observamos ue es el meor úmero de servidores ara el ue < mi o lo ual la soluió es oer oiadoras.

4 Problema (7 utos): Sea el guiete roblema de rogramaió lieal: Maximizar x x Sujeto a: x x x x x x 8 x x Resuelva diho roblema mediate el método del Simlex guiedo estos asos: a) Costruya ua soluió fatible iiial (tabla iiial del método). b) Obtega la(s) soluió(es) ótima(s) las hay. ) De ué tio es la(s) soluió(es) ótima(s) obteida(s) las hay? Soluió: Aartado a): Pasado a forma estádar ueda: Maximizar x x Sujeto a: x x x x x x x x x 8 x x x x x Podemos formar la rimera base o las variables x x y x o lo ual obteemos la rimera tabla: Base B P P P P P P P P P 8 Aartado b): Aliamos el resto del método artiedo de la tabla iiial ue ostruimos e el aartado aterior: Criterio de etrada: mí{ }. Al haber emate odemos elegir ue etre x ó x idistitamete. Elegimos ue etre x. Criterio de salida: mí{/ / 8/}/ luego sale x.

5 Base B P P P P P P P / / P 8 / / P / / 8 / / Criterio de etrada: mí{ /} / luego etra x. Criterio de salida: mí{ / 8 / /} / luego sale x. Base B P P P P P P P P P Observamos ue la odiió de arada se umle o lo ual la tabla es ótima. a soluió ótima orresodiete es x H ( ) T. No obstate tambié se omrueba ue hay u ero e la última fila e ua oluma de ua variable ue o es de la base x. Esto gifia ue itroduiedo x e la base obtedremos ua ueva tabla ótima: Criterio de salida: mí{/ /}/ luego sale x. Base B P P P P P P P / P / P / a soluió ótima de esta seguda tabla ótima es x I ( ) T. as ifiitas soluioes ótimas de este roblema será los utos del segmeto uyos extremos so x H y x I : x x dode [ ] Aartado ): H H I I H Como aabamos de ver e el aartado aterior se trata de u roblema o ifiitas soluioes ótimas. Auue o se ide a otiuaió iluimos la soluió or el método gráfio de este roblema (utos de orte y reresetaió gráfia). Nótese ue la eúltima tabla se orresode o u uto extremo e la gráfia es deir u vértie de la regió fatible ue es el uto H. Del mismo modo la última tabla se orresode o el uto I. I H I

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7 Problema ( utos): Ua tieda de iformátia observa ue la demada de ajas de CD s varía ada dos meses a lo largo del año segú la guiete tabla: Período Ee-Feb Mar-Abr May-Ju Jul-Ago Se-Ot Nov-Di Demada a tieda disoe de dos roveedores de ajas de CD s: el roveedor A es aaz de sumiistrar e ada eríodo hasta 7 ajas y vede ada uidad a euros mietras ue el roveedor B uede sumiistrar e ada eríodo hasta ajas y las vede a euros ada ua. Es oble almaear e la tieda ajas de CD s ara vederlas e eríodos osteriores ero ada aja ue llega e u eríodo y es almaeada ara ser vedida e el guiete eríodo suoe u osto de euros. Platear u modelo de rogramaió lieal ara deidir uátas ajas se le omra a ada roveedor e ada uo de los eríodos de tal maera ue se miimie los ostos totales ara la tieda. Se suoe ue el almaé emieza vaío e eero y ue tamoo se uede guardar ada ara desués de diiembre. Soluió: Nota: No itete obteer la soluió sólo debe dar el lateamieto. Para ada eríodo i o i { } sea las variables de deió: x i reresetado el úmero de ajas omradas al roveedor A al iiio del eríodo i- émo. y i reresetado el úmero de ajas omradas al roveedor B al iiio del eríodo i- émo. z i reresetado el úmero de ajas almaeadas durate el eríodo i-émo. Como el almaé debe uedar vaío al fial de diiembre teemos ue z. El modelo de rogramaió lieal será: Miimizar ( x x x x x x ) ( y y y y y y ) ( z z z z z z ) Sujeto a: x y z x y z z x y z z x y z z x y z z x y z i { } ( x i 7 ) ( y i ) ( z i ) i { } x i y i z i Z z

8 Nótese ue las seis rimeras restriioes exresa el euilibrio ue debe haber etre las ajas etrates (miembros izuierdos) y salietes (miembros derehos) durate ada uo de los seis eríodos. Como las variables de deió ha de tomar valores eteros se trata de u roblema de rogramaió lieal etera. FÓRMUAS DE TEORÍA DE COAS: M/M/: ; ; ; t e t / () t e t / M/M/: ; ; e otro aso... M/M/ y M/M/: ; ; M/M//: ; ef ; ef ; ef ;