Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2007

Transcripción

1 Soluió del exame de Ivestigaió Oerativa de Sistemas de setiembre de 7 Problema : ( utos E u omedor uiversitario existe tres latos a elegir: sta, Soa y Esalada. Se ha determiado ue si ua ersoa elige asta u día, al siguiete día volverá a tomar asta o robabilidad, soa o robabilidad, y esalada o robabilidad,5. Si hoy elige soa, mañaa tomará soa de uevo o robabilidad, asta o robabilidad,7 y esalada o robabilidad,. Por último, si u día toma esalada, al siguiete tomará otra vez esalada o robabilidad, asta o robabilidad, y soa o robabilidad,. a Matriz de trasiió y diagrama de trasiió de estados (DTE. Clasifiar los estados y la adea de Markov. b Hallar la roorió de ersoas ue toma ada tio de lato u día ualuiera. Si ua ersoa ha tomado soa hoy, uál es la robabilidad de ue asado mañaa tome asta? Soluió: artado a: Podemos modelar la situaió mediate ua adea de Markov e la ue ada etaa reresete u día. sí ues, el estado i reresetará ue hoy ua ersoa ha tomado el lato i trabajos e la ila. Por lo tato, el ojuto de estados es S {, So, E}. El DTE orresodiete es:,,7,, So,5,,, E, a matriz de trasiió será omo sigue:, Q,7,,,,,5,, E uato a la lasifiaió de los estados, todos so reurretes y aeriódios. Niguo es absorbete. El úio ojuto errado es S. Por tato, la CM es iruible, aeriódia y reurrete, o lo ual es ergódia.

2 artado b: Como la adea de Markov es fiita y ergódia, odemos afirmar ue existe la distribuió estaioaria, ue será eesaria ara hallar la robabilidad de ue ua ersoa tome ada tio de lato u día ualuiera, ue es lo ue os ide. ra alular la distribuió, lateamos el siguiete sistema de euaioes: So T Q So E E So E El sistema uede resolverse, or ejemlo, fijado y ormalizado luego. a soluió fial es: 6 8 7,7, So,8, E, Éstas so las roorioes de ersoas ue toma ada uo de los latos u día ualuiera, exresadas e tatos or uo. artado : Segú las euaioes de Chama-Kolmogorov, la robabilidad de trasitar desde el estado So hasta el estado e dos etaas es: ( So,,7,,,7,,,5 Problema : ( utos Ua gasoliera disoe de surtidores. os ohes ue va llegado se sitúa e ua úia ola, uya aaidad odemos suoer ifiita. El roeso de llegada de los ohes a la gasoliera es u roeso de Poisso, de tal maera ue va llegado a razó de uatro ohes or hora. El tiemo de serviio se distribuye exoeialmete, o media miutos. a Cuáto tiemo asa or térmio medio e el sistema u ohe? b Cuátos ohes hay or térmio medio e la ola? Cuátos ohes sale de la gasoliera or térmio medio ada hora? Soluió: Dado ue teemos ua úia ola o dos servidores (los dos surtidores, y ue tato los tiemos etre llegadas omo los tiemos de serviio so exoeiales, el sistema es ua ola M/M/. os arámetros del sistema so: servidores, lietes/h, 6 lietes/h. artado a: Nos ide el tiemo medio de esera e el sistema,. ra alularlo tedremos ue obteer reviamete alguos resultados itermedios:

3 6 Como <, se umle la odiió de o saturaió y odemos seguir alulado: ( (!! ( 7 7! lietes (ohes 8 h Ya odemos alular lo ue os ide:, h,5 mi artado b: Nos ide la logitud media de la ola, ue ya fue alulada e el aartado aterior: ohes. artado : Como la odiió de o saturaió se verifia, la logitud de la ola o uede teder a ifiito. Por lo tato el romedio de ohes ue sale debe ser igual al romedio de ohes ue etra, es deir, ohes/h. Problema : ( utos Ua emresa fabria rodutos de dos tios: y B. ra fabriar ada uidad de se eesita miutos de trabajo de ua máuia y miutos de trabajo de u eseialista. ra fabriar ada uidad de B se eesita miutos de trabajo de ua máuia y miutos de trabajo de u eseialista. a emresa disoe omo máximo de horas semaales de trabajo de la máuia y 5 horas semaales de trabajo del eseialista. Cada hora ue trabaja la máuia uesta, y ada hora de trabajo del eseialista uesta. Cada uidad de se vede or y ada uidad de B or. a emresa tiee u otrato o u liete or el ual debe fabriar al meos uidades de semaales. Determiar mediate el método gráfio:

4 a Cuál tiee ue ser la atidad de ada tio de roduto ue se debe fabriar semaalmete ara obteer el máximo beefiio. b El valor de diho beefiio máximo. Soluió: artado a: as variables de deisió será: x uidades del roduto fabriadas semaalmete x B uidades del roduto B fabriadas semaalmete a fuió objetivo ue debemos maximizar es el beefiio eto, es deir, el valor de veta de los rodutos meos los ostes de roduió. E euros semaales, la fuió objetivo será x x B ( x x B /6 ( x x B /6 Simlifiado ueda (aroximadamete: 7,667 x 5,8667 x B as restriioes del tiemo disoible de trabajo semaal de la máuia y del eseialista será, resetivamete (e miutos semaales: x x B 6 x x B 5 6 Por otra arte, existe u míimo de roduió de, y además las roduioes o uede ser egativas: x x, x B E resume, el roblema de rogramaió lieal ue debemos resolver es: Maximizar 7,667 x 5,8667 x B Sujeto a: x x B x x B x x, x B Segú observamos e el diagrama, es laro ue la soluió otima úia está e la iterseió de las retas x, x x B. Nótese ue la regió fatible está itada e verde. Resolvemos el sistema de euaioes formado or ambas retas, y la soluió ótima úia es x uidades, xb 65,57 x B uidades (igoramos la osibilidad de

5 ue o tega setido fabriar ua atidad o etera del roduto B, lo ual os llevaría a u roblema de rogramaió lieal etera. El uto dode se alaza la soluió ótima se ha señalado omo e la gráfia. artado b: El beefiio máximo es el valor de la fuió objetivo e la soluió ótima. Sustituimos la soluió otima e la futio objetivo y obteemos aroximadamete 866,5 /semaa. Problema : ( utos El serviio de aguas de ua iudad disoe de uatro maatiales,, B C y D, ara satisfaer la demada de agua otable. a iudad eesita m /seg, ue deberá obteerse mezlado diferetes atidades de agua de ada maatial. as araterístias de los maatiales y la omosiió de sus aguas so las siguietes: Maatial Biarboatos (mg/litro Sodio (mg/litro Calio (mg/litro Coste ( /m Caudal máximo (m /seg 8 5,5 B 5, C 5 8, D , 5 ra ue el agua sumiistrada a la iudad umla los reuisitos de alidad, se exige ue la mezla o otega más de 7 mg/litro de biarboatos, o más de mg/litro de sodio y o más de 6 mg/litro de alio.

6 Formular u rograma lieal ue ermita ooer uáta agua debe saarse de ada maatial ara omletar el sumiistro de la iudad, de tal maera ue el oste total sea míimo. Nota: No itete obteer la soluió, sólo debe dar el lateamieto. Soluió: as variables de deisió será la atidad de agua (audal ue saaremos de ada maatial ara omletar el sumiistro de la iudad: x i audal saado del maatial i (m /seg, dode i {, B, C, D}. a fuió objetivo a miimizar será el oste total del sumiistro a la iudad (e /seg:,5 x, x B, x C, x D E rimer lugar, debemos aseguraros de ue el audal saado de ada maatial es u úmero o egativo: i {, B, C, D}, x i Por otra arte, debemos asegurar ue se omleta el sumiistro de la iudad: Sumiistro iudad (m /seg: x x B x C x D demás debemos asegurar ue o se sobreasa los audales máximos ue uede sumiistrar los maatiales: Caudales máximos (m /seg: x, x B, x C, x D 5. Por último, debemos aseguraros de ue los oteidos e mierales del agua sumiistrada a la iudad o suera los máximos ermitidos. ra ello debemos teer e ueta ue el agua ue se sumiistra a la iudad es ua mezla de los aortes de los uatro maatiales. Vamos a osiderar la atidad de mierales ue lleva ese flujo de agua, exresada e gramos de mierales or segudo. Reordemos ue m litros, o lo ual mg/litro g/m. as restriioes será: Biarboatos (g/seg: 8 x xb 5xC 8xD 7( x xb xc xd Sodio (g/seg: x 5xB xc 5xD ( x xb xc xd Calio (g/seg: 5 x x 8x 78x 6( x x x x B C D B C D FÓRMUS DE TEORÍ DE COS: M/M/: t / ( t e ( e t / ( t

7 M/M/: (!!, si,,...,, e otro aso!( (!! ( M/M/ y M/M/: M/M//k: ( k, si k, si ( ef ef Redes de Jakso abiertas: ef k ( k k k k, si, si K γ i i K i i V i i Redes de Jakso erradas: j( m j( m j j j( ( m m j * jj( m K ( m i * i i j( m j( m ( m j