El Tensor de Esfuerzo
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- Lucas Salas Peña
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1 Programa de Doctorado e Igeiería Aeroáutica Capítuo II Fudametos de Easticidad E esor de Esfuerzo Cuado u cuerpo es sometido a cargas, a sea por esfuerzos apicados sobre su superficie etera o debido a a ifuecia de a fuerza de graedad o fuerzas simiares debe cumpirse as codicioes de equiibrio mecáico. E estudio de os esfuerzos sobre os cuerpos cotiuos coforma e área de a mecáica de sóidos. Ua parte esecia e a formuació de probemas e esta área, es a descripció de as reacioes eistetes etre os esfuerzos que actúa sobre os eemetos. Esfuerzos A cosiderar a trasmisió de fuerzas a traés de u cuerpo, se debe tomar e cueta o ta sóo as fuerzas, sio tambié su distribució. Es ecesario defiir a itesidad de distribució de fuerzas e u puto. Esta catidad se deomia esfuerzo. Si se apica ua fuerza por: F sobre e área A, etoces e esfuerzo promedio iee dado F A E esfuerzo actúa e a misma direcció que a fuerza F. La otació es: i = superficie sobre a que actúa j = direcció sobre a que actúa está asociado co a compoete de esfuerzo perpedicuar a a superficie. está asociados a as compoetes paraeas a a superficie compoetes de cizae. Comportamieto Mecáico de Materiaes - Dr. Aberto Mosae Gozáez -
2 Programa de Doctorado e Igeiería Aeroáutica Capítuo II Fudametos de Easticidad F ḙ ḙ ḙ A Figura. Defiició de esfuerzo. Las compoetes de tesor esfuerzo so: Las compoetes de esfuerzo represeta as compoetes promedio de esfuerzo e u puto sobre a superficie úicamete si a fuerza está uiformemete distribuida. d d d Si A es mu pequeña, es decir, A, e esfuerzo aterior represeta e esfuerzo e e cetro de A. Figura. Diersas compoetes de tesor esfuerzo. Comportamieto Mecáico de Materiaes - Dr. Aberto Mosae Gozáez -
3 Programa de Doctorado e Igeiería Aeroáutica Capítuo II Fudametos de Easticidad f ím A A f ím A A f ím A A Simetría de esor Esfuerzo Para que e cuerpo esté e equiibrio se debe cumpir que a suma de os mometos co respecto a cuaquier eje debe ser cero. Por ejempo: M D C D D D D D D DD E geera σ σ,es decir, e tesor esfuerzo es simétrico como ua cosecuecia de equiibrio de mometos. Equiibrio de tesioes o esfuerzos ji Se deria cosiderado e equiibrio diámico de u pequeño eemeto de cuerpo. Debe cumpirse a seguda e de Newto para todo e cuerpo F ma E icremeto de esfuerzo producido sobre ua distacia d es d por o tato e esfuerzo tota icremetado es d. Figura. Equiibrio de mometos de u sóido. Comportamieto Mecáico de Materiaes - Dr. Aberto Mosae Gozáez -
4 Programa de Doctorado e Igeiería Aeroáutica Capítuo II Fudametos de Easticidad La ecuació de baace goba e a direcció es, como se muestra e a figura 4: d d d d d d d d d d d d d d X d d d a d d d dode X represeta fuerzas de oume: graitacioaes, eectromagéticas, etc A simpificar térmios equiaetes se obtiee: De igua forma resuta: tambié Figura 4. Equiibrio de fuerzas e u sóido. X a X a X a Nota: Usado otació idicia podemos escribir: i X a X a j j, i j j Comportamieto Mecáico de Materiaes - Dr. Aberto Mosae Gozáez - 4
5 Programa de Doctorado e Igeiería Aeroáutica Capítuo II Fudametos de Easticidad Baace geera de Mometos Si se cosidera e baace de mometos arededor de eje X que correspode a cetro de eemeto teemos d dd d / d dd d / o bie: / d / d Nota : si d d. Aáogamete: Ecuacioes de equiibrio e coordeadas ciídricas r r rz zr z z r rr r r z rz rr X r r a r r z r X a r r z r r rz z r z zz r zr X z a z Ecuacioes de equiibrio e coordeadas esféricas rr r r rr r cot g X r r se r r r a r r r cot X r r se r r r r cot g X r r se r r a a Comportamieto Mecáico de Materiaes - Dr. Aberto Mosae Gozáez - 5
6 Programa de Doctorado e Igeiería Aeroáutica Capítuo II Fudametos de Easticidad Vector de Esfuerzo DF df Vector de esfuerzo o de tracció se defie como ím, este ector Ds Ds ds represeta e esfuerzo e u puto a que se e puede reacioar co e área ds. ds Figura 5. Represetació geométrica de ector tracció. j dode so os esfuerzos de corte cizae, i j ii so os esfuerzos ormaes j so as compoetes de ector uitario e a direcció perpedicuar a a superficie Ua uea forma de escribir o aterior es a siguiete: Comportamieto Mecáico de Materiaes - Dr. Aberto Mosae Gozáez - 6
7 Programa de Doctorado e Igeiería Aeroáutica Capítuo II Fudametos de Easticidad Comportamieto Mecáico de Materiaes - Dr. Aberto Mosae Gozáez - 7 Ejempo: Cosideremos e siguiete tesor de esfuerzo MPa Cacuar e ector racció e u puto P situado e e pao de a figura o paraeo a é. Soució: La ecuació de pao que pasa por os putos a, b c e cada eje es c z b a a orma es c b a,, e este caso /,/,/ ˆ,,/ por o tato para esta situació 4 / 7 / 4 / / / / es decir, 4/ 7 / / 4 MPa Figura 6. Espacio
8 Programa de Doctorado e Igeiería Aeroáutica Capítuo II Fudametos de Easticidad Esfuerzos Pricipaes P ˆ E u estado geera de esfuerzos, e ector tracció que actúa sobre ua superficie de orma ˆ, depede de aor de móduo de a direcció de este ector. La direcció e a que e ector Figura 7. Defiició de esfuerzo Pricipa. tiee a misma direcció que e ector ˆ por o que o eiste compoetes de corte defie u pao pricipa a direcció de ector direcció pricipa, e tato que es e esfuerzo pricipa. j i ˆ es a Sea u esfuerzo pricipa i ua direcció pricipa etoces: i i, como j i i j j j etoces j. Las raíces de este poiomio cúbico se deomia esfuerzos pricipaes. ˆ es u ector uitario. Para obteer as direccioes pricipaes se reempaza cada e i j Comportamieto Mecáico de Materiaes - Dr. Aberto Mosae Gozáez - 8
9 Programa de Doctorado e Igeiería Aeroáutica Capítuo II Fudametos de Easticidad Obseracioes: Si os paos pricipaes so úicos as direccioes pricipaes so perpedicuares. Si eiste u úmero ifiito de ectores asociados a os aores propios iguaes u ector ortogoa a éstos ciidro. Si os aores propios so iguaes cuaquier cojuto ortogoa de, so direccioes pricipaes esfera. 4 Si os ejes de referecia coicide co as direccioes pricipaes etoces: Ejempo: Cacuar esfuerzos direccioes pricipaes de tesor Soució: Det 6 De dode se obtiee:,, as direccioes pricipaes so:,, 6, 4,,,,, caso particuar: Haar os esfuerzos pricipaes correspodietes a tesor de esfuerzo. Comportamieto Mecáico de Materiaes - Dr. Aberto Mosae Gozáez - 9
10 Programa de Doctorado e Igeiería Aeroáutica Capítuo II Fudametos de Easticidad Cocusió tiee esfuerzos pricipaes,. ambié se puede decir que cuaquier matriz de esfuerzo puede escribirse: z z z z z o bie Estado Hidrostático Desiador de tesor de esfuerzo U estado de esfuerzo dado por e tesor puede ser descompuesto e compoetes: i Compoete hidrostática o esférica o esfuerzo orma medio se defie como k I E que I es e primer iariate de tesor esfuerzo. ' ii esor desiador de esfuerzo, se defie como: k ' ' Por ejempo, por o tato k k k k k k Esfuerzo = Esfuerzo desiador + Esfuerzo Hidrostático Cocusioes: a E u sóido eástico isotrópico u estado de esfuerzo co ua compoete hidrostática ua produce soamete distorsió. b U estado hidrostático puro de esfuerzo o produce distorsió pero sí u cambio e as dimesioes de sóido. Comportamieto Mecáico de Materiaes - Dr. Aberto Mosae Gozáez -
11 Programa de Doctorado e Igeiería Aeroáutica Capítuo II Fudametos de Easticidad Comportamieto Mecáico de Materiaes - Dr. Aberto Mosae Gozáez - Ejempo: Sea 4 ecuetre paos direccioes pricipaes 4 4 Det os esfuerzos pricipaes so 4, Co 6 4 es arbitrario, uego e ector propio direcció pricipa correspodiete a aor propio esfuerzo pricipa es,, De igua forma se obtiee para,,,, Descomposició de ector tracció e compoete orma de corte Sea ˆ Esfuerzo orma ˆ Figura 8. Compoetes orma de corte de ector tracció.
12 Programa de Doctorado e Igeiería Aeroáutica Capítuo II Fudametos de Easticidad Comportamieto Mecáico de Materiaes - Dr. Aberto Mosae Gozáez - Además de a figura 8 se tiee:,, ˆ, además: De acuerdo a esto eistirá aores estacioarios para depediedo de os coseos directores i. Los amados esfuerzos de corte pricipaes se obtiee de a ecuació aterior dado aores a i ta que: / / ma Como es e máimo. Ubicació de os esfuerzos máimos Figura 9. Esfuerzos cortates máimos.
13 Programa de Doctorado e Igeiería Aeroáutica Capítuo II Fudametos de Easticidad Por cada par de tesioes pricipaes ha paos de tesioes de cizaamieto pricipaes que bisecta a as direccioes pricipaes para as tesioes ormaes o pricipaes. Esfuerzo Pao Estado de Esfuerzo pao es aque e que j por ejempo Círcuo de Mohr Círcuo de Mohr e dos dimesioes E círcuo de Mohr es u método gráfico propuesto para represetar e estado de tesió e u puto sobre cuaquier pao obicuo que pase por ese puto. ds d d Figura. Estado de esfuerzos e u sóido. Cuáto ae os esfuerzos e u pao cuaquiera? f,,,, g,,, además e a direcció de F i Cosiderado espesor igua a se tiee ds dse dcos d cos dse a diidir por ds resuta Comportamieto Mecáico de Materiaes - Dr. Aberto Mosae Gozáez -
14 Programa de Doctorado e Igeiería Aeroáutica Capítuo II Fudametos de Easticidad d se ds d cos ds d cos ds d se ds pero para u triáguo de catetos d, d e hipoteusa ds d ds cos, d ds se se cos se cos E térmios de águo dobe se puede escribir: cos se E esfuerzo máimo míimo se obtiee de a codició d d d d se cos tg Esta es a codició de paos pricipaes. Eauado se tiee os siguietes aores para e esfuerzo pricipa má/ mí so os aores máimos míimos 4 Los esfuerzos pricipaes so, má mí Esfuerzo Cortate E a direcció F i i ds d cos dse dse dcos diidiedo por ds d se cos La codició etrega e esfuerzo cortate óptimo d Comportamieto Mecáico de Materiaes - Dr. Aberto Mosae Gozáez - 4
15 Programa de Doctorado e Igeiería Aeroáutica Capítuo II Fudametos de Easticidad A igua que para e esfuerzo orma e éste caso se obtiee tg ' Los aores máimos míimos so má/ mí 4 Obseració: ' tg tg águo es perpedicuar a está a 45º. Esto se obtiee mutipicado as epresioes para ambas tagetes A eear a cuadrado sumar as ecuacioes queda ' uego ' La que correspode a a ecuació de u círcuo e e espacio de radio R, co a figura. cetrado e R cua represetació geométrica se muestra e 4 Metodoogía para trazar e círcuo de Mohr. R.. Figura. Represetació geométrica de círcuo de Mohr. Sea, as compoetes de esfuerzo dado. Comportamieto Mecáico de Materiaes - Dr. Aberto Mosae Gozáez - 5
16 Programa de Doctorado e Igeiería Aeroáutica Capítuo II Fudametos de Easticidad Sobre e eje horizota se ubica os esfuerzos sobre e eje ertica se ubica. Se ubica os putos,, teiedo presete as siguietes regas: a Los esfuerzos tractios se toma positios b Los esfuerzos cortates se toma positios si tiede a producir ua rotació e e sóido e e setido de as agujas de reoj c A uir os putos,, mediate u trazo, e itercepto co e eje horizota defie e cetro de círcuo.... a b Figura. Casos de estados de esfuerzos. a esió Uiaia. b esió Biaia equiibrada. Comportamieto Mecáico de Materiaes - Dr. Aberto Mosae Gozáez - 6
17 Programa de Doctorado e Igeiería Aeroáutica Capítuo II Fudametos de Easticidad 9 MPa Ejempo: =6 MPa Haar: a Paos pricipaes b Esfuerzos pricipaes c Direccioes de esfuerzo cortate máimo míimo Figura. Sóido sometido a cargas. 4 MPa d má mí e Los esfuerzos ormaes e os paos de Soució: má / mí a tg ,6º 7,6º 9 MPa =,8º ;,8º 6 MPa 5,5 MPa MPa,5 MPa 48.8 = - MPa = MPa 58.8 Figura 4. Esfuerzos ormaes cortates máimos. Comportamieto Mecáico de Materiaes - Dr. Aberto Mosae Gozáez - 7
18 Programa de Doctorado e Igeiería Aeroáutica Capítuo II Fudametos de Easticidad b má/ mí Para =,8º = -,5 MPa =,8º = 5,5 MPa c Los paos de má/mí se ecuetra: a 45º de os paos má/mí. =,8º + 45º = 58,8º =,8º + 45º = 48,8º d má/mí = má mí MPa MPa Para = 58,8º = - MPa e para = 58,8º = 48,8º ae =,5 MPa Comportamieto Mecáico de Materiaes - Dr. Aberto Mosae Gozáez - 8
19 Programa de Doctorado e Igeiería Aeroáutica Capítuo II Fudametos de Easticidad ma = MPa... = -.5 MPa = 5.5 MPa mi = - MPa Figura 5. Circuo de Mohr de probema Círcuo de Mohr e dimesioes Si se defie u estado triaia de esfuerzos a traés de os tres esfuerzos pricipaes, a represetació gráfica es a siguiete: Figura 6. Círcuo de Mohr e tres dimesioes. Comportamieto Mecáico de Materiaes - Dr. Aberto Mosae Gozáez - 9
20 Programa de Doctorado e Igeiería Aeroáutica Capítuo II Fudametos de Easticidad Comportamieto Mecáico de Materiaes - Dr. Aberto Mosae Gozáez - Puede demostrarse que todas as posibes codicioes de esfuerzo detro de cuerpo, cae detro de área sombreada etre os círcuos. A eistir u esfuerzo compresio e área sombreada aumeta. Si os esfuerzos pricipaes so iguaes e círcuo se reduce a u puto o eiste cizae. Dados os esfuerzos pricipaes, e esfuerzo orma e u pao cuaquiera cuos coseos directores so, m iee dado por, er figura 7. m * E esfuerzo cortate sobre este pao está dado por **: reempazado e ** resuta: ueamete reempazado se puede obteer:, m La ecuació para se puede escribir como queda : e * reeempazar a ** m m como m m
21 Programa de Doctorado e Igeiería Aeroáutica Capítuo II Fudametos de Easticidad Comportamieto Mecáico de Materiaes - Dr. Aberto Mosae Gozáez - o e forma equiaete por: e a figura 7 se muestra diersas situacioes de a costrucció de Círcuo de Mohr e a figura 8 se muestra arios casos de esfuerzos apicados.
22 Programa de Doctorado e Igeiería Aeroáutica Capítuo II Fudametos de Easticidad Figura 7. Círcuos de Mohr para sistemas tridimesioaes de esfuerzos. e Figura 8. Diersas situacioes de esfuerzos. a racció simpe; b Compresió simpe; c racció Biaia; d racció riaia; e racció Compresió riaia Comportamieto Mecáico de Materiaes - Dr. Aberto Mosae Gozáez -
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