ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES EN LA DETECCIÓN DE DATOS DISCORDANTES

Transcripción

1 PESQUIMAT, Revist de l F.C.M. de l Universidd Ncionl Myor de Sn Mrcos Vol. 11 N 1 Pgs Lim - Perú Ag ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES EN LA DETECCIÓN DE DATOS DISCORDANTES Seier, E.; Cmbil/o E.; Cárdens A.; Adrizol Y. Lbortorio de Series de Tiempo RESUMEN A pesr de ser el nálisis de componentes principles, es un de ls técnics multivrintes más ntigus del nálisis multivrido, su uso hoy en dí sigue en bog y es muy importnte. Se present su utilizción en l detección de dtos discordnte s y un plicción un conjunto de dtos socioeconómicos del Perú. PALABRAS CLAVES: Dtos influyentes, dtos potencilmente influyentes, primers componentes principles, últims componentes principles. Introducción El nálisis de componentes principles (ACP), consiste en que si ls p vribles originles son ltmente correlcionds, es posible sustituirls por q vribles (q<p) tl que ls nuevs vribles contengn l myor informción posible contenid en los dtos. L ide básic del ACP [1], es construir combinciones lineles del vector p vrido de tl mner que l primer combinción linel teng l myor vribilidd, más como dich combinción se estblece en bse los coeficientes, el problem no est clrmente definido debido que l vrinz puede ser umentd rbitrrimente por lo que es necesrio considerr un combinción linel normlizd. L segund combinción linel debe tener l myor vrinz después de l primer combinción linel. El procedimiento continu hst encontrr combinciones lineles, ls cules deben ser no correlcionds y de vrinz decreciente, dichs combinciones lineles son llmds de componentes principles. El desrrollo mtemático del ACP consiste en clculr los utovlores y utovectores de l mtriz de covrinz (o de correlciones), los utovlóres son ls vrinzs de ls componentes principles y los utovectores son los coeficientes de ls combinciones lineles, llmds componentes principles. Respecto los dtos discordntes, estos pueden ser de diferentes tipos, lo cul muchs veces complic tod búsqued de ls direcciones en ls cules ellos pueden ocurrir, sin embrgo existen rzones pr relizr un inspección visul de ls direcciones definids por

2 ls primers componentes principles y ls últims pr detectr los dtos discordntes multivrintes. Generlmente ls últims componentes principles son más probbles proporcionr informción dicionl que no h sido evlud del gráfico de pres de vribles originles, mientrs que los gráficos de ls primers componentes principles nos permiten detectr dtos discordntes que infln l vrinz y covrinz. No obstnte si un dto discordnte es l cus del incremento en un o más de ls vrinzs de ls vribles originles, entonces dich observción serí extrem en dichs vribles originles y por lo tnto serín fácilmente detectbles mirndo el gráfico de ls vribles originles. Muy por el contrrio un gráfico de ls últims componentes puede detectr dtos discordnte s los cules no h podido identificrse prtir de ls vribles originles. Justificción Un estructur de correlción fuerte entre vribles implic que existe un función linel de ls vribles con vrinz pequeñ (es decir ls últims componentes principles). Supongmos que se tiene dos vribles XI y x, Y que existe un correlción fuerte y positiv entre ells, luego es entonces posible escribir X2 = P XI + E donde XI Y X 2 son por ejemplo ls lturs y los pesos de los niños, P es un constnte positiv, e es el error, un vrible letori con vrinz menor que XI y X 2, por lo tnto l función linel de l form, tendrá un vrinz pequeñ y l segund componente principl en un ACP de XI y X 2 tendrá un form similr 22 x 2 - l2 XI donde 22 Y l2 >0. L evlución de ls CP pr cd un de ls observciones permitirá detectr observciones ls cules serán dtos discordntes con respecto l estructur de l correlción existente en los dtos, unque no necesrimente con respecto ls vribles originles independientemente. Este rgumento puede generlizrse cundo el número de vribles es grnde (p>2), medinte el exmen de ls últims componentes principles, ls cules son cpces de detectr observciones que no se enmrcn dentro de l estructur de. correlción impuest por el conjunto totl de dtos. Es prtir de llí que el ACP es un herrmient entre otrs, pr detectr dtos discordntes, ddo que si se reduce l dimensión, un nálisis gráfico de ls primers componentes, ls cules resumen l myor vribilidd contenid en los dtos, permite detectr dtos discordntes. En lguns situciones ls últims componentes principles permiten detectr dtos discordntes que no hn sido detectdos en un simple gráfico de pres 78

3 de vribles originles, puesto que ls primers componentes principles son SIempre bsorbids por l myor vribilidd de los dtos originles. Aplicción dtos socioeconomicos En l presentción de l plicción del ACP, se utilizr un conjunto de dtos socioeconómicos del pís, que fue utilizdo por [3] identificándose los deprtmentos de Lim y Mdre de Dios como dtos influyentes y potencilmente influyentes respectivmente. Ls vribles, observds en los 24 deprtmentos son: Porcentje de viviends sin construir () Ingreso fmilir promedio(ifp) Porcentje de l poblción gropecuri (PEAG) Ts de nlfbetismo () Ts de migrción (MIG) Un pregunt que fluye es Los dos deprtmentos son dtos discordnte s en tods ls vribles o en un sub conjunto de ells? Pr responder dich interrognte utilizremos el ACP, en los 24 de deprtmentos; luego retirndo uno uno los deprtmentos de Lim y Mdre de Dios y los dos deprtmentos l mismo tiempo. En el cudro N 01, se present ls mtrices de correlción considerndo l totlidd de los deprtmentos(), retirndo el deprtmento de Lim (b), retirndo el deprtmento de Mdre de Dios( c) y retirndo los dos deprtmentos (d). En l mtriz de correlción con todos los deprtmentos, observmos correlciones lts y negtivs entre el porcentje de l poblción gropecuri y el porcentje de viviends sin construir(-0.81), ingreso fmilir promedio(-0.82), indicndo que en los deprtmentos en los cules el porcentje de poblción gropecuri es grnde, el porcentje de viviends sin construir y el ingreso fmilir promedio disminuye; sí mismo observmos un ts de nlfbetismo lt (0.85) medid que el porcentje de poblción gropecuri en el deprtmento es myor. Tmbién existe correlción lt e invers entre el ingreso fmilir promedio y l ts de nlfbetismo (-0.83), lo cul indic que menor ts de nlfbetismo es myor el ingreso fmilir promedio. Existen demás correlciones reltivmente bjs entre l ts de migrción y ls siguientes vribles: con l poblción gropecuri (-0.55), viviends sin construir (0.54), ingreso fmilir promedio (0.54) y con ts de nlfbetismo(- 0.49). Los deprtmentos con myor ts de migrción tiene menor poblción gropecuri y menor ts de nlfbetismo. Asimismo, deprtmentos con myor ts de migrción tienen myor ingreso fmilir promedio y el número de viviends sin construir crece. Al retirr el deprtmento de Lim, disminuye l fuerz de l relción entre l ts de migrción y el porcentje de l poblción gropecuri(-0.35) y el porcentje de viviends sin construir(0.14). Esto pues Lim es un deprtmento con un lt ts de migrción. Al retirr 79

4 el deprtmento de Mdre de Dios l correlción es más fuerte entre el ingreso fmilir promedio y l ts de nlfbetismo(-0.91). Esto debido que en Mdre de Dios, los ingresos dependen en buen prte de l explotción del oro. Cundo se retirn los dos deprtmentos, se observ los cmbios que cd uno de los deprtmentos ocsiono cundo fueron retirdos independientemente. En el Cudro N 02 se present el porcentje de vrición explicd por cd un de ls componentes principles obtenids de ls mtrices de correlción considerndo los cutro csos. En el cul podemos observr que cundo se retir el deprtmento de Lim, el porcentje de vrición explicd de l segund componente principl se increment en csi un 20%, incremento que se mntiene cundo se retir mbos deprtmentos más no cundo se retir solmente el deprtmento de Mdre de Dios, indicndo que el deprtmento de Lim, es un dto discordnte que posiblemente infl l vrinz y puede ser detectdo en el gráfico de ls primers componentes principles. En el cudro N 03 se presentn los coeficientes de l primer componente principl, en los cutro csos considerdos. No se observn diferencis significtivs. Este componente puede interpretrse como un indicdor que contrst l ts de migrción, porcentje de viviends sin construir, ingreso fmilir promedio frente l poblción gropecuri y l ts de nlfbetismo. Vlores ltos indicn que el deprtmento en cuestión tiene un ts lt de migrción, un lto porcentje de viviends sin construir y ingresos fmilir ms lto que el promedio. Los coeficientes de l segund componente principl se presentn en el cudro N 04, observándose cmbios en los csos considerdos. Cundo se considern todos los deprtmentos, est componente principl puede interpretrse como un indicdor de l ts de migrción, ts de nlfbetismo frente el ingreso fmilir promedio. Retirndo el deprtmento de Lim puede interpretrse como indicdor de l ts de migrción frente porcentje de viviends sin construir. Mientrs que l retirr el deprtmento de Mdre de Dios, como un indicdor de l ts de migrción y l ts de nlfbetismo pr finlmente interpretrse cundo son retirdos los dos deprtmentos como un indicdor de l ts de migrción frente el porcentje de viviends sin construir. Observándose, que el retiro de cd uno de los deprtmentos fectn diferente l segund componente. En el cudro N 05, se presentn los coeficientes de tercer componente principl, en el cso de considerr todos los deprtmentos, est componente puede interpretrse como un indicdor de l ts de migrción, el ingreso fmilir promedio frente el porcentje de viviends sin construir. Al retirr el deprtmento de Lim, es un indicdor entre el ingreso fmilir promedio frente l ts de migrción y el porcentje de viviends sin construir. Retirndo el deprtmento de Mdre de Dios, puede interpretrse como un indicdor del porcentje de viviends sin construir, l ts de nlfbetismo. Mientrs que cundo se retirn los dos deprtmentos, est componente principl puede interpretrse como un indicdor de l ts de migrción, porcentje de viviends sin construir y l ts de nlfbetismo. 80

5 Los coeficientes de l curt componente principl, se present en el cudro N 06, en él se observ que est componente puede interpretrse como un indicdor del ingreso fmilir promedio y l ts de nlfbetismo cundo se considern todos los deprtmentos. Al retirr Lim, es similr su interpretción, diferenci que cundo se retir Mdre de Dios, se observ como un indicdor del ingreso fmilir promedio, l ts de nlfbetismo y l poblción gropecuri. Cundo son retirdos los dos deprtmentos, l curt componente se interpret similr l cso cundo se retir Mdre de Dios. En el cudro N 07, se presentn los coeficientes de l quint componente principl en los cutro csos considerdos. L quint componente puede interpretrse como un indicdor de l poblción gro pecuri, el porcentje de viviends sin construir y el ingreso fmilir promedio cundo se considern todos lo deprtmentos. Al retirr Lim, es similr su interpretción; diferenci que cundo es retirdo Mdre de Dios, se convierte en un indicdor de l ts de nlfbetismo frente l poblción gropecuri y el porcentje de viviends sin construir. Similr interpretción se d cundo son retirdos los dos deprtmentos. Lim es un dto discordnte que puede identificrse del nálisis de ls primers componentes principles, este hecho puede tmbién observrse del gráfico de ls primers componentes principles, tl como se present en el gráfico N 01, en el cul se present el gráfico de ls dos primers componentes principles y el deprtmento que se comport diferente l myorí de los deprtmentos es Lim; él cul es un dto discordnte que infl l vrinz y es un dto influyente[3]. El deprtmento de Mdre de Dios, es un dto discordnte que puede identificrse del nálisis de ls últims componente principles, este hecho puede observrse del gráfico de ls últims componentes principles, tl como se present en el gráfico N 02, en el cul se present el gráfico de l tercer y curt componente principl y el deprtmento de Mdre de Dios, se comport en form diferente l myorí de los deprtmentos; éste es un deprtmento que no fue posible detectrlos de los gráficos de pres de vribles y este es un dto potencilmente influyente [3] Conclusión Es posible detectr dtos discordnte s influyentes y potencilmente influyente utilizndo los resultdos del ACP, relizndo gráficos d~ ls primers componentes principles pr identificr puntos influyentes y gráficos de ls últims componentes principles pr identificr puntos potencilmente influyentes. 81

6 CUADRO N 01.- MATRIZ DE CORRELACIÓN ) Todos los deprtmentos b) Retirndo Lim MIG PEAG IFP MIG PEAG IFP MIG PEAG IFP c)retirndo Mdre de Dios d) Retirndo Lim y Mdre de Dios MIG PEAG MIG PEAG MIG PEAG CUADRO N 02.- PORCENT AJE DE VARIACION EXPLICADA POR LAS COMPONENTES PRINCIPALES Todos los Retirndo Retirndo Mdre de Retirndo mbos deprtmentos Lim Dios deprtmentos r

7 CUADRO N COEFICIENTES DE LA PRIMERA COMPONENTE PRINCIPAL Todos los Retirndo Retirndo Mdre de Retirndo mbos [deprtmentos Lim Dios deprtmentos MIG PEAG CUADRO N 04.- COEFFICIENTES DE LA SEGUNDA COMPONENTE PRINCIPAL Todos los Retirndo Retirndo Mdre Retirndo mbos deprtmentos Lim de Dios deprtmentos MIG PEAG CUADRO N COEFICIENTES DE LA TERCERA COMPONENrE PRINCIPAL Todos los Retirndo Retirndo Mdre de Retirndo mbos deprtmentos Lim Dios deprtmentos MIG PEAG

8 CUADRO N COEFICIENTES DE LA CUARTA COMPONENTE PRINCIPAL Todos los Retirndo Retirndo Mdre de Retirndo mbos deprtmentos Lim Dios deprtmentos MIG PEAG CUADRO N COEFICIENTES DE LA QUINTA COMPONENTE PRINCIPAL Todos los Retirndo Retirndo Mdre de Retirndo mbos deprtmentos Lim Dios deprtmentos MIG PEAG GRAFICO N 01.- GRAFICO DE LAS DOS PRIMERAS COMPONENTES PRINCIPALES oj LIMA. 2 S E G U N D A 1 C (lo O M P O N 1 E N T E 2 6.Fb.r.:IJ~HPLNO. MADREDE SAN~A~m~é AMAoZoNAS"... APLRIMAC TA. LA IBfo!V~ C~JAMARC ~LI. o 2 4 PRIMERACOMPONENTE 84

9 GRAFICO N 02,- GRAFICO DE LA TERCERA Y CUARTA COMPONENTE PRINCIPAL i.o SAN MART.5. ICA A~ >:jl\~ JUNIN LCAYALI C ~~PA~CO U A A HUANLCO 0.0. R T rfsh ~~~ A J CNA AYACLCHO C..5. O AP~IMAC M P O 1.0. MADREDE N E N T E TERCERA COMPONENTE BIBLIOGRAFÍA l. Jhonson, R.; Wicher, D. (1980) Applied Multivrite Sttisticl Anlysis. 2. Jollife, I.T. (1986) Principl Anlysis. Springer Verly. 3. Seier,E.; Cárdens, A.; Cmbillo, E.; Adrizol, Y.; Medin, F. (1994). Análisis de Influenci. Lbortorio de Series de Tiempo. 85