Temario de oposiciones MATEMÁTICAS. Lidia Santágueda Ruiz Mariola Martínez Santibáñez

Transcripción

1 Tearo de oposcoes MATEMÁTICAS Lda Satágueda Ruz Marola Martíez Satbáñez

2 Tearo de Oposcoes de Mateátcas

3 Últa edcó 6 Autoras: Lda Satágueda Ruz y Marola Martíez Satbáñez Maquetacó: Edta: Educàla Edtoral Ipre: Ulzaa dgtal ISBN: Depósto legal: E curso Prted Spa/Ipreso e España. Todos los derechos reservados. No está pertda la represó de gua parte de este lbro, de ágees de texto, tapoco su reproduccó, utlzacó, e cualquer fora o por cualquer edo, be sea electróco, ecáco o de otro odo, tato coocda coo los que pueda vetarse, cluyedo el fotocopado o grabacó, está pertdo alacearlo e u sstea de foracó y recuperacó, s el perso atcpado y por escrto del edtor. Algua de las ágees que cluye este lbro so reproduccoes que se ha realzado acogédose al derecho de cta que aparece e el artículo 3 de la Ley /8987, del de ovebre, de la Propedad telectual. Educàla Edtoral agradece a todas las sttucoes, tato públcas coo prvadas, ctadas e estas págas, su colaboracó y pde dsculpas por la posble osó volutara de alguas de ellas. Educàla Edtoral Avda de les Jacarades loft Burjassot-Valèca Tel Eal:

4 MUESTRA TEMARIOS TEMA Aproxacó a la axoátca de la teoría de cojutos. Relacoes baras. Ordeacó total. Relacoes de equvaleca. Cojuto Cocete. Cardaldad.. Itroduccó. Aproxacó a la axoátca de la teoría de cojutos... Síbolos lógcos.. Cuatfcadores.3. Operacoes co cojutos.. Relacoes baras 3. Ordeacó Total 4. Relacoes de Equvaleca. Cojuto cocete 5. Cardaldad. 6. Coclusó 7. Bblografía. Itroduccó Lo que hasta hace uos años se coocía coo ateátca odera es ua expresó popular para u desarrollo de las ateátcas que coezó a prcpos del XIX. Durate ucho tepo las ateátcas fuero cosderadas u área dode se estudaba catdades tales coo dstaca, áreas, águlos o pesos. Desde luego el álgebra eleetal y el cálculo dca que tabé los objetos cotables o edbles so objetos que fora parte de las ateátcas. S ebargo los ateátcos se dero cueta, que tabé los probleas lógcos, la axoátca, las operacoes co síbolos abstractos o la estructura de espaco puede ser abordados desde las ateátcas. Síbolos lógcos y teoría de cojutos fuero fudados ates de 85. Co el paso del tepo las ateátcas aplcadas fuero ajustádose letaete a las uevas perspectvas y cuado e 95, la físca cuátca aplcó de fora extosa la teoría de grupos a sus vestgacoes, la ateátca odera rrupó rápdaete e otras áreas de la vestgacó cetífca.. Aproxacó a la teoría de cojutos E ateátcas se estuda objetos de dferetes tpos: putos, úeros, vectores... estos objetos o eleetos base, fora e vrtud de certas propedades, coleccoes o cojutos. Cada ua de las dversas teorías se ocupa del estudo de deterada coleccó que se deoa cojuto base de la teoría. Así, por ejeplo, e geoetría el eleeto base es el puto y el cojuto base el cojuto forado por todos los putos. E artétca, el eleeto base es el úero atural y su cojuto base es el cojuto de los aturales. Prohbda la reproduccó total o parcal s perso escrto del edtor Pága Tel

5 Coo otacó para señalar los eleetos de los cojutos epleareos letras úsculas y para los cojutos las ayúsculas. Los eleetos de u cojuto so susceptbles de teer etre ellos, o co los eleetos de otros cojutos deteradas relacoes. U eleeto que fora parte de u cojuto se dce que perteece a él. Se euca dcedo el eleeto a perteece al cojuto A y se deota por a A. La egacó de esta relacó es otra que se expresa así el eleeto a o perteece a A y a A. A veces se suele dcar u cojuto expresado sus ele- A abc,,,... z para dcar el cojuto abecedaro. etos etre llaves. Así poeos { } Para cojutos ftos es posble lstar sus eleetos. E su lugar trataos de descrbrlo caracterzado sus eleetos por palabras o síbolos ateátcos. Por ejeplo los úeros reales eores que 3 A { x R / x 3} podeos escrbr A { x/ PX ( )} < Cuado es ua propedad P, la que caracterza a los eleetos del cojuto { / 5 3 5} A x x x. Por ejeplo los últplos de cco copreddos etre 3 y 5. S al estudar u cojuto A os veos oblgados a detfcar el so eleeto co dos obres dsttos a y b dreos que a es gual a b y lo deotaos ab, es la llaada relacó de gualdad. A veces tabé se dce que a cocde co b. La egacó de esta propedad es a b a dstto de b. U cojuto A se dce que está be defdo cuado co precsó podeos saber s u eleeto perteece o o a él. Dreos que el cojuto A está cotedo o es gual al cojuto B y podreos A B s todo eleeto de A perteece a B, es la relacó de clusó. Caso de que A B y B posea algú eleeto dstto de los de A se dce que A es u subcojuto o que está cotedo estrctaete e B y se expresa A B. S A B y B A se dce que A y B so guales. Podreos AB. Para dcar que o so guales A B... Síbolos lógcos La utlzacó de deterados síbolos lógcos, cotrbuye a expresar co clardad y carácter uversal, relacoes etre expresoes ateátcas. Veaos los ás utlzados e ateátcas. Iplcacó. Cuado dadas dos proposcoes A y B de la certeza de la prera se sgue la seguda se dce que A plca B y se expresa A B. La gualdad es u relacó trastva; es decr, de la hpótess ab y bc se deduce la cosecueca ac. Etoces { a byb c} { a c}. Cuatfcadores. Cuado poeos A B, sgfca que todo eleeto de A perteece a B. Utlzado síbolos lógcos esta propedad se expresará coo a A a B. El síbolo que se lee para todo es u cuatfcador llaado cuatfcador uversal. Otro síbolo utlzado es, se lee exste y es el cuatfcador exstecal. Por ejeplo por el axoa de eleccó sabeos que s A a A. Muchas veces teresa adeás de la exsteca, la ucdad. Etoces epleaos el sgo! para deterar u úco; asocado al cuatfcador! se lee exste u úco. Por ejeplo el cojuto de los eteros se verfca que ayb! x Ζ / a+ x b... El Cojuto de las partes Sea u cojuto E, etedereos por parte de E, cualquer subcojuto A E. Toda parte de A de u cojuto E, queda defda por ua propedad. Detro del cojuto de las partes se cluye dos sub- E x E / x x x E / x x cojutos, el cojuto { } y el cojuto vacío que se deota por { } S u subcojuto posee u úco eleeto a lo deotareos por { } a, y se llaa sgulete. Todas las partes de E fora u cojuto que llaareos cojuto de las partes de E y lo dcareos por Prohbda la reproduccó total o parcal s perso escrto del edtor Pága Tel

6 ( E) A ( E) A E { }. Se verfca las sguetes dobles plcacoes lógcas o equvalecas. a ( E) a E Notar que o sepre ua propedad defe u cojuto s cosderaos el cojuto B { A, A A} (Paradoja de Rusell) os ecotraos que s B B B B y s B B B B. Esta paradoja parte de la exsteca del cojuto B..3. Operacoes co Cojutos Sea E u cojuto cualquera vaos a defr e ( E) tres operacoes de la sguete fora. Llaareos uó de los cojutos A, B ( E) al cojuto de ( E) A B { x E / x A x B} A x / x A para alg ú Ι y se dca por. Para el caso de ua coleccó de cojutos { A : } la uó coo el cojuto { }. Ι Llaareos terseccó de los cojutos A, B ( E) al cojuto de ( E) A B { x E / x A x B} A : A x/ x A Ι Ι se defe que se dca por Ι se defe la Para el caso de ua coleccó de cojutos { } terseccó del cojuto { } las propedades. Ι So coutatvas A B B A A B B A. A ( B C) ( A B) C Asocatvas A ( B C) ( A B) C A B C A B A C Dstrbutvas ua respecto de la otra A B C A B A C. Es fácl probar que las dos operacoes cuple ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Veaos la deostracó de ésta últa por su o edatez Sea x A ( B C) S x Aetoces ( x A B) ( x A C) es decr x ( A B) ( A C) x Aetoces x ( B C), por lo tato x ( ( A C) veáoslo a derecha. y s por el cotraro x A x A B x B del so odo coo x A C x C luego x B C. Sea x ( A B) ( A C). S x A x A ( B C) Llaareos cojuto copleetaro de A ( E) al cojuto de ( E) C C A x E/ x A. S por A\B quereos dcar A B C que se dca por A def- es claro que se cuple las sgue- do por { } tes propedades C ( A ) C A B A\ B A B ( ) B ( A\ B). S y heos vsto el cotedo a zquerda, coo El cojuto ( E) dotado co las tres operacoes ctadas se dce que fora u álgebra de Boole. Prohbda la reproduccó total o parcal s perso escrto del edtor Pága 3 Tel

7 Aplacó Otras propedades que se cuple so Idepotete A A A A A A ( ) ( ) Splfcatva A B A A A B A A c c Copleetara A A E A A Leyes de Morga A A B c c c ( B) ( A B) A B C c c.4. Aplcacoes etre Cojutos Llaareos aplcacó del cojuto A e el cojuto B a u subcojuto C del producto cartesao C A B/ a A! b B / ( ab, ) C. Al cojuto A se llaa doo de la aplcacó y al subcojuto de B forado por los segudos eleetos de los pares se le llaa age. Las aplcacoes etre cojutos suele represetarse por letras úsculas f, g, h, y para la aplcacó de A e B se suele poer el síbolo f : A B. S ( ab, ) fse poe f ( a) b y se dce que b es la age por f de a. El cojuto age de A por f, forado por las ágees de todos los ele- f A. Ua aplcacó f : A B se dce etos de A se suele dcar por ( ) Iyectva s f( a) f( b) a b Sobreyectva s b B a Α / f( a) b Byectva s es yectva y sobreyectva. Dado B B el cojuto f ( B) { x A / f( x) B} se llaa age versa por f de B. S f es byectva etoces f ( ) b está forado por u úco eleeto. La aplcacó de B e A, tal que la age de u eleeto b B es su age versa por f, le llaareos aplcacó versa de f. Se dca tabé por f. S f : A B y g: B C so dos aplcacoes la aplcacó g f : A C defda g f a g f a se llaa aplcacó de f copuesta co g. ( ) ( ) ( ). Relacoes Baras Dados dos cojutos A y B se llaa cojuto cartesao de A por B al cojuto que se dca por A B y se defe coo A B {( ab, ) / a Ab B}. Sedo la defcó de A A A. Por duccó se defe A A A. Llaareos relacó R e u cojuto A u subcojuto del producto cartesao A A. S ( ab R, ) dreos que a está relacoado co b y podreos e lo sucesvo ar b. Caso de que:. ara a A dreos quer cuple la propedad reflexva.. S arb ybr aetoces dreos que cuple la propedad es sétrca.. S arb ybra a b; dreos que cuple la propedad atsétrca. Prohbda la reproduccó total o parcal s perso escrto del edtor Pága 4 Tel

8 v. S arb y brc ar c dreos que la propedad que cuple es la trastva. Coo ejeplo la relacó de dvsbldad e es reflexva, ya que cada úero es dvsble por él so y el uo sepre, y atsétrca. La cogrueca de segetos e el plao es ua relacó sétrca y trastva. 3. Orde Total Ua relacó R e u cojuto A que sea reflexva, atsétrca y trastva se llaa relacó de orde. S R es ua relacó de orde e A y ar b se suele poer a b y se lee a eor o gual que b o be b es ayor o gual que a. S dados dos eleetos cualesquera ab, Ao be a b, o be b a se dce que la relacó es de orde total o que el cojuto está totalete ordeado, o a veces tabé se dce que A es ua cadea. Coo ejeplos la dvsbldad e es ua relacó de orde al gual que la clusó e ( E), s, se dce que es ebargo o es ua relacó de orde total. S ebargo la relacó Dados y eor o gual que y se escrbe s o s p Ν / + p, sí es de orde total. E u cojuto A ordeado por ua relacó de orde y dado u cojuto B A, exste ua sere de eleetos otables que a cotuacó defos. Llaareos ayorate o cota superor de B e A a u eleeto a A x a x B, aálogaete el eleeto a' es u ayorate o cota feror s a' A a' x x B. Se llaa áxo de A a u eleeto a A/ x a x A, así u ío de A es u eleeto a A/ a x x A, obsérvese que para que exsta áxo (ío) es ecesaro que éste sea coparable co cualquer eleeto de A. U axal del cojuto A es u eleeto a A/ S b A / a b a b, de la sa fora u al será u eleeto a A/ S b A /b a a b. El supreo de B e A es la eor cota superor (s exste) de B e A y el ífo de B e A es la ayor cota feror (s exste) de B e A. Vaos a eucar u portate teorea relacoado co el orde, que es equvalete al axoa de eleccó, éste axoa perte de u cojuto o vacío elegr u eleeto, es el llaado Lea de Zor: S A es u cojuto ordeado, o vacío, e el que cada cadea de A tee ua cota superor e A, etoces A posee al eos u eleeto axal. 4. Relacoes de equvaleca. Cojuto cocete R cuado a recorre A so guales o dsjutos. Cada uo de estos cojutos se cooce co el obre de clase de equvaleca y el cojuto forado por todas las clases de equvaleca cojuto cocete de A por la relacó R. Es fácl probar, que el cojuto cocete es ua partcó de A,.e. ua coleccó de subcojutos dsjutos dos a dos cuya uó es A. Ua relacó R de u cojuto A que sea reflexva, sétrca y trastva se llaa relacó de equvaleca. S R es ua relacó de equvaleca e A, los cojutos [ a] { x A; x a} Recíprocaete s { A : } Ι es ua partcó del cojuto A, la relacó defda de la fora xry s x y A para algú Ι se puede coprobar fáclete que es de equvaleca sedo su A : Ι. cojuto cocete { } Ua de las relacoes de equvaleca ás portates es la relacó de equvaleca asocada a ua aplcacó. Sea f : A Bua aplcacó defos e A la relacó a a' f a f a', su de- R s ( ) ( ) Prohbda la reproduccó total o parcal s perso escrto del edtor Pága 5 Tel

9 { } ostracó es trval, así tedreos que las clases de equvaleca [ a] a' A f ( a) f ( a' ) lugar al cojuto cocete A R y dará. A partr de ahí podeos llegar a la llaada descoposcó caóca de ua aplcacó. Partreos de proyeccó del cojuto e el cojuto cocete está aplcacó es claraete sobreyectva. ρ : A A R a f : A f ( A R ) Vaos a costrur la fucó f es aplcacó puesto que [ a] [ a' ] etoces [ a] f( a) f( a) f ( a' ), vaos que está aplcacó es byectva S [ a] [ a' ] a o está relacoado co a edate R f ( a) f ( a' ) f ([ a] ) f ([ a' ]) la deostracó de la suprayectvdad es obva ya que dado f ( a) f ( A) es claro que f ([ a] ) f ( a), y por últo cosderaos la clusó : f ( A) B que obvaete es yectva, así heos descopuesto la aplcacó f co f f ρ, que es la llaada descoposcó caóca, dode ρ es sobreyectva f es byectva y la clusó yectva. A f R ( ) [ ] ( ) ( ) ρ A f A B a a f a f a [ a] 5. Cardaldad Se dce que el cojuto A es equpotete al cojuto B s exste ua aplcacó f : A B byectva. La relacó de equpoteca es ua relacó de equvaleca e la clase de todos los cojutos. Veáoslo: es reflexva dado que cualquer cojuto es equpotete cosgo so; es sétrca dado que s A es equpotete co B la aplcacó es tabé byectva por lo tato B es equpotete co A y es trastva dado que s A es equpotete co B y B es equpotete co C, es claro que A será equpotete co C. Se llaa cardal de u cojuto A y se escrbe A a la clase de equvaleca de A edate la relacó de equpoteca. A B s A es equpotete co B. β B so cardales dreos que α β s f : A B yectva. Dreos que α β α β y α β. S α A, TEOREMA DE CANTOR. S A es u cojuto cualquera A ( A) <. B a A a g a A Coo g es su- DEMOSTRACIÓN. Desde luego A ( A) f : A ( A). Sea g: A ( A) byectva y sea ( ) a { a} prayectva a AB g( a ) etoces teeos dos posbldades S o es posble la byeccó c.q.d. < s ya que sepre podeos defr la aplcacó yectva β so cardales de for- Coo cosecueca teeos el TEOREMA DE SCHRÖEDER- BERNSTEIN S a que se verfca a la vez α β y β α etoces α β. A { } ( ) a g( a) a B g( a) a g( a ) a B g( a ) α y # # ℵ, (alef cero, prera letra del alfabeto hebreo) es U cojuto A se dce uerable s decr es equpotete co el cojuto de los úeros aturales, tato el cojuto de los eteros, coo los racoales lo so, así coo el producto cartesao de dos uerables tabé lo es. El cojuto de los úeros reales o es uerable, pero s que tee ua relacó y es que ( ). Para defr la ftud o ftud de u cojuto defreos prero uos subcojutos especales de los aturales. Deotareos por I y para cada atural I {,, 3... }, etoces Prohbda la reproduccó total o parcal s perso escrto del edtor Pága 6 Tel

10 I o es equpotete co cualquera de sus subcojutos propos, I es equpotete co I s. Adeás I es equpotete co u subcojuto de I pero I o es equpotete co cualquera de los subcojutos de I s <. U cojuto A se dce fto s tal que A es equpotete co I e caso cotraro se dce que es fto. S A es fto etoces A o es equpotete co cualquera de sus subcojutos propos S A es u cojuto fto y f : A B es ua aplcacó yectva etoces es byectva S A es u cojuto fto etoces su cardal es estrctaete ayor que que todo subcojuto de u cojuto fto es fto. Notar 6. Coclusó Coocer las propedades y relacoes que se establece e los cojutos es la base para cualquer teoría ateátca. Resaltar que a partr de la estructura de cojutos defos ua operacó tera, o e u cartesao algua extera, obteeos las estructuras algebracas de dchos cojutos dado lugar a grupos, allos, cuerpo, espacos vectorales y e geeral las estructuras que se fora alrededor de los coceptos ateátcas que desarrolla las dferetes raas del saber, ya que dcha geeralzacó faclta el cooceto y deostracó de las propedades. 7. Bblografía GODEMENNET (974) Álgebra. MADRID TECNOS PINTER (97) Set Theory MASSACHUSSETS. ADDISON- WESLEY PB COMPANY. HALMOS. P. R. (98) Teoría tutva de los cojutos MÉXICO CECSA. Referecas legslatvas: Webgrafía: Prohbda la reproduccó total o parcal s perso escrto del edtor Pága 7 Tel

11 TEMA 4 Cobatora. Perutacoes cíclcas. Grupos de perutacoes. Aplcacoes.. Itroduccó.. Cobatora... Téccas de Recueto... Varacoes..3. Perutacoes..4. Cobacoes.. Perutacoes Cíclcas. 3. Grupos de perutacoes. 4. Aplcacoes. 5. Otros prcpos. 6. Coclusó. 7. Bblografía.. Itroduccó La cobatora es ua parte del álgebra que estuda las dferetes foras e que podeos agrupar u ordear uos eleetos dados, sguedo uas deteradas reglas establecdas. Se prescde de la aturaleza de los eleetos, pero o del orde. Nos proporcoa algortos para averguar la catdad de agrupacoes que bajo deteradas codcoes se puede forar co los eleetos de u cojuto. Los coezos de la cobatora se stúa haca el a.c., s be es certo que debero teresar a los huaos desde el coezo de la cvlzacó, el dato hstórco ateror se basa e el lbro Cho I Chg, llaado Lbro de los Cabos. Muy posterorete haca el s. XI-XII e la Ida ecotraos escrtos de Bhasara, que escrbe sobre la utldad de hallar las varacoes de los dferetes etros e la versfcacó. Este terés es debdo a que la tradcó hdú oblgaba a escrbr las obras e verso depedeteete de la dscpla sobre la que versa. E Europa, la cobatora se desarrolla e la Edad Meda debdo a los estudos judíos de la Cábala, tabé Raó Llull sxii trató la cobatora e su Ars Maga. La cobatora odera ace co la fgura de Baslle Pascal, s XVII, desarrolló la teoría de las cobacoes y los úeros cobatoros, el trágulo de Tartagla y el desarrollo de la poteca de u troo. Beroull s XVII-XVIII e su obra Ars Cojectad fue u pulsor de la cobatora, cosguó obteer el desarrollo de ( ax + a). E la actualdad la cobatora tee gra portaca e la teoría de probabldades, estadístca, teoría de grafos, etc. Prohbda la reproduccó total o parcal s perso escrto del edtor Pága Tel

12 . Cobatora.. Téccas de recueto Las téccas de recueto trata de estudar las ordeacoes de los eleetos de u cojuto. El prer problea que se os puede platear es la exsteca de u eleeto. Ua técca para buscar la solucó es la pardad. U cojuto puede teer u úero par o par de eleetos, s probaos que tee u úero par etoces al eos hay u eleeto y quedaría deostrado su exsteca. Para cotar el úero de eleetos de u cojuto podeos aplcar la técca de correspodeca uo a uo, se trata de cosegur ua aplcacó byectva etre el cojuto y u subcojuto de los aturales, de ese odo el cojuto tedrá eleetos es decr su cardal es. Veaos por últo dos secllos y práctcos prcpos. El prcpo de adcó: s elegos u objeto de etre lo exstetes de cojutos dsjutos de cardales,,..., exste foras de realzar la eleccó. Y el Prcpo de ultplcacó, s de fora cosecutva elegos u objeto de cada cojutos de cardales,,..., exste,... foras de realzar la eleccó... Varacoes de cardal llaareos varacó ordara de los eleetos de A toados de e, a cada uo de los grupos ordeados( a, a,..., ) a co eleetos de A dsttos. E lo sucesvo el total de estas varacoes ordaras lo dcareos por el síbolov. Dado u cojuto A { a, a,..., a} Necesaraete. Para calcularv utlzareos el prcpo de la ultplcacó y así, coo exste posbldades para la prera eleccó, etocesv. Realzada la prera eleccó, exste - posbldades para la seguda, así V ( ), reterado el proceso y realzadas - eleccoes llegaos a la -ésa eleccó y teeos (-+) posbldades para dcha eleccó, co lo que por la regla del producto teeos V ( )...( + ) y todas. Coo ejeplo de este tpo de agrupacó tedríaos las aeras posbles de repartrse las tres edallas los ocho falstas de ua fal olípca V Dado u cojuto A { a, a,..., a} de cardal llaareos varacó co repetcó de los eleetos de A toados de e, a cada uo de los grupos ordeados ( a, a,..., ) a co eleetos de A, teedo e cueta que alguo puede repetrse y a ese úero le deotareos por el síbolo VR. Observeos que e este caso s puede darse que. Para calcularvr utlzareos otra vez el prcpo de ultplcacó. Coo exste posbldades para la prera eleccó resulta que VR. Puesto que realzada la prera eleccó, exste de uevo otra vez posbldades obteeos quevr. S reteraos el proceso y tras - eleccoes, exste posbldades para la -ésa eleccó y así VR. U caso práctco sería cuátas coluas hay que llear e ua quela para estar seguros de acertar? Se trata de varacoes co repetcó de tres síbolos,x, toadas de 5 e Perutacoes Dado u cojuto A { a, a,..., a} VR 3 5 de cardal llaareos perutacó ordara de sus eleetos, a cada ua de los grupos ordeados que se puede forar co el total de ellos. E lo sucesvo el total de perutacoes ordaras de A lo dcareos por el síbolo P. Cada perutacó se correspode co ua de las varacoes ordaras de sus eleetos toados de e. Por lo tato P V P.... S coveos e represetar... por el síbolo!, leído factoral Etoces podeos escrbr P! ( ) y de ahí ( ) Prohbda la reproduccó total o parcal s perso escrto del edtor Pága Tel

13 Por ejeplo cuátas posbles clasfcacoes puede darse e ua fase preva de chapos? 4!4 3 S cosderaos u byeccó f :{,,3,..., } A ( (), (),... ( )) a, a,..., a la aplcacó { }, y lo expresaos coo f f f obteeos ua perutacó de los eleetos de A. Recíprocaete dada g:,,... A/ g ( ) a ua perutacó de A ( ) es ua byeccó. E cosecueca, podríaos represetar el eleeto a de A, por el atural y vceversa, o exste coveete e detfcar las perutacoes del cojuto A co las de {,,...} Dado u cojuto A { a, a,..., a} de cardal, dode el eleeto a para,,.. aparece repetdo veces, llaareos perutacó co repetcó de los eleetos de A, a cada uo de los dsttos grupos ordeados que puede forarse co ellos. a, a,..., a so aquellos para los que resulta los correspodetes S l el total de perutacoes co repetcó del cojuto A co PR,,... l j, se suele dcar Para calcular dcho úero debeos teer e cueta que s los eleetos de A fuese dsttos y e el cojuto de las perutacoes ordaras susttuyéraos de ellos por uo sólo, cada! perutacoes dsttas se covertría e la sa, y por lo tato exstría! perutacoes dsttas. S P ahora susttuos, eleetos dsttos y dferetes de los aterores, por uo sólo cada! Se P P covertría e la sa y tedríaos y reptedo el proceso PR,,... l!!!!...! l Coo ejeplo e ua jaula hay cuatro coejos blacos y tres grses. Los coejos sale de la jaula d uo e uo. De cuátas aeras dferetes lo puede hacer?. Los coejos se cosdera dstgubles s so del so color. Esto sería perutacoes de sete eleetos de los que uos se repte cuatro veces y el otro 3 7 7! ! PR 4,3 35 4!3! 4!3.4. Cobacoes de cardal, llaareos cobacó ordara de sus eleetos toados de e, a cada uo de los subcojutos{ a, a,..., } a forados co eleetos dsttos de A. E lo sucesvo el total de cobacoes ordaras de A lo dcareos por el síbolo Dado u cojuto A { a, a,..., a} C Para calcular C bastará co teer e cueta que o porta el orde de colocacó, cada grupo de! varacoes ordaras de los eleetos toados de e es ua úca cobacó y por tato. C V P Heos de teer e cueta que, tato las varacoes coo las cobacoes se obtee a partr de subcojutos del total y que la dfereca etre uas y otras se cocreta e la exsteca o o de u orde para las preras o las segudas. Por ejeplo, calcular las posbles cobacoes de dos eleetos que se puede forar co los úeros, y 3 3. C V 3. 3! 3 P de cardal, llaareos cobacó co repetcó de sus eleetos toados de e, a cada uo de los subcojutos{ a, a,..., } a de A co eleetos, co la codcó de que alguos de los aj puede ser guales. Lo dcareos por CR Dado u cojuto A { a, a,..., a} Prohbda la reproduccó total o parcal s perso escrto del edtor Pága 3 Tel

14 , para calcular sgaos la sguete estratega. Aleaos +- casllas y dstrbuyaos - asterscos e ellos. Covegaos que las casllas stuadas a la zquerda del prer astersco se relleara co el eleeto a las casllas stuadas etre el prer y el segudo co el eleeto a y así sucesvaete falzaos co que las casllas stuadas a la derecha del últo astersco se relleara co el eleeto a. Hecho lo ateror tedreos cosegudos ua cobacó de los eleetos de A toados de e, y coo quera que cualquer cobacó puede ser dstrbuda sguedo la estratega establecda cocluos + + que C R C C Coo ejeplo cuátos productos dferetes de cuatro factores se puede hacer co los úeros,3 y 4? Teeos tres úeros los cuales se toa de cuatro e cuatro, reptédolos y s portar el orde, luego so cobacoes co repetcó de 3 eleetos toádolos de cuatro e cuatro ! CR4 C4 C !4!. Perutacoes Cíclcas de cardal, llaareos perutacó crcular o cíclca de orde de sus eleetos a toda colocacó ordeada de de ellos dsttos, e poscoes gualete espacados sobre ua crcufereca. Dado u cojuto A { a, a,..., a} El proceso de elegr eleetos de A de etre los y colocarlos e poscoes dsttas sobre ua crcufereca puede ser realzadas de V foras. Hay que teer e cueta que es ecesaro elegr u grupo de etre los y a cotuacó perutar sus poscoes. Puesto que cada de estos eleetos stuados a los lados se sgue la fórula. Por ejeplo: de cuátas aeras puede setarse lo ocho caballeros de la tabla redoda del rey Arturo 8 V 8 8! 7! Grupos de Perutacoes ( ) S cosderaos ua byeccó f :{,, 3,..., } A y escrbos f ( ), f ( ),... f ( ) obteeos ua perutacó de los eleetos de A. Recíprocaete dada ua perutacó ( a, a,... a ) de los eleetos de A la aplcacó g: {,, 3,..., } A defda coo g( ) a es byectva. Así podeos detfcar las perutacoes de u cojuto A { a a a },,... co las byeccoes del cojuto{,,..., }. Así reducreos el problea al estudo del últo cojuto y podeos expresarlo coo para dcar cualquera de ellas a a a3 a o abrevadaete ( a, a,... a ),,..., a Tradcoalete represetaos al cojuto de las perutacoes del cojuto{ } Σ. E el podeos troducr ua operacó producto utlzado la coposcó de fucoes coo. σ, σ Σ defos σ σ σ σ Dadas co eleeto udad. S para σ Σexste p {,,..., } j σ ( ) σ ( ) σ ( ),, co esta operacó y tal que p p p p j σ ( q) q s q {,,..., } \ σ ( p) Σ es u grupo fto o coutatvo Prohbda la reproduccó total o parcal s perso escrto del edtor Pága 4 Tel

15 Se dce queσ es u cclo de logtud. Coo cosecueca es fácl deostrar que cualquer perutacó puede descopoerse coo producto de cclos. Se llaa sgatura de ua perutacó σ Σ al úero sg( σ ) < j σ ( ) σ ( j) j. Coo se cuple que σ σ( ) σ σ( j) sg( σ σ) j < j ( ) ( ) ( ) σ ( ) < j < j ( ) ( ) σ σ σ σ j σ σ j σ j j sg( σ σ ) sg( σ ) sg( σ ). se sgue que 4. Aplcacoes Dados los úeros aturales!!( )! dca por que:, defdo coo, llaareos úeros cobatoros sobre, al úero que se C. S coveos e defr! etoces es edato probar Esta gualdad perte exteder la defcó de úeros cobatora a los úeros de la fora que tee valor, al gual que... Fóula de Stfel + Aplacó Deostracó.!! ( ( ) )!( )!! ( )!. (! ) (! ) + (! ) ( )! ( ( + )) ( + ) (! ) (! ) ( ) + (! ) ( )!! (! ) ( ) (! ) (! ) ( ) (! ) ( ) +!! ( )!! ( )!! ( )!! ( )! TEOREMA. Boo de Newto. S ab, { } +!! + y etoces ( a b) a b a b a b... a b a b Prohbda la reproduccó total o parcal s perso escrto del edtor Pága 5 Tel

16 DEMOSTRACIÓN. Por duccó S (a + b) a+ b ab + ab la afracó es certa. Supogaos que es certo para - y veáoslo para (a + b) a b a b (a + b) (a + b) + + a b + a a + + ( a ) b ( ) b + b (a + b) a b a a b + a + b + ( ) b + + a b TEOREMA MULTINOMIAL. El desarrollo de la poteca ( )! suados c... xx...x co c....!!...! ( ) a b + x + x x dode x ; es ua sua de DEMOSTRACIÓN Cualquer suado e el desarrollo de: x + x x x + x x x + x x... x + x es el ( ) ( )( ) ( ) x resultado de ultplcar prer suado del prer factor, por otro del segudo factor y así sucesvaete hasta terar co el producto de u suado por el últo factor. Por lo tato ser de la fora x jx j...x j dode j y coo tervee -factores, agrupados los que so guales toara la fora fal x x...x co Para calcular el coefcete c de cada x x x tedreos e cueta el úero de suados guales a x x x que aparece e el desarrollo. A este úero se puede llegar aleado casllas e las que se rá stuado los factores que fora el producto x... jxj x j Ahora be, este úero cocde co el úero de perutacoes co repetcó de eleetos teedo e cueta que de ellos so guales, tabé hasta. Por lo tato c... P,,..., Los coefcetes c... recbe el obre de coefcetes ultoales y se suele represetar poedo.... Se sgue etoces que ( ) x + x x x x... x Otros prcpos Aplacó PRINCIPIO DE DIRICHLET. Dados, y p úeros aturales o ulos co >p, s se dstrbuye objetos e cajas algua de ellas ha de coteer al eos p+ objetos. DEMOSTRACIÓN. E efecto s a lo ás cada ua de las cajas cotuvera p objetos, etoces a lo ás exstría p objetos. PRINCIPIO DE INCLUSIÓN-EXCLUSIÓN. S por A dcaos el cardal del cojuto A cualquera, etoces dados dos cojuto C y C co cardales ftos se tee que C C C + C C C Prohbda la reproduccó total o parcal s perso escrto del edtor Pága 6 Tel

17 . el s- DEMOSTRACIÓN. Basta teer e cueta que e C + C heos cotado dos veces guete teorea es ua geeralzacó de este resultado. C C S los cojutos C, C,..., C posee cardal fto etoces C C C C C C C... ( ) C j j < j << j DEMOSTRACIÓN. Por duccó sobre. Obvaete tato par,, el resultado es váldo, supogáoslo certo para y veáoslo para +. C C C C + C C C ( ) C + C C C + + C C C + C C C ( ) C + j j + < j + << j + + c.q.d. 6. Coclusó E el estudo de las stuacoes relacoadas co el azar y e otras relatvas a otros ábtos, os ecotraos co realdades que, para poder uerarlas, debeos utlzar los prcpos báscos de coteo. Dado que e ocasoes este recueto se vuelve uy coplcado, debeos recurrr a la Cobatora, que os ayuda a cotar de fora plafcada y ordeada. Detro de todas las posbldades que os ofrece la cobatora heos destacado los prcpos báscos de adcó y ultplcacó, y los agrupaetos cláscos coo varacoes, perutacoes y cobacoes. 7. Bblografía Grald, R.(997) Mateátca Dscreta y cobatora, ua Itroduccó co Aplcacoes. Adsso Weslwy Iberoaercaa. Nora L. Bggs,(994) Mateátca Dscreta. Barceloa. Vces Vves. Referecas legslatvas: ͳͳ Real Decreto 5/4, de 6 de dcebre, por el que se establece el currículo básco de la Educacó Secudara Oblgatora y del Bachllerato. ͳͳ Orde ECD/36/5, de 3 de julo, por la que se establece el currículo de Educacó Secudara Oblgatora y Bachllerato para el ábto de gestó del Mstero de Educacó, Cultura y Deporte, y se regula su platacó, así coo la evaluacó cotua y deterados aspectos orgazatvos de las etapas. Webgrafía: Prohbda la reproduccó total o parcal s perso escrto del edtor Pága 7 Tel