CAPÍTULO 3: DIVERSAS ASOCIACIONES ENTRE LA ALEATORIEDAD Y LA INCERTIDUMBRE

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1 Parte I: Istruetos ateátcos de la teoría de los subcojutos borrosos CAPÍTULO 3: DIVERSAS ASOCIACIONES ENTRE LA ALEATORIEDAD Y LA INCERTIDUMBRE 3.. CONSIDERACIONES PREVIAS Coo señalaos al prcpo de esta tess, cuado sobre u deterado feóeo se dspoe de foracó objetva de los dferetes estados que puede adoptar y de la frecueca co que so adoptados, es decr, dcho feóeo es edble, su cuatfcacó debe ser hecha e certeza o debe estudarse edate la estadístca. S ebargo, e cecas coo la ecooía, la gestó de epresas e geeral, las cecas socales-, e uchas ocasoes o podeos edr dcho feóeo. E este caso, el aalsta debe partr úcaete de la vaga foracó que se dspoe del feóeo realzado estacoes subjetvas e base a su expereca y coocetos, sedo e este cotexto u strueto ás váldo y realsta para la apulacó de la foracó de que se dspoe la teoría de los subcojutos borrosos que la teoría de la probabldad. S ebargo, e el feóeo que pretedeos estudar cde varables de dferete aturaleza, uas de carácter objetvo y edbles, por tato so odelzables edate la teoría de la probabldad, pero otras tee u carácter vago y subjetvo, sedo lo ás adecuado odelzarlas coo subcojutos borrosos. E este caso debereos aceptar e el estudo de dcho feóeo la aleatoredad y la borrosdad cojutaete s quereos represetar felete el problea que aalzaos. Por tato, para llegar a ua solucó ás o eos realsta, será ecesaro, por tato, cobar struetos y coceptos de la teoría de la probabldad y de la teoría de los subcojutos borrosos. E estas crcustacas, la Teoría de los Subcojutos Borrosos, dspoe de dversas herraetas que perte apular la foracó cuado esta tee carácter borroso y aleatoro a la vez, es decr, híbrdo. Dchas herraetas perte, por ua parte, que la pérdda de foracó durate la apulacó de la sa sea ía, y por otra, que las operacoes a realzar pueda ser pleetadas co certa facldad. Para cuplr el prer objetvo plateado, estos struetos tratará a la foracó borrosa, co operadores ax, ucho ás adecuados a su carácter blado, y a la foracó de carácter aleatoro co operadores sua-producto. 89

2 3. Dversas asocacoes etre la aleatoredad y la certdubre De etre los struetos que se ha desarrollado para apular datos híbrdos (borrosos y aleatoros a la vez), e este apartado aalzareos los sguetes struetos: a) Subcojutos aleatoros borrosos b) El cocepto de eveto borroso c) El cocepto de úero híbrdo d) Haz de úeros borrosos e) Las varables borroso aleatoras f) Las varables aleatoras orales co eda y varaza cuatfcada a través de úeros borrosos 3.. SUBCONJUNTOS ALEATORIO BORROSOS Este strueto ha sdo desarrollado, etre otros, por Hrota (98) y Kaufa y Gl Aluja (990). S u subcojuto borroso defdo e u cojuto referecal X vee dado por su fucó de perteeca µ (x), que dca el grado de perteeca de x a A~, co µ (x ) [0,], y dcha perteeca es u valor certo; e cotraposcó, e u subcojuto aleatoro borroso, que otareos coo &, el vel de perteeca de u valor x vedrá dado por ua dstrbucó de probabldad. Así, la perteeca de u valor x a &, µ (x), será aleatora, y vedrá dada por f ( µ (x) = ) &, sedo f ( µ (x ) = ) & & ua probabldad s µ (x) & es ua varable aleatora dscreta y ua fucó de desdad, s el vel de perteeca de x esr ua varable aleatora cotua. Podeos represetar u subcojuto aleatoro borroso co la sguete fgura: µ(x) b a x b a 90

3 Parte I: Istruetos ateátcos de la teoría de los subcojutos borrosos De esta fora, los operadores báscos para subcojutos borrosos coo el ío y el áxo, - correspodetes a la terseccó y uó de cojutos- se ve afectados por las leyes de la probabldad, ya que el vel de perteeca de u valor x a u subcojuto aleatoro borroso vee dado por ua ley de probabldad. Es decr, s operaos co subcojutos aleatoros borrosos o podreos hallar, lógcaete, el vel de perteeca de u eleeto x al cojuto uó, terseccó o al cojuto copleetaro, so de la probabldad de que su vel de perteeca al cojuto uó, terseccó y copleetaro toe u deterado valor. De esta fora, sea x X, y dos subcojutos borroso aleatoros & y B ~&, para los cuales el vel de perteeca de x vee dado por µ (x) = µ y µ (x ) = µ, que so varables aleatoras. Para & el operador ío, s deotaos coo p ua edda de probabldad, se obtee: p(µ µ = )= p(µ = ) p(µ > ) + p(µ = ) p(µ > ) + p(µ = ) p(µ = ) B ~& Por otra parte, para el operador áxo, los resultados so: p(µ µ = )= p(µ = ) p(µ < ) + p(µ = ) p(µ < ) + p(µ = ) p(µ = ) y para el copleetaro obteeos p ( µ (x) = ) C & = p(µ = -) S µ (x) y µ (x ) so varables aleatoras cotuas, dode otaos coo f (µ) a la fucó de & B ~& desdad de µ (x), y f (µ) a la fucó de desdad de µ (x ), etoces, las fucoes de & desdad del vel de presucó resultate de realzar las operacoes ío, áxo y copleetacó so: f f d ( µ µ = ) = f ( ) f ( µ ) dµ + f ( ) f ( µ ) d ( µ µ = ) = f ( ) f ( µ ) dµ + f ( ) f ( µ ) f ( µ (x) = ) C & = f (-) 0 0 µ µ B ~& Asso, podeos defr estas operacoes, de fora que se splfque la otacó, a través de las fucoes de dstrbucó copleetaras de µ (x) y µ (x ), las cuales otareos respectvaete coo F () y F (). Para µ (x), s ésta es ua varable aleatora dscreta, obteeos F () coo: & & B ~& 9

4 3. Dversas asocacoes etre la aleatoredad y la certdubre F () = p(µ) µ y s µ (x) es ua varable aleatora cotua: & f dµ F () = ( µ ) De esta fora, podeos hallar las fucoes de dstrbucó copleetaras de µ µ, µ µ y la de µ (x) coo: & C F(µ µ = )= F ()F () F(µ µ = )= F ()+F ()-F () F () F ( µ (x) = ) C & = -F (-) Por otra parte, para el subcojuto borroso & podeos hallar su valor esperado, E[ & ], que será u subcojuto borroso ordaro, ya que x su vel de perteeca e & queda reducdo a u valor certo. De esta fora: µ (x) = µ f E & 0 ( µ ) dµ Para falzar, esbozaos el cocepto de úero aleatoro borroso. Para ello partos de que para u subcojuto aleatoro borroso &, podeos geerar u subcojuto borroso ordaro para cada ( ) uo de los veles de [0,], pudedo estos ser otados coo. Para dcho subcojuto defreos su fucó de perteeca coo: ( )( x) = ( ) µ F dode otaos coo ( ) F al valor de la fucó de dstrbucó copleetara de µ (x) e. & De esta fora, dreos que & será u úero aleatoro borroso s ( ) es u úero borroso, es decr, s: a) El cojuto referecal de & so los reales. ( ) b), es oral y covexo. Así: b.) sup µ ~ A ( )(x) = [0,] x X 9

5 Parte I: Istruetos ateátcos de la teoría de los subcojutos borrosos b.) x, x X, λ [0, ], [0,] ( )[ x ( ) x ] ( )( x ) ( )( x λ + λ µ µ ) µ LA PROBABILIDAD DE EVENTOS BORROSOS Para defr el cocepto de probabldad de u eveto borroso, epezareos eucado para u cojuto probablzable Ω, dode Ω es el cojuto de sucesos eleetales, el cocepto de probabldad, que es ua aplcacó tal que: p: Ω R + A Ω p(a) dode A es u cojuto ítdo de Ω, o u eveto ítdo. Los axoas que rge a la probabldad, supoédose, e cualquer caso, que los cojutos que defos sobre Ω so booleaos so: ) p(a) 0 ) A Ω y B Ω y A B= p(a B) = p(a)+p(b) 3) p(ω)= A partr de estos axoas, deducos fáclete las sguetes propedades: 4) p( )=0 5) p(a C )=-p(a) 6) p(a)+p(b)=p(a B) + p(a B) 7) S B A p(b) p(a) Zadeh (968) deoa coo eveto borroso a u subcojuto borroso defdo sobre el cojuto de sucesos eleetales Ω. Por supuesto, para la perteeca de u eleeto ω Ω tee asgado u vel de verdad que vedrá dado por su fucó característca, µ ( ω ). Zadeh propoe hallar la probabldad de u eveto borroso, p( ), coo: Ω p( ) = µ ( ω) p( ω) 93

6 3. Dversas asocacoes etre la aleatoredad y la certdubre S el cojuto referecal sobre el que defos la dstrbucó de probabldad fuera los úeros reales, es decr Ω R y s para éste deotaos coo u suceso eleetal al úero crsp x, la probabldad del eveto borroso será, e geeral: p = µ (x)df x ( ) ( ) Ω dode F(x) es la fucó de probabldad acuulada. S el cojuto Ω es dscreto, y deotaos coo p(x) a la probabldad de u eleeto x, etoces: Ω p( ) = µ (x)p( x ) y s es cotuo: p = µ (x)f x dx ( ) ( ) Ω La probabldad defda para evetos borrosos cuple asso los axoas de la probabldad: ) p( ) 0 ) Ω y B ~ Ω s B ~ = µ ( ω ) = µ ( ω ) µ ( ) B ~ ω = 0 ω p( B ~ ) = p( )+p( B ~ ) 3) p(ω)= B ~ A partr de estas propedades se deduce fáclete: 4) p( )=0 5) p( C )=-p( ), dode µ ( ω) = µ ( ) ω C 6) p( )+p( B ~ )=p( B ~ ) + p( B ~ ), dode ( ω ) = µ ( ω ) µ ( ) B ~ ω µ B ~ 7) S B ~ µ ( ω) µ ( ω) ω B ~, se cuple que p( B~ ) p( ) 3.4. NÚMEROS HÍBRIDOS Sobre el cocepto de úero híbrdo, del que dareos a cotuacó uos breves aputes, puede cosultarse, para ua exposcó ás detallada, Kaufa y Gupta (985), Kaufa (986a) o Kaufa et al. (994). 94

7 Parte I: Istruetos ateátcos de la teoría de los subcojutos borrosos U úero híbrdo se costruye suado a ua cuatía borrosa sedo su represetacó por exceleca u úero borroso- y que deotareos por, ua cuatía aleatora M. A u úero híbrdo lo otareos por el par (, M) dode: (, M) = + M dode, por ser u úero borroso, vee caracterzado por: [ ] { x, µ (x)} = { A = A ( ), A ( ) 0 } = y M, por ser ua varable aleatora, que supodreos que es cotua, vee caracterzada por su fucó de desdad f(). Para ua deterada realzacó de M,, obteeos la sua de u úero borroso co ua costate, + lo que uchos autores deoa traslacó -, operacó que puede ser represetado gráfcaete coo: µ(x) +, <0 +, >0 x De esta fora: µ + ( x) = µ (x ) y A + = [ A ( ) +, A ( ) + ] De esta fora, la sua A + M es u tervalo de cofaza aleatoro, sedo para ua realzacó A +, la correspodete a la que toa e la varable aleatora de la que provee, f(). De esta fora: 95

8 3. Dversas asocacoes etre la aleatoredad y la certdubre f(a + ) = f([a ()+, A ()+)]) = f() Por otra parte, la sua de dos úeros híbrdos (, M ) y (, M ) cuya resultate es otro úero híbrdo que otaos coo (, M), se realza de la sguete fora: (, M) = (, M ) + (, M ) =( +, M + M ) Dode coo + otaos a la sua realzada edate la covolucó ax, y coo + a la sua realzada edate la covolucó sua-producto. De esta fora, la fucó de perteeca de, µ (x) se hallará a través de µ x ) y µ x ) coo: µ ( µ (x) µ (x )) ( x) = x= x + x ( ( Y la fucó de desdad de M, f(), se halla a través de la de M, f ( ) y de la de M, f ( ), de fora que: f ( ) = f ( ) f ( ) = f ( ) f ( ) d R R d Así, u úero borroso, es u caso partcular de u úero híbrdo = (, 0), sedo 0 u úero certo dode su dstrbucó de probabldad es: = 0 p()= 0 e otrocaso Ua varable aleatora M es u caso partcular de úero híbrdo (0, M). E este caso, la fucó de perteeca del úero certo 0 es: µ x = 0 (x) = 0 e otrocaso 3.5. HAZ DE NÚMEROS BORROSOS Sobre el cocepto de haz de úeros borrosos, puede ser cosultado por ejeplo, e Kaufa y Gupta (985) o Kaufa et al. (994). U haz de úeros borrosos es u strueto que geeralza el cocepto de varable aleatora. Así, para defr el cocepto de haz partreos de la defcó de varable aleatora. Ua varable aleatora se costruye realzado ua aplcacó sobre el cojuto de sucesos eleetales Ω: X: Ω R 96

9 Parte I: Istruetos ateátcos de la teoría de los subcojutos borrosos ω Ω x = X(ω) Así X es ua varable aleatora porque volucra los resultados del espaco uestral y, asso, X es ua fucó de realzacoes reales, es decr, trasfora todos los posbles resultados de Ω, ω, e putos sobre la recta de los reales. U haz de úeros borrosos geeralza el cocepto de varable aleatora, porque e este caso, edate la fucó X(ω) o haceos correspoder a ω ua valor real x, so u úero borroso ω, que es u caso ás geeral de úero certo. Así, ω puede ser represetado coo: { x, µ (x)} = A ω = [ A ω ( ), A ( )] { 0 } ω = ω ω Be es certo que o podeos afrar que el f últo de u haz de úeros borrosos sea geeralzar el cocepto de varable aleatora, so crear ua herraeta que sea útl para la agregacó, de fora objetva, de estacoes realzadas por expertos por lo tato, subjetvascuya represetacó se realza a través de úeros borrosos. Por supuesto, co dcha agregacó se pretede obteer ua estacó subjetva que represete a la de todos lo expertos, y por tato sea ás fable que la de cada uo de ellos. Ua aplcacó portate de u haz de úeros borrosos se ecuetra e el ábto de los étodos de prevsó borrosos, coo por ejeplo e el sstea Fuzzy-Delph, que geeralza el étodo Delph covecoal, y es desarrollado por Kaufa y Gl Aluja (986). S supoeos que el espaco uestral está fora por los expertos, sedo etoces Ω={,,...,,...,}, para la -ésa realzacó de dcho espaco, es decr, la opó etda por el -éso experto, esta queda cuatfcada o por u valor real x, so por u úero borroso =,,...,, dode: { x, µ (x )} = A = [ A ( ), A ( ) ] { 0 } =, Las probabldades de {,,...,,...,}, {p, p,...,p,...,p } puede ver dadas por la portaca que se asge a cada experto, dode e cualquer caso p =, de fora que la probabldad o peso probablístco que se da a peso probablístco les asgaos la sa fabldad-, = es p. Asso, s otorgaos a todos los expertos el so p =, =,,...,. 97

10 3. Dversas asocacoes etre la aleatoredad y la certdubre La agregacó de todas las estacoes se realzará a través del úero borroso edo, deberá ser hallado e el caso e que p = : = =, que Cuya fucó de perteeca vedrá dada por: µ ( µ (x) µ (x )... µ (x )) ( x) = x= x = y sus -cortes: A = A = r= ( ), A ( ) Asso, s o asgaos la sa probabldad a todos los expertos, es decr, dscraos etre expertos ás fables y eos fables, el úero borroso edo se halla coo: = = p Sedo su fucó de perteeca, µ (x) : µ ( µ (x ) µ (x )... µ (x )) ( x) = x= px = y sus -cortes: A = pa = r= ( ), p A ( ) Ua fora seclla y razoable de expresar las estacoes de los expertos es cuatfcarlos edate úeros trapezodales o tragulares, de fora que, e el prer caso ás geeral-, 3 4 vedrá dadas por las cuartetas = ( a, a, a, a ), =,,...,. E este caso, el úero borroso que agrega todas las opoes,, tabé será trapezodal o tragular-. E cocreto, s asgaos la sa probabldad a todos los expertos: 98

11 Parte I: Istruetos ateátcos de la teoría de los subcojutos borrosos = 3 a, a, a, a = = = = 4 y de fora ás geeral, s cosderaos que los dsttos opates erece dstta cofaza: = 3 pa, pa, pa, pa = = = = 4 Falete represetaos el cocepto de haz y de úero borroso edo e la sguete fgura: µ(x) x 3.6. VARIABLES BORROSO ALEATORIAS Coceptos y defcoes El cocepto de varable borroso aleatora ha sdo desarrollado, de fora dspersa e dferetes trabajos, sedo los ás represetatvos Kwakeraak (978) y (979), Nahas (979), Pur y Ralescu (986) y Kruse y Meyer (987). E ellos se aalza coo traspoer y geeralzar a las varables aleatoras y los coceptos que de dcho strueto se derva al caso e que las realzacoes de la sa sea subcojutos borrosos e R. Coo la herraeta por exceleca para expresar cuatías borrosas so los úeros borrosos, osotros úcaete aalzareos el caso e que las realzacoes de las varables borroso aleatoras sea úeros borrosos. Ua varable borroso aleatora se costruye realzado la sguete aplcacó sobre el cojuto de sucesos eleetales Ω, sobre los que se ha defdo ua ley de probabldad: X ~ : Ω F(R) ω Ω ω 99

12 3. Dversas asocacoes etre la aleatoredad y la certdubre dode F(R) es el cojuto de úeros borrosos y ω eleetal ω, y por tato, puede ver represetado por: { x, µ (x)} = A = [ A ( ), A ( )] { 0 } ω = ω ω ω ω es el úero borroso asocado al suceso E uestro caso, úcaete estudareos las varables borroso aleatoras dscretas, y que provee de u espaco de sucesos eleetales Ω={ω, ω,...,ω,...,ω }. Así, para ω, el úero borroso asocado a dcho suceso será otado coo { x, µ (x)} = A = [ A ( ), A ( ) ], dode: { 0 } =, =,,...,. A partr de las posbles realzacoes e que puede cocretarse cada uo de los sucesos, podeos defr detro de X ~, varables aleatoras covecoales, X, cuyas realzacoes so {x, x,...,x } y que debe llevar aparejadas cosgo u vel de presucó. Así, podeos hallar la fucó característca de ua varable borroso aleatora X ~, µ (X), coo: µ (X) X ~ = ( x ) = µ X ~ que dcará el grado de verdad co que la varable aleatora X recostruye a la varable borroso aleatora X ~. Noralete, coo heos coprobado a lo largo de todo este capítulo, cuado debaos apular subcojutos borrosos suele ser dfícl trabajar co fucoes de perteeca, y e cabo es ucho ás fácl trabajar co cojutos de vel,. De esta fora, podeos defr a X ~ a través de los cojutos de vel asocados a los -cortes de X ~, X, so aquéllas varables aleatoras cuyas realzacoes so: { x R µ (x } X = ), =,,...,. Así, los -cortes de Así, para X, defos coo varable aleatora feror, X () aquélla que sus realzacoes so los extreos ferores de los -cortes de A, =,,..., y coo varable aleatora superor, X () aquélla cuyas realzacoes so sus extreos superores. Así: X X { } A ( ), co p,,,..., = = { x R µ x } = A ( ), co p, =,,..., ( ) = f x R µ ( x ) ( ) = sup ( ) 00