Cuadernos del CIMBAGE ISSN: Facultad de Ciencias Económicas Argentina

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1 Cuaderos del CIMBAGE ISSN: Facultad de Cecas Ecoómcas Argeta Adrés Sáchez, Jorge de; erceño Gómez, Atoo Aplcacoes actuarales de la eoría de los Subcojutos Borrosos Cuaderos del CIMBAGE, úm. 5, 00, pp. -39 Facultad de Cecas Ecoómcas Bueos Ares, Argeta Dspoble e: Cómo ctar el artículo Número completo Más formacó del artículo ága de la revsta e redalyc.org Sstema de Iformacó Cetífca Red de Revstas Cetífcas de Amérca Lata, el Carbe, España y ortugal royecto académco s fes de lucro, desarrollado bajo la catva de acceso aberto

2 ALICACIONES ACUARIALES DE LA EORÍA DE LOS SUBCONJUNOS BORROSOS Jorge de Adrés Sáchez y Atoo erceño Gómez E este trabajo eploramos dferetes posbldades de aplcacó de la teoría de los subcojutos borrosos (SB) e áreas del aálss actuaral, ya que por su gra capacdad para represetar y mapular formacó vaga, poco estructurada o de carácter subjetvo, puede ser útl e crcustacas e que la decsó del asegurador deba basarse, al meos parcalmete, e formacó de estas característcas. E cocreto, eploramos la aplcabldad de la SB e la seleccó de resgos, e la agrupacó de resgos, e la decsó sobre ua polítca de reaseguros óptma y e la valoracó facera de los seguros de vda. alabras clave: eoría de los subcojutos borrosos, decsoes e la empresa aseguradora, seguros de o vda, seguros de vda, valoracó facera.. INRODUCCIÓN El objeto del presete trabajo es ofrecer ua refleó sobre dversas utldades que puede proporcoar la teoría de los subcojutos borrosos (SB) e la toma de decsoes del asegurador. No obstate, quséramos remarcar que, e cualquer caso, o vamos a poer e cuestó la estadístca como herrameta básca de la Los autores agradece los cometaros de los evaluadores.

3 CUADERNO DEL CIMBAGE N 5 ceca actuaral, pues, e uestra opó el aálss cuattatvo de los seguros debe ser báscamete estadístco. or otra parte, tampoco debemos perder de vsta que e determados aspectos de la toma de decsoes del asegurador, como las varables que se debe utlzar, la mapulacó del valor de las msmas para llegar a ua decsó fal, etc.; be, está delmtados o defdas de forma mprecsa. or otra parte, muchas decsoes se basa e factores como la epereca y la subjetvdad del decsor, por ejemplo, e el ámbto de los seguros sataros, o so coceptos ítdos hábtos saludables o actvdades de resgo. Otras varables como el tpo de terés o la flacó, auque puede estar delmtadas, su predccó futura medate la estadístca, sobre todo e horzotes evaluatoros largos como e los seguros de vda, es, cuato meos, rreal. or ello, los actuaros suele estmar estas magtudes medate u valor certo, pero subjetvo, y, posterormete realza aálss de sesbldad, supoedo varacoes que se cosdera razoables. Es e este coteto e el que debemos eteder la utldad de la SB e el campo actuaral. Nosotros aalzaremos alguas aplcacoes de la SB propuestas por dferetes autores e el campo de la decsó e la empresa aseguradora. De forma más cocreta: a) Abordaremos el problema que mplca la decsó sobre aceptar o o u resgo, esto es, la determacó de s ua pólza es asegurable.

4 ALICACIONES ACUARIALES DE LA EORÍA DE LOS... 3 b) La clasfcacó de dversos asegurados, áreas geográfcas, etc. e dferetes clases. c) La determacó de la polítca óptma de reaseguro co crteros múltples. d) Valoracó de los seguros de vda co parámetros certos.. DEERMINACIÓN DEL RIESGO ASEGURABLE Ua compañía de seguros, como cualquer otra empresa, para ser compettva debe ofrecer uos precos (prmas) lo más reducdos posbles, pero, asmsmo, éstos debe poder permtr asegurar la establdad de la msma. E este coteto, ua decsó esecal es determar el cocepto de resgo asegurable o resgo preferdo, tato para productos más estádares, como para aquellos más específcos (que, por otra parte, suele comportar cuatías aseguradas muy elevadas), de tal forma que lleve a la especalzacó e aquellos tpos de asegurados que, por su flosofía, tpología de la cartera, característcas del coteto geográfco dode opera, etc. pueda ajustarles mejor las prmas de sus coberturas. S be, la fjacó del preco de la cobertura debe ser realzada medate strumetos estadístcos, la decsó de aceptar u resgo, o de determar hasta que puto, s el asegurado es aceptado, la prma debe ser recargada, se realza e muchas ocasoes de forma subjetva, co crteros especfcados de forma vaga. E este coteto, (Lemare 990) propoe ua metodología borrosa que permte determar hasta que puto u potecal asegurado es deseable, la cual, permte modelzar de forma bastate realsta el proceso que se lleva a cabo para tomar la decsó fal.

5 4 CUADERNO DEL CIMBAGE N 5 E este setdo, y de ua forma quzás meos elaborada, podemos ecotrar los trabajos de (Jabloows, 99 y De Wt 98). El ramo de automóvles es uo de los ejemplos más claros al respecto. E la actvdad dara se determa s u resgo es asegurable, basádose la decsó fal e crteros como coductor jove, coductor co epereca, coche potete, etc. E este setdo, ua forma muy razoable de determar s u resgo es asegurable, asumédose que se debe cumplr requstos, sería aceptar que éstos o úcamete "se cumple" o "o se cumple"; so que se puede dar e certo grado (poco, mucho, bastate, etc.). Ello mplcaría utlzar ua regla como: S el requsto se cumple e u grado µ, el requsto se cumple e u grado µ,, y el requsto úmero se cumple e u grado K µ, ello mplca que el resgo es preferdo e u grado µ. Así, para el crtero -ésmo, podríamos costrur ua fucó de perteeca, µ ) que os dcaría el grado de tesdad que ( preseta u asegurado e el crtero -ésmo. Utlzado ua τ-orma, es decr, u operador de agregacó y, para los crteros especfcados, y que deomaremos como, obtedremos el grado e que la pólza debería ser suscrta. Así: µ [ u ( )]

6 ALICACIONES ACUARIALES DE LA EORÍA DE LOS... 5 dode poderaría la mportaca del factor -ésmo e la decsó fal. Aputamos que e (Yager, 978) se propoe ua metodología que permte estmar estos factores de poderacó, basada e el cocepto de jerarquía aalítca de (Saaty, 978). A modo de ejemplo, supogamos que ua compañía poe como codcoes para aceptar u resgo e el ramo de automóvles las sguetes: - El coductor o debe ser muy jove muy mayor (R). - El coductor debe teer epereca (R). - El coductor debe teer u hstoral de pocos sestros (R3). - El coche debe ser seguro (R4) Asmsmo, respecto al cocepto de coche seguro, podríamos defrlo como el coche que debe teer poca cldrada (R5) o teer mucho peso (R6). E este coteto, podríamos defr el cojuto de los coductores jóvees vejos, como aquellos cuya edad oscla etre 40 y 50 años. No obstate, para aquéllos co edades compreddas etre 30 y 40 años o be etre 50 y 60, admtríamos su perteeca e certo grado a este cojuto. Así, represetaríamos la fucó de perteeca respecto al crtero, sguete ecuacó y e la fgura. µ como se observa e la

7 6 CUADERNO DEL CIMBAGE N 5 µ ( ) < 40 < 50 < 60 e otro caso µ edad Fgura De forma geeral, y asumedo la lealdad de las fucoes de perteeca, podemos deotar a µ ( ) como ([ a, b ], l, r ), sedo [ a, b ] el tervalo de valores que se requere para el -ésmo crtero y l, r las desvacoes a la zquerda y a la derecha que se acepta como mámo. Así ([40, 50],0, 0) µ. Supogamos asmsmo que R se determa segú los años de posesó del caret de coducr, sedo ([5, ], 5, 0) µ. Respecto a R3, se mde por la suma del valor medo de los sestros ocasoados por el coductor durate los últmos 5 años (e udades moetaras), y el cumplmeto de este crtero vee dados por la fucó de perteeca [0,00], 0, 500) µ. or otra parte, 3 3 R4 vedría dado por la uó de R5 y R6. Así, R5 podría ver dado por la cldrada como µ 5 5 ([0, 00], 0, 800), metras que R6 por su peso e toeladas, como ( ) ([0 8, ),0 3,0). µ 6 6

8 ALICACIONES ACUARIALES DE LA EORÍA DE LOS... 7 De forma aáloga a la terseccó, la uó de subcojutos borrosos se halla co ua τ-coorma, (correspodete, s se quere, al operador lógco o ). Asmsmo, los crteros puede poderarse e fucó de la mportaca otorgada a cada uo de ellos, co uos coefcetes β, que, como mecoamos aterormete, podría determarse utlzado la metodología de las jerarquías aalítcas de Saaty. Así, el grado e que se cumple F4, µ 4, vedrá dado por: β ( ) ( ) 5 β µ µ µ E el cuadro se ofrece el grado de prefereca de ua pólza tomádose guales poderacoes para todos los crteros, sedo la τ-orma elegda el mímo, y la τ-coorma, el mámo. Asegurado Asegurado Edad µ 0,7 0,3 Años co 0 0,5 8 µ 0,5 caret Sestraldad µ 3 0,8 0,85 Cldrada µ 4 0,67 0,33 oeladas 0,7 0,5 0,6 µ 5 0,5 0 0,3 µ 6 0,67 0 0,33 µ 0,67 0,8 0,5 0,3 Cuadro. Aálss de la doedad de los asegurados

9 8 CUADERNO DEL CIMBAGE N 5 Observamos que, metras el asegurado e cluso el, podría teer, a pror, resgos aceptables, sobre el tomador 3 cabría fuertes dudas, metras que para el tomador 4, a la compañía o le quedaría gua duda de su o doedad, lo que mplcaría, o be, rechazar el resgo, o be cobrarle recargos elevados. 3. RECONOCIMIENO DE GRUOS DE ÓLIZAS DENRO DE UN RAMO La clasfcacó de u cojuto de pólzas de u ramo e grupos segú sus característcas queda, e muchas ocasoes, mejor captada, s aceptamos que u determado resgo puede perteecer a varos grupos co dferetes tesdades. E este setdo, etedemos que so especalmete teresates los métodos de agrupacó borrosos, que permte clasfcar u cojuto de objetos (pólzas), e dferetes grupos co u vel de perteeca predetermado e cada uo de ellos. E este setdo se mafesta (Derrg y Ostaszew (DO), 995), que propoe el uso del algortmo de (Bezde, 98) para la clasfcacó de terrtoros e el ramo del automóvl, determádose así u mapa de resgo ; y para la deteccó de reclamacoes co dcos de presetar fraude. Respecto a la detfcacó de reclamacoes frauduletas, es obvo que rara vez u asegurador puede establecer s ua determada reclamacó es frauduleta o o frauduleta, so que úcamete estrá, e ate, muchos dcos de que sea frauduleta, pocos dcos o práctcamete gú dco. Así, parece lógco que, e u aálss e ate, o podamos clasfcar las reclamacoes de los asegurados e frauduletas o o

10 ALICACIONES ACUARIALES DE LA EORÍA DE LOS... 9 frauduletas, so que todas las reclamacoes perteecerá a ambos grupos co ua tesdad que depederá de los dcos de fraude que esta. La dea esecal subyacete e los métodos de agrupacó borrosa es smlar a los covecoales. Cosste e que, ua vez que se ha fjado el úmero de grupos o clusters e los que se desea partcoar los datos estetes, los cetros de dchos clusters debe permtr mmzar la dspersó detro de los tegrates del grupo, es decr, costtur grupos homogéeos y, a la vez, mamzar las dferecas etre los grupos. S preteder ser ehaustvos, e u coteto de seguros de resgo, partríamos de u cojuto de pólzas, K,, K,, que puede represetarse medate u vector p-dmesoal que sería la plasmacó de las dversas varables que se utlzará para clasfcar () ( j) ( p) las pólzas. De forma geeral, (,...,,... ),,,. Estos datos de partda deberá ser agrupados e c clusters, < c que deomaremos como C, K, C, K, C, cuyo úmero está prefjado. c () ( j) ( p) Los cetros será los vectores p-dmesoales ( v,..., v,... v ) v, co,,, c. Asmsmo, las fucoes de perteeca de los clusters debe presetar las sguetes propedades: c µ C y 0 µ C ara defr el vel de perteeca del -ésmo elemeto al -ésmo cluster, deberemos utlzar la dstaca euclídea, y, asmsmo, ua

11 0 CUADERNO DEL CIMBAGE N 5 matrz G semdefda postva dode se recogerá las poderacoes que damos a las p varables cosderadas e la cofguracó de los clusters. Así, la dstaca del -ésmo elemeto al cetro del -ésmo cluster vedrá dada por: D G (, v ) ( v ) G( v ) or otra parte, la perteeca del -ésmo elemeto al -ésmo cluster será: µ C ( ) m c m [ D (, v )] G [ D (, v )] G El cetro del -ésmo cluster tedrá como compoetes ua meda poderada del valor de dchas varables poderadas por su perteeca a dcho cluster. De forma más cocreta, v ( µ C ( )) ( µ C ( )) m m dode m vedrá dado subjetvamete por el decsor, de tal forma que a medda que m aumete, aumetará la partcpacó de u elemeto e la cofguracó de u determado cluster, y dsmurá su partcpacó e el resto de clusters. Obvamete, s v, la epresó ateror o puede utlzarse, sedo e este caso, ( ), ( ) 0 µ C µ Cs, s.

12 ALICACIONES ACUARIALES DE LA EORÍA DE LOS... Debemos remarcar que o será objeto de la eposcó mostrar el procedmeto teratvo que se sgue para determar los cetros de los clusters, que puede ecotrarse e los mecoados trabajos de Derrg y Ostaszew, y Bezdec. A cotuacó desarrollamos ua aplcacó co los datos del cuadro del aeo, y que so referetes a u cojuto de pólzas del ramo del automóvl. E cocreto, las varables cosderadas so la edad, la atgüedad e la compañía, la poteca del vehículo y las reclamacoes por daños materales e la modaldad de todo resgo (p 4), el úmero de clusters es c 3 y m, metras que las poderacoes de los factores vee dadas por: 0 G '5 de tal forma que, los cetros de los 3 clusters so los descrtos e el cuadro. Edad Años de oteca Sestros permaeca Cluster 4,5 7,90 7,45 50,4 Cluster 30,77 3,3 7,74 330, Cluster 3 5,44 6,97 09,60 66, Cuadro Así, el prmer grupo estaría coformado por las pólzas que geera meos sestraldad, caracterzadas por perteecer a coductores

13 CUADERNO DEL CIMBAGE N 5 co bastate tempo de permaeca e la compañía, cercaos a los 40 años y co coches co ua poteca relatvamete baja. El segudo grupo estaría coformado por coductores más jóvees, co meos años de permaeca, y sería la pólzas que corpora mayor resgo. No obstate, la poteca de los coches es smlar a las del prmer grupo. Falmete, e el tercer cluster estaría los coductores co mayor edad (y por tato, dada su mejor stuacó ecoómca, co coches más potetes), los cuales, geera más sestraldad que los del grupo, lo cual, por otra parte, es compresble, ya que se trata de coches cuya reparacó sea posblemete más cara. No obstate, puede observarse que su resgo es feror a los del grupo. E el cuadro 5 observamos que la pólza 0 preseta ua fuerte perteeca al cluster 3 (debdo a la edad y la poteca del coche). No obstate, e u grado meor també perteece al prmer grupo (debdo posblemete a que ha producdo sestros de pequeña cuatía). Así, la pólza 7 sería u represetate típco del segudo grupo, que, o obstate, perteece e certo grado al prmer grupo (posblemete por la poteca del coche). Falmete, la pólza úmero 39 perteece al prmer grupo (coches de 70 caballos y que geera poca sestraldad). No obstate, muestra certo vel de perteeca també al tercer grupo, debdo posblemete a la edad del coductor, que está muy cercaa a la edad correspodete al cetro del tercer cluster. E el cuadro del aeo se ofrece el resultado fal de las agrupacoes realzadas co todos los elemetos de la muestra.

14 ALICACIONES ACUARIALES DE LA EORÍA DE LOS... 3 () () (3) (4) (,, ) µ C ( ) µ C µ C, 0 (59, 8, 30, 384,59) 0, 0,09 0,80 7 (5, 5, 60, 38,74) 0,9 0,75 0,06 39 (63,, 70, 5,86) 0,53 0,7 0,30 Cuadro DECISIÓN SOBRE LA OLÍICA DE REASEGURO Es amplamete coocdo que gú asegurador matee e cartera todos el resgo que suscrbe, so que cede parte del msmo a u reasegurador, y, medate sucesvas retrocesoes, las dversas reaseguradoras rá dstrbuyédose ese prmer resgo ecedete. El prcpal objetvo de la práctca reaseguradora es asegurar la solveca de la compañía, ya que permte lmtar las pérddas, es decr, dsmur la probabldad de rua. or otra parte este tres formas de reaseguro: - El reaseguro proporcoal, segú el cual, la compañía cede ua proporcó fja de los sestros de u ramo o de u cojuto de pólzas al reasegurador. - El ecess of loss, co el cual, para cada pólza que tegra ua parte del egoco cocreta, el asegurador asume los sestros hasta ua determada cuatía (el pleo de retecó). S la demzacó de ua determada pólza es mayor a dcho pleo de retecó, el reasegurador asume la dfereca etre el valor del sestro y el pleo. - El stop-loss, segú la cual, para u determado grupo de pólzas, la reaseguradora se hace cargo del eceso de sestros acumulados a partr de ua cuatía determada, el pleo.

15 4 CUADERNO DEL CIMBAGE N 5 or supuesto, la aplcacó de ua forma u otra de reaseguro, depede, e la práctca, de dversos factores, etre los que podemos mecoar: el tpo de seguro o del ramo, el coocmeto que el reasegurador tega del cedete, etc. No vamos a ahodar más e el cocepto de reaseguro, y, desde luego, o abordaremos su fudametacó estadístca. No obstate, debemos remarcar que, s be, el reaseguro juega u papel esecal e la admstracó del asegurador y e su establdad, també es certo que debe ser cudadoso al determar la parte del egoco que se cede. Ua mayor cesó mplca ua meor probabldad de rua para el asegurador; pero, també lmta el crecmeto de la empresa, ya que su egoco dsmuye. Es decr, e la decsó de la polítca de reaseguro este u trade-off etre establdad y crecmeto. E este setdo, (Lemare, 990), cosdera que ua forma muy atural de fjar los objetvos y restrccoes para determar la polítca de reaseguro es medate subcojutos borrosos. or ejemplo, es dfícl pesar que el asegurador preteda ua probabldad de rua meor que el X%, so que, s este posbldades de mateer ua mayor parte del egoco e su poder, posblemete acepte desvacoes postvas sobre ese objetvo co el f de satsfacer otros crteros oretados, por ejemplo, a la creacó de valor para la compañía.

16 ALICACIONES ACUARIALES DE LA EORÍA DE LOS... 5 U strumeto muy adecuado para la toma de decsoes cuado los crteros so epresados de esta forma, es el crtero de decsó e u ambete borroso de (Bellma y Zadeh, 970). E este caso, partmos de ua sere de alteratvas X {,,..., }(que so las posbldades de reaseguro que os ofrece el reasegurador), u cojuto de objetvos, O,..., O, que m queda caracterzados por sus fucoes de perteeca µ,..., O µ Om y uas restrccoes, R,..., R, que se epresa q també de forma fleble medate fucoes de perteeca: µ,..., R µ Rq. E u coteto de decsó borroso o se dstgue etre objetvos y restrccoes, so que el espaco de las posbles decsoes, D, surge como terseccó etre objetvos y restrccoes. Así, como: D O... O m R... R q el espaco de posbles decsoes a empreder, está dado por ua fucó de perteeca que podemos deotar como µ, y cuya epresó aalítca se hallará medate ua orma. Usualmete se utlza el mímo, de forma que: µ µ... µ... D O µ Om R µ Rq D or supuesto, sguedo a (Yager, 978), u plateameto mucho más geeral, que permte troducr e la decsó fal la mportaca de cada crtero, vedría dado por: β β [ u ] K [ u ] [ u ] K [ u ] µ D O O R R

17 6 CUADERNO DEL CIMBAGE N 5 or supuesto, el objetvo fal será hallar aquella alteratva que proporcoe mayor utldad al decsor, es decr, aquélla que cumpla e mayor grado objetvos y restrccoes. De forma más cocreta, debe obteerse: β β [ u ] K [ u ] [ u ] K [ u ] Ma µ D O O R R E uestro ejemplo, basado e el propuesto por (Lemare, 990) supodremos que la polítca de reaseguro se fja e base a cuatro crteros que dferecaremos etre objetvos y restrccoes. ara epresar el cumplmeto del crtero -ésmo,,, 3, 4 utlzaremos fucoes de perteeca leales, aálogas a las del apartado, que deotaremos como ([ a, b ], l, r ). - Crtero (objetvo O ): robabldad de rua: ([0,0 0005], 0, ) - Crtero (objetvo O ): Coefcete de varacó de la cartera reteda: ([0,], 0, ). - Crtero 3 (restrccó R ): Cocete prma del reaseguro/prma total del cedete: ([0, 0 ],0, 0,5). - Crtero 4 (restrccó R ): Cocete pleo/prma total del cedete ([0 04, 0 06], 0 0, 0 0). Asmsmo, supoemos que los programas que ofrece el reasegurador, tee las característcas que se muestra e el cuadro 4.

18 ALICACIONES ACUARIALES DE LA EORÍA DE LOS O 0, , , ,0004 0, , ,00099 O,5,5,6,5,45,,75 R 0,07 0, 0,3 0,5 0,7 0, 0, R 0,03 0,0353 0,044 0,06 0,065 0,0659 0,073 Cuadro 4 Los resultados que se obtee utlzado el operador mímo y el operador producto, co las poderacoes β β ) y ( (,, β 3, β ) vee dados e el cuadro 5. uede observarse que el programa 4 es el que e geeral parece más satsfactoro. No obstate, e el caso de utlzarse el operador mímo poderado, los programas y 3 so preferbles al 4. rograma µ C 0,68 0,550 0,98,000,000,000,000 µ C 0,500 0,750 0,400,000 0,550 0,900,000 µ R,000 0,933 0,800 0,667 0,533 0,333 0,67 µ R 0,600 0,765,000 0,950 0,875 0,705 0,435 β β 0,68 0,550 0,400 0,667 0,533 0,333 0,67 0,05 0,95 0,97 0,633 0,57 0, 0,6,, β 3, β 0,08 0,303 0,400 0,97 0,5 0,037 0,09 0,008 0,4 0,76 0,8 0,073 0,03 0,008 Cuadro 5

19 8 CUADERNO DEL CIMBAGE N 5 5. VALORACIÓN DE SEGUROS DE VIDA E la valoracó facera de los seguros, este dos elemetos cuya evolucó es descoocda, es decr, so certos, s etedemos la certdumbre e u setdo amplo, pero e los cuales, la aturaleza de su certdumbre es dferete. E prmer lugar ecotramos el suceso asegurado, cuyo quebrato ecoómco producdo sobre el tomador geera el derecho de la prestacó asegurada para el msmo. Usualmete este epereca estadístca sufcete sobre este feómeo, por lo que su aturaleza es emetemete estocástca. E segudo lugar, ecotramos el feómeo facero y ecoómco herete a todo el proceso de valoracó, el tpo de terés, que se correspode co la retabldad que obtedrá el asegurador co la versó de las prmas; y la evolucó de la flacó, que repercute e el aumeto del valor omal de los gastos de fucoameto del asegurador y de las demzacoes a satsfacer. S be, umerosos autores utlza també la estadístca para la modelzacó de estos feómeos, o creemos que ésta haya solucoado el problema que mplca su estmacó. Dado que la aturaleza del tpo de terés que puede esperarse e el futuro o es predecble e u setdo estocástco, los actuaros, para reflejar la certdumbre de estos parámetros, usualmete toma uo que estma como el más posble y, posterormete, realza aálss de sesbldad ate varacoes razoables de dcho valor. Como comprobaremos a cotuacó, la utlzacó de tpos de terés represetados a través de úmeros borrosos ofrece u marco más adecuado para represetar la certdumbre e ellos y, adcoalmete, permte dotar de ua

20 ALICACIONES ACUARIALES DE LA EORÍA DE LOS... 9 estructura matemátca rgurosa al proceso estmatvo y valoratvo que se sgue e la práctca. Es posblemete e el campo de la valoracó de los seguros de vda ver por ejemplo (Lemare, 990; Ostaszew 993; erceño, et al. 996; Betzue, et al. 997; Adrés, et al. 00) dode se ha aplcado de forma más tesva la utlzacó de estmacoes borrosas del tpo de terés y la flacó. No obstate, o debemos olvdar su aplcacó e u coteto de valoracó facera de los seguros de o vda, por ejemplo, e los trabajos de (Cumms y Derrg, 997 y de Derrg y Ostaszew 997). E cualquer caso, es e el campo de los seguros de vda dode el problema de la certdumbre e la evolucó de los tpos de terés futuros se mafesta co mayor clardad. E este setdo (reto, 993 y Devolder, 988), cosdera que el asegurador de vda, o debe ofrecer uca u terés que sobrepase el terés lbre de resgo, ya que es el asegurador el que corre co el resgo de las versoes. De esta forma, el terés técco se debe hallar adcoado, al tpo de terés real, ua parte de la flacó que el actuaro proyecta para el futuro; que depederá de sus epectatvas. or supuesto, al asegurado se le compesará totalmete, y o sólo de forma parcal, de la deprecacó que geera la flacó e los captales asegurados a través de la fgura del reparto de beefcos. Es decr, el tpo de terés técco,, a aplcar e la valoracó de u cotrato e u mometo cocreto, se halla como r λπ, dode r

21 0 CUADERNO DEL CIMBAGE N 5 es el tpo de terés real, λ la proporcó de la flacó proyectada por el actuaro que reverte e el asegurado y π es dcha proyeccó de la flacó. or supuesto, 0 λ <. E este setdo, remarcamos las sguetes palabras de (Devolder, 988), que, auque o sea coscete, coceptualza el tpo de terés técco más como u úmero borroso que como ua varable aleatora o u parámetro certo: ( ) el tpo de terés real oscla e el largo plazo alrededor del 5% ( ) metras que la flacó proyectada debe ser razoable e el largo plazo. Obsérvese la vaguedad herete de las palabras alrededor del 5% y que la flacó debe ser razoable e el largo plazo, sedo su cuatfcacó medate úmeros borrosos muy atural. Así, s utlzamos úmeros borrosos trapezodales, el terés real podría ser ([ r, r ], ) ~ r l r, r r, metras que la flacó podría ver dada por π~ ([ π, π ], l, r ) π π. De esta forma, ua vez el actuaro ha determado la parte de flacó a cosderar que ha proyectado, λ, el tpo de terés técco a aplcar, ~, será: ~ ([, ],, ) ~ λπ ~ l r r ([ r, r ], l r, r r ) λ ([ π, π ], l π, rπ ) ([ r λπ r λπ ], l λl r λr ), r π, r π Así, podríamos determar, a partr de las palabras de Devolder, que r~ ([0 05, 0 03],0 0,0 0), metras que ua proyeccó de la flacó e la Uó Europea razoable e el largo plazo podría ara u eteso aálss de la utlzacó de valoracó facera e seguros de o vda, puede cosultarse (Cumms, 990)

22 ALICACIONES ACUARIALES DE LA EORÍA DE LOS... ver dada por π ~ ([0 05, 0 035],0 0,0 0). Así, el tpo de terés técco para u λ60%, sería ~ ([0 05,0 03],0 0,0 0)0 6 ([0 05,0 035],0 0,0 0) ([0,04,0,05],0,06,0,06) Nuestro aálss se cetrará e la valoracó facera de los seguros de vda, y más cocretamete, e la determacó de las prmas y de las provsoes matemátcas e dos modaldades: e retas de supervveca costates y dferdas co pago de prmas peródcas també costates, estructura que, e cualquer caso, es asmlable a la de u pla de pesoes co prestacó dferda, y u seguro de vda mto pactado a prmas úcas que promete, s el asegurado fallece ates del vecmeto, la recuperacó de la prma pura revalorzada e ua proporcó q. El método de valoracó aplcado será el prcpo de equvaleca estátco. El prcpo de equvaleca estátco se basa e realzar valoracoes faceras covecoales sobre la esperaza matemátca de los captales (cotgetes) que cotempla los cotratos. Aplcado este prcpo, el valor actual de la esperaza matemátca de las prmas debe cocdr co el valor actual de la esperaza matemátca de las prestacoes. Así, s las prmas so los captales faceros cotgetes {(, t ); K ; (, t ); K; (, t )}, metras que las prestacoes so {( C, t' ); K ; ( C, t '); K; ( C, t ')}, el equlbro j j m m etre prmas y prestacoes vedrá dado por: E( ) t ( ) m E C j t j dode E( ) es el operador esperaza matemátca. j

23 CUADERNO DEL CIMBAGE N 5 or otra parte, la reserva matemátca prospectva e u mometo termedo del cotrato, [ t, t '], que deotaremos por R, será 3 : R t j > E ( C ) ( ) j t j t > E ( ) ( ) t m Dode E t ( ) es la esperaza matemátca codcoada al comportameto de la mortaldad del asegurado e años después de la cotratacó del seguro. De esta forma, para determar la prma peródca y costate a pagar por parte de u asegurado de edad,, para ua reta de supervveca vtalca co u dfermeto de M años de térmo C, s supoemos que la perodcdad tato de las prmas como la de las prestacoes es aual, platearíamos y resolveríamos: M ωm jm ( ) p C ( ) M j p j CM ä M ä CM ä () ä M dode ( ) p es la probabldad de que u asegurado de edad sobrevva a la edad ( ), y, ω, la prmera edad o alcazable segú las tablas de mortaldad utlzadas. or otra parte, para u seguro mto pactado a prmas úcas, co reembolso de las prmas e caso de fallecmeto a ua edad termeda, que se revalorzará proporcoalmete e u porcetaje q y pactado a prmas úcas, 3 Segú la legslacó de la Uó Europea, es la úca forma de cálculo posble para las provsoes matemátcas.

24 3 ALICACIONES ACUARIALES DE LA EORÍA DE LOS... asumedo que el captal asegurado al fal de la vda del cotrato es C u.m., la prma se hallará como: p C q q E C A q y por tato, A q E C () Dode - q deota la probabldad de que u asegurado de edad fallezca durate el -ésmo año del cotrato. Así, el cálculo de las provsoes matemátcas años después de cado el cotrato, R, se determará e la reta de supervveca como: R > > M j j M M j p p C (3) metras que para el seguro mto co reembolso de prmas será: > q q p C R (4) A cotuacó aalzamos el cálculo de estas magtudes s se utlza u tpo de terés borroso ~, que puede ser otado a través de su fucó de perteeca y sus -cortes como: { } { } [ ] { } 0,,, ~ ~ ~ µ µ

25 4 CUADERNO DEL CIMBAGE N 5 E el caso e que el tpo de terés vega dado por u úmero borroso trapezodal, como es uestro caso, los -cortes de ~ vedrá dados por,, ] [ l ( ), r ( )] [ ara determar las prmas, deberemos evaluar ua fucó del tpo de terés, que deotaremos como (), y que e uestro caso correspode a las epresoes () y (). Así, las prmas de la reta y el seguro mto aalzado (que será borrosas y que deotaremos como ~ ) será: ~ ω M j C M ( ) ( ) ~ jm M j ~ p p y ~ C ( ) ~ ( q) ( ) ~ p q La obtecó de la fucó de perteeca de la prma borrosa e cada caso, µ ecestará de la aplcacó del prcpo de ~ etesó de Zadeh e la fucó () que correspoda. Así: µ ~ ma µ ( y) ~ ( y) µ ~ S embargo, e la mayor parte de casos, la aplcacó del prcpo de etesó de Zadeh o es operatva. No obstate, la obtecó de ua fórmula cerrada para los -cortes de ~,, suele ser posble. Así, sguedo a (Bucley y Qu, 990), dado que d()/d<0, se obtee para las retas de supervveca:

26 5 ALICACIONES ACUARIALES DE LA EORÍA DE LOS... [ ] ω ω M M j j M M j M M j j M M j p p C p p C,, metras que para el seguro mto pactado a prmas úcas, será: [ ] q q p C q q p C,, or supuesto, cuado el asegurador ha determado el valor del cotrato, ~, debe determar u valor fjo o ítdo para el msmo, *. Es decr, se trata de desfuzzyfcar ~, obteer u valor certo equvalete, *, que podemos asmlar a ua medda de poscó estadístca. E este coteto, (erceño, et al. 996) propoe la utlzacó del valor esperado de u úmero borroso, que para ua aversó al resgo del asegurador β [0,] mplcaría obteer ua prma ítda: β β 0 0 * d d De gual forma, podemos obteer la provsó matemátca e u dfermeto, que, e este caso, será també u úmero borroso R ~, que o admte epresó cerrada de su fucó de perteeca. No obstate, dado que la fucó valor de las provsoes matemátcas, R (), es decrecete respecto al tpo de terés de valoracó, sus -cortes, R, puede hallarse evaluado (3) y (4) como:

27 6 CUADERNO DEL CIMBAGE N 5 [ ], R R R > > > > M j j M M j M j j M M j p p C p p C * *, [ ], R R R > > q q p C q q p C * *, or supuesto, ua vez el asegurador ha determado el valor del cotrato e el mometo termedo,, R ~, debe determar u valor fjo o ítdo de las provsoes matemátcas, R *, que, por otra parte, sea prudete auque realsta, es decr, sea represetatvo del valor ferdo a través del tpo de terés borroso R ~. Ello puede realzarse s ecesvos problemas a través del valor esperado de R ~, de forma que: β β d d 0 0 * R R R A cotuacó desarrollaremos uas aplcacoes umércas para mostrar la aplcabldad de la metodología propuesta. ara ello, supodremos que la cabeza asegurada tee 45 años ( 45) y que el asegurador estma el tpo de terés técco como % ([0,04,0,05],0,06,0,06). Las tablas de mortaldad utlzadas so las tablas suzas GMR-8, para poblacó mascula.

28 ALICACIONES ACUARIALES DE LA EORÍA DE LOS... 7 E prmer lugar, supodremos que el asegurado cotrata ua reta vtalca para cubrr la cotgeca de jublacó, que se producrá a los 65 años (así, el dfermeto es M 0), y su cuatía es de.000 u.m. pagables al prcpo de año. Los -cortes de la prma borrosa so: [, ] 4 j ( 0,05 0,06( ) ) ( 0,05 0,06( ) ) 4 j0 0 j p45 j,000 0 p45 ( 0,04 0,06( ) ) j0 0 j p45 ( 0,04 0,06( ) ) p45 Sedo el resultado fal, el úmero borroso de la fgura. E el cuadro 3 determamos el valor de las prmas certas, *, para dferetes grados de aversó al resgo del asegurador β. β 0 0,5 0,5 0,75 * 48,3 90,9 333,69 376,47 49,5 Cuadro 3

29 8 CUADERNO DEL CIMBAGE N 5 µ() 48'3 85'5 353'3 485'7 Fgura Asmsmo, las provsoes matemátcas que deberíamos dotar a los 0 y 0 años de cado el cotrato se represeta e las fguras 3 y 4. µ() R µ() 0 R 0 36' '3 474' ' '9 35'8 3000' Fgura 3 Fgura 4 Así, troducedo la aversó al resgo del asegurador, el valor fal de las provsoes a costtur, R *, es, e cada caso, el que vee e el cuadro 4: β 0 0,5 0,5 0,75 * R 0 * R 0 955,5 3688,40 44,65 554,9 5888,6 9634,96 055,7 0876,47 497,3 7,99 Cuadro 4

30 ALICACIONES ACUARIALES DE LA EORÍA DE LOS... 9 A cotuacó aalzamos u seguro mto medato a prma úca de duracó 0 años, que promete el cobro de la prma revalorzada e u 5% e el caso de fallecmeto durate el horzote del seguro. E este caso, de la prma borrosa es el úmero borroso de la fgura 5, metras que sus -cortes se epresa como:, [ ] 000 '05 0 ( 0'05 0'06( ) ) 0 0 ( 0'05 0'06( ) ) p 45 q45,000 0 ( 0'04 0'06( ) ) 0 0 ( 0'04 0'06( ) ) '05 p45 q45 µ() 55'53 60'5 669'88 785'3 Fgura 5 E el cuadro 5 determamos el valor de las prmas certas, *, para uos grados de aversó al resgo de asegurador β 0, 0,5, 0,5, 0,75 y. β 0 0,5 0,5 0,75 * 558,53 600,80 643,06 685,33 77,60 Cuadro 5

31 30 CUADERNO DEL CIMBAGE N 5 Asmsmo, las provsoes matemátcas que deberíamos dotar e 3 y 6, so las que se represeta e las fguras 6 y 7. Itroducedo la aversó al resgo del asegurador, el valor fal de las provsoes a costtur, R * es, el que vee e el cuadro 6. β 0 0,5 0,5 0,75 * R 0 * R 0 666,63 699, 73,80 764,39 796,98 79,34 8,7 834,0 855,49 876,87 Cuadro 6 µ() R µ() 3 R 6 63'87 70'38 757'9 796'98 Fgura 6 767'6 85'08 849'87 903'87 Fgura 7 6. CONCLUSIONES A lo largo del presete trabajo hemos mostrado que, e el campo del aálss actuaral, la teoría de los subcojutos borrosos permte, dada su alta flebldad, modelzar dferetes stuacoes dode la formacó o está lo sufcetemete estructurada o tee u carácter subjetvo, lo cual ocurre e umerosos aspectos de los que abarca la gestó de ua compañía aseguradora.

32 ALICACIONES ACUARIALES DE LA EORÍA DE LOS... 3 U cojuto borroso puede terpretarse como u subcojuto costrudo sobre la base de u prototpo deal, y que se halla defdo detro de u cojuto referecal, de tal forma que el vel de perteeca a dcho subcojuto puede terpretarse como el grado de smltud o promdad respecto a dcho prototpo. Hemos comprobado que, e este setdo, la utlzacó de los subcojutos borrosos permte modelzar cuestoes ta usuales detro de la práctca aseguradora como el cocepto de "resgo asegurable así como la detfcacó de resgos homogéeos detro de u ramo. or otra parte, hemos mostrado que u subcojuto borroso puede cuatfcar el grado de cumplmeto de u determado objetvo o restrccó que vee dado de forma fleble, de tal forma que el vel de perteeca de ua determada alteratva de decsó respecto a u crtero dcaría el cumplmeto de este curso de accó de dcho requermeto. E este setdo, se ha mostrado que los strumeto de decsó multcrtero borrosos puede ser de gra utldad para el decsor, e la determacó de la polítca óptma de reaseguro, ya que e este caso, se produce u trade-off etre dos objetvos: el objetvo de solveca, que lleva al asegurador a ceder la mayor proporcó posble de su cartera, y el objetvo de redmeto que mplca, desde u puto de vsta del asegurador, la cesó de la meor parte del egoco posble. Falmete, hemos observado que u subcojuto borroso permte cuatfcar ua estmacó subjetva de ua determada magtud sobre la que o coocemos su valor futuro, de tal forma que el vel de presucó otorgado a u elemeto dca el grado de creeca

33 3 CUADERNO DEL CIMBAGE N 5 del decsor de que la magtud tome falmete dcho valor. Hemos mostrado que e la valoracó facera de los seguros (y más cocretamete, e los seguros de vda) el asegurador debe estmar el comportameto futuro de dos varables, que, e prcpo, so certas: la mortaldad de la cabeza asegurada, y el tpo de terés que se obtedrá vrtedo las prmas. Las característcas de la formacó que se dspoe de ambas es dferete: respecto a la mortaldad, esta tee u carácter "duro", pues es probablzable a partr de ua tabla de mortaldad. No obstate, respecto a tpo de terés a aplcar, es be sabdo que, e últma staca, es el actuaro (o las autordades e matera aseguradora, fjado u tpo de terés mámo a aplcar), el que, e base a su epereca, epectatvas, etc. sobre la flacó futura, debe acabar determado este parámetro. Su estmacó medate u úmero borroso se adapta de forma evdete a la metaldad estmatva (basta, s utlzamos úmeros borrosos trapezodales, co estmar el tervalo que se cosdera "más posble", y eplctar qué desvacoes sobre éste se estma razoables), y, como ya fue cometado, dota a la práctca actuaral, basada e la realzacó de aálss de sesbldad, de ua estructura matemátca rgurosa, ya que permte asgar, a cada smulacó, o ta sólo su valor, so u vel de presucó o de verdad segú las epectatvas del valuador.

34 ALICACIONES ACUARIALES DE LA EORÍA DE LOS REFERENCIAS [] Bellma, R. E.; Zadeh, L. A. (970). Decsó Mag a fuzzy evromet, Maagemet Sceces 7, pp. B4-B64. [] Betzue, A.; Jméez, M.; Rvas, J. A. (997). "Actuaral mathematcs wth fuzzy parameters. A applcato to collectve peso plas". Fuzzy Ecoomc Revew Vol., Nº. pp [3] Bezde, J. C. (98). atter Recogto wth fuzzy objectve fucto algortms. New Yor: leum ress. [4] Bowers, N. L.; Gerber, H. U.; Hcma, J. C.; Joes, D. A.; Nesbtt, C. J. (986). Actuaral Mathematcs. he Socety of Actuares. Itasca. [5] Bucley, J. J. (987)."he fuzzy mathematcs of face". Fuzzy Sets ad Systems. pp [6] Bucley, J. J; Qu, Y. (990). "O usg -cuts to evaluate fuzzy equatos". Fuzzy Sets ad Systems 38. pp [7] Busquets, F. (989). "Elemetos matemátcos de reaseguro". Cuaderos Actuarales. pp [8] Cumms, J. D. (990). "Mult-perod dscouted cash-flow ratemag modelas property-lablty surace". Joural of Rs ad Isurace LVII,. pp [9] Cumms, J. D.; Derrg, R. A. (997). "Fuzzy facal prcg of property-lablty surace". North Amerca Actuaral Joural, 4. pp [0] De Adrés, J.; Barberà, G.; Ferádez, A.; erceño, A. (00). "Aalyss of the lfe surer's solvecy whole lfe autes usg fuzzy parameters". VIII Cogreso de la Socedad Iteracoal de Gestó de empresas y Ecoomía Fuzzy (SIGEF) celebrado e Nápoles (Itala).

35 34 CUADERNO DEL CIMBAGE N 5 [] De Wt, G. W. (98). "Uderwrtg ad ucertaty". Isurace: Mathematcs ad Ecoomcs. pp [] Derrg, R. A.; Ostaszews, K. M. (995). "Fuzzy techques of patter recogto rs ad clam classfcato". Joural of Rs ad Isurace 6. pp [3] Derrg, R. A.; Ostaszews, K. (997). "Maagg the ta lablty of a property lablty surace compay". Joural of Rs ad Isurace 64. pp [4] Derrg, R. A. Ostaszews, K (998). "Fuzzy sets methodologes actuaral Scece" E: Zmmerma, H.-J. (ed.): ractcal applcatos of fuzzy techologes. Massachssets: Kluwer Academc ublshers. pp [5] Devolder,. (988). "Le tau d actualsato e assurace". he Geeva apers o Rs ad Isurace 3. pp [6] Dubos, D.; rade, H. (987). "he mea value of a fuzzy umber". Fuzzy Sets ad Systems 4. pp [7] Gl Aluja, J. (996). "Laces y desveturas del uevo paradgma de la teoría de la decsó". Actas del III Cogreso de la Socedad Iteracoal de Gestó de empresas y Ecoomía Fuzzy (SIGEF) celebrado e Bueos Ares (Argeta) Vol I. aper.0. [8] Gl Aluja, J. (997). Ivertr e certdumbre. rámde. Madrd. [9] Helper, S. (99). "he epected value of a fuzzy umber". Fuzzy Sets ad Systems 47. p [0] Jabloows, M. (99). "Fuzzy logc ad surace decsos". CCU Joural September. pp [] Jméez, M. (996). "La teoría de la posbldad aplcada al cálculo facero e codcoes de certdumbre". Actualdad Facera 3. pp

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37 36 CUADERNO DEL CIMBAGE N 5 ANEXO E el cuadro presetamos el grupo de pólzas utlzadas e la smulacó del apartado 3. Los datos ha sdo etraídos de < de Serrao Cca (000). Las demzacoes ha sdo obtedas medate smulacó estocástca, supoédose que la cuatía de éstas se dstrbuía sguedo ua dstrbucó ormal trucada e 0 dode la edad y la atgüedad era postvamete poderadas (meor sestraldad) metras que la poteca del vehículo era egatvamete poderada (mayor sestraldad). ólza Edad Atgüedad oteca Idemzacó , , , , , , , , , , , , , , ,3

38 ALICACIONES ACUARIALES DE LA EORÍA DE LOS ólza Edad Atgüedad oteca Idemzacó , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,74 Cuadro

39 38 CUADERNO DEL CIMBAGE N 5 La aplcacó del algortmo de agrupacó borrosa de (Bezde, 98), y presupoedo tres grupos de pólzas, os lleva a realzar la clasfcacó del cuadro. ólza Cluster Cluster Cluster 3 0,39 0,50 0, 0,6 0,3 0,7 3 0,7 0,7 0, 4 0,4 0,39 0,9 5 0,7 0,9 0,0 6 0,4 0,55 0, 7 0,7 0,3 0,4 8 0,4 0,80 0,06 9 0,4 0,63 0,4 0 0, 0,09 0,80 0,30 0,58 0, 0,39 0,7 0,34 3 0,3 0,67 0,0 4 0,77 0,3 0,0 5 0,6 0,73 0,0 6 0,9 0,6 0,45 7 0,9 0,75 0,06 8 0,94 0,04 0,0 9 0,4 0, 0,55 0 0,3 0,64 0,3 0,37 0,5 0, 0,4 0,79 0,07 3 0,54 0,0 0,7

40 ALICACIONES ACUARIALES DE LA EORÍA DE LOS ,53 0,7 0,30 5 0,6 0,3 0,7 6 0,58 0,3 0,0 7 0,37 0,49 0,3 8 0,49 0,4 0,09 9 0,07 0,90 0, , 0,66 0,3 3 0,6 0,76 0,08 3 0,9 0, 0, ,49 0,35 0,6 34 0,36 0,40 0,4 35 0,37 0,49 0,3 36 0,9 0,60 0, 37 0,9 0,49 0, 38 0,5 0,8 0, ,53 0,7 0, ,6 0,0 0,73 Cuadro