Universidad Tecnológica Nacional

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1 Univeridd Tecnológic Ncionl Unidd Acdémic Reconqui Ingenierí Elecromecánic Apune Trnformd de plce

2 Índice. CONTINUIDAD SECCIONA.... FUNCIONES DE ORDEN EXPONENCIA.... TRANSFORMADA DE APACE EXISTENCIA DE A TRASNFORMADA DE APACE TRANSFORMADAS DE AS FUNCIONES EEMENTAES PROPIEDADES INEAES DE A TRANSFORMADA PROPIEDAD DE TRASACIÓN (PRIMER TEOREMA DE DESPAZAMIENTO) TRANSFORMADAS DE AS DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN MUTIPICACIÓN POR n (,,, ) n= CAMBIO DE ESCAA DIVISIÓN POR SEGUNDO TEOREMA DE DESPAZAMIENTO... 9 FUNCIÓN ESCAÓN UNIDAD O DE HEAVISIDE... 9 FUNCIÓN ESCAÓN UNIDAD DESPAZADO... 9 TEOREMA DE DESPAZAMIENTO... Ejercicio y Solucione.... TRANSFORMADA INVERSA DE APACE TABA DE TRANSFORMADAS INVERSAS PROPIEDADES INEAES DE A TRANSFORMADA INVERSA PRIMERA PROPIEDAD DE TRANSACIÓN CAMBIO DE ESCAA TRANSFORMADA INVERSA DE EXPRESIONES DE A FORMA P( ) Q( )... RAÍCES REAES SIMPES. Primer co... RAÍCES REAES MÚTIPES. Segundo co... 4 OTRO MÉTODO PARA HAAR OS VAORES DE OS COEFICIENTES INDETERMINADOS Tercer co CONVOUCIÓN... 8 PROPIEDADES DE A CONVOUCIÓN APICACIÓN DE A TRANSFORMADA DE APACE PARA A RESOUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIAES CON CONDICIONES INICIAES SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIAES...

3 Ingenierí Elecromecánic: Trnformd de plce Pág.. CONTINUIDAD SECCIONA Un función f ( ) e eccionlmene coninu en un inervlo [, ] b i exie un prición del mimo, en número finio de pre, en cd un de l cule l función e coninu y demá, iene límie lerle finio en lo exremo de cd ubinervlo. E conecuenci de e definición que un función coninu en un inervlo [, ] eccionlmene coninu en el mimo. En efeco, i e divide el inervlo [, ] b e b en do o má pre e comprueb que en cd un de ell l función coninu verific l condicione enuncid neriormene. f() b. FUNCIONES DE ORDEN EXPONENCIA Figur Se dice que un función f ( ) e de orden exponencil α cundo iende infinio, o implemene que e de orden exponencil, i exien do conne rele M y α myore que cero, le que prir de ciero vlor de > H, e Se dice mbién que f ( ) < M. e α f eá domind por. Si l función e de orden exponencil, pr odo > H gráfic de l función f ( ), prir de funcione exponencile M. e α y M. e α. M e α o que e myorne de l función, e verific l doble deiguldd:. M e α α < f < M. e > H f. > H e encuenr enre l curv iméric de l En el gráfico iguiene precen lgun funcione de orden exponencil M M. f ( ) f = e. M e α f = = co f M. e α Figur Univeridd Tecnológic Ncionl- Unidd Acdémic Reconqui

4 Ingenierí Elecromecánic: Trnformd de plce Pág.. TRANSFORMADA DE APACE Se f ( ) un función definid pr odo rel poiivo. Si l inegrl e f d exie, e decir, i e inegrl converge pr lgún vlor de >, erá un función del prámero. E función recibe el nombre de TRANSFORMADA DE APACE DE A FUNCIÓN f ( ) Denoremo l Trnformd de plce de f ( ) con culquier de l iguiene form: { f ( ) } = F( ) e lee: Trnformd de f ( ) e F( ) F( ) e lee: f ( ) iene por rnformd F( ) f En l definición: f ( ) F( ) e l función originl, e l imgen o rnformd, { f ( ) } = e f ( ) d = F( ) e e el núcleo de l rnformción, e l vrible imbólic. 4. EXISTENCIA DE A TRASNFORMADA DE APACE Si un función e eccionlmene coninu en un inervlo finio, < < H, y e de orden exponencil α pr odo H f pr odo > α. Demorción: e f d >, exie l rnformd de plce de E inegrl e puede decomponer dividiendo el inervlo de inegrción en el puno H., H y l egund en el Reulrá í l um de do inegrle, l primer en el inervlo finio [ ] inervlo infinio [ H, ]. Como f ( ) e eccionlmene coninu en el inervlo [ ] modo que no ocupremo de l egund. función f ( ) e de orden exponencil α en el inervlo [, ] > H, erá: α e f d e f d e M e d H H < H H ( α) e f d e f d M e d Inegrndo el egundo miembro reul:, H l primer inegrl exie, de H, en conecuenci, pr e f d M ( α) e = α Si ( α) < α α > < H e o cundo En conecuenci: e ( α) M e f d <= pr odo > α H α H Univeridd Tecnológic Ncionl- Unidd Acdémic Reconqui

5 Ingenierí Elecromecánic: Trnformd de plce Pág. Por lo expueo, l inegrl e f d converge pr odo > α Si α e el mínimo orden exponencil de f ( ), l Trnformd de plce de e función exie en el inervlo ( α, ). No e poible egurr l exienci de l inegrl en el (,α ). condicione expred neriormene pr l exienci de l rnformd de plce on uficiene pero no neceri. Eo ignific que l grn vriedd de funcione eccionlmene coninu y de orden exponencil, e pueden gregr or que per de no cumplir e condicione dmien rnformd. 5. TRANSFORMADAS DE AS FUNCIONES EEMENTAES A coninución deduciremo l fórmul de rnformción de lgun de l funcione elemenle que precen con frecuenci en un ecución diferencil linel de orden n. = pr > 5. ) {} Demorción: e =. e d= lim e d= lim = p p {} p p. e e = lim + = + p 5. b) {} = pr > {} lim p τ = d e = d p Pr inegrr por pre hcemo: u= du= d y reul: p i > dv= e d v= e p τ e {} = lim + e d p () p e p Cundo > el lim = lim = p p p e Aplicndo l regl de Hopil = lim = p e p Pr = e e e = = En conecuenci, l inegrl () e reduce : = {} e d {} Univeridd Tecnológic Ncionl- Unidd Acdémic Reconqui

6 Ingenierí Elecromecánic: Trnformd de plce Pág. 4 n = n! + pr > ( n=,,,... ) n 5. c) { } E regl y e demoró en el puno nerior pr n= Supongmo hor que e verific pr un vlor de n k! k { } = k Pr n k + = + erá: { } = k+ k + e d Derrollndo e úlim inegrl por pre, e { } k+ k e k + + k = + e d τ= = k, o e que Procediendo como en el puno nerior e demuer que el primer érmino del egundo miembro e igul cero, de donde k+ k+ k! k! { } = { } = = ( + ) k+ k k+ k+ Aí, por el principio de inducción comple, qued probd l vlidez de l fórmul pr odo vlor nurl de n.- = pr > 5. d) { e } i ( ) e = = { } e e e d e d ( ) > > lim e = lim = ( ) e en conecuenci, reul: e { e } = pr > en = + pr > 5. e) { } Demorción: { en } en = e d plicmo el méodo de inegrción por pre, hciendo: u e = du= e d co dv= e n d v= ( ) co I = e en ( ) d= e e co( ) d () Reierndo el méodo de inegrción por pre pr reolver e úlim inegrl, y uiuyendo en () reul: ( ) en ( ) co I = e e + I Univeridd Tecnológic Ncionl- Unidd Acdémic Reconqui

7 Ingenierí Elecromecánic: Trnformd de plce Pág. 5 Derrollndo el prénei y pndo el úlimo érmino l primer miembro, ( ) co + I e en = + Si > e cundo y como co τ < y en τ <, el egundo miembro iende cero pr Cundo = e; e =, co =, e n =, enonce el egundo miembro e reduce : De cuerdo con e conidercione podemo ecribir: + co e en( ) d = e + enτ = o En conecuenci: + { en } = { en } = + co = + pr > 5. f) { } Demorción: { co } co = e dτ Aplicndo el méodo de inegrción por pre e obiene: { co } ( ) en = e + e en( ) dτ El primer érmino del egundo miembro e igul cero y el egundo e l rnformd de l función en τ, de donde + + { co } = { en } = = Sh = pr > 5. g) { } Demorción: e = { Sh } e Como l rnformd de un función, por rre de un inegrl, poee propiedde linele, podemo ecribir: = = + { Sh ( ) } ( e ) ( e ) y efecundo l opercione, reul: { Sh ( ) } = ( + ) ( ) = + + Univeridd Tecnológic Ncionl- Unidd Acdémic Reconqui

8 Ingenierí Elecromecánic: Trnformd de plce Pág. 6 Ch = pr > 5. h) { } Demorción: e τ e τ τ τ + { Ch ( ) } = = ( e ) + ( e ) { } = + + pr > de donde Ch ( ) y efecundo l opercione en el egundo miembro reul: { Ch ( ) } = Sineizndo lo reuldo obenido podemo confeccionr l iguiene bl de rnformd de funcione elemenle: Nº f ( ) F( ) > > n 4 e ( ) 5 en ( ) 6 co ( ) 7 Sh ( ) 8 Ch ( ) 6. PROPIEDADES INEAES DE A TRANSFORMADA n n! + > > + > + > > + > Si f ( ) y g( ), on do funcione cuy rnformd de plce exie, pr B, on do conne, e: { Af ( ) + Bg( ) } = A{ f ( ) } + B { g( ) } >, y A, E propiedd e conecuenci inmedi de l definición de rnformd de plce, en rzón de l propiedde linele de l inegrle. Ejemplo: 5 + = + = + { 5 } { } 5{} {} 7. PROPIEDAD DE TRASACIÓN (PRIMER TEOREMA DE DESPAZAMIENTO) { f } = F( ) { e f ( ) } = F( ) Si Demorción: { e f ( ) } = e e f ( ) d por definición. Univeridd Tecnológic Ncionl- Unidd Acdémic Reconqui

9 Ingenierí Elecromecánic: Trnformd de plce Pág. 7 Podemo ecribir enonce: = ( ) { } e f e f d Si l Trnformd de plce de l función f ( ) exie, e úlim inegrl define un rnformción de vrible imbólic ( ), por lo no l propiedd qued demord. Ejemplo: Hllr ) { } = { e } = ( ) { en 4 } { e en 4} b) ) { e } b) { e } 4 4 = = ( ) 6 6 en 4 Con el empleo de e propiedd podemo mplir l bl de Trnformd de l funcione elemenle de l págin nerior en l iguiene form. { } Nº f ( ) F( ) f ( ) 9 b e co( ) n n e = n! + > b b + b e en( ) b + e b Ch( ) e b Sh( ) b b b 8. TRANSFORMADAS DE AS DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN Se f ( ) un función de orden exponencil, cuy rnformd de plce e F( ) y f ( ) u derivd de primer orden. ) Demorremo en primer lugr que: Demorción: { } = f e f d { f ( ) } = F( ) f ( ) pr reolver e úlim inegrl por pre, hcemo: = = =, v f ( ) u e dv f d du e d p =, enonce { } lim lim f e f = + e f d= e f ( ) e f ( ) + F( ) p Si f ( ) e un función de orden exponencil α, como hemo upueo, cundo, e f puede coniderr < M e y por lo no: ( α) p p e f p < M e e = M e p i >, el egundo miembro de e deiguldd iende cero cundo p iende infinio. En conecuenci, de () e obiene: { f ( ) } = f ( ) + F( ) p () Univeridd Tecnológic Ncionl- Unidd Acdémic Reconqui

10 Ingenierí Elecromecánic: Trnformd de plce Pág. 8 b)si f ( ) poee derivd de egundo orden f ( ) En efeco;, demorremo que: { f ( ) } = F( ) f ( ) f ( ) Aplicndo l fórmul obenid pr l derivd de primer orden e: { f ( ) } = l f ( τ) f ( ) { } { f ( τ) } = F( ) f ( ) f ( ) { f ( τ) } = F( ) f ( ) f ( ) Por el principio de inducción comple e puede generlizr l fórmul de rnformción pr un derivd enéim. n n n n { } ( n ) f = F f f f 9. MUTIPICACIÓN POR n ( n=,,, ) ) Si n= F = e f d n { } = { } = ( ) n n f F f F Podemo derivr l función F( ), plicndo l Regl de eibniz, bjo el igno inegrl, enonce: d F ( ) = e f ( ) d e f ( ) d d = Reul í: { } { } F = f f = F Generlizción: Supongmo que l regl e válid pr n k { } = k = ( ) = k, o e: k k f e f d F Derivndo nuevmene repeco de e obiene: = ( ) n k k e f d F de donde reul: n+ { } = ( ) k + k+ ( + ) f F con lo que, por el principio de inducción comple, l regl qued demord pr odo vlor nurl de n. { } Ejemplo: Hllr en( ) { } = como en( ) + { en} ( ) = = = + + d d + 8 d + d Univeridd Tecnológic Ncionl- Unidd Acdémic Reconqui

11 Ingenierí Elecromecánic: Trnformd de plce Pág. 9. CAMBIO DE ESCAA { f ( ) } = F donde F( ) = { f ( ) } { f ( ) } = e f ( ) d. du hciendo u= du= d d= Ejemplo u { f ( ) } = e f ( u) = e f ( u) du= F( ) ) { e} { e }. DIVISIÓN POR du u = = =. SEGUNDO TEOREMA DE DESPAZAMIENTO f ( ) = F( u) du i F( ) = f ( ) { } FUNCIÓN ESCAÓN UNIDAD O DE HEAVISIDE: u i < = i { u( ) } = u( ) e d= e d= > f ( ) u( ) FUNCIÓN ESCAÓN UNIDAD DESPAZADO: i < > = i ( ) Figur e { u( ) } = u( ) e d= e d= > f ( ) ( ) u Figur 4 Univeridd Tecnológic Ncionl- Unidd Acdémic Reconqui

12 Ingenierí Elecromecánic: Trnformd de plce Pág. TEOREMA DE DESPAZAMIENTO: { F( ) u( ) } = e F( ) f ( ) f ( ) ( ) f ( ) u f ( ) u( ) Figur 5 Ejercicio: Hllr l rnformd de plce de l iguiene funcione: ) f ( ) = + b ) f ( ) = + b+ c 7) f ( ) 8) f ( ) = = 5 4 e Ch ) f ( ) = en co 4) = en f e f = 8 ) 4) f ( ) = en 5) f ( ) 6) = en f = e + b 9) f ( ) = en co ) f ( ) = en( w+ c) ) f ( ) = co( w+ c) ) f ( ) = en en 5) = co 6) f ( ) f e w = e Solucione: + b + b = + b = + b = b c + b+ c + b+ c = + b + c = + = = ) { } {} {} ) { } { } {} {}! 48 8 = 8 = 4 4 en = + 9 en = co = + 4 ) { } { } 4) 5) { } + 6) { e } { e e } e { e } b b b b e ) { e } e { e } = = = 4 e = = 5 Univeridd Tecnológic Ncionl- Unidd Acdémic Reconqui

13 Ingenierí Elecromecánic: Trnformd de plce Pág. = + = + 6 en co = en = = en w+ c = co c en w + en c co w = 8) { Ch } ( Ch 4) { } 9) ) ) { } { } w = co( c) + en c + w + w co w+ c = co c co w en c + en w = { } { } w = co( c) + en c + w + w { en en } = co( ) co( ) = { en co } = ( en( 5) en( ) ) Pr e uiución e h enido en cuen que : ) ) b + b en( ) en( b) = en co b + b i e hce = y =, e obiene en co en 5 en ( ) ( ) = { en( ) co( ) } = { } 4) e en( ) { } { e en( ) } como en por l primer ley de rlción. { } 5) e co( w) como co = = + + { w } { e co( w) } por l primer ley de rlción. e : 6) { } ( ) = = + w + w!! 4 como { } = { e } = 4 por l primer ley de rlción. Aplicndo muliplicción por { e } F = = ( + ) { e } ( ) F( ) ( + ) d d d 6 = = = = 4 ( + ) ( + ) ( + ) d d d Univeridd Tecnológic Ncionl- Unidd Acdémic Reconqui

14 Ingenierí Elecromecánic: Trnformd de plce Pág.. TRANSFORMADA INVERSA DE APACE En l reolución de ecucione diferencile, cundo e plic l rnformción de plce, e preen l finl el problem invero de hllr l función cuy rnformd e conoce. Aí, i { f ( ) = F( ) }, e dice que l rnformd inver de l función F( ) e rnformd inver de un función F( ) e repreen imbólicmene por: Por ejemplo: { e } = = e 4. TABA DE TRANSFORMADAS INVERSAS { F( ) } = f ( ) f. De l bl de rnformd inmedi deducimo l iguiene correpondiene l nirnformd de l funcione elemenle: Nº f ( ) F( ) = f ( ) { } n n ( n=,, ) ( n ) 4 ( ) 5 ( ) e! + en( ) + co 6 7 ( ) 8 ( ) + Sh( ) + Ch( ) 5. PROPIEDADES INEAES DE A TRANSFORMADA INVERSA Si f ( ) = F, g( ) { } En efeco, ddo que: y b conne, e { } = G( ) { f ( ) + bg( ) } = F( ) + bg( ) enonce Ejemplo: {( F( ) + bg( ) )} = f ( ) + bg( ) { + } = + F bg f bg 4 = = e Sh Univeridd Tecnológic Ncionl- Unidd Acdémic Reconqui

15 Ingenierí Elecromecánic: Trnformd de plce Pág. 6. PRIMERA PROPIEDAD DE TRANSACIÓN Si { } { } F = f F = e f E propiedd e conecuenci de l primer ley de rnlción de l Trnformd de plce. 7. CAMBIO DE ESCAA Demorción: Si { F( k) } = f i k= ce. y F( ) k k { } = f ( ) u k u { } = = = F f F e f u du F k e f u du Sbiendo = ku u= k du= d k d F k e f k e f k du f k k k k = = = { } F k f = k k Ejemplo: = en ( ) + 4 en en = = = = TRANSFORMADA INVERSA DE EXPRESIONES DE A FORMA P( ) Q( ) Derrollremo coninución un méodo pr hllr l rnformd inver de un función P Q donde no el numerdor como el denomindor on polinomio lgebric de l form enero en y demá el denomindor e de grdo myor que el numerdor. Coniderremo demá que el polinomio denomindor Q( ) iene como coeficiene del érmino de myor grdo l unidd. Se pueden preenr re co diino, ber: ) cundo el denomindor iene ríce rele imple. b) cundo el denomindor iene ríce rele múliple. c) cundo el denomindor iene ríce imginri. RAÍCES REAES SIMPES Primer co: Supongmo que Q( ) e nul pr S Hcemo P = A + B + C Q b c =, = b, S= c reduciendo común denomindor y eliminndo lo denomindore reul: P( ) A( b)( c) + B( )( c) + C( )( b) Univeridd Tecnológic Ncionl- Unidd Acdémic Reconqui

16 Ingenierí Elecromecánic: Trnformd de plce Pág. 4 Si en l idenidd nerior e dn l vrible re vlore numérico diino e obienen re ecucione con re incógni que no permien deerminr lo vlore numérico de lo coeficiene A, B, C. Aí, pr =, e: P = A b c A= Pr = b, e: P b = B b b c B= Pr = c, e: P c = C c c c C= P( ) ( b)( c) P( b) ( b )( b c) P( c) ( c )( c b) Obenido lo coeficiene A, B, C, e procede plicr l propiedd linel de l rnformd inver: P Q = A + B + C b c { } { } P Q = Ae + Be + Ce b c Ejemplo: Hllr Deerminmo l ríce del denomindor, + 6 = + 6 = =, =, = Hcemo enonce: + A B C = = A + + B + + C B pr = e = A A= 6 pr = e = B 5 B= pr = e = C 5 C= 5 Reul enonce: + = + = + e e RAÍCES REAES MÚTIPES Segundo co: Supongmo que el denomindor iene do o má ríce diin, un de l cule por lo meno, e múliple. Por ejemplo, upongmo que, Q = pr =, = = 4 = b ) En ee co hcemo, = ( ) P A B C D Q b b b Reduciendo común denomindor y eliminndo lo denomindore, e obiene: = ( ) + ( ) + ( )( ) + ( )( ) P b B C b D b Univeridd Tecnológic Ncionl- Unidd Acdémic Reconqui

17 Ingenierí Elecromecánic: Trnformd de plce Pág. 5 E idenidd permie formr, pr curo vlore diino de l vrible independiene, un iem de curo ecucione con curo incógni A, B, C y D. Deermindo lo vlore de eo coeficiene e procede clculr l Trnformd inver por plicción de l propiedd de linelidd, enonce: A B C D ( b) ( b) ( ) P = = Q q b = Ae + B e + C e + D e b b b No: Aplicmo quí l primer propiedd de rlción, y que: Si Enonce, = A + B + C + D ( ) P Q b b b! ( n ) n! n = n = ( n )! ( n )! Por cd ríz múliple de orden de muliplicidd n e obiene n- ecucione con n- incógni. n- ecucione Ver ej. Pág.7 = Orden de muliplicidd = = ecucione = = = ecucione Ej.: Hllr: Fcorendo el denomindor = + = ecucione con incógni ( B; C; E ) e obiene inmedimene u ríce: = = =, 4 = 5 = Hcemo: + A B C D E = ( ) Depué de reducir común denomindor y uprimir lo denomindore e obiene l iguiene idenidd: + = A + B + C c + D + E Pr = y = e obienen de inmedio lo vlore de lo coeficiene: A= D= n- incógni () Univeridd Tecnológic Ncionl- Unidd Acdémic Reconqui

18 Ingenierí Elecromecánic: Trnformd de plce Pág. 6 Suiuyendo A y D por lo vlore obenido, podemo formr pr re vlore diino de, un iem de re ecucione con re incógni que no permiirá clculr B, C y E. Aí, pr: = ; B + 4C + 8E = = ; B + 6C + 54E = 84 = ; 4B + 4C + E = 4 o bien; B + C + 4E = B + 6C + 9E = 4 B= 5 C= 8 E= 8 B + C + E = Suiuyendo en () lo vlore obenido pr lo coeficiene A, B, C, D, E reolvemo; = = e ( ) OTRO MÉTODO PARA HAAR OS VAORES DE OS COEFICIENTES INDETERMINADOS: Si prir de l expreión () de e mim pág., muliplicmo mbo miembro por obiene: + D E = A+ B+ C + + ( ) ( ) Pr = e obiene en form inmedi A= Si e derivn lo miembro de l iguldd (), reul: + 5 ( ) = B+ C+ W () (), e En e úlim iguldd hemo repreendo por W( ) l función que reul de derivr lo do úlimo érmino de (). Hcemo nor que e función W( ) debe conener un fcor común enonce; pr = e B= 5 i e hll l derivd de l iguldd (), e: ( ) ( ) ( + 5) 4 ( ) = C+ W Como l función W( ) coniene un fcor común no, pr =, l iguldd (4) d: 6= C C= 8 (4),, u derivd coniene el fcor. Por lo Pr deerminr hor lo vlore de lo coeficiene D y F e muliplic l iguldd () por ( ) reulndo: + = D + E( ) + h( )( ) (5) Pr brevir el procedimieno e hn repreendo lo re primero érmino del egundo h. Si hcemo =, de l iguldd (5) e obiene en miembro de l iguldd () por l función form inmedi: D= Siem de ecucione con incógni ( B ;C ; E ) Univeridd Tecnológic Ncionl- Unidd Acdémic Reconqui

19 Ingenierí Elecromecánic: Trnformd de plce Pág. 7 Derivndo l iguldd (5), e : 6 + que pr =, d: E= 8 ( )( ( ) ) = E+ h + h Ríce imginri conjugd imple Tercer co: El denomindor Q( ) poee do ríce imginri conjugd imple. Supongmo que Q( ) = pr = + bi, = bi Procediendo como en el co de l ríce rele imple decomponemo el cociene P Q í: = + ( + ) ( ) P A B Q bi bi o vlore de lo coeficiene A y B e deerminn con lo procedimieno vio neriormene pr el co de ríce rele, enonce, A B ( + ) ( + ) P = + = Q ib ib ( + bi) ( ) = Ae + Be bi Podemo rnformr e úlim expreión í: Ej.: Hllr P Q = ib ib e Ae + Be = ( ( co en ) ( co en )) co en = + + = e A b i b B b i b = + + e A B b A B i b = pr = i = i 6 A B Hcemo = i + i Si uponemo clculdo lo vlore de lo coeficiene A y B, pmo clculr l rnformd inver: 6 = Ae + Be = + 9 = + + = i i A( co i en ) B( co i en ) ( A B) co i( A B) en = + + Clculmo hor lo vlore de A y B. Muliplicmo l iguldd () por ( i) implificmo: 6 = A+ B i + i + i que pr = i d: A= + i () (), y Univeridd Tecnológic Ncionl- Unidd Acdémic Reconqui

20 = u Ingenierí Elecromecánic: Trnformd de plce Pág. 8 Muliplicndo l iguldd () por ( i) 6 i = A + + B, expreión e úlim i i que pr: = i d: B= i En conecuenci, e A B 6 + y implificndo, e: A B i= i = + = y Suiuyendo eo vlore en () reul: 9. CONVOUCIÓN 6 6co en = + 9 Se llm convolución de l funcione f ( ) y l función definid por l iguiene inegrl: f g= F u g u du PROPIEDADES DE A CONVOUCIÓN: g, y e repreen imbólicmene por f g ) Demorremo primero que i { f ( ) } = F( ) y { g( ) } = G( ) En efeco, { } F G = f * g { f * g} = e ( f * g) d por definición de rnformd { * } f g = e f u g u du d= = u= e e f u g u du d = u= = u u, = u.p u Figur 6 región del plno, u expred por u, e puede repreenr mbién por el pr de inecucine iguiene: u< ; u < de modo que l rnformd de l convolución de f y g puede dopr l iguiene form: { * } f g = e f u g u du d= u= = = g u e f u d du u= = u Univeridd Tecnológic Ncionl- Unidd Acdémic Reconqui

21 Ingenierí Elecromecánic: Trnformd de plce Pág. 9 Pr reolver primero l inegrl inerior, repeco de l vrible, conidermo u como i e rr de un conne y hciendo u= z = u+ z ; d= dz i u z ; i z Suiuyendo en l inegrl nerior reul: { * } u= z= ( z) u+ f g = g u e f z dz du= Hemo demordo que: z u e g u du e f z dz G F u= z= = = { } { } f * g = F G F G = f * g b) convolución e un operción conmuiv. En efeco: { } { } f * g= F G = G F = g * f Apliccione: Hllr l rnformd inver de Sbemo que = y Enonce ( + ) + + = en *en en = = u du = = cou = co c) Hllr l rnformd inver de u + Sbemo que l rnformd inver de eo fcore on l funcione y en, enonce: *en en = = u u du = ( + ) = u cou = en u=. APICACIÓN DE A TRANSFORMADA DE APACE PARA A RESOUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIAES CON CONDICIONES INICIAES ) Se l ecución diferencil y 4y y y = 7 + = con l condicione y ( ) = ; Aplicndo l rnformd lo do miembro de l ecución e obiene: y 4 + y = () pero; { } { y } = { y } y{ } y ( ) = { y} 7 { y } { y} y { y} { y } { y} = = 4 = 4 Aplicndo l propiedd linel de l rnformd inver y uiuyendo eo reuldo en (), { } { } { } y 7 4 y + + y = Univeridd Tecnológic Ncionl- Unidd Acdémic Reconqui

22 Ingenierí Elecromecánic: Trnformd de plce Pág. Podemo grupr lo érmino que conienen { y} en el primer miembro y lo demá en el egundo, í: 5 + = = 4+ ( 4 ) { y} 5 { y} Obenid l rnformd de l función y, debemo hllr l rnformd inver, pr ello hcemo, 4 + = = = 5 A B = + 5 A + B 4 + = = A= pr A = = B= pr 4 B 5 y= = + = e + e 4+ b) Reolver y y y e 4 + = iendo { y 4y + y} = { e } y =, y ( ) = iendo + + = { } ( ) ( ) 4 { } 4 ( ) { } y y y y y y Como de cuerdo con l condicione inicile y y ecución e reduce : + = = 4+ ( 4 ) { y} { y} el domindor de e rnformd e nul pr =, =, = Enonce hcemo: ( )( 4+ ) A B C = + + = A + B + C pr = e = A A= pr = e = B B= pr = e = C C= Suiuyendo lo vlore de eo coeficiene en () y= + y= e e e c) Reolver l ecución: + = pr vlore inicile y ( ) =, y y co { y + y} = { co} + = + { } ( ) ( ) { } y y y y = = l rnformd de l y = Univeridd Tecnológic Ncionl- Unidd Acdémic Reconqui

23 Ingenierí Elecromecánic: Trnformd de plce Pág. coniderndo l condicione inicile, e reduce + = + = + ( ) { y} { y} Ríce imginri múliple ( ) El denomindor de e rnformd iene ríe imginri doble: = = i = 4 = i Hcemo: A B C D = i i ( + ) ( + i) ( + ) () Muliplicndo por ( i) ( i), qued: = A+ B i + w h i (Hemo repreendo por w( ) lo do úlimo érmino de ()) De () pr = i e obiene Derivndo () reul: ( + i) A= i + i = B+ i w + i + w Pr = i l úlim expreión e B= Muliplicndo hor l iguldd () por ( i) ( i) pr = i d: = C+ D + i + h + i C= i Derivndo l úlim idenidd, e obiene: pr ( i) +, i = D+ h + i + + i h = i d: D= Con eo reuldo hcemo = + = + i i = A e B e + A B ( ) ( i) ( i) Reuld í: = + = i i y A e B e (por rnlción) = + = i i A e B e ( co en ) ( co en ) co en = A + i + B + i = = A+ B + A B i Univeridd Tecnológic Ncionl- Unidd Acdémic Reconqui

24 Ingenierí Elecromecánic: Trnformd de plce Pág. pr: A+ B= i+ i= y ( A B) = y= en. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIAES Se el iem: x + x y = co i x( ) = ; x ( ) = ; x= f ( ) x + x + y + y = i y( ) = ; y ( ) = ; y = g( ) Por rzone de brevedd, podemo hcer { x} = F, { y} = G Trnformndo el iem de ecucione e obiene: ( ) ( ) ( ) ( ) F x x G+ y = + F x( ) x ( ) + F+ G y( ) y ( ) + G= Si e ienen en cuen l condicione inicile del iem nerior e reduce : F + + F G= + F + + F+ G + G= de donde: ( + ) F G= + () + ( + ) F+ ( + ) G= + () Muliplicndo l ecución () por ( ) + y l () por y umndo, ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) = ( + ) + ( + ) F = F = y pr > F = + x= F x= e + en + + como { } Muliplicndo l ecución () por ( + ) y l ecución () por ( ) por ( + ), e obiene: ( + ) + ( + )( + ) = ( + )( + ) ( + ) G de donde ( )( ) G ( ) ( ) + + = y pr = G= + = y= G y= e + co Como { } + y l ecución () Univeridd Tecnológic Ncionl- Unidd Acdémic Reconqui