ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES

Transcripción

1 3 ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES 3. DEFINICION DE LOS ESTADOS TRIPLES, DOBLES Y SIMPLES DE TENSIONES Conideremo el co de un ólido en equilibrio bjo l cción de crg eeriore ilemo del inerior del cuerpo un cubo elemenl de ri d, d dz, de mner que l crg pueden orienre egún el iem de referenci. Sobre cd un de l cr eiirá un vecor enión ol de mner l que el cubo elemenl e encuenre en equilibrio. Eo vecore pueden proecre egún lo eje de referenci de mner que en cd un de l ei cr endremo en generl un enión norml do enione ngencile perpendiculre enre i. Un edo de enione de e crceríic e dice que e un edo riple o epcil. En deermind circunnci l crg cu n- e obre el cuerpo hcen que l enione obre el cubo elemenl queden ubicd denro de un plno. Ee edo e denomin doble o plno. Cundo lo vecore enión on prlelo un eje, el edo e denomin imple o linel. En relidd, l definición de un edo como imple, doble o riple no olo depende de edo de crg cune ino de l oriención del cubo elemenl. Como veremo m delne, el edo imple puede pr er un edo doble i el elemeno diferencil iene un roción, incluive puede converire en un edo riple. El proceo l revé no iempre e fcible. E decir, i enemo un edo doble, por ejemplo, e probble que no enconremo, por roción del elemeno, un poición pr el cul el edo e linel. /005

2 Pr poder enenderno con clridd l referirno l enione, vmo eblecer cier convencione: σ i : el ubíndice i indicrá l eje repeco del cul l enione normle on prlel ( σ, σ, σ z ). Serán poiiv cundo produzcn rcción. τ ij : el ubíndice i indicrá el vecor norml l plno donde cún l enione ngencile, el ubíndice j indicrá el eje l que reuln prlel ( τ, τ z, τ z, τ, τ z, τ z ). Tno l enione normle como l ngencile vrín puno puno en el inerior de un cuerpo, por lo no, debemo ener preene que l enione quedn epred como funcione: (,,z) (,,z) 3. EQUILIBRIO DE UN PRISMA ELEMENTAL Conideremo, como en l figur 3.3, un puno A correpondiene un ólido ujeo enione, puno que hcemo coincidir con el origen de coordend; re plno perpendiculre que pn por el puno, coincidene con lo plno coordendo. Supongmo demá un egundo puno B del mimo ólido, de coordend d, d dz.. Admiiremo que l funcione que definen l enione en lo puno del ólido on con i- nu derivble. L enione que cún en lo plno que pn por B pueden definire como l que cún en lo plno prlelo pne por A m el correpondiene incremeno. Aí endremo, por ejemplo, d omndo como incremeno el primer érmino del derrollo en erie de Tlor. /005

3 El prim elemenl erá omeido fuerz cune en u cr como conecuenci de l enione, demá eiirá un fuerz de m que upondremo plicd en el bricenro. Llmremo X, Y, Z l componene de dich fuerz por unidd de volumen. Si plnemo el equilibrio del prim elemenl endremo: F 0 fi Ł d d dz - d dz z Ł z z dz d d - z d d Ł d d dz - d dz X d d dz 0 fi Ł z z X d d dz 0 z X 0 z Por Σ F 0 ; ΣFZ z z 0, e obiene Y 0 : ECUACIONES DIFERENCIALES DEL EQUILIBRIO (3.) z z z z Z 0 Coninundo con l ecucione de momeno, pr lo cul uponemo rldd l ern de eje l bricenro del elemeno, endremo: M 0 fi z Ł - z Ł z z z d d dz d dz d d dz - z z d d dz d d dz - 0 Deprecindo diferencile de orden uperior no qued: z d d dz - z d d dz 0 fi z z (3.) Idenicme ne M Mz 0 0 fi fi z z z z z z /005 3

4 E úlim ecucione reciben el nombre de LEY DE CAUCHY o LEY DE RECIPRO- CIDAD DE LAS TENSIONES TANGENCIALES, cuo enuncido e: En do plno normle culequier, cu inerección define un ri, l componene normle é de l enione ngencile que cún en dicho plno, on de igul inenidd concurren o e lejn de l ri. L ecucione diferencile del equilibrio ienen nueve incógni, l que coniderndo l le de Cuch e reducen ei. Ahor bien, iendo que ólo diponemo de re ecucione, el numero de incógni ecede el número de ecucione, con lo que concluimo que ee problem reul ESTATICAMENTE INDETERMINADO. L ecucione que fln pueden obenere ólo i e eudin l CONDICIONES DE DEFORMACION e ienen en cuen l propiedde fíic del cuerpo ddo (por ejemplo l le de Hooke). L deerminción del edo enionl de un cuerpo iempre reul indeermindo por condición inern e implic l coniderción de ecucione de compibilidd, l cule eblecen relcione enre l deformcione, en form imilr como l ecucione diferencile del equilibrio relcionn l enione enre í. H do cienci que rn de reolver ee problem: - L Teorí de l Elicidd - L Reienci de Merile En l primer precen or ecucione diferencile pre de l de equilibrio, e gregn e- cucione de conorno e r de obener l olución medine l inegrción de l ecucione diferencile. El proceo e complejo en mucho co e mu difícil de enconrr l olución riguro del problem, recurriendo méodo numérico. En el ámbio de l Reienci de Merile, en cmbio, e hcen hipóei proimd, plicble diino co priculre, que e verificn eperimenlmene. Cundo reolvimo el problem de l olicición norml, in hberlo menciondo epecíficmene, hemo uilizdo un ecución de compibilidd: l Le de Bernoulli. En efeco, e le no permiió eblecer que l deformcione epecific debín permnecer conne, con lo que debido l Le de Hooke reuló que l enione normle mbién debín er conne en l ección rnverl. P P P fi dw dw dw P (3.3) W W W W W W Si hubiéemo inendo reolver el problem ólo prir de l enione, e podrín hber enconrdo numero lee de vrición σ (,) cu inegrl en el áre de l ección rnverl dier como reuldo el vlor P. Sin embrgo, ningun de e lee drí ε ce., que e lo que e oberv eperimenlmene. Pr reolver oro problem como lo de orión, fleión, ec., deberemo eguir un cmino imilr l indicdo, que como hemo vio, l ecucione de l Eáic no reuln uficiene pr deerminr el edo enionl de un cuerpo. 3.3 DEFORMACIONES EN EL ESTADO TRIPLE L eperienci demuer que cundo e produce el eirmieno de un brr, el lrgmieno longiudinl v compñdo de cormieno rnverle que on proporcionle l longiudinl. Si en un cubo diferencil cú olmene σ endremo: e E /005 4

5 i demá cú σ endremo un vlor dicionl: e -m e -m E lo mimo i cú σ z. En conecuenci podemo eblecer l iguiene lee: e e e z E E E [ - m( )] [ - m( )] [ - m( )] z z z (3.4) Puede demorre que l enione ngencile no provocn lrgmieno ni cormieno, ólo cmbio de form, de modo l que puede eblecere: z z g g g (3.5) z z G G G Má delne veremo que l re conne eláic E, µ G no on independiene ino que eán relciond: E G (3.6) m ( ) L ei lee neriore, que vienen dd por l ecucione , coniuen l denomind Le Generlizd de Hooke. 3.4 ESTADO DOBLE 3.4. Vrición de l enione en el puno egún l oriención del plno. Un elemeno definido por re plno normle enre í, e omeido un edo plno, cundo l enione en do de u cr on nul. Anlicemo el elemeno de l iguiene figur: /005 5

6 d d. en d d. co Adopmo l iguiene convencione de igno: Tenione normle: erán poiiv cundo produzcn rcción. Tenione ngencile: erán poiiv cundo produzcn un giro de momeno con enido horrio repeco un puno inerior del prim. Angulo α : El ángulo e mide prir del plno vericl e conider poiivo cundo e nihorrio. El plno definido medine el ángulo α e prlelo l eje z. Lo re plno deermindo por lo eje,, el ángulo α pn por el mimo puno; de llí que no enemo en cuen fuerz de m obre dicho elemeno. Recordmo por Cuch: (3.7) Tomndo en profundidd un dinci uniri (d z ) plnendo proeccione de fuerz obre l dirección, por rzone de equilibrio enemo: F / direc 0 d. - d co. d en. d en. d co. 0 co co en - en co en - - en ( co - ) (en - ) - en (co - en ) (co - en ) - en - co - en (3.8) /005 6

7 Similr lo nerior, proecmo fuerz obre l dirección : F / direc 0 d. - d en. - d co. d co. d en. 0 ( - ) co en ( co - en ) ( - ) en co (3.9) L enione vinculd do plno perpendiculre e denominn enione complemenri. Pr clculrl podemo reemplzr en l ecucione neriore, que on válid pr culquier ángulo α, por ( α90º ). ' ( ) ( - ) - Si nlizmo l iguiene um: co `- en` (- co ) - (- en) ' ce. Invrine de enione (3.0) podemo ver que l um de l enione normle correpondiene do plno orogonle e mnienen conne, por lo que e um e l denomin invrine de enione Vlore máimo mínimo En el íem nerior hemo vio l mner de poder clculr el vlor de l enione cundo el prim elemenl iene un roción; hor vmo rr de deerminr l roción que deberí ener pr que l enione lcncen vlore eremo. Pr obener máimo mínimo, derivmo e igulmo cero. ( - ) en - co 0 d - d (Idem 3.9) g - (3.) - Obervndo e úlim ecución, podemo ver que l mim qued ifech por do vlore de α, lo cule difieren enre í 90º. Reemplzndo enonce en l ecución 3.8 por eo vlore llegmo obener l epreione correpondiene l enione normle máim mínim. Pr ello no pomo en l conrucción gráfic de l figur, de donde reul mu imple obener lo vlore de co α σ en α. /005 7

8 co ( - ) 4 ( - ) - en - 4 ( - ) ( - ) ( - ) 4 ( - ) 4 ( - ) ( - ) 4 4 m min ( - ) 4 Si clculmo el vlor de τ α pr α σ ( - ) ( - ) ( - ) (3.) 4 4 podemo ver que l enione máim mínim, no ólo e producen imulánemene en plno orogonle, ino que l mimo iempo en dicho plno l enione ngencile on nul. L enione máim mínim e denominn enione principle lo eje perpendiculre lo plno donde cún, eje principle. A coninución vmo rr de deerminr l enione ngencile máim mínim. d d g g ( - ) - - g co - fi en 0 difiere 90º de (3.3) Lo plno donde e producen l enione principle difieren 45º de quello donde l enione ngencile on máim mínim. m min Ł - ( - ) ( - ) 4 ( ) ( - ) 4 m min ( - ) 4 (3.4) /005 8

9 Clculemo el vlor de σ ατ pr α τ, iendo g - - ( ) ( - ) 4 - ( - ) ( - ) 4 (3.5) 3.5 CIRCULO DE MOHR PARA TENSIONES 3.5. Trzdo juificción en el edo doble Si conidermo l ecucione , l reordenmo, elevmo l cudrdo ummo miembro miembro endremo: - - co - en - en co Ø Œ Œº - (3.6) Ł ø œ œß Ł - E úlim epreión reul er l ecución de un circunferenci con cenro obre un eje ocido l enione normle σ, de bci (σ σ )/. El rdio de l circunferenci e: - Ł ( - ) 4 (3.7) /005 9

10 L propiedd fundmenl de e circunferenci e que cd puno de ell eá ocido un pr de vlore (σ, τ) correpondiene un plno. Dede el puno de vi prácico el rzdo de l circunferenci e mu imple: - Ubicmo lo puno A B de coordend: A (σ, τ ) B (σ, τ ) - L circunferenci con cenro en C, pne por A B define el llmdo Circulo de Mohr, cuo rdio coincide con el indicdo en l ecución 3.7 OC - RC r RC RA Ł - (3.8) Si por el puno A rzmo un prlel l dirección del τ repecivo por el puno B rzmo un prlel l dirección del τ repecivo, dich rec e corn en el puno P, el cul preen propiedde mu imporne. Ee puno P e denomin puno principl de Mohr. Si por el puno principl de Mohr rzmo un rec prlel l plno repeco del cul deemo evlur l enione cune, l mim cor l circunferenci en el puno M. /005 0

11 A coninución vmo demorr que l coordend de ee puno (OT;MT) e correponden con lo vlore de σα τα. Pr ello, previmene juificremo l iguiene relcione rigonoméric enre ángulo preene en l Fig. 3.8, que uilizremo pr l referid demorción. ) w q / } en DAE : DA.r.co ω en 678 DAA': AA' DA.en ω. r. co ω.en ω r.en ω dem: 678 en CAA': AA' r. en θ enonce: ω θ / b) d. } en PAC : } l ángulo APC lo denominmo ene mo α } PAC erá : α γ ( α γ) α luego θ 4 α γ 80º 678 en PCM θ δ α γ 80º rendo m..m. α - δ 0 δ α Un vez demord mb relcione, definimo el ángulo β β α θ OT OC CT OC r co β OC r co ( α θ) OT OC r(co α co θ enα enθ) σ σ r co α σ σ r r enα τ r OT σ σ σ σ co α τ enα σ α Ec.(3.8) /005

12 TM renβ ren ( α θ) renα co θ r co α enθ TM σ σ enα τ co α τ α Ec.(3.9) El círculo de Mohr no ólo reul prácico pr deerminr l enione preene en un plno culquier, ino que prir del mimo pueden obenere l enione principle u plno principle, o l enione ngencile máim mínim. En el circulo de l figur 3.9 hemo repreendo l enione recienemene menciond u correpondiene plno de cución. En el mimo mbién puede vere que en correpondenci con l enione principle eien ngencile nul. ) Core puro A rvé del círculo de Mohr podemo nlizr lguno co priculre que no ineren. /005

13 En ee edo vemo que eie un elemeno girdo 45º con repeco l olicido por core puro, l que u cr eán omeid enione normle de rcción compreión, igule en vlor boluo numéricmene igule l enión ngencil. b) Trcción imple 3.5. Trzdo en el edo riple Aí como e poible deerminr l enione principle en un edo doble, é mbién pueden clculre en un edo riple. Si uponemo que e enione on conocid, e poible demorr que el pr de enione (σ,τ) correpondiene un plno inclindo cul-quier e correponde con l coordend de ciero puno ubicdo denro del áre rd indicd en l figur 3., encerrd por lo círculo, definido, en ee co por l re enione principle. Un hecho imporne decr e el que e oberv en el circulo de l fig Allí enemo un edo riple donde σ 3 0, puede vere que l enión ngencil máim reul mor que l que correponderí l edo plno correlciondo con l enione principle σ σ ecluivmene. /005 3