MOVIMIENTO BROWNIANO y CALCULO ESTOCASTICO

Transcripción

1 Pr Mahemaica: Vl. V, Ns. 9-10, 1991 MOVIMIENTO BROWNIANO y CALCULO ESTOCASTICO Arur KOHA TSU HIGA* 1. Mvllllle BI'OWDIa. Rber Brw, u báic del sigl XIX, fue el primer e ar el mvimie aleari permaee de ua parícula e rs medis. El experime csisía e dejar ua parícula de ple der de u vas lle de agua y aar la psició de la parícula. Aes del experime se esperaba que la parícula de ple dejara de mverse lueg de u períd de iemp, 10 cual currió. La parícula se mvía erráicamee de u lugar a r. Brw describió ese cmpramie,per fue icapaz de dar ua explicació del prqué de ese mvimie erráic. Ex-.a 1 um PUCP. Uiversiy. Esudiae de dcrad e Purdue 41

2 Durae ls añs subsiguiees, diferees erías iear explicar ese feóme, algus empezar a cree.í' que las parículas eía vluad prpia. Hasa que Eisei dió ua explicació ermdiámica al feóme que empezó a llamarse mvimie brwia. La razó del mvimie erráic,era el chque csae de parículas e cra de la parícula de ple. Añs después N. Wieer demsró la exisecia del mdel maemáic que describe al mvimie brwia (a veces se suele usar el mbre de prces de Wieer para referirse al mvimie brwia). Defiició. U mvimie brwia es u cju Q, previs de ua medida prbabilísica P, y ua familia de variables alearis ( fucies medibies) B para ER ; al que : + 1) 2) 2 P(B E A) = J 1 -(X 12)d A ~ 2 e x (i.e. B N N(O,» B (w) es cíu e, casi seguramee e w. 3) B - Bs es prbabilísicamee idepediee de B, (e geeral, para O ~ < <, s

3 es idepediee de La exisecia del mvimie brwia es bvia desde el pu de visa maemáic. Nrber Wieer prbó la exisecia del mvimie brwia. Hy e día,exise muchas pruebas de ese hech, u de ls méds usuales e el us de camis alearis y lueg, usar u prces límie. Lueg de la prueba de la exisecia del mdel, había que explrar sus prpiedades para saber si efecivamee era u mdel plausible del prblema rigial. Hy e día se publica muchs arículs explrad iricadas prpiedades e ese prces. Ere las más impraes eems 1) B es de variació ifiia (l cual implica que es difereciable) 2) Bl es recurree (i.e. visia ds ls úmers reales ua ifiidad de veces). 3) = +<X> lim -H<X> Bl = -<X> 4) Sea X ua variable alearia, c variaza fiia,eces exise T u iemp aleari al que X = B, (ésa úlima igualdad es e disribució). 5) E (B lb,u ~ s) = B. (E(.,.) dea la esl u - s 43

4 peraza cdicial). &sa prpiedad caraceriza a las marigalas (ver [1]). 6) Si X Y X 2 - s marigalas cíuas, eces X es u mvimie brwia. Nas. a) Para lgrar u mvimie brwia e res dimesies,sl hay que usar 3 cpias idepediees de ese prces y frmar el espaci prduc. b) El mvimie brwia ambié es u bue mdel para errres esadísics, debid a su erráica. 2. Cálcul Escásc. Desde ls añs 50, el ierés e desarrllar u cálcul diferecial para el mvimie brwia crece, debid a la gra caidad de aplicacies que ésa pdía msrar. Esa"fué ua de las razes que mivó a K.I, Sravich, Fisk ere rs a la búsqueda de al psibilidad. Desde que B era difereciable, exisía la psibilidad de csiderar db e ua ecuació diferecial. La ieció era de darle seid a ua ecuació del ip dde el érmi pricipal es la ley 44

5 dicamiada pr ua ecuació diferecial deermiísica y el érmi b(x )db es el errr acumulad pr diferees fuees,el cual se csidera esadísic pr auraleza. El prblema se reducía a dar sigificad a la siguiee iegral: Es es lgrad pr K. I, defiied esa iegral a parir de fucies simples, i.e. Supgams que ua fució medible, que sól depede del sig álgebra geerad pr B, s ~. E al cas, s 1 defiims: J b (X s ) db s = L f i (B I\ i=1 i+1 Ere sus prpiedades, eems 1 ) E (f b ( X s ) db s) = E ( L f i (B 1\ - B 1\ ) ) i=1 i+1 i = L E(fiE(B -B I\JBs'S ~ il\)) i=l il\ i+1 = O. 2) E( (fb(x s )db s )2) 45

6 + \' f f (B -B ) (B -B ) } L... i. A A A A i;fj J i+l i j+l j cm A - }} i j eces ;f j. E«J b(x S }db S }2} 10 cual implica que si J b(xs}db s s iegrª les de fucies simples b, que iede a b, eces Jb(Xs)dB s es ua sucesió de Cauchy e L (Q,P) ' pr l a exise u límie que llamarems J b(xs)db s S. Fórmula de I. E el párraf aerir hems defiid la iegral escásica, si embarg, hems msrad algua fórmula que s permia calcular iegra Les al igual que el cálcul clásic. La fórmula de I s permiirá calcular c esa ueva iegral. La idea de esa-fórmula viee dada pr el erema de Taylr. 46

7 Sea f(x), suficieemee difereciable. Iearems hallar ua fórmula para f(b ). Pr el erema de Taylr 2 (x-x ) f(x) = f(x ) + f'(x )(x-x ) + f"(x ) <S 2! eces + f'h' (x * ) (x-x ) 3 3! f ( B ) - f ( B ) = f' ( B ) (B - B i-1 i i+1 i dde = (B -B ) i 2! 2 Eces * + f"'eb i f(b ) - feb) = f'(b )(B -B ) +... i-1 i i+1 i mad ~ +~ beems pues. = J f' (B )db 8 8 (B -B)3 Y f'''' (B ) i + ~! O i -1 i Iuiivamee, se puede eeder ess ds úl- 47

8 ims resulads si recrdams que E(B -B 2 ) = i i Y E(B -B ) = O i+1 1 Supgams el siguiee prblema de Oirichle l1u = O e O u(x) = f(x) e 50 ~ dde O es u daaii de R d Iearems msrar la ierpreació prbabilísica de la slució a ese prblema. Primer, debems exeder la fórmula de I a sies d-dime 1 d 1 d d. J 1 d i U(B,,B ). u(b B)+ ~ u (B B )db... i e e e dde! _1 1 ~ J 1 d Uii(B s ' Bs)ds i -1 y = a 2 U ax2 i (*) Supgams que (B 1 ; B d ). x E D. sea T = if {/(B~...,B~) O} (ese es la primera vez que el mvimie brwia d-dilllesial 48

9 ca la frera de D). Tmad esperazas e (*) beems: 1 d E(u(B,...,B)) = u(x) T T d T ~ I u(b, 1...,B)dB d i L"E 1 I T 1 d + '2 E Au ( B. ', B. ) ds cm Au(x) = O cuad x E D, y I T 1 d i E ui(b,...,b )db = O eces u(x ) (ver fórmula 1 e secció 2) 1 d = Ex f(bt,,b T ), pues u(x) = f( x) para x E 43D. L cual s prvee de ua maera de beer aprximacies del prblema de Dirichle, mediae simulacies y prmedis. Ese méd puede ser geeralizad e diversas direccies, para EDP más geerales e iclusive para EDP e variedades. Hy e día exise muchs librs que expe ess emas desde disis pus de visa, ere ells se ecuera: 1) Oksedal, Ber. Schasic differeia1 equais. Spriger-Verlag, ) Karazas 1 y Shreve E. Brwia mi ad schasie ca1cu1us. Spriger-Verlag,

10 3) Yr H. y Revus D. Brwia mi ad ciuus marigales. Spriger-Verlag, ) Ikeda N. y Waaabe S. Schasic differecial equais ad diffusi prcesses. Nrh-Hllad, Referecias. [1] Khasu-Higa A. Cálcul escásic y ua aplicació a la Esadísica. Pr Mahemaica Vl 11, N. 4,