Integral definida y los métodos de integración

Transcripción

1 Itegral defiida y los métodos de itegració

2 El estudiate: Aplicará la itegral defiida y sus propiedades a la solució de problemas de área bajo ua gráfica itegrado difereciales cuya forma o sea susceptible de itegrarse de forma imediata, a partir del coocimieto de alguas técicas de itegració, mediate la aplicació de diversos ejercicios del área de las matemáticas, ciecias aturales, sociales o admiistrativas, mostrado ua actitud aalítica, refleiva y de cooperació. INTRODUCCIÓN La itegral defiida surge de aplicacioes muy importates que requiere de u cálculo, por ejemplo: el área bajo la curva de ua fució e u itervalo, la distacia recorrida por u cuerpo que se mueve a lo largo de ua líea recta e u periodo de tiempo, los igresos totales logrados por ua compañía e u tiempo delimitado, la catidad bimestral total de electricidad cosumida e u hogar, la cocetració promedio de u medicameto e el cuerpo durate cierto periodo, etcétera. E esta uidad se itroduce el cocepto de sumatoria co el fi de abordar la itegral defiida por medio de las sumas de Riemma. Se muestra el sigificado de la itegral defiida gráficamete como al área limitada por la gráfica de ua fució cotiua f () e u itervalo [a,b]. Asimismo, se preseta la forma a b b f F F b F a a para evaluar ua itegral defiida, e dode se requiere determiar previamete la atiderivada F (), para ello, se muestra distitos métodos de itegració para determiar ua itegral idefiida segú su forma, siedo éstos: cambio de variable, por partes, de potecias de fucioes trigoométricas, fraccioes parciales y de fucioes racioales de seo y coseo. Las otras aplicacioes ates mecioadas so referidas mediate problemas a lo largo de la uidad.

3 INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 6 Nombre del alumo: Grupo: Número de lista: Aciertos: I. Efectúa e tu cuadero los siguietes ejercicios y subraya la opció que muestra el resultado correcto:. Cuál es el resultado de la siguiete operació de fraccioes? a) 5 b) 5 c) d) Cuál es la suma de los primeros diez úmeros aturales al cuadrado? a) 5 b) c) 5 d) 85. Cuál es el resultado de la divisió algebraica y + 5 y + y? 5y a) y + y + b) y + 5 y + y c) 5 y + y + y d) 5 y + y Qué resultado se obtiee al dividir + 8? 8 a) b) c) d) Qué resulta de simplificar a su míima epresió? ( + )( + 5) a) b) 5 c) 75 d) + 5 +

4 6 UNIDAD II 6. Cuál es la epresió equivalete a luego de completar al cuadrado? a) ( ) + b) ( ) + c) ( ) d) ( ) 7. Cuál es la epresió que se obtiee al factorizar + 6? a) (5 ) ( + ) b) (5 + ) ( ) c) ( ) ( + ) d) (5 + ) ( 6) 8. Cuál es el resultado de la operació + 6? + a) + b) c) d) Cuál es el área total de la siguiete figura? a) 67m b) 97m c) 57m d) 757m +. Qué resultado se obtiee al evaluar lim? 6 a) b) c) d). Ua primitiva de 6 + es: a) 9 +

5 INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 6 b) c) 5 + d) 9 +. Qué epresió resulta de itegrar +? a) + b) + c) + d) +. INTEGRAL DEFINIDA Ua aplicació más de la itegral es e el cálculo de áreas limitadas por curvas obteidas por medio de la itegral defiida; por cosiguiete, la itegral puede ser defiida o idefiida, ésta se ha abordado como la operació iversa de la difereciació. Ahora, la itegral defiida, debido a sus aplicacioes, va a defiirse como el límite de ua suma, para lo cual preciso itroducir la oció de suma o sumatoria de costates e su forma abreviada. Veamos: La oció de sumatoria Es sabido que ua suma de sumados se epresa como: a + a + a a Dode la epresió tiee tatos sumados como úmeros aturales, y cada sumado a k se idica co ua misma fórmula e térmios de k, la cual toma valores sucesivos,,,...,. Sumado costates. I. Orgaizados e bias, completa la tabla segú correspoda. Primeros sumados Último sumado (eésimo) Fórmula del sumado a k k () (k) k

6 6 UNIDAD II Primeros sumados Último sumado (eésimo) Fórmula del sumado a k 5. k II. Utiliza el leguaje comú para epresar estas sumas para sus diez primeros térmios. Observa el ejemplo: : La suma de los diez primeros úmeros aturales III. E plearia, y co el apoyo de su profesor compare sus respuestas. Estas sumas se deota por la letra sigma mayúscula ( ), de la siguiete forma: Sea a k u úmero real, k. La epresió a + a + a +... a se llama suma o sumatoria y se deota por el símbolo a k k. Así, ak a+ a + a a k

7 INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 65 Dode: : otació de sumatoria o otació de sigma. k : ídice sumatorio. a k k : sumatoria de todos los úmeros a k, para k,,,...,. A cotiuació se muestra alguas sumatorias. I. Dada la sumatoria se busca su desarrollo. a) k k () b) 5 k k c) k k II. Dado el desarrollo de la sumatoria se busca su otació sigma. a) k k Esta suma puede epresarse como: la suma de los diez primeros pares. b) k k Esta suma puede epresarse como: la suma de los diez primeros impares. c) k k Esta suma puede epresarse como: la suma de las diez primeras potecias de base y epoete de los diez primeros úmeros aturales. Para poder evaluar ua sumatoria, dado que el cálculo de alguas de ellas o es imediato, deberá atederse a propiedades y fórmulas importates de sumatoria, mismas que se muestra e la siguiete tabla.

8 66 UNIDAD II Propiedades de sumatoria Para eteros positivos m y, ca c a, c : costate k k k k a ± b a ± b k k k k k k k m a a + a k k k k k k m+, m < Fórmulas de sumatoria Para eteros positivos m y, k k k k k c c, c : costate + k k k k ( + ) ( + )( ) A cotiuació se obtiee el valor de la suma idicada, utilizado las propiedades y fórmulas de sumatoria. Evaluar: 5. 5 ( 5) 5 k +. 6k k 6 k k 6 6. ( k k+ 5) k k+ 5 k k k k ( k ) ( k k + ) k k + k k k k k

9 INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 67 I. Del ejercicio a al 5, evalúa las sumatorias mediate desarrollo; del 6 al utiliza las fórmulas correspodietes k 8k k k. 7k 7. ( k + ) k 8 k 8. ( k ) k 5 8. ( k 8) k. k + 5 k k 6 9. k k 5. ( ) k k k. k k II. Epresa las siguietes sumatorias e otació sigma cos + cos + cos + cos A cotiuació abordaremos el cálculo de áreas limitadas por curvas, a partir de la suma de u úmero ifiito de partes muy pequeñas, utilizado para ello el cocepto de sumatoria. Área limitada por la gráfica de ua fució cotiua y f() e u itervalo [a, b] y f() Históricamete, el cálculo itegral se ivetó co la fialidad de calcular áreas limitadas por curvas, dado orige a la itegral defiida. Observa la figura.

10 68 UNIDAD II De la figura se tiee la idea ituitiva del área de la regió sombreada (A) bajo la gráfica de la fució etre las rectas a y b, dode se cosidera a la fució f() para todo e el itervalo cerrado [a, b] cuya gráfica queda por ecima del eje. El área de la regió sombreada (A) puede aproimarse sumado las áreas de rectágulos marcados sobre el itervalo, como se muestra a cotiuació. El procedimieto de hallar el área limitada bajo ua curva es similar al de hallar el área de la regió que ocupa ua hilera de libros sobre u estate, cuyo perfil superior se aproima al de la curva. A partir de esta figura, u método para evaluar (A), se especifica como sigue: [ ]. Se divide el itervalo [a, b] e subitervalos k, dode k,,,..., y k a, b. Luego a < < < < < b -. La logitud de cada subitervalo (o ecesariamete de igual amplitud) se deota por k, para k k k.. E cada subitervalo se elige cualquier úmero represetativo *, que puede ser: frotera k derecha, frotera izquierda o puto medio. *. El área del rectágulo del k-ésimo subitervalo se represeta por la forma f ( k) k. 5. El área total bajo la curva es aproimadamete la suma de las áreas de los rectágulos * * * f ( ) + f ( ) f ( ), misma que deberá epresarse como la sumatoria f ( * k ). k k Por ede, se defie el área limitada por la gráfica de ua fució cotiua y f () e u itervalo [a, b] y f (), como sigue: k * A lim f k k

11 INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 69 b a Para fies prácticos, el itervalo [a, b] es dividido e subitervalos iguales. Así, la logitud del itervalo [a, b] es b a y la amplitud de cada subitervalo es. Además, como a y si cada * se toma como la frotera derecha de cada subitervalo, se tiee k * k k a k b a + +. Por tato, A podrá evaluarse mediate la fórmula: A f a k b a b a lim + k Los siguietes ejemplos muestra cómo ecotrar el área (A), utilizado la defiició ates citada. Hallar el área (A) limitada por la gráfica y f () e el itervalo [a, b], segú se idica. Mostrar la gráfica y sombrear el área correspodiete.. Limitada por f () + e [, ] Solució Dado que a y b, se tiee que la logitud de cada subitervalo es: Sustituyedo lo aterior, e la fórmula A f a k b a b a lim + Se tiee: k c A lim f + k lim f k k k lim + k + k k k + lim k k + k lim lim + 8+ Por lo tato, A u. Limitada por f () e [, ] Solució Dado que a y b, se tiee que la logitud de cada subitervalo es: +

12 7 UNIDAD II Sustituyedo esto, e la fórmula A f a k b a b a lim + Se tiee: k k A lim f + k lim f k k k 9k 6k+ lim lim k k 9 6 lim + k k k 9 6 lim k + k + k k k lim 7 6 ( + ) lim lim 9lim () Por tato, A9 u Aplicado sumatorias, ecuetra el área (A) limitada por la gráfica y f () e el itervalo [a, b], segú se idica. Muestra la gráfica y sombrea el área correspodiete.. f () +, e [, ]. f () +, e [, ]. f (), e [, ]. f (), e [, ] 5. f (), e [, ] 6. f (), e [, ] 7. f (), e [, ] 8. f () +, e [, ]

13 INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 7 9. f (), e [, ]. f () +, e [, ] Cocepto de itegral defiida mediate sumatorias de Riemma La epresió: f + f f * * * Como ya vimos, el área A se aproima mediate los rectágulos de acho y alturas f *, f *,, f * por: * * * ( ) A f + f + + f se deomia suma de Riema e hoor del matemático alemá Berard Riema (86-866). A la suma del lado derecho de esta epresió se le deomia suma de Riema. Por tato, el área limitada por la gráfica de ua fució cotiua y f () e u itervalo [a, b] y f (), se defie como el límite de la suma de Riema. A lim * * * f f f Idea ituitiva del área detro de la curva. E equipos de trabajo de cuatro itegrates como máimo realice lo siguiete: A Actividad. Reúa el siguiete material. / pliego de papel bod. Regla de m aproimadamete. Marcadores de colores.. Ahora, utilice colores distitos y realice lo siguiete: a) Marque e el papel bod la silueta de ua hoja (o dibuje la hoja) parecida a ua mafafa, ta grade como lo permita el tamaño del papel. b) Trace u plao, de maera que la hoja quede e el primer cuadrate. c) Determie ua logitud para m (ver figura) y haga el cálculo m para trazar ua cuadrícula de que abarque la hoja trazada. Estime el área de la hoja sumado las áreas de los cuadritos de lado m que queda iscritos e ella. A

14 7 UNIDAD II d) Igualmete haga el cálculo m para trazar ua cuadrícula adecuada de que abarque la hoja. Estime el área de la hoja sumado las áreas de los cuadritos de lado m que queda iscritos e ella. 8 A 8 8 e) De igual modo realice el cálculo m 6 y m para trazar las cuadrículas 6 6 y que abarque la hoja. Estime el área de la hoja sumado las áreas de los cuadritos de lado m 6 y m que queda iscritos e ella. A 6 6 A. Compare los resultados obteidos, saque coclusioes y comételas e plearia. Cada cuadrito obteido e cada ua de las divisioes de la cuadrícula del ejercicio ates realizada, se llama partició. Etre más fia sea la partició, más se aproima al valor del área detro de la curva. A Actividad Y, cómo se aproima el área bajo la curva? Idea ituitiva del área bajo la gráfica de f (). Co el mismo equipo que hiciero el ejercicio aterior y reuiedo igual material, realice lo siguiete:. Utilizado colores distitos: a) Trace e u plao (del tamaño que lo permita el / pliego de papel bod) la recta y, como lo idica la figura. Área del rectágulo: A bh Dode: b: base h: altura b) Determie ua logitud para m (ver figura) y haga el cálculo m para trazar co tal medida ua cuadrícula 5 5. Estime el área bajo la recta, e- 5 tre y 5 sumado las áreas de los rectágulos verticales de base m y altura correspodiete, como se muestra e la figura. 5 A + A + A + A c) De igual maera, haga el cálculo m para trazar co tal medida ua cuadrícula. Estime el área bajo la recta, etre y sumado las áreas de los rectágulos verticales de base m, y altura correspodiete, como se muestra e la figura.

15 INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 7 A + A + A A 8 m m d) De igual modo haga el cálculo y para trazar las cuadrículas y. Estime el área bajo la recta, sumado uevamete las áreas de los rectágulos así formados. A + A + A A 6 A + A + A A. Observe que el área requerida coicide co u trapecio. Calcule su área por medio de la fórmula B bh coocida de geometría: A ( + ). Compare los resultados obteidos de la orde I co el valor del área total del trapecio obteida por fórmula, saque coclusioes y comételas e plearia. E esta actividad, uevamete se observa que etre más pequeña es la base de los rectágulos, más se aproima al valor del área bajo la gráfica de f (). Efectivamete, el área es el límite de la suma de Riema. No obstate, si ya se teía ua fórmula para hallar el área solicitada, quizá te pregutas: De qué sirve tato desarrollo? Emplear el método e ua figura ya coocida te permitió comprobar resultados, pero el límite de la suma de Riema fue propuesto para calcular áreas de regioes limitadas por curvas que o puede ser calculadas por fórmulas geométricas. Observa la siguiete figura. Cooces ua fórmula geométrica para calcular el área sombreada? Como o eiste tal fórmula, recurrimos al cálculo itegral y para lograr u valor aproimado del área, se utiliza cualquier úmero de rectágulos. La siguiete figura muestra la aproimació del área sombreada de la figura aterior co 5, 9 y 8 rectágulos superiores respectivamete.

16 7 UNIDAD II Sea f () defiida e [a, b]. Si [ f f f ] * * * lim b a eiste para todo e *, co igual amplitud, etoces este límite es la itegral defiida de f de a a b y se deota por: a b f Por tato: Dode: a b f * * * lim f + f + + f * * * lim f f f Los úmeros a y b se llama límite iferior y superior respectivamete; la fució f recibe el ombre de itegrado. Es importate señalar que la itegral idefiida f () represeta ua familia de fucioes (las atiderivadas de f), mietras que la itegral defiida b a f es u úmero. Ésta se ha defiido para f (), como veremos más adelate, se etiede para f () dode el sigo de la itegral será egativo, pues ecotramos fucioes o egativas, o positivas y aquellas que toma valores tato positivos como egativos y cero. Las siguietes figuras muestra este tipo de fucioes respectivamete. Los siguietes ejemplos muestra el cálculo del valor del área bajo la curva e u itervalo [a, b] mediate el límite de la suma de Riema.. Obteer ua aproimació del área bajo la curva f () e [, ] co cuatro subitervalos de igual amplitud, eligiedo el valor represetativo k * como frotera derecha de cada subitervalo. Elabora la gráfica. Solució Para, a, b.

17 INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 75 b a Se obtiee, de dode,,,, * * * * y, * f ( ) f, 6 * f ( ) f, * 9 f ( ) f, 6 * ( ) () () f f Luego, se obtiee: * * * ( ) A f + f + + f * * * f + f + + f Por lo tato, ua aproimació del área bajo la curva f () e [, ], sumado las áreas de cuatro rectágulos es de.6875 u.. Hacer los cálculos ecesarios e calculadora o computadora para hallar aproimacioes al área cosiderada e el ejemplo aterior co subitervalos, para 8, 6,, 6,,, 5 y, tomado uevamete el valor represetativo k * como frotera derecha de cada subitervalo. Estimar el úmero al que tiede tales aproimacioes y epresar la itegral defiida de f (). Mostrar las gráficas para 8 y 6 subitervalos. Solució El procedimieto para las aproimacioes se efectuó de forma similar. A cotiuació sólo se muestra el procedimieto para calcular la aproimació del área para, utilizado la calculadora. * * * A f + f + + f + + ( + ) ( ) ( )( ) 6

18 76 UNIDAD II Los resultados obteidos e la calculadora se preseta e la tabla; las figuras muestra los rectágulos a cosiderar para 8 y 6 subitervalos respectivamete. Como puede observarse, la aproimació del área mejora segú crece el úmero de rectágulos. Número de rectágulos Aproimació del área De estos resultados se estima que las aproimacioes tiede a cuado tiede a ifiito, etoces el área bajo la curva f () e [, ], mediate el límite de la suma de Riema es de u. Por ede, la itegral defiida de f () es: Resuelve lo que se te idica.. Para el área bajo la gráfica de f () e el itervalo [, ] realiza lo siguiete: a) Muestra la gráfica. b) Determia el área eacta aplicado la técica de geometría plaa. c) Aplica ua suma de Riema co cuatro subitervalos de igual amplitud. Elige el valor represetativo k * como frotera izquierda de cada subitervalo. d) Aplica ua suma de Riema co ocho subitervalos de igual amplitud. Elige el valor represetativo k * como frotera izquierda de cada subitervalo. e) Compara las aproimacioes obteidas e los icisos c y d co el área eacta determiada e el iciso b. Qué pasa co las aproimacioes cuado crece el úmero de subitervalos?. Realiza el ejercicio úmero eligiedo el valor represetativo k * como frotera derecha de cada subitervalo.. Para el área bajo la gráfica de f () e el itervalo [, ] realiza lo siguiete: a) Muestra la gráfica. b) Determia el área eacta co geometría. c) Aplica ua suma de Riema co cico subitervalos de igual amplitud. Elige el valor represetativo k * como frotera izquierda de cada subitervalo. d) Aplica ua suma de Riema co diez subitervalos de igual amplitud. Elige el valor represetativo k * como frotera izquierda de cada subitervalo.

19 INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 77 e) Compara las aproimacioes obteidas e los icisos c y d co el área eacta determiada e el iciso b. Qué pasa co las aproimacioes cuado crece el úmero de subitervalos?. Aplica ua suma de Riema y halla ua aproimació del área bajo la curva f () e [, ], co cuatro subitervalos de igual amplitud. Elige el valor represetativo k * como puto medio de cada subitervalo. Realizar la gráfica. 5. Hacer los cálculos ecesarios e calculadora o computadora para hallar aproimacioes al área cosiderada e el ejercicio aterior co subitervalos, para 8, 6,, 5,,, 5 y,, tomado uevamete el valor represetativo k * como puto medio de cada subitervalo. Estimar el úmero al que tiede tales aproimacioes y epresar la itegral defiida de f (). Mostrar las gráficas para 8 y 6 subitervalos. 6. Aplica ua suma de Riema y halla ua aproimació del área bajo la curva f () e [, ], co cico subitervalos de igual amplitud. Elige el valor represetativo k * como puto medio de cada subitervalo. Realiza la gráfica. 7. Hacer los cálculos ecesarios e calculadora o computadora para hallar aproimacioes al área cosiderada e el ejercicio aterior co subitervalos, para, 6,,, y, tomado uevamete el valor represetativo k * como puto medio de cada subitervalo. Estimar el úmero al que tiede tales aproimacioes y epresar la itegral defiida de f (). Mostrar las gráficas para y 6 subitervalos. 8. Aplica ua suma de Riema y halla ua aproimació del área bajo la curva f () e [,], co dos subitervalos de igual amplitud. Elige el valor represetativo k * como puto medio de cada subitervalo. Realiza la gráfica. 9. Hacer los cálculos ecesarios e calculadora o computadora para hallar aproimacioes al área cosiderada e el ejercicio aterior co subitervalos, para 5,, y 5, tomado uevamete el valor represetativo k * como puto medio de cada subitervalo. Estimar el úmero al que tiede tales aproimacioes y epresar la itegral defiida de f ().. Realiza el ejercicio 9 eligiedo el valor represetativo k * como frotera izquierda de cada subitervalo.. Realiza el ejercicio 9 eligiedo el valor represetativo k * como frotera derecha de cada subitervalo.. Aplica ua suma de Riema y halla ua aproimació del área bajo la curva de la fució f () e el itervalo [a, b], co subitervalos y eligiedo k * segú se idica. a) f () + ; [, ]; 5; * k : puto medio. b) f () ; [, ]; 6; * k : frotera izquierda. c) f () ;, ; 5; * k: frotera derecha. d) f () e ; [, ]; ; k *: puto medio.

20 78 UNIDAD II La práctica de estos ejercicios te permite ver claramete que, al sumar rectágulos determiados e u itervalo [a, b] de base cada vez más pequeña, se obtiee aproimacioes del área bajo la curva de ua fució, lo que ayuda a deducir el valor eacto de dichas áreas, o bie, determiar el valor de la itegral defiida de tal fució. No obstate, el cálculo de la itegral defiida de ua fució por el método epuesto o resulta muy práctico, ya que su desarrollo se hace eteso por el úmero de operacioes que implica. Ahora, emplearemos u método que resuelve el mismo problema reduciédolo al cálculo de ua atiderivada, como se eucia a cotiuació: La itegral defiida de la fució cotiua f () e el itervalo [a, b] es igual al valor que toma ua atiderivada F () e puto b, meos el valor que toma e el puto a. Esta diferecia F (b) F (a) se desiga por F. Así: b a a b b a f F F( b) F( a) Nótese que la costate de itegració se omite, esto se sigue e todos los cálculos que icluya ua itegral defiida, ya que si F () + c deota ua atiderivada de f (), al efectuar la diferecia Fb + c F a c + se obtiee F (b) F (a). A cotiuació se señala las pricipales propiedades de la itegral defiida, mismas que se deriva de su defiició. Propiedad. f f f a a c Codició b c b + Si c es u puto iterior de [a, b]. a. f ( ) Si a b. a b a b. f a. a f b b b ± g ± a a Si se permuta los límites de itegració, la itegral cambia de sigo. ( f ) f g Si f y g so dos fucioes defiidas e [a, b]. b b 5. kf k f Si f es ua fució defiida e [a, b] y k R. a a Co estas propiedades y el método ates epuesto se obtiee el valor de las itegrales defiidas como se muestra e los siguietes ejemplos: Calcula las itegrales defiidas..

21 INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 79 Solució Itegrado: f () ) Ua atiderivada es: F ( ) Como a y b, teemos: F F () Por lo tato:. 6. ( ) ( ) e e 5. l l l 6. e π π se cos cos π cos ( ) ( ) ( ) () () ( ) ( ) ( ) Evalúa la itegral defiida /

22 8 UNIDAD II ( + ) se cos π π. cos se. se e π. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN E la uidad aterior aprediste a calcular la itegral de ua fució a partir de las fórmulas imediatas de itegració. De igual maera, evaluaste las itegrales defiidas usado solamete dichas fórmulas. No obstate, e la mayoría de los casos, determiar la itegral de ua fució dada, sea idefiida o defiida, implica efectuar ua serie de pasos y procedimietos hasta reducir la itegral a ua de las formas ya coocidas. Para esto, como ya se mecioó, es preciso coocer los métodos para itegrar fucioes, atediedo a su clasificació segú su forma. Etre los métodos más geerales se tiee: cambio de variable, Itegració por partes, Itegració de potecias de fucioes trigoométricas y fraccioes parciales. Cambio de variable Tambié se le llama método de itegració por sustitució. Eiste varios tipos de sustitucioes que facilita el cálculo para ua cierta itegral; la que abordaremos a cotiuació es la algebraica, la cual es ua cosecuecia de la derivació de fucioes compuestas. Dadas dos fucioes f y g, y su composició: Si F g tiee: ( f g) f g es ua atiderivada de f g ( ), aplicado la regla de la cadea para derivar F, se d F g F' g g'

23 INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 8 Luego: F F' g g' g( ) + Además, si F ' f, se llega a la forma precisa de la itegral que puede ser determiada por el método de sustitució: F f g g' g( ) + A partir de ua itegral de esta forma, se aplica el método por sustitució algebraica, mediate algua de las siguietes sustitucioes: a) Sustituir por t, tal que g (t) Obteiedo la itegral: c c f g( t) g' ( t) dt f Que deberá itegrarse de forma imediata, trasformado el itegrado f (), de ser ecesario, e otro más secillo. O bie: b) Sustituir u g () De dode, se tiee ua itegral e fució de u: f g g' f ( u) du Deberá elegirse la sustitució más adecuada para f (u) de maera que su itegral se realice de forma imediata. Si resulta fácil hallar la itegral trasformada, el método de cambio de variable (por sustitució) fucioará, de o ser así, tedrá que resolverse la itegral por algú otro método. Ates de aalizar los ejemplos, vamos a coveir itegrar mediate la sustitució algebraica del iciso b, co base e los siguietes pasos.

24 8 UNIDAD II Método Itegració de cambio de variable o itegració por sustitució Paso (P) Paso (P) Paso (P) Procedimieto Elegir u g (), que por lo geeral es la fució iterior de la fució compuesta f [g ()] (epresió detro de u parétesis, e el epoete, etc.). Hallar du g (). Sustituir u g () y du g () e la itegral hasta dejarla idicada sólo e térmios de u. Paso (P) Determiar la itegral resultate del paso. Paso 5 (P5) Deshacer el cambio de variable reemplazado u por g () para obteer el resultado e fució de. Co estos pasos es posible ecotrar la itegral idefiida de la forma f g g' ; si embargo, debes recordar que para evaluar ua itegral defiida e esta forma mediate este método, primero debes ecotrar la itegral idefiida correspodiete, luego determiar el valor de la itegral defiida de dos formas: a partir de la itegral idefiida ecotrada e fució de, atediedo a los límites de itegració otorgados, o bie, a partir de la itegral idefiida ecotrada e fució de u, cambiado los límites de itegració co respecto a u. I. Calcular la itegral que se idica.. + Solució Siguiedo los pasos: (P) Elegimos u +. (P) Etoces du. (P) Así: 5 (P) u du u + c 5 ( + ) + u du (P5) Reemplazado u por +, se tiee el resultado de la itegral (P) Elegimos u 5 5 ( + ) ( + ) + c 5

25 INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 8 (P) Etoces, du 5. (P) Así: (P) u du u + c + c ( ) u u du (P5) Reemplazado u por 5, se tiee el resultado de la itegral (P) Elegimos u +. (P) Etoces, du. (P) Así: 5 5 ( 5 ) + c + u du (P) u du u + c u + c (P5) Reemplazado u por +, se tiee el resultado de la itegral. + + c +. (P) Elegimos u. (P) Etoces, du, o du, (P) Así: u ( ) ( ) du u du (P) u du u 5 + c u 5 + c 5 5 (P5) Reemplazado u por, se tiee el resultado de la itegral. 5 ( ) + c 5

26 8 UNIDAD II E los siguietes ejemplos se sigue el mismo procedimieto, pero se omite los pasos. U picate matemático: Estaba las derivadas e cierta fiesta que orgaizaro. Como la epoecial estaba solita, dijo ua derivada: epoecial, itégrate. A lo que ella respodió: para qué, da lo mismo. 5. e Sea u Etoces, du, o du. Luego: Por lo tato: 6. ( l ) Sea u l e e u du e u du e u + c e e + c Etoces, du Luego: Por lo tato: 7.. ( l ) ( l ) u du u + c u + c ( l ) ( l ) + c 6 Para calcular itegrales que cotiee ua epresió cuadrática, completar al cuadrado puede coducir a ua itegral que después de aplicar la sustitució tega ua solució imediata. Completado al cuadrado esta itegral, teemos: ( )+ 9 ( + ) + 9 Itegramos por sustitució (P) Elegimos u + (P) Etoces du

27 INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 85 (P) Así, (P) u + ( + )+ u + du du + ( + ) + 9 ( + ) + 9 u + 9 u + 9 u + 9 u du + du l( u + 9)+ ta + c u + 9 u + 9 Evaluado por separado cada itegral, se tiee: u du dv dv v u l l( + 9) u + 9 v v v u + 9, dv udu, o dv udu u { du ta u + 9 (P5) Reemplazado u por +, se tiee el resultado de la itegral. + ( + ) + c ( + ) l 9 ta ( + ) l( )+ ta + c u du Fórmulas que coduce a ua fució trigoométrica iversa: du u ta u + a a a a du u se u a II. Evaluar la itegral que se idica.. + Primero procedemos a ecotrar la itegral idefiida correspodiete: Sea u + Etoces, du, o du Luego: + + ( + ) u du + u du u c + u + c u + c ( + ) + c Ahora, podemos evaluar la itegral defiida a partir del resultado que ecotramos e fució de : Por tato:

28 86 UNIDAD II + ( + ) + ( +( ) ) ( 5 5 ) O bie, puede evaluarse la itegral defiida a partir del resultado que ecotramos e fució de u: Para esto, al cambiar los límites de itegració e fució de u, siedo u +, se tiee: Cuado, u + () (límite iferior de itegració). Cuado, u + () (límite superior de itegració). Por lo tato: u + ( ) ( 5 5 ) I. Calcula la itegral que se idica.. ( + 5) ( + ) 8. ( + ) 9. e. e. e. e + 5. e e e. e e 5. l l 8. cos5

29 INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 87 cos 9.. sec ( ).. 5. se cos sec tg 9+ sec II. Evalúa la itegral que se idica e + 7. ( l ) 8. e e l π 9. se π. se cos π/ seθ. cos θ θ π d. cos e se Hasta ahora trasformamos itegrales utilizado el método de sustitució mediate sustitució trigoométrica de epresioes que cotiee a u ; u ± a y sustitució algebraica de la forma f g g' f ( u) du. A cotiuació estudiaremos otro tipo de sustitució para resolver itegrales de epresioes racioales de fucioes trigoométricas. Observa. Ua diferecial que cotiee racioales de fucioes trigoométricas puede trasformarse e otra epresió diferecial racioal e fució de t, mediate la sustitució: O bie, por las sustitucioes: se tg t t + t, cos t + t, + t Ua justificació de estas relacioes es la siguiete: dt A saber, la fórmula para determiar la tagete del águlo mitad es: tg ± cos + cos

30 88 UNIDAD II Elevado al cuadrado se tiee: tg cos + cos Sustituyedo tg t, se halla la sustitució de cos : t t cos + cos t ( + cos) cos cos( t + ) t t cos + t Fijado esta relació e el triágulo rectágulo de la figura, se ecuetra tambié la sustitució de se, siedo: A Actividad Y como tg t, etoces tg t. De dode, dt +. t se t + t Realice la siguiete actividad aplicado estas sustitucioes. Cómo opera el método de cambio de variable tg t? E equipos de trabajo de cuatro alumos resuelva las itegrales que se idica... 5 se + cos. se + tg. + se + cos se cos + Aalice la importacia del método y que cada equipo epoga u ejercicio. Eseguida se resuelve ua itegral aplicado la sustitució tg t. Hallar 5+ se Primero hagamos la sustitució u, de dode, u y du.

31 INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 89 Etoces: du 5+ se 5+ se u Ahora apliquemos las sustitucioes: se u Así: t + t y du dt + t dt dt du + t + t 5+ se u t 5 8t t + t dt + t 5+ 8t + 5t + t Resolvemos completado al cuadrado: ( + t ) ( + t+ t ) + t dt + t 5 + t + 8t + t dt dt t + 8t + 5 dt dt dt dt 5t + 8t t 8 t 5 t t t t + 5t tg tg 5 tg t + + c Por lo tato: tg 5+ se 5t + + c Para evaluar ua itegral defiida por éste u otro método, primero se ecotrará la itegral idefiida correspodiete, luego podrá determiarse el valor de la itegral defiida atediedo a los límites de itegració. Calcula las siguietes itegrales se cos 5cos cos +. + se π dθ π dθ 6. cosθ + se θ

32 9 UNIDAD II 7. π dθ + cosθ 8. π + 5se Itegració por partes La itegració por partes es otro método, al igual que el método de cambio de variable, se basa e ua regla de derivació. E este caso es la regla del producto, la cual afirma que si f y g so fucioes difereciales, etoces: d f g f g ' g f ' + A partir de ésta, se obtiee la fórmula de itegració por partes: f g' f g g f ' la cual puede simplificarse, si u f (), du f ()du, dv g () y v g (), quedado epresada como: udv uv v du A Actividad La fórmula de itegració por partes os permite epresar ua itegral idefiida e térmios de otra que pueda ser más fácil de evaluar. Cómo deducir la fórmula de itegració por partes? Ivestiga sobre la fórmula de itegració por partes. E equipos de o más de cuatro alumos, moitoreados por su profesor, realice lo siguiete:. Deduzca la fórmula de itegració por partes mediate la regla de derivació del producto e cualquiera de las formas: d f g f g ' g f ' + O bie, d (uv) u dv + v du. Después de obteer la fórmula udv uv v du, comete y eliste los criterios para la elecció de los factores u y dv. a) b)

33 INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 9 c). Elija u equipo que epoga frete al grupo los resultados obteidos. Los siguietes ejemplos muestra cómo se aplica la fórmula de itegració por partes: Calcula la itegral que se idica.. e udv uv v du Solució Observa cómo se va descartado los procedimietos de itegració hasta elegir el más coveiete. Por ejemplo, para esta itegral debemos pregutaros: tiee el itegrado la forma para usar las tablas imediatas de itegració? No, podemos aplicar algua sustitució algebraica? No, algua sustitució trigoométrica? Tampoco; etoces itetemos la itegració por partes: Hagamos u y dv e De dode, du (difereciado ambos miembros de u ). y, v e e (itegrado ambos miembros de dv e ). Aplicado la fórmula udv uv v du, teemos: Por lo tato: e e e e e + c + e e c El iteto de itegrar por partes fue eitoso. Este logro depede evidetemete de la elecció adecuada de u y dv. Para ua elecció adecuada de u y dv, debes cosiderar que du sea más secilla que u, dv sea fácil de itegrar, y la itegral vdu de la fórmula pueda evaluarse fácilmete y sea meos complicada que la origial.

34 9 UNIDAD II. cos Solució Hagamos u y dv cos De dode, du y v cos se Sustituyedo e la fórmula udv uv v du, teemos: Por lo tato:. l Hagamos u l y dv De dode, du Por lo tato:. e y v Hagamos u y dv e De dode, du y v e cos se se cos se + cos + c l l l l + c ( l ) + c Sustituyedo e la fórmula udv uv v du, teemos: e e e e e La itegral obteida de la fórmula o se resuelve imediatamete; su forma os lleva de uevo a aplicar la itegració por partes, cuyo resultado se obtuvo e el ejemplo.

35 INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 9 Aplicar el método de itegració por partes os coduce alguas veces a usar algú otro método o repetir el mismo que al hallar la itegral surgida de la fórmula. Así: e e ( e e )+ c e e + e + c e ( + ) + c I. Aea a tu formulario de itegració la fórmula de itegració por partes y calcula la itegral que se idica.. ( + ). ( + ) e 6. e 7. 6e 8. e 9. ( + ) e. ( + ). l. l. l. l 5. l l l 8. l 9. sec θ. e cosθdθ. arcse. arctg II. Evalúa la itegral que se idica. l. e -. e -. e. l 5. l

36 9 UNIDAD II Itegració de potecias de fucioes trigoométricas Ahora vamos a itegrar difereciales trigoométricas de la forma: se m m cos y tg sec Emplearemos el método de reducció sucesiva que cosiste e hacer depeder la itegral dada de otra itegral de la misma forma. Para efectuar esta itegració se distiguirá los siguietes casos: Caso Forma de la itegral Codicioes Trasformació e idetidad utilizada I II se m cos se m cos m o es u etero positivo impar m es u etero positivo impar es u etero positivo impar m y so eteros pares o egativos m m se se se se cos cos cos cos cos se secos se se cos cos cos + III m tg sec es u etero positivo par sec sec sec + tg sec IV m tg sec m es u etero positivo impar m tg sec m tg sec sec tg tg sec V m tg sec m es u etero positivo par y es u etero positivo impar tg sec Los siguietes ejemplos muestra la itegració de potecias de fucioes trigoométricas, atediedo a los casos específicos de esta tabla.

37 INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 95 Calcular las siguietes itegrales idetificado el caso al que perteece.. se cos Solució Como m es u etero positivo impar, la forma de la itegral correspode al caso I, etoces si usamos la trasformació y la idetidad trigoométrica idicada, teemos: Por sustitució: se cos cos se se cos ( cos ) se cos cos se Si u cos, etoces du se o du se Por tato:. se cos cos se cos se + se cos cos se cos se u ( du) u ( du ) u du u du u du u du 5 u u + c 5 5 cos cos + c 5 Solució Como es u etero positivo impar, la forma de la itegral correspode al caso I; etoces utilizamos la trasformació y la idetidad trigoométrica idicada, y teemos: se cos se cos cos se se cos 6 se se cos 6 se cos se cos

38 96 UNIDAD II Por sustitució: Si u se, etoces du cos Por lo tato:. se cos 6 u du u du 6 se cos se cos se cos 5 7 u u + c se se + c 5 7 Solució Como m y so eteros pares o egativos, la forma de la itegral correspode al caso II; etoces si usamos la trasformació y las idetidades trigoométricas idicada, teemos: se cos + cos cos cos ( ) c + os cos cos cos 8 8 cos Por sustitució: Si u, etoces du o du Por lo tato:. se cos 8 8 cos se + c 8

39 INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 97. tg sec Solució Como es u etero positivo par, la forma de la itegral correspode al caso III; etoces si se emplea la trasformació y la idetidad trigoométrica idicada, teemos: tg sec tg sec sec ( tg ) ( + tg ) sec 5 ( tg) + ( tg ) sec sec Por sustitució: Si u tg, etoces du sec. Por lo tato: 7 5. tg sec 5 + tg sec tg sec tg sec 5 u du+ u du 7 u + u + c 7 7 ( tg ) + ( tg) + c 7 Solució Como m es u etero positivo impar, la forma de la itegral correspode al caso IV; etoces si utilizamos la trasformació y la idetidad trigoométrica idicada, teemos: 7 6 tg sec tg sec sec tg 6 sec sec sec tg sec 8 sec tg sec 6 sec tg Por sustitució: Si u sec, etoces du sec tg.

40 98 UNIDAD II Por lo tato: 6. tg sec 8 6 udu u du tg sec sec sec tg sec sec tg 9 7 u u + c sec sec + c 9 7 Solució Como m es u etero positivo par y es u etero positivo impar, la forma de la itegral correspode al caso V; etoces, usado la idetidad trigoométrica idicada, teemos: Aplicado itegració por partes: Por lo tato: tg sec sec sec sec sec sec sec tg + l sec + tg y sec lsec + tg tg sec sec sec sectg lsec + tg + l sec + tg + c sectg lsec + tg + c Elabora tu formulario de itegració de potecias de fucioes trigoométricas a partir de la tabla epuesta e este tema, y calcula la itegral que se idica. 5. se. se. cos. se 5 cos 5. se cos 7 6. se cos

41 INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN se π cos 8. se cos π π 9. se 5 5 π cos. se. tg sec. tg sec. tg sec. tg sec 5. tg sec 6. tg sec 7. tg sec 8. ( tg + cot ) 9. tg π sec. tg sec π Fraccioes parciales Las técicas de itegració abordadas hasta el mometo os ha ayudado a calcular itegrales de distitas formas que o es posible evaluar imediatamete; si embargo, aú o se puede evaluar ciertas itegrales de la forma: P ( ) Q ( ) Por tal motivo, vamos a estudiar la técica de itegració por fraccioes parciales, la cual dará solució a estas itegrales. Ua epresió de la forma P ( ) dode el umerador y deomiador so fucioes eteras, Q ( ) es decir, fucioes cuya variable o tiee epoetes egativos o fraccioarios se llama fució racioal. Si el grado del umerador es igual o mayor al grado del deomiador, al efectuar la divisió, la fució puede reducirse a ua epresió mita. Por ejemplo, al efectuar la divisió de obteemos como cociete: co residuo 59. Por lo tato:

42 UNIDAD II Dode la fució racioal resultate queda reducida a su más simple epresió, co grado del umerador meor al grado del deomiador (fució racioal propia). La itegral de esta fució se idica como: Como se observa e la epresió del lado derecho, los primeros térmios puede itegrarse imediatamete, así que atederemos la fució racioal reducida y el método que permita evaluarla. Para itegrar ciertas fucioes racioales P ( ) e dode el grado de P() es meor que el Q ( ) grado de Q(), se aplicará el método de fraccioes parciales, que cosiste primero e descompoer Q() e u producto de factores lieales o cuadráticos irreducibles que permita completar la itegració. El método de fraccioes parciales depederá de la factorizació de Q(), segú determie los casos descritos a cotiuació... Deomiadores co factores lieales P ( ) Para calcular la itegral de ua fució racioal propia, co Q() represetado Q ( ) como u producto de factores lieales, todos distitos o alguos repetidos, se tiee ua regla a seguir segú el caso. A cotiuació se eumera estos casos y su regla de solució correspodiete. Caso I: Los factores del deomiador Q() so todos lieales distitos. C Regla: Represetar el itegrado como ua suma de térmios de la forma para cada factor lieal a + b del deomiador, dode C es ua costate descoocida. a + b Así: P A B Q a+ b + a+ b C + a+ b +... (tatos como factores lieales sea). Resolver algebraicamete hasta ecotrar los valores de las costates.

43 INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Itegrar a partir de esta represetació del itegrado, obteiédose ua suma de térmios de la forma C l a + b. Caso II: Los factores del deomiador Q() so todos lieales y alguos se repite. Regla: Para cada factor lieal repetido dode del deomiador, represetar el itegrado como: P A B C Q ( a+ b) (las veces que se repite el factor lieal). ( a+ b) ( a+ b) Resolver algebraicamete hasta ecotrar los valores de las costates. Itegrar a partir de esta represetació del itegrado. Cuado el deomiador Q() cotiee tato factores lieales distitos como repetidos, se itegra combiado ambos casos. Los siguietes ejemplos muestra cómo realizar este procedimieto. Calcular la itegral que se idica Solució Observemos que el grado del umerador es mayor que el grado del deomiador, así que primero efectuado la divisió, se obtiee: Prestemos ahora ateció a la fució racioal propia + +. Factorizamos el deomiador + + ( + ) ( + ), obteiedo factores lieales distitos; etoces segú la regla: 5+ 6 A B

44 UNIDAD II Resolviedo para A y B: De dode: 5+ 6 A B + + ( + ) + ( + ) ( + )( + ) 5+ 6 A A B B ( + )( + ) ( A+ B) + ( A+ B) ( + )( + ) (A + B) + (A + B) 5 (A + B) y 6 A + B 5 A + B 6 (5 B) + B A 5 B 6 B + B A 5 B A Así que: l + + l + + c. + + ( + ) Solució Como el itegrado es ua fució racioal propia, cuyo deomiador cotiee u factor lieal repetido (potecia ), etoces segú la regla: Resolviedo para A, B y C: De dode: + + A B C ( + ) ( + ) + + A ( + ) + B ( + ) + C ( + ) ( + ) + + A + ( A+ B) + ( A+ B+ C ) A, A+ B y A+ B+ C A, () + B + + C B C

45 INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Así que: ( + ) ( + ) ( ) l + + c ( + ).. Deomiadores co factores cuadráticos P ( ) Aálogamete, para calcular la itegral de ua fució racioal propia, ahora Q ( ) co uo o más factores cuadráticos irreducibles distitos o alguos repetidos e el deomiador Q(), se atiede las reglas siguietes. Caso III: El deomiador Q() cotiee factores cuadráticos irreducibles distitos. M + N Regla: Represetar el itegrado como ua suma de térmios de la forma para a + b + c cada factor cuadrático irreducible a + b + c del deomiador, dode M y N so costates descoocidas. Así: P A B C D Q + a + b+ c + + a + b+ c +... (tatos como factores cuadráticos sea). Resolver algebraicamete hasta ecotrar los valores de las costates. Itegrar a partir de esta represetació del itegrado. Caso IV: El deomiador Q() cotiee factores cuadráticos irreducibles distitos. Regla: Para cada factor cuadrático irreducible repetido ( a + b + c ) dode > del deomiador, represetar el itegrado como: P A + B C + D E + F Q a ( + b + c ) ( a + b + c) ( a... (las veces que se repite el factor cuadrático + b+ c) irreducible). Resolver algebraicamete hasta ecotrar los valores de las costates. Itegrar a partir de esta represetació del itegrado.

46 UNIDAD II Cuado el deomiador Q() cotiee tato factores lieales distitos como repetidos y factores cuadráticos distitos como repetidos, se itegra combiado los casos segú correspoda. Los siguietes ejemplos muestra cómo aplicar cada regla de solució. Calcular la itegral que se idica Solució Puesto que el itegrado es ua fució racioal propia, cuyo deomiador cotiee factores cuadráticos irreducibles distitos, etoces segú la regla: Resolviedo para A, B, C y D: De dode: A B C D ( ) A B C D ( A+ C ) + ( A+ B+ D ) + ( A+ B+ C ) + ( B+ D) A+ C, A+ B+ D, A+ B+ C y B+ D Resolviedo estas ecuacioes: A, B, C y D Así que: ( + ) + l ( + ) + ta l ( + ) + ta l ta ta + + c + + c ( + ) + du u ta u+ a a a. ( +) Solució El itegrado es ya ua fució racioal propia, cuyo deomiador cotiee factores cuadráticos irreducibles distitos y segú la regla:

47 INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 5 Resolviedo para A, B, C y D: ( + ) De dode: A + B C + D + ( +) + ( + ) A + B C D ( + ) A + B + A+ C B D + + A, B, A+ C y B+ D Resolviedo estas ecuacioes: A, B, C y D Así que: d + + Aplicado casos de itegració por fraccioes parciales. + ta ta c ta + + c I. Previa elaboració del formulario que icluya los casos de itegració por fraccioes parciales, e equipos de o más de cuatro itegrates, moitoreados por su profesor, verifique las siguietes itegrales:... l9 l7 + ( + ) l ta 6 Por sust.trig. sec θdθ θ ta ta θ, ta θ A Actividad

48 6 UNIDAD II II. Compruebe los resultados dados a los siguietes problemas:. La gerecia de ua cierta compañía de equipo para oficia ha determiado que la fució de costos diarios margiales asociada a la producció de sacaputas de baterías está dada por: C () Dode se mide e dólares por uidad y deota las uidades producidas. La gerecia tambié ha determiado que los costos fijos diarios relacioados co la misma producció so de $. Ecuetre los gastos totales diarios de tal compañía por la producció de: a) Las primeras 5 uidades. Respuesta $ 6 b) Las uidades a. Respuesta $ 55. Se espera que la tasa de cosumo de eergía eléctrica de cierta ciudad aumete de maera epoecial, co ua costate de crecimieto de k.. Si la tasa de cosumo actual es de milloes de kilowatts-hora (kwh) por año, cuál debe ser la producció total de electricidad durate los próimos tres años para cubrir la demada proyectada? Respuesta: 7.5 milloes kwh. La catidad de cierto medicameto e el cuerpo de u paciete t días después de ser admiistrado es: C(t) 5e.t uidades. Determiar la catidad promedio de medicameto presete e el cuerpo del paciete durate los primeros cuatro días posteriores a su admiistració. El valor promedio de f e [a, b] es b f b a. a Respuesta: Aproimadamete. uidades III. Elija u equipo para que epoga sus resultados a todo el grupo. I. Calcula la itegral que se idica

49 INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ( + ) ( + )( + ). ( ). ( ) ( + )( + ). ( + ) II. Verifica la solució a los siguietes problemas.. U estudio de eficiecia realizado para ua compañía electróica mostró que la razó co que u obrero promedio esambla walkie-talkies a t horas de iiciar su trabajo a las 8 am está dada por: Determia cuátos walkie-talkies puede esamblar u obrero promedio e la primera hora de su jorada de trabajo. R uidades. La tasa estimada de producció de petróleo e cierto pozo a t años después de iiciar la producció está dada por R(t) t e.t miles de barriles por año. Determia la producció total de petróleo al fial de cico años. R9. miles de barriles.

50 8 UNIDAD II I. Respode a las siguietes pregutas:. Qué diferecia eiste etre ua itegral defiida y ua idefiida?. Cuál es la derivada de ua fució compuesta F g( )?. Qué métodos de itegració cooces? II. Ecuetra el valor a la sumatoria k + k k 5 III. IV. Aplica sumatorias para ecotrar el área A limitada por la gráfica f() + e el itervalo [, ]. Muestra la gráfica y sombrea el área correspodiete. Aplica la suma de Riema y halla ua aproimació del área bajo la curva de la fució f() e el itervalo [, ], co 5 subitervalos y eligiedo k * como frotera derecha. V. Calcula las siguietes itegrales: ( 5). sec θdθ 5. cos e l e π cos π 7 π π/ seθ d cos θ θ π 5+ cos

51 INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 9 π. 6 cos cos ( ) VI. Resuelve los siguietes problemas.. Ua partícula se mueve de modo que su velocidad e m/s es: V(t) t 5t Ecuetra su desplazamieto y la distacia recorrida e el itervalo de tiempo [, ].. Ua cierta població aimal a t años crece a razó de: P(t) + 5t al año Aimales/año durate los próimos años. Cuáto crecerá la població etre el cuarto y el oveo años?. La velocidad de u dragster a t segudos después de salir de la líea de salida es: e.t pies/segudo. Cuál es la distacia recorrida por el dragster durate los primeros segudos de la carrera?