Brook Taylor GUSTAVO A. DUFFOUR

Transcripción

1 La aproimació de ua fució por u poliomio es ua de las ideas más atiguas e el aálisis umérico y es ua de las más usadas aú e la actualidad. Las razoes más importates para ello so posiblemete que: ) Los poliomios so las fucioes más fáciles para calcular, porque implica solo las tres operacioes aritméticas: suma, resta y multiplicació. Brook Taylor (Iglaterra, 685-7) ) Los ceros de ua ecuació poliómica aparece co mayor facilidad que para otras fucioes. ) Toda fució cotiua puede aproimarse por poliomios. Co todo esto o es difícil eplicar la popularidad de los poliomios como aproimació a otras fucioes más difíciles. Se graduó e Cambridge e 709, pero au ates, e 708, escribió su primer trabajo importate e matemática. Este o fue publicado hasta 74, cuado siedo miembro de la Royal Society fue elegido secretario, e itegró u comité para la adjudicació de las demadas de Newto y de Leibiz por haber ivetado el cálculo. El período etre 74 y 78, e que tuvo que dejar la secretaría por razoes de salud, es cosiderado el más importate co respecto a sus aportes e matemática. Dos libros publicados e 75, Methodus icremetorum directa et iversa y Liear Perspective, so fudametales e la historia de las matemáticas. E el primero apareció por primera vez la célebre fórmula coocida como serie de Taylor. Pero o se debe pesar que Taylor era el úico matemático que trabajaba e este tema; Newto, Leibiz, Beroulli y Moivre, e forma idepediete, tambié descubriero variates al teorema de Taylor. La importacia de esta fórmula o fue recoocida hasta 77, cuado Lagrage proclamó los pricipios básicos del cálculo diferecial. 86 GUSTAVO A. DUFFOUR

2 POLINOMIO DE TAYLOR Pobre discípulo el que o deja atrás a su maestro. Aristóteles (Grecia, 84- a. C.) DESARROLLOS DE MAC LAURIN INTRODUCCIÓN.. DERIVADAS SUCESIVAS Dada ua fució f, su derivada f tambié es ua fució de, y puede, a su vez, teer ua derivada. La derivada de f, es decir, la derivada de la derivada de f, se llama como ya se vio ateriormete, derivada seguda de f y se idica co la otació f". Esta derivada seguda de f, que es a su vez fució de, podrá teer ua derivada que llamaremos derivada tercera de f. Aálogamete se defie las demás derivadas sucesivas de ua fució f. La derivada de orde se idica por f ()... EXPRESIÓN DE UN POLINOMIO EN POTENCIAS DE ( a) Para epresar u poliomio P() de grado e potecias de ( a), dode a es u úmero real cualquiera, se escribirá: P() c 0 c ( a) c ( a) c ( a) c ( a) El estudiate debe compreder que esta o es la forma reducida del poliomio, pero sí la adecuada para el tema que se desarrolla. Para determiar los coeficietes: c, c, c,... 0 c es ecesario derivar P() veces, y cada vez hallar el valor umérico respectivo para = a. Se comieza por calcular P(a). MATEMÁTICA DE SEXTO 87

3 P(a) = c 0 c 0 = P(a) P () c.c ( a).c ( a).c ( a) P (a) = c P"().c..c ( a) ( ).c ( a) P"(a) = c P () () ( )( )...c P () (a) =!c P(a) c =! P"(a) c =! ( ) P (a) c =! Al sustituir los coeficietes por sus valores e fució de las derivadas, el poliomio se epresa como: P (a) P"(a) P () (a) P () (a) P( ) P(a) ( a) ( a) ( a)... ( a)!!!! EJEMPLO: Epresar el poliomio P() 4 5 e potecias de ( ). Para epresar u poliomio de grado e potecias de ( ), se debe calcular el valor umérico del poliomio y de sus primeras derivadas, e =. Luego se aplica la epresió deducida e el razoamieto aterior. P() 4 5 P() = 7 P'() 4 6 P'() = 5 P"() P"() = P () () 4 P () () = 6 P (4) () 4 P (4) () = 4 P( ) 7 5 ( ) ( ) 6 ( ) 4 ( ) 4!!! 4! El estudiate debe hacer las cuetas ecesarias y verificar que el poliomio obteido es idético al poliomio propuesto e la letra del ejemplo. Ates de cotiuar, es coveiete hacer los ejercicios 8 y 9, de la págia GUSTAVO A. DUFFOUR

4 .. ORDEN DE CONTACTO Las represetacioes gráficas de dos fucioes f y g tiee e = a u cotacto de orde etero, si e ese puto tiee igual valor umérico las derivadas de ambas fucioes, hasta la de orde iclusive, y además f(a) = g(a). Si es par se dice que tiee u cotacto de orde par y las dos represetacioes gráficas se atraviesa e el puto cosiderado. Si es impar, se dice que tiee u cotacto de orde impar y las represetacioes gráficas de las fucioes o se atraviesa e el puto cosiderado. Dada ua fució f, se llama osculatriz de f e = a a aquella fució, de ua familia dada, que tiee el cotacto de orde más elevado co f, e ese puto. POLINOMIO DE TAYLOR Se iteta resolver el problema de aproimar ua fució f e u etoro de a mediate u poliomio, que tega el cotacto de grado más elevado, poliomio osculador, y hallar el orde de magitud del error que se comete co esta aproimació. Si f es ua fució defiida e u etoro de a y co derivadas sucesivas fiitas e a hasta la eésima, es posible ecotrar u poliomio y uo solo que coicida co f y sus primeras derivadas e = a. Para ello se usará el poliomio epresado e potecias de ( a). P'(a) P"(a) P () (a) P () (a) P( ) P(a) ( a) ( a) ( a)... ( a)!!!! Este poliomio debe satisfacer las codicioes siguietes, para ser el poliomio osculador de f e = a. P(a) = f(a) P (a) = f (a) P"(a) = f"(a) P () (a) = f () (a) P () (a) = f () (a) Por lo cual, al sustituir los ateriores valores uméricos se obtiee: Poliomio de Taylor f (a) f "(a) f () (a) f () (a) P( ) f(a) ( a) ( a) ( a)... ( a)!!!! Este es el úico poliomio de grado que satisface las codicioes eigidas. Se le llama poliomio de Taylor. Epresado co más eactitud, es el poliomio de Taylor de grado geerado por f e = a. Es la mejor aproimació a f por u poliomio de grado e u etoro de a. MATEMÁTICA DE SEXTO 89

5 FÓRMULA DE TAYLOR Para obteer la fució f: f(), al poliomio de Taylor debe agregársele u térmio complemetario T (). Esta es la llamada fórmula de Taylor. f() P() T () f (a) f "(a) f () (a) f () (a) f( ) f(a) ( a) ( a) ( a)... ( a) T ( )!!!! El poliomio P() se aproima a f e u etoro de a, tato más cuato mayor sea, y el térmio complemetario T () da el error de aproimació. NOTA Para que ua fució pueda ser desarrollada e ua serie de Taylor ifiita, todas sus derivadas debe ecesariamete eistir e el puto e cuestió. Esta codició, si embargo, de igua maera es suficiete. U ejemplo importate está dado por la siguiete fució: f: f( ) = e si 0 0 si = 0 Respoder «verdadero» o «falso», y justificar la respuesta. i) Si P() es el poliomio de Mac Lauri de orde para f, etoces: P(0) = f(0) P (0) = f (0) P (0) = f (0) ii) iii) El poliomio de Taylor de orde e = a, para f es úico. El poliomio de Mac Lauri de orde 8 para cos, sólo tiee potecias pares de. Véase los resultados e la págia GUSTAVO A. DUFFOUR

6 4 FÓRMULA DE MAC LAURIN El poliomio de Mac Lauri de orde es simplemete u ombre especial para el poliomio de Taylor de orde e a = 0, dado que el caso a = 0 ocurre co mayor frecuecia. Fórmula de Mac Lauri f( ) f (0) f "(0) f () (0) f () (0) f(0) ( ) ( ) ( )... ( ) T ( )!!!! Colli Mac Lauri (Escocia, ) A los oce años etró e la Uiversidad de Glasgow. Esta edad puede parecer sorpredete, desde la perspectiva de hoy, pero e aquella época la educació uiversitaria o era como la actual, sio ua cotiuació de los estudios de la escuela. E 77, después de diez días de eámees co otros cadidatos que competía por el mismo puesto, fue ombrado profesor de matemáticas del Colegio Mariscal de la Uiversidad de Aberdee. E 79 hizo u viaje a Lodres, dode cooció a Newto. Alguos biógrafos dice que Mac Lauri uca se ecotró co Newto; si embargo, e ua de sus cartas, Mac Lauri, dice que se coociero. E Lodres tambié fue ombrado miembro de la Royal Society. E 75, Newto recomedó a Mac Lauri para u puesto e la Uiversidad de Edimburgo, lugar dode este pasó el resto de su vida. E 74 publicó Treatise of fluios, ua eposició de los trabajos de Newto. E este libro, Mac Lauri utiliza el caso especial de las series de Taylor, por el que es recordado. MATEMÁTICA DE SEXTO 9

7 5 CUADRO DE MAC LAURIN E todos los casos, cuado 0, auque todos los desarrollos so válidos e < 4 e =......!! 4!! ( ) ( ) 4 ( ) 4 ( ) La La La La a =. La......!! 4!! 5 7 ( ) se =......! 5! 7! ( )! 4 6 ( ) cos =......! 4! 6! ( )! tg = ( ) arctg = ( ) ( ) arcse 5 = () ( ) 4 ( ) ( ) L = L ( ) = ( ) m m m m(m ) m! a = a a a! a ( m )!! = ( )... = = ( )... 9 GUSTAVO A. DUFFOUR

8 . 4 = = seh = ! 5! 7! ( )!... cosh = ! 4! 6! ( )!... 6 APLICACIONES DE MAC LAURIN EJEMPLO: Calcular el siguiete límite: lim 0 L( ) Es ua idetermiació cero sobre cero. Se toma el desarrollo de Mac Lauri de L() hasta ua potecia coveiete, geeralmete o más de la quita o la séptima (cuatro o cico térmios del desarrollo). E este caso, el umerador de la epresió resulta: L ( ) = Numerador = lim 4 = lim lim 4... = = = 0 = 0 El límite vale pues todos los demás térmios del desarrollo tiee límite cero. Ates de cotiuar, es coveiete hacer los ejercicios 0 al, de la págia 97. MATEMÁTICA DE SEXTO 9

9 EJEMPLO: Determiar α de tal modo que el ifiitésimo t: t() = α.cos para 0 sea del mayor orde posible. Para el valor de α hallado, idicar la parte pricipal de t. Se desarrolla por Mac Lauri cada ua de las fucioes. Tégase e cueta que cuado 0 =. Luego se suma para obteer ua aproimació de la fució t cuado 0. = α.cos = α 4 α. α.! 4!... t: t() = (α ) 4 α. α.! 4!... Se calcula el límite de comparació de la fució t co el ifiitésimo pricipal lim 0 ( α ) 4 α. α.! 4!... = Si α = 0 α = Para que el resultado del límite sea ua costate, el mayor debe ser lim! 4! = lim! lim 4! Solució: = Parte pricipal: = = 0 = 0 Ates de cotiuar, es coveiete hacer los ejercicios al 8, de la págia GUSTAVO A. DUFFOUR

10 7 FORMAS DEL TÉRMINO COMPLEMENTARIO 7.. FORMA INFINITESIMAL Si eiste f () (a) fiita, se tiee que el térmio complemetario es: f (a) f "(a) f () (a) f () (a) T ( ) f( ) f(a) ( a) ( a) ( a)... ( a)!!!! El límite de esta epresió para a es igual a cero, por lo tato costituye u ifiitésimo. Y es de orde superior a ( a) (debe demostrarse). E muchos problemas e que se trata de aproimar ua fució por u poliomio, basta saber que, al deteer el desarrollo e la potecia ( a), el térmio complemetario es u ifiitésimo respecto de ella. Esto sigifica, e la práctica, que el error cometido al despreciar el térmio complemetario e la aproimació de ua fució por u poliomio e = a es meor que el último térmio cosiderado. Aproimació de los valores de la fució seo por poliomios. Para repetir el cálculo o debe olvidarse poer la calculadora e modo radiaes. 5 7 se =...! 5! 7! La epresió es útil para valores de: << El error que se comete es meor que el valor del último térmio tomado. Valor de calculadora: se 45º se Si e el desarrollo de Mac Lauri se toma u térmio: se , el error cometido es meor que 0.7 Si se toma dos térmios: se = El error cometido es meor que 0.08 Si se toma tres térmios: se = El error cometido es meor que 0.00 Si se toma cuatro térmios: se = El error cometido es meor que MATEMÁTICA DE SEXTO 95

11 7.. FORMA DE LAGRANGE Si se impoe a f ua codició más estricta, de que e u etoro de a sea f () () cotiua y que eista f como derivada úica, puede darse al térmio complemetario la siguiete forma atribuida a Lagrage: ( ) f (c) T ( ) = ( a) ( )! Así, T () tiee la misma estructura de los térmios del poliomio de Taylor, y la úica diferecia es la de tomar la derivada e u puto c que depede de y de. 7.. LA NOTACIÓN o f() = o(h()) sigifica que f() es u ifiitésimo respecto a h() E cálculos relativos a aproimacioes de Taylor, co frecuecia se hace ecesario combiar varios térmios que cotiee el símbolo (o). La mayor parte de las situacioes que e la práctica puede surgir se resuelve co las siguietes reglas: a) Si f() = o(h()) y g() = o(h()) f() g() = o(h()) b) o(k.g()) = o(g()) c) f().o(g()) = o(f().g()) Eduardo Ladau (Alemaia, ) Asistió al liceo fracés e Berlí, graduádose a la edad de 6, dos años más temprao de lo ormal. Estudió matemática e la Uiversidad de Berlí, y recibió su doctorado e 899, co ua tesis sobre la teoría del úmero. Escribió más de 50 trabajos, la mayoría sobre teoría del úmero. Sus libros se caracteriza por ua cuidadosa y completa argumetació, a la vez que ta simple como fuese posible, y por proporcioar el coocimieto ecesario, paso a paso, para lograr su meta. E 909 itrodujo ua otació muy apropiada para su uso co la fórmula de Taylor: la o miúscula. d) o(o(g())) = o(g()) 8 EJERCICIOS PROPUESTOS Véase los resultados e la págia 78. 8) Epresar los siguietes poliomios como se idica: 96 i) A() e potecias de ( ) ii) B() 5 4 e potecias de ( ) iii) C() 8 5 e potecias de ( ) 9) Hallar el poliomio P() de meor grado posible tal que: P(0) = P (0) = 4 P"(0) = 5 P"'(0) = 0 GUSTAVO A. DUFFOUR

12 0) Hallar el poliomio de Mac Lauri de cuarto grado para las siguietes fucioes: i) (L( )) ii) (se ) iii) L(cos ) iv) e.se ) Hallar el poliomio de Taylor de tercer grado e a =, para: i) f: f() = L ii) g: g() =. ) Calcular los siguietes límites: se i) lim 0 ii) se lim 0 e iii) lim 0 L( ) se ( ) iv) lim 0 (tg se ) 5 ) Hallar orde, valor pricipal y parte pricipal del ifiitésimo: ( ) g:g( ) = e cos para 0 4) Hallar orde, valor pricipal y parte pricipal del ifiitésimo: g: g( ) = e L( ) para 0 5) Hallar orde, valor pricipal y parte pricipal del ifiitésimo: g: g( ) = L para 0 6) Determiar α tal que el ifiitésimo: g: g() = se e L( ) α para 0 sea del mayor orde posible. Para ese valor de α hallar orde, valor pricipal y parte pricipal del ifiitésimo g. 7) Determiar los valores de a y b, de tal modo que el ifiitésimo: h: h() = e se cos a b para 0 sea del mayor orde posible. Para esos valores de a y b, hallar orde, valor pricipal y parte pricipal del ifiitésimo h. 8) Dada: h: h() = p() e L( ) i) Determiar P(), poliomio de segudo grado, para que h sea ifiitésimo de orde mayor que, para 0 h( ). cos π ( ) ii) E ese caso hallar, si eiste: lim 0 MATEMÁTICA DE SEXTO 97