MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS QUÍMICOS CON MATLAB (I)

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1 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS QUÍMICOS CON MATLAB (I Frcsco Muñoz Pb M.Sc.. Deprtmeto de Igeerí Químc, Grupo de Smulcó y Cotrol de Procesos. yhoo.com, Uversdd del Atlátco, Brrqull, Colomb BINTRODUCCION Muchos pltemetos mtemátcos sobre stucoes problémcs, e procesos químcos, so de dícl solucó lítc y hce que el geero químco teg que recurrr los métodos umércos pr ecotrr u respuest sus csos de estudo. U ecesdd muy recuete es l de represetr u cojuto de dtos epermetles tomdos e orm dscret justdos u epresó lítc que permt de orm más ácl l estmcó de, por ejemplo, vlores termedos, sumtors o tegrles y vrcoes o rzoes de cmbo etre ellos. El desrrollo de los métodos umércos, l certdumbre de sus resultdos y l posbldd de ejecutrlos co l yud de códgos por computdor hce de ellos u recurso que orece vetjs co respecto los métodos lítcos. E ést revsó se preset lguos métodos de juste de dtos ecucoes co ejemplos l geerí químc que se resuelve co los pro cedmetos eplcdos y co l yud de u computdor medte l costruccó de struccoes corts codcds co MATLAB. AJUSTE DE CURVAS PARA FUNCIONES POLINOMICAS. Muchs ucoes mtemátcs cluye térmos como logrítmcos, epoecles o trgoométrcos que ls hce de u mejo complejo. U ltertv pr rotr tl dcultd l orece los métodos umércos permtedo que u ucó se pued epresr por otr equvlete e cuto l correspodec etre l vrble depedete y el vlor de l ucó pero ms secll y, por lo tto, de más ácl mpulcó. Lo teror es lo que se cooce como juste de curvs, terpolcó o cálculo de l ecucó de u curv. A cotucó se muestr el método de juste de curvs u polomo como u Sere de Potecs o medte procedmeto de terpolcó como el de Newto y Lgrge.. SERIE DE POTENCIAS. Práctcmete tods ls ucoes mtemátcs se puede epresr como u polomo de grdo, es decr, medte u epresó e sere de potecs. Es más ácl ecotrr el vlor umérco de u ucó epdédol e u sere de potec poloml como l ecucó (: ( y evludo los coecetes... (..... Ls ucoes logrítmcs, hperbólcs y elíptcs so csos putules.

2 Ls seres de potecs puede usrse pr justr u cojuto de dtos tomdo u úmero sucete de térmos. El úmero de térmos está ddo por el sguete teorem: Sí ls eésms derecs dvdds de u ucó tbuld so costtes cudo los vlores de l vrble depedete so tomds e progresó rtmétc, l ucó es u polomo de grdo. BEjemplo ( ( Tbl. Dtos de l ucó Puto Elbore u tbl de derecs dvdds determe los coecetes del polomo ddo por l ecucó (. Ls prmers derecs dvdds medte los putos (, ( y (, (, respectvmete, so: [, ] [, ] L segud derec dvdd medte los putos (, ( y ( es: [, ] 9., L Tbl muestr los resultdos correspodetes hst l curt derec dvdd. Tbl. Derecs dvdds [ ] [ ] [ ] [ ] ( Debe otrse que tods ls derecs dvdds de curto orde tee el msmo vlor, depedetemete de los rgumetos que se use pr su cálculo, por lo tto, l ecucó( se puede escrbr e orm de seres de potecs como u polomo de curto orde. Pr relzr los cálculos de derecs dvdds puede usrse el sguete procedmeto codcdo co MATLAB: Procedmeto [ ]; [ ]; M; N M-; or :N T(, ((- (/((-(; ed or j :N or j : N T(,j (T(,j-- T(-,j-/((-(-j; ed ed T Pr ecotrr los coecetes,,, y del polomo e seres de potec de l ec(, se escrbe el sguete procedmeto codcdo co MATLAB:

3 Procedmeto [ ]; [ ]; plot(,, o polyt (,, ; Y polyvl (, ; prt ( %8.5\ %9.\ %9.\ %9.\ %9.\,(5,(,(,(,( plot(,, o,,y, - Dode se obtee que: E l gur se muestr los dtos sumstrdo juto co el polomo justdo FORMULA DE NETON EN DIFERENCIAS FINITAS HACIA ADELANTE. L órmul ecest u tbl de vlores y, y, y,...y pr vlores equdsttes,,,.. de l vrble depedete. Pr usr l órmul de Newto e derecs ts es de much yud costrur u tbl de derecs ts. L tbl es u tbl de derecs ts, pr y Los vlores umércos está rrb y l omecltur está debjo. Fgur Grác del polomo justdo. Tbl Derecs ts hc delte [ ] [ ] [ ] [ ] X y [ ] [ ] [ ] y, [, ] [,, ] [,, ] [, ] [,, ] [,,, ] [, ] [,, ] [,,, 5] [, ] [,, ] [, ] ( ( ( ( ( 5 L ucó tbuld debe justrse co u polomo ( de -ésmo grdo, que se epres por

4 ( Hcedo ( ( ( ( ( ( ( (.. Por dervcó: y ( h ( s( s ( s! s s( s...( s! Sedo. ( [ ] [ ] s ( / h [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [,, ], s( s! s( s ( s ( s! ( l prmer, segud y tercer derec ts, respectvmete. L órmul es útl solo pr vlores putules, o pr l ecucó de l curv totl Ejemplo L velocdd de sedmetcó de u suspesó, se relco co l cocetrcó volumétrc del sedmeto. Los dtos y l curv pr l sedmetcó de u suspesó de precptdo de crboto de clco se muestr e l gur. L grccó de l curv se dej como ejercco pr el lector Se requere: Fgur. Dtos de sedmetcó. Solucó por Sere Potecs Pr ecotrr el polomo e sere de potecs, supoemos u polomo de séptmo grdo que se ecuetr medte el sguete procedmeto codcdo co MATLAB Procedmeto [ ]; y [ ]; plot(,y, o.. Ecotrr l ecucó de l curv que mejor se juste los dtos ddos.. Clculr l velocdd de edmetcó pr u cocetrcó volumétrc de.5%. Coe polyt(,y,7; X:.:8; Y polyvl (Coe,X; plot(,y, o,x,y prt ( %9.\ %9.\ %9.\ %9.\ %9.\ 5%9.\ %9.\

5 7%9.\,(8,(7,(,(5,(,(,(,( Dode los coecetes del polomo de séptmo grdo so: L ecucó de l curv es: ( ( L velocdd másc de cocetrcó pr u cocetrcó volumétrc de.5%, se hll susttuyedo los coecetes ecotrdos co el procedmeto e l ecucó ( pr u vlor de.5. Empledo los sguetes comdos de MATLAB: Pol [ ]; polyvl (Pol,.5 Obteemos que: (.5.78 Solucó por l órmul de Newto g / cm h Este problem se puede resolver utlzdo l órmul de Newto e derecs ts. Este método es váldo solmete pr clculr vlores putules de l ucó y o pr clculr l ecucó de l curv, por cosguete, se clcul solmete el vlor de l ucó pr u vlor de.5. Se clcul ls derecs ts que se resume e l Tbl. Tbl. Derecs ts y [ ] [ ] [ ] [ ] [ 5] h..5. s.5. Aplcdo l ecucó (.5(.5 (.5.8 (.5(.5 (.7.5(.5 (.5 (. ((.79g/ cm h.5(.5 (.5 (.5 (.55 ((( Auque l curt derec t o es costte, el resultdo obtedo es stsctoro. Es evdete prtr de éste ejemplo que tto el polomo e sere de potecs como l órmul de Newto so bstte promds l vlor meddo que es de.7. Los cálculos terores se puede relzr co el sguete procedmeto codcdo co MATLAB. Procedmeto [ ]; y [ ]; N7; or : N- (, y( y(; 5

6 ed or j: N- or j: N- (,j (,j- (-,j-; ed ed h. ;.5; s ( (/h ; y y( s*(, s*(s-/*(, s*(s-*(s-/(**(, s*(s-*(s-*(s-/(***(, ; prt( \\ Resultdo: º grdo (%.... %. \,,y FÓRMULA DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE. Muchs órmuls de terpolcó so plcbles solo cudo los vlores de l vrble depedete so ddos e tervlos equdsttes. L órmul de Lgrge o tee ést lmtcó, pero solo utlz dtos que se ecesros pr promrse l vlor correcto. Los dtos dode los vlores de o so equdsttes, meudo so resultdos de observcoes epermetles o de álss de dtos hstórcos. Supógse que se tee u tbl de dtos co cutro pres de vlores y (.. L ( L Estos cutro pres de dtos es posble justrlos u ucó cúbc. L órmul de Lgrge pr u polomo de -ésmo grdo es ( ( L( ( ( ( ( L( ( ( L( ( ( ( L( ( ( ( L( ( ( ( L( ( ( L( L ( ( L( ( ( (5 L órmul de Lgrge se us prcplmete pr : ( Clculr el vlor de l vrble depedete correspodete u vlor ddo de l ucó. ( Clculr culquer vlor de u ucó, cudo los vlores ddos de l vrble depedete o so equdsttes. Además de que l órmul de Lgrge es tedos, tee u lmtcó muy ser, cudo los vlores o so t cercos uos otros, los resultdos tede ser desebles. S embrgo puede utlzrse cudo se mposble utlzr otro método. Ejemplo Se dese estmr l desdd de u sustc u tempertur de 5º C prtr de los sguetes dtos epermetles que se d e l Tbl 5. Tbl 5 Dtos de Tempertur-Desdd T, º C kg ρ, m

7 Como se dspoe de tres dtos, el orde de l órmul de Lgrge es y el cálculo de l desdd 5 es ddo por (5 5(5 7 ρ(5º C (99 (9 5(9 7 (5 9(5 7 (9 5 9(5 7 (5 9(5 5 (8 (7 9( kg / m El sguete procedmeto codcdo co MATLAB relz los cálculos terores. Procedmeto 5 X [9 5 7]; Y [99 9 8]; X 5; Desdd terp(x,y,x, cubc E l Tbl se muestr ls desddes e kg / m, de solucoes cuoss de ácdo sulúrco de deretes cocetrcoes e % pr u cojuto de temperturs e ºC. Se dese clculr l desdd de u solucó de ácdo sulúrco u cocetrcó del % y u tempertur de 5 ºC. Tbl Tbulcó de u ucó de dos vrbles ρ ( T, C T (º C C(% Pr u ucó polómc de dos vrbles como éste cso, se puede plcr l órmul de Lgrge, tomdo los dtos de ls desddes u cocetrcó del % y l tempertur como l vrble depedete. El orde de l órmul es de y el cálculo de l desdd medte l órmul de Lgrge es: (5 (5 ρ(5º C (. (95 ( (.kg / m El sguete procedmeto codcdo co MATLAB relz los cálculos terores. Procedmeto [ ]; y [..95]; 5; d terp(,y,, ler FÓRMULA DE INTERPOLACIÓN HACIA DELANTE DE DERIVADAS DE NETON. L órmul de dereccó de Newto pr u estmcó de ( se obtee [ ] [ ] [ ] [ ] [ 5] ( L h 5 ( Dervcoes sucesvs se obtee ( h ( h IV ( h [ ] [ ] [ ] [ 5] 7 [ ] [ ] [ 5] 5 L L [ ] [ 5] [ L] (9 7 (7 (8

8 METODO DE DOUGLAS-AVAKIAN Este método us u polomo de curto orde que se just sete putos equdsttes por el método de mímos cudrdos. El polomo es y b c d e Estos putos so espcdos e tervlos gules co ls coordeds escogds, tl que, e se ecuetr el puto cetrl de los sete. Los sete vlores de puede escrbrse como h, -h, -h,, h y h. Por dervcó, dy 97 ky 7 k y d 5h h ( Dode k represet el coecete de h e los vlores de, por ejemplo, -, -,,,,. Ejemplo 5 U pst de mterl crstlo se sec co re, que se hce lur por ecm de ell. Pr dseñr el sstem de secdo, se obtuvero los dtos epermetles que se muestr e l gur. A prtr de esto, clcule l velocdd de secdo e.9h,es decr, dy / dt. 9, dode t es el tempo e hors. Solucó por l Fórmul de l dervd de Newto Se dvde prte de l curv e cco subdvsoes comezdo e t.9 hor, como muestr l gur y se elbor l Tbl de derecs ts ( Tbl 7 Fgur Curv de velocdd de secdo. Tbl 7 Derecs Fts y [ ] [ ] [ ] [ ] [ 5] Y se plc l ecucó ( pr determr l velocdd de secdo. dy d..5 (..995 (.7 (. ] t.9. lb H O / lb sóldoseco Solucó por el método de Dougls-Avk. Prmero se prepró l Tbl 8, prtr del polomo de curto orde justdo los dtos epermetles, y l ecucó ( co yud de MATLAB. 8

9 Tbl 8 Dtos de y ( ( k ky k y ( L velocdd de secdo se clcul co l ecucó (, de l sguete mer dy d t.9 (97(.75 7( 7. (5(. ((..lbh O / lb sóldoseco Comprdo los resultdos ecotrmos u vlor de. por el método de Newto y. por el método de Dougls-Avk. El vlor meddo es de.. El método de Dougls-Avk se bs e el método de mímos cudrdos, por lo tto, es u método seguro. El sguete procedmeto codcdo co MATLAB relz los cálculos terores dode se plc el método de Dougls- Avk. Procedmeto 7 ucto y Dougls(y,k [ ] ; [ ]; pol polyt (,, ; [ ] ; y polyvl(pol, ; k [- - - ] ; y y ; or : 7 K(, k(*y(; K(, k(^*y(; ed K s sum (K Dervd 97*s(/(5*. - 7*s(/(*. OTROS MÉTODOS PARA AJUSTE DE CURVAS. Método de mímos cudrdos. Este método se bs e l suposcó, que l mejor curv represettv es quell pr l cul l sum de los cudrdos de los resduos (errores es u mímo. Los resduos so elevdos l cudrdo pr elmr lo que cocere su sgo. Cosultr el lbro de Neves-Domíguez pág. Este método es mucho más complcdo pr polomos de myor grdo y se us pr polomos o myores de segudo grdo. Es meos seguro que l Fórmul terpolcó de Newto y debe emplerse pr correlcor o ecotrr el mejor juste de u cojuto de dtos epermetles. Fórmul de derec cetrl de Strlg. Dos orms de l órmul de Newto se us pr l terpolcó cerc l comezo y cerc l l de u cojuto de dtos tbuldos. L órmul de Strlg es prtculrmete dspoble pr vlores terpoldos cercos l mtd de u cojuto de dtos tbuldos. Este método está eplcdo e el lbro de Costtdes- Mostou, pág 7 Seres de Tylor. U método de epdr ucoes e seres de potecs es utlzdo ls seres de Tylor. El últmo térmo e l sere es el resduo o tmño 9

10 de error después de térmos y por lo tto, l sere de Tylor tee u vetj sobre otros métodos, por que puede progrmrse e u computdor, de tl mer que los térmos se puede gregr utomátcmete hst que el últmo térmo (térmo error se meor que el lmte especcdo. U ot de precucó e el uso de todos los métodos de juste de curvs debe epresrse. L ecttud de l correlcó etre los putos de dtos (,y se debe chequer. CALCULO DE INTEGRALES POR INTEGRACIÓN NUMÉRICA El proceso de clculr el vlor de u tegrl ded prtr de u cojuto de vlores umércos del tegrdo recbe el ombre de tegrcó umérc. El tegrdo se represet por u órmul de terpolcó y l órmul se tegr etre los lmtes desedos. Método de Smpso. Este método se puede resumr dcedo que se bs e l coeó de los putos (,y por u seres de prábols. Ls ucoes de éste tpo so polomos de segudo grdo ( b c Hy u error herete, por supuesto, s el polomo es myor de segudo grdo. L órmul l de l ecucó pr l Regl / de Smpso es b h yd [ y ( y y L y ( y y L y y ] ( L regl de Smpso sol es ect pr polomos de prmero y segudo grdo. El grdo de l ucó es descoocd e muchs plccoes, por cosguete, se debe clculr el error. El error se clcul por l sguete ecucó: Error h [ y y ( y y 7( y y L 9 8( y y L y 8( y y5 L y ] ( Dode h y Método trpezodl compuesto. Cosste e dvdr el tervlo[, b] e subtervlos y promr cd uo por u polomo de prmer grdo, luego se plc l órmul trpezodl cd subtervlo y se obtee el áre de cd trpezode, de tl modo que l sum de tods ells d l promcó l áre bjo l curv de l ucó. L orm l de l ecucó pr el método trpezodl compuesto es: b h yd [ y ( y y y L y y ] (5 Los sguete dos ejemplo lustr estos dos métodos. U torre empcd bsorbe u gs A de u gs de combustó. El gs de etrd l torre cotee.5% molr de A y el gs de sld cotee.5% molr de A. Clcule el úmero de uddes de trserec ecesrs, N OG. Los dtos se muestr e l tbl. Tbl Dtos pr el problem de uddes de trserec. Dtos Clculdos de los dtos y y* y y* y y *.5 ( ( y y ( (.5 ( ( y y ( 7 ( 7.5 ( ( y.5 ( ( y y* Composcó e equlbro.

11 Prmero resolvemos el problem plcdo el método / de Smpso. Supoedo que l películ gseos es l cotrolte, teemos: y( dy. N OG [9.7 (8 7. y( * y y. 5.9 ( ] 5.5 uddes de trs. Error. [ ( ( ( (7.. ]. uddes de trs. El error es reltvmete pequeño. Por el método trpezodl compuesto plcmos l ecucó (5 y(. N OG [9.7 (8 7.8 y( ] 5.77 uddes de trs. Cosderemos hor u colum de destlcó dscotu que cotee u mezcl de 5% molr de A e B, se destl hst que l rccó molr de A e el clder se meor que.. Clcule l rzó Los dtos se muestr e l tbl 7. y se grc e l gur. Tbl 7 Dtos pr el problem de l colum de destlcó dscotú D D.59.9 (..8 ( y.9.9 (.5. ( y.79.5 (.5.85 ( y y ( 5 D ( (.5. ( y Aplcdo el método / de Smpso, teemos d w A D w.8 [.8 (..8. ( l.79 y ].77 Fg Grác de Xw vs /(XD- Xw Por el método trpezodl compuesto, teemos que w dw.8 A [.8 (. D w ].7 l.7 ;.787 Se observ que los dos resultdos so cs gules debdo que el polomo es de orde. El sguete códgo de MATLAB hce los cálculos de los dos problems ddos terormete. put( ʹ Itroduzc los vlores de ʹ ; y put(ʹ Itroduzc los vlores de y ʹ ; Are_ trpz(,y; Are_ Smpso(,y; prt (ʹ \ Are_(Método... trpezodl%9. ʹ,Are_ prt(ʹ \ Are_(Método / de... Smpso%9. ʹ,Are_

12 ucto ASmpso(,y putos legth(; legth(y ~ putos error( ʹ y y o so de l msm logtud ʹ brek ed d d(; m(d-m(d > m(bs(/ error (ʹ o so equdsttesʹ brek ed h d(; mod (putos, precucó(ʹagregue úmeros de tervlosʹ putos ; else putos; ed BIBLIOGRAFIA. Neves A y Domíguez F. Métodos umércos plcdos l geerí. ª Edcó CECSA.. Costtdes A y Mostou N Numercl methods or chemcl egeers wth MATLAB pplctos ª Edcó Pretce-Hll Gerld C.F y hetley P.O Aálss umérco co plccoes. 7ª Edcó Perso Educcó.. Nkmur S. Aálss umérco y vsulzcó grác co MATLAB ª Edcó Perso Educcó 997. ~ putos A A (y(putos y(* h/; ed. y y(:: ; A (h/*(y( *sum(y* sum(y y( ; y y(:: ; ed

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