GESTIÓN ACADÉMICA PLAN DE ASIGNATURA GUÍA DIDÁCTICA

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1 CÓDIGO: PA-0-0 VERSIÓN:.0 FECHA: PÁGINA: de Nomres y Apellidos del Estudinte: Grdo: 9º Periodo: º Doente: Esp. BLANCA ROZO BLANCO Durión: Áre: Mtemáti Asigntur: Mtemáti ESTÁNDAR: Identifi diferentes métodos pr soluionr sistems de euiones lineles. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Formul y soluion prolems por medio de sistems de euiones lineles. EJE(S) TEMÁTICO(S): SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES X,3X3 DESIGUALDADES ORIENTACIONES ) Oserviones sore el desrrollo de l guí )Letur texto guí (seguir orretmente ls instruiones dds, 3)Expliión por prte del doente tenión y onentrión durnte ls expliiones, 4)Desrrollo del tller signdo en grupo. leer omprensivmente, orden, pulritud.) 5) Se vlorrán todos los momentos de l guí EXPLORACIÓN Cmie el udro on ls inógnits (???) por uno de los tres que están l dereh (,, ): CONCEPTUALIZACIÓN SISTEMA LINEAL DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Un sistem de euiones lineles se ompone de dos o más euiones lineles. Un sistem se rteriz por su dimensión. L dimensión de un sistem se determin según el número de euiones y de vriles involurds en el sistem. Un sistem de dos euiones en dos vriles se die que es de dimensión x. Un sistem de dos euiones en tres vriles se die que es de dimensión x3. Un sistem de tres euiones en tres vriles se die que es uno 3x3. Ejemplo

2 CÓDIGO: PA-0-0 VERSIÓN:.0 FECHA: PÁGINA: de x x y y 4 8 dimensión x; HAY DOS ECUACIONES Y DOS VARIABLES Ejemplo x y x y z z dimension x3; HAY DOS ECUACIONES Y TRES VARIABLES Ejemplo dimensión 3x3; HAY TRES ECUACIONES Y TRES VARIABLES Un sistem linel de dos euiones on dos inógnits es un expresión lgeri de l form: x + y = x + y = donde,,,, y son números onoidos: x e y son ls inógnits. Un soluión de un sistem linel de dos euiones on dos inógnits es un pr de vlores (x, y) que verifin ls dos euiones. Si un sistem tiene soluión, se llm omptile o onsistente; y, si no l tiene, inomptile o inonsistente, Si tiene infinits soluiones se llm onsistente dependiente.. Dos sistems son equivlentes si tienen ls misms soluiones. TIPOS DE SOLUCIÓN Consideremos un sistem omo el siguiente: SISTEMA COMPATIBLE Si dmite soluiones. L omptiilidd de un sistem se determin prtir del determinnte de l mtriz x que onstituye el sistem o equivlentemente de los oientes de l primer euión y l segund. SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO Si dmite un número finito de soluiones; en el so de dos euiones lineles on dos inógnits, si el sistem es determindo solo tendrá un soluión. Su representión gráfi son dos rets que se ortn en un punto; los vlores de x e y de ese punto son l soluión l sistem. Un sistem linel de dos euiones on dos inógnits es omptile determindo undo: Por ejemplo, ddo el sistem: Podemos ver, que: rets se orten en un punto. Lo que d lugr que ls dos

3 CÓDIGO: PA-0-0 VERSIÓN:.0 FECHA: PÁGINA: 3 de SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO El sistem dmite un número infinito de soluiones; su representión gráfi son dos rets oinidentes. Ls dos euiones son equivlentes y un de ells se puede onsiderr omo redundnte: ulquier punto de l ret es soluión del sistem. Un sistem linel de dos euiones on dos inógnits es indetermindo si: Por ejemplo on el sistem: Se puede ver: Con lo que podemos deir que l primer euión multiplid por tres d l segund euión, por lo tnto no son dos euiones independientes, sino dos forms de expresr l mism euión. Tomndo un de ls euiones, por ejemplo l primer, tenemos: Tomndo l x omo vrile independiente, y l y omo vrile dependiente, según l expresión nterior, signndo vlores x otendremos el orrespondiente de y, d pr (x, y), sí luldo será un soluión del sistem, pudiendo signr x ulquier vlor rel. SISTEMA INCOMPATIBLE El sistem no dmite ningun soluión. En este so, su representión gráfi son dos rets prlels y no tienen ningún punto en omún porque no se ortn. El umplimiento de un de ls euiones signifi el inumplimiento de l otr y por lo tnto no tienen ningun soluión en omún. Un sistem linel de dos euiones on dos inógnits es inomptile si: Por ejemplo, ddo el sistem: Se puede ver que: L iguldd: Determin l proporionlidd.

4 CÓDIGO: PA-0-0 VERSIÓN:.0 FECHA: PÁGINA: 4 de. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES - MÉTODO GRÁFICO. Pr plir el método gráfio se relizn los siguientes psos: ) Se despej l inógnit (y) en ms euiones. ) Se onstruye pr d un de ls euiones l tl de vlores orrespondientes. 3) Se representn gráfimente ms rets en los ejes oordendos. 4) Se hlln los puntos de interepión. Puede sueder los siguientes sos: Ls rets se intersetn en un punto, uys oordends (, ) es l soluión del sistem (figur ). Ls dos rets oiniden, dndo origen infinits soluiones (figur ). Ls dos rets son prlels (no se intersetn), por lo tnto no hy soluión (figur 3). EJEMPLO Soluionr el siguiente sistem de euiones lineles: Hemos un tl pr d euión. Luego, representmos los vlores otenidos en un pr de eje rtesinos. En el eje horizontl (eje de ls siss) represento los vlores de X y en el eje vertil (eje de ls ordends) represento los vlores de Y. Desde el punto de interseión de ls dos representiones grfis de ls funiones trzmos rets perpendiulres d uno de los ejes.

5 CÓDIGO: PA-0-0 VERSIÓN:.0 FECHA: PÁGINA: 5 de ) RESOLUCIÓN POR IGUALACIÓN Tenemos que resolver el sistem: dds, de ls ules se onoe su euión. esto signifi, enontrr el punto de interseión entre ls rets Despejmos un de ls dos vriles en ls dos euiones, on lo ul tenemos un sistem equivlente (en este so elegimos y): Reordmos que l tener dos euiones, si los primeros miemros son igules los segundos tmién lo son, por lo tnto igulmos: Luego: Reemplzmos el vlor de x otenido en lgun de ls euiones (elegimos l segund): Opermos pr hllr el vlor de y: y=. Verifimos, en ms euiones, pr ser si relmente (x ; y) = (4;): Ahor sí, podemos segurr que x= 4 e y = 3) RESOLUCIÓN POR SUSTITUCIÓN. Tenemos que resolver el sistem: elegimos y en l primer euión): Despejmos un de ls vriles en un de ls euiones (en este so Y l reemplzmos en l otr euión: Opermos pr despejr l úni vrile existente hor: Reemplzmos el vlor de x otenido en lgun de ls euiones (elegimos ritrrimente l primer):

6 CÓDIGO: PA-0-0 VERSIÓN:.0 FECHA: PÁGINA: 6 de Hllmos l respuest x= 4, y =, 4) RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN Tenemos que resolver el sistem: El ojetivo es eliminr un de ls inógnits, dejándols inverss ditivs, siendo que un iguldd no mi si se l multipli por un número. Tmién semos que un iguldd no se mi si se le sum otr iguldd. Si se quiere eliminr l x, por qué número deo multiplir l segund euión, pr que l sumrl l primer se oteng ero? L respuest es -. Vemos: Con lo que otenemos: Y l summos l primer oteniéndose: -7y = -4 y = Reemplzr el vlor otenido de y en l primer euión: Y finlmente hllr el vlor de x: Ejeriio: Resuelve por este método: 5) RESOLUCIÓN POR DETERMINANTES CONCEPTO DE MATRIZ Se denomin mtriz todo onjunto de números o un rreglo de x n números ordendos dispuestos en form retngulr, formndo fils y olumns. x n

7 CÓDIGO: PA-0-0 VERSIÓN:.0 FECHA: PÁGINA: 7 de Cd uno de los números de que onst l mtriz se denomin elemento. Un elemento se distingue de otro por l posiión que oup, es deir, l fil y l olumn l que pertenee. El número de fils y olumns de un mtriz se denomin dimensión de un mtriz. Así, un mtriz será de dimensión: x4, 3x, x5,... Sí l mtriz tiene el mismo número de fils que de olumn, se die que es de orden:, 3... El onjunto de mtries de fils y n olumns se denot por A m x n o ( ij ), y un elemento ulquier de l mism, que se enuentr en l fil i y en l olumn j, por ij. Dos mtries son igules undo tienen l mism dimensión y los elementos que oupn el mismo lugr en ms, son igules. DETERMINANTES X Semos que un determinnte se represent omo: d Este se lul de l siguiente mner: Se el sistem: det = d x + y = x + y = El vlor de x está ddo por: x e y Ejemplo. Resolver el sistem:: x y El punto de interseión de ls rets dds es {(4, )} Resuelve, por determinntes:

8 CÓDIGO: PA-0-0 VERSIÓN:.0 FECHA: PÁGINA: 8 de ACTIVIDAD. CONSULTA Y ESTUDIA LA REGLA DE CRAMER Teorí y ejeriios. Prepre exposiión, Regl de Srrus pr lulr un determinnte soido un mtriz de orden 3x3. Teorí y ejeriio Prepre exposiión, SOLUCIÓN DE LOS SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES VARIABLES. En un sistem de tres euiones on tres inógnits. Cd un de ls euiones represent un plno. De uerdo on ls posiles reliones que se den entre los tres plnos, se determin el tipo de soluión que tiene el sistem. Mientrs ls euiones lineles de dos dimensiones representn rets, ls euiones lineles on tres vriles: Ax + By +Cz = D, representn plnos. Pr representr un plno se neesitn tres puntos que no estén en l mism ret. Y estos se determinn enontrndo tres soluiones. Representr gráfimente l euión 4x + 3y + z = Soluión: Busmos tres tripls que stisfgn l euión. Ls tripls más fáiles de enontrr son ls orrespondientes los puntos de interseión del plno on d uno de los ejes. Ests se otienen l her que dos de ls tres vriles sen ero y resolviendo l euión pr l otr. Uimos en el eje de tres oordends y trzmos el plno determindo por l euión 4x + 3y + z = 0. Todos los puntos que pertenezn este plno son soluiones de l euión. SISTEMAS DE 3X3 Se llmn sí porque están ompuestos por 3 euiones y on 3 inógnits. Ejemplo: x + y + z = x + y + z = x + y + z = 3 Por ejemplo, onsideremos el siguiente sistem:

9 CÓDIGO: PA-0-0 VERSIÓN:.0 FECHA: PÁGINA: 9 de Resoluión de l primer euión pr x se tiene x = 5 + z - y 3, y onetr est en l terer euión de rendimiento y en segundo lugr Resoluión de l primer de ests euiones pr los rendimientos y = + 3 z, y onetr est en los rendimientos segund euión z =. Ahor tenemos: Sustituyendo z = en l segund euión se otiene y = 8, y l sustituión z = y = 8 en el rendimiento de l primer euión x = 5. Por lo tnto, el onjunto de soluiones es el únio punto (x, y, z) = ( 5, 8, DETERMINANTE DE ORDEN 3X3 = = = ( -5) (-) (-) (-5) = = (-4) (-5) = = = 63 Osérvese que hy seis produtos, d uno de ellos formdo por tres elementos de l mtriz. Tres de los produtos preen on signo positivo (onservn su signo) y tres on signo negtivo (min su signo). Ejeriios y prolems de sistems de tres euiones on tres inógnits. En un grnj hy onejos y ptos. Si entre todos sumn 8 ezs y 5 pts, uántos onejos y ptos hy? Tenemos que determinr:. Cuáles son ls inógnits.. Qué relión hy entre ells. En este so l propi pregunt die uáles son ls inógnits: el número de onejos y el número de ptos. Llmremos x l número de onejos e y l número de ptos: y Semos que d onejo y d pto tienen un sol ez. Por tnto: el número de onejos por un ez, más el número de ptos por un ez tmién, tienen que sumr 8: x + y = 8. Por otr prte, los onejos tienen utro pts y los ptos sólo tienen dos. Por tnto: el número de onejos por utro pts d uno, más el número de ptos por dos pts, tienen que sumr 5: 4x + y = 5. L uestión es: qué vlores de x e y umplen ls dos euiones l mismo tiempo; esto es, ls dos euiones formn un sistem y el vlor de l x y de l y es l soluión de un sistem de dos euiones:

10 CÓDIGO: PA-0-0 VERSIÓN:.0 FECHA: PÁGINA: 0 de Y tenemos el sistem de euiones perfetmente representdo, primero veremos que lse de sistem es, y si dmite soluión o no, podemos ver que:. Luego el sistem es omptile determin, por lo que tendrá un úni soluión y podemos soluionrlo por ulquier de los métodos y vistos. Por ejemplo, el de reduión. Si hor l primer euión l mimos de signo, (multipliándol por -), tendremos: summos ls dos euiones: Con lo que tenemos que x= 8. Sustituyendo este vlor en l primer euión, tenemos: on lo que y tenemos l soluión del prolem: Podemos ompror estos resultdos en el enunido del prolem pr ompror que son orretos. Resuelve los siguientes sistems de euiones por medio l regl de Crmer ) x + 5y = 4 3x + y = -5 ) 3x 5y = 9 x + y = -4 ) x + 4y = 5 4x 7y = A un frinte de rop le hn pedido 5 pntlones, 3 sos, miss y 6 orts. El preio de d pntlón es de $65, el de un so $7. el de un mis $44 y el de d ort $0. ) Expres medinte un mtriz fil el pedido de rop. 4.- Clul los determinntes de d un de ls siguientes mtries: ) ) )Busr en el diionrio el signifido de: ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN )sistem, linel, inomptile, omptile, sustituión, igulión, reduión, sustituión, mtriz, determinnte oftor,

11 CÓDIGO: PA-0-0 VERSIÓN:.0 FECHA: PÁGINA: de )Resuelve utilizndo los métodos de Igulión, Sustituión, Reduión y Determinntes: ) 3x + y = ) 5x y = 3) x + y = 4) 4x + 5y = 3 5) 4(x + ) = -6y 6) 3x + y = 7 x + y = 0 x y = 5x y = 6x 0y = 3(y + x) = 0 6x + y = 3 7) x y 5 3yx7 8) x3y 3 3y 7x 9 5x6y 7 5xy 3 9) 0) 6x8y 0 5y3x8 ) Resolver los siguientes determinntes 4 A 5 3 B A A B B 3 B Resuelve el sistem de euiones: ) ) 3) 4) Soluion los siguientes prolems. ) Pr llevr 4 doens de huevos y 3 lirs de mntequill, Angéli dee pgr$4.00; pero si llev solo 3 doens de huevos y un lir de mntequill, el vlor será de $ Ell dese ser uánto vle un doen de huevos y un lir de mntequill (resolver por el método de eliminión). ) El deprtmento de Eduión Físi del olegio ompró 8 lones pr ls prátis de fútol y de voleiol, por un vlor de $ Cuántos lones de d deporte de omprron si un lón de fútol uest $ y uno de voleiol $ (Resolver por el método de sustituión. 3)En los grdos 9A y 9B de un olegio mixto, l distriuión entre estudintes homres y mujeres es si: 9A: x +3y = 30 9B: x +5y = 36 En este so, x represent el número de homres y, y el número de mujeres. Cuántos estudintes vrones hy en totl? Y unts mujeres? 4) En un entro edutivo el terreno disponile prr ls prátis deportivs es de form retngulr y tiene un perímetro de 800 metros. Si el lrgo equivle l dole de su nho disminuido en 50 metros. Cuáles son ls dimensiones del terreno? 5) Hllr dos números uyo oiente se 4/5 y su produto 80. Soluión: (8, 0) y (-8, -0). 6) Hllr dos números uy sum es 40 y su produto 56. Soluión: (8, 3). 7) Don Rento tiene 37 nimles entre onejos y gllins, que sumndo sus pts nos dn 00. Cuntos onejos y gllins tiene? 8) Si l numerdor de un frión le sums 4 y l denomindor le rests,l frión equivle, y si l Numerdor le rests 3 y l denomindor le sums 4,l frión equivle 3/ m. hll l frión. 9) En l siguiente figur los ldos y sumn 30 m, los ldos y sumn 4 y los ldos y sumn 37. Cuánto

12 CÓDIGO: PA-0-0 VERSIÓN:.0 FECHA: PÁGINA: de mide d ldo del triángulo? SOCIALIZACIÓN ) Puest en omún del trjo desrrolldo. ) Retrolimentión de posiles duds. 3) Evluión esrit del tem visto. 4)Se evlú l prtiipión tiv de todos los estudintes. 5) Revisión de orrreiones. 6) Revisión del trjo desrrolldo COMPROMISO Resuelve los siguientes sistems de euiones utilizndo los diferentes métodos. ) 4x y x5y 0 0xy 3 3x y 9 ) 4x33y x5y3 ) d) x y 3 6x 7y 0 e) f) x 3y 6 3xy g) h) x 6y 3yx x y 5 x y 3 7 5x3y 0 8x y 9 Resuelve los sistems de euiones: ) ) ) Enuentr dos números enteros tles que su sum se 85 y su difereni. ) Si l sum de l ifr de ls deens y l ifr de ls uniddes de un número es 7, y si este número se le rest 9, ls ifrs se invierten. Cuál es el número? 3) Dos números están en l relión ¾.Si el menor de ellos se disminuye en 5 y el myor en 5, entones l relión entre ellos es /3. Hll los números. 4) L sum de tres números positivos es 50. Si el menor de ellos es utro vees l sum del intermedio y del myor, y demás el myor es igul l sum de los otros dos, hll los números. 5) Dentro de 6 ños l edd de julio será los /3 de l edd de Plo. He 5 ños l edd de Julio er 3/0 de l edd de Plo. Cuál es l edd tul de d uno de ellos? 6) El perímetro de un triángulo isóseles es m. L se del triángulo es 6 uniddes más lrg que ulquier de sus ldos igules. Cul es l longitud de d ldo? 7) Un tren prte de un estión hi el este. Un hor más trde, un segundo tren vijndo un veloidd myor que el primero en 0 km/h, prte de l mism estión en direión oeste. Tres hors después de l slid del primer tren, los dos se enuentrn 330km uno del otro. Cuál es le veloidd de desplzmiento de d tren si est es onstnte y el vije de los dos trenes es sin esl? 8) Dos ángulos suplementrios son tles que l medid de uno de ellos es 0º menos que el triplo del segundo. Cuál es l medid de d ángulo? 9) L edd de Cludi exede en 4 ños l edd de Andre. Si ms eddes sumn 3.Hllr ls eddes de Cludi y Andre ELABORÓ REVISÓ APROBÓ NOMBRES Esp. Bln Rozo Blno Li. Yir Lieth Rinón CARGO Doentes de Áre Jefe de Áre Coordindor Adémio DD MM AAAA DD MM AAAA DD MM AAAA