4 Resoluión de triángulos. Resoluión de triángulos retángulos Piens y lul lul mentlmente l inógnit que se pide en los siguientes triángulos retángulos: ) = 6 m, = 8 m; ll l ipotenus ) = 35 ; ll el otro ángulo gudo ) = 0 m ) = 55 pli l teorí. En un triángulo retángulo se onoe l ipotenus = 5 m y un teto = 4 m. lul los demás elementos.?? = 5 m Áre?? = 4 m Dtos Inógnit Fórmuls Resoluión = 5 m = = 3 m = 4 m os = 4 os = = 36 5' '' 5 = 90 = 53 7' 48'' Áre Áre = Áre = 3 4 = 6 m. En un triángulo retángulo se onoe l ipotenus = 5,4 m y el ángulo = 33 4 5".lul los demás elementos. = 5,4 m 33º 4' 5''? Áre??? Grupo Editoril ruño, S.L. 4 SOLUIONRIO
Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión = 5,4 m = 33 4' 5'' Áre = 90 sen = = sen os = = os Áre = = 90 33 4' 5'' = 56 7' 45'' = 5,4 sen 33 4' 5'' = 3 m = 5,4 os 33 4' 5'' = 4,5 m Áre = 3 4,5 = 6,75 m 3. En un triángulo retángulo se onoe un ángulo gudo = 4 5 30" y el teto opuesto =,4 m. lul los demás elementos.? Áre?? =,4 m 4º 5' 30''? Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión =,4 m = 4 5' 30'' Áre = 90 sen = = sen tg = = tg Áre = = 90 4 5' 30'' = 65 34' 30'' = 5,8 m = 5,8 m Áre =,4 5,8 = 6,34 m 4. Se quiere medir l nur de un río. Pr ello se oserv un árol que está en l otr orill.se mide el ángulo de elevión desde est orill l prte más lt del árol y se otiene 47. lejándose 5 m del río, se vuelve medir el ángulo de elevión y se otiene 39. lul l nur del río. D Grupo Editoril ruño, S.L. 47 5 m 39 tg 47 = tg 39 = 5 + 90º 39º 47º 5 = 5,4 m TEM 4. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS 43
. Teorem de los senos Piens y lul Oserv el triángulo retángulo del diujo y lul mentlmente el vlor de k k = sen = 6 m = 0 m = 8 m k = 0 m pli l teorí 5. En un triángulo se onoen: = 6,4 m, = 6,4 m y = 73 lul mentlmente el ángulo. uánts soluiones tiene?,5,5 sen 54 = = = 0,57 m sen 73 sen 54 sen 73 Tiene un soluión. 7. En un triángulo se onoen: = 6,5 m, = 7 m y = 67 lul el ángulo. uánts soluiones tiene? = 6,4 m = 6,4 m Dtos: 73º? El triángulo es isóseles.?? 6,5 m = 73. L soluión es úni. 6. En un triángulo se onoe: =,5 m, = 73 y = 54 lul el ldo. uánts soluiones tiene? 73º 67º 7 m 6,5 7 7 sen 67 = sen = sen 67 sen 6,5 = 8 6 3 + < 80 = 97 33 8 + < 80 54º =,5 m? Tiene dos soluiones. 8. De un triángulo se onoen: = 5,6 m, = 69 y = 83 Hll l longitud del diámetro de l irunfereni irunsrit. Grupo Editoril ruño, S.L. 44 SOLUIONRIO
69º D? O 9. En un triángulo se onoen: = 5 m, = 8 m y = 7 lul el ángulo. uánts soluiones tiene? 5 = 8 sen = 8 sen 7 =,5 sen 7 sen 5 No tiene soluión porque sen =,5 > 83º = 5,6 m 0. En un triángulo se onoen: = 7,5 m, = 98 y = 87 lul el ldo. uánts soluiones tiene? 5,6 D = = 6,7 m sen 69 No y soluión porque: + = 98º + 87º = 85º >80 3. Teorem del oseno Piens y lul Un triángulo es utángulo, retángulo u otusángulo según que el udrdo del ldo myor se, respetivmente, menor, igul o myor que l sum de los udrdos de los otros dos ldos. lsifi mentlmente los siguientes triángulos: ) = m, = 3 m, = 4 m ) = 3 m, = 4 m, = 5 m ) = 4 m, = 5 m, = 6 m ) 6 > 3 Otusángulo. ) 5 = 5 Retángulo. ) 36 < 4 utángulo. pli l teorí. En un triángulo se onoen: =,5 m, = 5,7 m y = 63 lul el ldo. En un triángulo se onoen los tres ldos: = 5 m, = 6 m y = 7 m lul el ángulo = 5,7 m? Grupo Editoril ruño, S.L. 63º =,5 m = + os =,5 + 5,7,5 5,7 os 63 = 4,98 m = 7 m = 5 m = 6 m TEM 4. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS 45
os = 6 +7 5 = 0,743 6 7 = 44 4 5 3. En un triángulo se onoen: = 4,5 m, = 3,8 m y = 83 30' lul su áre. Semiperímetro = 8 m Áre = 8(8 4,5)(8 5,5)(8 6) =,83 m 5. Un solr tiene form de triángulo y se onoen dos ldos,que miden 8 m y 3 m,y el ángulo que formn,que es de 5. El m vle 30. lul el vlor del solr. = 3,8 m 83º 30' Áre? = 4,5 m Áre = 4,5 3,8 sen 83 30 = 8,5 m 4. En un triángulo se onoen los tres ldos: = 4,5 m, = 5,5 m y = 6 m lul el áre. 8 m 3 m 5º Áre = 8 3 sen 5 = 69,56 m Preio = 69,56 30 = 5 086,8 = 6 m = 5,5 m Áre? = 4,5 m 4. Resoluión de triángulos no retángulos Piens y lul En un triángulo ulquier, se se que sen = /. lul mentlmente uánto mide el ángulo. uánts soluiones puede tener, un o dos? Tiene dos soluiones: = 30 y = 50 Grupo Editoril ruño, S.L. 46 SOLUIONRIO
pli l teorí 6. Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 9,5 m, = 3 y = 93? Áre?? 3º = 9,5 m 93º Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión = 9,5 m = 80 ( + ) = 80 (3 + 93 ) = 55 = 3 = 93 = = sen sen sen sen = = sen sen sen sen = 9,5 sen 3 = 6,5 m sen 55 = 6,5 sen 93 =,59 m sen 3 Áre Áre = sen Áre = 6,5 9,5 sen 93 = 9,7 m 7. Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 7,5 m, = 6,4 m y = 53 = 7,5 m 53º = 6,4 m Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión = 7,5 m = 6,4 m = 53 sen = sen = sen sen sen = 6,4 sen 53 = = 4 57' 40'' 7,5 omo el ángulo suplementrio de tiene el mismo seno, puede eistir un = 80 4 57' 40'' = 37 ' 0'' (No es válido) Grupo Editoril ruño, S.L. Áre = 80 ( + ) sen = = sen sen sen Áre = sen = 80 (53 + 4 57' 40'') = 84 ' 0'' = 7,5 sen 84 ' 0'' = 9,34 m sen 53 Áre = 7,5 6,4 sen 84 = 3,87 m TEM 4. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS 47
8. Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 8,4 m, = 7,6 m y = 6?? = 7,6 m?? 6º = 7,6 m = 8,4 m?? Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión = 8,4 m = 7,6 m = 6 sen = sen = sen sen = 80 ( + ) sen = 8,4 sen 6 = = 75 0' 8'' 7,6 omo el ángulo suplementrio de tiene el mismo seno, puede eistir un = 80 75 0' 8'' = 04 49' 5'' = 80 (75 0' 8'' + 6 ) = 43 49' 5'' = 80 (04 49' 5'' + 6 ) = 4 0' 8'' sen = = sen sen sen 7,6 sen 43 49' 5'' = = 6,0 m sen 6 7,6 sen 4 0' 8'' = =,3 m sen 6 Áre Áre = sen = 8,4 7,6 sen 43 49' 5'' =, m = 8,4 7,6 sen 4 0' 8'' = 7,8 m 9. Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 7 m, = 5 m y = 65 sen = 7 sen 65 =,7 5 7 5 No tiene soluión. = sen sen 65 5. Terer y urto sos de resoluión de triángulos Piens y lul lsifi los siguientes triángulos en posiles e imposiles. Rzon l respuest. ) Triángulo : = 5 m, = 7 m, = 9 m ) Triángulo : = 5 m, = 0 m, = 0 m ) Es posile. 5 + 7 > 9 L sum de los dos ldos menores es superior l myor. ) Es imposile: 5 + 0 < 0 Grupo Editoril ruño, S.L. 48 SOLUIONRIO
pli l teorí 0. Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 9, m, = 6,7 m y = 75 = 9, m 75º = 6,7 m Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión = 9, m = + os = 9, + 6,7 9, 6,7 os 75 = 6,7 m = 75 = + os = sen = sen sen sen = 9,88 m sen = 6,7 sen 75 = 40 55' 9'' 9,88 = 80 ( + ) = 80 (75 + 40 55' 9'') = 64 4' 4'' Áre Áre = sen Áre = 9, 6,7 sen 75 = 9,77 m. Resuelve un triángulo en el que se onoen: =,5 m, = 0,5 m y = 8, m? = 8, m = 0,5 m Áre?? =,5 m? Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión =,5 m = 0,5 m = 8, m = + os os = + sen = sen = sen sen os = 0,5 +8,,5 0,5 8, = 8 54' 53'' 0,5 sen 8 54' 53'' sen =,5 Grupo Editoril ruño, S.L. Áre = 80 ( + ) Áre = sen = 56 8' 8'' = 80 (8 54' 53'' + 56 8' 8'') = 40 36' 59'' Áre =,5 0,5 sen 40 36' 59'' Áre = 4,7 m TEM 4. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS 49
. Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 5,3 m, = 9,5 m y = 4, m uánts soluiones tiene? No tiene soluión porque 5,3 + 4, < 9,5 3. Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 8,9 m, = 6,5 m y = 5?? = 6,5 m Áre? 5º = 8,9 m? Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión = 8,9 m = + os = 8,9 + 6,5 8,9 6,5 os 5 = 6,5 m = + os = 3,05 m = 5 sen = sen = sen sen 8,9 sen 5 sen = = 38 0' 38'' 3,05 = 80 ( + ) = 80 (38 0' 38'' + 5 ) = 6 49' '' Áre Áre = sen Áre = 8,9 6,5 sen 5 = 6, m 4. Hll l distni que y entre dos ros y D,siendo que emos medido l distni que y entre y y emos otenido 450 m, y que on el teodolito emos otenido que D = 48,D = 57, = 4 y D = 53 D 48º 57º 4º 450 m 53º ) En el triángulo se lul = 80 (48 + 57 + 4 ) = 33 450 = = 450 sen 4 = 553 m sen 33 sen 4 sen 33 ) En el triángulo D se lul D D = 80 (57 + 4 + 53 ) = 8 450 = D D = 450 sen 95 = 955 m sen 8 sen 95 sen 8 ) En el triángulo D se lul D D = 553 + 955 553 955 os 48 D = 75 m Grupo Editoril ruño, S.L. 50 SOLUIONRIO
Ejeriios y prolems. Resoluión de triángulos retángulos 5. En un triángulo retángulo se onoen los dos tetos =,5 m y = 4,3 m. lul los demás elementos. =,5 m? Áre?? = 4,3 m? Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión =,5 m = 4,3 m Áre = + tg = = 90 Áre = = 4,97 m tg =,5 = 30 0' 5'' 4,3 = 59 49' 35'' Áre =,5 4,3 = 5,38 m 6. En un triángulo retángulo se onoen un ángulo gudo, = 5 5 43", y el teto ontiguo, = 3,5 m. lul los demás elementos.? Áre?? 5º 5' 43'' = 3,5 m Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión Grupo Editoril ruño, S.L. = 3,5 m = 5 5' 43'' Áre = 90 os = = os tg = = tg Áre = = 90 5 5' 43'' = 37 54' 7'' = 3,5 = 5,7 m os 5 5' 43'' = 3,5 tg 5 5' 43'' = 4,5 m Áre = 3,5 4,5 = 7,88 m TEM 4. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS 5
Ejeriios y prolems 7. En el entro de un lgo sle vertilmente un orro de gu y se quiere medir su ltur. Pr ello se mide el ángulo de elevión desde l orill l prte más lt del orro de gu y se otiene 43 ; trs lejrse 00 m del lgo, se vuelve medir el ángulo de elevión y se otiene 35. lul l ltur del orro de gu. 9. En un triángulo se onoen: = 9,5 m, = 57 y = 68 lul el ldo. uánts soluiones tiene?? 57º 68º = 9,5 m 43º 35º 00 m = 80 (57 + 68 ) = 55 9,5 = sen 55 sen 68 = 9,5 sen 68 = 0,75 m sen 55 Hy un soluión. tg 43 = tg 35 = 00 + ltur = 8,07 m = 8,07 30. En un triángulo se onoen: = 7, m, = 6,5 m y = 57 lul el ángulo. uánts soluiones tiene?. Teorem de los senos 8. En un triángulo se onoen: = 5,6 m, = 5,6 m y = 58 lul mentlmente el ángulo. uánts soluiones tiene? = 6,5 m 57º = 7, m 5,6 m 5,6 m 58º? El triángulo es isóseles. = 58 L soluión es úni. 7, 6,5 7, sen 57 = sen = sen sen 57 6,5 = 68 6 40 + < 80 = 43 0 + < 80 Tiene dos soluiones. 3. De un triángulo se onoen: = 8,5 m y = 65 Hll l longitud del rdio de l irunfereni irunsrit. Grupo Editoril ruño, S.L. 5 SOLUIONRIO
R? = + os = 8, + 7,5 8, 7,5 os 87 = 0,8 m = 8,5 m 65º 35. En un triángulo se onoen los tres ldos: = m, = 3 m y = 4 m lul el ángulo D = 8,5/sen 65 = 9,38 m R = 9,38/ = 4,69 m 3. En un triángulo se onoen: = 7 m, = 8,5 m y = 9 lul el ángulo. uánts soluiones tiene? 7 = 8,5 sen 9 sen sen = 8,5 sen 9 =, 7 No tiene soluión porque sen =, > 33. En un triángulo se onoen: = 7,5 m, = 5 y = 73 lul el ldo. uánts soluiones tiene? + = 5 + 73 = 98 > 80 No tiene soluión. = + os os = + os = + 3 4 3 = 04 8' 39'' 36. En un triángulo se onoen: = 8 m, = 0 m y = 65 lul su áre. = 4 m = m? = 3 m 3. Teorem del oseno 34. En un triángulo se onoen: = 8, m, = 7,5 m y = 87 lul el ldo = 8 m Áre? 65º = 0 m Grupo Editoril ruño, S.L. = 7,5 m 87º? = 8, m Áre = sen Áre = 8 0 sen 65 = 36,5 m 37. En un triángulo se onoen los tres ldos: = 8 m, = 9 m y = 0 m lul el áre. TEM 4. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS 53
Ejeriios y prolems = 0 m Áre? = 9 m Semiperímetro = 3,5 Áre = 3,5(3,5 8)(3,5 9)(3,5 0) = 34, m = 8 m 4. Resoluión de triángulos no retángulos 38. Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 3,5 m, = 56 y = 85 85º?? Áre? 56º? = 3,5 m Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión = 3,5 m = 56 = 85 Áre = 80 ( + ) sen = = sen sen sen sen = = sen sen sen Áre = sen = 80 (56 + 85 ) = 39 = 3,5 sen 56 =,9 m sen 85 3,5 sen 39 = =, m sen 85 Áre =,9 3,5 sen 39 = 3, m 39. Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 4,6 m, = 3,7 m y = 58?? Áre? = 4,6 m 58º? = 3,7 m Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión = 4,6 m = 3,7 m = 58 Áre sen = sen = sen sen = 80 ( + ) sen = = sen sen sen Áre = sen sen = 3,7 sen 58 = 43 36'' 4,6 omo el ángulo suplementrio de tiene el mismo seno, puede eistir un = 80 43 36'' = 36 59' 4'' (No es válido) = 80 (58 + 43 36'') = 78 59' 4'' = 4,6 sen 78 59' 4'' = 5,3 m sen 58 = 5,3 3,7 sen 58 = 8,35 m Grupo Editoril ruño, S.L. 54 SOLUIONRIO
40. Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 5, m = 4,3 m = 73 uánts soluiones tiene? 5, = 4,3 sen sen 73 sen = 5, sen 73 =,6 4,3 No tiene soluión porque sen =,6 > 4. Resuelve un triángulo en el que se onoen: =,5 m, = 3, m y = 58? 58º?? Áre? Áre? =,5 m = 3, m =,5 m?? Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión =,5 m = 3, m = 58 sen = sen = sen sen = 80 ( + ) sen = 3, sen 58 = 76 45' 9'',5 omo el ángulo suplementrio de tiene el mismo seno, puede eistir un = 80 76 45' 9'' = 03 4' 3'' = 80 (58 + 76 45' 9'') = 45 4' 3'' = 80 (58 + 03 4' 3'') = 8 45' 9'' sen = = sen sen sen,5 sen 45 4' 3'' = = 9,63 m sen 58,5 sen 8 45' 9'' = = 4,36 m sen 58 Áre Áre = sen =,5 3, sen 45 4' 3'' = 53,9 m =,5 3, sen 8 45' 9'' = 4,4 m 5. Terer y urto sos de resoluión de triángulos 4. Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 3 m, = 7 m y = 65 Grupo Editoril ruño, S.L.? = 7 m? Áre? 65º? = 3 m TEM 4. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS 55
Ejeriios y prolems Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión = 3 m = + os = + os = 3 + 7 3 7 os 65 = 7,08 m = 7 m = 65 sen = sen = sen sen = 80 ( + ) sen = 3 sen 65 = 50 9' 56'' 7,08 = 80 (50 9' 56'' + 65 ) = 64 40' 4'' Áre Áre = sen Áre = 3 7 sen 65 = 8,4 m 43. Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 5,8 m, = 7,3 m y = 6,5 m? = 6,5 m Áre? = 7,3 m?? = 5,8 m Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión = 5,8 m = 7,3 m = + os os = + 7,3 + 6,5 5,8 os = 7,3 6,5 = 49 7' 5'' = 6,5 m sen = sen = sen sen 7,3 sen 49 7' 5'' sen = 5,8 = 7 33' 3'' = 80 ( + ) = 80 (49 7' 5'' + 7 33' 3'') = 58 9' 4'' Áre Áre = sen Áre = 5,8 7,3 sen 58 9' 4'' Áre = 7,98 m 44. Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 7, m, = 5,4 m y = 83 = 5,4 m?? Áre? 83º = 7, m? Grupo Editoril ruño, S.L. 56 SOLUIONRIO
Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión = 7, m = + os = + os = 7, + 5,4 7, 5,4 os 83 = 8,46 m = 5,4 m = 83 = sen = sen sen sen = 80 ( + ) sen = 7, sen 83 = 57 38' 3'' 8,46 = 80 (57 38' 3'' + 83 ) = 39 ' 9'' Áre Áre = sen Áre = 7, 5,4 sen 83 = 9,3 m 45. Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 47 m, = 5 m y = 99 m. uánts soluiones tiene? No tiene soluión porque 47 + 5 = 99 46. Hll l distni que y entre los pios de dos montñs y D, siendo que se medido en un llnur ern l distni que y entre y y se otenido 900 m, y que on el teodolito se otenido que D = 47, D = 45, = 47 y D = 44 D 47º 45º d = 900 m 44º 47º ) En el triángulo se lul = 80 (47 + 45 + 47 ) = 4 900 = = 900 sen 47 = 003 m sen 4 sen 47 sen 4 Grupo Editoril ruño, S.L. ) En el triángulo D se lul D D = 80 (45 + 47 + 44 ) = 44 900 = D D = 900 sen 9 = 95 m sen 44 sen 9 sen 44 ) En el triángulo D se lul D D = 003 + 95 003 95 os 47 D = 955 m TEM 4. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS 57
Ejeriios y prolems Pr mplir 47. Un person que mide,78 m proyet un somr de,5 m. uál es el ángulo de elevión del Sol en ese momento? = 4 = 7 = 4 m tg = 7/4 = 60 5' 8'' = 9 44' 4'' = 7 + 4 = 8,06 m 50. En un triángulo retángulo, l ipotenus mide 0 m y el áre 96 m. Hll los demás elementos del triángulo retángulo.,78 m,5 m α?? Áre = 96 m? = 0 m? = 53 7' 48'', = 36 5' '' = 96 + = 0 se otiene: = 6 m, = m tg = 6 Ángulo de elevión = α tg α =,78/,5 α = 39 37 8 5. lul mentlmente el rdio de un irunfereni irunsrit un triángulo en el que un ldo mide 7 m y el ángulo opuesto 30 48. En un triángulo retángulo, un teto mide el dole que el otro. lul l mplitud de sus ángulos gudos. D = 7 = 7 : = 7 = 4 m sen 30 Rdio = 4/ = 7 m 5. En un triángulo se onoen: = 6 m, = 4,5 m y = 85 lul el ángulo. uánts soluiones tiene? tg = / = 6 33 54 = 63 6 6 = 6 m 49. En un triángulo retángulo, un teto mide 7 m y el áre 4 m. Hll los demás elementos del triángulo retángulo.??? Áre = 4 m = 7 m? 85º? = 4,5 m 6 = 4,5 sen = 4,5 sen 85 sen 85 sen 6 = 48 0' 38'' = 3 39' '' (No es válido) = 46 39' '' Tiene un soluión. Grupo Editoril ruño, S.L. 58 SOLUIONRIO
Prolems 53. Un int trnsportdor de rón lleg desde un puerto de mr st un entrl térmi; si l int mide 350 m y se quiere que eleve el rón 50 m de ltur, qué ángulo de elevión dee llevr l int? 56. lul l potem y el áre de un eptágono regulr uyo ldo mide 9, m 9, m 5º 4' 5'' 4,6 m 350 m 50 m tg 5 4' 5'' = 4,6 = 4,6 = 9,55 m tg 5 4' 5'' Áre = 7 9, 9,55 = 307,5 m Ángulo de elevión = sen = 50/350 = 8 48 54. Ddo un triángulo isóseles en que los ldos igules miden 9 m y el desigul 6 m, lul l ltur reltiv l ldo desigul. 57. Dos persons están en un ply y ven un gloo desde los puntos y, de form que ls dos persons y el gloo están en un plno perpendiulr l suelo. L distni entre ls dos persons es de 5 km,el ángulo de elevión del gloo desde el punto es de 55,y desde el punto, de 48. lul l ltur l que se enuentr el gloo. 9 m 9 m 6 m ltur = = 9 3 = 8,49 m 55º 48º 5 Grupo Editoril ruño, S.L. 55. lul l potem y el áre de un eágono regulr uyo ldo mide 5,4 m sen 60 = 5,4 = 5,4 sen 60 = 4,68 m Áre = 6 5,4 4,68 = 75,8 m 5,4 m 60º 5,4 m Resolviendo el sistem: tg 55 = / tg 48 = (5 ) se otiene: =,87 km = 3,4 km 58. Un ángulo de un triángulo mide de mplitud 75 y el rdio de l irunfereni irunsrit mide 5 m. Hll l medid del ldo opuesto l ángulo ddo. TEM 4. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS 59
Ejeriios y prolems 75º 5 m 60. Tres puelos, y están formndo un triángulo. Si l distni = 5 km, distni = 43 km y el ángulo que se form en es de 75, uál es l distni que y entre los puelos y? = R sen 75 = 0 sen 75 = 9,66 m 59. Tres puelos, y están unidos por rreters rets que formn un triángulo; l distni de st es de km, de st de 5 km y el ángulo mide 60. lul l distni del puelo l 43 km 75º 5 km = 5 + 43 5 43 os 75 = 43,79 km 6. Un solr tiene form de triángulo, del que se onoen: = 53 m, = 47 m y = 60 lul el áre del solr. = 47 m 60º = 53 m Áre = 53 47 sen 60 = 078,63 m 5 km km 60º 5 = sen 60 sen sen = sen 60 = 43 5 4 5 = 80 (60 + 43 5 4 ) = 76 8 46 = 5 sen 76 8' 46'' sen 60 = 5 sen 76 8' 46'' = 6,8 km sen 60 6. Un señl de soorro de un teléfono móvil se esu desde dos ntens y seprds entre sí 5 km, el ángulo mide 54 y el ángulo mide 66. lul ls distnis que y desde d un de ls ntens y l teléfono móvil. 54º 66º 5 km Grupo Editoril ruño, S.L. 60 SOLUIONRIO
= 80 (54 + 66 ) = 60 = 5 = 5 sen 66 = 6,37 km sen 66 sen 60 sen 60 = 5 = 5 sen 54 = 3,354 km sen 54 sen 60 sen 60 63. Dos torres de lt tensión y se enuentrn seprds por un lgo. Se tom un punto uilir y se miden ls distnis = 33 m, = 45 m y el ángulo = 73. Hll l distni que y entre dis torres. ) ) 6 0 ) tg = 6/0 = 38 39 35 ) tg / = 8/0 / = 48 5 = 43 36 0 Se ve mejor en un ut entrd porque el ángulo es myor. 8 6 0 65. lul el áre de un triángulo isóseles en el que los ldos igules miden 7,5 m, y el desigul, 5 m 7,5 m 7,5 m 45 km 73º 33 km = 33 + 45 33 45 os 73 = 47,39 m Semiperímetro = 0 m 5 m Áre = 0(0 7,5) (0 5) = 7,68 m 66. lul el áre de un pentágono regulr uyo ldo mide 7,6 m 64. L pntll de un ine oup un longitud de 6 m. Si l fil 5 está situd 0 m de l pntll, ll el ángulo jo el que ve un espetdor l pntll y di en qué lugr tendrá mejor visión si está olodo en: ) un ut totlmente lterl. ) un ut totlmente entrd. 36º 54º 3,8 m 7,6 m Grupo Editoril ruño, S.L. tg 54 = = 3,8 tg 54 = 5,3 m 3,8 Áre = 5 7,6 5,3 = 99,37 m 67. lul el áre de un otógono regulr uyo ldo mide 3,8 m TEM 4. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS 6
Ejeriios y prolems Pr profundizr º 30' 67º 30',9 m 3,8 m 69. En un llnur y un montñ ortd vertilmente en un orill de un río. Desde l otr orill se ve el punto más lto de l montñ jo un ángulo de 60. lejándose del río perpendiulrmente 00 m, el ángulo de elevión mide 30. lul: ) l nur del río. ) l ltur de l montñ. tg 67 30' = =,9 tg 67 30' = 4,59 m,9 Áre = 8 3,8 4,59 = 69,77 m 68. Un nten de rdio está sujet por dos les que vn desde l prte más lt l suelo. Los puntos de sujeión de los les y el pie de l nten están linedos. Se n medido los ángulos que form l orizontl on d uno de los les y son 40 y 50. Siendo que l distni entre los pies de los les es de 60 m, lul l ltur de l nten. 30º 00 60º Resolviendo el sistem: tg 60 = / tg 30 = /(00 + ) se otiene: = 50 m = 86,6 m 70. Un ro emite un señl de soorro que se reie en dos estiones de rdio y. Se onoen los ángulos = 68, = 55 y l distni entre ls estiones de rdio, que es de 3 km. lul l distni que y desde el ro d un de ls estiones de rdio. 40º 50º 60 Resolviendo el sistem: tg 40 = /(60 ) tg 50 = / se otiene: = 4,8 m = 9,5 m 68º 55º 3 km Grupo Editoril ruño, S.L. 6 SOLUIONRIO
El ángulo = 80 (68 + 55 ) = 57 = 3 = 3 sen 68 = 5,47 km sen 68 sen 57 sen 57 = 3 = 3 sen 55 =,465 km sen 55 sen 57 sen 57 8 m O 50º P 0 m O' 7. En un triángulo uno de los ldos es el dole de otro y el ángulo opuesto este ldo menor mide 30.lul uánto mide d uno de los otros ángulos. OPO = 80 50 = 30º plindo el teorem del oseno en el triángulo OPO OO = 8 + 0 8 0 os 30 = 6,34 m 30 = sen 30 sen sen = sen 30 = = 90 = 60 74. Sore un de ls orills prlels de un río se n tomdo dos puntos, y, 60 m de distni entre sí. Desde estos puntos se mirdo un ojeto,, sore l otr orill.ls visules desde los puntos y formn on l líne unos ángulos de 50 y 80, respetivmente. lul l nur del río. 50º 80º 60 m 7. Ls digonles de un romoide miden 5 m y m y formn un ángulo de 60. lul uánto miden los ldos. 6 m 6 m 60 7,5 m 7,5 m plindo el teorem del oseno en el triángulo O = 7,5 + 6 7,5 6 os 60 = 6,87 m plindo el teorem del oseno en el triángulo OD D = 7,5 + 6 7,5 6 os 0 =,7 m O D Resolviendo el sistem: tg 80 = tg 50 = 60 se otiene: = 0,4 m = 59,09 m 50º 60 80º Grupo Editoril ruño, S.L. 73. Dos irunferenis, uyos rdios son de 8 m y 0 m, se ortn. El ángulo que formn ls tngentes respetivs en el punto de interseión mide 50. Hll l distni entre los dos entros de ls irunferenis. 75. Se dese llr desde el punto l distni un torre y su ltur. Por imposiilidd de medir l se sore el plno vertil que ps por y D se n tomdo ls siguientes medids.l longitud = 5 m en el plno orizontl.el ángulo de elevión desde st D es de 38 ; y en el triángulo, el ángulo = 46 y el ángulo = 54. Hll l distni y l ltur D. TEM 4. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS 63
Ejeriios y prolems D En el triángulo : = 80 (46 + 54 ) = 80 5 5 sen 46 = = =,4 m sen 46 sen 54 sen 54 46º 54º D tg 38 = D =,4 tg 38 = 86,83 m,4 5 m 38º Grupo Editoril ruño, S.L. 64 SOLUIONRIO
Linu/Windows GeoGer Windows ri Pso pso 76. Medir l ltur de un montñ En l llnur, desde un punto ulquier, se mide el ángulo de elevión y se otiene 43 ; trs errse l montñ 00 m, se vuelve medir el ángulo de elevión y se otiene 5. Hll l ltur de l montñ. Resuelto en el liro del lumndo. Geometrí dinámi: intertividd ) Utiliz el mismo diujo pr lulr l nur de un río sore el que se medido el ángulo de elevión desde un orill l prte más lt de un árol que está en l otr orill, que resultdo ser de 47. lejándose 3 m del río y volviendo medir el ángulo de elevión, se otiene 39 ) ierr el doumento. Resuelto en el liro del lumndo. Geometrí dinámi: intertividd ) rrstr uno ulquier de los vérties pr modifir el triángulo. Qué le sigue suediendo l oiente que se otiene l dividir d ldo por el seno del ángulo opuesto y el vlor del diámetro? ) undo un ángulo es reto, qué prtiulridd tiene el ldo opuesto? ) ierr el doumento. ) El oiente es igul l diámetro. ) Es el diámetro de l irunfereni irunsrit. 78. so Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 6, m, = 7,4 m y = 48 uánts soluiones tiene? Resuelto en el liro del lumndo. L nur del río es: 9,5 m Geometrí dinámi: intertividd Edit los vlores de los ldos y del ángulo, pon = 7,5 m, = 6,4 m y = 53. uánts soluiones y? 77. Teorem de los senos Grupo Editoril ruño, S.L. Hy un úni soluión. TEM 4. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS 65
Linu/Windows GeoGer Prti 80. Teorem del oseno Diuj un triángulo en el que se onoen: = 6,8 m, = 5,3 m y = 57 lul el ldo Resuelto en el liro del lumndo. Geometrí dinámi: intertividd Edit los vlores del ldo y de los ángulos siguientes: = 9,5 m, = 47 y = 93. uánts soluiones y? Resuelto en el liro del lumndo. Geometrí dinámi: intertividd Edit los vlores de los ldos y del ángulo siguientes: = 0 m, = 5,4 m y = 75. Siguen siendo igules los vlores que se otienen del ldo? Solo y un soluión. 8. so 3 Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 5,6 m, = 4,7 m y = 69 uánts soluiones tiene? Los vlores del ldo min. 8. so Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 6,4 m, = 55 y = 8 uánts soluiones tiene? Resuelto en el liro del lumndo. Geometrí dinámi: intertividd Edit los vlores de los ldos y del ángulo siguientes: = 9, m, = 6,7 m y = 75. uánts soluiones y? Grupo Editoril ruño, S.L. 66 SOLUIONRIO
Windows ri 84. álulo de distnis entre dos puntos no esiles Hll l distni que y entre dos ntens y D de telefoní móvil que están en l otr prte del río, siendo que se medido l distni que y entre y y se otenido 700 m, y que on el teodolito se otenido que D = 0, D = 45, = 35 y D = 40 Solo y un soluión. 83. so 4 Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 7,3 m, = 6, m y = 5,4 m uánts soluiones tiene? Resuelto en el liro del lumndo. Resuelto en el liro del lumndo. Geometrí dinámi: intertividd ) Edit los vlores de los ldos siguientes: =,5 m, = 0,5 m y = 8, m. uánts soluiones y? ) Edit los vlores de los ldos siguientes: = 5,3 m, = 9,5 m y = 4, m. uánts soluiones y? Geometrí dinámi: intertividd Utilizndo el prolem nterior, ll l distni que y entre dos ros y D, siendo que se medido l distni entre y y se otenido 450 m, y que on el teodolito se otenido que D = 48, D = 57, = 4 y D = 53 ) Grupo Editoril ruño, S.L. ) No y soluión. D = 75 m TEM 4. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS 67