MÓDULO : FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN Ídce Coceptos báscos de la versó 2 Cocepto de Captal Facero 3 Comparacó de captales faceros 3 Ley facera Captalzacó 8 Captalzacó smple 4 Captalzacó compuesta Descueto 22 Itroduccó 23 Descueto comercal smple 24 Descueto racoal smple 26 Descueto racoal compuesto Tpos de terés y retabldad 32 Tpos de terés 34 Retabldad Retas Faceras 46 Defcoes 47 Clasfcacoes 48 Retas Faceras Costates 50 Retas Faceras Varables fka AULA FINANCIERA
MÓDULO : FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN Capítulo. Coceptos báscos de la versó. Feómeo facero. Cocepto de Captal Facero.2 Comparacó de captales faceros.3 Ley facera.3. Operacó facera fka AULA FINANCIERA
. Feómeo facero. Cocepto de Captal Facero Capítulo : Coceptos báscos de la versó Cuado se dspoe de ua catdad de dero (captal) se puede destar, o be a gastarlo (satsfacedo algua ecesdad), o be a vertrlo para recuperarlo e u futuro más o meos próxmo, segú se acuerde. De la msma maera que estamos dspuestos a gastarlo para satsfacer ua ecesdad, estaremos dspuestos a vertr sempre y cuado la compesacó ecoómca os resulte sufcete. E este setdo el prcpo básco de la prefereca de lqudez establece que a gualdad de catdad los bees más cercaos e el tempo so preferdos a los dspobles e mometos más lejaos. La razó es el sacrfco del cosumo. Este apreco de la lqudez es subjetvo pero el mercado de dero le asga u valor objetvo fjado u preco por la facacó que se llama terés. El terés se puede defr como la compesacó por la reuca temporal del dero o coste de oportudad de o dspoer del dero durate u tempo. Esta compesacó ecoómca se exge, etre otras, por tres razoes báscas: Por el resgo que se asume. Por la falta de dspobldad que supoe desprederse del captal durate u tempo. Por la deprecacó del valor del dero e el tempo. La cuatfcacó de esa compesacó ecoómca, de los tereses, depede de tres varables, a saber: La cuatía del captal vertdo. El tempo que dura la operacó. El tato de terés al que se acuerda la operacó. Cuado se habla de captal facero (C; t) os refermos a ua cuatía (C) de udades moetaras asocada a u mometo determado de tempo (t). 2 fka AULA FINANCIERA
.2 Comparacó de captales faceros Capítulo : Coceptos báscos de la versó E ua operacó facera o tee setdo hablar de captales guales (aquellos e los que cocde cuatías y vecmetos), so que sempre estaremos refrédoos a captales equvaletes. Hay equvaleca etre dos captales cuado a su propetaro le resulta dferete ua stuacó u otra. Es decr, s resulta dferete cobrar hoy.000 euros a cobrar.050 euros detro de u año, etoces dremos que ambos captales (.000; 0) y (.050; ) so equvaletes. De ua maera más geeral, dos captales cualesquera, C co vecmeto e t y C 2 co vecmeto e t 2, so equvaletes cuado se está de acuerdo e tercambar uo por otro. El cocepto de equvaleca o sgfca que o haya gaaca o coste e la operacó. Todo lo cotraro, la equvaleca permte cuatfcar ese beefco o pérdda que estamos dspuestos a asumr e ua operacó cocreta..3 Ley facera Capítulo : Coceptos báscos de la versó Para que ua operacó facera se realce es ecesaro que a los tervetes las cuatías que da y recbe les resulte equvaletes. Es ecesaro que deudor y acreedor se poga de acuerdo e cuatfcar los captales de los que se parte y a los que falmete se llega. Esto mplca elegr u método matemátco que permta dcha susttucó: ua ley facera. La ley facera se defe como u modelo matemátco (ua fórmula) para cuatfcar los tereses por el aplazameto y/o atcpacó de u captal e el tempo. Coocedo las dferetes leyes faceras que exste y cómo fucoa se podrá susttur uos captales por otros, pudédose formalzar las dferetes operacoes faceras..3. OPERACIÓN FINANCIERA CONCEPTO: Se etede por operacó facera la susttucó de uo o más captales por otro u otros equvaletes e dsttos mometos de tempo, medate la aplcacó de ua ley facera. E deftva, cualquer operacó facera se reduce a u cojuto de flujos de caja (cobros y pagos) de sgo opuesto y dsttas cuatías que se sucede e el tempo. Así, por ejemplo, la cocesó de u préstamo por parte de ua etdad bacara a u clete supoe para este últmo u cobro cal (el mporte del préstamo) y uos pagos peródcos (las cuotas) durate el tempo que dure la operacó. Por parte del baco, la operacó mplca u pago cal úco y uos cobros peródcos. fka AULA FINANCIERA 3
La realzacó de ua operacó facera mplca, por tato, que se cumpla tres putos:. Susttucó de captales. Ha de exstr u tercambo de u(os) captal(es) por otro(s). 2. Equvaleca. Los captales ha de ser equvaletes, es decr, debe resultar de la aplcacó de ua ley facera. 3. Aplcacó de ua ley facera. Debe exstr acuerdo sobre la forma de determar el mporte de todos y cada uo de los captales que compoga la operacó, resultado de la cosderacó de los tereses geerados. ELEMENTOS - Persoales E ua operacó facera básca tervee u sujeto (acreedor) que poe a dsposcó de otra (deudor) uo o más captales y que posterormete recuperará, cremetados e el mporte de los tereses. La accó de etregar por parte del acreedor y de recbr por parte del deudor se cosderará la prestacó de la operacó facera. La operacó coclurá cuado el deudor terme de etregar al acreedor el captal (más los tereses); a esta actuacó por ambas partes se le deoma la cotraprestacó de la operacó facera. E toda operacó facera las catdades etregadas y recbdas por cada ua de las partes o cocde. El aplazameto (o adelatameto) de u captal e el tempo supoe la produccó de tereses que formará parte de la operacó y que habrá que cosderar y cuatfcar. Por tato, prestacó y cotraprestacó uca so artmétcamete guales. No obstate, habrá ua ley facera que haga que resulte faceramete equvaletes, es decr, que s valorásemos prestacó y cotraprestacó e el msmo mometo, co la msma ley y co el msmo tato, etoces sí se producría la gualdad umérca etre ambas. Tato la prestacó como la cotraprestacó puede estar formadas por más de u captal que cluso se puede solapar e el tempo. - Temporales Al mometo de tempo dode comeza la prestacó de la operacó facera se le deoma orge de la operacó facera. Dode cocluye la cotraprestacó de la operacó facera se le llama fal de la operacó facera. Al tervalo de tempo que trascurre etre ambas fechas se le deoma duracó de la operacó facera, durate el cual se geera los tereses. - Objetvos La realzacó de la operacó facera exge u acuerdo sobre aspectos tales como: la cuatía del captal de partda, la ley facera que se va a emplear y, falmete, el tato de terés (coste/gaaca) utaro acordado. 4 fka AULA FINANCIERA
CLASIFICACIÓN Segú la duracó: A corto plazo: la duracó de la operacó o supera el año. A largo plazo: aquéllas co ua duracó superor al año. Segú la ley facera que opera: Segú la geeracó de tereses: ) E régme de smple: los tereses geerados e el pasado o se acumula y, por tato, o geera, a su vez, tereses e el futuro. 2) E régme de compuesta: los tereses geerados e el pasado sí se acumula al captal de partda y geera, a su vez, tereses e el futuro. Segú el setdo e el que se aplca la ley facera: ) De captalzacó: susttuye u captal presete por otro captal futuro. 2) De actualzacó o descueto: susttuye u captal futuro por otro captal presete. Segú el úmero de captales de que costa: Smples: costa de u solo captal e la prestacó y e la cotraprestacó. Complejas (o compuestas): cuado costa de más de u captal e la prestacó y/o e la cotraprestacó. Segú el terés: A terés explícto: cuado e la operacó facera se produce los tereses al aplcar el tpo de terés. Por ejemplo, u boo a 5 años co pago aual de tereses. A terés mplícto: cuado los redmetos se calcula sobre el valor omal y se descueta de dcho valor omal. Por ejemplo, ua Letra del Tesoro a 2 meses. fka AULA FINANCIERA 5
MÓDULO : FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN Capítulo 2. Captalzacó 2. Captalzacó smple 2.. Defcó y fórmula geeral 2..2 Magtudes dervadas 2..3 Tatos equvaletes e captalzacó smple 2..4 Números comercales: cocepto y cálculo 2..5 Iterés smple atcpado 2.2 Captalzacó compuesta 2.2. Defcó y fórmula geeral 2.2.2 Magtudes dervadas 2.2.3 Tatos equvaletes e captalzacó compuesta fka AULA FINANCIERA 7
2. Captalzacó smple Capítulo 2: Captalzacó 2.. DEFINICIÓN Y FÓRMULA GENERAL Las operacoes e régme de captalzacó smple se caracterza porque los tereses, a medda que se va geerado, o se acumula y o geera tereses e períodos sguetes (o so productvos). De esta forma los tereses que se produce e cada período se calcula sempre sobre el msmo captal el cal, al tpo de terés vgete e cada período. Este régme facero es propo de operacoes a corto plazo (meos de u año), salvo que las codcoes de la operacó dque lo cotraro. CONCEPTO: Operacó facera cuyo objeto es la susttucó de u captal presete por otro equvalete co vecmeto posteror, medate la aplcacó de la ley facera e régme de smple. DESCRIPCIÓN DE LA OPERACIÓN: Partedo de u captal (C 0 ) del que se dspoe calmete captal cal, se trata de determar la cuatía fal (C ) que se recuperará e el futuro sabedo las codcoes e las que la operacó se cotrata (tempo y tpo de terés ). CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN: Los tereses o so productvos, lo que sgfca que: A medda que se geera o se acumula al captal cal para producr uevos tereses e el futuro y, por tato Los tereses de cualquer período sempre los geera el captal cal (C 0 ), al tato de terés vgete e dcho período. Así pues, la fórmula geeral del valor de los tereses e captalzacó smple, e el caso de que el tpo de terés sea costate, es: I = C0 dode: = Tpo de terés omal expresado e tato por uo y referdo a u año. = Duracó de la operacó, expresada e años. 8 fka AULA FINANCIERA
DESARROLLO DE LA OPERACIÓN: El captal al fal de cada período es el resultado de añadr al captal exstete al co del msmo los tereses geerados durate dcho período. De esta forma, la evolucó del motate cosegudo es el sguete: C = C o + I susttuyedo los tereses por la expresó = C C = C o + (C o ) I 0 Por tato: = C ( + ) C 0 Sedo el factor de captalzacó = ( + ) Expresó aplcable cuado el tpo de terés de la operacó se matee costate todos los períodos. A partr de la expresó ateror (deomada fórmula fudametal de la captalzacó smple) o solamete se puede calcular motates so que, coocdos tres datos cualesquera, se podría despejar el cuarto restate. Falmete, hay que teer e cueta que lo que dca es el úmero de veces que se ha geerado (y acumulado) tereses al captal cal, por tato, esa varable sempre ha de estar e la msma udad de tempo que el tpo de terés (o mportado cuál sea). CASO TIPO DE INTERÉS VARIABLE: S el tpo de terés es varable la expresó para obteer el captal fal o motate sería: C = C 0 ( + + 2 + 3 +... + ) = C 0 ( + j= j ) fka AULA FINANCIERA 9
EJEMPLO RESUELTO Cálculo del motate e C.S. = cte Calcular el motate obtedo al vertr 2.000 euros al 8% aual durate 4 años e régme de captalzacó smple. C o = 2.000 C 4 =? 0 4 años = 8% = 0,08 Para calcular el motate utlzamos la expresó: = C ( + ) C 4 = 2.000 ( + 0,08 x 4 ) = 2.640 C 0 EJEMPLO RESUELTO Cálculo del motate e C.S. = vble Se quere coocer qué captal podremos retrar detro de 3 años s hoy colocamos.000 euros al 5% de terés aual smple para el prmer año y cada año os sube el tpo de terés smple u puto porcetual. E este caso al ser el tpo de terés varable, para calcular el captal fal, aplcaremos la expresó: C = C 0 ( + + 2 + 3 +... + ) = C 0 ( + j= C 3 = C 0 ( + + 2 + 3 ) = 000 ( + 0,05 + 0,06 + 0,07 ) = 80 j ) 0 fka AULA FINANCIERA
2..2 MAGNITUDES DERIVADAS CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL: Partedo de la fórmula del captal fal o motate y coocdos éste, la duracó de la operacó y el tato de terés (cte), bastará co despejar de la msma: despejado C 0 resulta: C = C o ( + ) C 0 C = + EJEMPLO RESUELTO Cálculo del captal cal e C.S. = cte Cuáto deberé vertr hoy s quero dspoer detro de 2 años de.500 euros para comprarme u coche, s me asegura u 6% de terés aual smple para ese plazo? C o =? C = 500 0 2 años = 6% = 0,06 C 0 = C0 ( + ).500 = C ( + C 0.500 = =.339,29 ( + 2 0,06) 2 0,06) CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES: Bastará co calcular los tereses de cada período, que sempre los geera el captal cal y sumarlos. Itereses totales = I + I 2 + + I = C 0 + C 0 2 + + C 0 Luego: Itereses totales = C S = 2 = = = = cte 0 ( + 2 +... + ) = C0 j j= Itereses totales = I + I2 + + I = C0 + C0 + + C0 = C0 Por últmo, s coocemos los captales cal y fal: I = C - C0 fka AULA FINANCIERA
EJEMPLO RESUELTO Cálculo de los tereses e C.S. = cte Qué tereses producrá 300 euros vertdos 4 años al 7% smple aual? Por suma de los tereses de cada período: Itereses totales = I + I 2 + I 3 + I 4 = C 0 + C 0 + C 0 + C 0 = C 0 x x 4 = = 300 x 0,07 x 4 = 84 També se puede obteer por dferecas etre el captal fal y el cal: C 4 = 300 x ( + 0,07 x 4) = 384 I = 384 300 = 84 EJEMPLO RESUELTO Cálculo de los tereses e C.S. = cte Qué terés producrá 6.000 euros vertdos 8 meses al % smple mesual? I = C 0 = 6.000 x 0,0 x 8 = 480 CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS: S se cooce el resto de elemetos de la operacó: captal cal, captal fal y duracó, basta co teer e cueta la fórmula geeral de la captalzacó smple y despejar la varable descoocda. C = C 0 ( + ) C C 0 C = + - = C 0 = C C 0 - EJEMPLO RESUELTO Cálculo del tpo de terés e C.S. = cte Determar el tato de terés aual a que debe vertrse.000 euros para que e 5 años se obtega u motate de.500 euros. DATOS: C o = 000 C = 500 = 5 años.500 Calculamos : C = C0 (+ ).500 =.000 ( + 5 ) = + 5.000.500 = 5 = 0, 0 = 0%.000 CÁLCULO DE LA DURACIÓN: Por últmo, coocedo C 0, C y el tpo de terés, podemos calcular la duracó medate la expresó: C - C0 C - C0 I = = = C C 0 0 2 fka AULA FINANCIERA
2..3 TANTOS EQUIVALENTES EN CAPITALIZACIÓN SIMPLE Dos tatos cualesquera, expresados e dsttas udades de tempo, so tatos equvaletes cuado aplcados a u msmo captal cal y durate u msmo período de tempo produce el msmo terés o geera el msmo captal fal o motate. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA etre el tpo de terés aual ( ) y el tpo de terés efectvo fraccoado ( k ): El motate obtedo utlzado : C = C 0 ( + ) y utlzado k : C = C 0 ( + k k ) dode k es la frecueca de captalzacó, que dca el úmero de partes guales e las que se dvde el período de refereca que se tome (habtualmete el año). Igualamos C 0 ( + ) = C 0 ( + k k ) Y smplfcado obteemos la relacó de equvaleca: = k k Por tato, los tatos de terés equvaletes e smple so proporcoales. 2..4 NÚMEROS COMERCIALES: CONCEPTO Y CÁLCULO E el caso de ua cueta correte bacara es frecuete que, debdo a los movmetos de dero, el captal (saldo) sea varable. Cuado se da esta crcustaca, para calcular los tereses usamos los úmeros comercales, sedo estos el producto del captal (saldo) por la duracó de su perodo: N = C De esta forma los tereses de ua cueta correte, co saldos C, podemos calcularlos de la sguete maera: I = C + C2 2 +... + C = (C + C2 2 +... + C Luego: I = (N + N +... N ) 2 + ) 2..5 INTERÉS SIMPLE ANTICIPADO El tpo terés smple es atcpado (prepagable), y lo deotaremos *, cuado los tereses so prepagables, es decr, al prcpo del perodo. La relacó etre el tpo de terés smple atcpado ( * ) y el tpo de terés al vecmeto ( ) para operacoes a u año es la sguete: * ( ) ( + ) =, de dode * = +, o be, = * - * Para u plazo dstto al año se obtee: * =, o be, + * = - * fka AULA FINANCIERA 3
2.2 Captalzacó compuesta Capítulo 2: Captalzacó 2.2. DEFINICIÓN Y FÓRMULA GENERAL Las operacoes e régme de compuesta se caracterza porque los tereses, a dfereca de lo que ocurre e régme de smple, a medda que se va geerado pasa a formar parte del captal de partda, se va acumulado, y produce a su vez tereses e períodos sguetes (so productvos). E deftva, lo que tee lugar es ua captalzacó peródca de los tereses. De esta forma los tereses geerados e cada período se calcula sobre captales dsttos (cada vez mayores ya que corpora los tereses de períodos aterores). CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN: Los tereses so productvos, lo que sgfca que: A medda que se geera se acumula al captal cal para producr uevos tereses e los períodos sguetes. Los tereses de cualquer período sempre los geera el captal exstete al co de dcho período. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN: El captal al fal de cada período es el resultado de añadr al captal exstete al co del msmo los tereses geerados durate dcho período. De esta forma, la evolucó del motate cosegudo e cada mometo es el sguete: Mometo 0: C 0 Mometo : C = C 0 + I = C 0 + C 0 = C 0 ( + ) Mometo 2: C 2 = C + I 2 = C + C = C ( + ) = C 0 ( + ) ( + ) = C 0 ( + ) 2 Mometo 3: C 3 = C 2 + I 3 = C 2 + C 2 = C 2 ( + ) = C 0 ( + ) 2 ( + ) = C 0 ( + ) 3 Geeralzado: = C0 ( ) sedo (+ ) el factor de captalzacó C + Al gual que e captalzacó smple, la duracó () sempre ha de estar e la msma udad de tempo que el tpo de terés (). Esta expresó: - Permte calcular el captal fal o motate (C ) e régme de compuesta, coocdos el captal cal (C 0 ), el tpo de terés () y la duracó () de la operacó. - Es aplcable cuado el tpo de terés de la operacó es costate. E caso cotraro habrá que trabajar co el tpo vgete e cada período. 4 fka AULA FINANCIERA
CASO TIPO DE INTERÉS VARIABLE: S el tpo de terés es varable la expresó para obteer el captal fal o motate sería: C = C0 ( + ) (+ 2 ) (+ 3 )...(+ ) = C0 ( + j ) j= EJEMPLO RESUELTO Cálculo del motate e C.C. = cte Calcular el motate obtedo al vertr 200 euros al 5% aual durate 0 años e régme de captalzacó compuesta. C o = 200 C 0 =? 0 0 años = 5% = 0,05 C 0 = 200 ( + 0,05 ) 0 = 325,78 S se hubese calculado e smple: C 0 = 200 ( + 0,05 0) = 300 La dfereca etre los dos motates (25,78 ) so los tereses producdos por los tereses geerados y acumulados hasta el fal. EJEMPLO RESUELTO Cálculo del motate e C.C. = vble Se quere coocer qué captal podremos retrar detro de 3 años s hoy colocamos.000 euros al 5% de terés aual compuesto para el prmer año y cada año os sube el tpo de terés compuesto medo puto porcetual. E este caso al ser el tpo de terés varable, para calcular el captal fal, aplcaremos la expresó: C = C0 ( + ) (+ 2 ) (+ 3 )...(+ ) = C0 (+ j ) j= C 3 3 = C0 (+ ) (+ 2 ) (+ ) = 000 (+ 0,05) (+ 0,055) (+ 0,06) =.74,2 fka AULA FINANCIERA 5
2.2.2 MAGNITUDES DERIVADAS CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL: Partedo de la fórmula de cálculo del captal fal o motate y coocdos éste, la duracó de la operacó y el tato de terés, bastará co despejar de la msma: C = C 0 ( + ) de dode se despeja C 0 : C 0 = C (+ ) EJEMPLO RESUELTO Cálculo del captal cal e C.C. = cte Cuáto deberé vertr hoy s quero dspoer detro de 2 años de.500 euros para comprarme u coche, s me asegura u 6% de terés aual compuesto para ese plazo? C o =? C = 500 0 2 años = 6% = 0,06 = C0 ( ) C + 2 = C0 ( 0,06) C0 2.500 +.500 = =.334,99 ( + 0,06) CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES: Coocdos los captales cal y fal, se obtedrá por dfereca etre ambos: I = C - C 0 E el caso de = cte: [ I = C (+ ) - C = C ( ) -) ] 0 0 0 + I = C0 ( + j ) - C0 = C0 ( + j ) - E el cas de = vble [ ] j= j= EJEMPLO RESUELTO Cálculo de los tereses e C.C. = cte Qué tereses producrá 300 euros vertdos 4 años al 7% compuesto aual? Calculamos prmero el motate C 4 = 300 ( + 0,07) 4 = 393,24 Luego, los tereses geerados será I = 393,24 300 = 93,24 6 fka AULA FINANCIERA
CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS: S se cooce el resto de elemetos de la operacó: captal cal, captal fal y duracó, basta co teer e cueta la fórmula geeral de la captalzacó compuesta y despejar la varable descoocda. C = C 0 ( + ) C C 0 = (+ ) = (+ ) C 0 C C = C 0 - EJEMPLO RESUELTO Cálculo del tpo de terés e C.C. = cte Determar el tato de terés aual a que debe vertrse.000 euros para que e 2 años se obtega u motate de.60,03 euros. DATOS: C o = 000 C = 60,03 = 2 años Calculamos : = C0 ( ) C +,60032.60,03 =.000 (+ ) 2.60,03.000 = (+ ) =,60032 = 0, 04 = 4% = (+ ) 2 CÁLCULO DE LA DURACIÓN: Por últmo, coocedo C 0, C y el tpo de terés, podemos calcular la duracó: C = C 0 ( + ) C C l 0 = (+ ) l ( ) = l(+ ) C ( ) = l (+ ) C 0 C C 0 C ( ) l C = l( + ) 0 EJEMPLO RESUELTO Cálculo de la duracó e C.C. = cte U captal de 2.000 euros colocado a terés compuesto al 4% aual ascede a 3.202 euros. Determar el tempo que estuvo mpuesto. DATOS: C o = 2000 C = 3202 = 4% 3.202 = 2.000 ( + 0,04) 3.202 (+ 0,04) 2.000 3.202 = l ( ) = l(,04) (,60) l (,04) 2.000 l = = 2 años fka AULA FINANCIERA 7
2.2.3 TANTOS EQUIVALENTES EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA La defcó de tatos equvaletes es la msma que la vsta e régme de smple, esto es, dos tatos cualesquera, expresados e dsttas udades de tempo, so tatos equvaletes cuado aplcados a u msmo captal cal y durate u msmo período de tempo produce el msmo terés o geera el msmo captal fal o motate. E captalzacó smple se comprobó que los tatos de terés equvaletes so proporcoales, es decr, cumple la sguete expresó: = k k S embargo, esta relacó de proporcoaldad o va a ser válda e régme de compuesta, ya que al rse acumulado los tereses geerados al captal de partda, el cálculo de tereses se hace sobre ua base cada vez más grade; por tato, cuato mayor sea la frecueca de captalzacó ates se acumulará los tereses y ates geerará uevos tereses, por lo que exstrá dferecas e fucó de la frecueca de acumulacó de los msmos al captal para u tato de terés dado. Este carácter acumulatvo de los tereses se ha de compesar co ua aplcacó de u tpo más pequeño que el proporcoal e fucó de la frecueca de cómputo de tereses. Todo esto se puede aprecar e el sguete ejemplo, cosstete e determar el motate resultate de vertr.000 euros durate año e las sguetes codcoes: a) Iterés aual del 2% C =.000 x ( + 0,2) =.20,00 b) Iterés semestral del 6% C =.000 x ( + 0,06) 2 =.23,60 c) Iterés trmestral del 3% C =.000 x ( + 0,03) 4 =.25,5 Los resultados o so los msmos, debdo a que la captalzacó de los tereses se está realzado co dferetes frecuecas mateedo la proporcoaldad e los dferetes tpos aplcados. Para cosegur que, cualquera que sea la frecueca de captalzacó, el motate fal sga sedo el msmo es ecesaro cambar la ley de equvaleca de los tatos. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA etre el tpo de terés aual ( ) y el tpo de terés efectvo fraccoado ( k ): El motate obtedo utlzado : y utlzado k : C = C 0 ( + ) C = C 0 ( + k ) k dode k es la frecueca de captalzacó, que dca el úmero de partes guales e las que se dvde el período de refereca que se tome (habtualmete el año). Igualamos C 0 ( + ) = C 0 ( + k ) k 8 fka AULA FINANCIERA
Smplfcamos: ( + ) = ( + k ) k ( + ) = ( + k ) k k Despejado: (+ k ) / k =, o be, = ( ) k + TANTO NOMINAL: El tato omal j k es u tpo de terés aual proporcoal al tpo de terés efectvo fraccoado k e captalzacó compuesta. Cuado os de el valor del tato omal j k, calcularemos el efectvo fraccoado de la sguete forma: k = jk k EJEMPLO RESUELTO Tatos equvaletes e C.C. = cte U captal de 2.000 euros se verte durate 0 años al 4% aual omal devegado los tereses mesualmete. Determar: a) el tpo de terés efectvo mesual b) el tpo de terés efectvo aual. c) el motate al cabo de los 0 años. DATOS: C o = 2000 = 0 años j 2 = 4% j2 0,04 a) 2 = = = 0,00333 = 0,33% 2 2 2 0,04 2 b) = (+ 2 ) = ( + ) = 0,04074 = 4,074% 2 K 0,04 20 c) C 0 = C0 (+ ) = C0 (+ k ) = 2000 ( + ) = 298,66 2 EJEMPLO RESUELTO Tatos equvaletes e C.C. = cte Ua etdad ofrece u depósto a 2 años co pago de tereses al fal de la operacó. S el efectvo aual que auca es u 5% cuál será el omal aual? Se pde calcular j / 2 ya que la frecueca de captalzacó K=/2 ( año es la mtad del perodo de captalzacó). / 2 / / = Calculamos e prmer lugar = ( + ) 2 = ( + 0,05) 2 0, 025 Ahora calculamos el omal j/ 2 = / 2 = 0, 0525 = 5,25% 2 fka AULA FINANCIERA 9
MÓDULO : FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN Capítulo 3. Descueto 3. Itroduccó 3.2 Descueto comercal smple 3.3 Descueto racoal smple 3.3. Tpo de terés e las letras del tesoro 3.4 Descueto racoal compuesto 3.4. Defcó y fórmula geeral 3.4.2 Actualzacó peródca de los tereses fka AULA FINANCIERA 2
3. Itroduccó Capítulo 3: Descueto El descueto bacaro es ua operacó de actvo para las etdades faceras y uo de los servcos bacaros de facacó a corto plazo más utlzados por las empresas. La operacó cosste e que la etdad facera adelata el mporte de u título de crédto o vecdo (letra de cambo, pagaré, factura, recbo ), descotado los tereses que correspode por el tempo que meda etre la fecha del atcpo y la fecha de vecmeto del crédto, las comsoes y demás gastos. Las fguras que aparece e la operacó so: lbrador es la persoa que emte el documeto, teedor o tomador es la persoa legtmada para cobrarlo y lbrado es la persoa oblgada al pago. E térmos faceros, la etdad atcpa al clete, el valor actual descotado de u efecto comercal, y a vecmeto, el baco obtedrá el omal. Se deoma geércamete efecto comercal a todo tpo de documeto que evdece que exste u crédto a favor de la persoa que lo posee, como cosecueca de la práctca habtual de la empresa, cotra otra que ha cotraído dcha oblgacó o deuda. Por tato, las operacoes de descueto o de descaptalzacó so operacoes faceras e las que se camba u captal futuro por u captal presete, es decr, se atcpa u captal (C,t ) hasta (Co,t 0 ). Al captal que fgura e el documeto (letra, factura, pagaré ) o captal futuro se le deoma valor omal (C ). El captal e el mometo presete, se le llama valor actual, valor efectvo o valor descotado (C 0 ). La dfereca etre el valor omal y el valor descotado es el descueto. D = C C 0 El descueto depede, además de la cuatía del valor omal, del tpo de terés omal aplcado y del tempo. Para el cálculo del descueto comercal e días se suele cosderar el año comercal de 360 días. S embargo, para operacoes de pasvo las etdades faceras utlza el año atural de 365 días. Vamos a estudar tres sstemas faceros de descueto:. Descueto comercal smple. 2. Descueto racoal smple. 3. Descueto racoal compuesto o actualzacó compuesta. 22 fka AULA FINANCIERA
3.2 Descueto comercal smple Capítulo 3: Descueto El descueto comercal smple es el más utlzado e la práctca bacara y se lleva a cabo para perodos ferores a u año. Fórmula geeral del valor descotado: C0 = C (- ) sedo (- ) el factor de actualzacó. Fórmula geeral del descueto: D = C C0 = C C (- ) = C Dode: = tpo de terés de descueto omal = tato de descueto omal = d C = valor omal C 0 = valor descotado = perodo de descueto EJEMPLO RESUELTO Descueto comercal smple Ua etdad facera descueta ua letra de cambo de 800 euros de omal 80 días ates de su vecmeto. Sabedo que el tpo de descueto omal aplcado es del 9% aual, se pde: a) Valor del descueto realzado. b) Valor descotado o efectvo que aboa la etdad. DATOS: C = 800 = 80 días d== 9% 80 a) D = C = 800 0,09 = 6 360 b) C 0 = C D = 800 6 = 784 EJEMPLO RESUELTO Descueto comercal smple Ua etdad facera descueta ua letra de cambo de 5000 euros de omal 00 días ates de su vecmeto. Sabedo que valor descotado o efectvo que aboa la etdad es 4785, calcular el tpo de terés omal utlzado. DATOS: C = 5000 = 00 días C 0 = 4785 D = C = D C = 5000 4785 5000 00 / 360 = 0,548 = 5,48% EJEMPLO RESUELTO Descueto comercal smple Ua etdad facera descueta ua letra de cambo de 500 euros de omal 90 días ates de su vecmeto. Sabedo que el tato de descueto es del 8% aual, que la comsó del 0,5% y que los mpuestos ascede a 30 euros, calcular el valor efectvo de la letra. E 0,5 360 00 90 =.500 ( 0,08).500 30 =.432,5 fka AULA FINANCIERA 23
3.3 Descueto racoal smple Capítulo 3: Descueto Fórmula geeral del valor descotado: Partmos de la captalzacó smple: C = C o ( + ) y despejamos el valor de C 0, que sería el valor descotado: sedo el factor de actualzacó. ( + ) C 0 C = ( + ) Fórmula geeral del descueto: D = C C 0 = C C C = (+ ) (+ ) 3.3. TIPO DE INTERÉS EN LAS LETRAS DEL TESORO Las Letras del Tesoro so títulos de Deuda Públca emtdos por el Estado para su facacó. Su plazo de vecmeto suele ser feror a 8 meses, su valor omal es de.000 euros y preseta la peculardad de que se emte al descueto. Es decr, el suscrptor al comprar paga meos que el valor omal del título, metras que e el mometo del vecmeto recbe dcho valor omal. Este meor preco e el mometo de la compra es la retabldad que ofrece el título. De esta maera, el captal vertdo será el preco pagado por la letra adqurda y los tereses que se obtee será la dfereca etre ese preco de adquscó y el preco que se obtega por la letra cuado se veda o cuado se amortce (.000 euros). Para calcular la retabldad que obtee el versor hay que dstgur etre Letras co vecmeto a meos de año y a más de año: a) S se emte a plazos ferores o guales a los 2 meses: Se calcula aplcado las fórmulas del descueto racoal smple. Las emtdas a 2 meses (o 52 semaas) tee ua vda exacta de 364 días. b) S se emte a 8 meses(*): Se aplca las fórmulas del descueto racoal compuesto. (*) Actualmete el Tesoro Públco emte Letras a 3, 6, 9 y 2 meses, y o emte al plazo de 8 meses. 24 fka AULA FINANCIERA
EJEMPLO RESUELTO Descueto racoal smple Las Letras del Tesoro a 2 meses (364 días) se adjudcaro a u tpo de terés margal del 2,975%. Cuál es el preco margal de la subasta o preco mímo aceptado? DATOS: Valor omal = C =.000 d = de días = 364 = 2,975% Utlzamos la ley de descueto racoal smple: C 0 C = ( + ) C 0 =.000 P = = 970,79 euros 364 + 0,02975 360 EJEMPLO RESUELTO Descueto racoal smple El mporte que se aboó por ua Letra del Tesoro a 2 meses (364 días) fue de 980,75 euros. Calcula el tpo de terés de la subasta. DATOS: Valor omal = C =.000 d = de días = 364 P = C 0 = 980,75 Utlzamos la ley de descueto racoal smple: C 0 C = ( + ) Susttumos: 980,75 000 = y despejamos = 0,094 =,94% 364 ( + ) 360 EJEMPLO RESUELTO Descueto racoal smple U captal de 5000 euros se descueta 30 días ates de su vecmeto a u 7% aual. Calcular el descueto racoal smple y el descueto comercal smple. DATOS: Valor omal = C = 5000 d = de días = 30 = 7% 30 C 5000 0,07 360 Descueto racoal smple: D = = = (+ ) 30 (+ 0,07) 360 29 30 Descueto comercal smple: D = C = 5000 0,07 = 29,7 360 fka AULA FINANCIERA 25
3.4 Descueto racoal compuesto Capítulo 3: Descueto 3.4. DEFINICIÓN Y FÓRMULA GENERAL E esta ley facera el descueto se calcula sobre el valor del captal actualzado al co de cada perodo. Fórmula geeral del valor descotado: Partmos de la captalzacó compuesta: C = C 0 ( + ) y despejamos el valor de C 0, que sería el valor descotado: Sedo (+ ) el factor de actualzacó C 0 = C ( + ) C Fórmula geeral del descueto: D = C C0 = C = C ( ) ( + ) ( + ) EJEMPLO RESUELTO Descueto racoal compuesto Sea u captal de 5000 euros que vece detro de 0 años. Calcular el valor descotado y el descueto utlzado la ley de actualzacó compuesta, sedo el tpo de terés el 5% omal aual. DATOS: Valor omal = C = 5000 duracó = 0 años = 5% C 5000 Valor descotado: C 0 = = = 0 (+ ) ( + 0,05) 3069,57 Descueto = C C 0 = 5000 3068,57 = 930,43 3.4.2 ACTUALIZACIÓN PERIÓDICA DE LOS INTERESES EJEMPLO RESUELTO Descueto racoal compuesto Sea u captal de 5000 euros que vece detro de 3 años y medo. Calcular el valor actual de dcho captal sedo el tpo de terés u 6% omal actualzable semestralmete. DATOS: Valor omal = C = 5000 j 2 = 6% duracó = 7 semestres C 0 C = (+ j2 2 ) 7 5.000 = (+ 0,03) 7 = 4.065,45 26 fka AULA FINANCIERA
CUESTIONARIO Capítulos - 3: CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO. Cuáto vale ua Letra del Tesoro, e tato por ceto de omal, s calculamos su valor al 3% de terés y falta 45 días para su vecmeto? A) 97,20 % B) 99,63 % C) 98,30 % D) 00 % 2. S se realza u greso de 9.000 euros a plazo fjo durate 5 años al 4% omal aual. Los tereses se aboa trmestralmete y se reverte Cuál es el saldo fal de la operacó? A) 0.98,7 B).025,85 C) 0.949,87 D) 0.988,97 3. S adqurese Letras del Tesoro a año (exactamete a 360 días e base a 360) por 946, sedo su valor omal.000 qué retabldad obtedría e cada ua de las Letras a año? A) 5,400% B) 5,708% C) 5,630% D) 5,880% 4. Nos ofrece u depósto e el que se estma ua retabldad omal aual del 6% y que trmestralmete aboa los tereses al depósto. S decdmos aportar 2.000 euros, Cuál será el captal detro de 4 años? A) 5.309,86 B) 5.227,83 C) 5.49,72 D) 5.245,87 5. E ua versó facera a u año y a efectos de cosegur la mejor retabldad al falzar la operacó, Cuál de las sguetes operacoes escogería, supoedo que las codcoes de la operacó se matega durate todo el año? A) Iterés omal del 4,5% pagadero aualmete. B) Iterés omal del 4,05% pagadero bmestralmete. C) Iterés omal del 4,0% pagadero trmestralmete. D) Iterés omal del 4,07% pagadero mesualmete. 6. E las operacoes de captalzacó: A) Se adelata el cobro de u captal. B) Se retrasa la dspobldad de u dero. C) Se realza u descueto sobre el valor omal. D) Se geera tereses que se va acumulado sempre al captal cal. 7. S depostamos u captal de 5.000 Qué captal fal obtedremos, s dcha mposcó es a u plazo de 6 meses y es remuerada al 3% aual? A) 5.075 B) 5.070 C) 75 D) Ngua de las aterores. fka AULA FINANCIERA 27
8. Ua empresa descueta ua letra de 6.000,00 que vece detro de 90 días. La etdad bacara aboa por la Letra 5.855. Calcula el tpo de terés omal que aplca la etdad, supoedo que o exste gastos. A) 9,67 % B) 0 % C) 8,32 % D) Ngua de las aterores. 9. Sabedo que el tpo de terés omal resultate e ua subasta de Letras del Tesoro a 2 meses es 3,645%, calcular el valor efectvo de dcha Letra. A) 35,55 B) 964,45 C) 963,55 D) 96,445 0. Qué captal hay que colocar al 4% de terés omal aual para obteer, al cabo de cuatro años, otro de 0.000? Se supoe que el aboo de tereses es trmestral y se va acumulado al captal cal. A) 8.528,2 B).47,78 C) 8.874,49 D) 5.339,08. U depósto a plazo de 3 años permte recuperar al versor 0.500 por cada 9.000 de versó. Calcula el tpo de terés omal de dcho depósto, sabedo que los tereses se geera cada semestre y se acumula al captal. A) 8,0 % B) 5,20 % C) 0,54 % D) 5,50 % 2. E ua operacó de actualzacó a terés compuesto, el valor efectvo dsmuye a medda que se hace meor: A) La duracó de la operacó. B) El tpo de terés omal. C) La frecueca aual de actualzacó. D) Ngua es certa. 3. Calcular el tpo de terés omal aual que se está aplcado e u boo cupó cero a 0 años, co cálculo semestral de tereses, s por u omal de.000 se debe pagar 60. A) 6 % B) 4 % C) 5 % D) Ngua de las aterores. 4. El tpo de terés omal de ua mposcó a plazo de 3 años es el 4% s los tereses se acumula mesualmete al captal. Calcular el tpo de terés efectvo aual correspodete. A) 4 % B) 4,07 % C) 3,33% D) 6,0 % 28 fka AULA FINANCIERA
5. U depósto a plazo ofrece u 5% de terés aual omal co acumulacó trmestral de tereses. Por u captal cal de 8.000, a los dos años y tres meses obtedrá u captal fal de: A) 8.952,58 B) 8.928,24 C) 8.900 D) 8.946,34 6. Ua operacó de versó de 25.000 a cuatro años al 3,75% omal co captalzacó mesual obtedrá u captal fal de: A) 29.039,06 B) 28.750,00 C) 2.522,74 D) 29.045,86 7. E ua operacó e que se descueta u efecto comercal de omal 6.000 y vecmeto a los 60 días a ua tasa de descueto del 5% aual, el valor efectvo a percbr es, supoedo que se aplca la fórmula del descueto smple comercal: A) 5.700 B) 5.950 C) 5.850 D) Ngua de las aterores 8. E la msma operacó de la preguta ateror, qué valor efectvo se percbrá s el descueto es por modaldad matemátca o racoal? A) 5.700,00 B) 5.950,00 C) 5.950,4 D) Ngua de las aterores. 9. A que tpo de terés habría que vertr u captal hoy para que se duplque e 0 años: A) 6,25 % B) 5,53 % C) 7,8 % D) 8, % 20. E ua operacó facera de año, el tpo de terés a vecmeto es del 3%, cuál es el tpo de terés smple atcpado? A) 3,09 % B) 3 % C) 2,9 % D) Ngua de las aterores. 2. U clete abre ua cueta correte bacara gresado 3000. El tpo de terés aual smple es del 4%. Al cabo de 0 días gresa otros 000 más y 40 días después retra 500. S 30 días después la etdad facera lquda los tereses, cuál será su mporte? A) 800 B) 32,33 C) 6,03 D) Ngua de las aterores. fka AULA FINANCIERA 29
22. Cuál es el crtero para aplcar la ley smple o la compuesta e las operacoes de captalzacó? A) El plazo. B) La frecueca de pago de tereses. C) La reversó de tereses. D) No exste gú crtero. 23. Cual es el crtero para la aplcacó de la ley smple o la compuesta e operacoes de descueto? A) El plazo. B) La frecueca de pago de tereses. C) La reversó de tereses. D) No exste gú crtero. 30 fka AULA FINANCIERA
MÓDULO : FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN Capítulo 4. Tpos de terés y retabldad 4. Tpos de terés 4.. Tasa omal y efectva e terés compuesto 4..2 Tpos de terés spot y forward 4.2 Retabldad 4.2. Retabldad omal y real 4.2.2 Retabldad Smple 4.2.3 Tasa Aual Equvalete (TAE) 4.2.4 Tasa Itera de Retabldad (TIR) 4.2.5 Tasa de Retabldad Efectva (TRE) 4.2.6 Tasa Geométrca de Retabldad (TGR) fka AULA FINANCIERA 3
4. Tpos de terés Capítulo 4: Tpos de terés y retabldad 4.. TASA NOMINAL Y EFECTIVA EN INTERÉS COMPUESTO El tato omal j k es u tpo de terés aual proporcoal al tpo de terés efectvo fraccoado k e captalzacó compuesta. Por tato, la relacó etre el tato omal captalzable k-esmalmete j k y el tato efectvo k-esmal es: jk k = dode k es la frecueca de captalzacó. k Como vmos e el capítulo 2, el tpo efectvo aual compuesto = = ( + ) k k Luego susttuyedo: Tpo efectvo aual compuesto = ( + j k k ) k - y despejado j k e fucó de : Tato omal [ ] jk = k ( + ) k - S k > el tpo de terés efectvo aual () es mayor que el tato omal (j k ) S k =, etoces = j S k < el tpo de terés efectvo aual () es meor que el tato omal (j k ) EJEMPLO RESUELTO Tato omal y tato efectvo Calcular el tpo de terés efectvo aual correspodete a ua operacó de captalzacó al 0% omal pagadero semestralmete. DATOS: Tato omal pagadero semestralmete = j 2 = 0% SE PIDE: Tato efectvo aual = jk k Utlzamos la expresó: = ( + ) - para k = 2 k j2 2 0,0 = ( + ) - = 2 2 ( ) 2 + = 0,025 = 0,25% >0% = j 2 32 fka AULA FINANCIERA
4..2 TIPOS DE INTERÉS SPOT Y FORWARD Las operacoes al cotado se lquda a u tpo de terés al cotado o spot y las operacoes a plazo, es decr, cotratadas e ua fecha pero materalzadas e ua fecha futura, se lquda a u tpo de terés a plazo o forward. Para vecmetos superores al año se aplca el terés compuesto, y para vecmetos ferores a u año el terés smple. La curva de tpos de terés o curva de redmetos (yeld curve) es la represetacó gráfca e u eje de coordeadas, de los tpos spot observados e el mercado (eje vertcal) asocadas a los vecmetos de los actvos (eje horzotal); e u mometo dado. La Estructura Temporal de los Tpos de Iterés (ETTI) es la curva costruda co los tpos de terés correspodetes a los boos cupó cero s resgo. Esta curva os proporcoa hoy las expectatvas sobre la evolucó de tpos futuros, es decr, s la expectatva es de evolucó de tpos al alza (curva ascedete), a la baja (curva descedete) o de o varacó (curva plaa). EJEMPLO RESUELTO Tpo de terés spot Calcular el tpo spot correspodete a ua operacó facera de duracó 2 años, sedo el omal del actvo 000 euros y el valor efectvo hoy 90,55 euros. DATOS: Valor omal = C = 000 Valor efectvo = C 0 = 90,55 = 2 años El vecmeto del actvo facero es superor al año, luego utlzaremos terés compuesto: C = C0 (+) susttuyedo: 000 = 90,55 (+) 2 Y despejado: tpo spot asocado al plazo de 2 años = = 0,0479 = 4,79% EJEMPLO RESUELTO Tpo de terés forward Sea dos actvos A y B, el prmero co u redmeto del 6% a año y el B co u redmeto del 7% a dos años. Cuál será el tpo forward o mplícto para ua versó a u año, detro de u año? A = 6% forward =? 0 2 B = 7% Plateamos la sguete gualdad: 2 A ) ( + forward ) = ( B ) ( + + Susttumos forward 2 ( + 0,06) ( + ) = (+ 0,07) y despejamos forward = 0,08 = 8% fka AULA FINANCIERA 33
4.2 Retabldad Capítulo 4: Tpos de terés y retabldad 4.2. RENTABILIDAD REAL La retabldad real de ua versó cosdera, además de la retabldad facera, otras varables tales como la fscaldad, los gastos de gestó, las comsoes y la tasa de flacó. Para calcular la retabldad real, teedo e cueta estas varables, utlzaremos la sguete expresó: ( REAL + FF + r ) (+ Π ) = ( r ) sedo r REAL = La retabldad real Π = La tasa de flacó r FF = La retabldad facero fscal + r FF Así pues, rreal = + Π EJEMPLO RESUELTO Retabldad REAL Calcular la retabldad real de ua versó que ha tedo ua retabldad facerofscal del 4%, sedo la tasa de flacó del 4,5%. DATOS: r FF = 4% Π = 4,5% SE PIDE: r REAL =? Para calcular la retabldad real utlzamos la expresó : r REAL + rff + 0,04 = = - = + Π + 0,045-0,0048 = - 0,48 % Retabldad real egatva. EJEMPLO RESUELTO Retabldad REAL Calcular la tasa de flacó sabedo que ua versó que ha tedo ua retabldad facero-fscal del 6% y ua retabldad real del 3%. DATOS: r FF = 6% r REAL = 3% SE PIDE: Π =? Para calcular la tasa de flacó utlzamos la expresó r ) ( ) ( r ),06 ( 0,03) ( ) ( 0,06) 0, 02926 2,9%,03 ( REAL FF 34 fka AULA FINANCIERA
4.2.2 RENTABILIDAD SIMPLE ( RS ) La expresó para determar la retabldad smple RS T es: P +D - P T T 0 RS T = P0 dode PT:preco del título al fal del perodo T DT:suma de los gresos percbdos durate el perodo T P0:preco del título al co del perodo La retabldad smple supoe que los dvdedos y otros redmetos se percbe al fal del perodo, o que se reverte a ua tasa del 0% s se percbe ates. EJEMPLO RESUELTO Retabldad smple Hace dos años se adqurero accoes de ua compañía, sedo su cotzacó 5. Calcular la retabldad smple de cada uo de los dos años de ua accó, sabedo que su cotzacó al fal del prmer año fue 8 y al fal del segudo año 7,. 5 8 7, 0 2 Para coocer e qué porcetaje se ha revalorzado aualmete la accó calculamos la retabldad smple: RS 8-5 = = 5 20% 7,- 8 RS = 8 = 2-5% EJEMPLO RESUELTO Retabldad smple Hace 6 meses compramos 00 accoes a 35 /accó, pagado 44 de comsó y hoy la accó cotza a 36,50. Calcular la retabldad smple de la accó, sabedo que hace 3 meses se cobró u dvdedo de,20 por accó. P 0 P D 00 35 44 3.544 00 36,50 3.650 00,20 20 3.650 20 3.544 RS 6,37% 3.544 fka AULA FINANCIERA 35
4.2.3 TASA ANUAL EQUIVALENTE ( TAE ) El Baco de España, oblga a todas las etdades faceras a clur este ídce desde el año 990, e que publca la orma 8/990 sobre Traspareca de las operacoes y proteccó de la cletela. El sgfcado exacto es Tasa Aual Equvalete o Tasa Aual Efectva. Es u dcador que, e forma de tato por ceto aual, revela el coste o redmeto efectvo de u producto facero, ya que cluye el terés y los gastos y comsoes bacaras. Así, s ua operacó facera o tee comsoes gastos, su TAE cocdría co el tpo de terés efectvo aual. La TAE se calcula de acuerdo co ua fórmula matemátca estadarzada que tee e cueta el tpo de terés omal de la operacó, la frecueca de los pagos (mesuales, trmestrales, etc.), las comsoes y alguos gastos de la operacó. E el caso de los crédtos, o se cluye e el cálculo del coste efectvo alguos coceptos, como los gastos que el clete pueda evtar e uso de las facultades que le cocede el cotrato, los gastos a aboar a terceros o los gastos por seguros o garatías (salvo que la etdad mpoga su suscrpcó para la cocesó del crédto). El cálculo de la TAE está basado e el tpo de terés compuesto e la hpótess de que los tereses obtedos se vuelve a vertr al msmo tpo de terés y debe calcularse co mportes brutos (s teer e cueta aspectos fscales). La TAE es muy útl porque permte comparar dsttos productos u opcoes de versó, co depedeca de sus codcoes partculares. Esto es así especalmete etre productos de gual aturaleza, e los que los restates elemetos, y e partcular el resgo que tee, so détcos. Las etdades está oblgadas a formar sobre la TAE de sus operacoes e la publcdad que haga de sus productos, e los cotratos que formalce co sus cletes, e las ofertas vculates que realce y e los documetos de lqudacó de operacoes actvas y pasvas. EJEMPLO RESUELTO TAE U clete solcta u préstamo por 4.000 que debe devolver a fal de año e u sólo pago que comprede el captal más los tereses (calculados mesualmete). El tpo de terés omal del préstamo es del 6% y la etdad facera deduce los gastos de gestó, por lo que realmete se etrega al clete 3.950. Calcular la TAE. Prmero calculamos la cotraprestacó e t= (devolucó del captal más tereses, sedo j 2 = 6%): Cotraprestacó = 2 0,06 C C0 ( ) P ( 2 ) 4000 4246,7 2 2 Y a cotuacó, calculamos la TAE plateado la sguete equvaleca facera: 4246,7 3950 Despejado: TAE = 7,5% TAE 36 fka AULA FINANCIERA
EJEMPLO RESUELTO TAE_RETRIBUCIÓN EN ESPECIE U clete cotrata el Depósto Phoe. El producto cosste e que el clete realza ua mposcó de 20.000 euros y e el mometo de la cotratacó se lleva u smartphoe de los que lleva mpresa ua mazata. Al cabo de u año recupera los 20.000 euros. S la TAE aucada es del 3%, hallar el valor del Phoe. El clete aporta 20.000 euros pero se lleva el Phoe, por lo que realmete está reucado a 20.000 meos el valor del regalo (X). Hallamos X para que 20.000 X captalzados u año se coverta e 20.000: ( 20.000 X) ( 0,03) 20.000 X 582,52 fka AULA FINANCIERA 37
4.2.4 TASA INTERNA DE RENTABILIDAD ( TIR ) La Tasa Itera de Retoro o Tasa Itera de Retabldad (TIR) de ua versó, está defda como la tasa de terés co la cual el valor actual eto o valor presete eto (VAN o VPN) es gual a cero. El VAN o VPN es calculado a partr de los flujos postvos y egatvos de captal, trasladado todas las catdades futuras al presete. La expresó que permte calcular el VAN es: VAN = D 0 + N Q ( + j= j ) j Dode: VAN = Valor Actual Neto. D o = Desembolso cal. Q j = Flujo de Caja e el perodo j. = tasa de descueto o actualzacó La obtecó del VAN costtuye ua herrameta fudametal para la evaluacó y gereca de proyectos, así como para la admstracó facera. La Tasa Itera de Retoro (TIR) es el tpo de descueto que hace gual a cero el VAN. Así pues, para calcular la TIR platearemos la sguete ecuacó: D N Q + ( + TIR) 0 = = 0 TIR Esta tasa tera de retabldad TIR correspode a la retabldad del versor, asumedo que los flujos peródcos se reverte a ua tasa gual a la TIR. EJEMPLO RESUELTO Cálculo de la TIR U clete adquró 2.000 partcpacoes de u fodo de versó que cotzaba a 4. Al cabo de u año vedó 600 partcpacoes que e ese mometo cotzaba a 5. S al cabo de dos años la cotzacó de la partcpacó del fodo es de 6, calcular la TIR de esta versó. El desembolso cal de la versó = D o = 2.000 4 = 8.000 E t =, cobra Q = 600 5 = 3.000 E t = 2, cobra Q 2 =.400 6 = 8.400 Para calcular la TIR de este flujo de cobros y pagos plateamos la sguete ecuacó: D N Q + ( + TIR) 0 = = 0 3.000 8.400.000 + + = 0 TIR = 22,92% ( + TIR) ( + TIR) 8 2 Nota: La ecuacó que resulta, e geeral, es muy complcada de resolver maualmete por lo que el cálculo se realza por tateo o usado calculadora facera. 38 fka AULA FINANCIERA
4.2.5 TASA DE RENTABILIDAD EFECTIVA ( TRE ) E el cálculo de la Tasa de Retabldad Efectva (TRE) se cosdera que u captal cobrado puede revertrse al tpo de terés vgete. Para calcular la TRE: Prmero, calculamos el motate (C) de la versó captalzado los flujos de caja al tpo de terés correspodete. A cotuacó, plateamos la sguete ecuacó: C = + y despejamos la tasa TRE TRE C0 ( TRE) C C 0 S el tpo de terés de reversó es meor que la TIR TRE < TIR S el tpo de terés de reversó es mayor que la TIR TRE > TIR EJEMPLO RESUELTO Cálculo de la TRE Cuál ha sdo la retabldad efectva de la sguete operacó s supoemos que el versor reverte los cupoes auales y amortza el boo a vecmeto? Compra: 5-05-200 Tpos de terés a u año Vecmeto: 5-05-2005 5-05-200: 3,50% Cupó aual: 4,5% 5-05-2002: 3,80% Valor omal:.000 5-05-2003: 4,70% TIR de adquscó: 6,25% 5-05-2004: 5,25% Preco de compra: 93,97% Prmero calculamos el valor fal de los cupoes percbdos y del omal a vecmeto utlzado los tpos de terés dados: C =45 (+0,038) (+0,047) (+0,0525)+45 (+0,047) (+0,0525)+45 (+0,0525)+045= = 93,42 A cotuacó, plateamos la sguete ecuacó: C0 ( TRE) C = + y susttuyedo: 93,42 = 939,7 (+TRE) 4 Despejado la tasa de retabldad efectva: TRE = 0,0657 = 6,6 % < TIR ya que los tpos de terés de reversó ha sdo ferores a la TIR. fka AULA FINANCIERA 39
4.2.6 TASA GEOMÉTRICA DE RENTABILIDAD ( TGR ) La Tasa Geométrca de Retabldad (TGR) (Tme-weghted rate of retur) es la retabldad del gestor de la cartera y se calculará realzado la meda geométrca de las retabldades smples de los dferetes perodos. Para ello seguremos los sguetes pasos: Prmero, determamos las retabldades smples para cada subperodo de versó. A cotuacó, plateamos la gualdad: ( + TGR) = ( + RS) (+ RS2 )... ( + RS ) Y por últmo despejamos la TGR: TGR = [(+ RS ) (+ RS )... (+ RS )] 2 Esta es la retabldad que mde sólo la actuacó del gestor qutado la flueca de las decsoes del versor de aportar o retrar fodos de la cartera. Comparado la TIR y la TGR se puede aalzar el grado de acerto de la polítca de etradas y saldas de captal de la versó llevada a cabo: S TIR > TGR, el versor ha acertado e sus decsoes. S TIR = TGR, el resultado es dferete de la polítca llevada a cabo. S TIR < TGR, el versor se ha equvocado e su polítca EJEMPLO RESUELTO Cálculo de la TGR U gestor acosejó a u versor adqurr partcpacoes de u fodo de versó que cotzaba a 4. Al cabo de u año las partcpacoes cotza a 6 y a los dos años cotza a 5. Calcular la tasa geométrca de retabldad. Prmero, determamos las retabldades smples para cada año: 6-4 5-6 RS = = 0,5 = 50% RS = = 4 2-0,667 = - 6,67% 6 A cotuacó, hallamos la meda geométrca: ( RS ) ( RS ) ( 0,50) (- 0,667) 2 TGR 2 2 =,8 % 40 fka AULA FINANCIERA
EJEMPLO RESUELTO Cálculo de la TGR Las retabldades auales de u FI e el perodo 2009 203 ha sdo 4,4%, 0,78%, 2,92%, 4,55% y 4,44%. Calcular la Retabldad Acumulada del fodo y la Tasa Geométrca de Retabldad a 3 y 5 años E prmer lugar calculamos las retabldades acumuladas y posterormete calculamos las retabldades aualzadas: A 3 años R,0292,0455,0444,2380 R ACUM 3 AÑOS ACUM 3 AÑOS 2,38% 3 ( R ),238 R 0,03967 3,97% ANUAL 3 AÑOS ANUAL 3 AÑOS A 5 años R,044,0078,0292,0455,0444 R ACUM 5 AÑOS 5 AÑOS 5 ( R ),825 R ANUAL 5 AÑOS ANUAL 5 AÑOS 8,25% 0,03409 3,4% fka AULA FINANCIERA 4
CUESTIONARIO Capítulo 4: TIPOS DE INTERÉS Y RENTABILIDAD. Sea dos actvos A y B, el prmero co u redmeto del 8% a año y el B co u redmeto del 0% a dos años. Cuál será el tpo forward o mplícto para ua versó a u año, detro de u año? A) El 0% B) El 2% C) El,5% D) Nguo de los aterores. 2. La retabldad efectva de u boo es mayor que su TIR cuado: A) El tpo de terés es superor a su TIR. B) El tpo de terés es feror a su TIR. C) El tpo de terés es gual a su TIR. D) Ngua de las aterores. 3. La TAE de ua operacó s comsoes que rde u 4% omal acumulable trmestralmete es: A) 4% B) % C) 4,074% D) 4,06% 4. Ua etdad bacara oferta ua pólza de ahorro al 5,35% TAE. Cuál es el terés omal aplcado, s el aboo de tereses es trmestral? A) 5,22% B) 5,25% C) 5,46% D) 5,35% 5. Para calcular el coste o la retabldad de ua operacó facera teedo e cueta la frecueca de captalzacó o descueto y també los gastos y comsoes, se utlza: A) Tpo de terés omal. B) Tpo de terés efectvo. C) TAE. D) Nguo de los aterores. 6. Idca cuál de las sguetes afrmacoes es correcta: A) La TAE sempre es superor al tpo de terés omal. B) La TAE la defe, para cada operacó, las propas etdades faceras establecedo los crteros para su cálculo. C) La TAE tee e cueta todos los gastos de ua operacó. D) La TAE puede cocdr, e algú caso, co el tpo de terés efectvo. 7. La TAE de ua operacó s comsoes que rde u 3% omal acumulable bmestralmete es: A) 3,0000 % B) 3,0225 % C) 3,0378 % D) 0,5000 % 42 fka AULA FINANCIERA