Cpítulo 3 Itegrles impropis 3.. Itroducció Extederemos l oció de itegrl csos e los cules f puede o ser cotd e [,b] y itegrles sobre itervlos ifiitos Defiició 3.. ( Itegrl impropi de primer especie). Se f : [,) Ê, diremos que f es u fucio itegrble e [, ) si: f es itegrble e [,b], < b. El siguiete límite existe Ejemplo 3..2. Z Z b lim f b Z b e x dx = lim e x dx = lim e x b b b =. Defiició 3..3 (Itegrl impropi de segud especie). Se f : [, b) Ê u fució o cotd, diremos que f es u fucio itegrble e [,b) si: f es itegrble e [,x], pr todo < x < b. El siguiete límite existe Ejemplo 3..4. Z Z x lim f x b Z x lxdx = lim lxdx =. x Defiició 3..5 (Itegrl impropi de tercer especie o mixt). f : [,) R se dice de tercer especie si es de primer y de segud especie. Ejemplo 3..6. Z e x Z e x Z b e x dx = lim dx+ lim dx x x + x x b x 86
3... Criterios de covergeci pr itegrles ipropis Teorem 3..7 (Criterio de comprció). Se f, g cotius e [, ) y supogmos que f(x) g(x) x [,) etoces si. 2. R R g coverge, etoces, f coverge R R f diverge, etoces, g diverge U resultdo álogo se obtiee pr itegrles ipropis de segud especie. Teorem 3..8 (Criterio del cuociete). Se f y g fucioes cotius y o egtivs e [, ) y tl que = L etoces ls itegrles Z lim x f(x) g(x) Coverge mbs o diverge mbs. f y Z g Obs: Alogmete podemos plicr el resultdo terior itegrles de segud especie. Ejemplos Importtes Ejemplo 3..9. Alizr l covergeci de pr α >, > Z x α dx Solució: Notemos que si α l itegrl es trivilmete covergete. Si α = teemos Z dx = lim x b lx b = +. Por otr prte pr α u primitiv del itegrdo correspode x α α, de est form se tiee lo siguiete Z x α b dx = lim xα b α E resume se tiee lo siguiete Z { x α dx : coverge α > diverge α 87
Ejemplo 3... Alizr l covergeci de pr α >, < b Si α = teemos Z b Z b (b x) α dx dx = lim l(b y) b x y b y = +. Por otr prte pr α u primitiv del itegrdo correspode (b x) α α, de est form se tiee lo siguiete Z b (b x) α y dx = lim (b x) α y b α E resume se tiee lo siguiete Z b { (b x) α dx : coverge α < diverge α Los ejemplos teriores so muy importtes pues cd vez que quermos sber si u itegrl es covergete podemos utilizr el teorem 3..8 juto co ls fucioes teriores pr obteer utiles criterios de covergeci, de hecho se tiee el siguiete corolrio cuy demostrció se dej como ejercicio propuesto l estudite. Corolrio 3... (Regls de covergeci) (Primer especie) Si lim x x α f(x) = L etoces. 2. R R f coverge si α > y L es fiito f diverge si α y L (Segud especie) (Supoemos que lim f(x) = o ) x b Si lim x b (b x)α f(x) = L etoces. 2. br br f coverge si α < y L es fiito f diverge si α y L 88
Covergeci bsolut y codiciol R. Si R f coverge etoces se dirá que f es bsolutmete covergete. R 2. Si R f diverge y R f coverge se dirá que f es codiciolmete covergete 3. Alogmete se defie l covergeci bsolut y codiciol pr itegrles ipropis de segud especie. Problems Problem 3... Cosidere l fució defiid por f(x) = y clcule, si existe, el áre com- x(2 x) predid etre l curv, el eje OX y sus sitots. 2. Se x el puto míimo locl de f. Clcule, si existe, el volume de revolució e toro l eje OY de l regió compredid etre l curv, el eje OX y ls rects x = y x = x. Solució:. Notemos que Z 2 f(x)dx = Z f(x)dx } {{ } () Z 2 + f(x)dx } {{ } (2) Estudiemos (). Es clro que lim x x/2 f(x) = y luego como R + 2 x /2 dx es covergete se tiee que () coverge. Pr (2) se cumple que lim x 2 2 x f(x) = 2 como R 2 2 x dx es covergete se tiee que (2) tmbié coverge. 2. Es fácil verificr que f ( x) = pr x =, como demás lim f(x) = lim f(x) = + se sigue que x + x 2 ecesrimete x = es míimo de f e (, 2). De est form: x dx (2 x) este cálculo se dej l lector. Z V OY = 2π lim ε + ε Z x dx = x(2 x) es co- Problem 3.2. Determir los vlores de α y β pr los cules l itegrl R vergete. Id: Relice el cmbio de vribles x β = t. x α (+x β ) 89
Solució: Cso β =, se tiee que l itegrl es covergete si y solo si α > Cso β >, Relizdo el cmbio de vribles x β = t se obtiee dx t = y si x etoces t. De est form: como Z l itegrl coverge si y solo si α β Cso β <, se dej l lector. x α (+x β ) dx x = Z β lim t t α β +2 t α β + (+t) x = dt βt t α β + (+t) = + 2 > esto es α+β >. dt, demás si x = etoces Problem 3.3. Cosidere l itegrl impropi I = R e x2 dx. El proposito de este ejercicio es clculr I explicitmete. Pr ello proced como sigue.. Demuestre que I coverge. 2. Clcule, si existe, el vlor de l itegrl obteid l rotr l fució e x2, x > e toro l eje OY 3. Muestre, utilizdo el método de cálculo de áres por seccioes, que el vlor obteido e l prte terior es igul 4I 2 y cocluy. Solució:. Notemos que si x > etoces e x2 e x como R e x dx coverge etoces, por el criterio de comprció, se sigue que I coverge. 2. Clculemos el volume de revolució de l curv e x2 e toro l eje OY está ddo por V = lim b 2π R b xe x2 dx, relizdo l sustitució u = x 2 se sigue que du 2 = xdx obteemos etoces que V = 2π e u 2 = π 3. Es fcil ver que, e el espcio tridimesiol (X,Y,Z), l superficie defiid por el volume de revolució correspode l gráfico de l fució f(x,y) = e x2 e y2. E efecto, por defiició del sólido todos los putos del plo que este l mism distci del orige le hcemos correspoder igul ltur, esto es, ddo u puto del plo (x,y) = (r cosθ,r seθ) l ltur del sólido e ese puto correspode e r2 y como r 2 = x 2 + y 2 se sigue que f(x,y) describe exctmete l superficie del volume e cuestió. 9
Por rgumetos de simetrí el volume del sólido es cutro veces el volume del octte positivo R (x >,y > ). Pr x > fijo el áre socid correspode A(x) = e x2 e y2 dy = e x2 I itegrdo sobre x se obtiee V = 4 R A(x)dx = 4 R e x2 Idx = 4I 2. Como V = π se sigue, despejdo el vlor de I, que I = π 2. 9
Cpítulo 4 Series umérics 4.. Itroducció Defiició 4... Se { } Æ u sucesió de úmeros reles, si l sucesió. s = i coverge diremos que l serie = + 2 + + + = coverge. se llmrá térmio geerl de l serie. Ejemplo 4..2. Algus series clásics = x /! = e x, dode x Ê es u prámetro fijo. = ( ) x 2+ /(2+)! = sex, dode x Ê es u prámetro fijo. = ( ) x 2 /(2)! = cosx, dode x Ê es u prámetro fijo. = / que diverge. i= 4.2. Series de térmios o egtivos 4.2.. criterios de covergeci Existe diversos criterios pr lizr l covergeci de series de térmios o egtivos, los cules lizremos cotiucio. Teorem 4.2. ( Criterio del cuociete de térmios geerles). Se { } N y {b } N sucesioes tles que Æ, b >. Si el siguiete limite L = lim b existe y L > etoces ls series y b coverge mbs o diverge mbs. Si L = y si b coverge etoces se cumple que coverge. Teorem 4.2.2 ( Criterio del cuociete (Dálmbert)). Se { } N u sucecio tl que > Æ, Se R := limsup + etoces: 92
Si R < l serie coverge. Si R > l serie diverge. Teorem 4.2.3 (Criterio de l ríz eésim). Se { } N u sucesió, se R = limsup, etoces: Si R < l serie coverge. Si R > l serie diverge. Observció: Si el criterio del cuociete o de l ríz d como resultdo R = o es posible segurr l covergeci o divergeci de l serie y, por lo tto, es ecesrio utilizr otro tipo de rgumetos pr el álisis, como por ejemplo el criterio de l itegrl impropi que veremos cotiució. Teorem 4.2.4 ( Criterio de l itegrl impropi.). Se f : [,) Ê + u u fucio decreciete. Etoces f() coverge si y solo si R f(x)dx coverge. 4.3. Series geerles Defiició 4.3.. Se { } Æ u suceció de úmeros reles. Diremos que l serie es bsolutmete covergete si es covergete. Defiició 4.3.2. Si l serie es covergete pero o lo es etoces decimos que l serie es codiciolmete covergete. Teorem 4.3.3. Si l serie es covergete etoces coverge. Teorem 4.3.4 (Criterio de Leibitz). Si { } es u sucesió decreciete y covergete cero (y por lo tto se cumple trivilmete que )etoces l serie ( ) es covergete. 93
Problems Problem 4.. Estudie l covergeci de ls siguietes series:. 2. 3. 4. 5. 6. ( ) 2 + = = ( )! j= (+α j) rct = ( ( 2 ) = 2 +. = ) ++ 2 (+2)l(+2). pr α >. ( ) ( + ). = (Id: demuestre que rct(x) x x ) Solució:. Utilizdo el Criterio de l Ríz eésim se obtiee ( L = lim + ) = lim ( + ) = e Como L < se tiee que l serie coverge. 2. Utilizdo el Criterio del Cuociete se obtiee + j= L = lim = lim (+α j) ( )! ( )! j= (+α j) (+α +) = lim +α + = α Como L = /α < se tiee que l serie es covergete. 3. Mostremos que rct(x) x x. E efecto, se x >, plicdo el teorem del vlor medio l fució t rct(t) e el itervlo [, x], se demuestr l existeci de ξ (, x) tl que rct(x) rct() x 94 = +ξ 2
de dode se obtiee el resultdo pedido. (pr x = l propiedd se cumple trivilmete). Utilizdo lo terior es clro que ( ) rct ++ 2 ++ 2 como l serie es covergete ( por qué?), por el criterio de comprció, l serie ++ ( 2 rct tmbié lo es. ) ++ 2 4. Usemos el criterio de l riz -ésim, lim ( 2 ) 2 + = lim 2 2 + = 2 <, e cosecueci l serie es covergete. 5. Como l sucesió = l itegrl, segú el cul, = (+2)l(+2) (+2)l(+2) es clrmete decreciete y o egtiv usremos el criterio de coverge Z Pr estudir l itegrl usemos u cmbio de vrible, Z dx coverge. (x+2)l(x+2) u = x+2 = du = dx Z (x+2)l(x+2) dx = ulu du = l(lu) 2 =, luego como l itegrl o coverge, l serie e estudio es tmbié o covergete. 6. Rciolizdo el térmio geerl de l serie obteemos, 2 ( ) ( ) + = ( ), = = ++ vle decir, es u serie lterte dode el térmio cetrl = ++ es clrmete decreciete cero. E cosecueci, se cumple tods ls hipótesis del criterio de Leibiz y, por ede, l serie es covergete. Problem 4.2. Cosidere l serie dode = = k= /. Clcule lim 2. Deduzc si l serie coverge o diverge. = k. 95
Solució:. Clculemos el límite propuesto, lim = lim k= k = lim k k= Notemos que el deomidor del límite terior correspode u sum de Riem. E efecto, lim k= k = Z 2 x dx = 3 x 3 2 = 2 3 lim = 3 2 2. Usdo el criterio de divisió de térmios geerles, como l serie = de l prte i) fue fiito, cocluimos que l serie diverge. = es divergete y el límite 96
Cpítulo 5 Series de potecis y sucesioes de fucioes 5.. Series de potecis Defiició 5... Diremos que l serie de potecis (x x ) es covergete e x si el límite lim N N = x existe. Al rel R tl que pr x x < R, (x x ) es covergete y divergete pr x x > R se le llm rdio de covergeci y l itervlo {x (x x ) es covergete} se le deomi itervlo de covergeci. Los criterios de covergeci utilizdos pr el estudio de ls series de potecis so álogos los de ls series umérics. Teorem 5..2 ( Criterio del cuociete). Se { } N u sucesió tl que Æ, Se R := limsup + etoces l serie de potecis (x x ) es covergete e el itervlo ( R+x,R+ x ) y divergete e (, R+x ) (R+x,). Teorem 5..3 (Criterio de l ríz eésim). Se { } N u sucesió, se R := limsup, etoces l serie de potecis (x x ) es covergete e el itervlo ( R + x,r + x ) y divergete e (, R+x ) (R+x,). Observció: e culquier cso siempre es ecesrio lizr l covergeci e los extremos del itervlo, pues los criterios teriores o fucio e tles putos. Co frecueci es ecesrio clculr l derivd de u serie o l itegrl de ell, pr ello procedemos clculdo l serie de ls derivds o l serie de ls itegrles respectivmete, esto es, itercmbimos l serie co el operdor. Si embrgo, d os segur que tl vlor exist o icluso si existe o podemos determir priori si so igules. Los siguietes teorems os ls d codicioes ecesris y suficietes pr que se teg l iguldd. Teorem 5..4 (Itercmbio de l serie co l derivd). Cosidere l serie de potecis (x x ) que supoemos bsolutmete covergete e el itervlo ( R + x,r + x ) dode R es el rdio de covergeci. Etoces l serie es derivble e dicho itervlo y se tiee d dx (x x ) d = = = dx (x x ) = (x x ). = Además l serie derivd posee el mismo rdio de covergeci que l serie origil. 97
Teorem 5..5 (Itercmbio de l serie co l itegrl). Cosidere l serie de potecis (x x ) que supoemos bsolutmete covergete e el itervlo ( R + x,r + x ) dode R es el rdio de covergeci. Etoces l serie es itegrble e ( R+x,R+x ) y se tiee l iguldd: Z b dode,b ( R+x,R+x ). Z b (x x ) = (x x ) = (x x ) + + b. Problems Problem 5.. Cosidere l serie de potecis: = ( ) l ( x 2) Determie su rdio de covergeci e itervlo de covergeci. Solució: Result secillo verificr (utilizdo el criterio del cuociete o de l riz) que el rdio de covergeci es 2. E efecto, l(+) lim (+)l 2 2 + = 2 por lo tto l serie es covergete e el itervlo ( 2,2). Alizemos los extremos de dicho itervlo: l Al evlur e x = 2 result l serie uméric l cul es divergete, est coclusió es direct de l plicció del criterio de comprció de series umérics. E efecto, pr 3 se cumple l y como l serie diverge etoces l serie e cuestió debe diverger. Evludo e x = 2 obteemos l serie ( ) l l. Notemos que l sucesió es decreciete y positiv. E efecto, si cosideremos f(x) = l(x)/x clculdo l derivd de f obteemos f (x) = lx x 2 como f (x) pr x e se sigue que l sucesió f() = l es decreciete pr 3. De lo terior se deduce que l serie ( ) l es covergete por el criterio de Leibitz pr series umérics lterds. Cocluimos etoces que el itervlo de covergeci de l serie de potecis e estudio es ( 2,2]. Problem 5.2. Clculr f(x) = 2 x co < x <. 98
Solució: Es clro que l serie es bsolutmete covergete pr < x < y por lo tto es válido: 2 x = x d(x ) = x d ( ) x dx dx = x d ( d(x x dx ) ( ) = x d x d ( ) ) x dx dx dx = x d ( x d ( )). dx dx x Cocluy el lector. Problem 5.3.. Se < <, u prámetro fijo. Demuestre que Z + 2 t 2 dt = ( ) = 2+. 2 Hit: Recuerde que 2. Cocluy que +x = ( ) x. = rct() = = 2 ( ) 2+. Solució:. Utilizdo l idicció se tiee + 2 t 2 = = ( ) ( 2 t 2 ) l cul es bsolutmete covergete pr 2 t 2 <. Itegrdo l serie se obtiee Z Z + 2 t 2 dt = ( ) 2 t 2 dt = = = ( ) 2 t2+ 2+ 2. Pr cocluir es ecesrio clculr R + 2 t 2 dt lo cul se dej l lector. = = 2 ( ) 2+. 5.2. Sucesioes de fucioes Defiició 5.2.. Diremos que l sucesió de fucioes { f } Æ : A Ê Ê coverge putulmete u fució f si pr cd x (fijo) se tiee lim f (x) = f(x) Defiició 5.2.2. Diremos que l sucesió de fucioes { f } Æ : A Ê Ê coverge uiformemete u fució f si lim sup x f (x) f = 99