CARTAGENA DE INDIAS, COLOMBIA, SEPTIEMBRE 8. ANÁLISIS DEL TRANSPORTE REACTIVO MULTICOMPONENTE EN ACUÍFEROS HOMOGÉNEOS BAJO CONDICIONES DE CINÉTICA QUÍMICA Camlo Torres Pérez 1, Leonardo Davd Donado Garzón 1, & Davd Alonso Barajas Solano 1 1 Escuela de Ingenería Cvl, Unversdad Industral de Santander, COLOMBIA, ldonado@us.edu.co Ahora en la Facultad de Ingenería de la Unversdad Naconal de Colomba, COLOMBIA, lddonadog@unal.edu.co RESUMEN: El agua subterránea es uno de los prncpales agentes transportadores de sustancas contamnantes provenentes de dferentes actvdades antrópcas como la mnería o la agrcultura entre otras. Desde el momento en que el resduo se pone en contacto con el agua subterránea, se nca movmento de sustancas químcas consttudas por agentes reactvos generando una sere de procesos hdrodnámcos y químcos, que modfcan sus concentracones y propedades. El transporte reactvo de solutos está defndo por la concentracón de las especes acuosas nvolucradas y la tasa de reaccón entre ellas. Cuando las reaccones analzadas se encuentran en cnétca químca, se utlza el planteamento teórco de Sanchez Vla et al. (7). Este modelo determna la tasa de reaccón bajo la solucón de una ecuacón dferencal parcal no lneal no homogénea por medo del método de las dferencas fntas. Como prncpal resultado se demostró que cuando el tempo característco de transporte es mucho mayor que el tempo característco de reaccón, la reaccón puede ser analzada como nstantánea y que en caso contraro, la tasa de reaccón puede ser subestmada. PALABRAS CLAVES: reaccones cnétcas, transporte reactvo multcomponente, dferencas fntas. ABSTRACT: Groundwater s one of the man agents that transport pollutants provded by human actvtes as mnng and agrculture. Once, contamnants are n contact wth groundwater, solute transport s reached. Reactve transport s defned by the hydrodynamcs of the system and the chemcal knetcs of the reactons among the nvolved speces. In order to quantfy reacton rate under knetc reacton (slow reactons), a non lnear non homogeneous partal dfferental equaton defned by Sanchez-Vla et al. (7) s solved by means of fnte dfferences method. The man result of the research shows that when the characterstc tme of the transport (dffusve tme) s lower than the characterstc tme of the reacton (that s very small), the reacton rate can be computed as an equlbrum one, and the more the dffusve tme, the reacton can be underestmated. PALABRAS CLAVES: knetc reactons, multcomponent reactve transport, fnte dfferences.
CARTAGENA DE INDIAS, COLOMBIA, SEPTIEMBRE 8. INTRODUCCIÓN El agua como recurso natural renovable se renueva contnuamente dentro del cclo hdrológco, transformándose más o menos radcalmente tanto en cantdad como en caldad, en ocasones, y especalmente en el caso de las aguas subterráneas, se pueden consderar algunas formas de contamnacón vrtualmente rreversbles, ya que el tempo necesaro para la regeneracón puede ser muy largo (Pérez, 1995). La palabra agua se utlza como snónmo de la solucón-suspensón dluda de compuestos orgáncos e norgáncos que consttuyen los dversos tpos de sstemas acuátcos. Las reaccones químcas presentes en los hdrosstemas subterráneos como la precptacón o la dsolucón varían dependendo de la composcón químca del agua en la medda que ésta es afectada por las concentracones de sóldos dsueltos producdos por los procesos naturales y las actvdades antrópcas. La caldad nadecuada del agua equvale a la falta de ésta, y el mundo contemporáneo ya no cuenta con las reservas de agua sufcentes para dlur adecuadamente las cantdades crecentes de resduos que se verten en formas cada vez más dversas. Esto hace mprescndble el estudo del acoplamento entre la hdrodnámca de los sstemas subterráneos y las reaccones químcas presentes dentro de ellos, es decr que la varacón de las concentracones de solutos no solo depende de las reaccones entre las sustancas en un medo acuoso sno tambén consderara el transporte de solutos presentes en la mezcla de agua. Además, s las leyes que rgen las reaccones se tpfcan como cnétcas, las concentracones vararán con una alta no lnealdad. Este fenómeno genera desequlbro en el acuífero generando un problema dfícl de analzar. El transporte reactvo de solutos bajo condcones cnétcas se pueden modelar a partr de una ecuacón dferencal parcal no lneal no homogénea la cual no tene solucón exacta, por lo que debe aproxmarse medante métodos numércos (Sanchez-Vla et al., 7). Por todo lo anterormente descrto, la mportanca y fnaldad de este estudo radca en obtener la aproxmacón numérca de la ecuacón dferencal parcal no lneal no homogénea que descrbe la tasa de reaccón de un sstema multcomponente bajo condcones de desequlbro químco, es decr que las reaccones son lentas y no nstantáneas (Domenco y Schwartz, 1997). DESCRIPCIÓN DEL TRANSPORTE REACTIVO En el transporte reactvo las especes dsueltas son transportadas en un medo poroso y reacconan químcamente entre s en la fase líquda (reaccones homogéneas) o con otras especes en la fase solda (reaccones heterogéneas) (Rubn, 19) Las reaccones homogéneas pueden ser del tpo ácdo/base, redox o de formacón de complejos acuosos. Las reaccones heterogéneas son las reaccones de ntercambo de catones y de precptacón/dsolucón de mnerales. Para todas se admte que estás buscaran su estado de equlbro local. Para las reaccones de dsolucón/precptacón de mnerales tambén se admte la cnétca (reaccones lentas respecto a los tempos característcos de transporte). (Domenco & Schwartz, 1997) El desarrollo de las ecuacones de transporte reactvo sgue el procedmento general propuesto por Sánchez Vla et al. (7). A partr de las ecuacones de balance de masa de cada unas de las especes presentes en el medo, se obtene el conjunto de ecuacones de transporte ndependentes
CARTAGENA DE INDIAS, COLOMBIA, SEPTIEMBRE 8. utlzando las restrccones provenentes de las reaccones químcas reversbles (equlbro local). Para ello, se dvde el conjunto de reaccones presentes en el medo en dos especes acuosas y una espece mneral. Para todas las reaccones químcas se consdera la hpótess del equlbro local, pero para las reaccones de dsolucón/precptacón de mnerales tambén se admte la cnétca, mplementada según Steefel & Lasaga (1994). La consderacón de cnétca o equlbro local para una reaccón químca debe estar basada en la comparacón de velocdades (o tempos característcos: evolucón tendente haca el estado de equlbro) de cambos en las concentracones debdo a la reaccón y al transporte. El equlbro local es el caso lmte de la cnétca cuando los tempos característcos de transporte (advectvo y dspersvo) son muy superores al de la reaccón químca consderada (Samper & Ayora, 1993). Steefel & Lasaga (1994) dscuten la valdez y aplcabldad de esta hpótess para reaccones homogéneas y de dsolucón/precptacón de mnerales. La base matemátca de este modelo es la teoría del contnuo para medos porosos (Bear, 197), en la cual se reemplaza el sstema físco dscreto por un conjunto de medos contnuos coexstentes en cada punto del espaco. Así se puede realzar el balance macroscópco de cualquer propedad termodnámca del medo contnuo espacalmente promedada en un volumen elemental representatvo; éste defne la escala espacal macroscópca s se compara con el tamaño de los granos o de los poros del medo poroso, y pequeña s se compara con los cambos característcos en las propedades promedadas de las varables físcas de nterés (Lchtner, 1985). La cnétca químca estuda el camno de evolucón del sstema haca el equlbro nvolucrando explíctamente el tempo como varable. Aunque la consderacón de equlbro local reduce sgnfcatvamente el número de varables químcas en el sstema (Lchtner, 1985; Krkner & Reeves, 1988), es necesaro consderar la cnétca en el modelo geoquímco, ya que exste en la naturaleza reaccones lentas e ncluso reaccones que nunca alcanzan el equlbro. Además, la únca manera de evaluar una aproxmacón por equlbro local es por medo de un modelo cnétco (Steefel & Lasaga, 1994). En la presente formulacón matemátca, para las reaccones dsolucón/precptacón de mnerales tambén se admten las condcones cnétcas que rgen el problema. En concordanca con Steefel & Lasaga (1994), en problemas multcomponentes de cnétca de dsolucón/precptacón se suelen adoptar dos de los caso lmtes: cuando el transporte a la superfce del mneral (en la escala de poros) es mucho más lento que la velocdad de fjacón de los ones en los stos actvos (reaccones controladas por el transporte), o cuando la velocdad de fjacón es más lenta que el transporte (reaccones controladas por la superfce). Desde el punto de vsta de modelacón, los procesos controlados por la superfce son más sencllos. S se consdere el transporte reactvo de M especes químcas en un medo acuso, la ecuacón de transporte de cada una de estas especes vene dada por: ( D c ) + r ( = 1,,..., M) c φ = q c + k [1]
CARTAGENA DE INDIAS, COLOMBIA, SEPTIEMBRE 8. Donde c es la concentracón de la espece, φ es la porosdad del medo en estudo, q es el vector de flujo de Darcy, D es el tensor de dspersón hdromecánca y r k es el térmno fuente/sumdero que representa, en el contexto de esta formulacón, la transferenca de masa debdo a las reaccones heterogéneas entre la fase sólda y lquda (tasa de reaccón). DESCRIPCIÓN DEL MODELO Consdérese una reaccón cnétca entre dos especes acuosas B1 y B formando un mneral M 3. B1 + B M 3 [] ( s) Las ecuacones de balance de masa para las especes acuosas y el mneral son: ( D c1) + rk c1 φ = q c1 + [3] ( D c ) + rk c φ = q c + [4] c φ 3 = r k [5] La tasa de reaccón rk que es expresada como un térmno fuente/sumdero para tener en cuenta precptacón/dsolucón de las especes acuosas, es una funcón del producto de actvdad ónca (Steefel & Capellen, 19) que se determna de la ley de accón de masa así: ( 1 Ω) 1 rk = τ r K [6] Donde el tempo de reaccón esta defndo: K τ r = y Ω es el producto de actvdad ónca k S c1 c defndo por: Ω =, cuando se suponen los coefcentes de actvdad constantes e guales a 1. K Donde S es la superfce de reaccón del mneral, k es la velocdad de reaccón y K es la constante de equlbro de la reaccón. APLICACIÓN El agua subterránea es uno de los agentes que mas nfluye en el transporte de agentes contamnantes, especalmente cuando provenen de zonas de almacenamento de resduos sóldos. Una de las prncpales característcas que ofrece el transporte reactvo es la capacdad de modelar el transporte de resduos procedentes de vertederos subterráneos alejados, es decr, permte conocer la evolucón de un contamnante que se transporta en el seno del agua subterránea a una escala regonal, permtendo por lo tanto poder evaluar los resgos potencales de la contamnacón con una vsón de conjunto (geográfcamente hablando). En defntva, la utldad de poder modelar estos
CARTAGENA DE INDIAS, COLOMBIA, SEPTIEMBRE 8. fenómenos medante la ecuacón de transporte es la resolucón de los problemas de segurdad de un almacenamento geológco de resduos en profunddad, sendo en la actualdad uno de los temas prortaros de la nvestgacón hdrogeológca, en partcular, en relacón con el almacenamento profundo de resduos radoactvos. A contnuacón se presenta un ejemplo de aplcacón, medante condcones controladas. Problema de flujo Para este aparte se consdera una formacón porosa homogénea bdmensonal (acuífero), de una porosdad constante,φ, bajo condcones de flujo permanente y estaconaro es decr h =. Donde el vector de descarga específca q tene dos componentes en las dreccones del flujo presentándose como: q= q x + q y j [7] La componente del vector de descarga específca dreccón del flujo en sentdo longtudnal (Fg. 1). q y Sentdo longtudnal en dreccón j es cero porque solo se toma la x Impermeable Sentdo Transversal y H 1 Flujo Unforme H q x L / Impermeable L Donde: H 1 >H Fgura 1.- Condcones de flujo nícales y de frontera del sstema. La ley de Darcy se expresa: q= K h. Donde K es la conductvdad hdráulca del medo en estudo, h es el gradente hdráulco, para nuestro caso de estudo esta ley tene dos componentes en las dreccones longtudnal y transversal del flujo, en este caso en partcular K = K K, por x y = h tratarse de un flujo en un medo homogéneo, la componente =, porque se toma el flujo en una y h sola dreccón reescrbendo la ley de Darcy con las consderacones anterores se tene: q x = K. x
CARTAGENA DE INDIAS, COLOMBIA, SEPTIEMBRE 8. Problema de transporte El acuífero contene agua resdente con concentracones nícales resdentes en equlbro c, además mpermeable en sus fronteras. La fgura muestra un esquema de este para un mejor entendmento, en condcones deales se consdera que no entra n salen concentracones, dado que las fronteras son muy grandes. En un tempo ncal dado (t=) el sstema es afectado por una nyeccón de agua externa como un ext mpulso nstantáneo con concentracones c, que contene agua sobresaturada con respecto al agua resdente ncal. Esta nyeccón se modela como una funcón Delta de Drac (Fetter, 1999), generando un desequlbro en el sstema al producrse una reaccón cnétca. Agua resdente en equlbro L/ Inyeccón de agua externa Fgura.- Condcones de transporte ncales y de frontera. El tensor de dspersón hdrodnámca D tene dos componentes D L y D T, donde DL es el coefcente de dspersón hdrodnámca paralelo a la dreccón prncpal del flujo (longtudnal) y D T es el coefcente de dspersón hdrodnámca perpendcular a la dreccón prncpal del flujo (transversal). Para este caso se asumó que la dspersón transversal es el % de la dspersón longtudnal D =. D según Fetter (1999). Problema químco T L L El sstema de ecuacones dferencales parcales no lneales no homogéneas que descrbe el transporte reactvo de un sstema multcomponente bajo condcones de no equlbro, es muy complejo de soluconar por métodos analítcos, debdo a esta necesdad se debe realzar un artfco matemátco generando una varable, que nos permta volver el sstema determnado y obtener la resolucón de este. Esta es la componente u la cual se determna a partr de combnacones lneales de las concentracones de las especes, la cual cumple con la solucón de un soluto conservatvo. u= c 1 c [8]
CARTAGENA DE INDIAS, COLOMBIA, SEPTIEMBRE 8. La componente conservatva del sstema se muestra en [8] y satsface la solucón analítca para solutos conservatvos, para el problema planteado (Fetter, 1999): (( x x ) qt) ( y y ) uoa u( x, y, t) = exp 1/ 4πt( D ) 4DLt 4D LD T Tt [9] Donde A es el área de nyeccón, u es componente en equlbro, D L y D T son los coefcentes de dspersón hdrodnámca longtudnal y trasversal, q velocdad en la dreccón longtudnal del flujo, (x-x ) y (y-y ) son las coordenadas donde se realza la nyeccón. Basándose en la metodología planteada anterormente, el sstema geoquímco puede ser totalmente escrto en térmnos del componte conservatvo ecuacón [8]. Es posble escrbr la ecuacón de transporte del componente conservatvo hacendo la resta de las dos ecuacones para las especes acuosas [3] y [4]. ( D u) φ = q u + [] Al realzar las operacones algebracas pertnentes en la ecuacón [], esta se escrbe en dervadas parcales para entender con mayor clardad la ecuacón y el problema en cuestón: u u φ = qx + DL +. D L [11] x x y La fgura 3, (Sanchez Vla et al. 7) lustra el problema para un sstema geoquímco smple que nvolucra la precptacón de un mneral causado por la reaccón de dos especes acuosas. En el caso de equlbro nstantáneo, solo la confguracón a lo largo de la línea correspondente a ley de accón de masas (una hpérbola) son confguracones valdas. S en algún punto dos aguas con dferentes especes químcas se mezclan y no reacconan, las concentracones estarían a lo largo de la línea punteada, alcanzando por ejemplo el punto A (sobresaturado con respecto al mneral). En cambo La reaccón nstantánea llevaría las concentracones al punto B, s el equlbro no es nstantáneo en cualquer punto en el espaco c 1 - c las reaccones seran confguracones valdas. S el agua W1 se mezcla con el agua W, y s la dfusón es muy rápda comparada con la reaccón (pequeños números de Damköhler) la trayectora sera W1-A-B -B a lo largo de las líneas rectas. Cualquer punto a lo largo de la línea es valdo, por eso es posble que el agua en el punto B se mezcle con el agua W adconal; las mezclas resultante estarían a lo largo de la nueva línea punteada. S, en cambo, la reaccón es rápda entonces la trayectora sera W1-B, pero esta vez a lo largo de la hpérbola. En tal caso, la evolucón químca es una solucón de estados en equlbro.
CARTAGENA DE INDIAS, COLOMBIA, SEPTIEMBRE 8. Fgura 3.- Ley de accón de masas para las condcones de equlbro nstantáneo y no-nstantáneo (Adaptado de Sanchez Vla et al. (7)). Nombre de Ecuacón Concentracón admensonal Componente admensonal Tempo característco de dfusón Tempo característco de adveccón Tempo característco de reaccón Tempo admensonal Número admensonal de Péclet Tabla 1.- Resumen de ecuacones y varables Varable c c = [1] u = K u [13] D K l = D l q Número admensonal de Damkölher d a Tasa de reaccón admensonal Dstanca admensonal longtudnal en x Dstanca admensonal transversal en y τ [14] a = L τ [15] r = K τ [16] Sk t t = τ [17] D τd ql Pe = = [18] τa D τ τ Da= = Pe [19] τ τ r τ r K x x = l y y = l r D = r [] [1] []
CARTAGENA DE INDIAS, COLOMBIA, SEPTIEMBRE 8. MODELACIÓN NUMÉRICA Un modelo es una representacón smplfcada de una realdad. En este trabajo, se modeló un hdrosstema acuífero. El problema físco del flujo del agua y del transporte de un soluto a través del medo se descrbe medante un modelo matemátco que ncluye: (1) las ecuacones dferencales que gobernan los fenómenos (ecuacones de flujo y transporte), () las condcones nícales del sstema en estudo, (3) las propedades del medo y (4) condcones de contorno. El modelo matemátco por tanto consta de una ecuacón dferencal parcal no lneal no homogénea cuya varable dependente es la concentracón de una espece acuosa. Esta ecuacón depende de u cuyo valor es conocdo. El conocmento de la dnámca del sstema requere la resolucón del modelo matemátco, medante una aproxmacón numérca utlzando el método de dferencas fntas de tendenca central para la dervada espacal y haca adelante para la dervada temporal. Debdo a la flexbldad del modelo numérco se realza un análss admensonal de los dstntos parámetros que componen las ecuacones [3], [4], [6], [11]. En la tabla 1 se presenta un resumen de la formulacón y de parámetros constantes admensonal. Realzando manpulacones algebracas y usando los parámetros de la tabla 1, se obtene una ecuacón parcal no lneal no homogénea para la componente conservatva y otra para la concentracón de la espece c : = Pe u u + +. x x y [3] c = Pe c x c + x c +. y r k ( c, u ) [4] Fundamentándose en la ecuacón [6], se defne una expresón admensonal para calcular la tasa de reaccón en térmnos de la componente conservatva u y la concentracón c : r f u, c = Da 1 u c + c [5] ( ) ( ( ) Con base en lo propuesto anterormente se resuelven la ecuacón [3] para determnar el valor de la concentracón espaco-temporal de la componente, y [4] smultáneamente con [5] por medo un esquema predctor-corrector para determnar el valor de la dstrbucón espaco-temporal de la concentracón de la espece acuosa c y la tasa de reaccón cnétca r. Para el análss del modelo, se tomaron dferentes valores de Pe y Da, analzando así las varacones observadas en la tasa de reaccón de acuerdo a los tempos característcos de adveccón, dfusón y reaccón. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS Se realzó una dscretzacón rgurosa en la varable temporal y espacal para evtar las osclacones en las fronteras debdo a que la reaccón entre las especes acuosas llegaba hasta los extremos longtudnales del acuífero, lo que se hzo para mejorar este problema fue aumentar la dmensón espacal y temporal dsmnuyendo los perodos de tempo para que las fronteras estuveran lo bastantemente alejadas para con esto garantzar que las osclacones fueran desprecables y así k
IAHR CARTAGENA DE INDIAS, COLOMBIA, SEPTIEMBRE 8. obtener la solucón aproxmada de la componente conservatva u, para las condcones planteadas en las seccones anterores. La solucón de la ecuacón de transporte conservatvo se obtuvo por medo de las condcones nícales del problema para una reaccón cnétca, generada a partr de la nyeccón de la solucón acuosa de magnesta ( MgCO3 ). Esta solucón se dsoca en dos especes acuosas sobresaturadas que generan un desequlbro en el sstema hdrodnámco y esto hace que se genere la reaccón cnétca. Las concentracones admensonales nícales del agua resdentes en equlbro son: c y c., la concentracón c se obtuvo a partr de la ley de accón de masas consderando un medo homogéneo en estado de equlbro para las condcones nícales del acuífero, esta expresón encontrada a partr de las suposcones anterores vene dada c 1, las concentracones c1 admensonales sobresaturadas del agua externa nyectada (que esta en un estado dferente del equlbro) son: c1ext 5 y c1ext. respectvamente. Encontrando las solucones para las concentracones y la componente conservatva se determnó la solucón aproxmada a la tasa de reaccón ecuacón [5]. Tenendo en cuenta que las reaccones cnétcas son lentas, es necesaro comparar el tempo característco de transporte con el tempo característco de reaccón, medante el número de Damköhler, Da. El tempo elegdo de transporte es el dfusvo, el cual es el prmero en presentarse en la hdrodnámca del sstema. Se debe relaconar además el tempo característco de adveccón y dfusón, medante el número de Péclet, Pe=.1, garantzando que el sstema es altamente dfusvo dado que los perodos de tempo son cortos. En las fguras 4, 5 se muestra la nfluenca que tene el Da en la reaccón cnétca presente durante la varacón del tempo: t = x-5 t = 5x-4-4 x 1-5 x 9 8 8 7 6 5 6 4 4 3 1 t = 1x-3 4 3.5 3.5 1.5 1.5 1-5 x.5 t = x-3 1-5 x 4.5.5 r estmada a partr de la solucón numérca encontrada en la nvestgacón para condcones de flujo dfusvo (Pe=.1) y Da=.1. Fgura 4.- Tasa de reaccón admensonal Cuando Da es pequeño, el tempo característco de reaccón es mayor comparado con el tempo característco de dfusón, es decr, la reaccón químca es la que domna el problema de transporte.
CARTAGENA DE INDIAS, COLOMBIA, SEPTIEMBRE 8. t = x -5 t = 5x -4. 8.15 6 4.1.5 t = 1x -3 x -4.5 t = x -3 x -6 1 1.5 1 8 6 4.5 r estmada a partr de la solucón numérca encontrada en la Fgura 5.- Tasa de reaccón admensonal nvestgacón para condcones de flujo dfusvo (Pe=.1) y Da=. Cuando Da es grande el tempo característco de dfusón es mayor comparado con el tempo característco de reaccón, producendo mas dsolucón que en el caso de la Fg. 5 Se presenta el análss de los resultados de la formulacón del transporte reactvo en acuíferos. Esta formulacón ha sdo verfcada a través de la comparacón con solucones analítcas para el problema del transporte reactvo. En partcular, se han comparado las solucones sem-analítcas para reaccones cnétcas presentadas por Sanchez Vla et al. (7) y analítcas para reaccones en equlbro por De Smon et al. (5). De Smon et al. (5) proponen una solucón analítca aproxmada para la tasa de reaccón admensonal así: c r = +.1 [6] x y Donde la curvatura se calcula medante [6] así: c = ( u + 4) 3 / [7] Cuando la reaccón es nstantánea, la tasa de reaccón se resuelve utlzando la componente conservatva u encontrada en la nvestgacón, como se muestra a contnuacón en la fgura 6.
CARTAGENA DE INDIAS, COLOMBIA, SEPTIEMBRE 8. t = x -3 x -6 8 6 4 r obtenda a partr de la solucón analítca para reaccones en Fgura 6.- Tasa de reaccón admensonal equlbro químco propuesta por De Smon et al. (5), para condcones de flujo dfusvo (Pe=.1) y Da=. Realzando un análss rguroso de la solucón aproxmada para la tasa de reaccón encontrada en esta nvestgacón (Fgura 5), se encontró que para Damköhler grandes (Da=) la tasa de reaccón llega al equlbro químco. Comparando los resultados de la Fgura 5 con la solucón analítca propuesta por De Smon et al. (5) (Fgura 6) para reaccones en equlbro químco, se percbe que son guales; dado que las condcones nícales planteadas en esta nvestgacón son: En un tempo ncal dado (t=) el sstema es afectado por una nyeccón de agua externa como un mpulso ext nstantáneo con concentracones c, que contene agua sobresaturada con respecto al agua resdente ncal. Esta nyeccón se modela como una funcón Delta de Drac. Las condcones nícales propuestas por De Smon et al (5) son smlares, la dferenca radca en que la nyeccón se realza en l/ del acuífero, mentras la realzada en esta nvestgacón se nyecta a l/4 del acuífero; al efectuarse la reaccón entre las especes acuosas presentes el medo tenen el msmo comportamento en el tempo. Sanchez - Vla et al. (7) proponen que para encontrar la solucón aproxmada de la tasa de ( ) 1 ( 1) ( ) reaccón debe tener dos componentes: r = r + Da r, para el térmno r ; realza expansones de la ecuacón de transporte reactvo para un sstema multcomponente por medo de una sere de ( ) potencas, con el resultado de estas expansones se obtene que el termno r es déntco a la solucón propuesta por De Smon et al. (5) bajo condcones de equlbro local (fgura 6). Para el termno obtene: ( 1) r contrbucón de prmer orden planteada por Sanchez Vla et al. (7) se
CARTAGENA DE INDIAS, COLOMBIA, SEPTIEMBRE 8. ( ) ( 1) ( ) ( r ) c + r ( 1) ( 1) ( 1) r ( ) ( ) c T c T ( ) r = + Pe r u u+ u r [8] En cuanto a la solucón analítca propuesta por Sanchez Vla et al. (7) la cual se muestra en la fgura 7, se puede decr que la tasa de reaccón encontrada no es la msma pues las condcones del problema de transporte son dstntas pero al comparar la solucón obtenda medante su aproxmacón se apreca un comportamento smlar al obtendo en este trabajo. t = x -3 x -5.5 1.5 1.5 r estmada a partr de la solucón sem-analítca para reaccones Fgura 7.- Tasa de reaccón admensonal cnétcas propuesta por Sanchez Vla et al. (7), para condcones de flujo dfusvo (Pe=.1) y Da=. CONCLUSIONES Se encontró la aproxmacón numérca para la ecuacón de transporte reactvo que descrbe la tasa de reaccón de un sstema multcomponente para un acuífero en estado estaconaro de flujo utlzando un sstema mplícto en dferencas fntas. Para la tasa de reaccón se encontró una solucón aproxmada a partr de un esquema en dferencas fntas, s la tasa de reaccón aproxmada es negatva se presenta dsolucón del mneral y s es postva para precptacón de mnerales. Sanchez Vla et al. (7) presentan una aplcacón de su teoría a un problema de nyeccón contnua 1D y por lo tanto sus resultados son de dfícl comparacón con los obtendos en esta nvestgacón, pero al soluconar el problema planteado en este artculo con su formulacón, se apreca gran smltud en la tendenca de las solucones, concluyendo que cuando Da es muy grande las reaccones tende a un equlbro nstantáneo y pueden ser modeladas como una reaccón homogénea con la formulacón De Smon et al. (5).
CARTAGENA DE INDIAS, COLOMBIA, SEPTIEMBRE 8. Resultado de la comparacón entre la solucón propuesta por De Smon et al. (5) con la de ésta nvestgacón, para la tasa de reaccón se encontró que las solucones aproxmadas son déntcas dado que el problema planteado en este trabajo es gual al de De Smon et al. (5). El modelo numérco utlzado en esta nvestgacón para estudar el transporte multcomponente reactvo, en acuíferos fue realzado en su totaldad en el software lbre GNU OCTAVE. AGRADECIMIENTOS: A la Escuela de Ingenería Cvl por la fnancacón del proyecto de nvestgacón METRE-1: Modelacón y Escalada de Transporte Reactvo Etapa 1, del grupo GPH. A los profesores Crstan Blanco de la Escuela de Químca de la UIS y Vatcheslav Kafarov, drector del Grupo de Investgacón CISYC de Ingenería Químca por facltar sus estacones de cálculo numérco. A Davd Barajas por la conceptualzacón en la optmzacón del algortmo. REFERENCIAS Bear, J. (197). Dynamcs of fluds n porous meda. New York, Dover Publcatons, Inc. De Smon M., J. Carrera, X. Sanchez Vla and A. Guadgnn (5), A procedure for the soluton of multcomponet reactve transport problems, Water Resources, do:.9/5wr56, 5. Domenco, P. A., and F. W. Schwartz (1997), Physcal and Chemcal Hydrogeology, nd ed., Jhon Wley, Hoboken, N. J. Fetter. C. W. (1999). Contamnant hydrogeology, Second Edton, New Jersey, Prentce Hall, page: 67. Krkner, D. J. and H. Reeves (1988), Multcomponent Mass-Transport wth Homogeneous and Heterogeneous Chemcal-Reactons - Effect of the Chemstry on the Choce of Numercal Algorthm.1. Theory, Water Resour. Res., 4(): 1719-179. Lchtner, P. C. (1985), Contnuum model for smultaneous chemcal reactons and mass transport n hydrothermal systems, Geochm. Cosmochm. Acta, 49, 779. Pérez, D. (1995) Explotacón del agua subterránea: Un nuevo enfoque Centfco-Tecnca. La Habana, Cuba. Rubn, J. (19), Solute Transport wth Multsegment, Equlbrum-Controlled Reactons - a Feed Forward Smulaton Method, Water Resour. Res., 6(9): 9-55. Samper, J. & Ayora, C. (1993). Acoplamento de modelos de transporte de solutos y de modelos de reaccones químcas. Estudos Geol., 49, 33-51. Sanchez Vla, X., M. Dentz, and L. D. Donado (7), Transport controlled reacton rates under local non equlbrum condtons, Geophys. Res. Lett., 34, L4, do:.9/7gl94. Steefel, C. I., and A. C. Lasaga (1994), A coupled model for transport of multple chemcal speces and knetc precptaton/dssoluton reactons wth applcaton to reactve flow n sngle phase hydrothermal systems, Am. J. Sc., 94, 59 59. Steefel, C. I., and P. V. Cappellen (19), A new knetc approach to modelng water-rock nteracton. The role of nucleaton, precursors, and Ostwald rpenng, (Receved January 9, 19; accepted n revsed form July, 19)