undad 1 Estadístca Qué es una tabla de frecuencas Págna 1 Al número de veces que se repte un dato se le denomna frecuenca de ese dato. Una tabla de frecuencas es una tabla en la que cada valor de la varable tene emparejada su frecuenca. Veamos un ejemplo: d s t r b u c ó n de notas de los 36 alumnos y alumnas de 3. A t a b l a de frecuencas v a l o r e s f r e c u e n c a 0 0 1 4 3 5 4 3 5 8 6 5 7 3 8 1 9 3 10 El número de alumnos y alumnas que han obtendo un 7 en 3. A es 3. Lo epresamos así: f (7) = 3. Y se lee así: frecuenca de 7 es 3. actvdades 1 Qué sgnfca el 4 que hay en la columna de la derecha de la tabla de frecuencas? Cuál es la frecuenca de 9? 3 Suma los números de la columna de la derecha. Podrías haber supuesto el resultado sn efectuar la suma
undad 1 Estadístca Cuáles son los parámetros estadístcos y cómo se calculan para valores aslados Págna meddas de centralzacón La meda, la medana y la moda se llaman meddas (o parámetros) de centralzacón porque son valores alrededor de los cuales se dstrbuyen los datos. La meda y la medana son las más mportantes. Veamos cómo se relaconan. Dstrbucones apromadamente smétrcas La sguente dstrbucón (notas en un certo eamen) es apromadamente smétrca: 1,, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10 Su meda es = 5,47. Su medana es Me = 6. 1 5 Me La meda y la moda toman valores prómos. 10 En una dstrbucón completamente smétrca, y Me concden. Una dstrbucón apromadamente smétrca tene valores de y Me prómos. Dstrbucones asmétrcas La sguente dstrbucón corresponde a los sueldos mensuales (en mles de euros) de los empleados en una pequeña empresa: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,,, 5, 5, 5, 0, 30 Su meda es = 4,875. Su medana es Me = 1. 1 5 10 0 30 Me En una dstrbucón muy asmétrca, y Me toman valores poco prómos.
undad 1 Estadístca Cuáles son los parámetros estadístcos y cómo se calculan para valores aslados Págna 3 Qué pasa con la moda? En las varables cuanttatvas, el valor de la moda es poco representatvo. Supongamos que los sueldos de la dstrbucón fueran lgeramente dstntos: 0,96; 0,97; 0,98; 0,99; 1; 1,01; 1,0; 1,03; 1,04; ; ; 5; 5; 5; 0; 30 La meda es la msma, = 4,875; la medana varía un poco, Me = 1,035. Sn embargo, la moda, que antes valía 1, ahora vale 5: menudo salto! La moda es un parámetro poco útl para las dstrbucones de varables cuanttatvas. actvdades 1 Halla la meda y la medana de las sguentes dstrbucones. Utlza los resultados para dlucdar s son más o menos smétrcas. Después, represéntalas y comprueba. A: 1,,, 4, 5, 6, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10 B: 1, 1, 1,,, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 9
undad 1 Estadístca Cuáles son los parámetros estadístcos y cómo se calculan para valores aslados Págna 4 meddas de dspersón Las meddas de centralzacón dan una vsón muy parcal de la dstrbucón. Deben ser complementadas con otros parámetros que nforman sobre el grado de dspersón de los datos. Veamos algunos de ellos. Recorrdo El recorrdo de una dstrbucón es la dferenca entre los valores etremos: recorrdo = valor mayor valor menor En las dstrbucones de la págna anteror, sus recorrdos son: recorrdo de I = 10 1 = 9 recorrdo de II = 30 1 = 9 Desvacón meda La desvacón meda, DM, de una dstrbucón es un parámetro asocado a su meda: es el promedo de las dstancas a la meda de los valores de todos los ndvduos. Por ejemplo, consderemos la dstrbucón 5, 8, 10, 11, 15, 17. = 11 8 Promedo de las dstancas a la meda: DM = 6 + 3 + 1 + 0 + 4 + 6 6 = 0 6 = 3,33 Veamos un ejemplo: III Hallar la desvacón meda de las sguentes dstrbucones: 5, 7, 8, 9, 11, 13, 13, 15, 16, 18 Su meda es = 11,5. 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 d a t o s 5 7 8 9 11 13 13 15 16 18 d s t a n c a a 11,5 6,5 4,5 3,5,5 0,5 1,5 1,5 3,5 4,5 6,5 suma Ä8 35 Desvacón meda: DM = suma de las dstancas a 10 = 35 10 = 3,5
undad 1 Estadístca Meddas de dspersón Págna 5 IV 9, 10, 11, 11, 1, 1, 1, 13, 15, 15 Su meda es = 1. d a t o s 9 10 11 11 1 1 1 13 15 15 d s t a n c a a 1 3 1 1 0 0 0 1 3 3 suma Ä8 14 Desvacón meda: DM = 14 10 = 1,4 Los datos de III (DM = 3,5) están más dspersos que los de IV (DM = 1,4). actvdades Calcula el recorrdo y la desvacón meda en las dstrbucones A y B de la actvdad 1.
UNIDAD 1 Estadístca. Amplacón: El valor de las muestras Pág. 1 de Imagna que queremos contar el número de peces que hay en un gran estanque. Para ello, ponemos en práctca el sguente método: Pescamos con red, o medante cualquer otra forma que no lastme a los peces, un buen montón de ellos. Supongamos que son 41. Los señalamos con una pequeña anlla, por ejemplo, y los devolvemos al estanque. Al cabo de varos días volvemos a sacar una muestra (343, por ejemplo). En esa muestra contamos que hay 44 peces señalados. Inducmos que se cumple lo sguente: Proporcón de peces señalados en el total del estanque = Proporcón de peces señalados en la muestra S llamamos N al número total de peces del estanque, la gualdad anteror queda así: 41 N = 44 8 N = 41 343 = 3 1 peces 343 44 Inducmos, pues, que hay 3 1 peces en el estanque. Refleonemos sobre los resultados de nuestra eperenca: 1 Podemos asegurar que el número total de peces en el estanque es 3 1 eactamente? Por supuesto que no. Esta valoracón es apromada. Debemos conformarnos con dar el resultado de forma apromada. Por ejemplo: El número total de peces está entre 3 000 y 3 500. Aún así, no podemos estar seguros del todo. Nos conformaremos con decr que: Muy probablemente el número total de peces está entre 3 000 y 3 500. Esta eperenca nos ha servdo para estmar el número total de peces que hay en el estanque. Pero podríamos haber utlzado esa muestra para estmar, por ejemplo, la meda de sus longtudes o la de sus pesos. En este últmo caso, los resultados obtendos en la muestra los dentfcaremos con los del total con certa cautela: dremos, por ejemplo, que es probable que la meda de los pesos de todos los peces del estanque sea apromadamente gual a la meda de los peces de la muestra. 3 Observar que por los boquetes de la red pueden escaparse los peces chqutnes; es decr, que el tpo de red utlzada produce una seleccón de tamaños en los peces de la muestra. De este modo, las conclusones que saquemos no son del todo váldas. S acaso, podremos sacar conclusones sobre peces a partr de un certo tamaño. Es lo msmo que s, para obtener datos sobre la renta de los cudadanos, hcéramos una encuesta por nternet. Los resultados serían erróneos, váldos solo para cudadanos con nternet.
UNIDAD 1 Estadístca. Amplacón: El valor de las muestras Pág. de CONCLUSIONES La eleccón de una muestra es una tarea muy delcada en la que hay que cudar, entre otras cosas, estos dos aspectos fundamentales: 1 Todos los ndvduos de la poblacón deben tener la msma probabldad de estar ncludos en la muestra; es decr, la muestra debe ser aleatora. El tamaño de la muestra tene que ser el adecuado; aunque con una muestra de tamaño muy nferor al de la poblacón se consguen unos resultados muy buenos. (Esten métodos estadístcos avanzados que nos permten decdr el tamaño adecuado de la muestra según las condcones de cada caso concreto). ACTIVIDADES Te proponemos que epermentes con un caso parecdo al de los peces. Consgue un paquete de judías y échalas todas en una fuente. Coge un buen puñado de ellas y señálalas con tnta ndeleble (por ejemplo, con un rotulador de los que usamos para escrbr sobre los CD). Vuelve a juntarlas con las demás y remuévelas durante un rato para que se mezclen ben. Coge nuevamente un puñado y cuenta el número de judías que has sacado y el número total de judías marcadas entre ellas. a) Estma el número total de judías del paquete, suponendo que: Proporcón de judías marcadas en el paquete = Proporcón de judías marcadas en el puñado b) Cómo epresarías el resultado que obtenes para la estmacón del número total de judías del paquete? Por ejemplo: Muy probablemente, el número total de judías está entre
UNIDAD 1 Estadístca 3. Confeccona tablas de frecuencas Pág. 1 de 1 1 En el sguente cuadro se han anotado las faltas de asstenca de un grupo de 50 alumnos a lo largo de un trmestre. Completa la tabla de frecuencas. 5 3 4 0 1 1 6 3 4 0 4 5 3 3 0 4 1 6 1 0 1 6 3 3 5 5 1 4 3 1 8 6 1 4 0 1 6 8 VALORES DE LA VARIABLE (faltas a clase) 0 1 3 4 5 6 7 8 FRECUENCIA f En una revsón médca se ha pesado a un grupo de 50 alumnos, con los resultados (en klos) que se eponen en el cuadro. Completa la tabla de frecuencas. 53 61 71 63 58 66 65 54 67 76 64 43 6 55 81 58 7 60 61 7 69 64 56 68 63 60 50 6 45 67 54 71 5 70 61 70 61 65 56 74 57 56 63 64 59 73 69 66 74 48 INTERVALOS 4,5 47,5 47,5 5,5 5,5 57,5 57,5 6,5 6,5 67,5 67,5 7,5 7,5 77,5 77,5 8,5 FRECUENCIAS
UNIDAD 1 Estadístca 4. Busca los datos reales en tu Comundad Autónoma Pág. 1 de 1 En esta tabla está recogdo el número de ocupados por sector económco y comundad autónoma. Los datos, de 005, venen dados en mles de personas. TOTAL AGRICULTURA INDUSTRIA Y CONSTRUCCIÓN SERVICIOS Total Naconal 18 973 1 001 5 637 1 335 Andalucía 960 71 764 1 95 Aragón 570 43 191 336 Asturas (Prncpado de) 405 10 63 Baleares (Illes) 468 9 11 347 Canaras 836 9 167 640 Cantabra 40 14 73 153 Castlla y León 1 03 87 30 616 Castlla - La Mancha 764 6 63 439 Cataluña 3 91 80 1 13 079 Comundad Valencana 053 78 704 1 71 Etremadura 385 5 94 39 Galca 1 130 11 34 667 Madrd (Comundad de) 856 9 676 151 Murca (Regón de) 570 64 190 316 Navarra (Comundad Foral de) 75 14 101 160 País Vasco 958 15 33 60 Roja (La) 141 11 57 73 Ceuta 6 0 3 3 Mellla 0 0 Elabora un dagrama de sectores para tu comundad autónoma y otro para el total naconal, y compáralos. (Estos datos y muchos más los puedes encontrar en la págna web del Insttuto Naconal de Estadístca, INE, en esta dreccón: http://www.ne.es)
UNIDAD 1 Estadístca 5. Amplacón. Demostracón de la equvalenca de las gualdades para la desvacón típca Pág. 1 de Sobre el sgno S (sumatoro) Ya sabes que el sgno S se utlza para ndcar sumas de varos sumandos. Has encontrado este símbolo en varas epresones de esta undad. Por ejemplo: Meda = S S( S = Varanza = ) = n n n S consderamos datos agrupados en tablas de frecuencas: Meda = S S f S f = Varanza = = ( ) f Recuerda que: = f 1 + f + + f n = suma de todas las frecuencas = n.º total de datos = f 1 1 + f + + f n n = suma de todos los resultados que se obtenen al multplcar cada dato por su frecuenca = f 1 1 + f + + f n n = suma de todos los resultados que se obtenen al multplcar el cuadrado de cada dato por la frecuenca correspondente PROPIEDADES: Vamos a ver un par de propedades que nos ayudarán a justfcar que las dos epresones que tenemos para la varanza (y, por tanto, para la desvacón típca) son equvalentes. 1 S( + y ) = S + S y Puesto que: S( + y ) = ( 1 + y 1 )+( + y ) + + ( n + y n ) = = ( 1 + + + n )+(y 1 + y + + y n )= S + S y S k = k S Puesto que: S k = k 1 + k + + k n = k( 1 + + + n ) = k S 7 sacando factor común
UNIDAD 1 Estadístca 5. Amplacón. Demostracón de la equvalenca de las gualdades para la desvacón típca Pág. de Justfcacón de la equvalenca de las dos epresones para la varanza (y, por tanto, para la desvacón típca) Queremos probar que: S f S f = ( ) Veamos, paso a paso, cómo podemos llegar a la segunda epresón a partr de la prmera (encma de los sgnos gual encontrarás el número correspondente a la propedad que hemos utlzado de las dos anterores): S f S f S( f = = f + f ( + ( ) ) ) = desarrollamos el cuadrado 1 S f S( f S f = + + ) = = = + S f = + = S f = + = S f = Por tanto: = 1 = ( ) S f =